2011
-
Upload
joao-risueno-cruz -
Category
Documents
-
view
214 -
download
2
description
Transcript of 2011
Planificação Anual de MACS
10º Ano de Escolaridade
PLANIFICAÇÃO DE MATEMÁTICA
APLICADA ÀS CIÊNCIAS SOCIAIS
10º ANO
Ano Lectivo – 2010/2011
João Ricardo Cruz
Planificação Anual de MACS
10º Ano de Escolaridade
CONTAGEM E DISTRIBUIÇÃO DOS TEMPOS LECTIVOS
Quadro I – Calendário escolar
1º PERÍODO 2º PERÍODO 3º PERÍODO
SET OUT NOV DEZ T JAN FEV MAR ABRIL T ABRIL MAIO JUNHO T Total
2ªF 3 4 4 2 13 5 4 3 1 13 --- 5 1 6 32
3ªF 3 3 5 2 13 4 4 4 2 14 1 5 1 7 34
4ªF 3 4 4 1 12 4 4 4 2 14 1 4 2 7 33
5ªF 3 4 3 3 13 4 4 5 2 15 1 4 2 7 35
6ªF 2 5 4 3 14 4 4 4 3 15 1 4 1 6 35
Quadro II – Distribuição dos blocos
Período
1º
2º
3º
Total
Número de blocos previstos 34 36 18 88
Testes e Revisões Apresentações
6 6 4 16
Conteúdos Programáticos/Temas
Transversais 26 29 13 68
Apresentação/Auto-avaliação 2 1 1 4
Início das aulas Fim das aulas (Secundário)
13 de Setembro 9 de Junho de 2009 (9º, 11º e 12º Ano) 10 de Junho de 2009 (restantes)
Interrupções Ensino Secundário
Férias do Natal 20 de Dezembro a 31 de Dezembro
Férias do Carnaval 7 a 9 de Março
Férias da Páscoa 11 a 21 de Abril
Planificação Anual de MACS
10º Ano de Escolaridade
Número de blocos previstos
1º PERÍODO 34
2º PERÍODO 36
3º PERÍODO 18
Finalidades da disciplina no ensino secundário: • Promover o aprofundamento de uma cultura científica, técnica e humanística que constitua suporte cognitivo e metodológico tanto para o prosseguimento de estudos como para a inserção na vida activa; • Desenvolver a capacidade de usar a Matemática como instrumento de interpretação e intervenção no real; • Desenvolver as capacidades de formular e resolver problemas simples em situações do dia a dia e no domínio das Ciências Sociais; • Desenvolver a capacidade de interpretar textos escritos em linguagem matemática, a capacidade de comunicar e o espírito crítico. • Contribuir para uma atitude positiva face à Ciência e particularmente para com a Matemática. • Promover a realização pessoal mediante o desenvolvimento de atitudes de autonomia e solidariedade.
Objectivos e competências gerais
Valores / Atitudes Capacidades / Aptidões Conhecimentos
Desenvolver a confiança
em si próprio:
Exprimir e fundamentar
as suas opiniões.
Revelar espírito critico,
de rigor e de confiança
nos seus raciocínios.
Abordar situações novas
com interesse, espírito de
iniciativa e criatividade.
Procurar a informação de
que necessita.
Desenvolver interesses
culturais:
Manifestar vontade de
aprender e gosto pela
pesquisa.
Interessar-se por notícias
e publicações relativas a
Matemática e a
descobertas científicas e
tecnológicas.
Desenvolver a capacidade
de utilizar a Matemática
na interpretação e
intervenção no real:
Analisar situações da
vida real identificando
modelos matemáticos
que permitam a sua
interpretação e
resolução.
Reconhecer o alcance e
limitações de um modelo
matemático.
Reconhecer que um
mesmo modelo
matemático pode
permitir analisar
situações diversas.
Seleccionar estratégias
de resolução de
problemas.
Formular hipóteses e
prever resultados.
Interpretar e criticar
Conhecer alguns métodos de
apoio à decisão:
Reconhecer diferenças entre
diversos métodos eleitotais.
Reconhecer que certos
métodos eleitorais podem
ser melhorados, mas que há
limites a essa melhoria.
Conhecer alguns métodos
de divisão proporcional e
interpretar as suas
consequências.
Conhecer diferentes modelos
matemáticos:
Explorar problemas
concretos envolvendo
Planificação Anual de MACS
10º Ano de Escolaridade
Apreciar o contributo da
Matemática para a
compreensão e resolução
de problemas do Homem
através do tempo.
Desenvolver hábitos de
trabalho e persistência:
Elaborar e apresentar os
trabalhos de forma
organizada e cuidada.
Manifestar persistência
na procura de soluções
para uma situação nova.
Desenvolver o sentido da
responsabilidade:
Responsabilizar-se pelas
suas iniciativas e tarefas.
Avaliar situações e
tomar decisões.
Desenvolver o espírito de
tolerância e de
cooperação:
Colaborar em trabalhos
de grupo, partilhando
saberes e
responsabilidades.
Respeitar a opinião dos
outros e aceitar as
diferenças.
Intervir na dinamização
de actividades e na
resolução de problemas
da comunidade em que
se insere.
resultados no contexto
do problema.
Compreender a
aleatoriedade presente
em situações do dia a dia
e em diferentes
fenómenos.
Desenvolver o raciocínio e
o pensamento cientifico:
Descobrir relações entre
conceitos matemáticos.
Formular generalizações
a partir de experiências.
Observar regularidades
em conjuntos de dados.
Formular hipóteses sobre
conjuntos de dados.
Validar conjecturas.
Compreender a relação
entre o avanço científico
e o progresso da
humanidade.
Desenvolver a capacidade
de comunicar e transmitir
a informação organizada:
Comunicar conceitos,
raciocínios e ideias,
oralmente e por escrito,
com clareza e rigor
Organizar a informação
extraída de conjuntos de
dados.
Interpretar textos de
Matemática.
Exprimir o mesmo
conceito em diversas
formas ou linguagens.
Apresentar os textos de
forma clara e organizada.
modelos financeiros.
Resolver problemas de
contagem.
Conhecer aspectos da
História da Matemática:
Conhecer algumas
personalidades da História
da Matemática, com
particular incidência na
Matemática contemporânea.
Conhecer alguns factos
marcantes da História da
Matemática e relacioná-los
com momentos históricos
de relevância cultural ou
social.
Planificação Anual de MACS
10º Ano de Escolaridade
Desenvolver as
capacidades de utilização
das novas tecnologias:
calculadora gráfica,
computadores e internet.
Tratar, explorar e
transmitir dados
numéricos e gráficos.
Desenvolver projectos
que incluam pesquisa de
informação.
Criticamente dados,
informação e resultados
obtidos.
Planificação anual de Matemática Aplicada às Ciências Sociais
10º Ano de Escolaridade
Curso Geral de Ciências Sociais e Humanas
1º Período 2º Período 3º Período
Desenvolvimento Programático 25 29 12
Apresentação, teste diagnóstico e respectiva correcção
2 - -
Realização e correcção dos testes de avaliação
4 4 4
Realização e apresentação de trabalhos 2 2 1
Auto e hetero-avaliação 1 1 1
Total de blocos previstos 34 36 18
Livro adoptado: Matemática Aplicada às Ciências Sociais, Ensino Secundário 10º ano
Autores: Cristina Cruchinho e Manuela Simões
Planificação Anual de MACS
10º Ano de Escolaridade
Editora: AREAL
Planificação a longo prazo de MACS – 10º Ano
Temas TOTAL BLOCOS
1º Período
1. Métodos de apoio à decisão
1.1. Introdução
Generalidades sobre sistemas de votação 0,5
Eleições simples 1
Proporcionalidade 0,5
1.2. Teoria Matemática das Eleições
Sistema de votação maioritário: 2
- Maioria simples
- Maioria absoluta
- Maioria a duas voltas
Sistema de votação por aprovação 1
Sistemas eleitorais posicionais ou preferenciais:
- Método de Contagem de Borda 1
- Método de Maioria a duas voltas e Método Hare 1
- Método de Condorcet (ou votação sequencial por pares) 2
- Estudo de situações paradoxais: Paradoxo de Condorcet - Teorema de Arrow
0,5 0,5
Sistema de votação ponderada 1
1.3. Teoria da Partilha Equilibrada
Divisão ou partilha equilibrada. Resolução de actividades. 2
Partilhas no caso discreto:
- Método de licitação secreta 1
- Sistemas eleitorais de representação proporcional:
- Hamilton 1
- Hondt 1
- Jefferson 1
- Saint-Lague (outros: Adams, Webster, Huntington-Hill)) 2
- Estudo de situações paradoxais 1
Partilhas no caso contínuo. Algoritmos de:
- Método de Ajuste na Partilha 1
- Método do divisor único (Steinhaus) 1
- Método do último a diminuir (Algoritmo de Banach e Knaster) 1
- Livre de inveja (Algoritmo de Brams-Taylor) 1
Planificação Anual de MACS
10º Ano de Escolaridade
Outras actividades 10
Total do 1º Período 34
Temas TOTAL BLOCOS
2º Período
2. Estatística
2.1. Generalidades. Análise de dados univariados
Introdução. Conceitos básicos e definições
- População, amostra, unidade estatística, censo, sondagem 1
- Variável estatística e tipos de variável estatística 1
Interpretação de tabelas e gráficos através de exemplos 1
Planeamento, aquisição e classificação de dados 1
Frequências absolutas e relativas 2
2.2. Representação gráfica
Construção de diferentes tipos de gráficos
- Gráficos circulares, gráficos de barras, pictogramas 1
- Diagrama de caule e folha 1
- Histograma, polígono de frequências 1
- Histograma de frequências acumuladas e respectivo polígono 2
- Boxplot (diagrama de caixa e bigodes) 1
2.3. Medidas de localização
Cálculo da média, moda, mediana, quantis e percentis 2
Cálculo da média (variáveis do tipo contínuo) 1
Boxplot (ou diagrama de caixa e bigodes) 2
Discussão das vantagens e limitações das medidas de localização 1
2.4. Medidas de dispersão
Amplitude amostral e amplitude interquartil 1
Medidas de dispersão absoluta
- Desvio-padrão, variância 2
Medidas de dispersão relativa: Coeficiente de variação 1
2.5. Análise de dados bivariados
Introdução 2
Planificação Anual de MACS
10º Ano de Escolaridade
Modelos de regressão linear: representação gráfica de informação
Recta de regressão linear e equação de regressão linear. Coeficiente.
3
3
Outras actividades 7
Total do 2º Período 36
Temas TOTAL BLOCOS
3º Período
2. Estatística (continuação)
2.5. Análise de dados bivariados (continuação)
Análise de outliers através da representação gráfica 1
Extrapolações através da recta de regressão. 1
Relação entre variáveis qualitativas: análise de tabelas de contingência. 2
3. Modelos matemáticos – modelos financeiros
3.1. Conceitos básicos
Descontos, aumentos, IVA 1,5
Taxa de juro 0,5
Regime de Capitalização Simples 2
Regime de Capitalização composto 3
Situações mistas
Amortizações
1
2
Outras actividades 6
Total do 3º Período 14
Planificação Anual de MACS
10º Ano de Escolaridade
MACS
Ano Lectivo 2009/10
Ano 10º
Turmas
Planificação por Tema
Recursos didácticos
Calculadora
Manual adoptado
História da Matemática
Retroprojector/ Acetatos
Quadro e marcadores
Projector/computador
Fichas de exercícios
Planificação
Temas Objectivos N.º
Blocos
1. Teoria Matemática das Eleições
Perceber como se contabilizam mandatos numa eleição;
Perceber que os resultados podem ser diferentes se os métodos de
contabilização dos mandatos forem diferentes;
Experimentar pelo menos um algoritmo usado numa situação real;
Experimentar pelo menos um algoritmo usado numa situação real;
Comparar a aplicação de dois algoritmos que produzam resultados
diferentes numa mesma situação;
Estudar situações paradoxais;
Perceber que há limitações à melhoria dos sistemas.
11
2. Teoria da Partilha Equilibrada
Familiarizar os estudantes com a dificuldade em atingir uma partilha
equilibrada;
Experimentar pelo menos um algoritmo usado numa situação real;
Comparar a aplicação de dois algoritmos que produzam resultados
diferentes numa mesma situação.
14
3. Estatística
Familiarizar os estudantes com a leitura e interpretação de informação
transmitida através de tabelas e gráficos;
Apresentar as ideias básicas dos processos conducentes à recolha de
dados válidos;
Fazer sentir a necessidade de aleatorizar os processos de recolha de
dados;
Fazer sentir a necessidade de organizar os dados de forma a fazer
sobressair a informação neles contida;
Fazer sentir a necessidade de alguma metodologia na organização de
dados
Atingir uma leitura adequada de gráficos;
Apresentar medidas (estatísticas) que, tal como as representações
gráficas, permitem reduzir a informação contida nos dados;
Chamar a atenção para as vantagens e para as situações em que não se
devem utilizar;
Apresentar um modo eficaz de visualizar a associação entre duas
34
Planificação Anual de MACS
10º Ano de Escolaridade
variáveis;
Saber interpretar o tipo e força com que duas variáveis se associam;
Ensinar a sumariar a relação linear existente entre duas variáveis através
de uma recta;
Apresentar uma medida que, além de indicar a força com que duas
variáveis se associam linearmente, também dá indicação da qualidade do
ajustamento linear.
Apresentar um modo eficaz de organizar informação do tipo qualitativo;
4. Modelos Financeiros
Familiarizar os estudantes com alguns problemas do domínio financeiro;
Recordar técnicas e conceitos matemáticos já abordados no ensino
básico;
Identificar a matemática utilizada em situações realistas que utilizem um
modelo matemático envolvendo juros;
Desenvolver competências de cálculo e selecção de ferramentas
adequadas a cada problema: calculadora, computador ou folha de cálculo.
10
1
Escola Secundária Madeira Torres
10º Ano
Matemática Aplicada às Ciências Sociais
Duração da Prova: 90 minutos Turma:
Teste Diagnóstico Setembro de 2010
Nome:
Questões Correcção
1. Escreva sob a forma de percentagem e sob a forma de fracção a parte colorida de
cada um dos seguintes quadrados:
3/4___(1,5) 3/8_____(1,5) 6/56____(1,5) 2/24___(1,5) 75%__(1,5) 37,5%__(1,5) 10,7%__(1,5) 8,3%__(1,5)
2. Na época de saldos, a Joana comprou uma saia e umas calças cujas etiquetas estão
representadas na figura
seguinte:
2.1. Indique os valores:
- Preço da saia com o desconto: 45 euros____(2)
- Preço das calças com o desconto: 35 euros_____(2)
- Preço das duas peças sem o desconto 120 euros____(2)
- Desconto obtido na compra das duas peças: 40 euros_____(2)
12
13
2
2.2. Comenta a seguinte frase indicando se ela é verdadeira ou falsa: “A
percentagem de desconto total obtida na compra das duas peças de roupa é
igual à média da percentagem de desconto indicada nas etiquetas das duas
peças”.
Explica o teu raciocínio e apresenta, se necessário, os cálculos que efectuaste.
40/120=0,33=33% (2)
(10%+50%)/2=30% (2)
33% é diferente de 30% ou 33% é aproximadamente igual a 30% (1)
3. O dado da figura tem a forma de um octaedro regular. As suas 8
faces triangulares estão numeradas de 1 a 8 e têm igual
probabilidade de sair quando se lança o dado.
3.1. Qual é a probabilidade de se obter um número divisor de 8
quando se faz um lançamento do dado?
{1,2,4,8} ou 4 divisores de 8 (2)
P= 4/8 (4)
3.2. O dado foi lançado 8 vezes e das 8 vezes saiu um número ímpar. O dado
vai ser lançado de novo. Assinala com X a afirmação correcta.
É mais provável que saia agora um número par.
É tão provável que saia um número par como um ímpar. (4)
É mais provável que continue a sair um número ímpar.
Não pode sair outra vez um número ímpar.
10
3
4. A Maria comprou uma caixa com dez embalagens de 25 palhinhas cada. Abriu ao acaso três
dessas embalagens e contou o número de palhinhas de cada cor.
4.1. Indica a probabilidade de uma palhinha escolhida ao acaso, de entre as 250 da caixa,
ser cor-de-rosa.
30/75 (4)
4.2. Quantas palhinhas cor-de-rosa são de esperar entre as 250 da caixa?
30/75 * 250 (7)
5. Um investigador pretende testar a eficácia de um novo medicamento no alívio de
dores reumáticas. Decidiu fazer um estudo e para tal seleccionou dois grupos de 15
indivíduos cada, que sofrem regularmente deste tipo de dores. Aos elementos do
primeiro grupo, denominado grupo experimental, deu-lhes uma cápsula com este
novo medicamento. Ao segundo grupo, denominado grupo de controlo, deu-lhes
um placebo, ou seja, uma cápsula com a mesma forma e cor mas que não contém
qualquer tipo de substância activa.
Nenhum dos indivíduos sabe se está a tomar o medicamento verdadeiro ou não; em
caso de dor têm que tomar uma cápsula e, passada uma hora, classificar o alívio da
dor numa escala de 0 a 6 (0 não sente qualquer alívio; 6 sente alívio total).
Os dados recolhidos em cada um dos grupos foram os seguintes:
5.1. Calcula a média para cada um dos grupos
(3+2+4+3+5+5+2+1+5+3+3+4+4+3+2)/15 (5)
(3+5+5+3+3+3+5+3+2+3+4+4+2+3+4)/15 (5)
11
19
Grupo experimental 3 2 4 3 5 5 2 1 5 3 3 4 4 3 2
Grupo de controlo 3 5 5 3 3 3 5 3 2 3 4 4 2 3 4
Cor Cor-de-rosa Verde Azul Total
Nº palhinhas 30 22 23 75
4
5.2. Desenha no gráfico seguinte, lado a lado, as barras correspondentes às
frequências absolutas de cada uma das duas séries de dados (a primeira já
está para servir de exemplo). De acordo com a legenda do gráfico, sombreia
as barras que correspondem ao grupo experimental e deixa as restantes por
sombrear.
5.3. A nova droga é eficaz? Explica a tua resposta.
Não, pois entre o grupo experimental e o grupo de controlo não há diferenças
substanciais quanto ao efeito do medicamento (4)
6. O Paulo e a Teresa são dois irmãos gémeos de 20 anos de idade. O gráfico da
página seguinte permite comparar a evolução dos pesos de ambos, ao longo dos
seus anos de vida.
6.1. Com que idades o Paulo e a Teresa pesavam o mesmo?
10 e 15 (5)
15
(5)
5
6.2. Observa o gráfico e assinala com um X a afirmação correcta sobre o aumento
de peso da Teresa entre os 5 e os 10 anos de idade.
7. A Joana saiu de casa para ir ao cinema e, logo que o filme terminou, regressou a
casa.
Assinala com um X o gráfico que pode ilustrar a relação entre o tempo decorrido
desde que a Joana saiu para o cinema e a distância à sua casa.
7.1. Numa pequena composição, explica, para cada um dos outros três gráficos, a
razão pela qual não os escolheste.
No segundo não há simetria no terceiro não há tempo de estada no cinema (5)
8. Resolve a seguinte equação, apresentando os cálculos que efectuares.
9
14
149
142
2103
5252
3
2552
3
2152
3
x
x
xxx
xxx
xxx
xxx
10
10
(10)
(5)
(2)
(2)
(2)
(2)
(2)
Cada alínea vale 2 pontos Prof. João Cruz
1º Trabalho Macs10
(Apresente todas as justificações)
1. Nas eleições para as autarquias locais, os partidos concorrentes à Assembleia Municipal obtiveram os resultados apresentados na tabela
Partidos Nº de votos Nº de mandatos
PSD 52000 25
PS 46000 21
PCP 14500 4
BE 4000 2
a) Obtenha as percentagens do número de votos de todos os concorrentes b) Calcule o número de votos, por mandato, das forças políticas concorrentes e
comente a proporcionalidade da respectiva distribuição c) Calcule o número de votos, por mandato, relativamente a toda a assembleia e
determine qual a força política cuja representação proporcional é mais correcta no parlamento municipal
d) Ensaie uma distribuição de mandatos que melhore a proporcionalidade
relativamente ao respectivo número de votos. (Proporcionalidade directa)
e) Se os inscritos foram 150 mil cidadãos, os votos brancos foram 1254 e os nulos 450, calcule a percentagem da abstenção nesta eleição.
2. Numa turma do 10ºano procedeu-se à eleição do respectivo delegado. O sistema eleitoral utilizado foi o da votação, por ordem de preferência, nos quatro candidatos a exercer o cargo. O apuramento dos resultados conduziu à elaboração da tabela apresentada:
4 5 6 3
1º João Rosa Xavier Zaida
2º Rosa Xavier João Xavier
3º Xavier João Zaida Rosa
4º Zaida Zaida Rosa João
Determine quem seria eleito delegado de turma pelo método a) Maioria simples b) Contagem de Borda c) Maioria a duas voltas d) Hare e) Condorcet
(Entregar o trabalho até 1 de Novembro)
1
Cada alínea vale 2 pontos, excepto as alíneas 1a) e 2a) que valem 1 ponto
cada uma.
Prof. João Cruz
ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO DE MADEIRA TORRES
1º Teste 10ºI Macs – 29 Outubro de 2010 Disciplina de MACS
Apresente todas as justificações
1. Nas eleições para as autarquias locais, os partidos concorrentes à
Assembleia Municipal obtiveram os resultados apresentados na tabela
Partidos Nº de votos Nº de mandatos
PSD 42000 25
PS 37000 20
PCP 12500 6
BE 10000 5
a) Obtenha as percentagens do número de votos de todos os concorrentes
b) Calcule o número de votos, por mandato, das forças políticas
concorrentes e comente a proporcionalidade da respectiva distribuição
c) Calcule o número de votos, por mandato, relativamente a toda a
assembleia e determine qual a força política cuja representação
proporcional é mais correcta no parlamento municipal.
d) Ensaie uma distribuição de mandatos que melhore a proporcionalidade
relativamente ao respectivo número de votos. (Proporcionalidade
directa)
2
Cada alínea vale 2 pontos, excepto as alíneas 1a) e 2a) que valem 1 ponto
cada uma.
Prof. João Cruz
2. Numa turma do 10ºano procedeu-se à eleição do respectivo delegado. O
sistema eleitoral utilizado foi o da votação, por ordem de preferência,
nos quatro candidatos a exercer o cargo. O apuramento dos resultados
conduziu à elaboração da tabela apresentada:
6 4 5 3
1º João Rosa Xavier Zaida
2º Rosa Xavier João Xavier
3º Xavier João Zaida Rosa
4º Zaida Zaida Rosa João
Determine quem seria eleito delegado de turma pelo método
a) Método da maioria simples
b) Método da contagem de Borda
c) Método da maioria a duas voltas
d) Método das eliminações sucessivas (método Hare)
e) Método dos confrontos sucessivos para a agenda JRXZ
f) Se três dos votantes da primeira coluna mudarem de preferência para a
última coluna qual o resultado pelo método Hare? (Em caso de empate
utilize o método de confronto para desempatar).
g) Na mesma situação da alínea anterior qual será o vencedor da agenda
JRXZ pelo método dos confrontos sucessivos ?
Entregar até ao dia 2 de Dezembro Cada alínea vale 2.5 pontos Prof. João Cruz
Trabalho 2
Teoria da Partilha
Apresente todas as justificações
1. Com base neste resultado eleitoral atribua os respectivos mandatos a cada
partido, sendo que este círculo eleitoral tem 40 deputados para distribuir pelos
partidos:
1.1 Pelo método D'Hondt
1.2 Pelo método Jefferson
1.3 Pelo método Hamilton
2. Considera os herdeiros e a licitação que fizeram dos bens herdados. Faz a
partilha dos bens. Sabendo que o João só tem 10% da herança e os restantes
herdeiros têm igual parte de herança.
Herança (euros) João Manuel Francisco Mário
apartamento 21000 19000 22000 21000
carro 8000 9000 9500 9750
computador 500 700 550 600
livros 250 350 450 50
2.1 Qual a parte justa de cada um ?
2.2 Qual o dinheiro sobrante.
2.3 O relatório da partilha de bens.
Partidos Nº votos Nº mandatos
BE 21384
PP 65087
PCP 58120
MRPP 4650
PSD 301704
PPM 2714
PS 421160
PSN 2140
Entregar até ao dia 2 de Dezembro Cada alínea vale 2.5 pontos Prof. João Cruz
3. Considere a tabela de classificações da Ana e do João para divisão de bens por
ajuste de partilha.
Ana João
bicicleta 35 10
Hi-fi 10 20
livros 10 30
gato 45 40
3.1 Têm que partilhar algum bem? Qual? Porquê?
3.2 Faça o relatório da divisão dos bens por ajuste de partilha.
Cada alínea vale 2 pontos Prof. João Cruz
ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO DE MADEIRA TORRES
2º Teste 10ºI – 03 de Dezembro de 2010 Disciplina de MACS
Apresente todas as justificações
1. Considere os resultados eleitorais de duas votações numa mesma
assembleia:
1.1 Verifique que com o método de contagem de votos de Hamilton um
partido está em paradoxo de Alabama. (Justifique).
1.2 Qual o resultado eleitoral se na 1ª eleição se aplicasse o método
Hont? (Justifique).
1.3 Qual o resultado eleitoral se na 2ª eleição se aplicasse o método
Hondt? (Justifique).
1.4 Nos resultados obtidos com o método Hondt, respectivamente 1-3-0
e 2-3-0 verifica-se o paradoxo de Alabama? (Justifique).
2ª Eleição
Partidos Votos Mandatos
A 69 2
B 106 3
C 25 0
1ª Eleição
Partidos Votos Mandatos
A 69 1
B 106 2
C 25 1
Cada alínea vale 2 pontos Prof. João Cruz
2. Considera os herdeiros e a licitação que fizeram dos bens herdados. Faz a
partilha dos bens pelo método da licitação secreta.
Herança
(euros)
João António Francisco
apartamento 27000 25000 22000
carro 8000 7000 9750
computador 500 550 450
Justifique todas as respostas
2.1 Qual a parte justa de cada um.
2.2 Qual o dinheiro sobrante.
2.3 Os bens que cada um recebe.
2.4 O dinheiro que cada um recebe.
3. Considere a tabela de classificações da Ana e do João para divisão de bens
por ajuste de partilha.
Ana João
bicicleta 30 70
Hi-fi 20 20
livros 50 10
3.1 Têm que partilhar algum bem? Qual? Porquê?
3.2 Faça o relatório da divisão dos bens por ajuste de partilha.
Prof. João Cruz Entregar até dia 15 de Fevereiro Cada questão vale 2 pontos
3º Trabalho Macs10
Apresente todas as justificações
1. Considere as notas de uma turma:
10, 10, 8, 9, 17, 20, 1, 2, 3, 4, 7, 7, 8, 9, 10, 11, 17, 18, 20, 19, 12, 13
15, 15, 15, 16, 17, 17, 18, 18, 19, 14, 14, 5, 6, 7, 7, 8, 9, 10, 10, 12
1.1 Construa uma tabela de frequências (absolutas, relativas e acumuladas)
para estes dados e represente os dados por um diagrama de caule-e-folha.
1.2 Desenhe uma caixa-de-bigodes para estes dados.
1.3 Calcule a média e o desvio padrão dos dados. (Utilize as fórmulas).
1.4 Construa um histograma com intervalos de amplitude 2.
1.5 Qual a classe mediana deste histograma? Justifique.
2. Categoria profissional dos funcionários de uma Escola Secundária.
Classes Freq. abs.
Freq. rel.
AE (Auxiliar de Acção Educativa)
Ad (Administrativo)
AS (Técnico de Acção Social)
Op (Operário)
Total 40 1.00
2.1 Quantos operários há na escola?
2.2 Quantos graus têm o sector de gráfico circular do pessoal administrativo?
2.3 Escreva a tabela de frequências na folha de ponto e complete as duas colunas.
2.4 Sabendo que na escola há para além destes funcionários mais 150 professores, qual a percentagem de operários relativamente a todos as pessoas que trabalham na escola?
2.5 Construa um gráfico de colunas para as frequências absolutas deste gráfico circular.
Prof. João Cruz Cada questão vale 2 pontos
ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO DE MADEIRA TORRES
3º Teste 10ºI – 11 de Fevereiro de 2011 Disciplina de MACS
Apresente todas as justificações
1. Considere as notas de uma turma:
11, 11, 8, 9, 17, 20, 1, 2, 3, 4, 7, 7, 8, 9, 10, 11, 17, 18, 20, 19, 12, 13
15, 15, 15, 16, 17, 17, 18, 18, 19, 10, 10, 5, 6, 7, 7, 15, 16, 19, 10, 11
1.1 Construa uma tabela de frequências (absolutas, relativas e acumuladas)
para estes dados e represente os dados por um diagrama de caule-e-folha.
1.2 Desenhe uma caixa-de-bigodes para estes dados.
1.3 Calcule a média e o desvio padrão dos dados. (Indique os passos
que utiliza na calculadora).
1.4 Construa um histograma com intervalos de amplitude 5.
1.5 Qual a classe mediana deste histograma? Justifique.
Prof. João Cruz Cada questão vale 2 pontos
2. Considere a categoria profissional dos funcionários de uma Escola Secundária.
Classes Freq. abs.
Freq. rel.
AE (Auxiliar de Acção Educativa)
Ad (Administrativo)
AS (Técnico de Acção Social)
Op (Operário)
Total 200 1.00
2.1 Quantos operários há na escola?
2.2 Quantos graus têm o sector de gráfico circular do pessoal Op (operários)?
2.3 Escreva a tabela de frequências na folha de ponto e complete as duas colunas.
2.4 Sabendo que na escola há para além destes funcionários mais 150 professores,
qual a percentagem de operários relativamente a todos as pessoas que trabalham
na escola?
2.5 Construa um gráfico de colunas para as frequências absolutas deste gráfico
circular.
CADA UMA DAS 8 PERGUNTAS VALE 2.5 PONTOS
ENTREGAR ATÉ DIA 31 DE MARÇO
PROF. JOÃO CRUZ
4º TRABALHO MACS10
APRESENTE TODAS AS JUSTIFICAÇÕES
1. A TABELA SEGUINTE APRESENTA 3 CONJUNTOS DE DADOS A, B E C,
RESPECTIVAMENTE
A) CALCULE O COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO E A RECTA DE REGRESSÃO PARA CADA UM
DOS CONJUNTOS DE DADOS E VERIFIQUE QUE SÃO IGUAIS.
B) PARA CADA UM DOS CONJUNTOS DE DADOS FAÇA O DIAGRAMA DE PONTOS E
REPRESENTE A RECTA DE REGRESSÃO.
C) EM QUAL DAS SITUAÇÕES ACHA QUE PODE UTILIZAR A RECTA DE REGRESSÃO PARA
PREDIZER “Y” PARA X=15? JUSTIFIQUE A RESPOSTA.
X 10 8 13 9 11 14 6 4 12 7 5
Y 9 8 8 8 9 8 6 3 9 7 4
X 10 8 13 9 11 14 6 4 12 7 5
Y 8 6 7 8 8 9 7 4 10 4 5
X 8 8 12 8 8 8 8 8 8 8 19
Y 6 5 7 8 8 7 5 5 7 6 12
CADA UMA DAS 8 PERGUNTAS VALE 2.5 PONTOS
ENTREGAR ATÉ DIA 31 DE MARÇO
PROF. JOÃO CRUZ
2. CONSIDERE OS SEGUINTES RESULTADOS DE UM EXAME DE MATEMÁTICA REALIZADO
A 200 ALUNOS:
NOTA 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
FREQ.
ABS. 1 1 5 7 7 13 12 15 17 30 15 21 12 16 8 4 7 5 4
A) CALCULE A MÉDIA E O DESVIO PADRÃO DOS DADOS. (UTILIZE A CALCULADORA E
INDIQUE TODOS OS PASSOS). CONSTRUA UMA CAIXA DE BIGODES PARA ESTES DADOS.
B) REPRESENTE GRAFICAMENTE OS DADOS NA FORMA DE UM HISTOGRAMA
CONSIDERANDO AS SEGUINTES CLASSES:
[1,3[, [3,5[, [5,7[, [7,9[, [9,11[, [11,13[, [13,15[, [15,17[, [17,19[,
[19,21[
C) QUAL A CLASSE MEDIANA? CONSTRUA UMA CAIXA DE BIGODES PARA ESTE
HISTOGRAMA.
D) VERIFIQUE QUANTAS NOTAS PERTENCEM AO INTERVALO .
CORRESPONDE A QUE PERCENTAGEM?
E) VERIFIQUE QUANTAS NOTAS PERTENCEM AO INTERVALO .
CORRESPONDE A QUE PERCENTAGEM?
CADA UMA DAS 8 PERGUNTAS VALE 2.5 PONTOS
PROF. JOÃO CRUZ
APRESENTE TODAS AS JUSTIFICAÇÕES
1. A TABELA SEGUINTE APRESENTA 3 CONJUNTOS DE DADOS A, B E C,
RESPECTIVAMENTE
A) CALCULE O COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO E A RECTA DE REGRESSÃO PARA CADA UM
DOS CONJUNTOS DE DADOS.
B) PARA CADA UM DOS CONJUNTOS DE DADOS FAÇA O DIAGRAMA DE PONTOS E
REPRESENTE A RECTA DE REGRESSÃO.
X 10 8 12 9 11 14 6 4 12 7 5
Y 10 8 8 8 9 8 6 3 9 7 4
X 10 8 12 9 11 14 6 4 12 7 5
Y 8 6 7 8 8 9 7 4 10 4 5
X 10 8 12 8 8 8 8 8 8 8 16
Y 6 5 7 8 8 7 5 5 7 6 12
4º TESTE DE AVALIAÇÃO
MACS10º I
ABRIL DE 2011
CADA UMA DAS 8 PERGUNTAS VALE 2.5 PONTOS
PROF. JOÃO CRUZ
C) EM QUAL DAS SITUAÇÕES ACHA QUE PODE UTILIZAR A RECTA DE REGRESSÃO PARA
PREDIZER “Y” PARA X=20? JUSTIFIQUE A RESPOSTA.
2. CONSIDERE OS SEGUINTES RESULTADOS DE UM EXAME DE MATEMÁTICA REALIZADO
A 200 ALUNOS:
NOTA 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
FREQ.
ABS. 1 1 5 7 7 13 12 15 17 30 15 21 12 16 8 4 7 5 3 1
A) CALCULE A MÉDIA E O DESVIO PADRÃO DOS DADOS. (UTILIZE A CALCULADORA E
INDIQUE TODOS OS PASSOS). CONSTRUA UMA CAIXA DE BIGODES PARA ESTES DADOS.
B) REPRESENTE GRAFICAMENTE OS DADOS NA FORMA DE UM HISTOGRAMA
CONSIDERANDO AS SEGUINTES CLASSES:
[1,3[, [3,5[, [5,7[, [7,9[, [9,11[, [11,13[, [13,15[, [15,17[, [17,19[,
[19,21[
C) QUAL A CLASSE MEDIANA? CONSTRUA UMA CAIXA DE BIGODES PARA ESTE
HISTOGRAMA.
D) VERIFIQUE QUANTAS NOTAS PERTENCEM AO INTERVALO .
CORRESPONDE A QUE PERCENTAGEM?
CADA UMA DAS 8 PERGUNTAS VALE 2.5 PONTOS
PROF. JOÃO CRUZ
E) VERIFIQUE QUANTAS NOTAS PERTENCEM AO INTERVALO .
CORRESPONDE A QUE PERCENTAGEM?
Cada uma das 4 perguntas vale 5 pontos Entregar até 30 de Maio Prof. João Cruz Página 1
5º Trabalho Macs 10
Apresente todas as justificações
1. Considere o seguinte exemplo de um empréstimo de um banco espanhol de 10000
euros com um juro (interés) de 4.5% ao mês cujos 6 pagamentos (pago) duplicam de
dois em dois meses. E cuja 1ª amortização (amortz) foi de 413.28.
1.1 Construa uma nova tabela igual a esta mas se a 1ª amortização e a 2ª forem ambas
de 2000 euros e as restantes 4 de 1500 euros cada uma. O empréstimo tem o
mesmo juro.
1.2 Construa uma tabela igual a esta mas com as amortizações iguais duas a duas.
1.3 Construa uma tabela igual à dada mas em que as 6 amortizações sejam constantes
e o juro de 6%.
2. Depositámos 1000 euros durante 10 anos, a juro composto com capitalização anual,
sabendo que o juro aumentou todos os anos 1%; que dinheiro terá ao fim dos 10
anos? (Construa uma tabela indicando a evolução do depósito nos 10 anos).
3. Um cliente do jumbo comprou um guarda-sol de praia por 25 euros com o iva incluído
de 23%. Quanto teria pago só de iva no ano anterior com o iva a 21% pelo mesmo
guarda-sol?
4. Um casal declarou 50 mil euros de rendimento colectável em 2005. Consulte a tabela
de irs e calcule quanto pagará este casal de IRS. Sabendo que só o marido está
empregado seria desvantajoso a este casal não estarem casados? Quantifique a sua
resposta.
Cada uma das 4 perguntas vale 5 pontos Entregar até 30 de Maio Prof. João Cruz Página 2
Tabela de irs do exame nacional de 2005
Cada uma das 4 perguntas vale 5 pontos Prof. João Cruz Página 1
Apresente todas as justificações
1. Considere o seguinte exemplo de um empréstimo de um banco espanhol de 10000
euros com um juro (interés) de 4.5% ao mês cujos 6 pagamentos (pago) duplicam de
dois em dois meses. E cuja 1ª amortização (amortz) foi de 413.28.
1.1 Construa uma nova tabela igual a esta mas se a 1ª amortização e a 3ª forem ambas
de 2000 euros e as restantes 4 de 1500 euros cada uma. O empréstimo tem o
mesmo juro.
1.2 Construa uma tabela igual a esta mas com 4 amortizações iguais.
1.3 Construa uma tabela igual à dada mas em que as 6 amortizações sejam constantes
e o juro de 10%.
2. Depositámos 2000 euros durante 10 anos, a juro composto com capitalização anual,
sabendo que o juro aumentou todos os anos 1%; que dinheiro terá ao fim dos 10
anos? (Construa uma tabela indicando a evolução do depósito nos 10 anos).
3. Um cliente do jumbo comprou um guarda-sol de praia por 50 euros com o iva incluído
de 23%. Quanto teria pago só de iva no ano anterior com o iva a 21% pelo mesmo
guarda-sol?
5º Teste de avaliação
Macs 10º I
17 de Maio de 2011
Cada uma das 4 perguntas vale 5 pontos Prof. João Cruz Página 2
4. Um casal declarou 100 mil euros de rendimento colectável em 2005. Consulte a tabela
de irs e calcule quanto pagará este casal de IRS. Sabendo que só o marido está
empregado seria desvantajoso a este casal não estarem casados? Quantifique a sua
resposta.
Tabela de irs do exame nacional de 2005
1
PLANIFICAÇÃO DE MATEMÁTICA
APLICADA ÀS CIÊNCIAS SOCIAIS
11º ANO
Ano Lectivo – 2010/2011
João Ricardo Cruz
Teresa Pereira
2
CONTAGEM E DISTRIBUIÇÃO DOS TEMPOS LECTIVOS
Quadro I – Calendário escolar
1º PERÍODO 2º PERÍODO 3º PERÍODO
SET OUT NOV DEZ T JAN FEV MAR ABRIL T ABRIL MAIO JUNHO T Total
2ªF 3 4 4 2 13 5 4 3 1 13 --- 5 1 6 32
3ªF 3 3 5 2 13 4 4 4 2 14 1 5 1 7 34
4ªF 3 4 4 1 12 4 4 4 2 14 1 4 2 7 33
5ªF 3 4 3 3 13 4 4 5 2 15 1 4 2 7 35
6ªF 2 5 4 3 14 4 4 4 3 15 1 4 1 6 35
Quadro II – Distribuição dos blocos
Período
1º
2º
3º
Total
Número de blocos previstos
34 36 18 88
Testes e Revisões Apresentações
6 6 4 16
Conteúdos Programáticos/Temas
Transversais 26 29 13 68
Apresentação/Auto-avaliação
2 1 1 4
Início das aulas Fim das aulas (Secundário)
13 de Setembro 9 de Junho de 2009 (9º, 11º e 12º Ano) 10 de Junho de 2009 (restantes)
Interrupções Ensino Secundário
Férias do Natal 20 de Dezembro a 31 de Dezembro
Férias do Carnaval 7 a 9 de Março
Férias da Páscoa 11 a 21 de Abril
3
Número de blocos previstos
1º PERÍODO 34
2º PERÍODO 36
3º PERÍODO 18
Finalidades da disciplina no ensino secundário: • Promover o aprofundamento de uma cultura científica, técnica e humanística que constitua suporte cognitivo e metodológico tanto para o prosseguimento de estudos como para a inserção na vida activa; • Desenvolver a capacidade de usar a Matemática como instrumento de interpretação e intervenção no real; • Desenvolver as capacidades de formular e resolver problemas simples em situações do dia a dia e no domínio das Ciências Sociais; • Desenvolver a capacidade de interpretar textos escritos em linguagem matemática, a capacidade de comunicar e o espírito crítico. • Contribuir para uma atitude positiva face à Ciência e particularmente para com a Matemática. • Promover a realização pessoal mediante o desenvolvimento de atitudes de autonomia e solidariedade.
Objectivos e competências gerais
Valores / Atitudes Capacidades / Aptidões Conhecimentos
Desenvolver a confiança
em si próprio:
Exprimir e fundamentar
as suas opiniões.
Revelar espírito critico,
de rigor e de confiança
nos seus raciocínios.
Abordar situações novas
com interesse, espírito de
iniciativa e criatividade.
Procurar a informação de
que necessita.
Desenvolver interesses
culturais:
Manifestar vontade de
aprender e gosto pela
pesquisa.
Interessar-se por notícias
e publicações relativas a
Matemática e a
Desenvolver a capacidade
de utilizar a Matemática
na interpretação e
intervenção no real:
Analisar situações da
vida real identificando
modelos matemáticos
que permitam a sua
interpretação e
resolução.
Reconhecer o alcance e
limitações de um modelo
matemático.
Reconhecer que um
mesmo modelo
matemático pode
permitir analisar
situações diversas.
Seleccionar estratégias
de resolução de
problemas.
Formular hipóteses e
Conhecer diferentes
modelos matemáticos:
Explorar problemas
concretos modelados com
grafos.
Conhecer modelos
envolvendo funções
lineares, exponenciais,
logarítmicas e logísticas.
Ampliar conhecimentos de
Estatística e
Probabilidades:
Interpretar e comparar
distribuições estatísticas.
4
descobertas científicas e
tecnológicas.
Apreciar o contributo da
Matemática para a
compreensão e resolução
de problemas do Homem
através do tempo.
Desenvolver hábitos de
trabalho e persistência:
Elaborar e apresentar os
trabalhos de forma
organizada e cuidada.
Manifestar persistência
na procura de soluções
para uma situação nova.
Desenvolver o sentido da
responsabilidade:
Responsabilizar-se pelas
suas iniciativas e tarefas.
Avaliar situações e
tomar decisões.
Desenvolver o espírito de
tolerância e de
cooperação:
Colaborar em trabalhos
de grupo, partilhando
saberes e
responsabilidades.
Respeitar a opinião dos
outros e aceitar as
diferenças.
Intervir na dinamização
de actividades e na
resolução de problemas
da comunidade em que
se insere.
prever resultados.
Interpretar e criticar
resultados no contexto
do problema.
Compreender a
aleatoriedade presente
em situações do dia a dia
e em diferentes
fenómenos.
Desenvolver o raciocínio e
o pensamento cientifico:
Descobrir relações entre
conceitos matemáticos.
Formular generalizações
a partir de experiências.
Observar regularidades
em conjuntos de dados.
Formular hipóteses sobre
conjuntos de dados.
Validar conjecturas.
Compreender a relação
entre o avanço científico
e o progresso da
humanidade.
Desenvolver a capacidade
de comunicar e transmitir
a informação organizada:
Comunicar conceitos,
raciocínios e ideias,
oralmente e por escrito,
com clareza e rigor
Organizar a informação
extraída de conjuntos de
dados.
Interpretar textos de
Matemática.
Exprimir o mesmo
conceito em diversas
formas ou linguagens.
Apresentar os textos de
forma clara e organizada.
Resolver problemas
envolvendo cálculo de
probabilidade.
Resolver problemas de
contagem.
Conhecer aspectos da
História da Matemática:
Conhecer algumas
personalidades da História
da Matemática, com
particular incidência na
Matemática
contemporânea.
Conhecer alguns factos
marcantes da História da
Matemática e relacioná-
los com momentos
históricos de relevância
cultural ou social.
5
Desenvolver as
capacidades de utilização
das novas tecnologias:
calculadora gráfica,
computadores e internet.
Tratar, explorar e
transmitir dados
numéricos e gráficos.
Desenvolver projectos
que incluam pesquisa de
informação.
Criticamente dados,
informação e resultados
obtidos.
Planificação anual de Matemática Aplicada às Ciências Sociais
11º Ano de Escolaridade
Curso Geral de Ciências Sociais e Humanas
1º Período 2º Período 3º Período
Desenvolvimento Programático 25 28 14
Apresentação, teste diagnóstico e respectiva correcção
1,5 - -
Realização e correcção dos testes de avaliação
4 4 2
Realização e apresentação de trabalhos 2 2 1
Trabalho na plataforma Moodle
Auto e hetero-avaliação 1,5 2 1
Total de blocos previstos 34 36 18
6
Livro adoptado: Matemática Aplicada às Ciências Sociais, Ensino Secundário
Bloco 2 (11º ou 12º ano)
Autores: Elisabete Longo e Isabel Branco
Editora: Texto Editores
Planificação a longo prazo de MACS – 11º Ano
Temas organizadores Nº de blocos
previstos
1º Período
I-Modelos Matemáticos
1. Modelos de Grafos
1.1. Noções básicas de grafos
1.2. O problema do carteiro chinês (PCC)
1.3. Caminhos e circuitos Eulerianos
1.4. Eulerização de grafos
1.5. Circuitos Hamiltonianos
1.6. O problema do caixeiro viajante ( PCV)
1.7. Árvores abrangentes mínimas
2. Modelos Populacionais
Modelos de crescimento
Modelos de crescimento linear
Modelos de crescimento exponencial
Modelos de crescimento logístico
Modelos de crescimento logarítmico
25
1
1
3
2
3
1
3
2
3
2
2
2
7
2º Período
II-Modelos de Probabilidade
1.1. Introdução histórica
1.2. Fenómenos aleatórios
1.3. Regra de Laplace
1.4. Modelos de probabilidade em espaços finitos
1.5. Função massa de probabilidade
1.6. Probabilidade condicional
1.7. Acontecimentos independentes
1.8. Probabilidade total
1.9. Regra de Bayes
1.10. Valor médio e variância populacional
1.11. Modelos discretos
1.12. Modelo de Poisson
1.13. Modelos contínuos
1.14. Modelo normal
III-Introdução à inferência estatística
1.1 Noções básicas
1.2 Métodos de amostragem
3º Período
III-Introdução à inferência estatística(Cont.)
1.3 Parâmetro e estatística. Estimativa pontual
1.4 Distribuição de amostragem de uma estatística
1.5 Estimação de um valor médio
1.6 Teorema do Limite central
1.7 Intervalos de confiança para o valor médio de
uma variável
1.8 Estimativa pontual de proporção
1.9 Intervalos de confiança para uma proporção
1.10 Interpretação do conceito de intervalo de
confiança (qualidade e tamanho da amostra)
28
1
1
2
2
2
2
2
2
1
2
3
1
1
3
1
2
18
1
3
3
1
3
2
3
2
8
MACS
Ano Lectivo 2009/10
Ano 11º
Turmas
Planificação por Tema
Recursos didácticos
Calculadora
Manual adoptado
História da Matemática
Retroprojector/ Acetatos
Quadro e marcadores
Projector/computador (wireless)
Fichas de exercícios
Plataforma Moodle
Planificação
Temas Conteúdos da aprendizagem N.º
Blocos
1. Modelos de
Grafos
-Grafo
-Grafo conexo
-Trilhos e circuitos Eulerianos
-O Problema do Carteiro Chinês
-Eulerizar um grafo
-As duas regras de Euler: para circuitos e para trilhos
-O Problema do caixeiro viajante
-Circuitos Hamiltonianos
-Algoritmo da força bruta
-Algoritmo do vizinho mais próximo
-Algoritmo do peso das arestas
-Árvores abrangentes mínimas
-algoritmo Kruskal
- instalação de uma central num grafo pesado
14
2. Modelos
Populacionais
-Modelo de crescimento linear
-Modelo de crescimento exponencial
-Modelo de crescimento logístico
-Modelo de crescimento logarítimo
-Resolução de problemas de modelação matemática
11
3. Modelos de
Probabilidade
-Fenómenos aleatórios.
-Argumentos de simetria e Regra de Laplace.
-Modelos de probabilidade em espaços finitos.
-Variáveis quantitativas. Função massa de probabilidade.
-Probabilidade condicional. Arvores de probabilidade.
25
9
-Acontecimentos independentes.
-Probabilidade Total. Regra de Bayes.
-Valor médio e variância populacional.
-Espaço de resultados infinitos. Modelos discretos e modelos contínuos.
-Exemplos de modelos contínuos.
-Modelo Normal.
4. Introdução à
Inferência
Estatística
-Parâmetro e estatística.
-Distribuição de amostragem de uma estatística.
-Noção de estimativa pontual. Estimação de um
valor médio.
-Importância da amostragem aleatória, no contexto da Inferência Estatística.
-Utilização do Teorema do Limite Central na obtenção da distribuição de
amostragem da média.
-Construção de estimativas intervalares ou intervalos de confiança para o valor
médio de uma variável.
-Estimativa pontual da proporção com que a população verifica uma propriedade.
-Construção de intervalos de confiança para a proporção.
-Interpretação do conceito de intervalo de confiança.
21
Cada pergunta vale 2 valores
Prof. João Cruz
ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO DE MADEIRA TORRES Teste Diagnóstico 11º Macs - Setembro de 2010
Disciplina de MACS
CRITÉRIOS DE CORRECÇÃO DA PROVA
1. Três classes de ginástica de um clube decidem constituir uma associação
que defenda os seus interesses. A assembleia será constituída por 21
elementos, de acordo com o número de praticantes de cada modalidade,
utilizando o método de Hamilton:
Modalidade Número de praticantes Mandatos
Ginástica Desportiva 366 6
Capoeira 689 11
Aeróbica 296 4
1.1. Quantas pessoas votaram nesta eleição?
366+689+296……………1 ponto
1351…………………………….1 ponto
1.2. Qual a percentagem de elementos da associação que praticam
capoeira? E qual a percentagem de mandatos dos praticantes de
capoeira ?
1351
689……………………………..0,5 pontos
≈ 51% ..........................0,5 pontos
21
11………………………………..0,5 pontos
≈ 52,4%........................0,5 pontos
Cada pergunta vale 2 valores
Prof. João Cruz
1.3. No ano seguinte, o número de praticantes foi precisamente o mesmo,
tendo os representantes de aeróbica insistido em nova distribuição:
Modalidade Número de
praticantes
Mandatos (proporcionalidade directa)
Ginástica Desportiva 366
Capoeira 689
Aeróbica 296
Tendo os dados da segunda tabela, procede à nova distribuição de mandatos.
Os praticantes de capoeira ficaram beneficiados ou prejudicados ?
1351 votos -> 21 mandatos …………………………………..0,5 pontos
366 votos -> 1351
21366≈ 5.689=6 mandatos.... 0,5 pontos
689 votos -> 1351
21689≈ 10.709=11 mandatos....0,5 pontos
296 votos -> 1351
21296≈ 4.601=4 mandatos.... 0,5 pontos
2. Na preparação para a prova do triplo salto um atleta fez as seguintes
marcas: 3 vezes 17,30; 5 vezes 16,90; 10 vezes 17,10. Qual a média de salto
deste atleta
3x17.30+5x16.90+10x17.10…………………………………1 ponto
1053
10x17.10+5x16.90+3x17.30
…………………………….0,5 pontos
≈ 17.08 metros………………………………………………………………....0,5 pontos
Cada pergunta vale 2 valores
Prof. João Cruz
3. Uma máquina fotográfica custa 52 euros com iva a 20%, qual é o preço da
máquina sem iva ?
52 euros -> 120%………………………………….1 ponto
43,33 euros -> 100%.............................1 ponto
4. Uma pessoa comprou uma peça de roupa que custou 30 euros. No ano
seguinte leu no jornal que a inflação nesse ano foi de 3,1% . Quanto teria
custado a peça de roupa no final do ano já com a inflação ?
30 euros -> 100%...................................1 ponto
30,93 euros -> 103,1%...........................1 ponto
5.
O gráfico representa o nº de inscritos no ensino superior em Portugal desde 1995
até 2007
5.1 Em que ano houve mais alunos inscritos no ensino superior?
Extremo inferior 2002………………………………………..1 ponto
Extremo superior 2003……………………………………….1 ponto
Cada pergunta vale 2 valores
Prof. João Cruz
5.2 A linha tem um decrescimento de nº de alunos inscritos, em que intervalo de
tempo se registou esse decrescimento? Indique uma razão para esse
decrescimento.
Extremo inferior 2002-2003………………………………….1 ponto
Extremo superior 2005-2006…………………………………1 ponto
5.3 No ano em que estamos 2008 quantos alunos (aproximadamente) se
inscreveram no ensino superior ?
>350000 ………………………………..1 ponto
<400000…………………………………1 ponto
5.4 Indique a taxa de crescimento entre 1995 e 2008
Valores de 1995 e 2008………………………………..0,5 pontos
Taxa=1995 devalor
2008 devalor …………………………………………1,5 pontos
Total= 20 pontos
Cada alínea vale 5 pontos Prof. João Cruz
1º Trabalho Macs11
(Apresente todas as justificações)
1. O construtor de um condomínio fechado deseja instalar um sistema
subterrâneo de sucção de resíduos sólidos provenientes de cada moradia. O
esquema de urbanização está representado pelo grafo seguinte:
Sendo cada moradia representada por um vértice e estando indicadas as
distâncias, em metros, entre cada uma.
1.1 Qual o menor número de metros de tubagem subterrânea a utilizar de forma a
minimizar (construir uma árvore abrangente mínima) o custo ? Justifique.
1.2 Onde deverá ficar situada uma central de recolha de lixo, de modo a
minimizar as distâncias percorridas ? Justifique.
Cada alínea vale 5 pontos Prof. João Cruz
2. Um viajante tem que ir a todas as cidades uma única vez, começando no
Porto, indo primeiro a Coimbra e terminando o circuito no Porto.
2.1 Qual o melhor circuito? Justifique.
2.2 E se partir do Porto atravessando uma única vez cada estrada (considere
auto-estradas para efeito de eulerização do grafo), regressando ao Porto,
indo primeiro a Coimbra, qual o melhor circuito? Justifique.
(Entregar o trabalho até 1 de Novembro)
As perguntas valem 2 pontos cada uma.
Prof. João Cruz
1
Apresente todas as justificações
Considere a tabela referente a distâncias em km entre cruzamentos de ruas
num bairro de Lisboa.
A B C D
A 8
B 15 10 9
C 11
D 14
1. Construa um modelo de grafo correspondente ao bairro.
2. Construa um circuito atravessando todas as ruas uma única vez,
começando no cruzamento A e eulerizando AD e CB..
3. Que distâncias terá de repetir neste circuito? Justifique.
4. Que comprimento tem o circuito? Justifique.
1º Teste de avaliação
11º H – Macs1
28 de Outubro de 2010
As perguntas valem 2 pontos cada uma.
Prof. João Cruz
2
5. Construa o melhor circuito que atravessa todos os cruzamentos uma única
vez, começando no cruzamento B e indo primeiro ao cruzamento C. (Com o
algoritmo da força-bruta).
6. Encontre o circuito de Hamilton com o algoritmo da ordenação dos pesos
das arestas.
7. Encontre o melhor circuito de Hamilton aplicando o algoritmo do vizinho
mais próximo a todos os cruzamentos.
8. Construa a árvore abrangente mínima aplicando o algoritmo Kruskal.
Indique o comprimento da árvore. Justifique.
9. Construa o melhor circuito de Hamilton para este modelo de grafo.
10. Qual o melhor cruzamento para instalar uma central de bicicletas?
Justifique.
Entregar até ao dia 2 de Dezembro Cada alínea vale 1.5 pontos, excepto as alíneas 2.1 e 3.1 que valem 1 ponto Prof. João Cruz
Trabalho 2
Modelos populacionais
Apresente todas as justificações
1. Uma loja de fotografias pratica os seguintes preços:
€ 15 Pela revelação
€ 3 Por cada fotografia
€ 1.50 Por cada fotografia depois da 10ª
€ 1 Por cada fotografia depois da 25ª
€ 0.60 Por cada fotografia depois da 100ª
A Diana mandou revelar o rolo de 40 fotografias que tirou na viagem de
finalistas.
1.1 Quanto pagou a Joana?
1.2 Determine uma expressão que calcule o preço das 10 primeiras fotografias.
1.3 Se fossem apenas 7 fotografias quanto pagaria a Diana? (Aplique a fórmula de 1.2).
1.4 Construa uma tabela que justifique o resultado de 1.3 (na tabela deve constar o preço de
cada uma das 7 fotos).
1.5 Justifique que é um crescimento linear o preço das 10 primeiras fotos.
1.6 Se a Diana tivesse 100 fotos quanto pagaria? Construa um gráfico de pontos que modele o
pagamento das fotos.
Entregar até ao dia 2 de Dezembro Cada alínea vale 1.5 pontos, excepto as alíneas 2.1 e 3.1 que valem 1 ponto Prof. João Cruz
2. Um recipiente tem uma determinada quantidade de açúcar. Para o
dissolver adiciona-se água. A massa em gramas de açúcar não
dissolvido, t minutos após o início da dissolução é dada pelo modelo:
tempoo é t , e209M(t) 0.032t
2.1 Determine a massa inicial de açúcar contida no recipiente.
2.2 Determine a massa de açúcar dissolvida ao longo da primeira meia hora.
2.3 Qual a quantidade de açúcar que fica no fundo do recipiente sem nunca se dissolver?
2.4 Se a pessoa só puder tomar 5 gramas de açúcar, ao fim de quanto tempo estará a massa
com 5 gramas de açúcar dissolvido? em horas, minutos e segundos.
3. O crescimento de resíduos em gramas num pequeno aquário em casa
tem o seguinte modelo, com t em horas.
tempoo é t , 2.5e1
15P(t)
0.32t-
3.1 Que quantidade residual havia no início da contagem das horas?
3.2 O valor residual aumenta até atingir um valor estável. Qual o valor em que estabiliza?
3.3 Ao fim de quantas horas o valor residual é de 10 gramas.?
3.4 Faça uma tabela de horas para o valor residual desde o início até estabilizar.
Cada alínea vale 2 pontos
Prof. João Cruz
1
Apresente todas as justificações
Nos resultados apresente a parte inteira contida no número
1. Um grupo de biólogos fez o estudo do crescimento de uma população de
gaivotas inglesas numa ilha deserta da Madeira. Chegaram ao seguinte modelo
de crescimento:
N(t)= 100+7(t-1)
Em que N(t) é o número de gaivotas em unidades e t o tempo em anos.
Configuração windows: xmin=0 xmax=30 ymin=0 ymax=300.
1.1 Que quantidade de gaivotas os biólogos colocaram na ilha no início do
estudo?
1.2 Ao fim de quanto tempo o nº de gaivotas triplica? (Em anos, meses e dias).
1.3 Sabe-se que ao fim de uma década de observações houve uma epidemia
que dizimou metade das gaivotas existentes no final do 11º ano de estudo.
Quantas gaivotas existiam no final do 10º ano de estudo? E no final do 11º ano
de estudo?
1.4 Explique porque é que este modelo não foi bom para representar o
crescimento desta população de gaivotas.
2º Teste de avaliação
Macs11º H – Macs1
02 de Dezembro de 2010
Cada alínea vale 2 pontos
Prof. João Cruz
2
2. O decrescimento de uma população de índios pode ser representado pelo
modelo:
t(0.95)152P(t)
Em que P(t) é o nº de índios em unidades e t o tempo em anos.
Configuração windows: xmin=0 xmax=50 ymin=0 ymax=20.
2.1 Qual o nº de índios existente no início? (Justifique com cálculos)
2.2 Qual o nº de índios existente numa década? (Faça uma tabela ano a ano)
2.3 Ao fim de quanto tempo o nº de índios é 4? Desenhe o gráfico e assinale
esse tempo na curva de decrescimento.
3. O crescimento de uma população de passarinhos numa árvore pode ser
representado pelo modelo:
0.2te1
10P(t)
Em que P(t) é o nº de passarinhos em unidades e t o tempo em meses.
Configuração windows: xmin=0 xmax=50 ymin=0 ymax=20.
3.1 Qual o nº de passarinhos existente no início? (Apresente cálculos).
3.2 Qual o nº de passarinhos para que tende a população? (Apresente uma
tabela que justifique a sua resposta).
3.3 Ao fim de quanto tempo a população de passarinhos é de 8 passarinhos ?
Prof. João Cruz Cada questão vale 5 pontos
Apresente todas as justificações
1. Num saco existem 5 marcadores verdes e 4 pretos, retiram-se três
marcadores ao acaso (sem reposição). Seja X a variável aleatória que faz
corresponder a cada extracção o número de marcadores pretos. Defina a
função massa de probabilidade para esta variável. Construa uma árvore de
probabilidades.
2. Numa turma com 30 alunos, 50% praticam futebol, 40% praticam andebol e
30% não praticam qualquer modalidade. Quantos alunos:
2.1 – Praticam apenas andebol?
2.2 – Praticam futebol, sabendo-se que também praticam andebol?
3. Numa fábrica 75% dos empregados são do sexo masculino. A empresa vai abrir
outra fábrica, e tem que deslocar funcionários. 30% das mulheres e 40% dos
homens estão dispostos a deslocar-se para as novas instalações. Qual a
percentagem de mulheres que não está disposta a mudar de instalações?
Construa uma tabela de contingência.
4. Uma loja de roupa para homem, decidiu por em saldos todas as suas roupas
(calças, casacos, camisas e gravatas). A percentagem dos produtos
expostos é: 20% calças, 25% casacos, 30% camisas, sendo as gravatas o
restante. Todos os produtos têm defeito, sendo essa percentagem de 10%,
7%, 20% e 4%, respectivamente para as calças, casacos, camisas e
gravatas. Apresente os resultados com arredondamento às milésimas.
Construa uma tabela de contingência.
4.1 – Determine a probabilidade de vender um artigo com defeito.
4.2 – Sabendo que um artigo foi vendido com defeito, qual a probabilidade de ser
uma camisa.
4.3 – Qual a probabilidade de vender uma gravata, sabendo que não tinha defeito.
3º Teste de avaliação
Macs11º H – Macs1
03 de Fevereiro de 2011
VALOR DAS PERGUNTAS
1.1 1.2 1.3 2.1 2.2 2.2.1 2.2.2 3.1 3.1.1 3.1.2 3.2 4.1 4.2 4.3
1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1 1 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5
ENTREGAR ATÉ DIA 31 DE MARÇO
PROF. JOÃO CRUZ
4º TRABALHO DE MACS11 - 11º H
APRESENTE TODAS AS JUSTIFICAÇÕES
1. O NÚMERO DE AUTOMÓVEIS QUE CHEGAM A UMA BOMBA DE GASOLINA NUM
PERÍODO DE 10 MINUTOS PODE SER REPRESENTADO POR UM MODELO DE POISSON COM
O PARÂMETRO λ=3.
CALCULE A PROBABILIDADE DE:
1.1 – EM 10 MINUTOS CHEGAREM 6 AUTOMÓVEIS.
1.2 – EM 15 MINUTOS CHEGAREM PELO MENOS 5 AUTOMÓVEIS.
1.3 – EM 20 MINUTOS NÃO CHEGAR NENHUM AUTOMÓVEL.
2. O NÚMERO DE DICIONÁRIOS VENDIDOS NUMA LIVRARIA, NUM PERÍODO DE 4 DIAS, É
UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA COM DISTRIBUIÇÃO DE POISSON DE PARÂMETRO λ = 15.
2.1 – DETERMINE O NÚMERO MÉDIO DE DICIONÁRIOS VENDIDOS DURANTE OITO DIAS.
2.2 – CALCULE A PROBABILIDADE DE:
2.2.1 – NUM PERÍODO DE 3 DIAS SEREM VENDIDOS NO MÁXIMO 4 DICIONÁRIOS.
2.2.2 – NUM PERÍODO DE 9 DIAS SEREM VENDIDOS ENTRE 15 E 18 DICIONÁRIOS,
INCLUINDO ESTES VALORES.
VALOR DAS PERGUNTAS
1.1 1.2 1.3 2.1 2.2 2.2.1 2.2.2 3.1 3.1.1 3.1.2 3.2 4.1 4.2 4.3
1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1 1 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5
ENTREGAR ATÉ DIA 31 DE MARÇO
PROF. JOÃO CRUZ
3. AS ALTURAS DOS INDIVÍDUOS DE UMA POPULAÇÃO DISTRIBUEM-SE NORMALMENTE
COM UMA MÉDIA DE 160 CM E UM DESVIO-PADRÃO DE 10 CM.
3.1 – CALCULE A PROBABILIDADE DE QUE:
3.1.1 – UM INDIVÍDUO DA POPULAÇÃO TENHA ALTURA SUPERIOR A 170 CM.
3.1.2 – UM INDIVÍDUO TENHA UMA ESTATURA MENOR QUE 150 CM.
3.2 – DETERMINE A PERCENTAGEM DE INDIVÍDUOS DA POPULAÇÃO QUE TÊM UMA
ALTURA ENTRE 165 CM E 180 CM.
4. NUMA DISTRIBUIÇÃO N (0,1), CALCULE:
4.1 – P(X > 0,5).
4.2 – P(X ≤ 0,5).
4.3 – P(-0,5 ≤ X ≤ 0 ).
VALOR DAS PERGUNTAS
1.1 1.2 1.3 2.1 2.2 2.2.1 2.2.2 3.1 3.1.1 3.1.2 3.2 4.1 4.2 4.3
1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1 1 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5
PROF. JOÃO CRUZ
APRESENTE TODAS AS JUSTIFICAÇÕES
1. O NÚMERO DE AUTOMÓVEIS QUE CHEGAM A UMA BOMBA DE GASOLINA NUM
PERÍODO DE 15 MINUTOS PODE SER REPRESENTADO POR UM MODELO DE POISSON COM
O PARÂMETRO λ=5.
CALCULE A PROBABILIDADE DE:
1.1 – EM 10 MINUTOS CHEGAREM 3 AUTOMÓVEIS.
1.2 – EM 15 MINUTOS CHEGAREM PELO MENOS 5 AUTOMÓVEIS.
1.3 – EM 20 MINUTOS NÃO CHEGAR NENHUM AUTOMÓVEL.
2. O NÚMERO DE DICIONÁRIOS VENDIDOS NUMA LIVRARIA, NUM PERÍODO DE 6 DIAS, É
UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA COM DISTRIBUIÇÃO DE POISSON DE PARÂMETRO λ = 18.
2.1 – DETERMINE O NÚMERO MÉDIO DE DICIONÁRIOS VENDIDOS DURANTE TRÊS DIAS.
2.2 – CALCULE A PROBABILIDADE DE:
2.2.1 – NUM PERÍODO DE 3 DIAS SEREM VENDIDOS NO MÁXIMO 6 DICIONÁRIOS.
4º TESTE DE AVALIAÇÃO
MACS11º H – MACS1
MARÇO DE 2011
VALOR DAS PERGUNTAS
1.1 1.2 1.3 2.1 2.2 2.2.1 2.2.2 3.1 3.1.1 3.1.2 3.2 4.1 4.2 4.3
1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1 1 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5
PROF. JOÃO CRUZ
2.2.2 – NUM PERÍODO DE 9 DIAS SEREM VENDIDOS ENTRE 12 E 18 DICIONÁRIOS,
INCLUINDO ESTES VALORES.
3. AS ALTURAS DOS INDIVÍDUOS DE UMA POPULAÇÃO DISTRIBUEM-SE NORMALMENTE
COM UMA MÉDIA DE 150 CM E UM DESVIO-PADRÃO DE 25 CM.
3.1 – CALCULE A PROBABILIDADE DE QUE:
3.1.1 – UM INDIVÍDUO DA POPULAÇÃO TENHA ALTURA SUPERIOR A 170 CM.
3.1.2 – UM INDIVÍDUO TENHA UMA ESTATURA MENOR QUE 150 CM.
3.2 – DETERMINE A PERCENTAGEM DE INDIVÍDUOS DA POPULAÇÃO QUE TÊM UMA
ALTURA ENTRE 155 CM E 175 CM.
4. NUMA DISTRIBUIÇÃO N (0,1), CALCULE:
4.1 – P(X > -0,5).
4.2 – P(X ≤ 3).
4.3 – P(-0,5 ≤ X ≤ 2 ).
Cada uma das 2 perguntas vale 10 pontos
Entregar até dia 20 de Maio
Prof. João Cruz
5º Trabalho Macs 11
Apresente todas as justificações
1. Considere a população 11, 12, 13, 14. 1.1 Calcule o desvio padrão σ.
1.2 Identifique todas as amostras de dimensão 3 desta população, com reposição.
(Nota: são 64 amostras)
1.3 Defina uma função de distribuição das médias para o estimador da média de
dimensão 3 desta população.
1.4 Calcule o desvio padrão da função anterior.
1.5 Verifique que o erro padrão é aproximadamente igual ao desvio padrão da
função .
2. Considere uma amostra de dimensão 50 em que: ū=10 e σ=2. Justifique todos os resultados a que chegou. 2.1 Calcule o IC intervalo de confiança para parâmetro µ média da população desta
amostra com 95% de confiança.
2.2 Qual o erro padrão deste IC. 2.3 Qual a margem de erro deste IC 2.4 Se aumentarem a dimensão para 100 para as mesmas: média, desvio padrão e
confiança; a margem de erro aumenta ou diminui? Qual a razão entre as duas margens de erro?
2.5 Considere uma amostra de dimensão 500 de uma sondagem para as eleições
legislativas em que 100 pessoas declararam a intenção de votar no partido A. Construa um IC com 99% de confiança para a proporção p dos votantes no partido A.
2.5.1 Qual o erro padrão?
2.5.2 Qual a margem de erro?
2.5.3 Para o mesmo estimador da proporção do partido A o que acontece à
amplitude do IC se diminuírem a confiança do intervalo para 95%?
Cada uma das 2 perguntas vale 10 pontos
Prof. João Cruz
Apresente todas as justificações
1. Considere a população 11, 12, 14, 15.
1.1 Calcule o desvio padrão σ.
1.2 Identifique todas as amostras de dimensão 2 desta população, com
reposição. (Nota: são 16 amostras)
1.3 Defina uma função de distribuição das médias para o estimador da
média de dimensão 2 desta população.
1.4 Calcule o desvio padrão da função anterior.
1.5 Verifique que o erro padrão é aproximadamente igual ao desvio
padrão da função .
2. Considere uma amostra de dimensão 100 em que: ū=15 e σ=4.
Justifique todos os resultados a que chegou.
2.1 Calcule o IC intervalo de confiança para parâmetro µ média da
população desta amostra com 99% de confiança.
2.2 Qual o erro padrão deste IC.
5º Teste de avaliação
Macs 11º H-Macs1
31 de Maio de 2011
Cada uma das 2 perguntas vale 10 pontos
Prof. João Cruz
2.3 Qual a margem de erro deste IC
2.4 Se aumentarem a dimensão para 200 para as mesmas: média,
desvio padrão e confiança; a margem de erro aumenta ou diminui?
2.5 Considere uma amostra de dimensão 300 de uma sondagem para as
eleições legislativas em que 200 pessoas declararam a intenção de
votar no partido A. Construa um IC com 95% de confiança para a
proporção p dos votantes no partido A.
2.5.1 Qual o erro padrão?
2.5.2 Qual a margem de erro?
2.5.3 Para o mesmo estimador da proporção do partido A o que
acontece à amplitude do IC se diminuírem a confiança do
intervalo para 90%?