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O Ensino porAtividades Experimentais

ISSN 1980-3141 e-ISSN DOI 10.37084 2675-1909ano 15n. 35Set. - Dez.| | | | |

Revista de Matemática, Ensino e Cultura

REMATEC Revista de Matemática, Ensino e Cultura

O Ensino por Atividades Experimentais

Editores deste Número

Pedro Franco de Sá

Thiago Beirigo Lopes

Conselho Editorial

Amílcar Manuel do Rosário Oliveira, Universidade Aberta de Portugal, Portugal

Amílcar Pinto Martins, Universidade Aberta de Portugal, Portugal

Arthur Powell, Rutgers University de Newark, USA

Carlos Aldemir Farias da Silva, Universidade Federal do Pará, Brasil

Cláudia Lisete Oliveira Groenwald, Universidade Luterana do Brasil, Brasil

Cláudia Regina Flores, Universidade Federal de Santa Catarina, Brasil

Edivania Santos Alves, Universidade Federal do Pará, Brasil

Claudianny Amorim Noronha, Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Brasil

Elisabete Zardo Búrigo, Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Brasil

Emmánuel Lizcano Fernandez, Universidad Nacional de Educación a Distancia - Madrid, España

Fredy Enrique González, Universidad Pedagógica Experimental Libertador - Maracay, Venezuela

Iran Abreu Mendes, Universidade Federal do Pará, Brasil

Isabel Cristina Rodrigues de Lucena, Universidade Federal do Pará, Brasil

Jesus Victoria Flores Salazar, Pontificia Universidad Católica de Lima, Perú

John A. Fossa, Universidade Estadual da Paraíba, Brasil

José Manuel Leonardo Matos, Universidade Nova de Lisboa, Portugal

Kaled Sulaiman Khidir, Universidade Federal do Tocantins, Brasil

Luis Carlos Arboleda, Universidad del Valle - Cali, Colombia

Luis Radford, Université Laurentienne, Canadá

Marcelo de Carvalho Borba, Universidade Estadual Paulista - Rio Claro, Brasil

Márcia Maria Alves de Assis, Universidade do Estado do Rio Grande do Norte, Brasil

Maria Auxiliadora Lisboa Moreno Pires, Universidade Estadual de Feira de Santana, Brasil

Maria Célia Leme da Silva, Universidade Federal de São Paulo, Brasil

Maria da Conceição Xavier de Almeida, Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Brasil

Maria Cristina Araujo de Oliveira, Universidade Federal de Juiz de Fora, Brasil

Miguel Chaquiam, Universidade do Estado do Pará, Brasil

Pedro Franco de Sá, Universidade do Estado do Pará, Brasil

Rafael José Alves do Rêgo Barros, Instituto Federal da Paraiba, Brasil

Teresa Paula Costa Azinheira Oliveira, Universidade Aberta de Portugal, Portugal

Teresa Vergani, Universidade Aberta de Portugal, Portugal

Kaled Sulaiman Khidir, Universidade Federal do Tocantins, Brasil

Ubiratan D’Ambrosio, Universidade Anhanguera de São Paulo, Brasil

Wagner Rodrigues Valente, Universidade Federal de São Paulo, Brasil

Editores

Iran Abreu Mendes

Carlos Aldemir Farias da Silva

Projeto gráficocapa

Luis Andrés Castillo Bracho

Capa

Akademia di Atenas dor di Raphael (1509–1510)

fresco na e Palacio Apostoliko, Suidad Vaticano (Dominio publico)

Fonte: http://bit.ly/2Y0Japg

Instituição Editora

Grupo de Pesquisa sobre Práticas Socioculturais e Educação Matemática

(GPSEM/UFPA) Brasil

REMATEC: Revista de Matemática, Ensino e Cultura

Grupo de Pesquisas sobre Praticas Socioculturais e Educação Matemática - GPSEM

Ano 15 | n. 35 | set. - dez. 2020

ISSN: 1980-3141

e-ISSN: 2675-1909

Prefixo DOI: 10.37084

Endereço para envio de artigos, resenhas, sugestões e críticas:

http://www.rematec.net.br/index.php/rematec

Contato:

[email protected]

http://bit.ly/2Y0Japg

http://www.rematec.net.br/index.php/rematec

mailto:[email protected]

Editorial

Pedro Franco de Sá Thiago Beirigo Lopes

Artigos

Algumas considerações teóricas sobre o ensino de matemática por atividades..............................

John A. Fossa

10-26

Habilidades na resolução de problemas fundamentada na teoria da atividade em estudantes da

licenciatura em matemática..............................................................................................................

Naralina Viana Soares Silva Oliveira

Héctor José García Mendoza

27-45

Ensino dos números racionais a partir de materiais manipuláveis e objetos de aprendizagens.......

José Ronaldo Melo

Elisabeth Machado Bastos

46-62

Atividade de modelagem matemática com o uso do Geogebra para o ensino de curva senoidal.......

Roberta Modesto Braga

63-78

O ensino de matemática por atividades: uma interface entre recursos tecnológicos e o pensamento

computacional.................................................................................................................................

Gilson Pedroso Santos

José Ricardo Souza Mafra

79-99

Um estudo acerca da potencialidade significativa de um material de ensino sobre circunferência

e círculo............................................................................................................................................

Maria Aparecida Silva Rufino

José Roberto Silva

100-121

Atividades investigativas no ensino de função afim: desafios e possibilidades...............................

Ivan Bezerra Sousa

José Joelson Pimentel Almeida

122-142

As atividades experimentais no ensino de matemática.....................................................................

Pedro Franco Sá

143-162

Resolução de problemas e expressões numéricas: o quadro dos quatro quatros e o nunca dois e números binários..............................................................................................................................

Narciso das Neves Soares

Nelson Antonio Pirola

163-177

Narrativas de professores ao desenvolver atividades sobre fração: contribuições de um curso de

formação continuada........................................................................................................................

Idemar Vizolli

Ritianne de Fátima Silva de Oliveira

178-193

O corpo do indivíduo como meio semiótico e centro do sistema referência no processo de

objetivação da orientação espacial....................................................................................................

Jussara Patrícia Andrade Alves Paiva

Claudianny Amorim Noronha

194-208

Critérios de divisibilidade à luz do ensino por atividades................................................................. Sandro Benício Goulart Castro

São João Pirabas, Ana Kelly Martins Silva

209-227

Um Estudo sobre o Ensino de Poliedros por Atividades.................................................................

João Nazareno Pantoja Corrêa

Ducival Carvalho Pereira

228-244

Índice

O ser humano tem em sua natureza a curiosidade, que o faz querer entender o

ambiente em que está inserido, em que é capaz de realizar reflexões sobre e intervenções

nesse ambiente. Desse modo, a investigação torna-se uma característica inerente a esse ser.

Enquanto esse espirito investigador, que pode ser claramente observado nas crianças na fase

dos “porquês”, permanecer na fase estudantil, conduzirá o estudante a um amadurecimento

matemático e científico que o tornará cada vez mais autônomo e consciente da sua capacidade

de amparar-se na curiosidade e na possibilidade de buscar o conhecimento por meio da

investigação.

De acordo com Dockweiler (1994, p. 7-8)1 “as atividades de desenvolvimento são

atividades que permitem às crianças (ou qualquer estudante) experimentarem um conceito

matemático e familiarizar-se com os termos adequados para descrever esse conceito”.

Posteriormente ao estudante ter uma experiência adequada com as atividades de

desenvolvimento, devem ser realizadas as atividades de conexão. Assim, “essas atividades

são elaboradas para conectar os entendimentos conceituais matemáticos iniciais

representados pela modelagem empírica e a representação oral para a linguagem

matemática”2. A terceira maneira é caracterizada por não apresentar modelos empíricos, “são

incorporados meios orais e simbólicos para a representação durante as atividades de

abstração”3.

Sá (2019) indica que a preocupação com o modo de desenvolver o processo de ensino,

de aprendizagem e de avaliação no ambiente escolar passou por vários momentos de

transição. E o processo de ensino, de aprendizagem e de avaliação da matemática não foi

diferente.

O Ensino por Atividades Experimentais tem sido foco de estudos por vários

pesquisadores afiliados em várias instituições de pesquisa e ensino. Nesse número da

REMATEC, há diversidade em instituições de filiação dos pesquisadores e também

diversidade regional onde estão localizadas essas instituições. Foram 17 instituições de

ensino e pesquisa localizadas em 7 estados do território nacional.

No primeiro texto apresentado, John A. Fossa traz um artigo intitulado “Algumas

considerações teóricas sobre o ensino de matemática por atividades” que investiga 7 das

principais tendências da Educação Matemática a partir do conceito unificador de ensino por

atividades. O pesquisador analisa o referido sob a óptica teórico do construtivismo radical,

complementado e corrigido pelo construtivismo social. Por fim, o pesquisador destaca com

1 Texto original: Developmental activities are those activities which permit children (or any learner) to

experience a mathematical concept and to become familiar with the proper terms to describe that concept. 2 Texto original: These activities are designed to connect the early mathematical conceptual understandings as

represented by physical modeling and the oral representation to their mathematical symbols. 3 Texto original: Oral and symbolic means of representation are incorporated into Abstract Activities.

Editorial

7

conclusão que existem há duas grandes vertentes de abordagens para o ensino de matemática,

uma em que o estudante é um agente ativo na construção do conhecimento e outra em que o

estudante é um receptor passivo na suposta transferência de conhecimento do professor.

Naralina Viana Soares da Silva Oliveira e Héctor José García Mendoza trazem os

resultados do estudo denominado “Habilidades na resolução de problemas fundamentada na

teoria da atividade em estudantes da licenciatura em matemática” cujo objetivo foi

caracterizar a base orientadora das ações relacionadas às habilidades em resolução de

problemas, fundamenta na Teoria da Atividade, na disciplina de Cálculo I em estudantes da

licenciatura em matemática da UFPE. Os pesquisadores utilizaram uma Prova Pedagógica

para realizar a obtenção de dados para a pesquisa. Como resultado, foi constatado que os

acadêmicos apresentaram uma orientação da ação de resolver problemas docentes em função

de forma fragmentada e incompleta.

José Ronaldo Melo e Elisabeth Machado Bastos apresentam o artigo “Ensino dos

números racionais a partir de materiais manipuláveis e objetos de aprendizagens” cujo

objetivo foi investigar em qual perspectiva se desenvolve o ensino dos números fracionários.

Os pesquisadores utilizaram dois modelos de questionários que resultaram num mapa

conceitual e sete atividades que se deram com o uso de materiais manipuláveis e digitais.

Indicam que os resultados revelaram apropriação do algoritmo comum, apresentados nos

livros didáticos, assim como a não compreensão do conceito de equivalência, o que

caracteriza a aprendizagem como mecânica.

Roberta Modesto Braga traz a pesquisa com título “Atividade de modelagem

matemática para o ensino de curva senoidal” que o objetivou discutir o desenvolvimento de

uma atividade de Modelagem Matemática desenvolvida com GeoGebra para estudantes de

Licenciatura em Matemática. Foram realizados observação e registros dos sujeitos

envolvidos em um minicurso de Modelagem Matemática. Conforme os pesquisadores, a

pesquisa mostrou que uma atividade de Modelagem Matemática bem pensada pode provocar

impressões positivas nos envolvidos, ao mesmo tempo em que permite refletir sobre a

matemática desenvolvida no ambiente de sala de aula.

Gilson Pedroso dos Santos e José Ricardo e Souza Mafra mostram o artigo intitulado

“O ensino de matemática por atividades: uma interface entre recursos tecnológicos e o

pensamento computacional” que faz referência a uma pesquisa em que o objetivo foi

investigar as relações entre o Pensamento Computacional (PC), as Tecnologias de

Informação e Comunicação (TIC) e o Ensino de Matemática por Atividades, na busca de

saber como professores podem ordenar ações e cenários para o desenvolvimento de suas

práticas pedagógicas. A investigação foi desenvolvida a partir de uma proposta metodológica

desenvolvida em cinco etapas e os resultados obtidos indicam que atividades com PC e TIC

podem ser aplicadas no ensino de matemática e também foi comprovado que as TIC

permitem um nível de auxílio significativo no ensino da matemática e que o PC pode ser

estimulado ao longo das atividades.

Maria Aparecida da Silva Rufino e José Roberto da Silva, no artigo intitulado “Um

estudo acerca da potencialidade significativa de um material de ensino sobre circunferência

8

e círculo”, apresentam sua pesquisa que teve como objetivo caracterizar a potencialidade

significativa de um material aplicado em uma turma de ensino fundamental. Nesse material

de ensino, há a reconstrução de algumas ideias da base histórica de objetos e seus cálculos,

estimulando os processos cognitivos ausubelianos da diferenciação progressiva e da

reconciliação integradora. Utilizando um questionário diagnóstico e avaliativo, os

pesquisadores concluíram que parte dos estudantes evoluíram conceitualmente sobre as

ideias de círculo e de circunferência, e sobre o processo de aquisição e aplicação das fórmulas

do comprimento da circunferência e da área do círculo.

Ivan Bezerra de Sousa e José Joelson Pimentel de Almeida, trazem em seu artigo

“Atividades investigativas no ensino de função afim: desafios e possibilidades” a exposição

de algumas reflexões sobre atividades investigativas em sala de aula, com destaque para uma

sobre função afim. Foi discutido sobre o potencial de aulas investigativas como metodologia

a ser adotada no ensino de Matemática. Foi constatado uma maior interação entre os alunos,

raciocínios diferentes para o mesmo fim e uma ótima oportunidade para discutirmos

situações tão presentes em nosso dia a dia, como o empreendedorismo e o capitalismo que

estão tão presentes em nosso cotidiano e na sociedade em que estamos inseridos.

Pedro Franco de Sá, em seu artigo “As atividades experimentais no ensino de

matemática”, traz os resultados de uma pesquisa bibliográfica sobre o ensino de matemática

por meio de atividades tendo como base a Teoria da Atividade que objetivou distinguir as

atividades utilizadas no ensino de matemática no Brasil. Em seus resultados, o autor indica

que as atuais Tendências em Educação Matemática realizam procedimentos que podem ser

caracterizados como atividades no sentido da Teoria da Atividade e que é a organização do

trabalho didático, o produto obtido e a forma de participação discente/docente de cada

tendência que legitima cada uma delas.

Narciso das Neves Soares e Nelson Antonio Pirola em seu artigo “Resolução de

problemas e expressões numéricas: o quadro dos quatro quatros e o nunca dois e números

binários” apresentam os recursos didáticos: O Quadro dos Quatro Quatros, Nunca Dois. e

Números Binários. Esses recursos são caracterizados como de manipulativos e inclusivos.

Como resultados, os pesquisadores observaram que estas atividades de ensino se mostram

como importantes aliadas para o estímulo do raciocínio lógico e desenvolvimento de

estratégias, apreensão e direcionamento para o uso correto dos sinais de operação e sinais de

associação, e da mudança de base entre números binários e decimais.

Idemar Vizolli e Ritianne de Fátima Silva de Oliveira no artigo “Narrativas de

professores ao desenvolver atividades sobre fração: contribuições de um curso de formação

continuada” trazem um estudo cujo objetivo foi deslindar contribuições do desenvolvimento

de uma Sequência Didática (SD) sobre fração em um curso de formação continuada para

professore. O estudo fez uso de narrativas orais e textuais de participantes desse curso. Os

resultados indicaram que os professores ampliaram sua compreensão em relação ao conceito

de fração e ao uso de SD e isso reverbera em seu fazer de sala de aula.

Jussara Patrícia Andrade Alves Paiva e Claudianny Amorim Noronha, com o artigo

“O corpo do indivíduo como meio semiótico e centro do sistema referência no processo de

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objetivação da orientação espacial”, mostram seu estudo que teve como objetivo evidenciar

como o corpo atua como sistema de referência central para o desenvolvimento da orientação

espacial. Os dados apresentados foram coletados durante uma pesquisa de intervenção

desenvolvida em sala de aula, com estudantes do 6º ano do Ensino Fundamental, em que

foram realizadas tarefas que abordam a orientação espacial. As pesquisadoras concluem que

foi mostrada a importância da tomada de consciência dos saberes matemáticos mobilizados

em torno do conceito de lateralidade e a importância do corpo do indivíduo como meio

semiótico e sistema de referência central para o desenvolvimento da orientação espacial.

Sandro Benício Goulart Castro e Ana Kelly Martins da Silva realizaram um estudo,

apresentado no artigo “Critérios de divisibilidade à luz do ensino por atividades”, que teve

como objetivo analisar a validade de conclusões produzidas por estudantes sobre critérios de

divisibilidade a partir de atividades de redescoberta. Dentre os principais resultados obtidos,

os pesquisadores destacam o bom desempenho dos estudantes no que diz respeito às

observações e conclusões que foram apresentadas no final de cada atividade. Assim,

concluem que as atividades ocasionaram aprimoramento na aprendizagem dos estudantes,

ajudando-os na descoberta de regras referentes às divisibilidades por dois, dez, cinco, quatro

e oito.

João Nazareno Pantoja Corrêa e Ducival Carvalho Pereira apresentam o artigo “Um

estudo sobre o ensino de poliedros por atividades” que teve por objetivo analisar a validade

de conclusões elaboradas por estudantes sobre aspectos de poliedros a partir da realização de

atividades experimentais sem que o professor tivesse apresentado o assunto anteriormente.

O experimento foi realizado em 4 etapas e os resultados obtidos indicam que o ensino por

atividade, juntamente com uso de materiais manipuláveis, possibilitou que os discentes

enunciassem conclusões válidas sobre propriedades dos Poliedros.

Por fim, o Ensino de Matemática por Atividades pressupõe colaboração recíproca

entre professor e estudante nesse processo de desenvolvimento. Pois a essência nesse tipo de

abordagem metodológica de ensino está no fato de que os tópicos a serem aprendidos serão

descobertos pelo próprio estudante durante o processo de busca, que é conduzido pelo

professor até que ele seja incorporado em sua estrutura cognitiva. Ou seja, o professor não

define ou estabelece teorias prontas e acabadas, mas o estudante formula seus conceitos e

gera suas próprias teorias que serão testadas e aceitas ou repensadas. Assim, concebe seu

aprendizado por meio de uma concepção dinâmica, participativa e construtiva.

Pedro Franco de Sá – UEPA

Thiago Beirigo Lopes – IFMT

Referências

DOCKWEILER, Clarence J. Children's attainment of mathematical concepts: a model

under development. College Station: Texas A&M University, 1994. Disponível em:

https://files.eric.ed.gov/fulltext/ED375008.pdf. Acesso em: 03 mar. 2018.

SÁ, Pedro Franco de. Possibilidades do Ensino de Matemática por Atividades. Belém:

SINAPEM, 2019.

REMATEC: Revista de Matemática, Ensino e Cultura, Ano 15, Número 35, p.10-26 ISSN: 2675-1909

Submetido em: 04 de agosto de 2020. DOI:

http://dx.doi.org/10.37084/REMATEC.1980-3141.2020.n15.p10-26.id283 Aprovado em: 19 de novembro de 2020.

Algumas considerações teóricas

sobre o ensino de matemática por atividades

Some theoretical considerations

on activities-based mathematics teaching

John A. Fossa

PPGECM - UEPB

RESUMO

Investiga-se sete das principais tendências da Educação Matemática a partir do conceito unificador

de ensino por atividades. O referido conceito é então considerado do ponto de vista teórico do

construtivismo radical, complementado e corrigido pelo construtivismo social. Desta forma, depois

de desmentir alguns mitos sobre as atividades, obtêm-se o delineamento das principais fases de

atividades, a identificação de importantes características cognitivas e não-cognitivas delas e a

constatação de importantes consequências para a sua implementação na sala de aula. Conclui-se que

há duas principais abordagens para o ensino de matemática, uma em que o aluno é um agente ativo

na construção do conhecimento através da sua participação em atividades e uma em que o aluno é

um recipiente passivo na suposta transferência de conhecimento do professor.

Palavras-chave: Teorias de Educação Matemática; ensino por atividades; construtivismo;

características de atividades.

ABSTRACT

Seven of the principal tendencies of Mathematics Education are investigated using the unifying

concept of activity-based teaching. This concept is then considered from the theoretical viewpoint of

radical constructivism, complemented and corrected by social constructivism. After clearing up some

myths about the use of activities, a delimitation of their principal phases is obtained, as well as the

identification of their most important cognitive and non-cognitive characteristics and the main

consequences for their application in the classroom. It is concluded that there are two core approaches

to the teaching of mathematics, one in which the student is an active agent in the construction of

knowledge through participation in activities and one in which the student is a passive receptacle in

the supposed transfer of knowledge from the professor.

Keywords: Theories of Mathematics Education; activity-based teaching; constructivism;

characteristics of activities.


11

Nos últimos anos, a Educação Matemática tem se desenvolvida de forma

extraordinária. Há, de fato, um número considerável de tendências que poderá até deixar o

professor de matemática confuso sobre qual tendência ele deveria adotar na sala de aula para

abordar tal ou qual assunto. Só para indicar o tamanho do problema, mencionamos que

Mendes e Fossa (1998) lista as seguintes oito tendências:

1. uso de jogos

2. uso de materiais concretos

3. uso de etnomatemática

4. resolução de problemas

5. modelagem

6. uso de história

7. uso de computadores

8. estratégias psicológicas.

Em alguns casos, há certa aproximação entre as tendências assinaladas. O uso de

jogos e o uso de materiais concretos – pelo menos quando este é feito dentro de um contexto

de atividades estruturadas, sejam, ou não, elas de caráter de redescoberta – se assemelham

bastante, a diferença sendo apenas a ênfase dada aos elementos lúdicos contemplados nas

interações com os alunos. Em outros casos, há uma mesclagem de duas ou mais dessas

tendências que faz surgir um novo tipo de intervenção com características inovadoras

devidas à reciprocidade das características das tendências componentes. Um exemplo

simples é o desenvolvimento de um modelo de ensino baseado em atividades construtivistas

informadas pela história da matemática, iniciado pelo presente autor no início dos anos 90

(ver, e.g., Fossa (1998)) e desenvolvido num estudo científico pela primeira vez por Mendes

(1997).

Para complicar ainda mais a escolha do professor, ele deve ainda optar entre diversos

suportes teóricos para a tendência que quer adotar. Por um lado, visto que as tendências

foram elaboradas dentro de certos posicionamentos teóricos, há uma associação natural ente

as tendências e seus suportes teóricos. Assim, os jogos e os materiais concretos se associam

naturalmente ao construtivismo, enquanto as estratégias psicológicas são embasadas na

psicologia cognitiva. Por outro lado, aspectos de cada tendência são frequentemente

incorporados a tendências diversas como elementos de apoio (sem a devida mesclagem

mencionada no parágrafo anterior), o que certamente poderá causar conflitos no professor

que está tentando planejar as suas aulas.


12

A Teoria da Atividade

Um dos primeiros passos na elaboração de uma visão mais organizada dessas várias

tendências foi indicado por Sá (2019). Nessa obra encontramos uma descrição do que é o

ensino de matemática por atividades e uma discussão da compatibilidade do uso de

atividades com as outras tendências da Educação Matemática. Numa conversa particular

com esse autor, ele ainda propôs a possibilidade de considerar as diversas tendências dentro

da Teoria da Atividade, em particular como possibilidades da Atividade de Estudo. Com

isto, concordo plenamente. Ainda mais, observo que, ao caracterizar as distintas tendências

(com a possível exceção do ensino tradicional em que o professor leciona com o propósito

de “transferir o conhecimento” de ele próprio para o aluno) como atividades, faz-se uma

unificação dos múltiplos aspectos da Educação Matemática e proporciona ao professor um

ponto de vista coerente, da qual ele pode fazer seu planejamento com mais desenvoltura.

A unificação proposta ficará ainda mais notável se olharmos ao que as tendências

tenham em comum como propostas de ensino de matemática de um ponto de vista

construtivista. Não será necessário, porém, fazer uma exegese pormenorizada do

construtivismo (para isto, ver Fossa (2014) ou Fossa (2019)). Para nossos propósitos, basta

indicar que o posicionamento que adotaremos é o do construtivismo radical, devidamente

modificado pelo construtivismo social. Em síntese, essa posição mantém que o aluno não

aprende através da transferência do conhecimento proposto pelo ensino tradicional, mas

através da construção de esquemas mentais. Para tanto, o próprio aluno precisa ser um agente

ativo no processo educativo, pois é somente a partir das suas próprias iniciativas que as

referidas estruturas mentais podem ser edificadas na mente do aluno. As construções,

embora feitas pelo indivíduo, são, porém, sempre feitas num contexto social e isto, visto que

as atividades têm um forte caráter social, faz com que o ensino por atividades é tão

apropriado ao construtivismo.

Faremos agora um pequeno elenco de considerações para mostrar que é factível

considerar quase todas as tendências da Educação Matemática como atividades com o

suporte do construtivismo. Esperamos que, num futuro publicação, o Prof. Pedro Sá faça

uma análise mais detalhada dessas tendências a partir da Teoria da Atividade.

Atividades e as Tendências

Os jogos pedagógicos são, de fato, atividades com um componente lúdico. Estão mais

comuns no currículo dos primeiros anos da escola, pois a criança pequena tem pouca

habilidade de concentração sem o acompanhamento do divertimento. Sendo assim, os jogos

se enquadram ao conceito de atividades por sua própria natureza.

O mesmo acontece com os materiais concretos. De fato, o uso de materiais concretos

consiste na incorporação desses materiais em atividades estruturadas que levam o aluno a

fazer as construções mentais apropriadas. Como é o caso dos jogos, o aluno desenvolve essas


13

atividades conjuntamente com seus colegas, incentivado e orientado pelo professor, mas

exercendo seu próprio pensamento e sua própria criatividade. Quando essa modalidade de

ensino ficou mais popularizada, era comum ver o professor usar o material como uma forma

de demonstrativo, ou seja, ele faria a atividade e os alunos apenas o assistiriam. Isto, no

entanto, é um desvirtuamento do uso desse material, que deveria sempre ser manipulado pelo

próprio aluno. Desta forma, é claro que o uso de materiais concretos é, por sua própria

natureza, um tipo de atividade.

A etnomatemática é o estudo das práticas matemáticas desenvolvidas por diferentes

grupos sociais para resolver problemas do dia a dia. Geralmente as referidas práticas têm um

caráter nitidamente não acadêmico e carece de uma preocupação maior com o rigor

matemático. Mesmo assim, a análise dessas práticas pode proporcionar ao aluno uma

compreensão intuitiva dos conceitos e procedimentos matemáticos inerentes nelas. Assim, o

uso da etnomatemática como uma estratégia de ensino consiste em analisar criticamente

práticas sociais para extrair delas seu conteúdo matemático e a consequente descoberta e

desenvolvimento desse conteúdo pelo aluno. Desta forma, ao participar na análise

etnomatemática, o aluno está ativamente construindo seus próprios esquemas mentais sobre

a matemática e, visto que a investigação das referidas práticas é tipicamente feita

conjuntamente por pequenos grupos de alunos, esta forma de ensino se enquadra

perfeitamente no conceito de ensino por atividades.

O uso da resolução de problemas como uma estratégia de ensino visa o

desenvolvimento das habilidades metacognitivas do aluno para que ele puder enfrentar, com

sucesso, novos problemas e não apenas se limitar a resolver problemas para os quais ele tem

decorado um determinado procedimento. Central ao método, então, é o monitoramento pelo

aluno do seu próprio pensamento, a formação e testagem de suas próprias conjecturas e a

investigação de assuntos por ele desconhecidos. De novo, o método é tipicamente

empreendido pelo aluno em conjunção com seus pares, o que ressalta a natureza

investigativa e cooperativa da construção do conhecimento e, visto que faz com que o aluno

se torna o agente ativo no processo da referida construção, a resolução de problemas também

deve ser visto como um tipo de ensino por atividades.

Em contraste à resolução de problemas que parte de situações problemas num

contexto matemático, a modelagem matemática começa com uma situação problemática

num contexto não matemático e busca desenvolver uma matemática que possa dar conta da

situação. A palavra chave nesta descrição é desenvolver, pois não compete ao aluno

simplesmente aplicar alguma estrutura matemática por ele já conhecida à situação, mas

precisa sim desenvolver conceitos e procedimentos que são para ele novos. Sendo assim, a

modelagem matemática compartilha as mesmas características da resolução de problemas,

no sentido de ser investigativa e cooperativa e em que o aluno é um agente ativo na

construção de seu próprio conhecimento. Em consequência, a modelagem também deve ser

considerada um tipo de ensino por atividades.

A história da matemática pode ser usada de várias formas para promover a

aprendizagem da matemática. De fato, a história tem marcado presença em textos


14

matemáticos desde há muito tempo para incentivar e motivar o aluno. Nesse sentido, inclui-

se retratos de matemáticos famosos, pequenas biografias dos mesmos ou fatos curiosos (mais

ou menos!) relacionados ao conteúdo sendo abordado no texto. O que tem elevado a história

a uma tendência em Educação Matemática, no entanto, são estratégias mais inusitadas. Mas,

o que é comum a essas estratégias inovadoras é a análise de produtos históricos, sejam estes

documentos ou artefatos, visando a explicitação e a crítica dos conceitos e procedimentos

matemáticos neles contidos. Ao fazer as explanações e críticas, o aluno precisa desenvolver

as habilidades hermenêuticas associadas com a interpretação de textos, relacionar conceitos,

fazer e testar conjecturas e construir novos esquemas mentais que frequentemente vão além

das estruturas achadas do texto analisado. De novo, a análise é tipicamente feita em

conjunção com seus pares e é exposta à apreciação do grupo maior (incluindo o professor).

Assim, os dois fatores de construção ativa e construção social que são característicos do

ensino por atividades são presentes no uso de história da matemática para o ensino da

matemática e, portanto, o uso da história da matemática também se enquadra perfeitamente

no conceito de ensino por atividades.

Como acontece com a história, o uso da computação eletrônica para o ensino da

matemática procede de várias maneiras. Mas, o que há em comum a essas variedades de

procedimentos é a valoração do pensamento ativo do aluno. Ao deixar para a máquina

cálculos que seriam difíceis e monótonos, o aluno fica mais livre de fazer as suas próprias

conjecturas e receber feedback instantânea sobre a consequências destes. Isto, por sua vez,

lhe permite estar mais ciente dos seus propósitos e lhe proporciona oportunidade de

desenvolver suas habilidades metacognitivas. Mais uma vez, o ensino utilizando a

computação eletrônica é tipicamente feito em pequenos grupos, ou pelo menos tem um

momento em que o trabalho de cada aluno é apreciado pelo grupo maior. Visto, então, que

essa tendência também promove a construção ativa do conhecimento, ela deve ser

considerada um tipo de atividade.

A oitava tendência em Educação Matemática é o uso da psicologia cognitiva para

garantir as condições que promovem a suposta transmissão de conhecimento do professor

ao aluno. Nessa tendência, o aluno é visto como um recipiente passivo e, portanto, seria

quase oximorônico afirmar que as referidas estratégias psicológicas são atividades.

Observamos que isto não significa, do ponto de vista do construtivismo, que a aprendizagem

é impossível quando essa tendência é utilizada; no entanto, não é facilitada. Mesmo assim,

é digno de ser notado que uma das grandes preocupações das estratégias da psicologia

cognitiva é aguçar o interesse e a atenção do aluno. Isto é, mesmo dentro de um paradigma

que postula a passividade do aluno, há espaço para o aluno ficar mais ativo e,

consequentemente, aprender melhor. A brecha encontrada, contudo, não é o suficiente para

considerar essa tendência uma atividade.

Em resumo, nas sete primeiras tendências assinaladas, vemos que há um teor alto de

redescoberta e, mais importante, vemos que o aluno age como um agente na construção do

seu próprio conhecimento. Ainda mais, essas tendências inserem o aluno num contexto

social que incentiva e reforça o processo da construção de esquemas mentais. Desta forma,

todas essas sete tendências se enquadram naturalmente no conceito de ensino por atividades.


15

Dois Mitos Referentes a Atividades

Antes de considerar mais algumas características de atividades para o ensino de

matemática, será proveitoso expor – e dirimir – dois mitos referentes ao uso de atividades.

O segundo consiste de duas partes, que podem ser tomadas independentemente. Assim,

podemos os sistematizar da seguinte forma:

1. O professor é responsável para a formulação de atividades

2. a. Uma só tendência deve ser adotada pelo professor

b. Cada atividade só precisa ser desenvolvida uma única vez.

Esses mitos nem sempre são explicitados no pensamento do professor, mas são

frequentemente presentes de forma oculta e se manifestam na sua atuação na sala de aula e,

portanto, podem ser considerados como pressupostos da postura do professor. Consideramos

cada um por sua vez.

O primeiro mito, ou pressuposição, então, é o de que é o professor que é o responsável

para a elaboração de todas as atividades que ele vai usar na sua sala de aula. Semelhante

ideia é até aterrorizante para o professor, pois ele geralmente não tem as condições

necessárias de inventar atividades apropriadas para os vários assuntos que aborda nas suas

disciplinas. De fato, o professor é geralmente sobrecarregado devido, parcialmente, a

minúscula compensação financeira que recebe para exercer o seu ofício e o grande número

de turmas que ele é consequentemente forçado a assumir. Desta forma, nem sobra para ele

as condições primordiais de tempo e esforço humano que seriam necessários para a

elaboração das várias atividades que iria precisar para serem usadas todo dia.

Há, no entanto, uma consideração ainda mais importante, a saber, mesmo se tivesse

o tempo necessário para elaborar suas próprias atividades, o professor, principalmente o

iniciante, não tem, em geral, o conhecimento especializado requisito para a elaboração

dessas atividades. O desenvolvimento de uma atividade requer a adequação dos seus

componentes a uma determinada finalidade através de cuidadoras análises teóricas. O

material elaborado ainda precisa ser sequenciado corretamente em relação às outras

atividades a serem usadas na mesma unidade de ensino e a sua eficácia precisa ser examinada

por testes pilotos usando métodos qualitativos e/ou quantitativos de validação. Isto é

claramente tarefa para um especialista.

O que é necessário para o professor de matemática é que ele seja treinado no uso de

cada uma das tendências em Educação Matemática. O treinamento deve, na verdade,

começar no curso de licenciatura que o futuro professor cursará antes de assumir uma

posição no magistério. Visto, porém, que o referido curso de licenciatura contempla várias

outras finalidades importantes, o treinamento do professor deverá ser complementado por


16

outros mecanismos, incluindo treinamento em serviço e/ou cursos de pós-graduação. A

estrutura institucional de educação brasileira poderia colaborar imensamente para o

aperfeiçoamento do professor se o mestrado profissional fosse pautado no treinamento

intensivo (e quase exclusivo) na utilização dessas tendências. A elaboração e primeira

testagem de atividades aconteceriam nos mestrados e doutorados acadêmicos.

O segundo mito tem a ver com a maneira em que as atividades são usadas com o

aluno. No primeiro subcaso, se alega que o professor deveria adotar uma só tendência e a

utiliza exclusivamente nas suas aulas. De fato, isto faz um certo sentido, pois desta forma

haverá uma consistência no modo de trabalhar na sala de aula e o aluno terá certa

uniformidade de expectativas que o ajudará a melhorar seu desempenho acadêmico.

O argumento poderia ter alguma força se as diversas tendências fossem ações

radicalmente diferentes. Mostramos na seção anterior, no entanto, que sete das oito

tendências na Educação Matemática são, de fato, exemplares de um único modo de ensino,

ou seja, de ensino por atividades. Isto significa que há uma unidade metodológica subjacente

a todas as referidas tendências que proporcionará ao aluno a desejada uniformidade de

expectativas, mesmo na troca de tendências. Ainda mais, há duas vantagens na utilização de

abordagens diversificadas. Em primeiro lugar, nenhuma abordagem é cem por cento eficaz

com todos os alunos e, portanto, apresentações diversificadas ajudam a garantir o sucesso de

todos os alunos. Também, em segundo lugar, apresentações diversificadas da mesma matéria

fortalecem o desenvolvimento de esquemas mentais robustos e ricos em interconexões entre

vários assuntos, o que, por sua vez, é fundamental para a elaboração de conhecimento

profundo e o desenvolvimento de potentes habilidades metacognitivas.

O segundo subcaso do segundo mito pressupõe que basta fazer uma atividade uma

só vez para extrair dela seu conteúdo matemático. Que essa noção é redondamente errada

torna se patente a partir de uma consideração de jogos, pois essas atividades são obviamente

repetidas várias vezes. A repetição, contudo, não é feita em função do seu conteúdo lúdico

– antes o conteúdo lúdico é uma forma de evitar o cansaço que poderá acompanhar a

repetição que é necessária para a extração do conteúdo matemático. “Extrair o conteúdo

matemático” significa, entre outras coisas, observar regularidades, fazer e testar conjecturas

e abstrair. Para tanto, é claro que a repetição é necessária, embora varia com a idade e o nível

de engajamento do aluno. Considerações semelhantes cabem às outras tendências

consideradas como atividades, embora na ausência de um forte componente lúdico a

repetição é frequentemente alcançada através do uso de atividades ostensivamente

diferentes, mas com a mesma estrutura matemática.

Um Roteiro para Sequências de Atividades

Já deve ter ficado claro pelo precedente que uma atividade apropriada para ser usada

no ensino de matemática não deve ser compreendida como uma unidade, completa em si

mesma, e isolada das outras atividades a serem usadas na sala de aula. Muito pelo contrário,

cada atividade deve ser concebida como um elemento concatenado com várias outras


17

atividades relacionadas ao ensino do mesmo assunto. Isto implica numa sequenciação das

atividades a serem apresentadas ao aluno e, embora a sequência não seja algo rígido, ela

deve contemplar uma ordem de apresentação em que pré-requisitos matemáticos do assunto

em tela são abordados antes ou, pelo menos, destacados como requisitos. (A segunda opção

é frequentemente usada como fator de motivação.)

Fossa (2000) apresenta as seguintes propriedades, ou fases, de atividades que, quando

presentes, ajudam na concatenação de várias atividades num ciclo de procedimentos

relacionados ao mesmo assunto:

1. provocação

2. participação

3. precipitação

4. publicação

5. perturbação.

Passaremos agora a tecer algumas rápidas reflexões sobre cada uma dessas

propriedades.

Visto que o propósito do ensino por atividades é fazer com que o aluno se torne um

agente ativo na construção dos seus esquemas mentais, é oportuno que o mesmo seja

motivado a fazer a atividade. Assim, uma boa atividade conterá alguma provocação que visa

capturar a imaginação do aluno, pois um aluno interessado será muito mais ativo e

desempenhará a atividade com melhores resultados.

Nesse sentido, a atividade deve ser desafiante, mas não frustrante. Para tanto, é

necessário levar em conta a base cognitiva do aluno, ou seja, precisa avaliar o esquema

mental já construído pelo aluno para determinar se o aluno detém os pré-requisitos

matemáticos necessários para a realização da tarefa proposta. Em termos vigotskianos,

precisamos determinar se a provocação está dentro da zona do desenvolvimento proximal

do grupo, ou, pelo menos, dentro da zona do desenvolvimento potencial do mesmo. No

segundo caso, o grupo precisará de um nível mais alto de orientação pelo professor.

Carências maiores devem ser resolvidas através de atividades complementares que supririam

os referidos pré-requisitos.

Uma vez provocado, o aluno desenvolverá a atividade proposta e, visto que

atividades são desenvolvidos pelo agente em conjunto com o outro, o referido

desenvolvimento é geralmente empreendido em pequenos grupos que trabalham de forma

cooperativa para desvendar a provocação feita. Às vezes, o interesse na atividade é

estimulado ainda mais pela competição entre grupos, embora a competição não é bem-vista

por muitas autoridades. Devemos lembrar, contudo, que a competição faz parte da nossa

sociedade e, portanto, dosagens ocasionais de competição poderão ajudar o aluno a lidar com


18

esse aspecto na nossa cultura. Não obstante, precisa-se garantir, na medida do possível, que

a competição seja entre grupos razoavelmente paritários, o que pode ser feito pela

composição cuidadosa dos grupos. Ainda mais, se houver indivíduos que destacam demais

dos outros, esses podem compor uma espécie de painel de juízes; isto faz com que esses

indivíduos não desestabilizam o equilíbrio entre os grupos, enquanto, ao mesmo tempo, não

os afastam da atividade. Em qualquer caso, a competição dentro de cada grupo deve ser

desestimulada, pois a atividade visa a construção social do conhecimento de todos os seus

membros, o que é alcançado de forma melhor através da cooperação.

A precipitação, como um sólido resultante de uma reação química num ambiente

líquido, é o resultado alcançado pelo grupo ao fazer a atividade. Em síntese, é um novo

elemento de conhecimento que o grupo propõe. Visto que a atividade acontece nas fronteiras

do conhecimento do grupo, seu propósito é avançar além dessas fronteiras através da

(re)descoberta de novidades. Essas novidades precisam ser registradas, geralmente por

escrito, numa linguagem apropriada ao grupo; isto é, a formulação deve ser significativa para

todos os membros do grupo, conter um nível de rigor compatível com a compreensão do

grupo e ser adequada para que o resultado seja disseminado na turma como um todo.

A disseminação do resultado do grupo, que foi mencionada no parágrafo anterior, é

a publicação do resultado. A publicação contém dois componentes essenciais. A primeira é

a comunicação do resultado do grupo à turma inteira e ao professor. Essa comunicação não

deve se limitar à formulação escrita do resultado, mas deve incluir descrições orais que visam

a explicação e justificação do pensamento do grupo.

O segundo elemento essencial da publicação é a comparação do resultado do grupo

com os resultados dos outros grupos e a consequente avaliação crítica de todos esses

resultados. A discussão feita nesse momento geralmente, devido à própria realização da

atividade, acontece num patamar superior àquela que teria sido o caso antes da realização da

mesma. De fato, a turma, guiada pelo professor quando apropriado, poderá alcançar

resultados além dos alcançados individualmente pelos diversos grupos.

Finalmente, uma boa atividade poderá incluir uma perturbação, ou seja, uma nova

provocação que iniciará um novo ciclo investigatório de atividades visando um maior

desenvolvimento do assunto proposto pela disciplina. A perturbação poderá acontecer de

várias formas. Talvez a forma melhor seja quando os próprios alunos não ficam satisfeitos

com algum aspecto do seu resultado ou percebem que seu resultado não parece “combinar”

com outros “fatos” que conhecem. Se isto não acontecer, o professor poderá tentar instigar

uma perturbação através de questionamentos apropriados, ou, se for necessário,

simplesmente fazendo uma nova provocação. Quando a perturbação nasce do próprio

resultado da atividade, porém, há uma continuidade maior no desenvolvimento da teoria

matemática sendo investigada.

Modalidades de Apresentação


19

Do que foi visto na seção anterior, fica evidente que há três modalidades de

apresentação que podem estar presentes em qualquer atividade de ensino. São sintetizadas,

em relação a atividades contendo material manipulativo, por Dockweiler (1996) da seguinte

forma:

A estrutura matemática a ser construída pelo aluno é exemplificada no material

concreto usado na atividade. Esse conceito é apropriado para atividades lúdicas e atividades

usando material concreto. Não obstante, precisa ser generalizado para refletir o nosso

conceito mais geral de atividade. No uso de computação eletrônica, poderemos ter uma

representação visual do objeto matemático na tela do computador e, na modelagem,

podemos confrontar uma situação física in natura ou através de desenhos. Nos outros tipos

de atividades, contudo, encontramos mais frequentemente o objeto matemático já codificado

linguisticamente. Assim, parece que a representação física não faz parte necessária de uma

atividade. Quando está presente, ele faz parte da provocação e ajuda a guiar a participação,

ou seja, o desenvolvimento da atividade pelo aluno. Desta forma, atividades desse tipo são

apropriadas para crianças menores porque têm um roteiro inerente bem definido. Na medida

em que a criança ficar mais autônomo, porém, tais roteiros podem ser dispensados e outros

tipos de atividades são mais apropriados.

Além das considerações discutidas no parágrafo anterior, devemos lembrar que o

propósito de uma atividade é a construção de novas estruturas mentais. Isto pode ser feito

por os extrair de uma exemplificação física; nesse caso, como já vimos, o material concreto

faz parte da provocação. A referida construção, porém, também pode ser alcançada como

uma resposta a uma situação problemática e, de fato, esse caso é característico da

aprendizagem mais avançada. O importante, portanto, é que a atividade tenha uma

provocação, material/concreto ou não, que captura a imaginação do aluno e o convide a

participar no desenvolvimento da atividade.

A representação oral acontece durante a fase da participação da atividade em qual

várias conjecturas são investigadas e durante a fase de precipitação em que a formulação do

resultado é feita. Segundo Dockweiler, é só quando o resultado final for alcançado que a

representação escrita deve ser adotada, pois, sempre segundo o referido pesquisador, a

representação escrita tende a pôr um ponto final à discussão, impedindo assim maiores

investigações. De novo, isto pode acontecer com crianças menores, mas, na medida em que

o aluno desenvolva suas habilidades metacognitivas, isto se torna mais e mais improvável.


20

Ainda mais, em raciocínios mais complexos, a representação escrita frequentemente

promove pensamentos mais claros e contundentes.

Concluímos, portanto, que o modelo de Dockweiler (1996) não é muito útil na

descrição geral do ensino por atividades, mas é apropriado, especificamente, apenas para

jogos e o uso de materiais concretos, ou atividades desenvolvidas para crianças menores e,

de fato, o modelo foi desenvolvido nesse contexto.

Devemos ainda observar que, como resultado de uma atividade, um grupo poderá

desenvolver sua própria terminologia e/ou formalismo. Não há nada mal nisto, pois reflete a

criatividade do grupo. Mesmo assim, o professor precisará determinar se a terminologia

inventada contenha obstáculos ocultos que poderão afetar negativamente futuras

construções. Quando ocorrem, porém, a investigação desses obstáculos pode ser o foco da

perturbação que dá início a novas atividades. Em qualquer caso, terá um momento em que o

professor deve fazer uma transição para a formalização padrão para que o aluno tenha acesso

a literatura sobre o assunto em tela. No entanto, uma vez que o conceito for construído, a

referida transição não será problemática.

Características Cognitivas e Não-Cognitivas

Até agora temos discutido os seguintes três aspectos de atividades relacionados à

cognição, ou seja, a teoria de conhecimento, incluindo a natureza do conhecimento e as

principais maneiras em que o conhecimento acontece:

1. construção individual e social de esquemas

2. metacognição

3. cooperação.

Isto é, estávamos ocupados na descrição do ensino por atividades em relação à constituição

da cognição na sala de aula. Nesse sentido, vimos que o conhecimento é uma construção de

esquemas mentais pelo indivíduo e que essa construção sempre ocorre em um contexto

social. Assim, descrevemos os aspectos do ensino por atividades que favorecem a referida

constituição da cognição.

Fundamental ao desenvolvimento de qualquer conhecimento mais elaborado é a

cultivação de habilidades referentes ao controle consciente do pensamento e, portanto,

mencionamos como o ensino por atividades proporciona ao aluno o desenvolvimento dessas

habilidades metacognitivas. É, de fato, a metacognição que caracteriza um indivíduo como

um “perito” no assunto, como oposto a um “principiante”. Nesse sentido, entendemos por

“perito” um aluno que não depende da memorização de roteiros e/ou procedimentos ditados

pelo outro (o professor), mas um aluno que tem pensamento independente e que pode se

orientar de forma autônoma diante de empreitadas educativas.


21

Em relação à cooperação, pode ser surpreendente, de certo modo, que a incluímos

como um dos aspectos cognitivos das atividades, pois ela é geralmente concebida como um

valor positivo social, associado à, mas distinto da, cognição propriamente dita; e a

cooperação tem, sem dúvida, tonalidades que permitem que seja trata dessa forma. Mesmo

assim, nos parece que a construção do conhecimento é tão essencialmente um

empreendimento social que a cooperação é uma parte indissociável à constituição da

cognição e, portanto, optamos a concebê-la, apesar do seu inegável conteúdo valorativo,

como um aspecto cognitivo das atividades.

Resta, então, tecer algumas considerações sobre alguns aspectos não-cognitivos das

atividades usadas no ensino da matemática, ou seja, aspectos de atividades que encerram

valores socialmente desejáveis. Ao fazer isto, porém, absteremos dos valores mais gerais,

como os relacionados ao desenvolvimento de atitudes da boa cidadania, pois tais valores são

impregnados com juízos ideológicos e uma apreciação justa deles nos levaria longe do centro

da nossa discussão, a saber, as atividades. Desta forma, nos limitaremos a discutir alguns

valores que, enquanto não sejam constitutivos da cognição, promovem a construção do

conhecimento na sala de aula.

Características Não-Cognitivas de Atividades

Por “características não-cognitivas de atividades”, entenderemos tanto não somente

valores que qualificam as atividades per se, mas também valores associados à

implementação das atividades na sala de aula. Estes têm menos a ver com as próprias

propriedades das atividades e mais com a maneira em que as atividades se desenrolam na

escola e, portanto, são análogos às condições de aprendizagem que caracterizam a tendência

embasada na psicologia cognitiva. Visto, porém, que podemos considerar a atividade e a sua

implementação como uma situação pedagógica integrada, a distinção não será importante

para os nossos propósitos.

Entre os principais valores não-cognitivos das atividades (entendidos no sentido lato

do parágrafo anterior), destacamos os seguintes:

1. autonomia

2. criatividade

3. autoconfiança

4. diálogo

5. respeito mútuo.

Passaremos agora a explanar brevemente cada um desses valores.


22

A autonomia é considerada o mais importante valor pedagógico do construtivismo

radical e, de fato, mais geralmente, é essencial para a realização de qualquer atividade na

sala de aula. Um aluno autônomo é um indivíduo independente no sentido de que ele pensa

por si mesmo e não é restringido a seguir as diretrizes do outro, seja o outro o professor, os

colegas de turma ou o livro texto. Assim, uma pessoa autônomo pode iniciar novas

abordagens para a resolução do problema sob investigação, questionar possíveis

pressupostos, fazer e testar conjecturas e avaliar criticamente o posicionamento dos colegas,

do professor, do livro texto (incluindo, hoje em dia, informações oriundas do internet) e até

o proferido por si mesmo. O desenvolvimento de todas essas características é, de fato,

promovido pelo ensino por atividades, pois ser ativo significa proceder da forma indicada.

Visto de outro ponto de vista, então, a autonomia é uma condição necessária para a

realização de atividades e, portanto, temos uma situação circular. Não é, contudo, um círculo

vicioso – embora o professor ocasionalmente precisa dar atenção especial a alunos com

níveis muito baixos de autonomia –, mas um círculo em que cada fase reforça a outra. Isto

é, ao participar numa atividade, o aluno adquire a autonomia que o ajudará fazer futuras

atividades com mais desenvoltura, o que, por sua vez, aumenta seu nível de autonomia, e

assim por diante. Essa consideração implica na importância de usar atividades como uma

metodologia de ensino e não apenas como episódios avulsos na experiência educativa do

aluno.

Pode parecer que haja, no mínimo, alguma tensão entre o valor da autonomia e a

natureza social da construção do conhecimento, pois, pode-se alegar, como é possível ser

um pensador independente do outro e, ao mesmo tempo, depender do outro na constituição

do conhecimento? Não há, no entanto, contradição no estabelecimento de associações sociais

de indivíduos independentes que trabalham cooperativamente na construção do

conhecimento. Isto acontece quando cada indivíduo do grupo é independente da dominação

dos outros, embora o desenvolvimento do grupo depende das suas interações sociais para

efetuar a constituição da cognição. A interdependência dos membros do grupo, porém,

ressalta uma consequência interessante, a saber, a diversidade poderá favorecer uma maior

aprendizagem. Isto acontece porque a base cognitiva do grupo será mais rica, possibilitando

assim construções mais interessantes. Desta forma, grupos multiculturais que conseguem

expor e esclarecer seus diversos pressupostos e assim trabalham cooperativamente têm mais

condições do que grupos homogêneos a progredir com sucesso.

A criatividade é outro valor muito apreciado por quase todos. Isto é visto não somente

na homenagem prestada aos grandes criadores de teorias científicas ou obras artísticas, mas

também nas pequenas inovações contidas na resolução de problemas do dia a dia ou até na

apreciação dos inusitados relacionamentos contidos em certas piadas. Nesse sentido, a

criatividade está sempre presente no fazer de atividades porque fazer atividades visa a

construção de novidades, ou seja, novas estruturas mentais são edificadas pelo aluno. Isto

continua a ser verdadeiro quando, como geralmente é o caso, a construção é uma

reconstrução e a novidade é apenas nova para os participantes.


23

Observamos ainda que, como no caso da autonomia, temos uma situação circular,

pois, embora a criatividade é inerente ao homem, é fortalecida pela sua prática. Assim,

podemos dizer que, analogamente a base cognitiva do indivíduo, cada pessoa tem uma base

criativa em um determinado momento (embora, como a base cognitiva, ela pode variar

dependendo do conteúdo sob consideração). Isto permite ao aluno fazer as inovações

requeridas por atividades apropriadas, o que, por sua vez, aumenta a sua criatividade,

tornando-o apto para fazer atividades mais avançados.

Fazer atividades com sucesso também aumenta a autoconfiança do aluno nas suas

próprias capacidades como um pensador independente. De fato, a autoconfiança é crucial no

fazer de atividades, visto que o aluno precisa externalizar o seu pensamento para participar

na construção social do conhecimento. Nesse sentido, o ensino da matemática tem sido

assolado pelo fenômeno do “medo” da matemática, em que o aluno é tão descrente das suas

capacidades que é incapacitada de participar em atividades. Assim, compete ao professor

criar uma atmosfera em qual o aluno pode “se expõe” sem correr o risco de ser visto como

ridículo. Para tanto, deve mostrar ao aluno, através da sua postura na sala de aula, que é

possível errar de maneira inteligente e que, na verdade, o erro e a sua correção fazem parte

da busca de um caminho certo. Também é muito útil não exigir do aluno, ou de um grupo, a

resolução perfeita de qualquer problema, valorizando encaminhamentos incompletos.

Deve ser claro, visto que a construção do conhecimento é sempre uma construção

social, que o diálogo faz parte de todas as atividades. Na verdade, o diálogo acontece em

vários níveis nas atividades, sendo, talvez, o entre o aluno e seus pares, bem como o entre o

aluno e o professor os mais primordiais. Devemos observar, contudo, que um diálogo não

consiste apenas em duas ou mais pessoas proferindo palavreados uma para a outra, mas

requer que cada interlocutor seja tomado a sério. Isto, por sua vez, implica que as

recomendações do parágrafo anterior não são suficientes. Não basta lidar apenas com os

erros inteligentes, pois toda afirmação feita com o intuito de contribuir à participação da

atividade, por mais esdrúxula que possa aparecer, merece a atenção dos colegas e do

professor. É só através dessa postura que o grupo pode progredir como um grupo,

investigando caminhos divergentes, corrigindo erros, fortalecendo a construção social sólida

do conhecimento e aproveitando da crítica construtiva.

Quando a atividade é realizada de acordo com os valores que acabamos de abordar,

ela engendra um respeito mútuo de todos os participantes, um para o outro, como

colaboradores na tarefa conjunta da constituição da cognição. Isto tende a se generalizar,

fazendo com que o aluno desenvolve uma apreciação das qualidades humanas inerentes ao

outro e a valorizar o outro como um ser humano, independente das múltiplas conotações

ideológicas contidas nos diversos sistemas de crenças prevalentes no mundo.

Consequências para a Sala de Aula


24

O ensino por atividades ainda implica em certas mudanças nos procedimentos e

diretrizes operantes na sala de aula. Mencionamos, em especial, as seguintes quatro

mudanças:

1. matemática verdadeira na sala de aula

2. aulas centradas no aluno

3. diminuição do professor como figura de autoridade

4. mudanças relacionadas à avaliação.

Referente ao primeiro item, Skemp (1989) assinala que na sala de aula construtivista

se faz “matemática verdadeira” (real mathematics). Para entender o que Skemp quis dizer

com a mencionada frase, será instrutivo ver ao que ela se opõe. Não se opõe à “matemática

prática” e muito menos à “matemática falsa”, mas à “matemática artificial”. A matemática

artificial é algo inventado especificamente para a escola, tem pouca significância para o

aluno e gera pouco interesse. A matemática verdadeira, em contraste, seja ela voltada para

questões aplicadas do dia a dia ou para questões mais teóricas, é a matemática emergente no

pensamento do aluno. Ao fazer matemática verdadeira o aluno está engajado na construção

de conceitos e procedimentos que constituirão seu conhecimento matemático.

Todo ensino de matemática por atividades compartilha esse tipo de comportamento

na sala de aula, exatamente porque as atividades visam que o aluno seja um agente ativo da

constituição da cognição. Nesse sentido, o aluno está sendo ativo mentalmente, pois ele está

desenvolvendo seus esquemas mentais. A própria dinâmica das atividades como uma

instituição social, no entanto, implica que haja muita movimentação da parte do aluno

durante a aula. Isto é, o aluno estará conversando com seus pares, manipulando material

concreto, investigando objetos matemáticos encontrados em textos, problemas, simulações

na tela do computador ou outras situações, comparando e testando conjecturas, etc., etc. Dito

de outra forma, a aula será centrada no aluno como um agente ativo, em contraste à aula

centrado no professor, na qual o aluno é concebido como um recipiente passivo.

Isto, por sua vez, implica que haverá muito menos necessidade para o professor

assumir uma postura de autoridade na sala de aula. Sem dúvida, o professor ainda estará

organizando, orientando, monitorando e, acima de tudo, encorajando a turma. Mesmo assim,

se projetar como uma autoridade científica será contraproducente à meta manifesta da

atividade, a saber, a construção do conhecimento pelo aluno, e o exercício duma suprema

autoridade comportamental será desnecessário, pois não há mais obrigação de garantir as

famosas “condições de aprendizagem” características da psicologia cognitiva.

Finalmente, observamos que os modos e finalidades da avaliação serão modificados.

De fato, a avaliação tenderá a ser contínua, através da interação professor/aluno durante o

desenvolvimento das atividades e através de relatórios orais e/ou escritos feitos por cada

grupo. Nesse sentido, o intuito da avaliação não será tanto o de verificar (e quantificar) a


25

suposta transferência de conhecimento, mas o de (i) identificar contradições ou obstáculos

na estruturação de esquemas na fase da participação da atividade, (ii) consolidar, sistematizar

e garantir a consistência dos resultados das fases de precipitação e publicação e (iii) apontar

elementos que poderão levar a novas perturbações.

Conclusão

Ao enquadrar sete das oito principais tendências da Educação Matemática à teoria de

ensino por atividades, conseguimos reduzir a desconcertante multiplicidade de metodologias

de ensino para apenas duas, a saber, uma centrada em atividades, na qual o aluno é visto

como um agente ativo na construção social do conhecimento e outra centrada no conceito

da transferência de conhecimento, na qual o aluno é concebido como um recipiente passivo.

A resultante unificação da teoria em que a Educação Matemática se embasa tem

consequências teóricas, algumas das quais foram exploradas no presente artigo, e

consequências práticas para o professor na sala de aula, pois o ponto de vista unificado

permite o professor a mesclar e/ou misturar abordagens aparentemente diversas sem perder

a continuidade do seu planejamento.

A referida teoria de ensino por atividades tem seu próprio desenvolvimento

conceitual e justificação filosófica. Optamos a não seguir esse rumo de pensamento, devido

ao fato de que os elementos da teoria poderão ser dados interpretações interessantes do ponto

de vista teórico do construtivismo radical, complementado e corrigido pelo construtivismo

social. Neste sentido conseguimos identificar as principais fases e importantes características

cognitivas e não-cognitivas de atividades em geral, independente da tendência a que são

associadas, bem como algumas consequências basilares da sua implementação na sala de

aula. Com isto, esperamos alimentar meditações mais profundos sobre as atividades e

contribuir ao fortalecimento do uso de atividades na escola.

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26

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MENDES, Iran Abreu. Ensino de trigonometria através de atividades históricas. Dissertação

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SÁ, Pedro Franco de. Possibilidades do ensino de matemática por atividades. Belém:

SINEPEM 2019. Disponível em http://sinepem.sbempara.com.br/file/V7.pdf.

SKEMP, Richard R. Structured activities for primary mathematics. London: Routledge,

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John A. Fossa

Instituição: PPGECM - UEPB

E-mail: [email protected]

ORCID: http://orcid.org/0000-0002-7957-6656

http://sinepem.sbempara.com.br/file/V7.pdf


Submetido em: 15 de agosto de 2020. DOI:

http://dx.doi.org/10.37084/REMATEC.1980-3141.2020.n15.p27-45.id284 Aprovado em: 11 de novembro de 2020.

Habilidades na resolução de problemas fundamentada na teoria da atividade

em estudantes da licenciatura em matemática

Problem solving skills based on theory of activity in students degree in mathematics

Naralina Viana Soares da Silva Oliveira

Universidade Federal de Pernambuco (UFPE)


Universidade Federal de Roraima (UFRR)

RESUMO

O presente artigo mostra resultados de um estudo cujo objetivo foi caracterizar a base orientadora

das ações relacionadas às habilidades em resolução de problemas, fundamenta na Teoria da

Atividade, na disciplina de Cálculo I em estudantes da licenciatura em matemática da Universidade

Federal de Pernambuco. Cada estudante possui uma base que orienta suas novas ações. Assim, é

fundamental que esta base seja identificada, mapeada e caracterizada, pois durante o processo, o

estudante mobilizará elementos de sua base orientadora para agir na assimilação de conceitos e

formação/atualização de habilidades. Para isso, utilizou-se uma Prova Pedagógica. As respostas dos

acadêmicos foram analisadas e comparadas com o sistema de operações que compõe o Esquema da

Base de Orientação Completa da Ação estabelecida pelo professor. Nos resultados foi constatado

que os acadêmicos apresentaram uma orientação da ação de resolver problemas discentes em função

de forma fragmentada e incompleta. Dentre os entraves, destacam-se o de representar a função em

sua forma gráfica, algébrica e na forma verbal. Além disso, ficou bem evidente a dificuldade em

converter a função de um tipo de representação para outro. Conclui-se que os licenciandos

apresentam habilidades em resolução de problema no conteúdo de funções de forma fragmentada e

incompleta, portanto, se faz necessário reelaborar a Base Orientadora da Ação.

Palavras-chaves: Resolução de Problema. Teoria da Atividade. Base Orientadora da Ação.

Atividade de Situação Problema. Teoria de Galperin.

ABSTRACT

This article Demonstrates the results of a study whose objective it is to charactize the orienting base

of the action realiting to the skills in resolution of problems, grounded on the activity theory in the

Calculation I subject of students degree in mathematics from Federal University of Pernambuco.

Each student has a base that orienting their new actions. Thus, it is essential that this base is identified,

mapped and characterized, during the process, the student mobilizes elements of his orienting base

to carry out the assimilation of concepts and formation / update of skills. For this, a Pedagogical Test

was used. The students' responses were analyzed and compared with the operations system that

makes up the Scheme of Base Orienting Complete of Action established by the professor. In the

results, it was found that the academics discovered an orientation of the action to solve documented

problems in functions in a fragmented and incomplete way. Among the obstacles, stand out that of

representing the function in its graphic, algebraic and verbal form. In addition, the difficulty in

converting the function from one type of representation to another was very evident. It is concluded

that the undergraduate students do not have adequate problem solving skills in the content of

functions, therefore, it is necessary to rework the Action Orientation Base


28

Keywords: Solving problems. Activity Theory. Base Orienting of Action. Activity Problem

Situations. Galperin's theory.

Introdução

Este artigo é um recorte do resultado parcial de uma pesquisa de doutorado na qual

o primeiro objetivo específico é realizar um diagnóstico inicial dos participantes com relação

às habilidades em resolução de problemas na matemática para, em seguida, ter base para

direcionar o processo de formação e desenvolvimento das habilidades referidas por meio de

Atividades de Situações Problema Discente – ASPD. Nesta perspectiva, faz-se necessário

um esclarecimento sobre o termo resolução de problemas e sobre o que é Atividades de

Situações Problema Discente – ASPD, fundamenta na teoria da atividade.

No âmbito do ensino de matemática, o termo resolução de problema pode ter

diferentes sentidos e significados, uma vez que há situações onde é utilizado como

metodologia, há contexto em que é tido como habilidade, além das situações em que é visto

como procedimentos.

Pesquisas e trabalhos voltados para a Resolução de Problemas tiveram uma grande

relevância com as recomendações do National Council of Teacher of Mathematics-NCTM.

Neste percurso, pesquisadores começaram a perceber discordâncias entre as concepções.

Dentre as diferentes concepções é possível agrupá-las em três categorias, as quais Galvão e

Nacarato (2013) classificam-na em processo, habilidade básica e meta. Estas mesmas

categorias são chamadas por Chandia et al (2016) de processo, método de ensino e objetivo

curricular, respectivamente. Além de Sousa e Justulin (2013) que também classificam tais

concepções em Ensinar sobre Resolução de Problemas; Ensinar para Resolução de

Problemas e Ensinar através de Resolução de Problemas de forma correspondente.

Sob a influência do método de Polya (1977), apresentado em seu livro A Arte de

Resolver Problemas no qual ele propõe quatro fases a serem percorridas pelo aluno, durante

a resolução de um problema, o foco inicial das abordagens com Resolução de Problemas

está nos processos, nas estratégias, nas heurísticas utilizadas pelos acadêmicos. Nesta

concepção ensina-se sobre a resolução de problema, há uma ênfase dada ao processo em si.

Contudo, com o avanço das pesquisas surgiram inquietações referentes à capacidade

de resolver problemas e começou-se a identificar fatores que influenciam no êxito da

resolução de problemas. Chandia et al (2016) apresenta algumas habilidades básicas que

interferem positivamente no êxito na resolução de problemas, que são conhecimentos,

heurísticas e controle (autoavaliação). Neste tipo de concepção, o ensino da matemática está

voltado para as aplicações. Embora a aquisição do conhecimento matemático seja de suma

importância, o propósito inicial para aprender matemática é o de ser capaz de usá-la para

resolver problemas.

Para Onuchic e Allevato (2011), a resolução de problemas é concebida como uma

metodologia de ensino e aprendizagem. Nessa concepção, o problema é visto como ponto

de partida para a construção de novos conceitos e novos conteúdos; os licenciandos sendo

co-construtores de seu próprio conhecimento e, os professores, os responsáveis por conduzir

esse processo.


29

Embora tenha-se ligeiramente apresentado três concepções diferentes do termo

resolução de problemas, não há um consenso absoluto quanto a estas classificações. Além

disso, tais concepções não são excludentes, elas se completam e se entrelaçam durante o

processo de ensino e aprendizagem. No presente trabalho o termo resolução de problema

será concebido como uma habilidade que pode ser desenvolvida e/ou formada por meio de

atividades orientadas.

Na dimensão do enfoque histórico-cultural, a qual assumimos neste trabalho,

habilidade é um tipo de atividade cognoscitiva, prática e valorativa que coloca o

conhecimento teórico em ação. Para Núñez, Ramalho e Oliveira (2016) habilidade é o

conteúdo das ações realizadas e dominadas pelo indivíduo.

Rodriguez e Bermúdez (1999) apontam que habilidades são ações que o sujeito já

domina. A ação, uma vez dominada pelo indivíduo, por meio do processo de aprendizagem,

transforma-se em habilidade. Nesta proposta, pretende-se lançar luz a quatro habilidades em

resolução de problemas: a habilidade de formular o problema, a habilidade de construir o

núcleo conceitual e procedimental, a habilidade de solucionar o problema e a de interpretar

o problema.

Considerando a habilidade como um tipo de atividade, faz se necessário uma reflexão

sobre a categoria atividade a partir das ideias da Teoria da Atividade desenvolvida por

Leontiev e utilizada mais a frente por Galperin e Talízina.

Pressupostos Teóricos

De acordo com a Teoria da Atividade, o estudante se relaciona ativamente com o

objeto de estudo, com a realidade, com o conhecimento por meio da atividade. Ou seja, é

por meio da atividade que o homem internaliza novos conhecimentos e habilidades,

transformando a atividade externa em atividade interna.

O teórico se dedicou ao estudo da estrutura da atividade, a qual é composta por ações,

que por sua vez é subdividida em operações, ou seja, um sistema de operações forma uma

ação e um sistema de ações forma uma atividade. Os principais elementos da atividade são

o motivo e o objetivo. O motivo da atividade é concebido como uma necessidade objetivada

e o objetivo da atividade como algo que move o sujeito à ação. Talízina (1988) enfatiza que

um critério importante, apresentado por ele, para diferenciar a atividade da ação está

relacionado com o objetivo e o motivo, pois se o objetivo coincidir com o motivo tem-se

uma atividade; caso não coincidam, tem-se uma ação.

Neste aspecto, a formação de habilidades em resolução de problemas em cálculo

diferencial e integral, requer um sistema de ações e cada ação deve ser composta por um

sistema de operações a serem realizadas e dominadas pelos estudantes com o intuito de

transformar a atividade em habilidade.

No processo de assimilação de uma atividade externa em atividade interna há três

momentos funcionais que devem ser contemplados: a orientação, a execução e o controle

(avaliação), não necessariamente nesta ordem, mas de forma cíclica e dialética. Galperin

apresenta no que consiste a atividade com relação a essas três funções:

La actividad orientadora consiste en que el sujeto realiza un examen de la situación

nueva, confirma o no el significado racional o funcional de los objetos , prueba y

modifica la acción, traza un nuevo caminho y más adelante, durante el processo


30

de la realización, lleva a cabo un control de la acción de acuerdo a las

modificaciones previamente estabelecidas. (GALPERIN, 1976, 81)

O esquema da Figura 1 representa a dinâmica do processo de assimilação com as

funções de uma atividade, segundo a Teoria da Atividade.

Figura 1 – Momentos funcionais da estrutura da atividade

Fonte: Autores

Estes momentos funcionais ocorrem durante a mediação do professor e durante

participação ativa do estudante. O momento funcional não é necessariamente o mesmo para

estudante e professor em um dado instante.

Neste sentido Talízina defende em seu livro Psicologia de la Enseñanza de 1988 que

para que o desenvolvimento do processo de assimilação promova uma aprendizagem de

qualidade, faz-se necessário que o professor considere os seguintes aspectos: 1º defina os

objetivos do ensino, 2º identifique o nível de partida dos estudantes, 3º promova o processo

de assimilação, 4º obtenha a retroalimentação, que significa o feedback dos estudantes e 5º

promova a correção do processo redirecionando-o. Cada um destes cinco aspectos tem uma

função específica no processo conforme os momentos funcionais representados no esquema

abaixo.

Figura 2 – Dinâmica do processo de assimilação

Fonte: Adaptado de Mendoza, 2009

Este esquema representa as funções do professor referente ao processo de ensino e

aprendizagem. O presente artigo se deteve apenas a explanar o nível de partida dos

estudantes que se refere ao segundo momento (D2), o qual está relacionado com a função de

orientação. Neste segundo momento o professor deve identificar a base que orienta as ações

dos alunos no início do processo para poder (re)direcioná-lo de forma adequada. Essa

Execução Controle

Orientação

Orientação D2:Partida

Orientação D1-Objetivo

Execução D3:Processo

Execução D5: Correção

Controle D4: Retroalimetação


31

identificação também pode ser chamada de caracterização da base orientadora da ação

(BOA) dos estudantes.

Como já foi dito anteriormente, o processo de assimilação envolve a participação

ativa dos estudantes, ou seja, ele precisa se relacionar ativamente com o objeto de estudo

transformando a atividade externa em interna. A partir das significativas contribuições de

Leontiev sobre a atividade, P. Ya. Galperin avançou nas pesquisas, estudando como se dá

essa transformação. Esta conversão segue um percurso, podendo ser caracterizado como uma

combinação de mudanças qualitativas, constituindo uma série de etapas; as quais o sujeito

precisa enfrentá-las, passando por um processo gradativo de substituição lógica que favorece

a transformação ou conversão da atividade externa em atividade psíquica.

As ações que depois se convertem em “mentais” primeiro foram externas,

materiais. As ações mentais são os reflexos, derivados destas ações materiais,

externas. Durante a formação da ação interna, sobre a base da ação exterior,

se distinguem quatro etapas fundamentais: 1ª. A formação da base

orientadora da nova ação; 2ª. A formação do aspecto material dessa ação; 3ª.

A formação de seu aspecto linguístico e, 4ª. A formação dessa ação como um

ato mental. (GALPERIN, 2013, p.441)

Na primeira etapa negociam-se os significados sobre o objetivo da ação, seu objeto,

sistema de pontos de referências com os estudantes. É a etapa de conhecimento prévio da

ação e das condições para seu cumprimento. Etapa de elaboração da base orientadora da

nova ação.

Esta etapa tem grande importância na formação da ação, pois nela se entra em acordo

com os estudantes sobre o conteúdo da base orientadora da nova ação. Neste momento se

mostra aos acadêmicos como e em que ordem está composta a estrutura funcional das

habilidades que serão formadas: a orientadora, a executora e a de controle.

Galperin enfatiza a diferença entre saber como fazer e o fazer em si, ou seja, existe

uma distância entre compreender como se vai realizar a ação e executar a ação de fato.

Na segunda etapa, denominada de etapa de formação da ação em forma material (ou

materializada), os estudantes realizam a ação em forma material (ou materializada) externa,

com a execução de todas as operações que compõem esta etapa. Assim se realizam as partes

orientadora, executora e controladora da ação. Esta etapa permite que o acadêmico assimile

o conteúdo da ação e que o professor realize um controle objetivo do cumprimento de cada

operação que compõe esta ação. Ou seja, nesta etapa o aluno assimila a ação como material

(ou materializada), detalhada, generalizada, dentro dos limites dos principais tipos de

material e executada conscientemente com toda a composição das operações.

Então, depois que todo o conteúdo da ação é assimilado, pode se realizar a transição

para a terceira etapa, que é a etapa de formação da ação verbal externa. Nesta etapa todos os

elementos da ação são representados na forma verbal externa, a ação passa pela

generalização, mas sem atingir ainda a forma automatizada nem a reduzida.

Nesta etapa a fala começa a cumprir uma nova função, na primeira e na segunda

etapa a fala servia principalmente de sistema de indicações que se descobriam diretamente

na percepção. A tarefa do acadêmico consistia não em compreender as palavras, mas sim

compreender e dominar os fenômenos. Mas na terceira etapa, a fala se torna portadora


32

independente de todo o processo: tanto da tarefa quanto da ação. A ação verbal deve ser

obrigatoriamente assimilada em forma detalhada, todas as operações que a integram devem

ser verbalizadas e assimiladas.

A quarta etapa, é a etapa da formação da ação da linguagem externa “pra si”. Esta se

diferencia da anterior. Nesta a realização acontece em silêncio, sem escrevê-la: como

interpretação para si. A princípio, pelas características (o caráter detalhado, consciente,

generalizado) não difere da etapa anterior, mas ao adquirir a forma mental, a ação começa a

reduzir-se e automatizar-se muito rapidamente, adquirindo a forma da ação segundo a

fórmula.

Desde este momento a ação passa para a etapa final, a quinta etapa, chamada de etapa

da formação da ação em linguagem interna. Nesta etapa a ação adquire muito rapidamente

um desenvolvimento automático, se faz inacessível a auto-observação. Agora se trata do

pensamento onde o processo está oculto, sendo revelado apenas o produto deste processo.

Nesta perspectiva, Galperin defende uma proposta metodológica para promover a

internalização de conceitos e habilidades, mostrando que é possível se planejar atividades

tais que estimulem nos estudantes o desenvolvimento de processos psíquicos que contribuam

para formação de representações mentais por meio da realização consciente das atividades

passando pela sequência de etapas citadas anteriormente. Esta metodologia está

fundamentada na Teoria de formação por etapas das ações mentais de Galperin.

A importância da orientação na aprendizagem e no desenvolvimento.

Como já foi dito anteriormente, toda ação possui uma estrutura funcional invariante

que contempla orientação, execução e controle. A realização da ação com qualidade, bem

como seu acompanhamento e seu controle dependem da orientação que o estudante possui.

Assim sendo, compreende-se a orientação da ação como um direcionamento para

guiar o processo de aprendizagem e de formação de habilidades e conceitos ou guiar o

processo de incorporação de novas qualidades a habilidades ou conhecimentos já

dominados. Pode ser concebido também como uma conexão entre a teoria e a prática, onde

o estudante mobiliza seus conhecimentos teóricos conceituais e procedimentais para utilizá-

los na prática ao resolver um novo problema.

Para executar uma ação o acadêmico precisa primeiramente pensar na ação, ou seja,

precisa ter a representação dela, bem como das condições para sua execução. Esses

elementos, que são imprescindíveis para se pensar na futura ação, compõem a base

orientadora da ação –BOA. Galperin define a BOA como sendo:

A representação antecipada da tarefa, assim como o sistema de orientadores, que

são necessários para seu cumprimento, formam o plano da futura ação, a base para

dirigir a ação. A este plano denominamos “base orientadora da ação”.

(GALPERIN, 2013, p.442)

Talízina (1988) afirma que a orientação da ação de um sujeito se apoia em um sistema

de condições necessárias para cumpri-la e defende que é imprescindível que o professor

identifique a base que orienta as ações dos estudantes antes de iniciar o processo de

aprendizagem, a qual chama de nível de partida. Contudo para que essa identificação seja


33

realizada faz necessário que o professor estruture um esquema com uma base orientadora

completa da ação referente aos conceitos e habilidades que se deseja identificar o nível de

domínio dos estudantes.

O sistema invariante das habilidades para resolver problemas e o esquema da base

orientadora completa das referidas habilidades.

A habilidade é concebida como um meio pelo qual se adquire conhecimento, uma

via pela qual se aplica o conhecimento e se adquire novas habilidades. Pode-se dizer ainda

que a habilidade está relacionada com o conhecimento procedimental, ou seja, com o saber-

fazer, e o conhecimento conceitual está relacionado com o saber em si. Para Petrovsky

(1980) a habilidade consiste no domínio de um sistema de ações e operações decorrentes de

uma atividade psíquica consciente e racional.

Nesta perspectiva, as habilidades em resolução de problemas, mais especificamente,

as habilidades de “formular o problema”, de “construir o núcleo conceitual da solução”, de

“solucionar o problema” e de “interpretar o problema” podem ser estruturadas por um

sistema invariante de operações contemplando o conhecimento procedimental que está

sempre associado ao conhecimento conceitual. Assim sendo, as referidas habilidades podem

ter um esquema da base orientadora completa da ação com seus elementos estruturais e

funcionais que podem servir de referência tanto para o estudante quanto para o professor.

Galperin chama este esquema de mapa de atividade defendendo a sua utilização pelo

estudante, a qual traz contribuições significativas, uma vez que o acadêmico participa

ativamente do processo tendo consciência das ações e operações que devem dominar. Sem

o uso do mapa de atividade o estudante executa passivamente as operações, necessitando

continuamente de orientação externa.

Para Núñez e Ramalho (2018) o EBOCA é um modelo mental materializado da ação,

contendo a estrutura racional e invariante do sistema de operações da ação, chamada de

invariante operacional.

O EBOCA fornece aos estudantes uma ferramenta cultural para a

generalização teórica, que permite a compreensão de um conjunto de

situações ou de um dado domínio do conhecimento que define seus limites

de aplicação ou o grau de generalização. Essa é uma condição essencial

para a formação de ações mentais e dos conceitos com alta possibilidade

de transferência às novas situações-problema. (NÚÑEZ e RAMALHO,

2018, p.422)

A materialização do EBOCA é composta por três elementos: o modelo do objeto (a

definição do conhecimento conceitual e procedimental da ação); o modelo da ação (sistema

de operações invariantes necessárias e suficientes para a realização da ação) e o modelo de

controle (um conjunto de critérios para avaliar a execução). Com este esquema definido, o

estudante tem consciência do que deve ser formado e dominado por ele, nisto reside a

importância da orientação.

No âmbito da formação de conceitos e habilidades em resolução de problemas,

Mendoza e Delgado (2018) estudaram, pesquisaram e estruturaram um tipo de atividade

orientadora denominada de Atividade de Situações Problema Discente -ASPD-


34

fundamentada no Sistema Didático Galperin-Talízina e nos princípios do Ensino

Problematizador de Majmutov, o qual faz um estudo epistemológico sobre o processo de

ensino e aprendizagem a partir de proposições e resoluções de problemas.

A Atividade de Situações Problema Discente é uma Atividade de Estudo orientada

pelo objetivo de resolver problemas discentes, na zona de desenvolvimento

proximal, em um contexto de ensino aprendizagem, no qual exista uma interação

entre o professor, o estudante e a tarefa com caráter problematizador; com o uso

da tecnologia disponível e de outros recursos didáticos, para transitar pelos

diferentes estados do processo de assimilação de formação por etapas das ações

metais (MENDOZA e DELGADO, 2018, p. 13).

Com relação ao conceito de problema, Majmutov (1983) considera tanto o aspecto

didático quanto o aspecto psicológico do problema, ele afirma que os elementos

fundamentais de um problema são o conjunto de conhecimentos já conhecido pelo aluno

(neste conjunto são consideradas os dados da tarefa, todo conhecimento anterior e as

experiencias pessoais do indivíduo), o conjunto de conhecimentos desconhecidos (composto

pela incógnita, o que se pede e o procedimento para alcançar o objetivo) e suas respectivas

relações. Fazendo um paralelo com a ZDP de Vygotsky, é possível dizer que o desconhecido

equivale à zona de desenvolvimento potencial e o conhecido à zona de desenvolvimento

real.

O objetivo da ASPD é de desenvolver habilidades em resolver problemas

matemáticos, então a proposta é que se vá gradativamente aumentando-se o grau de

complexidade das tarefas passando pelas etapas materializada, verbal externa, verbal para si

até a mental, onde os estudantes conseguem transferir os conceitos e procedimentos para

novas situações.

Majmutov (1983) afirma que a tarefa pode se converter em problema somente

quando o aluno assimila a contradição e se motiva para buscar o que se pede na tarefa. Para

ele a tarefa é a representação linguística do problema, sua expressão externa. Assim sendo,

nem toda tarefa pode se converter em problema.

Neste contexto, com relação a regularidades presentes nas ações em resolução de

problemas, Majmutov (1983, p. 209-210) afirma que a resolução de problemas deve estar

relacionada ao conhecimento. Ele defende que existem dois procedimentos o analítico-

lógico e/ou heurístico. O procedimento analítico - lógico da atividade mental se relaciona

com a resolução de problema por meio de algoritmo de solução. Os procedimentos de

análises e sínteses, generalização, abstração e concretização são operações mentais que

sucedem uma atrás da outra em ordem determinada, como etapas, elevando-se cada vez em

busca da solução do problema. O pensamento heurístico está relacionado com o pensamento

intuitivo, a busca dos procedimentos de solução é através da formulação de hipóteses,

geralmente usando a intuição, como resultado de uma conjectura repentina.

Assim sendo, o Ensino Problematizador apresenta uma sequência de ações que

devem ser consideradas e desenvolvidas pelo aluno para alcançar a independência cognitiva,

o pensamento criativo e formar a habilidade de resolver problemas. Com isto, a Atividade


35

de Situações Problema Discente -ASPD é estruturada a partir de quatro ações com suas

respectivas operações inspiradas em Majmutov.

Considerando essa estrutura invariante da ASPD, consente-se dizer que capacidade

de resolver problemas no contexto da matemática pode ser desenvolvida a partir da formação

de um sistema invariante de quatro habilidades: a de formular o problema, de construir o

núcleo conceitual da resolução, de solucionar o problema e a de interpretar a solução do

problema. Dessa forma, estabeleceu-se um núcleo invariante de habilidades composto por

um sistema invariante de operações que permite estruturar o EBOCA para cada uma das

habilidades para resolução de problemas no âmbito da matemática (Ver quadro 1).

Quadro 1: EBOCA para as habilidades em Resolução de Problemas

Modelo do objeto Modelo da Ação

Ações/habilidades Operações das ações

Analisar a situação-problema

detalhadamente, tomando

consciência das dificuldades em

relacionar o conhecido e o

desconhecido em busca de

resolver o que o problema solicita

H1-Formular

problema discente

O1. Determinar os elementos conhecidos a partir dos

dados e/ou condições e/ou conceitos e/ou procedimentos

da tarefa.

O2. Definir os elementos desconhecido a partir dos

dados e/ou condições e/ou conceitos e/ou procedimentos

da tarefa.

O3. Reconhecer o buscado

Mobilizar os conhecimentos

(conceituais e procedimentais)

conhecidos inerentes ao

problema, conectando-os com os

conhecimentos desconhecidos

usando o procedimento analítico-

lógico e/ou heurístico em busca de

uma estratégia de resolução.

H2-Construir o

núcleo conceitual e

procedimental

O4. Selecionar os conceitos e procedimentos

conhecidos necessários para a solução do problema

discente

O5. Atualizar outros conceitos e procedimentos

conhecidos que possam estar vinculados com os

desconhecidos

O6. Encontrar estratégia(s) de conexão entre os

conceitos e procedimentos conhecidos e desconhecidos

Executar a estratégia elaborada

anteriormente, utilizando os

procedimentos adequados tais

como análise, síntese,

generalização, abstração,

concretização ou com pensamento

intuitivo em busca da solução

H3-Solucionar o

problema discente

O7. Aplicar a(s) estratégia(s) para relacionar os

procedimentos conhecidos e desconhecidos

O8. Utilizar recursos adequados em busca da solução

O9. Determinar o buscado e/ou objetivo

Mobilizar argumentos para

justificar de forma consciente as

causas da utilização dos

procedimentos adotados na

solução do problema com o

objetivo da assimilação de novos

conhecimentos

H4-Interpretar a

solução

O10. Verificar se a solução corresponde com objetivo e as

condições do problema discente

O11. Verificar se existem outras maneiras de resolver o

problema discente a partir do conhecido atualizado

com o desconhecido.

O12. Verificar se solução é coerente com dados e condições

do problema

Fonte: Autores

Uma vez estruturado o EBOCA, com seus respectivos modelos para o

desenvolvimento das habilidades, este será tomado como parâmetro de referência para

realizar o mapeamento e análise das respostas dos licenciandos participantes da pesquisa

Procedimentos Metodológicos

O estudo é um recorte de uma pesquisa realizada com 29 acadêmicos do curso de

Matemática-Licenciatura do Centro Acadêmico do Agreste da Universidade Federal de


36

Pernambuco durante a disciplina de Cálculo 1, cujo objetivo é realizar o diagnóstico inicial

dos participantes no que tange o nível do desempenho das habilidades em resolução de

problemas envolvendo conhecimentos sobre Função.

Para coleta de dados foi utilizado uma prova pedagógica composta por quatro

tarefas, onde cada participante respondeu individualmente em sala de aula as tarefas

propostas neste instrumento. Em seguida, os dados coletados foram analisados tendo como

parâmetro de referência o modelo da ação do EBOCA, em primeiro lugar, quantitativamente

e, a partir dos resultados desta análise, os referidos dados foram analisados qualitativamente.

Por motivo de limitação de espaço serão apresentados neste artigo as análises e resultados

relacionados apenas à tarefa 4 da prova pedagógica.

Tarefa 4: Desde o início do mês, o reservatório de água de um condomínio vem

perdendo água uma taxa constante. No dia 12, o reservatório está com 36 litros d’água; no dia

21, está apenas com 18 litros.

a) Expresse a quantidade de água no reservatório em função do tempo.

b) Quantos litros de água havia no reservatório no dia 4?

c) Em quantos dias ficarão sem água, a partir do dia 21? Justifique.

Esta tarefa teve como objetivo coletar dados referentes ao domínio das ações de

formular o problema, de construir o núcleo conceitual e procedimental, de solucionar e de

interpretar os resultados. Nesta tarefa o estudante deve apresentar a habilidade de relacionar

dois tipos diferentes de representação de uma função, a representação por meio de palavras

e a representação algébrica.

Com relação ao EBOCA, cada habilidade possui um sistema estruturante de

operações que precisam ser dominados para o desenvolvimento desta habilidade. Contudo,

para cada habilidade foi elencada uma operação essencial, de forma a facilitar a

caracterização da BOA de cada estudante. A operação essencial da habilidade de formular

o problema é a operação 3-O3- que é identificar o que o enunciado da tarefa está

solicitando. A da habilidade de construir o núcleo conceitual e procedimental é a operação

6-O6- que é elaborar uma estratégia de conexão entre o conhecido e o desconhecido. A da

ação de solucionar o problema é a operação 9-O9- que é de determinar o que foi solicitado

no enunciado. E a operação essencial da ação de interpretar a solução é a O12 que é verificar

se a solução corresponde ao que é solicitado e às condições do problema.

A partir do mapeamento de desempenho correto e incorreto de cada operação,

conforme o modelo da ação do EBOCA, foi possível realizar agrupamentos por tipos

desempenhos em nível de orientação para cada habilidade de acordo com o Quadro 2.

Quadro 2 - Critérios de caracterização dos níveis do modelo da ação

Nível Características do nível (operações executadas corretamente)

N1 Nenhuma operação executada corretamente ou não realizada

N2 Uma ou duas operações não essenciais executada(s) corretamente

N3 Apenas a operação essencial executada corretamente

N4 A operação essencial e uma operação não essencial executadas corretamente

N5 Todas as operações executadas corretamente

Fonte: Autores, 2020


37

Dessa forma, foi feita primeiramente uma análise quantitativa, na qual as habilidades

converteram-se em variáveis e as operações foram converidas em indicadores para

identificação do nível de orientação, variando de 1 a 5. E em seguida foi realizada uma

análise qualitativa dos desempenhos de acordo com os níveis de orientação apresentados na

análise quantitativa, na qual as habilidades torram-se categorias e as operações

converteram-se em subcategorias que foram analisadas detalhadamente.

Para a realização da análise quantitativa os dados foram organizados em uma

planilha no EXCEL, informando acertos e erros da realização de cada operação. De acordo

com as características do quadro acima, foi possível se programar a planilha para calcular

as pontuações de cada variável, indicando o nível da orientação do desempenho de cada

ação. Além disso, a planilha também foi programada para gerar medidas estatísticas, tais

como média, mediana, moda e desvio padrão, bem como gráficos que puderam facilitar as

análises.

Para realização da análise qualitativa foram identificadas características comuns

pertencente a cada nível evidenciadas na execução das operações de cada habilidade ao

resolver o problema proposto. Dessa forma, identificou-se o nível de cada estudante para

cada habilidade, as características específicas de cada nível de desempenho, bem como as

ações e operações que os participantes apresentam um baixo nível de orientação.

Caracterização da BOA dos estudantes com relação a habilidades em resolução de

problemas em função.

As respostas dos acadêmicos foram analisadas e mapeadas de acordo com o

desempenho de cada operação em cada habilidade elencada no modelo da ação do EBOCA.

Logo após, foram agrupadas em níveis de orientação como mostram as Tabelas 1, 2, 3 e 4

seguintes.

Tabela 1 - Níveis da base orientadora da ação de formular o problema discente Níveis Frequência % Características do nível(execução correta da operação)

N1 3 10,3 Nenhuma operação

N2 0 0 O1 ou O2 ou O1 e O2

N3 0 0 O3

N4 5 17,2 O1 e O3 ou O2 e O3

N5 21 72,5 O1, O2 e O3

Fonte: Autores

Observando a Tabela 1, é possível verificar que na habilidade de formular o

problema, 21 estudantes realizaram corretamente todas as operações, ou seja, identificaram

os elementos que se associam, identificaram as propriedades da relação entre estes elementos

e identificaram o que está sendo solicitado. Cinco estudantes identificaram os elementos que

se associam, identificaram o que está sendo solicitado, mas apresentaram deficiência em

reconhecer as propriedades da referida função. E três acadêmicos não responderam ou

apresentaram dificuldades nas três operações relativas a primeira ação.

Mostrando um recorte da análise das características das respostas apresentadas pelos

estudantes do nível 4, o participante A19 identificou o que o problema está solicitando, pois


38

está explícito na resposta da letra c da questão 4, conforme a Figura 3. Contudo ele

apresentou dificuldades ao identificar os elementos da função, reconhecendo parcialmente

as propriedades da função, como está registrado na resposta da letra a da questão 4.

Figura 3 - Resposta da tarefa 4 do acadêmico A19

Fonte: Pesquisa de campo, 2019

Já o participante A22 que está no nível 5, apresentou uma excelente base orientadora

ao identificar os elementos da função, ao reconhecer as propriedades da função e ao

identificar o que o problema está solicitando, como pode ser observado na Figura 4.

Acredita-se que o referido estudante concebe o problema sem dificuldades no que tange o

núcleo conceitual e procedimental de função linear.




39

Agora analisando o desempenho de construir o núcleo conceitual e procedimental

em função linear, vale lembrar que esta ação foi a que apresentou um relativo índice de

dificuldade na atividade diagnóstica. Segue abaixo a Tabela 2 com o quantitativo de

acadêmicos referente a cada nível da base orientadora da 2ª ação para guiar a análise

qualitativa.

Tabela 2 – Níveis da base orientadora da ação de construir o núcleo conceitual e procedimental Níveis Frequência % Características do nível (execução correta da operação)

N1 0 0 Nenhuma operação

N2 12 41,5 O4 ou O5 ou O4 e O5

N3 3 10,3 O6

N4 3 10,3 O4 e O6 ou O5 e O6

N5 11 37,9 O4, O5 e O6

Fonte: Autores.

Com relação a segunda habilidade, 11 estudantes não apresentaram erros na

realização das operações desta ação, ou seja, conseguiram estabelecer corretamente uma

relação entre os elementos da função, considerando suas propriedades. Três acadêmicos

conseguiram estabelecer uma relação parcialmente correta entre os elementos, pois as

propriedades foram identificadas parcialmente. Três estudantes estabeleceram uma relação

entre os elementos da função, mas não identificaram as propriedades da função. E os outros

doze não conseguiram estabelecer uma relação correta entre os diferentes elementos da

função.

O estudante A03, pertencente ao nível 2 de orientação, ao tentar expressar a

quantidade de água no reservatório em função do tempo, como pede a letra a da questão 4,

escreve apenas “-2x”, observável na ilustração da Figura 5. Ou seja, ele compreende que a

cada dia perde-se 2 litros de água, contudo ele não conseguiu representar nesta expressão a

quantidade inicial de água do reservatório. Para construir o núcleo conceitual e

procedimental que envolvem funções lineares, requer que o aluno identifique as coordenadas

de dois pontos, associando estas às informações dadas no problema, o que não foi feito.




40

É interessante como a subcategoria/operação de encontrar a inclinação da reta(m ou

a), que representa graficamente uma função linear ou a expressão y=ax + b, foi realizada e

calculada corretamente pela maioria, que encontrou a inclinação igual à “-2”, representando

o modelo como “-2x”. Contudo a expressão que representa a reta, a qual representa

algebricamente o problema não foi encontrada corretamente, sendo apresentado para a

variável b vários valores equivocados.

Dentre os participantes que se encontram nível 5 de orientação, observou-se que

alguns deles se apoiaram em bases orientadoras com diferentes núcleos conceituais e

procedimentais para representar algebricamente a função. Como mostra a Figura 6, o

estudante A26, por exemplo, tomou como elementos conhecidos a expressão que representa

uma função linear e construíram um sistema com duas equações com os dados do problema,

resolveram-no e encontraram os valores de a e b, conseguindo encontrar a representação

algébrica da função.



Já o estudante A04 se apoiou na base orientadora com núcleo conceitual e

procedimental em cálculo para o coeficiente angular. É possível observar na Figura 7 que o

referido estudante utilizou a razão entre ∆y e ∆x, com os dados fornecidos no enunciado do

problema encontrou a, e por substituição de a encontrou b, conseguindo, assim, a

representação algébrica da função solicitada na tarefa.

Enquanto que o participante A25 apresentou como elementos conhecidos o núcleo

conceitual e procedimental sobre progressão aritmética. A Figura 8 mostra que ele encontrou


41

o primeiro termo e a razão. Dessa forma, expressou algebricamente a função com a mesma

exatidão que os demais do nível 5.





Seguiremos com os resultados da análise do desempenho da habilidade de solucionar

o problema discente em função. De forma análoga, a análise qualitativa do referido

desempenho foi guiada pela a análise quantitativa da terceira ação. Como resultado da

análise quantitativa obteve-se a Tabela 3.


42

Tabela 3 – Níveis da base orientadora da ação de solucionar o problema Níveis Frequência % Características do nível(execução correta da operação)


N2 8 27,6 O7 ou O8 ou O7 e O8

N3 0 0 O9

N4 8 27,6 O7 e O9 ou O8 e O9

N5 10 34,5 O7, O8 e O9

Fonte: Autores

Com relação ao mapeamento apresentado na Tabela 3, os estudantes do nível 5

conseguiram realizar as operações sem dificuldades, encontrando a representação algébrica

da função e calculando o valor de x usando o valor de f(x) dado no enunciado. Os estudantes

do nível 4 conseguiram calcular o valor de x dado f(x), mas utilizaram a estratégia da tabela,

apresentando dificuldades em encontrar a representação algébrica da função. Já os

acadêmicos do nível 2 encontraram uma representação algébrica parcialmente correta e

consequentemente, não encontraram o valor de x corretamente. E os três estudantes do nível

1 não conseguiram realizar as operações referentes a terceira ação ou realizaram

erroneamente.

Dentre os estudantes que se encontram no nível 5 na habilidade de construir o núcleo

conceitual, ou seja, elaboraram uma estratégia de resolução corretamente, apenas um não

conseguiu executar a estratégia estabelecida, chegando a um resultado errado. Contudo, uma

das características comuns evidentes na resolução dos participantes do nível 4 da Tabela 3

se refere à dificuldade em representar a função algebricamente, como foi solicitado na letra

a da tarefa, mas conseguiram elaborar outras estratégias para chegar à resposta correta, como

mostra a resposta do acadêmico A28 na Figura 9.



Seguindo com a análise do desempenho dos estudantes no que tange a formação da

habilidade de interpretar a solução, foi utilizado o mesmo procedimento das análises


43

anteriores. A análise qualitativa do referido desempenho foi guiada pela a análise

quantitativa da quarta ação. Como resultado da análise quantitativa obteve-se a Tabela 4.

Tabela 4 – Níveis da base orientadora da ação de interpretar o problema

Níveis Frequência % Características do nível(execução correta da operação)


N2 5 17,2 O10 ou O11 ou O10 e O11

N3 4 13,8 O12

N4 7 24,2 O10 e O12 ou O11 e O12

N5 10 34,5 O10, O11 e O12 Fontes: Autores

Com relação a quarta habilidade que é de interpretar a solução, 10 estudantes do nível

5 realizaram as operações sem dificuldades, ou seja, verificaram se a resposta correspondia

ao que foi solicitado, detalhando a resolução realizada e utilizando as unidades de medidas

corretamente. Sete acadêmicos do nível 4 verificaram se a resposta estava de acordo com o

que foi solicitado, explicando a resolução, mas apresentou dificuldades ao determinar as

unidades de medidas. Quatro estudantes do nível 3 verificaram se a solução estava de acordo

com o solicitado, mas não detalharam e nem utilizaram as unidades de medidas nas

respostas. Cinco acadêmicos do nível 2 justificaram detalhadamente como desenvolveram a

solução, contudo não verificaram se a resposta estava de acordo com o solicitado, nem

utilizaram as unidades de medidas. E três acadêmicos do nível 1 não apresentaram nenhuma

operação da quarta ação ou desenvolveram as referidas operações de forma errônea.

Além disso, foi possível perceber que, dentre os participantes que executaram

corretamente a solução, dois não analisaram comparativamente as respostas das letras a, b e

c , as quais apresentavam incongruência. Os dados coletados do acadêmico A09, na Figura

10, ilustram bem este fato, onde as respostas das letras b e c estão corretas, mas a da letra a

está errada.




44

Uma das formas de se ter acesso à BOA do estudante é por meio da observação e

análise da execução da ação. Desta forma, pode-se ter evidências de sua base orientadora

individual. Ao se comparar os desempenhos apresentados nas diferentes ações por estudante,

verificou-se que 10 estudantes se encontram no nível 5 de desempenho em todas as ações.

O que confirma a premissa de que uma boa orientação é fundamental para uma execução de

qualidade e um controle mais criterioso. Enquanto os que se encontram em níveis inferiores

na primeira e segunda habilidade apresentaram uma execução e um controle de forma

errônea.

Conclusão

Um dos princípios que guia o processo de ensino e aprendizagem é a Direção de

Estudo de Talízina, a qual tem início com a delimitação do objetivo de ensino, seguida do

diagnóstico do nível dos estudantes para, a partir diagnóstico, se definir o plano de ensino

para iniciar o processo de assimilação.

Cada estudante possui uma base que orienta suas novas ações. É fundamental que

esta base seja identificada, mapeada e caracterizada, pois durante o processo, o estudante

mobilizará elementos de sua base orientadora para agir na assimilação de conceitos e

formação/atualização de habilidades. Se esta base orientadora estiver incompleta ou for

deficitária, o estudante enfrentará obstáculos no desenvolvimento do processo de

aprendizagem, no qual o professor precisa identificar os erros para retroalimentar e corrigir

o processo, fazendo as devidas mediações.

Na primeira fase deste estudo foi realizado um diagnóstico com a identificação e a

caracterização da base orientadora das ações envolvendo o conteúdo de função dos

estudantes participantes desta pesquisa. Nas análises foi constatado que os acadêmicos

apresentaram uma orientação da ação de resolver problemas discentes em função de forma

fragmentada e incompleta, que se revela nas dificuldades apresentadas na realização das

operações que compõem a ASPD em funções.

Dentre os entraves, destacam-se o de representar a função em sua forma gráfica,

algébrica e na forma verbal. Além disso, ficou bem evidente a dificuldade em converter a

função de um tipo de representação para outro. Fato que pode impedir que o estudante avance

no desenvolvimento de habilidades envolvendo resolução de problemas em limite. A partir

deste diagnóstico e com o plano de ensino por meio da ASPD em função será feita a

atualização do núcleo conceitual e procedimental de função na expectativa que o estudante

consiga (re)elaborar uma BOA ideal tendo como referência o EBOCA da ASPD em função.

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Naralina Viana Soares da Silva Oliveira

Instituição: Universidade Federal de Pernambuco (UFPE)


ORCID: https://orcid.org/0000-0002-9952-4941


Instituição: Universidade Federal de Roraima (UFRR)




https://orcid.org/0000-0002-9952-4941


https://orcid.org/0000-0002-0346-8464


Submetido em: : 15 de agosto de 2020. DOI:

http://dx.doi.org/10.37084/REMATEC.1980-3141.2020.n15.p46-62.id285 Aprovado em: : 15 de novembro de 2020.

Ensino dos números racionais a partir de materiais manipuláveis e

objetos de aprendizagens

Teaching rational numbers from manipulable materials and learning

objects

José Ronaldo Melo

Universidade Federal do Acre (UFAC)


Secretaria de Estado da Educação do Amazonas (SEEA)

RESUMO Esta pesquisa teve por escopo investigar na sala aula de Matemática, do 6° ano do Ensino

Fundamental, em qual perspectiva se desenvolve o ensino dos números fracionários. Para a

produção dos dados foram aplicados dois questionários, que resultaram num mapa conceitual, bem

como sete atividades que se deram com o uso de materiais manipuláveis e digitais. Os resultados

obtidos através desses recursos revelaram apropriação do algoritmo comum, apresentados nos

livros didáticos, assim como a não compreensão do conceito de equivalência, o que caracteriza a

aprendizagem como mecânica, em que o aprendiz não vincula os conceitos prévios aos conceitos

presentes em sua estrutura cognitiva. Considerando que o mapeador desenha as proposições de

acordo com o objetivo focal proposto pelo professor e o seu conhecimento prévio, foi possível

estabelecer a comparação dos dois mapas e, assim, verificar um avanço considerável na abstração

dos conceitos de equivalência, potencializados mediante o uso do material desenvolvido para esse

fim. Sabe-se que a aprendizagem significativa é dependente da estrutura cognitiva idiossincrática

do indivíduo e requer a associação de um conceito a outro dentro de um sistema hierarquicamente

organizado, uma vez a aprendizagem sendo formal depende de mecanismo para a apresentação dos

conceitos e da retenção pelo indivíduo. Nessa perspectiva, é emergente a mudança na prática

docente, no sentido do uso de uma variedade maior de recursos que fomentem a assimilação de

informações.

Palavras-chave: Frações. Geogebra. Mapas conceituais. Materiais manipuláveis.

ABSTRACT

The purpose of this research was to investigate in the Mathematics classroom, the 6th year

of elementary school, in which perspective the teaching of fractional numbers develops.

For the production of the data, two questionnaires were applied, which resulted in a

conceptual map, as well as seven activities that occurred with the use of handling and

digital materials. The results obtained through these resources revealed appropriation of the

common algorithm presented in the textbooks, as well as the lack of understanding of the

concept of equivalence, which characterizes learning as mechanics, in which the learner

doesn’t link the previous concepts to the concepts present in their structure cognitive.

Considering that the mapper draws the propositions according to the focal objective

proposed by the teacher and his previous knowledge, it was possible to establish the

comparison of the two maps and, thus, to verify a considerable advance in the abstraction

of the concepts of equivalence, potentialized through the use of the material developed for

this purpose. It is known that meaningful learning is dependent on the individual's

idiosyncratic cognitive structure and requires the association of one concept with another

within a hierarchically organized system, since learning being formal depends on the

mechanism for the presentation of concepts and retention by the individual. In this


47

perspective, the change in the teaching practice, in the sense of the use of a greater variety

of resources that foment the assimilation of information, is emerging.

Keywords: Fractions. Geogebra. Conceptual maps. Handling materials.

Introdução

Certamente o professor comprometido com uma aprendizagem significativa terá a

sensibilidade de fazer com que suas aulas abram horizontes. Dessa forma, em seus

planejamentos terá como prioridade mobilizar situações de aprendizagens que envolva uma

relação intrínseca em busca do conhecimento.

Conforme Ausubel (2000), o fator isolado mais importante capaz de influenciar a

aprendizagem é tomar o conhecimento prévio do aprendiz como ponto de partida.

Descobrindo o que ele já conhece, o professor poderá repensar a sua prática pedagógica

fazendo a diferença para que o estudante se mostre capaz de estabelecer relações e vínculos

em sua estrutura cognitiva com conhecimentos adquiridos, ocorrendo assim, a

aprendizagem significativa. É nessa perspectiva de investigação que foi desenvolvido este

estudo, fundamentado especialmente na experiência em sala de aula, que se deu por cinco

anos consecutivos, na prática de sala de aula.

Nessa experiencia, observou-se que os alunos ao resolverem problemas relacionados

com semelhança de polígonos, potenciação, racionalização, construções de gráficos e

equações que exigiam cálculos, sobretudo com os números racionais apresentavam

dificuldades. Essas dificuldades transpassava a sala de aula refletindo nas avaliações

externas – Prova Brasil e SADEAM (Sistema de Avaliação do Desempenho Educacional

do Amazonas), onde as Matrizes de referências para avaliação em Matemática têm como

foco a habilidade de resolver problemas contextualizados.

Uma análise das planilhas do 9° ano, das duas escolas investigadas, revelaram

índices de baixos rendimentos nas habilidades de efetuar cálculos que envolvam operações

com números racionais e habilidade de resolver problemas envolvendo as operações

(adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação). A partir dessas informações

refletiu-se sobre o motivo pelo qual o aluno estava chegando ao 9° ano sem saber operar

com os números racionais, indagando-se sobre quais seriam as causas dessa situação? E

como intervir para que a aprendizagem dos alunos fosse efetiva?

Deste modo, com o objetivo de investigar em qual perspectiva se desenvolve o

ensino dos números fracionários no 6° ano do Ensino Fundamental, foi proposto verificar

se uma das causas, da não abstração dos conceitos de fração, refere-se a obstáculos

epistemológicos ou à aprendizagem mecânica dos conceitos, que exige somente a

memorização dos algoritmos e, por isso, são esquecidos com o passar do tempo. Também

foi especulado se com o uso de materiais didáticos os alunos poderiam se apropriar desses

conceitos.

A partir daí, foi elaborado um estudo à luz da Teoria da Assimilação, que foi pensada

para um contexto de sala de aula no aprendizado por receptividade, sobre a origem e os

conceitos fundamentais dos números fracionários, apresentados por Roque (2012) e Caraça

(1970), além de se refletir sobre os obstáculos epistemológicos e os aspectos de um

número fracionário discutidos por Mandarino (2010), Barbosa (1966) e em Toledo e

Toledo (2010). E para a construção de materiais que abordam frações com esquemas


48

geométricos utilizados na investigação das questões de pesquisa, buscou-se orientações em

Lorenzato (2009).

Materias e Metodos

Para produção de dados foi utilizado Mapa Conceitual que é uma estrutura

esquemática para representar um conjunto de conceitos imersos numa rede de proposições

e que pode ser entendido como uma representação visual utilizada para partilhar

significados, que segundo Novak e Gowin (1984) “envolve a assimilação de conceitos e de

proposições novas em estruturas cognitivas preexistentes através do uso de diagramas

(mapas) especiais para estimular e organizar a geração e a comunicação de ideias

complexas”. Exemplo de um Mapa Conceitual, ver Figura abaixo:

De acordo com Correia (2015), com esse organizador gráfico pode-se representar um

conhecimento de forma sistematizada, sendo que as proposições mapeadas os diferenciam

de outros organizadores gráficos, tais como mapas mentais, infográficos, fluxogramas, etc.

As proposições são o conjunto formado pelo conceito inicial, um termo ou frase de ligação

e um conceito final. A frase de ligação por sua vez a rigor precisa conter um verbo

formando uma oração, pois externaliza a relação conceitual entre o conceito inicial e o

conceito final, por isso, é importante colocar setas para indicar o sentido de leitura.

Em síntese, os elementos que constituem um mapa conceitual são os seguintes: o

Conceito: representado graficamente por um círculo, oval ou retângulo; frase de ligação:

que forma as unidades semânticas (unidades de significado) e as setas ou linhas: que

direcionam o sentido da leitura. “As proposições constituem uma declaração significante.

Às vezes podem ser chamadas de unidades semânticas ou unidades de significado.”

(OLIVEIRA e PACHECO, 2010, p. 36).

Como na figura abaixo:


49

Segundo Correia (2015), o grau de clareza semântica das proposições é garantido

pela frase de ligação quando esta apresenta um verbo, explicitando as relações entre os

conceitos. Cada proposição carrega um conteúdo semântico, claro e preciso, passível de

um julgamento. Podendo ser avaliado se está certo ou errado, e, se um conteúdo revelado é

conveniente ou não ao tema que está em debate. Por isso é importante definir uma questão

focal que vai orientar a construção do mapa conceitual. O conteúdo é revelado de acordo

com o verbo do termo de ligação.

Para construir mapas conceituais espera-se do aluno produção individual, no qual,

deverá descrever e relacionar os conceitos hierarquicamente internalizados por ele. Nesse

momento, de acordo com Novak e Gowin (1984), o aluno busca dentro de sua estrutura

mental tudo o que está relacionado com o tema investigado, exteriorizando seus

conhecimentos. Conjectura-se que com mapeamento de uma questão, o professor terá

informações sobre como está se desenvolvendo a aprendizagem do aprendiz do ponto de

vista conceitual, possibilitando interferência e esclarecimentos dos conceitos ou

proposições que não estão esclarecidos ou adequadamente apresentados nas construções.

Oliveira e Pacheco (2010) dizem que ao fazer a leitura de um mapa conceitual estamos

frente ao desenho cognitivo dos conceitos que o aprendiz possui.

Produção de Dados

A produção de dados ocorreu através da proposta do mapeamento na resolução de

dois questionários A e B e no desenvolvimento de sete atividades realizadas pelos sujeitos

da pesquisa. A aplicação do questionário ocorreu em dois momentos: o questionário A, foi

aplicado no primeiro encontro com os participantes, na perspectiva de descobrir os

conceitos prévios que os sujeitos tinham sobre os números fracionários e o questionário B,

teve por objetivo verificar se houve avanços na aprendizagem dos números fracionários

após o desenvolvimento das atividades.

Questionário A:

1. Um terreno terá 2

15 de sua área ocupada por um jardim,

6

15 por uma praça e

7

15 por um

estacionamento1.

a) Que fração corresponde à área do terreno destinada: à praça e o jardim? à praça e o

estacionamento? ao jardim e ao estacionamento?

b) Que fração corresponde à diferença entre as áreas destinadas ao: estacionamento e a

praça? estacionamento e jardim? jardim e praça?

2. Pela manhã uma balsa percorreu 2

3 de uma distância e a tarde,

1

4. Que fração da distância

ela percorreu nos dois períodos? 2

1 Questão retirada do livro Vontade de Saber Matemática, 6° ano, pág.144 – 2017. Ed. FTD.

2 Questão retirada do livro Projeto Teláris, 6° ano, pág.178 – 2016. Ed. Ática.


50

Questionário B

1. A figura A mostra duas barras idênticas de chocolate que foram divididas, cada uma

delas em partes iguais, sendo que a área destacada representa a quantidade de chocolate

consumido por uma pessoa.

1. Júlia comeu a parte destacada da primeira barra e Matheus comeu a parte destacada da

segunda barra. 3 a) Quem comeu mais, Júlia ou Matheus? Por quê? b) Qual a fração que

representa a quantia que os dois comeram juntos?

2. Pela manhã uma balsa percorreu 2

3 de uma distância e à tarde,

1

4. Que fração da distância

ela percorreu nos dois períodos? 4

No primeiro encontro com os participantes, foram fornecidas informações verbais,

impressas sobre o que é um mapa conceitual e um exemplo de como construir o

mapeamento de uma questão através do software cmaptools. Com exposição visual em

projetor foi mostrado como se estrutura um mapa conceitual. Com informações necessárias

sobre como fazer um mapa conceitual, os participantes mapearam por fim a resolução do

questionário A, como mostra o mapa de dos participantes:

No segundo encontro, foram aplicadas sete atividades, sucessivas, com os materiais

manipuláveis e digitais. Cada atividade com o foco em um ou mais conceitos dos números

fracionários que de acordo com o objetivo foram se externalizando. E com a conclusão das

3 Questão formulada pela pesquisadora.

4 Questão retirada do livro Projeto Teláris, 6° ano, pág.178 – 2016. Ed. Ática.

Figura A


51

atividades, os participantes foram desafiados novamente ao mapeamento da resolução do

questionário B, finalizando os encontros.

Para apresentação dos resultados, foram analisados e comparados os mapeamentos

dos questionários e observados os conceitos que iam se externalizando de acordo com as

sete atividades sugeridas. Analisou-se também a relevância de uso de mapa conceitual

como instrumento para investigação e dos materiais manipuláveis digitais para o ensino e

aprendizagem de frações.

Resultados e Discussões

Com o propósito de investigar as habilidades de representar e identificar frações

equivalentes através de dobraduras utilizou-se papéis sulfites para representar meio, um

terço, e as frações equivalentes a elas, dobrando a folha ora em um lado ora outro. Esta

atividade possibilitou a realização das primeiras operações com frações, abstração dos

primeiros conceitos e a noção de equivalência através das áreas, além da construção de

significados aos termos das frações, conforme Toledo e Toledo (2010).

Foram distribuídas folhas de sulfites aos participantes solicitando que dobrassem a

folha ao meio, tracejassem uma parte e escrevessem a fração que representa a parte

tracejada em relação à folha toda. Em seguida dobrasse do outro lado ao meio e fizessem

novamente a escrita da fração que representa a parte tracejada.

Com uma nova folha, foi solicitado o mesmo procedimento, utilizando-se de três

partes iguais. Alguns alunos precisaram de ajuda para dobrar a folha em três partes iguais,

ocasião em foram orientados que dobrassem ao meio, abrissem a folha e fizessem coincidir

as laterais da folha com o centro, vinculando as dobras, abrissem e retirasse uma das

partes. Observou-se que o todo por vez ficaria de tamanho menor, porém não influenciou

na compreensão do reconhecimento das frações. Esta atividade apresentou-se familiar para

a maioria dos participantes, pois relataram que já haviam participado de uma atividade

similar, em outras ocasiões. Os participantes identificaram as frações pedidas como 1

2,

2

4,

1

3 e

2

6, porém, pareceu não ser perceptível a relação de equivalência com o processo de

dobradura.

Na sequência aplicou-se a outra atividade com objetivo de investigar as habilidades

de comparar frações de uma grandeza contínua através de esquemas geométricos,

principalmente a equivalência. Distribuiu-se, portanto, retângulos de mesmo tamanho com

partes coloridas nos quais os participantes foram desafiados a representar as frações, a

partir da observação das partes coloridas mais acentuada, e relacionar com suas

equivalentes.

Esperava-se a representação numérica das frações e a comparação pelo algoritmo

comum ou visualmente pelo esquema geométrico, através da contagem dos retângulos das

partes coloridas relacionando com o numerador e a quantia total de retângulos

relacionando com o denominador. Para visualmente concluir que as frações são

equivalentes observou-se a ocorrência de duas situações: se a quantias de retângulos dos

esquemas que representam os denominadores e as quantias de partes coloridas têm a


52

mesma quantia, ou se é o dobro, triplo, quádruplo, etc., como por exemplo 3

6 e

6

12 nos

registros abaixo:

Notou-se com esta atividade que todos os sujeitos representaram corretamente as

frações, porém a minoria (8) relacionou-as com as equivalentes, dentre esses apenas um

recorreu à leitura da imagem e dos cálculos de simplificação para relacionar as frações

equivalentes, os demais se ativeram às cores das figuras ou aos critérios dos naturais para

definir equivalência. Certamente porque os conteúdos, geralmente, sejam culturalmente

tratados em sala de aula de forma isolada, pois “de modo geral, parece não se levar em

conta que, para o aluno consolidar e ampliar um conceito, é fundamental que ele o veja em

novas extensões, representações ou conexões com outros conceitos” (PCN, p. 22).

Ao ser apresentadas aos sujeitos as frações 1

3 e

2

5, com as perguntas: Qual delas é a

maior? Não hesitaram em responder que 2

5 era maior, com a justificativa de que 2 é maior

que 1, e de que 5 é maior que 3, relacionando os numeradores e denominadores como

números naturais, o que está de acordo com Pires (2010) e Toledo e Toledo (2010), que em

suas pesquisas notaram que os alunos estariam acostumadas com a relação 5 > 3, assim

acabam achando que frações com numeradores ou denominadores maiores serão maiores.

Com mais uma atividade investigou-se as habilidades em identificar os termos das

frações relacionando a parte colorida com o numerador e a divisão com o denominador.

Para isso foram distribuídas aos sujeitos seis impressões quadrangulares, com divisões

iguais, possíveis para representar frações de 1

2 até

7

7 de forma geométrica. Propôs-se que

colorissem partes dos quadrados representando as frações 1

2,

2

3,

2

4,

2

5,

3

6 e

1

7, .

No desenvolvimento desta atividade não houve obstáculos para representarem as

frações, os participantes justificaram adequadamente a escolha do quadrado fracionário

para colorir e representar as frações e relacionaram a divisão dos quadrados com o

denominador, indicando que a utilização de figuras geométricas divididas em partes para a

criança hachurar ou colorir as partes indicadas favorece a formação do conceito de fração,


53

significado de seus termos e denominação, uma vez que possibilitou o aluno intuitivamente

compreender a necessidade de dois números inteiros para expressar um número

fracionário, estando de acordo com conclusões de Barbosa (1966, p. 150).

A quarta atividade investigou habilidades em operar com adição de frações através

de observação dos esquemas geométricos, pediu-se que considerassem dois dentre os

quadrados fracionários que os participantes haviam colorido na terceira atividade,

identificassem os termos das frações, representassem numericamente em uma folha e

executassem os seguintes procedimentos: Como exemplos as frações 𝑟 =𝑚

𝑛=

1

3 e s =

𝑝

𝑞=

2

5. 1° - Segure dois quadrados fracionários coloridos, frente ao olhar, com as divisões no

sentido vertical; 2° - Rotacione (90°) uma delas, deixando as divisões no sentido

horizontal, nesse caso 2

5; 3° - Sobreponha uma figura a outra, alternando, como na figura

abaixo:

Figura – Fração 2/5 rotacionada

Figura – Frações equivalentes a r e s.

Neste passo, foram reforçadas as observações das subdivisões que ocorrem nas

figuras com o efeito da sobreposição. As áreas totais, das duas figuras, ficaram

subdivididas em retângulos de mesmos tamanhos, cujas quantias representam o ‘novo’

denominador e as partes coloridas os ‘novos’ numeradores, que representam frações

equivalentes às primeiras com denominadores iguais. De forma geral, pode-se relacionar a

subdivisão, que ocorre pela sobreposição das imagens, com o processo de encontrar

frações equivalentes com os mesmos denominadores.

Com esta atividade, buscou-se verificar se os sujeitos compreendem a necessidade

de troca de um número por outro para operar com a adição de frações com denominadores

diferentes, através da percepção de subdivisão das áreas.

Segundo Barbosa (1966, p. 151), através de esquemas geométricos é possível

“compreender que a multiplicação do denominador aumenta o número de divisões

efetuadas sobre o inteiro, e a multiplicação do numerador aumenta o número de partes

consideradas”. O despertar com a coincidência dos resultados poderá levar o aluno à

aquisição da aprendizagem das frações equivalentes e das propriedades correspondentes.

Além da possibilidade de levá-los a entender a obrigatoriedade da troca de um par de

números por novo par para fazer a adição, dificuldade que Barbosa (1966) aponta como

um dos fatores de suas dúvidas.

Os alunos realizaram todos os procedimentos, conforme iam sendo orientados,

corretamente. Porém, observou-se que houve percepção dos conceitos de equivalências

somente por dois participantes, como visto no mapa abaixo, que foi utilizado pelos alunos

para dar explicações de como procederam citando frações equivalentes que surgiam com a


54

sobreposição dos dois quadrados fracionários. Os demais, não relacionaram as subdivisões

com os conceitos de equivalência.

Considera-se o que diz Lorenzato (2009, p. 26), toda pessoa ao ter contato pela

primeira vez com um material tende a observar suas características, são essas percepções

que possibilitarão “com ou sem o auxílio do professor, a procura e a descoberta de novos

conhecimentos”. Com bases nas experiências, como argumenta Toledo e Toledo (2010, p.

179), o aluno poderá descobrir as regras para somar frações: “somam-se (ou subtraem-se)

frações de denominadores iguais, conservando-se o denominador e somando-se os

numeradores”.

Na quinta atividade foi analisado as possibilidades e aceitação por parte do aluno ao

utilizar-se de outras ferramentas como auxiliador na aprendizagem. Foi disponibilizado aos

sujeitos, material impresso da apresentação do GeoGebra e do tutorial de construção de um

cubo. Esta atividade permitiu a exploração do GeoGebra, possibilitando a formação de

conceitos de geometria plana e de frações discretas, através de representações de pontos,

segmentos, polígonos (quadrado), os elementos de um polígono (vértices, lados,

diagonais), cubo e seus elementos (faces, arestas) e sua planificação, levando os alunos “a

construir seu próprio conhecimento na realização do ciclo descrição – execução – reflexão

– depuração – descrição.” (CUNHA e SANTOS, 2008, p. 28). Isso indicou que os recursos

visuais colaboram para compreensão, aumentando o interesse do alunos, melhorando a

capacidade de retenção e permitindo o esclarecimento dos conceitos, confirmado o que

estabelece a teoria ao considerar que “o uso de figuras elaboradas em aplicativos

(software) de geometria dinâmica pode auxiliar o aluno a entender as figuras geométricas

como classes, diferenciando-as do simples desenho de uma figura.” (GITIRANA e

CARVALHO, 2010, p. 49).

Na sexta atividade investigou-se as habilidades de reconhecer frações equivalentes

através das áreas subdivididas. Utilizou-se um material digital, com as características

similares ao da segunda atividade, construído através do GeoGebra, usando controles

deslizantes para m, n, p e q, representando frações contínuas de forma geométrica,

fracionária e decimal. Marcando a opção Frações Equivalentes, pode-se representar com a

movimentação dos controles deslizantes r e s, até dez frações equivalentes às primeiras.


55

A possibilidade prática desse material permitiu comparar frações (ordenação)

diretamente. Pode-se formar as frações e analisar os esquemas geométricos. Exemplo

observando 1

4 e

2

5, visualmente chega-se a conclusão que

2

5>

1

4. Ao marcar a opção

Frações com o mesmo denominador, pode-se verificar que as áreas ficam subdivididas em

retângulos o número de vezes que apresentam os denominadores das frações opostas.

Exemplo: 1

4 foi subdividido em 5, e

2

5 foi subdividido em 4, isto é

1

4×

5

5=

5

20 e

2

5×

4

4=

8

20.

Esse processo visou a compreensão da troca de uma fração por outras de denominadores

iguais para fazer a soma de frações com denominadores diferentes.

De acordo com Barbosa (1966, p. 160), na representação por esquemas gráficos,

“há o reforço na visualização”, uma vez que o aluno poderá observar a parte considerada e

notar que não temos três partes (retângulos) grandes, nem três partes pequenas, têm-se uma

grande e duas pequenas, são simplesmente três partes. Representam partes de tamanhos

diferentes que deverão ser subdivididas em partes de mesmo tamanho, para assim

efetuarem a soma das partes que agora serão iguais. Evidentemente é necessário ressaltar a

substituição das duas frações, mais convenientes, apenas para conseguir a soma. Mas, para

tanto é necessário que haja o teste, a observação e a verbalização dos pensamentos, isto é, a

comunicação das ideias, raciocínios e conclusões deles. Então o professor poderá avaliar o

que os alunos aprenderam, e assim, segundo Lorenzato (2009, p. 27) “após a verbalização,

é recomendável que cada aluno tente registrar em seu caderno, conforme suas

possibilidades, as novas conquistas decorrentes das atividades, concretas e abstratas, por

eles realizadas”.

A sétima atividade teve por objetivo investigar as habilidades de somar frações

geometricamente, apresentou-se ainda produzido com as funções do software GeoGebra

um material digital similar ao da quarta atividade, agora de forma dinâmica. Assim,

movendo os controles deslizantes nota-se que as duas frações formadas aparecem também

uma sobreposta à outra. Com a ocorrência de subdivisão das partes coloridas, que

representam os numeradores, e do ‘todo’ que representam os denominadores, poderá ser

executada a leitura e a escrita das frações equivalentes com o mesmo denominador,

contando os retângulos e efetuando a soma.

Este objeto de aprendizagem pode favorecer o processo de formação do conceito de

número racional, a partir do dinamismo de sua representação geométrica, numérica e em

número decimal. Conforme Gitirana e Carvalho (2010, p. 51), “uma imagem vale mais que

mil palavras”, e neste contexto o suporte dado aos conceitos pelas imagens é essencial.

Porém, deve-se ter o cuidado para que as representações não atrapalhem o aprendizado do

aluno e nem se desvie do foco pretendido.

Análises dos mapeamentos dos questionários A e B

Com a leitura das proposições apresentadas nos mapeamentos dos 20 participantes

do questionário A, foi possível identificar e representar os termos de uma fração em 18

participantes; operar com adição e subtração de frações com denominadores iguais (12)

participantes; operar com adição de frações com denominadores diferentes (6)

participantes. Neste último quesito um dos participantes apresentou o seguinte mapa:


56

Ao analisar as formas que se apresentam os conceitos de frações em alguns livros

didáticos do Ensino Fundamental e no livro utilizado pelos sujeitos da pesquisa, verifica-se

que tanto os primeiros conceitos, quanto a adição de frações com denominadores iguais é

bastante explorada por esquemas gráficos, o que, talvez, justifique a porcentagem de

acertos em relação à representação de fração e adição com denominadores iguais, porém as

frações equivalentes e a adição de frações com denominadores diferentes são apresentados

somente pelo algoritmo comum de resolução.

Como citados acima, observou-se também, que os autores apresentam um mesmo

esquema para representar as frações com denominadores iguais, e trazem sempre

grandezas homogêneas como exemplos.

Utilizar só o raciocínio com grandezas homogêneas, não é recomendado; assim,

só se adicionam grandezas homogêneas, poderá trazer confusão; 5 petecas com 2

petecas, mas também é possível reunir, juntar (adicionar no sentido comum)

grandezas não homogêneas aparentemente, como 5 petecas com 2 bolas são 7

brinquedos (BARBOSA, 1966, p. 159).

Estas observações levam à reflexão de que, ao abordar os conceitos de equivalência

através do algoritmo comum, não terá significado para o aluno, então não abstrairá o

conceito, assim não representarão as diferentes escritas fracionárias de um número

racional, restando aos de fácil memorização, as regras, que possivelmente esquecem com o

passar do tempo.

Lorenzato (2010, p. 122) lembra que, ao comparar frações os alunos provavelmente

descobrirão com a vida “que 3

5 pode ser menor, igual ou maior que

5

7, dependendo do

contexto, do referencial de comparação (por exemplo, a metade do salário de algumas

pessoas é maior que o salário inteiro de outras)”. No entanto ao invés de ensinar regras aos

alunos, deve-se manter uma postura metodológica facilitadora de aprendizagem oferecendo

referenciais concretos na abordagem dos conceitos.

Indagou-se os seis participantes que conseguiram operar a adição de frações com

denominadores diferentes sobre os porquês de usar o algoritmo comum para a resolução do

questionário, a resposta foi de “que tinham aprendido daquela maneira e que não sabiam

resolver de outro jeito”.


57

Gitirina e Carvalho (2010, p. 32) dizem que, “uma escolha metodológica bem

distinta é a que se pauta, essencialmente, na participação do aluno nas resoluções de

problemas, os quais devem ser planejados e organizados de forma a favorecer que os

conhecimentos visados aflorem”. Mandarino (2010, p. 116), acrescenta que é importante

“não restringir a compreensão da equivalência a apenas alguns exemplos típicos, seguidos

da apresentação de regras sem significados, e que parecem não ser validas para outras

ideias associadas a frações”. Assim a formulação de situações problemas que envolvam os

conceitos de comparação de frações com estratégias diversificadas poderão aproximar o

aluno ao pensamento adequado sobre equivalência.

Ainda, fez-se uma observação diante da fala de um sujeito da pesquisa que nos

pergunta: resolvo primeiro a divisão ou a multiplicação depois que achar o mmc? Esta

dúvida remete a uma reflexão sobre os passos para resolução de expressões numéricas,

conteúdo ensinado anteriormente as operações com frações, em que o professor enfatizou

que para resolvê-las devem seguir a ordens das operações, que segundo Dante (2015, p.

61), “efetuamos as multiplicações e divisões, na ordem em que aparecem”. Ou seja, ora a

multiplicação se resolverá primeiro, ora a divisão.

De acordo com Carvalho e Lima (2010, p. 25), “a memorização de conceitos e

procedimentos é importante, mas deve ser conquistada pela via da compreensão e da

sistematização”. No caso de resolver adição de frações pelo algoritmo comum, diz que:

acha-se o mmc por fatoração ou pelos múltiplos comuns dos dois denominadores e, divide-

se o mmc pelos denominadores e multiplica-se pelos numeradores. Comparando com a

regra da expressão numérica causa estranheza e confusão na hora da resolução

confrontando com os conceitos por ele internalizados.

A manifestação desse tipo de obstáculo está intimamente relacionada ao

aparecimento de erros recorrentes, e não aleatórios, cometidos pelos alunos na

construção de um novo conhecimento, sendo assim, o erro é visto como algo

necessário, parte constituinte de processo ensino e de aprendizagem

(BROSSEAU, 1983, apud PIRES, 2010, p. 53).

Como se ver no mapa abaixo o aluno faz a interpretação do problema, quando diz:

essa fração é o tanto que ela percorreu nos dois períodos. Mas ele cita que: devem-se

somar os numeradores e os denominadores, onde se conclui que não foi construído o

conceito de equivalência.


58

Provavelmente ele visualiza a fração como dois números inteiros separados por um

tracinho, sem relação alguma, conforme afirma Barbosa (1966), e não compreende que

esses dois números representam um único número fracionário.

Pires (2010) ressalta que para ter a habilidade de operar com adição de frações, é

necessário realizar rupturas com as ideias construídas para os números naturais, além de

aceitar ideias mais complexas. Uma das causas desses obstáculos afirma Barbosa (1966, p.

147), que “visto, não raras vezes, o professor se limita a dar regrinhas sem as necessárias

explicações”. Toledo e Toledo (2010, p. 163) dizem que, “é fundamental oferecer aos

alunos a oportunidade de manipular materiais variados, que permitam a construção dos

conceitos por meio da experimentação, da verificação de hipóteses, levantadas diante de

situações-problema convenientemente apresentadas.”

Após a apresentação das atividades, foi aplico o questionário B com o objetivo de

fazer um paralelo com o questionário A e investigou-se se houve formação de conceitos ou

mudança na estrutura cognitiva dos sujeitos referente ao objeto de estudo.

Considerando que não foi possível o aprofundamento das atividades nem a

exploração de forma mais intensiva ou contextualizada com os materiais aqui utilizados,

pode-se observar com o uso desses materiais avanços em relação aos conceitos de

equivalência, como mostra os mapas baixo:

No mapeamento do questionário A, o participantes utilizam-se das regras para

resolver a questão, fatora para achar o mínimo múltiplo comum entre os denominadores 3

e 4, portanto, não prossegue até o fim com o algoritmo e conclui erroneamente que 2

3+

1

4=

3

12. O que significa que não memorizou todo o processo necessário para utilizar-se das

regras.

No entanto, na resolução do questionário B, ele faz a interpretação do problema

colocando como questão focal “duas barras” e como frase de ligação usa a palavra “da” e

“do” dando a entender que destas duas barras uma é “da Julia” e a outra “do Matheus” e

reforçando que Julia comeu 1

3 e Matheus comeu

2

7, chegando à conclusão que

1

3 de 21 são 7

pedaços e 2

7 de 21 são 6 pedaços e, concluindo que Júlia comeu mais que Matheus, o que

está correto.


59

Ao fornecer esquemas gráficos no questionário B percebeu-se que o aluno se

apropriou da imagem, subdividindo-a chegando a esse entendimento, o esquema gráfico

possibilitou a interpretação e resolução do problema, porém é visto que o sujeito ainda não

abstraiu o conceito de equivalência nem memorizou as regras.

Os materiais utilizados nas atividades foram manipulados de maneira rápida e

experimental, mesmo assim, pode-se concluir que são relevantes como auxiliadores, uma

vez que agregando combinação de texto e imagem, poderá instigar maiores significados

aos conceitos de frações. Reforça-se ainda que, satisfaz o que diz Reys (1971, apud

Mendes, 2008, p. 11), que os materiais devem ser “apropriados para serem usados em

diferentes níveis de escolaridade e em níveis diversos de formação de um mesmo conceito,

favorecendo a abstração matemática através da manipulação individual ou em grupo”.

Convém que dispuséssemos de mais tempo para investigar sua eficácia como

auxiliadores na formação de conceitos, no qual se pretendeu deixar como algo a investigar

em momentos oportunos. Sendo o objetivo desta pesquisa, verificar quais as causas

possíveis que levariam o aluno a não abstrair os conceitos de frações, conclui-se que:

O conceito de equivalência, assim como a construção de procedimentos para a

obtenção de frações equivalentes são fundamentais, para resolver problemas que

envolvem a comparação de números racionais expressos sob a forma fracionária

e efetuar cálculos com esses números (PCN, 1991, p. 103).

Diante dos resultados da pesquisa, verificou-se a necessidade de formação dos

conceitos de equivalências. Somente com a abstração desse conceito é possível o aprendiz

compreender a necessidade de troca de um número por outro para somar frações com

denominadores diferentes. Entende-se que o conceito de equivalência é um subsunçor para

a ancoragem dos procedimentos de adição de frações, que serão subsunçores de outros.

Fica o desafio aos professores em alterar as práticas pedagógicas, dar mais ênfases à

formação de conceitos para que esta dificuldade não provoque rejeições com a Matemática

em possíveis resoluções de problemas futuros.

Considerações Finais

É comum a responsabilização aos docentes no que diz respeito ao fracasso escolar e

inadequações dos discentes na disciplina de Matemática. Nesse sentido, é possível

observar vários fatores contribuintes para tais dados, de modo que se torna injusto o peso

dessa responsabilidade ser atribuído praticamente, exclusivamente à figura do professor.

Ocorre que, mesmo que o professor acredite no potencial dos alunos, oferecendo-lhe

condições de aprendizagem, os índices de notas baixas na disciplina de Matemática,

infelizmente, nem sempre se reduzem como resposta à prática docente.

Buscou-se, assim, na presente pesquisa, de forma sistemática, saber os motivos

pelos quais os estudantes chegam nas séries posteriores sem dominarem o conceito básico

de fração, conteúdo este preferencialmente ensinado no 6º ano de Ensino Fundamental.

Em análises aos resultados, percebe-se que os alunos compreendem o conceito de fração,

identificam e representam os termos, numerador e denominador, porém não construíram o

conceito de equivalência. E quando desafiados aos cálculos, raciocinam sobre frações


60

como se fossem números inteiros. Ressalta-se que a investigação ocorreu no final do ano

letivo e somente uma pequena parte dos sujeitos pesquisados mostraram habilidade de

calcular com adição de frações com denominadores diferentes, assim prosseguem para

séries seguintes com essas dificuldades.

Nota-se também que esses conteúdos são abordados em sala de aula de acordo com

a proposta da escola e somente como apresentado no livro didático, pelas regras que

exigem memorização, e, nessa perspectiva, tem se mostrado ineficaz a aprendizagem

significativa.

Sabe-se que a aprendizagem significativa é dependente da estrutura cognitiva

idiossincrática do indivíduo e requer da associação de um conceito a outro dentro de um

sistema hierarquicamente organizado, uma vez a aprendizagem sendo formal depende de

mecanismo para a apresentação dos conceitos e da retenção pelo indivíduo.

Nessa perspectiva, é emergente mudança na prática docente, uma delas é em avaliar

constantemente seu método de ensino, repensar suas práticas procurando sempre

potencializar as condições ideais de aprendizagem.

Os conceitos matemáticos precisam ser preservados, porém precisam ser

apresentados de tal forma a serem assimilados pelos alunos. Para isso é necessária a ação

didática criativa do professor de forma a transformar um saber científico a um saber

ensinado. Nesse cenário, o professor deverá concentrar suas energias no ensino e planejar

suas aulas calcadas em atividades que envolva o aprendiz, condições necessárias para que

ocorra uma aprendizagem significativa. De uma forma geral espera-se que essas ideias

possam contribuir para novas investigações, e reflexões sobre o processo ensino e

aprendizagem, considerando que não deve existir limites, para quem pode e quer ir além.

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José Ronaldo Melo

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ORCID: https://orcid.org/0000-0001-6379-589X


Secretária de Estado e Educação do Amazonas (SEDUC)



http://www.sadeam.caedufjf.net/matrizes-de-referencia/

https://orcid.org/0000-0001-6379-589X

https://orcid.org/0000-0002-3480-6817


Submetido em: 22 de agosto de 2020 DOI:

http://dx.doi.org/10.37084/REMATEC.1980-3141.2020.n15.p63-78.id286 Aprovado em: 19 de novembro de 2020

Atividade de modelagem matemática com o uso do Geogebra para o

ensino de curva senoidal

Mathematical modeling activity with the use of GeoGebra for teaching

the senoidal curve


Universidade Federal do Pará - UFPA

RESUMO

O presente estudo objetivou discutir o desenvolvimento de uma atividade de Modelagem Matemática

desenvolvida com estudantes de Licenciatura em Matemática. Do objetivo destaco a natureza

qualitativa do estudo, fazendo uso de observação e registros dos sujeitos envolvidos em um minicurso

de Modelagem Matemática, no âmbito do Encontro Paraense de Modelagem Matemática, realizado

na Universidade Federal do Pará, no Instituto de Educação Matemática e Científica. Os elementos

sujeitos, objeto, artefatos mediadores, regras, divisão do trabalho e comunidade estabeleceram entre

si um sistema de atividade engestroniana, colocando a Modelagem Matemática nessa perspectiva

permitiu a colaboração de artefatos como o uso do GeoGebra para compreensão dos parâmetros de

uma curva senoidal. A pesquisa mostrou que uma atividade de Modelagem Matemática bem pensada

pode provocar nos envolvidos impressões positivas, ao mesmo tempo em que permite refletir sobre

a matemática desenvolvida no ambiente de sala de aula.

Palavras-chave: Atividade engestroniana. Modelagem Matemática. GeoGebra. Curva senoidal.

ABSTRACT

The present article objected to discuss the development activity of Mathematical Modeling

developed with of graduate students in mathematics. From the objective, I highlight the qualitative

nature of the study, making use of observation and records of the subjects involved in a short course

of Mathematical Modeling, within the scope of the Paraense Meeting of Mathematical Modeling,

held at the Federal University of Pará, at the Institute of Mathematical and Scientific Education. The

elements, subject, object and community, artifacts mediators, rules and division of labor established

a system of the engestronian activity. Placing Mathematical Modeling in this perspective allowed the

collaboration of artifacts such as the use of GeoGebra to understand the parameters of a sine curve.

The research showed that a activity of Mathematical Modeling provoke positive impressions in the

involved while allowing to reflect on the mathematics developed in the classroom environment.

Keywords: Engestronian activity. Mathematical Modeling. Geogebra. Sine curve.

Introdução

Resgatar o interesse dos alunos pelo estudo da Matemática nos diferentes níveis de

ensino, ainda é um desafio. Nesse contexto a Modelagem Matemática assume o papel

desafiador de realizar essa recuperação, na medida em que convida os alunos para investigar

situações, nas quais os conteúdos matemáticos estão associados a problemas relacionados à

realidade e ao cotidiano.

A exemplo dessa associação podemos citar o caso do vai e vem das marés, que pode

ser explorado como tema de investigação, que envolve fenômenos periódicos, e que

contempla uma vasta fonte de dados aqui na região amazônica, dado a quantidade de chuvas

em períodos específicos, a temperatura durante o dia, dentre outros fatores.


64

Assim, as funções trigonométricas naturalmente constituem-se ferramentas

necessárias para modelagem de fenômenos periódicos, como é o caso do vai e vem das marés

que pode ser representada por uma curva senoidal, por descrever uma oscilação repetida,

contínua. Fenômeno que foi destacado em um minicurso intitulado “O desafio de fazer

Modelagem Matemática em sala de aula”. Isto, como forma de discutir que um fenômeno

ligado ao meio ambiente pode ser trabalhado em sala de aula como forma de aproximar o

aluno a questões outras e da própria matemática, bem como a utilização de tecnologia

computacional de acesso livre, como é o caso do GeoGebra, mostrar que é possível fazer

Modelagem Matemática em sala de aula por atividade.

Tal atividade de Modelagem Matemática configura-se um sistema de atividade na

perspectiva engestroniana, por envolver elementos como os sujeitos de diferentes

instituições que constituem a comunidade envolvida com um objeto de investigação, que por

via de regras dividem um trabalho escolar e fazem uso de diferentes artefatos para alcançar

um resultado.

Dito isto, entendo que ainda há necessidade de um espaço no ensino, para atividades

em que os alunos possam interagir com materiais ou situações capazes de favorecer a

compressão de relações matemáticas como fuga para uma Matemática como conteúdo

estático e acabado. Desse modo, objetivei com esta pesquisa discutir o desenvolvimento de

uma atividade de Modelagem Matemática desenvolvida com estudantes de Licenciatura em

Matemática oriundos de diversas instituições de ensino, dentre elas destaco diversos campus

da própria Universidade Federal do Pará, campus da Universidade do Estado do Pará e de

Institutos Federais do Pará.

Para alcançar esse objetivo fiz uso de observação e registros dos sujeitos envolvidos

em um minicurso de Modelagem Matemática, no âmbito do VI Encontro Paraense de

Modelagem Matemática, realizado na Universidade Federal do Pará, no Instituto de

Educação Matemática e Científica.

O texto em questão está estruturado em seções. A primeira seção trata sobre

Modelagem Matemática e sua configuração como atividade engestroniana foi discutida na

segunda seção. A terceira seção discutiu sobre a colaboração em atividade de Modelagem

Matemática, inserindo nesse contexto o uso do GeoGebra como artefato mediador

potencialmente favorável para discussão de conceitos matemáticos. Os encaminhamentos

tomados na pesquisa são descritos na seção Metodologia, seguido da quinta seção que

descreve a atividade de Modelagem Matemática “o movimento das marés”. A sexta seção

trata de uma perspectiva de Modelagem Matemática e posterior considerações sobre este

trabalho.

Modelagem Matemática

A Matemática Aplicada enquanto campo de conhecimento preocupa-se em resolver

problemas das mais diversas áreas e é nesse sentido que a Modelagem Matemática se

manifesta enquanto método, que cria modelos matemáticos capazes de representar,

diagnosticar, prever e solucionar problemas. No entanto, a Modelagem não é tão recente, e

apesar de não sabermos precisar suas raízes, é possível perceber que ao longo da história

filósofos e matemáticos elaboraram e determinaram modelos para serem utilizados em


65

situações diversas. Povos como os egípcios, babilônios e gregos foram os que mais

modelaram situações da realidade prática, desenvolvendo modelos muito conhecidos até

hoje (MIORIM, 1998).

Especialmente na Educação Matemática a Modelagem ganha destaque como forma

de motivar os alunos a fazer matemática e aprender matemática com significado. A dinâmica

desenvolvida nesse contexto inclui algumas etapas como forma de conduzir os estudantes

na busca de modelos matemáticos de um tema de investigação previamente combinado, seja

entre estudantes, entre estudantes e professor(a), ou mesmo proposto pelo(a) professor(a).

Essa busca proporciona aos estudantes uma imersão aos conhecimentos matemáticos ou não

que se relacionam com um tema, e que para além de construir/elaborar um modelo

matemático, estimulam os estudantes a desenvolver autonomia, apropriar-se da própria

matemática etc.

Essa dinâmica ou encaminhamento didático é sempre sugerido por etapas,

procedimentos, fases, momentos, ações. Mas de um modo geral, uma Modelagem pode ser

conduzida por etapas conforme Bassanezi (2012), a saber: a) Escolha do tema, considerada

o início de processo de Modelagem, a partir de um levantamento de possíveis situações de

estudo, podendo ser uma escolha dos estudantes, ou em conjunto com o(a) professor(a); b)

Coleta de dados, que contempla a fase de busca de informações sobre o tema escolhido,

podendo esta ser realizada através de entrevistas, pesquisa bibliográfica ou mesmo

experiências executadas pelos alunos; c) Análise de dados e formulação de modelos,

corresponde a etapa de busca por modelos matemáticos que se adequem às variáveis

identificadas na análise dos dados coletados; d)Validação, que define a aceitação ou não do

modelo matemático encontrado, podendo o processo ser retomado em qualquer etapa, caso

o modelo encontrado seja rejeitado.

De modo sucinto, um modelo matemático tem o papel de descrever um fenômeno ou

representá-lo, de diagnosticar ou de solucionar um problema, de prever ou de evitar

fenômenos etc. Esse entendimento de modelo matemático também é assumido no âmbito da

Educação Matemática. Os modelos matemáticos são resultado de um processo de

Modelagem Matemática utilizado como uma forma de extrair características de um objeto

ou situação e que apoiado em teorias, hipóteses, realiza-se aproximações que se constituem

em estruturas matemáticas, no caso os modelos.

Para Cifuentes e Negrelli (2011) o modelo matemático é uma “teoria que pode estar

dada por uma coleção de equações de diversos tipos (...) ou por uma coleção de sentenças

que podem ser consideradas conjecturas (axiomas) sobre a realidade em estudo” (p. 131).

Bassanezi (2004) concebe o modelo como “um conjunto de símbolos e relações matemáticas

que representam de alguma forma o objeto estudado” (p.20) e que “[...] em determinadas

situações é muito complicado ou mesmo impossível obter uma base de valores numéricos,

mesmo assim se pode formular modelos matemáticos coerentes desta realidade ainda que,

neste caso, não se possa validá-los.” (BASSANEZI, 2012, p.11)

Assim, entendo que colocar estudantes diante de temáticas que favoreçam um caráter

problemático, de investigação, que sejam capazes de estimulá-los ao levantamento de

questões, ao planejamento de experimentos simples, visando à coleta de dados e testagem

de hipóteses, a observar, a discutir ideias e refletir sobre os passos tomados como decisão de


66

grupo, não se constituem ações triviais, mas ações coordenadas que envolvem o saber fazer,

enquanto ação para envolver, sobretudo o pensar enquanto reflexão.

Dessa conclusão é que no processo reflexão sobre a porção da realidade selecionamos

argumentos considerados essenciais e procuramos uma formalização artificial (modelo

matemático), que contemple as relações que envolvem tais argumentos (BASSANEZI,

2012). Ao mesmo tempo que por meio de atividades de Modelagem Matemática os

estudantes são convidados “a construir/reconstruir, indagar/investigar, acertar/errar,

interagir/dialogar, motivados por situações no ato de modelar/aprender” (BRAGA, 2009,

p.153).

Configuração de uma atividade de Modelagem Matemática

Os elementos sujeitos, objeto, artefatos mediadores, regras, divisão do trabalho e

comunidade estabelecem entre si um sistema de atividade1 a partir da Teoria da Atividade,

no modelo proposto por Engeström (1987). Podem ser evidenciados em atividades de ensino,

pois as discussões que envolvem o contexto de sala de aula, seus artefatos, os sujeitos e as

relações por eles estabelecidas correspondem a aspectos da Teoria da Atividade.

Atividades de ensino podem ser conduzidas e motivadas de modos diferentes, assim

os diferentes planejamentos de atividades de ensino podem gerar diferentes ambientes de

aprendizagem. A exemplo, atividades orientadas pelas tendências em Educação Matemática

que são planejadas intencionalmente, levando em consideração os sentidos atribuídos às

ações, ao conteúdo e objetivo.

Ao participar de uma atividade escolar o aluno realiza ações e interage com os

elementos constituintes em um ambiente escolar, em que as necessidades que levam esse

aluno a participar de uma atividade escolar estão relacionadas aos elementos: sentido

atribuído por ele às ações, ao conteúdo e objetivo. São esses elementos que geram diferentes

ambientes de aprendizagem. Um desses ambientes é o de Modelagem Matemática, que ao

buscar solução para uma situação problema advinda de temas de investigação, fazendo uso

de modelos matemáticos, promove um ambiente de aprendizagem que como tal envolve

alunos e professores no processo.

Desse modo a Modelagem Matemática é uma atividade de ensino intencional, que

envolve ações externas “manifestadas por movimentos do corpo, são mediadas em geral, por

instrumentos e ferramentas” (OLIVEIRA, 2001 apud ALMEIDA e VERTUAN, 2014, p. 2)

e ações internas envolvendo instrumentos simbólicos. As interações nesse processo são

mediadas por elementos da atividade engestroniana, a saber: sujeitos, objeto, artefatos

mediadores, regras, divisão do trabalho e comunidade.

Colaboração em atividades de Modelagem Matemática

As argumentações em torno das potencialidades do uso de tecnologias para o ensino

da Matemática são notadamente descritas em resultados de pesquisas, comunicações

científicas e relatos de experiências em periódicos e eventos da área. Em geral, tais

argumentações baseiam-se na interação do estudante com as tecnologias, na visualização

1 O termo atividade utilizado no texto é baseado na teoria da atividade de Engeström.


67

dos objetos matemáticos de forma prática e dinâmica, entre outros (CLÁUDIO e CUNHA,

2001; JAHN e ALLEVATO, 2010; BORBA e PENTEADO, 2010; BORBA e CHIARI,

2013).

Tais argumentações favorecem a dinâmica em atividades de Modelagem Matemática

no sentido de potencializar o processo, com destaque para o fato de que “o uso das novas

tecnologias propicia trabalhar em sala de aula com investigação e experimentação na

Matemática, considerando que permite ao aprendiz vivenciar experiências, interferir,

fomentar e construir o próprio conhecimento” (AGUIAR, 2008, 63).

Nesse sentido é que a atividade de Modelagem Matemática pensada no âmbito do

estudo se deram no sentido de provocar os estudantes envolvidos para experimentar a

matemática fazendo uso de tecnologias digitais, especificamente o uso do software livre

GeoGebra, para que pudesse também gerar experiências diferentes da prática tradicional de

sala de aula. Por software livre entende-se aquele que garante ao usuário a liberdade de

execução e colaboração entre entres os usuários, melhorar e divulgar alterações, por

exemplo. (GNU, 2016).

O Geogebra “é um software de matemática dinâmica para todos os níveis de ensino

que reúne Geometria, Álgebra, Planilha de Cálculo, Gráficos, Probabilidade, Estatística e

Cálculos simbólicos em um único pacote fácil de usar” (GEOGEBRA, 2017). Por esse

motivo, no sentido de otimizar os resultados alterados no decorrer do processo de

Modelagem Matemática é que o GeoGebra é providencial, pois permite instantaneamente o

movimento de parâmetros de uma função e permite uma visualização dinâmica dos

resultados. Além disso o o GeoGebra usa uma linguagem de programação acessível para

qualquer nível de ensino e proporciona a exploração de conteúdos de matemáticos.

O uso do GeoGebra fica então caracterizado como um artefato mediador para

discussão de conceitos matemáticos, que pode ser potencialmente pedagógico na

implementação de atividade de Modelagem Matemática.

Metodologia

O ambiente de ensino e aprendizagem provocado por uma atividade de Modelagem

Matemática envolve uma expectativa prática de como se faz Modelagem Matemática

enquanto processo de obtenção de modelo, ou de como usá-la na condição da prática de sala

de aula. Ambos os casos constituem anseio dos sujeitos que participaram deste estudo. Esse

mesmo ambiente é mote para discutir no âmbito da pesquisa qualitativa “microprocessos,

por meio de ações sociais individuais e coletivas” (SILVA, 2008, p.27)

A implementação da atividade de Modelagem Matemática motivada pelo fenômeno

das marés, ocorreu em formato de minicurso intitulado “O desafio de fazer Modelagem

Matemática em sala de aula”, ofertado pelo VI Encontro Paraense de Modelagem

Matemática, realizado no Laboratório de Informática do Instituto de Educação Matemática

e Científica da Universidade Federal do Pará, em outubro de 2016.

Para o alcance do objetivo foi utilizado como instrumento de coleta de dados o

questionário aplicado, na intenção de verificar respostas dos participantes em relação ao

minicurso, os registros produzidos, bem como observação do envolvimento dos estudantes

na atividade de Modelagem Matemática. A escolha de participantes de um encontro


68

científico sobre Modelagem Matemática se deu pelo fato de que eles estão em processo de

formação e/ou estão atuando em sala de aula e buscam o saber fazer, discutido no parágrafo

introdutório deste tópico, além de garantir que a comunidade do sistema seja variada, com

experiências de instituições distintas.

A atividade foi desenvolvida em um esquema de pequenos grupos para que fosse

possível tratar dados de diferentes praias do estado do Pará. Antes, porém, algumas

discussões sobre o fenômeno foram levantadas por ocasião da interação do processo de

Modelagem Matemática, bem como com o software GeoGebra. Os grupos, então, foram

conduzidos a modelar matematicamente o movimento das marés a partir dos seguintes

questionamentos: O que sabemos sobre o movimento das marés?; Onde encontramos dados

sobre o movimento das marés?; É possível estabelecer uma relação matemática para o

movimento das marés?; Essa relação matemática satisfaz o fenômeno (ou porção) estudado?

O encaminhamento da atividade de Modelagem Matemática se deu a partir das etapas

sugeridas por Bassanezi (2012): escolha de temas, nesse caso foi pré-definido por conta da

exequibilidade do tema para um minicurso de 4h; coleta de dados, nesse caso por pesquisas

bibliográficas; análise de dados e formulação de modelos; validação do modelo.

Para a análise das informações, levei em consideração a atividade de Modelagem

Matemática configurada como um sistema de atividade engestroniana, que a partir da sua

constituição foi possível discutir trechos significativos alinhados ao objetivo da pesquisa.

A atividade de Modelagem Matemática: o movimento das marés

O minicurso propôs uma prática de Modelagem Matemática, usando para isso o tema

O movimento das Marés, em colaboração com o uso do GeoGebra e foi organizado em

quatro momentos.

No primeiro momento discutimos sobre fenômenos periódicos, e em especial “o

movimento das Marés”. Considerando que o cosseno é o seno do complemento, ou seja,

𝐶𝑜𝑠(𝑥) = 𝑆𝑒𝑛(90 − 𝑥), nos proporciona explorar apenas uma das funções trigonométricas.

Nesse caso específico, fizemos uso da função 𝑆𝑒𝑛(𝑥), na forma 𝑦 = 𝐴𝑆𝑒𝑛(𝐵𝑥 + 𝐶) + 𝐷,

com A, B, C e D, parâmetros que interferem diretamente no comportamento da função, seja

na amplitude, na frequência, no deslocamento horizontal ou vertical, respectivamente.

No segundo momento, foi estudado graficamente com auxílio do software de acesso

livre, o GeoGebra, o comportamento dos parâmetros A, B, C e D da função 𝑦 =

𝐴𝑆𝑒𝑛(𝐵𝑥 + 𝐶) + 𝐷, resumidamente dispostos nos gráficos: 1, 2, 3 e 4.

Gráfico 1: Variação do parâmetro A (Amplitude) da função 𝑦 = 𝐴𝑆𝑒𝑛(𝐵𝑥 + 𝐶) + 𝐷


69

Fonte: Autora

Para evidenciar a variação da amplitude (A) foi utilizado inicialmente no gráfico os

parâmetros A = 1, B = 1, C = 0 e D = 0 e depois sugerido a variação de A = 1 para A = 2,

resultando em um gráfico com maior variação, ou seja, para f(x) = 1.Senx, a amplitude é 1,

varia de -1 a 1 no eixo das ordenadas, para g(x) = 2.Senx, a amplitude varia de -2 a 2.

Gráfico 2: Variação do parâmetro B (Frequência) da função 𝑦 = 𝐴𝑆𝑒𝑛(𝐵𝑥 + 𝐶) + 𝐷

Fonte: Autora

Para evidenciar a variação da frequência (B), foi utilizado inicialmente no gráfico os

parâmetros A = 1, B = 1, C = 0 e D = 0 e depois sugeri a variação de B = 1 para B = 2,

resultando na mudança de oscilações no mesmo intervalo, ou seja, o parâmetro B controla

a frequência da função.

Gráfico 3: Variação do parâmetro C (deslocamento horizontal) da função 𝑦 =

𝐴𝑆𝑒𝑛(𝐵𝑥 + 𝐶) + 𝐷


70

Fonte: Autora

O gráfico 3 mostra um deslocamento horizontal ou de fase, em que o comportamento

f(x) e g(x) são exatamente os mesmos, apenas estão deslocados por uma constante, nesse

caso específico variamos os parâmetros A = 1, B = 1, C = 0, D = 0 para A = 1, B = 1 , C =

2, D = 0.

Gráfico 4: Variação do parâmetro D (deslocamento vertical) da função 𝑦 =

𝐴𝑆𝑒𝑛(𝐵𝑥 + 𝐶) + 𝐷

Fonte: Autora

Para evidenciar o deslocamento vertical usei inicialmente os parâmetros A = 1, B =

1, C = 0, D = 0 e sugeri alterar para A = 1, B = 1, C = 0, D = 1. Com essa alteração é possível

perceber que o gráfico deslocou-se verticalmente 1 unidade.

Após as mudanças de parâmetros, os alunos foram conduzidos a desenvolver o

processo de Modelagem Matemática com o tema “Movimento das Marés”, no terceiro

momento do minicurso. Para tal fizeram levantamento bibliográfico de tábuas de marés via

internet, para coleta de dados, de uma praia de sua escolha, para anotações de marés baixas

e altas e seus respectivos horários de ocorrência.


71

Nesse texto optei pelo movimento das marés do primeiro dia do mês de novembro

de 2016, de uma das praias paradisíacas e mais visitada do estado do Pará, em

Salinópolis/PA, escolha de um dos grupos. Cada grupo com os dados da localidade

selecionada estudou o comportamento da altura da maré em relação ao tempo no decorrer

de um dia. A opção por um dia se deu pelo fato de o minicurso ocorrer com apenas quatro

horas de duração, não inviabilizando o objetivo do estudo. A tabela 1 e gráfico 5 mostram

as decisões iniciais, tabulação de um dia referente a baixas e altas das marés e dispersão

respectivamente.

Tabela1: Comportamento das marés no dia 1/11/2016 em Salinópolis

Dia Hora Altura (m)

Terça 1/11/2016 3:30 0,3

9:15 4,8

15:40 0,5

21:25 4,8

Fonte: Disponível em: < http://www.tabuademares.com/br/para/salinopolis>. Acesso em 3/11/2016

Gráfico 5: Dispersão da hora e altura das marés do dia 1/11/2016

Fonte: Autora.

Com os dados da tabela 1, assumiram o movimento das marés como um fenômeno

periódico, podendo ser comparado a uma curva senoidal e, para tal, modelaram a função 𝑦 =

𝐴𝑆𝑒𝑛(𝐵𝑥 + 𝐶) + 𝐷. Ao considerar que os valores referentes às alturas da maré corresponde

ao mínimo de 0,4m (média das marés baixas) e um máximo de 4,8m, a imagem da função

está contida no intervalo [0,4 ; 4,8], possibilitando calcular o parâmetro A (Amplitude), ou

seja 𝐴 =4,8−(0,4)

2=

4,4

2= 2,2 e obtemos, a princípio a função ℎ(𝑡) = 2,2𝑠𝑒𝑛 𝑡.

Notadamente a função obtida não contempla a imagem [0,4 ; 4,8]. Assim, outras

alterações foram realizadas nos outros parâmetros, como o caso do parâmetro D em ℎ(𝑡) =

2,2𝑠𝑒𝑛 𝑡 + 𝐷, determinando um deslocamento vertical de modo que a imagem corresponde

http://www.tabuademares.com/br/para/salinopolis


72

a [-2,2 + D; 2,2 + D] = [0,4 ; 4,8]. Assim -2,2+ D = 0,4 e 2,2 + D = 4,8, resultando em D =

2,6 o que resulta na função ℎ(𝑡) = 2,2𝑠𝑒𝑛 𝑡 + 2,6.

Em sequência, o parâmetro B (frequência) não altera a imagem da função, mas

influencia no período da função, podendo ser encontrado considerando uma função f(x) =

senBx, levando a expressão do período 𝑝 =2𝜋

|𝐵|. No caso das marés, o tempo entre duas marés

baixas ou duas marés altas em sequência equivale a 12, 08 horas, corresponde ao período da

função seno. Realizando os devidos cálculos tem-se que 12,08 =2𝜋

|𝐵| resulta em 𝐵 =

𝜋

6,04 , o

que permitiu escrever a função ℎ(𝑡) = 2,2𝑠𝑒𝑛 (𝜋

6,04 𝑡) + 2,6.

Como forma de adequar a função aos dados, ainda foi preciso trabalhar com o

parâmetro C (deslocamento horizontal) que para tal foi usado um ponto (par ordenado)

conhecido arbitrário, no caso (9h15min;4,8m) = (9,25h;4,8m) para resolver a equação

ℎ(𝑡) = 2,2𝑠𝑒𝑛 (𝜋

6,04 𝑡 + 𝐶) + 2,6, como segue:

4,8 = 2,2𝑠𝑒𝑛 (𝜋

6,04 .9,25 + 𝐶) + 2,6

2,2 = 2,2𝑠𝑒𝑛 (𝜋

6,04 .9,25 + 𝐶)

1 = 1𝑠𝑒𝑛 (9,25. 𝜋

6,04+ 𝐶)

𝑠𝑒𝑛𝜋

2= 𝑠𝑒𝑛 (

9,25. 𝜋

6,04+ 𝐶)

𝜋

2= (

9,25. 𝜋

6,04+ 𝐶)

𝐶 =𝜋

2−

9,25. 𝜋

6,04

𝐶 ≅ −3,24

Figura 1: Síntese da determinação dos parâmetros da função ℎ(𝑡) = 𝐴𝑠𝑒𝑛 (𝐵𝑡 − 𝐶) + 𝐷

Fonte: Autora


73

A compreensão dos parâmetros a partir dos dados da maré selecionada, foi o estopim

para uma série de dúvidas e questionamentos entre os vários grupos. Era necessário entender

as variações para a determinação dos parâmetros A, B, C e D, mas que foi fundamental para

compreensão de todos as variáveis envolvidas numa curva senoidal (Figura 1). Daí,

considerando todos os parâmetros encontrados, o modelo matemático que representou a

altura das marés em relação ao primeiro dia do mês de novembro de 2016, de Salinópolis-

PA, foi dado por ℎ(𝑡) = 2,2𝑠𝑒𝑛 (𝜋

6,04 𝑡 − 3,24) + 2,6, para t horas no intervalo de 24h,

conforme comparação gráfica do modelo após determinação dos parâmetros, gráfico 6.

Gráfico 6: Função ℎ(𝑡) = 2,2𝑠𝑒𝑛 (𝜋

6,04 𝑡 − 3,24) + 2,6 com t no intervalo 0 ≤ 𝑡 ≤ 24ℎ.

Fonte: Autora

Tal modelo restringiu-se ao estudo das marés no intervalo de 24 horas, podendo ser

discutido uma dispersão de dados bem maior que a tomada para o minicurso. Foi

determinada uma curva senoidal para todas as localidades selecionadas (Ilha de Mosqueiro,

Vigia, Belém etc.), com exceção de dois grupos que tiveram dificuldades com a

determinação do parâmetro C da função e com o período dos dados. A questão da validação

matemática do modelo se deu pelo desvio entre os dados pontuais de um dia associado à

curva senoidal. Ficou claro, no entanto, que a quantidade de dados não foi suficiente para

garantir um modelo aceitável para a vida real, mas em termos didáticos foi fundamental para

fazê-los perceber uma modelagem na prática.

Sobre a validação de modelos em ambiente de sala de aula Bassanezi (2012, p.08)

pontua que “se vamos utilizar o processo de Modelagem Matemática para motivação de

certos conteúdos matemáticos ou a valorização da própria matemática, muitas vezes a

validação dos modelos não é um critério fundamental para sua qualificação”, indicando para

esse caso que o foco está no próprio aprendizado da matemática. Nesse sentido é que a

discussão de uma implementação prática do modelo encontrado pelos grupos na vida real,

merece uma disposição maior de dados.

Destaco da atividade, a manipulação de parâmetros na função trigonométrica 𝑆𝑒𝑛𝑥

para o entendimento do fenômeno periódico “Movimento das Marés” como estopim para

reflexão sobre o desafio de se fazer Modelagem Matemática em sala de aula.


74

O quarto momento, foi dedicado à reflexão teórica associada à atividade prática

realizada, bem como discussão sobre o desafio de fazer Modelagem Matemática em sala de

aula, que a partir da experiência efêmera, mais concluída neste minicurso, os participantes

foram capazes de destacar suas impressões com relação à Modelagem Matemática.

Perspectiva de uma atividade de Modelagem Matemática

Ao levar em consideração que dos 27 participantes do minicurso, 17 registraram

tratar-se de seu primeiro contato com Modelagem Matemática foi necessário transitar sobre

o que caracteriza esse processo. Para tanto o esquema da figura 2, foi discutido com a

comunidade, definindo assim as regras envolvidas na atividade, a saber: diálogos, decisões

e relações matemáticas (figura 3). Tais regras implicam na recondução do processo de

Modelagem Matemática, seja pela não validação do modelo, seja pelas relações matemáticas

utilizadas, pelos dados coletados ou ainda pela insipiência sobre o tema investigado.

Figura 2: Síntese processo de Modelagem Matemática

Fonte: Adaptação Bassanezi, 2012.

Ao configurar a Modelagem como um sistema de Atividade reconheço-a como uma

atividade humana potencialmente colaborativa, por envolver sujeitos como motivações e

experiências diferentes, seja para cumprir a divisão de tarefas ou por decidir sobre as regras

que envolve a comunidade.

2 Coleta de dados

Os participantes fizeram pesquisa bibliográfica em tábuas de marés.

3 Análise de dados eformulação de modelos

Reconhecimento do modelosenoidal existente e determinaçãodos parámetros pelos dados reaisde um dia de maré.

1 Escolha de temas

Movimento da Maré

(previamente determinado)

4 Validação do

Modelo: desvio e

incipiência de

dados; motivação

de conteúdos.


75

Figura 3: Modelagem Matemática configurada como atividade engestroniana.

Fonte: Autora.

Esse sistema (figura 3) demonstra o fluxo que um processo (figura 2) é capaz de

proporcionar ao ambiente de sala de aula, ou seja, sujeitos que fazem uso de uma série de

artefatos de mediação, cuja interação com o objeto da atividade envolve uma comunidade a

partir de regras e divisão do trabalho um motivo para alcançar o resultado. Nesse caso, os

motivos dos participantes do minicurso estavam associados ao fazer ou ao saber sobre

Modelagem Matemática, o que favoreceu o interesse pelo modelo enquanto resultado da

atividade. Quando Engeström (1978) propõe uma estrutura para atividade, para além do

processo de mediação entre sujeito e objeto, envolve outros elementos como artefatos, regras

e divisão do trabalho, caracterizam essa estrutura como uma unidade básica de análise. Tais

elementos são evidenciados em uma atividade de Modelagem Matemática a partir da

interação dos mesmos, no sentido de alcançar um resultado, seja o modelo para o tema

investigado ou mesmo a reflexão do processo.

Uma vez determinado o modelo, os estudantes perceberam que apesar das tomadas

de dados em diferentes localidades, todos os grupos fizeram uso da curva senoidal, ou seja,

todos os grupos utilizaram das mesmas ferramentas matemáticas, o que favoreceu uma

compreensão de modelos predeterminados para uma variedade de fenômenos, situações.

Esse episódio favoreceu a desmistificação de que Modelagem Matemática na educação não

necessariamente determina novos modelos matemáticos, mas se apropria dos variados

modelos existentes para discutir fenômenos, e a partir de parâmetros reais representa-os.

Daí em diante, com foco no desafio de fazer Modelagem Matemática, três pontos

foram focados: 1 impressões sobre a atividade “Movimento das marés” realizada no

minicurso; 2 Modelagem Matemática como estratégia para o entendimento de conceitos

matemáticos; e 3 Viabilidade de utilizar Modelagem Matemática nas aulas de matemática

na educação básica.

Com relação a impressões sobre a atividade “Movimento das marés” realizada no

minicurso, mesmo aqueles que tiveram dificuldades em algum momento do processo

reconheceram-na como significativa para a formação e consequentemente para compreensão


76

de conceitos matemáticos pelos alunos. Nesse contexto entendo que “a utilização da

modelagem na educação matemática valoriza o ‘saber fazer’ do cursista, desenvolvendo sua

capacidade de avaliar o processo de construção de modelos matemáticos nos diferentes

contextos de aplicações dos mesmos” (BASSANEZI, 2012, p. 10) ao mesmo tempo em que

se preocupa com o fazer Modelagem Matemática em sala de aula.

Tal assertiva alinha-se à fala de um participante quando destaca que considerou

“muito produtivo e interessante, pois articula várias abordagens como o emprego

computacional, processos investigativos, mediação dialógica, dentre outros” (P5). Ou seja,

além de determinar um modelo, compreender o processo com percepção de questões da

prática de sala de aula e possíveis colaborações advindas de interações entre os elementos

constituintes da atividade culminam no resultado demonstrado na figura 3.

Dessa maneira, o conceito de atividade tem sua concepção no processo social

orientado para uma meta, que está diretamente relacionada às experiências de cada

indivíduo. O que culmina no tratamento dado pelos participantes à Modelagem Matemática

como estratégia de ensino. Das experiências de estudantes, estes percebem o conteúdo

matemático envolvido ou situações de cotidiano:

usamos nossos conhecimentos básicos para chegarmos a uma parte

mais elaborada da matemática, no caso estudado usamos as funções

trigonométricas como ferramenta para determinar parâmetros

(P17)

a partir do conhecimento básico e da coleta de dados, para elaborar

o gráfico desejado, foi mais fácil, já que foi envolvido situações do

cotidiano (P23)

Das experiências de participantes que já desenvolvem atividades de ensino a

percepção passa pelas preocupações com a aprendizagem, como descrito no seguinte trecho:

A aprendizagem tem caráter subjetivo, particular, depende de

processos pessoais de estabelecimento de relações próprias com o

tema e instrumentos propostos, isto é, chegamos com experiências

distintas sobre o tema e saímos com níveis também distintos. Porém

sempre haverá aprendizagem em qualquer interação social, neste

caso específico o tamanho foi soberbo na riqueza de situações que

possibilitaram aprendizados (P5).

Desse modo, a perspectiva de atividade engestroniana contempla a Modelagem

Matemática como atividade de ensino capaz de articular diferentes artefatos de medicação,

sujeitos com objetivos distintos para uma mesma atividade. Isso pôde ser evidenciado na

fala do participante P5 quando da compreensão social que a atividade promoveu em

consonância com possibilidades de aprendizado.

Sobre a viabilidade de utilizar Modelagem Matemática nas aulas de matemática na

educação básica, os argumentos giram em torno da fuga de uma rotina escolar

tradicionalmente imposta para o ambiente escolar, relacionando-se reflexivamente com a


77

zona de conforto que tanto estudantes como professores estão habituados, bem como sobre

professores superarem suas limitações. Nesse contexto, os estudantes optaram por relacionar

essa viabilidade baseada em uma matemática mais interessante, aplicável, o trabalho em

equipe, interação entre a comunidade envolvida, sem perder de vista questões estruturais da

escola e compromisso do(a) professor (a) em desenvolver atividades de Modelagem

Matemática.

Considerações

É recorrente nos estudos sobre o uso de Modelagem Matemática para o ensino a

indicação de que a mesma seja desenvolvida por grupos de alunos, o que a torna um processo

cooperativo. Bassanezi (2012) corrobora com essa questão, o que não exclui um ou outro

estudante querer desenvolver uma modelagem solo. Mesmo quando incialmente pretende

desenvolver uma modelagem solo, o estudante acaba envolvendo-se nas discussões de outros

grupos e “corrompido” pelas relações e interações proporcionadas pelo trabalho

colaborativo. Justamente as experiências dos sujeitos envolvidos é que determinam as regras

de um sistema para a tomada de decisões.

Assumir a Modelagem como atividade colaborativa permitiu que a atividade “o

movimento das marés” fosse configurada como um sistema engestroniano, pois envolveu

sujeitos, objeto, artefatos mediadores, regras, divisão do trabalho e comunidade que

estabeleceram entre si interações que culminaram no alcance do resultado esperado, o

modelo e reflexões do próprio processo. A colaboração de artefatos mediadores foi

fortemente representada pelo uso do GeoGebra para compreensão dos parâmetros de uma

função seno.

Além disso a pesquisa mostrou que uma atividade de Modelagem Matemática bem

pensada pode provocar nos envolvidos impressões positivas ao mesmo tempo em que

permite refletir sobre a matemática desenvolvida no ambiente de sala de aula, mas sobretudo

levantou questionamentos sobre o desafio de fazer Modelagem Matemática em sala de aula.

Desafio que envolve tanto o fazer modelagem quanto o saber sobre Modelagem Matemática

para prática de sala de aula.

Referências

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Vértices. Campos dos Goytacazes, RJ, v. 10, n. 1/3, p. 63-72, jan./dez., 2008.

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BASSANEZI, Rodney Carlos. Ensino-aprendizagem com modelagem matemática. São

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BRAGA, R. M. Modelagem Matemática e tratamento do erro no processo de ensino-

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SILVA, Otto Henrique Martins. Professor – Pesquisador no Ensino de Física. Curitiba:

Ibepex, 2008.


Professora Adjunta da Faculdade de Matemática, Campus Castanhal da Universidade

Federal do Pará.

e-mail: [email protected]


http://orcid.org/0000-0003-3747-5862


Submetido em: 08 de setembro de 2020 DOI:


O ensino de matemática por atividades: uma interface entre recursos

tecnológicos e o pensamento computacional

Teaching mathematics by activities: an interface between technological

resources and computational thinking

Enseñanza de matemáticas por actividades: una interfaz entre recursos

tecnológicos y pensamiento computacional

Gilson Pedroso dos Santos

Universidade Federal do Oeste do Pará

José Ricardo e Souza Mafra


RESUMO Este trabalho trata sobre o ensino de matemática através de recursos tecnológicos e do Pensamento

Computacional (PC). Procurou-se investigar as relações entre o PC, as TIC e o Ensino de

Matemática por Atividades, na busca de saber como professores podem ordenar ações e cenários

para o desenvolvimento de suas práticas pedagógicas, usando estes princípios de forma a auxiliar

os alunos a desenvolverem habilidades e competências tão necessárias no século XXI. A pesquisa

foi realizada em 2017 numa escola pública do município de Santarém-Pará, nas dependências do

laboratório de informática que contava com quatorze computadores. A turma participante foi a do

sexto ano, com vinte e dois alunos na faixa etária de dez a onze anos. Esta investigação foi

desenvolvida a partir de uma proposta metodológica desenvolvida em cinco etapas: a) 1ª etapa -

Pesquisa Bibliográfica; b) 2ª etapa – Desenvolvimento e planejamento das atividades; c) 3ª etapa -

Aplicação das oficinas; d) 4ª etapa - Avaliação final das oficinas; e) 5ª etapa - Análise e discussão

dos resultados. Os resultados obtidos convergem para a discussão sobre como elaborar atividades,

envolvendo o PC e as TIC, que possam ser aplicadas no ensino de matemática. Percebeu-se um

nível de motivação significativo em aprender matemática através dos recursos computacionais. Foi

comprovado também que as TIC permitem um nível de auxílio significativo no ensino da

matemática e que o PC pode ser estimulado ao longo das atividades, tornando-se assim uma

possível abordagem que possa trazer grandes benefícios para o processo de ensino-aprendizagem

na matemática.

Palavras-chaves: Ensino de Matemática. Ensino por Atividades. Recursos Tecnológicos.

Pensamento Computacional.

ABSTRACT

This work deals with the teaching of mathematics through technological resources and

Computational Thinking (PC). We sought to investigate the relationships between the PC, ICT and

the Teaching of Mathematics by Activities, in search of how teachers can order actions and

scenarios for the development of their pedagogical practices, using these principles in order to help

students to develop skills and competences so necessary in the 21st century. The research was

carried out in 2017 in a public school in the municipality of Santarém-Pará, on the premises of the

computer lab, which had fourteen computers. The participating class was the sixth year, with

twenty-two students in the age group of ten to eleven years. This investigation was developed from

a methodological proposal developed in five stages: a) 1st stage - Bibliographic Research; b) 2nd

stage - Development and planning of activities; c) 3rd stage - Application of the workshops; d) 4th


80

stage - Final evaluation of the workshops; e) 5th stage - Analysis and discussion of results. The

results obtained converge to the discussion on how to develop activities, involving PC and ICT,

that can be applied in the teaching of mathematics. There was a significant level of motivation in

learning mathematics through computational resources. It has also been proven that ICT allows a

significant level of support in the teaching of mathematics and that the CP can be stimulated

throughout the activities, thus becoming a possible approach that can bring great benefits to the

teaching-learning process in mathematics.

Keywords: Teaching of Mathematics. Teaching by Activities. Technological Resources.

Computational Thinking.

RESUMEN

Este trabajo aborda la enseñanza de las matemáticas a través de recursos tecnológicos y el

pensamiento computacional (PC). Intentamos investigar las relaciones entre la PC, las TIC y la

enseñanza de las matemáticas por actividades, en busca de cómo los maestros pueden ordenar

acciones y escenarios para el desarrollo de sus prácticas pedagógicas, utilizando estos principios

para ayudar a los estudiantes a desarrollarse habilidades y competencias tan necesarias en el siglo

XXI. La investigación se llevó a cabo en 2017 en una escuela pública en el municipio de Santarém-

Pará, en las instalaciones del laboratorio de computación, que tenía catorce computadoras. La clase

participante fue el sexto año, con veintidós estudiantes en el grupo de edad de diez a once años.

Esta investigación se desarrolló a partir de una propuesta metodológica desarrollada en cinco

etapas: a) 1ra etapa - Investigación bibliográfica; b) 2da etapa - Desarrollo y planificación de

actividades; c) 3ra etapa - Aplicación de los talleres; d) 4ta etapa - Evaluación final de los talleres;

e) 5ta etapa - Análisis y discusión de resultados. Los resultados obtenidos convergen a la discusión

sobre cómo desarrollar actividades, que involucren PC y TIC, que puedan aplicarse en la enseñanza

de las matemáticas. Hubo un nivel significativo de motivación en el aprendizaje de las matemáticas

a través de recursos computacionales. También se ha demostrado que las TIC permiten un nivel

significativo de apoyo en la enseñanza de las matemáticas y que el PC puede ser estimulado a lo

largo de las actividades, convirtiéndose así en un posible enfoque que puede aportar grandes

beneficios al proceso de enseñanza-aprendizaje en matemáticas.

Palabras clave: Enseñanza de las Matemáticas. Enseñanza por Actividades. Recursos

Tecnológicos. Pensamiento Computacional.

Introdução

As primeiras décadas do século XXI apresentam uma nova dinâmica social,

marcada pela utilização das novas tecnologias que transformam diariamente o

comportamento das pessoas e sua maneira de ser, tanto a nível local ou regional, quanto a

nível global. As novas tecnologias estão presentes em vários aspectos das nossas vidas,

exigindo assim, uma especial abordagem na educação.

A maneira como deve ocorrer o processo educativo de hoje não deve ser igual

como ocorria no século XX. Houve profundas transformações no âmbito político,

econômico, cultural, tecnológico, dentre outros. Não se pode considerar a escola como algo

isolado da sociedade, sem discutir, refletir e praticar, dentro do ambiente de ensino, as

mudanças que ocorreram ao longo dos anos. Dessa forma, deve haver a preocupação de

como a escola e os professores lidam com os novos desafios desse século. É preciso que se

faça a reflexão de como deve ser a sala de aula, de como a escola deve se preparar para a

utilização dos recursos computacionais e de qual será o papel do professor nesse novo

contexto.

Como exemplo dessas mudanças, pode-se citar a popularização da internet que

atinge hoje, em sua maioria, desde as classes mais privilegiadas aos menos favorecidos. A


81

televisão se tornou um aparelho eletrônico cada vez mais presente na vida dos brasileiros e

a telefonia móvel abrange todas as faixas etárias. E o computador? O computador do novo

século possui novo design e é talvez o maior representante das transformações que as

novas tecnologias proporcionaram às pessoas.

Tais discussões embasam este trabalho, pautado em uma experiência realizada, na

cidade de Santarém/PA, no ano de 2017, em que procurou-se investigar, dentre outros

objetivos propostos, as relações entre o Pensamento Computacional (PC), as Tecnologias

da Informação e Comunicação (TIC) e o Ensino de Matemática por Atividades.

A utilização das TIC nos ambientes escolares torna-se cada vez mais essencial, uma

vez que - através de seu uso - há a possibilidade de professores e alunos utilizarem as

mesmas para enriquecer o processo de ensino, visando aprendizagens matemáticas e

mobilizando saberes matemáticos, com base em atividades propostas. Consequentemente,

é de se esperar a elaboração de mecanismos de representações de elementos

computacionais e matemáticos, relevantes para o desenvolvimento cognitivo dos

estudantes. Nesse sentido, a inserção das TIC na educação, pode ser realizada, através de

algo extremamente relevante, com base no Pensamento Computacional, cujos pressupostos

subjazem competências tão necessárias, quanto saber ler e escrever e que, entendemos ser

essencial para o indivíduo desenvolver diversas habilidades.

Com base nestas considerações, e traçando os objetivos apresentados e elencados

nesta proposta, é de nosso interesse investigar as possíveis relações entre o Pensamento

Computacional, as Tecnologias da Informação e Comunicação e o Ensino de Matemática

por Atividades, na busca de, como professores da educação básica podem ordenar ações e

cenários para o desenvolvimento de suas práticas pedagógicas, usando estes princípios de

forma a auxiliar os alunos a desenvolverem habilidades e competências tão necessárias no

século XXI.

A Educação Matemática e as Tecnologias da Informação e Educação

O ensino da matemática no Brasil ainda apresenta grandes desafios que precisam

ser vencidos. A ausência de fundamentos didáticos, a necessidade de se utilizar a

matemática para o exercício da cidadania, conteúdos apresentados sem que o aluno consiga

refletir e entender a forma como poderá utilizar aquele conhecimento na sua vida diária,

são alguns dos problemas que os educadores matemáticos se defrontam. Assim, a escola,

família e governo precisam buscar alternativas de superação, pois “o grande desafio é

desenvolver um programa dinâmico, apresentando a ciência de hoje relacionada a

problemas de hoje e aos interesses dos alunos” (D’AMBROSIO, 1996, pp. 32-33).

Nestes termos, é imprescindível destacar a importância da matemática para a

formação do indivíduo, sobretudo para sua cidadania. Para cumprir esse objetivo

formativo, o ensino da matemática enfrenta diversos desafios e dificuldades. Não basta

apenas atribuir toda a responsabilidade pela melhoria do ensino ao professor, é preciso que

se tenha a preocupação com a boa formação de professores. Essa formação envolve desde

os alunos dos cursos de graduação de matemática até aqueles que já possuem muitos anos

de exercício da docência. Deve ser significativa, de forma que diversas habilidades e

competências possam preparar o educador matemático para que ele seja bem-sucedido ao


82

ensinar a matemática e que busque a reflexão da sua própria prática, para que assim possa

sempre ser um educador melhor.

Vale destacar que além do papel e da responsabilidade do professor ser primordial

para se alcançar uma educação de qualidade, a escola em geral, o Estado e a família devem

participar do processo educativo. Além da formação do professor, é importante também a

preocupação sobre como deve ocorrer o processo de ensino-aprendizagem da matemática.

Para tanto, D'Ambrósio (1996, p. 30) tece algumas considerações:

Conhecer, historicamente, pontos altos da matemática de ontem

poderá, na melhor das hipóteses, e de fato faz isso, orientar no

aprendizado e no desenvolvimento da matemática de hoje. Mas o

conhecer as teorias e práticas que ontem foram criadas e que

serviram para resolver os problemas de ontem pouco ajuda nos

problemas de hoje. Por que ensiná-las?

Assim, com base nestas considerações, podemos elencar, entre outros aspectos, as TIC e o

Pensamento Computacional como fortes aliados para que as transformações no ensino da

matemática sejam positivas.

As TIC podem ser instrumentos bastante úteis para se ensinar matemática, por

serem inovadoras, atrativas, lúdicas e interativas, despertando o interesse do aluno e sendo

para o professor uma forma diferente de atuação no processo de construção do

conhecimento. Já o PC pode ser um grande suporte para a Educação Matemática, porque é

uma abordagem que pressupõe o desenvolvimento da cognição, inventividade, da lógica,

dentre outros. Silva (2015, p. 8), adverte que “a utilização das TIC no processo de ensino-

aprendizagem se destacam no tocante a transformação econômica e social que pode

propiciar à educação de um país. É necessário que os governantes invistam, visando

melhorar o acesso da população às TIC”. Assim, a escola pode utilizar as tecnologias na

produção do conhecimento de modo satisfatório e bem-sucedido. Silva (2015), afirma que

a escola é o local mais adequado para o acesso das pessoas às TIC e que para isso são

necessárias, dentre outras coisas, a aquisição de computadores em número suficiente para

atender uma turma, disponibilizar servidor com a responsabilidade de realizar a

manutenção do laboratório, oferecer internet de qualidade e capacitar os professores e

outros profissionais da educação para a utilização das TIC.

A utilização das TIC se apresenta de múltiplas formas e a apropriação delas pelas

escolas ocorre de forma muito irregular. No entanto, elas podem gerar estímulos à

produção dos alunos, pelo fascínio despertado ou pelo potencial que elas realmente têm.

Computador e softwares podem viabilizar a experimentação por alunos e professores, por

meio de uma simulação, uma situação que, sem os recursos computacionais, seria

impossível vivenciar. (KUIN, 2005).

Embora pesquisas mostrem os benefícios do uso das TIC1, bem como a inserção

delas nas instituições de ensino, percebe-se que ainda são necessários muitos esforços,

1 Ver, por exemplos, os trabalhos desenvolvidos por Kuin (2005), Ramos (2014), Costa (2015), Almeida

(2015), Pereira e Siqueira (2016), Bozolan (2016), Araújo Et al. (2017), Stella (2016), Geraldes (2017),

Santos e Mafra (2018).


83

devido aos obstáculos e dificuldades diversas. Lorenzato (2006, p. 33), destaca o desafio

de se conseguir professores preparados para o uso dos recursos computacionais:

É preciso lembrar que infelizmente o computador não chegou à

grande maioria das escolas brasileiras; e isso é mais sério do que

parece, porque muitas escolas que já se equiparam com

computadores não sabem bem o que fazer com eles. Tudo indica

que comprar o equipamento e conseguir o espaço físico para ele é o

mais fácil: o mais difícil é conseguir software (programa) adequado

e principalmente professor preparado para elaborar, desenvolver e

avaliar um processo de ensinar e aprender diferente dos que

tivemos até hoje.

Silva (2015, p. 24), discorre sobre a necessidade dos profissionais da educação

saberem utilizar as tecnologias: “é de fundamental importância, pois evidenciam diversos

caminhos e possibilidades. O professor precisa conhecer as tecnologias para ter segurança

ao levar essas tecnologias para a sala de aula e assim possibilitar uma aprendizagem

significativa para o aluno”.

Além da discussão de como se desenvolve a apropriação das tecnologias pela

escola e pelos profissionais da educação, é muito importante que se reflita sobre as

influências delas no processo de ensino-aprendizagem. As TIC têm características

relevantes para auxiliar na construção da consciência sobre o processo de aprender e, dessa

forma, há a necessidade que o nosso sistema educacional produza ações que possam ajudar

tanto o aluno na identificação de suas limitações de aprendizagem, quanto preparar os

educadores para saberem fazer a leitura dessas limitações. Assim, esse conhecimento

tornaria menos difícil a vida dos aprendizes, que saberiam escolher estratégias, materiais

de apoio, circunstâncias de aprendizagem condizentes com as suas preferências, tornando a

aprendizagem algo mais efetivo e prazeroso (VALENTE, 2005).

Nesse sentido, a articulação proposta entre a educação matemática e as tecnologias

da informação e comunicação, permitem uma reflexão sobre os atores essenciais na

construção do conhecimento. O caminho mais adequado para auxiliar o aluno nesse

processo, vai depender de vários fatores, muitos dos quais já citados anteriormente.

Videoconferências, câmeras digitais, TV digital, dentre outros mecanismos e

equipamentos, demonstram que as TIC, como recursos educacionais, desenvolveram ao

longo dos anos, muito fortemente, ações de incorporação cultural e social, possibilitando o

indivíduo se expressar cognitivamente, emocionalmente e socialmente. Todas essas

mudanças provocadas pelas tecnologias como, por exemplo, a formação de redes de

pessoas que interagem por meio da internet, exige que seja revisto de forma constante o

papel do aprendiz e do professor ou agente de aprendizagem (VALENTE, 2005).

O Ensino de Matemática por Atividades e as Tecnologias Educacionais

A Informática e a Matemática são duas ciências que parecem estar naturalmente

integradas, pois a Informática depende dos algoritmos e dos programas, sendo esses

alimentados pela linguagem de símbolos e códigos que a Matemática sempre produziu e


84

forneceu para a Informática. As perspectivas a essas duas ciências são muitas e estão

relacionados à eliminação de trabalhos árduos e repetitivos, produção de novas

tecnologias, qualificações, anseios e desafios sociais a serem encontrados e solucionados.

Apesar de tão natural associação, percebemos que no âmbito da escola, isso ainda

não se concretizou, devido a existência de alguns fatores pertinentes à utilização da

Informática e do uso de computadores para a aprendizagem da Matemática, tais como: a)

falta de políticas educacionais efetivas e contínuas que possam permitir a implementação e

democratização da informática nas escolas; b) a formação do profissional da educação que

urge por uma reformulação na grade curricular dos seus cursos de graduação, visando

fornecer subsídios ao futuro professor.

Devemos deixar bem claro e divulgar aqui, que os diversos estudos realizados

sobre o assunto da utilização dos computadores e da informática no ensino de Matemática

em todo o país e no mundo, evidenciam uma melhora significativa nos processos de ensino

e aprendizagem mediados por computador, bem como influenciam positivamente na

leitura, escrita, visualização e criação de objetos matemáticos pelos alunos.

Existem dois aspectos de fundamental importância para sabermos identificar os

efeitos que o uso dos computadores possam trazer para o ensino da Matemática: A

influência da tecnologia permitindo trabalhar os conceitos matemáticos de forma otimizada

e diversificada, e, a influência dos conceitos mais gerais de informática, que depende quase

que exclusivamente da linguagem algorítmica. Assim, entendemos que o uso do

computador contribui também para que a aprendizagem matemática se torne uma atividade

experimental mais rica, no sentido de incentivar o melhor desenvolvimento dos processos

cognitivos e das faculdades mentais dos alunos.

Olhando para a Matemática, como uma área de conhecimento e aspectos

característicos de seu ensino, podemos pensar em ações planejadas, com base em diretrizes

voltadas para subsidiar elementos significativos para o trabalho planejado do docente que

ensina matemática. Tais encaminhamentos são muito relevantes em se tratando do

desenvolvimento de competências e habilidades, a partir de situações que tragam

elementos de significados para os alunos, conforme Mendes e Sá (2006) apresentam.

Os modernos recursos tecnológicos disponíveis e acessíveis à educação, como a

computação gráfica, constituem recursos importantes na visualização e na leitura de

informações gráficas para o ensino de Matemática, podendo ser adaptadas e configuradas,

conforme ações pedagógicas de significado. Mendes e Sá (2006), também projetam

cenários de como tais ações, pautadas na técnica da redescoberta, podem ser

potencializadas a partir de diretrizes e elementos de compreensão potencial, configurados,

por exemplo, no auxílio a interpretação, a compreensão e o desenvolvimento de

habilidades e capacidades de expressão gráfica. Nessa perspectiva, é possível realizarmos a

construção de cenários de aprendizagem experimentais, tanto individual como em grupo,

que possam fornecer e despertar iniciativas de aprendizagem, com base no

desenvolvimento de atividades de observação, colaboração e levantamento de informações,

com vistas a inferências e conclusões. Assim, é possível pensarmos na visualização,


85

experimentação, simulação e demonstração de atividades matemáticas, como fatores

potenciais de favorecimento na formação e o refinamento de hipóteses, em uma

perspectiva de ensino da matemática, de base tecnológica, como uma necessidade de

ensinar os alunos a utilizar os recursos informáticos.

Sabemos que os algoritmos estão cada vez mais desempenhando um papel

importante na sociedade, pois estão inseridos nos processos organizacionais e

administrativos de empresas e comércios, além de aparecerem também integrados em

processos tecnológicos e de automação. Os procedimentos matemáticos surgem assim, em

um domínio bem diversificado, pois os algoritmos exercem uma aplicabilidade crescente e

de grande influência como ferramentas de demonstração em cálculo. Além disso, o

desenvolvimento de softwares educacionais que priorizem o ensino de matemática

centrado na construção do conhecimento, e não na simples instrução é necessário,

possibilitando assim a integração das habilidades matemáticas que se espera obter, com

nossos estudantes, em relação ao domínio de conceitos matemáticos e suas estruturas

operacionais.

Sá (2009), fornece elementos para pensarmos na elaboração de atividades

matemáticas, articuladas com diretrizes tecnológicas e de que forma podem estar

correlacionadas com os ensinamentos matemáticos. Fornece indicadores, a partir da

condução destas atividades e de que maneira possam pressupor a possibilidade de

condução do aprendiz a uma elaboração constante das noções matemáticas inerentes as

estruturas tecnológicas.

Apresenta assim, sugestões de elementos essenciais, no momento da elaboração das

atividades de ensino (SÁ, 2009, p. 18):

As atividades devem apresentar-se de maneira auto-

orientadas para que os alunos consigam conduzir-se durante

a construção de sua aprendizagem;

Toda atividade deve procurar conduzir o aluno à construção

das noções matemáticas através de três fases: a experiência, a

comunicação oral das ideias apreendidas e a representação

simbólica das noções construídas;

As atividades devem prever um momento de socialização das

informações entre alunos, pois isso é fundamental para o

crescimento intelectual do grupo. Para que isso ocorra, o

professor deve criar um ambiente adequado e de respeito

mútuo entre os alunos e adotar a postura de um membro mais

experiente do grupo e que possa colaborar na aprendizagem

deles;

As atividades devem ter características de continuidade, visto

que precisam conduzir o aluno ao nível de representação

abstrata das ideias matemáticas construídas a partir das

experiências concretas vivenciadas por ele;


86

De acordo com o modelo proposto por Dockwiller (1996)2,

as atividades propostas pelo professor podem se apresentar

de três maneiras: desenvolvimento, conexão e abstração, de

modo que sejam sequencialmente apresentadas e possam

contribuir para a construção gradual dos conceitos

matemáticos.

A união dessas habilidades sugestivas é muito importante pela característica

integradora que possuem, pois estaremos diante de uma nova perspectiva de cultura

educacional. Essa articulação envolvendo os pressupostos do ensino de matemática por

atividades, poderá proporcionará a transição do trabalho individual, para o trabalho

coletivo de desenvolvimento de conceitos e objetos matemáticos podendo render bons

frutos no futuro3. Além disso, importa para todos nós o ganho conceitual e de compreensão

dos nossos alunos, com base nestas diretrizes e de que forma as mesmas podem ajudar no

aumento da capacidade de cada um tem de estabelecer conexões entre o pensamento

matemático e o pensamento abstrato mais relacionado com a pensamento computacional, o

qual discutiremos na próxima seção.

O Pensamento Computacional e suas possíveis interfaces com o ensino

No século XXI notam-se profundas mudanças na forma como as pessoas vivem e

se relacionam. Dentre essas transformações, pode-se citar o uso maciço das novas

tecnologias em vários setores da sociedade, tais como economia, saúde, lazer, educação,

dentre outros. Nessa nova dinâmica social, surge o Pensamento Computacional (PC). Para

Wing (2006, 2016), o Pensamento Computacional é uma habilidade fundamental para

todas as pessoas, não apenas para os cientistas da computação. É uma habilidade tão

importante quanto a leitura, escrita e aritmética. Wing (2006, p. 33), complementa o

conceito de Pensamento Computacional:

[...] Constrói o poder e os limites dos processos computacionais se

forem executados por humanos ou por máquinas. Métodos e

modelos computacionais nos encorajam a resolver problemas e

desenhar sistemas que nenhum de nós seria capaz de desenvolver

sozinho.

Para França, Silva e Amaral (2012, p. 1), “Pensamento Computacional é saber usar

o computador como um instrumento de aumento do poder cognitivo e operacional humano,

aumentando a nossa produtividade, inventividade, e criatividade”. Os autores informam

que o PC se refere ao uso de conceitos e ferramentas da computação para o

2 Uma versão do texto original de Dockwiller, encontra-se disponível em: https://eric.ed.gov/?id=ED375008

3 Para um aprofundamento sobre a perspectiva do ensino de matemática por atividades e a técnica da

redescoberta ver, por exemplo, os trabalhos de Sá (2019), Salgado e Sá (2016), Sá e Jucá (2014), Sá (1999),

Noronha e Sá (2002) e Mendes (1996).

https://eric.ed.gov/?id=ED375008


87

desenvolvimento de determinadas habilidades no ser humano, tornando este, um indivíduo

que interage e participa da vida em sociedade.

O Pensamento Computacional além de propor uma maior criatividade, uma melhor

cognição e inventividade, pressupõe a utilização de conceitos da ciência da computação. A

habilidade de transformar teorias e hipóteses em modelos e programas computacionais,

além de executá-los, depurá-los, e utilizá-los para redesenhar processos produtivos, realizar

pesquisas científicas ou mesmo aperfeiçoar rotinas pessoais, é uma das mais primordiais

habilidades para os cidadãos do século XXI (BLIKSTEIN, 2008).

Apesar do pioneirismo de Wing, um trabalho desenvolvido por Brackmann (2017),

aponta as contribuições de Seymour Papert4 como uma influência significativa no

desenvolvimento do Pensamento Computacional. O trabalho de Papert sobre o

Construcionismo e a linguagem de programação LOGO foi fundamental para o

desenvolvimento do Pensamento Computacional, uma vez que nele foi apresentado o

computador como instrumento capaz de apoiar a construção do conhecimento.

Furber (2012), preconiza o Pensamento Computacional como o processo de

reconhecimento dos aspectos computacionais no mundo que nos cerca, além da aplicação

de ferramentas e técnicas da Ciência da Computação para compreender e raciocinar sobre

os sistemas e processos naturais e artificiais. Assim, o Pensamento Computacional não

deve ter necessariamente como resultado final a produção de software e hardware e

reconhece que os conceitos fundamentais da Computação estarão presentes para resolver

problemas em vários contextos do cotidiano (BARCELOS E SILVEIRA, 2012)5.

Segundo Barr e Stephenson (2011), compõe a parte central do Pensamento

Computacional, a percepção da existência de nove conceitos que são: Coleta de dados;

Análise de dados; Representação de dados; Decomposição de problemas; Abstração;

Algoritmos e Procedimentos; Automação; Paralelização e Simulação. Os mesmos autores

também pontuam o que significa cada um desses nove conceitos: Coleta de dados:

pressupõe um processo de coleta de dados ou informações sobre determinado problema de

forma adequada; Análise de dados: é um processo onde se atribui significação aos dados,

obtêm-se padrões, além de se tirar conclusões; Representação de dados: se representa e se

organiza dados, através de gráficos, tabelas, imagens, textos ou figuras; Decomposição de

problemas: processo no qual se decompõe certo problema complexo em tarefas menores e

mais facilmente gerenciáveis; Abstração: processo necessário para reduzir a complexidade

do problema e para definir ideias principais; Algoritmos e Procedimentos: sequência de

passos necessários para resolução de um problema ou para se atingir determinado objetivo;

Automação: processo que indica a utilização de computadores ou máquinas para realizar

tarefas repetitivas; Paralelização: refere-se à organização de recursos para realizar tarefas,

simultaneamente, para alcançar um objetivo; Simulação: representação ou modelo de um

processo. A simulação também envolve experimentos sendo executados usando modelos6.

4 Ver, por exemplo, Nunes e Santos (2013) e Papert (2008, 1986).

5 Para uma discussão aprofundada sobre o PC ver os anais do Workshop on The Scope and Nature of

Computational Thinking, publicado pelo National Research Council (2011, 2010).

6 Para outras classificações alternativas de procedimentos e natureza operacional envolvendo o PC, consultar

os trabalhos de Brennan e Resnick (2012) e Phillips (2009).


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Assim o Pensamento Computacional é uma forma de pensar qualitativamente,

distinto da fluência e emergente em uma ampla gama de disciplinas. A natureza ubíqua7

das ferramentas computacionais influencia todos os aspectos da vida moderna e exige que

as pessoas adotem novos modos de pensar para usar essas ferramentas de forma

eficaz. Esses modos de pensar estão emergindo não apenas na ciência da computação, mas

em diversas áreas do conhecimento.

Farias, Andrade e Alencar (2015) nos informam que a comunidade acadêmica

aponta cada vez mais para a supra importância da ampliação do ensino de conceitos

relacionados à ciência da computação, contemplando alunos desde a tenra idade, passando

a ser, dessa forma, uma ciência basilar para a formação de habilidades primárias para o

bom desempenho de qualquer profissão. No entanto, incorporar o PC na educação básica

exige uma abordagem prática, fundamentada em uma definição operacional. Isso

pressupõe que sejam debatidos e refletidos um conjunto de perguntas focadas

especificamente na implementação do PC na educação básica: O que seria o Pensamento

Computacional na sala de aula? Quais são as habilidades que os alunos demonstrariam? O

que um professor precisaria para pôr em prática o Pensamento Computacional? O que os

professores já estão fazendo que possam ser modificados e estendidos? (BARR E

STEPHENSON, 2011).

Em muitas das escolas brasileiras, sobretudo as públicas, é muito comum a

realização do “adestramento digital8”, onde a tecnologia é utilizada apenas pra recombinar

informações e não para produzir conhecimento. Com essa prática ineficiente foram gastos

milhões de reais. Todavia, um problema mais alarmante é que se ensina aos alunos que a

tecnologia serve para muitas coisas, mas não se discute e nem é mostrado como criar

conhecimento novo9. E diante de toda a complexidade atual, envolvendo a sociedade,

ciência e a indústria, quem não souber viver em simbiose cognitiva com as máquinas (e

suas redes) não terá muita chance de sobreviver (BLIKSTEIN, 2008).

Além disso, não se deve esperar até que os alunos estejam na faculdade para

apresentar os conceitos que envolvem o “pensar computacional”. Todos os alunos de hoje

continuarão a viver uma vida fortemente influenciada pela computação, e muitos irão

trabalhar em profissões que envolvam ou são influenciados pela computação. Dessa forma,

os alunos devem começar a trabalhar com resolução de problemas algorítmicos, métodos e

ferramentas computacionais já na educação básica (BARR E STEPHENSON, 2011).

No Brasil ainda há muito o que ser feito pois, em nosso pais, as políticas

educacionais relacionadas à tecnologia estão restritas à abordagem de letramento e

inclusão digital. Nenhum documento oficial menciona a introdução do ensino de

fundamentos de computação na Educação Básica, entretanto há muitas motivações para

7 Refere-se a computação ubíqua que, segundo Loureiro et al. (2009, p. 100), “é caracterizada pela presença

de dispositivos portáteis, cada vez mais comuns devido aos avanços na fabricação de componentes

eletrônicos. Esses dispositivos possuem uma considerável capacidade de processamento, com recursos para

comunicação sem fio e armazenamento de dados”.

8 Para Blikstein (2008), o adestramento digital configura uma forma de uso dos recursos computacionais sem

considerar o potencial dessas ferramentas para estimular a cognição, criatividade e inventividade.

9 Ver, por exemplo, os dados apresentados no trabalho desenvolvido por Rodrigues Et al. (2015).


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que isso ocorra. Diversas pesquisas e projetos, envolvendo o ensino de computação na

educação básica, são realizados no Brasil há bastante tempo, todavia, apesar de serem

bastante diversificadas, em se tratando de tempos atuais, carecem de maior legitimidade,

especialmente pelos formuladores de políticas educacionais10.

Descrição do Ambiente da Pesquisa

A pesquisa foi realizada entre os dias 26 de maio a 11 de agosto de 2017 e ocorreu

no município de Santarém, estado do Pará. A investigação foi desenvolvida, a partir de

uma proposta metodológica desenvolvida nas seguintes etapas: a) 1ª etapa - Pesquisa

Bibliográfica (onde foi feito o levantamento, a seleção, o fichamento e o arquivamento de

informações relacionadas à pesquisa) e revisão crítica da literatura sobre o tema (baseada

em critérios metodológicos, a fim de separar os textos que têm validade daqueles que não

têm); b) 2ª etapa – Desenvolvimento e planejamento de uma oficina (sequência de

atividades), a partir de conteúdos matemáticos (frações, aritmética, lógica, dentre outros),

utilizando, como suporte, o programa OpenOffice Calc11. A opção pela utilização do

software deu-se por conta de suas características como usabilidade12 e interoperabilidade13

e por serem recursos bastante significativos para o processo educativo, tendo em vista seu

potencial de abstração e multiplicidade de possibilidades de atividades matemáticas; c) 3ª

etapa - Aplicação das oficinas com a turma do sexto ano, em três momentos, em que, ao

final de cada momento, foi utilizado o Relatório-Avaliação proposto por D’Ambrósio

(1996). Foi recomendado que os alunos incluíssem no documento, as suas impressões, o

que fizeram durante as atividades, o que acharam importante, o que gostaram e o que não

gostaram; d) 4ª etapa - Avaliação final dos alunos e pelo professor, sobre as oficinas,

através da aplicação de questionários e entrevistas, durante o desenvolvimento das

atividades, conforme Gil (2002); e) 5ª etapa - Análise e discussão dos resultados, a partir

da correlação entre os dados obtidos, o referencial teórico utilizado neste estudo e os

procedimentos metodológicos empregados.

Para auxiliar no desenvolvimento das atividades, foi elaborado um Tutorial

Interativo Calc14, na qual apresenta informações básicas para utilização do programa. O

tutorial foi elaborado com o objetivo de ser um material de apoio nas oficinas, onde os

alunos pudessem utilizar, permitindo assim, um auxilio no desenvolvimento das atividades.

10 Uma iniciativa tardia, se comparada a outros países, é fornecida pela Base Nacional Curricular Comum -

BNCC (BRASIL, 2017), apesar do termo aparecer apenas de forma discreta e relacionado a conteúdos de

matemática, pode-se considerar um passo importante sobre a discussão da inserção do Pensamento

Computacional no currículo escolar das nossas crianças e jovens.

11 É uma planilha eletrônica, de uso livre, e que permite ao usuário trabalhar diversos conteúdos matemáticos

como equações, funções, aritmética álgebra, dentre outros. Disponível em: <https://openoffice.org>. Acesso

em: 05 mar. 2017. 12 Para Pressman (2011) e Donahue, Weinschenk e Nowicki (1999) a usabilidade é uma medida utilizada

para verificar o quanto um sistema computacional pode facilitar o aprendizado; auxilia os aprendizes a

lembrar do que aprenderam; a probabilidade de erros é reduzida, dentre outras características.

13 Pressman (2011) entende interoperabilidade como a capacidade de um sistema computacional se integrar a

outro.

14 O referido tutorial está disponível para download em: < https://goo.gl/7PXbPs>.


90

Durante as oficinas e entrevistas foram feitas gravações de áudio com a finalidade

de registrar o que ocorreu em cada uma delas. As fotografias mostram os alunos

desenvolvendo as tarefas e o ambiente onde foi realizada a pesquisa. Os vídeos mostram os

alunos desenvolvendo as atividades com os programas. Todos os registros foram realizados

com as devidas permissões necessárias dos participantes e pais responsáveis dos

participantes da pesquisa, através da assinatura do Termo de Consentimento Livre e

Esclarecido (TCLE).

Descrevendo as atividades desenvolvidas

Apresentam-se, a seguir, as descrições das atividades realizadas e as considerações

presentes nos Relatórios-Avaliação redigidos pelos alunos nas oficinas. Para não divulgar

os nomes dos alunos que fizeram parte da investigação, utilizou o código formado pela

palavra participante mais um número corresponde ao aluno, por exemplo, Participante 00.

Foram realizados 3 encontros, onde cada um correspondeu a uma atividade, envolvendo

duas aulas de quarenta minutos. Esses encontros ocorreram no horário das aulas de

matemáticas, às segundas-feiras, quintas-feiras e sextas-feiras no laboratório de

informática da escola.

Na Atividade 1, primeiramente, houve a apresentação dos alunos, do professor e do

pesquisador. Foram informados aos alunos os objetivos da pesquisa, das atividades e como

estas iriam ocorrer. Em seguida, foi entregue aos alunos o Relatório-Avaliação. Foi

informado da finalidade desse instrumento e como os alunos deveriam preenchê-lo,

fazendo suas considerações sobre o que eles aprenderam e o que foi desenvolvido nas

oficinas. Na Figura 1, mostra-se o momento onde os alunos tem o primeiro contato com a

ferramenta Calc.


91

Figura 1 - Primeiro contato dos alunos com o Calc.

Fonte: O Autor (2018).

O objetivo desta atividade foi o de desenvolver atividades, com auxílio do Calc,

relacionado com conteúdos matemáticos sobre aritmética e conhecer conceitos básicos e

relacionados ao PC. Os encaminhamentos referentes ao trabalho informatizado foi

realizado após a apresentação desses conceitos, de forma a conduzir as atividades no

laboratório, de forma a possibilitar uma interação entre os procedimentos metodológicos

utilizados, os conteúdos desenvolvidos e a concretização das habilidades e características

envolvidas, na proposta.

Os discentes conseguiram utilizar o Calc, apesar de ser algo totalmente novo para

eles. Para isso, o Tutorial Interativo Calc foi um material de grande ajuda, uma vez que

através deste puderam saber as principais funcionalidades desse recurso. Nessa atividade

percebeu-se o quanto os alunos conseguem manusear o computador. Observou-se ainda o

entusiasmo dos alunos ao chegar ao laboratório e ter o contato com o computador. Alguns

tentaram acessar a internet ou jogar, mas através de uma conversa, eles se concentraram na

oficina.

Na Atividade 1 houve as seguintes anotações no Relatório-Avaliação15:

i) Eu aprendi muita coisa, aprendi a somar, dividir,

diminuir, etc. Muitas coisas que eu não sabia, aprendi [...] Quando

entrei nem sabia o que fazer, mas prestei atenção na explicação e

comecei a aprender. (Participante 08);

ii) Aprendi as barras de fórmulas, de ferramentas, a coluna,

a linha. Também o que é pensamento computacional e TICS. A aula

está interessante e legal. Aprendi a usar as colunas do open office

fazendo planilha. (Participante 09);

15 Em nossa concepção, o relatório-avaliação se mostrou um potente instrumento de recolha de informações e

registros proporcionados pelos alunos. Devido a limitação do número de páginas para este artigo, elencamos

aqui apenas alguns fragmentos, dentre a quantidade de depoimentos recolhidos com os participantes da

pesquisa.


92

iii) Nesse primeiro dia a gente aprendeu a usar a planilha. E

fizemos os nomes das matérias e colocamos nossas notas aleatórias

de 0 a 10. (Participante 10).

De acordo com esses registros, constatou-se que os discentes gostaram de

desenvolver as atividades iniciais, sobretudo, de poderem utilizar e manipular os recursos

computacionais do laboratório de informática de forma a poderem abstrair conhecimentos

e habilidades iniciais sobre o reconhecimentos dos números e suas operações.

Na Atividade 2, o objetivo da oficina foi utilizar o programa Calc como auxílio no

processo de aprendizagem do conteúdo matemático sobre aritmética. Os conceitos

desenvolvidos foram os relacionados à aritmética. Primeiramente a cada aluno foi entregue

o Relatório-Avaliação e, para a execução dessa oficina, levou-se em consideração os

registros feitos pelos discentes no relatório referente ao encontro anterior.

O professor de matemática explicou sobre aritmética para os alunos. Em seguida,

passou-se para a apresentação do tutorial. No Tutorial Interativo Calc há uma parte

denominada “Criando uma Folha de Cálculo”, onde é apresentada uma sequência de

quatorze passos necessários para se criar uma planilha. A partir desses encaminhamentos,

foi proposto a criação de uma planilha que simula a elaboração de um boletim, onde são

inseridos dados como bimestre (primeiro, segundo, terceiro e quarto), disciplina

(português, matemática, história e geografia) e as notas.

Estas etapas foram elaboradas livremente pelos alunos, com a devida orientação do

professor e dos pesquisadores, conforme mostra a Figura 2. Depois, os alunos foram

desafiados a criar a média final de cada uma das disciplinas e de acordo com esse cálculo,

informar se o aluno foi aprovado ou reprovado.

Figura 2 - Alunos criando um modelo de boletim, no Calc.


Nesse encontro, buscou-se desenvolver atividades sobre conteúdos matemáticos

relacionados com a aritmética. Percebeu-se que os alunos conseguiram ter um bom

desempenho, tanto no manuseio da ferramenta, quanto na assimilação dos conteúdos,

conforme depoimentos a seguir:


93

i) Aprendi principalmente mexer em computador.

Executamos o comando ((B4+C4+D4+E4)/4). (Participante 03);

ii) Aprendi que Open Office pode ser instalado em vários

computadores. O open office contem barra de títulos, barra de

menus, barra de ferramentas, barra de fórmulas, coluna, linha,

caixa de nome. Fizemos a planilha Boletim e aprendemos a fórmula

((B4+C4+D4+E4)/4). (Participante 06);

iii) A gente aprendeu a mexer no open office calc. Os

professores são muito legais. Aprendemos muitas coisas legais.

Aprendemos a fazer coisas divertidas e bacanas. Aprendemos a

fazer fórmulas. A aula é top. Aprendemos muitas coisas.

(Participante 2).

Constatou-se através dessas informações que os alunos conseguiram entender como

funciona o programa, suas funcionalidades e aprenderam a criar fórmulas matemáticas para

resolver operações como adição e divisão. Foi percebido também que dado o problema (a

criação do boletim), os alunos precisaram refletir como iriam resolvê-lo.

Para o desenvolvimento e planejamento da Atividade 3, foi trabalhado os conceitos

desenvolvidos e relacionados à aritmética (adição, subtração, multiplicação e divisão). Já

em relação às competências ou habilidades requeridas, mencionam-se as capacidades de

manuseio do programa Calc e conhecimentos básicos sobre adição, divisão, subtração e

multiplicação. Os alunos foram convidados a resolver situações problemas, envolvendo

cinco questões sobre aritmética, objetivando o trabalho tanto na planilha eletrônica quanto

no próprio papel, conforme mostrado na Figura 3. Alguns deles optaram por fazer a tarefa

em duplas ou em trios.

Figura 3 - Alunos resolvendo situações problemas da Atividade 3.


Na Atividade 3, algumas das considerações foram:

i) Eu fiz um exercício na folha de papel e depois passei para

o computador. (Participante 09);


94

ii) Aprendi a mexer mais na planilha. Eu fiz um exercício e

também mexi no computador. Foi bem legal isso e tenho certeza que

vou aprender mais com esses maravilhosos professores. Eu também

aprendi a fazer cálculos, fórmulas e aprendi a editar. (Participante

12);

iii) Na aula aprendi muita coisa. Aprendi a fazer contas, etc.

Gosto muito de fazer informática e matemática. Tenho dificuldades,

mas consigo fazer. (Participante 16).

Através dessas observações, percebeu-se que os alunos aprenderam a utilizá-la e

também tiveram a oportunidade de aprender conteúdos matemáticos através de um recurso

computacional. Essa experiência foi significativa porque mostrou aos alunos e ao professor

da disciplina que há outras formas inovadoras e atrativas de ensinar e aprender matemática.

Habilidades como abstração e representação de dados, dentre outras, foram exercitadas

nessa oficina. A abstração foi necessária para entender as questões do exercício e se

verificar quais os pontos chaves delas para depois resolvê-las. Já a representação de dados

foi abstraída na resolução do exercício através do computador, no qual as planilhas foram

alimentadas com as informações das questões. Após essa fase, os alunos podiam verificar

como os dados estavam organizados e em seguida resolver as questões.

Avaliando resultados e projetando perspectivas de articulação

Em nossa investigação, percebemos que a maioria dos alunos conseguiu, de certa

forma, aprender a manusear o programa Calc, além de aprenderem os conteúdos, conforme

os depoimentos: i) A mudança foi que a gente aprendeu matemática no computador.

(Participante 18); ii) Melhorou o ensinamento e nosso conhecimento. (Participante 10).

Nas informações registradas, os discentes perceberam mudanças na forma como

aprendem matemática e, principalmente, destacaram que essas transformações foram

positivas, conforme extratos de falas a seguir: i) Fui aprendendo sozinha, prestando

atenção na aula e na explicação. (Participante 07); ii) Fiz com o professor explicando e

ajudando. (Participante 10); iii) Minha amiga ajudava [...] Aparecia na projeção e a

gente fazia. (Participante 14).

A forma como cada um desenvolveu as tarefas solicitadas em cada oficina foram as

mais variadas possíveis, de acordo com os registros colhidos na entrevista. Isso mostra que

diferentes indivíduos, através do uso do computador, são capazes de adquirir e produzir

conhecimento, mas necessitam da ajuda de outros indivíduos mais capazes. Tais

considerações coincidem com o que Mendes e Sá (2006) fornecem ao propor situações e

cenários com base no ensino por atividades, de forma que possa contemplar aspectos

experimentais, análise e uma perspectiva de um trabalho colaborativo ou de socialização

entre os alunos (SÁ, 2009).

Em relação ao PC, as oficinas ministradas apresentaram elementos relacionais com

o que Brackmamm (2017) aponta, em relação as habilidades susceptíveis de ativação: a

decomposição, o reconhecimento de padrões estruturais, o desenvolvimento da abstração e

a capacidade de resolução de problemas, conforme a organização de etapas algorítmicas.


95

Certamente a capacidade de organização e representação de dados foram habilidades que

puderam ser desenvolvidas através do Calc. Isso ocorreu na elaboração do Boletim onde os

alunos puderam inserir disciplinas e notas, além da média. Esses dados organizados numa

planilha, possibilitaram mais facilmente gerar informações que serão utilizadas, por

exemplo, para o aluno verificar qual disciplina tem melhor desempenho, qual tem pior

desempenho.

Os resultados encontrados, também encontram ressonância, com as discussões

propostas por Barr e Stephenson (2011) e Sá (2009), vistas anteriormente, como a

decomposição, simulação, reconhecimento de padrões, representação de dados, abstração e

algoritmos, como elementos potenciais desenvolvidos, durante as atividades. Os

algoritmos, sequência de passos para criação ou resolução de problemas, pode ser

observado no desenvolvimento das ações e quando da elaboração das etapas de formulação

das atividades solicitadas. Foram utilizados diversos comandos de várias categorias como

aparência, movimento, controle, dentre outros, que possibilitaram a criação de um caminho

ou sintaxe, necessária para a ordenação de uma sequência lógica.

Durante a realização da pesquisa foi verificado que as atividades, acima de tudo,

foram atrativas e interativas para os alunos. Foram atrativas devido o ambiente de ensino

ser um laboratório de informática e não mais uma sala de aula tradicional. Foi interativa

porque ao manipular os recursos computacionais, puderam experimentar os programas e

aprender matemática através de uma forma diferente, isto é, por meio das TIC e com base

em uma perspectiva do ensino por atividades. Quanto ao uso da TIC no ensino da

matemática, isto se mostrou uma poderosa forma de ensinar, devido ser atrativa e interativa

para os alunos, além de possibilitar a visualização dos conteúdos de uma maneira dinâmica

e mais significativa.

Vale lembrar que o próprio professor de matemática pode comandar sozinho (sem

ajuda de um facilitador) esse conjunto de atividades, desde que o mesmo possua

conhecimento para tal. Outros fatores importantes que devem ser destacados são: as

necessidades dos alunos, como dificuldades de aprendizado em relação aos conteúdos da

matemática e também ao manuseio dos recursos computacionais. Em relação as

contribuições ao campo de pesquisa em educação matemática, o desenvolvimento desta

proposta visa a discussão de como o PC e as TIC podem auxiliar no processo de ensino e

aprendizagem da matemática, a medida em que a proposição de situações e problemas são

difundidos em ambientes de aprendizagem.

Assim, as ações serviram para apresentar uma perspectiva de trabalho com base no

ensino por atividades e relacionados com o ensino de conteúdos matemáticos. Além disso,

esta iniciativa metodológica, permitiu o desenvolvimento de habilidades relacionadas ao

PC, de forma a contribuir na preparação dos alunos para a vida numa sociedade cada vez

mais marcada pela utilização das tecnologias. Por fim, concluímos que as Tecnologias da

Informação e Comunicação e os pressupostos relacionados ao Pensamento Computacional

podem ser grandes aliados nas aprendizagens dos alunos, relacionados a Matemática, ao

articular as possibilidades de incrementos de conhecimento à perspectiva do Ensino por

Atividades, visando ambientes e cenários educacionais mais atuais e compatíveis com as

demandas e necessidades eminentes de nossa sociedade.


96

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Gilson Pedroso dos Santos




José Ricardo e Souza Mafra


E-mail: [email protected] ORCID: https://orcid.org/0000-0002-3629-8959


https://orcid.org/0000-0001-6186-7060


https://orcid.org/0000-0002-3629-8959




Um estudo acerca da potencialidade significativa de um material de

ensino sobre circunferência e círculo

A study about the meaningful potentiality of a teaching material on

circumference and circle

Maria Aparecida da Silva Rufino

Universidade de Pernambuco – UPE, Campus Mata Norte – Brasil; Secretaria Estadual de

Educação–PE – Brasil

José Roberto da Silva

Universidade de Pernambuco – UPE, Campus Mata Norte – Brasil

RESUMO

Apesar das reformulações por que passou o ensino de matemática, ainda há diversas barreiras a

serem superadas, a exemplo do que ocorre na difusão das ideias de circunferência e de círculo,

explorando-se excessivamente o manuseio mecânico das fórmulas, sem considerar o raciocínio

matemático que lhes dão sustentação. Dessa forma, investe-se na aplicação de um material de

ensino, sobre a forma de oficina, na qual se reconstrói algumas ideias da base histórica desses

objetos e seus cálculos, estimulando os processos cognitivos ausubelianos da diferenciação

progressiva e da reconciliação integradora. A fim de caracterizar a potencialidade significativa

desse material, a oficina foi aplicada em uma turma de 42 alunos do 9º ano do EF, de uma escola

do município de Lagoa de Itaenga – PE/Br. Trata-se de um estudo de caso educativo, cujas

respostas a um questionário diagnóstico, reaplicado como questionário avaliativo, dão conta de que

parte dos alunos evoluíram conceitualmente sobre as ideias de círculo e de circunferência e sobre o

processo de aquisição e aplicação das fórmulas do comprimento da circunferência e da área do

círculo. Isso foi possível a partir da aplicação da oficina quando vivenciaram algumas tentativas

históricas para a obtenção desses modelos, como o uso do método da exaustão arquimediano.

Mediante estes dados caracteriza-se o material como potencialmente significativo.

Palavras-chave: Aprendizagem Significativa. História da Matemática. Circunferência e Círculo.

ABSTRACT

Despite the reformulations that the teaching of mathematics went through, there are still difficulties

to be overcome, such as the teaching of concepts of circle and circumference. Teachers explore

mechanically formulas without meaning or supported by mathematical reasoning. To this study, we

developed teaching materials in which some historical ideas of circle, circumference, and calculus

(such as Archimedes’ exhaustion method) were discussed in a workshop in order to stimulate the

Ausubelian cognitive processes of progressive differentiation and integrative reconciliation. To

characterize the meaningful potentiality of these materials, we offered a workshop to a class of 42

students in the 9th grade at a public middle school, in Lagoa de Itaenga, Pernambuco, Brazil. This

is a case study whose answers to a diagnostic questionnaire reapplied as an evaluative

questionnaire showed that some students developed conceptually their ideas of circle and

circumference as well as their process of acquiring and applying formulas related to circumference

length and circle area.

Keywords: Potentially meaningful material. History of mathematics. Circle and circumference.


101

Introdução

Algumas reformulações pela qual vem passando o ensino de matemática, tanto no

âmbito dos conteúdos quanto na forma de ensinar, é proposta como tentativa de tentar

responder às dificuldades daqueles que lidam com o ensino, como também referentes às

dificuldades de aprendizagem por parte daqueles que aprendem. Basta observar alguns

documentos oficiais (estadual e nacional), a exemplo do que propôs os Parâmetros

Curriculares de Matemática – PCN (BRASIL, 1997) e o que está publicado na Base

Nacional Comum Curricular – BNCC (BRASIL, 2017).

Entretanto, ainda é bastante comum escutar-se dos professores comentários acerca

de suas dificuldades em ensinar matemática, assim como da insatisfação dos seus alunos,

que seguem encarando a matemática como uma grande “vilã” do seu fracasso escolar.

Também adiciona-se a isso um formato de gestão escolar conduzido por uma política de

resultados, que desconsidera, dentre muitos aspectos, a incompatibilidade temporal entre o

tempo didático e o tempo de aprendizagem.

Ao que parece, esse é um tipo de impasse cuja explicação continua aberta com

certos pontos que permanecem provocando controvérsias e com diversas barreiras ainda

por serem superadas pelos professores, pois são eles quem de fato fazem educação

matemática na sala de aula. Além disso, questões básicas como o grau de presença da

formalização e do rigor matemáticos nos conteúdos curriculares e a maneira mais adequada

de apresentar e aplicar os seus métodos provocam longas e desgastantes discussões.

Assim, práticas docentes que exploram excessivamente o manuseio mecânico das

fórmulas, restringindo-se a substituição de valores com preocupação exclusiva no resultado

final, sem considerar o raciocínio matemático que há por trás dessas fórmulas, acabam

ocultando, por conseguinte, as origens práticas e informais desse conhecimento,

especialmente no âmbito do ensino da geometria.

Esses aspectos por si só justificam o interesse de vários pesquisadores, dentre eles

Fonseca (2005), Sena e Dorneles (2013), Silva, Souza e Rufino (2018), Medeiros e Basso

(2020), apenas para citar alguns, com o ensino de geometria, considerando que práticas

como as que foram destacadas seguem sendo bastante utilizadas pelos professores.

No caso específico dos conceitos de circunferência e de círculo, ao invés de

explorar adequadamente seus aspectos sensoriais, continuam insistindo na memorização

das fórmulas e no seu manuseio mecânico, ainda que, as bases de construção histórica

desses objetos encontrem-se fortemente influenciadas pelas questões práticas, na busca de

satisfazer algumas necessidades humanas ou pelas observações das inúmeras formas e

figuras que se assemelham a eles, presentes na natureza.

Ressalta-se que este fato não chega a ser algo novo, nem tão pouco exclusivo

desses objetos geométricos, pois desde o início da década de noventa pesquisadores como

Peres (1991) e Pavanelo (1993) já indicavam que mesmo boa parte da geometria básica,

estando presente no mundo sensorial, esses aspectos não têm tido a relevância merecida no

ensino.

Sobre isso, Martinez e Novello (2013, p. 9) afirmam que “a partir da

representação das formas geométricas e vivenciando-as na prática, o estudante desenvolve


102

a compreensão do mundo em que se vive, aprendendo a descrevê-lo e a localizar-se nele.”,

ou seja, é necessário criar uma ponte de via dupla entre os conceitos geométricos e suas

respectivas representações no mundo sensorial, para assim melhorar o processo de ensino-

aprendizagem.

No que se refere ao uso da história da matemática nas aulas de matemática Pereira

e Pereira (2015), destacam as duas maneiras trazidas por Esteve et al. (2011), ou seja,

como um recurso educacional integral e/ou como um recurso didático para a compreensão

matemática. Nesta ordem a primeira intenta proporcionar aos estudantes uma visão da

matemática enquanto instrumento útil e dinâmico a ser empregado nas ciências humana,

interdisciplinar e heurística; na segunda opção há o propósito de fornecer um instrumental

teórico com potencialidade para viabilizar aos estudantes a compreensão de conceitos

matemáticos na expectativa de que os estudantes alcancem um melhor desempenho na

aprendizagem matemática.

Sobre isso, os achados de Quartieri e Rehfeldt (2007) de que estudantes do Ensino

Fundamental (anos finais) apresentam dificuldades para conceituar circunferência, uma vez

que muitos deles não reconhecerem suas diferenças com o círculo aponta necessidade de

mudança. Neste estudo a compreensão de círculos e seus elementos vai investir

epistemologicamente no uso da história da matemática no âmbito dessa segunda maneira

apresentada anteriormente.

Por outro lado, os alunos chegam à escola com os seus conhecimentos prévios, no

sentido tratado por Ausubel (2002), ou seja, conceitos previamente formados pelas

crianças em sua vida cotidiana, os quais dificilmente encontram significado em discursos

demasiadamente formais semelhantes ao que geralmente ocorre no Ensino Fundamental

(EF), quando abordam os conceitos de circunferência, de círculo e seus respectivos

cálculos.

Para embasar a caracterização anterior basta trazer o comentário de Masini e

Moreira (2017) sobre a escola contemporânea ainda se focar na aprendizagem mecânica,

portanto, na perspectiva de um contínuo, situa-se em um extremo oposto a aprendizagem

significativa, pois os conhecimentos adquiridos são decorados e servem a curto prazo, em

situações conhecidas.

Em acréscimo, assinalam que para essa escola o significado não entra em questão,

o que importa é preparar (treinar) os alunos para dar respostas corretas. As respostas

apresentadas são aprendidas mecanicamente para as provas locais, nacionais e

internacionais, pois as “melhores escolas” são as que mais aprovam nessas provas.

Além disso, apesar dos documentos oficiais que prescrevem o currículo de

matemática descreverem referenciais didáticos, defende-se a ideia de que os professores

precisam conhecer as teorias de aprendizagem para assim planejarem sequencias didáticas

adequadas com intenções de aprendizagem pretendidas.

No caso em pauta, optou-se pela Teoria da Aprendizagem Significativa (TAS)

como norte estruturante para organizar as atividades de ensino propostas. Tal escolha tem

várias razões, mas, principalmente, por ser uma teoria bastante abrangente e,

consequentemente, conseguir atender a muitas inquietudes por falar diretamente para

professores.


103

Mediante o que foi colocado e seguindo na contramão desse ensino “treinador”,

considera-se o argumento de Moreira (2006) de que certos materiais podem ter maior valor

significativo e, dependendo de como são usados em situação de ensino, podem promover a

aprendizagem significativa.

Desta forma, busca-se investigar a potencialidade significativa de uma oficina

sobre circunferência e círculo e seus cálculos, aplicada a uma turma de 9º ano do EF de

uma escola pública do município de Lagoa de Itaenga-PE/BR, explorando-se alguns

aspectos históricos, com o uso de materiais manipuláveis, cujas atividades foram

intencionalmente propostas numa perspectiva de promover os dois processos cognitivos

ausubelianos da diferenciação progressiva e da reconciliação integradora entre antigos e

novos conceitos.

Enfoques da Teoria da Aprendizagem Significativa que embasam este estudo

Tem sido uma questão bastante antiga, porém de grande importância, a preocupação

em discutir os processos de aquisição, de desenvolvimento e de armazenamento de

informações na mente humana, e, no âmbito pedagógico, entender como se dá a

aprendizagem dos estudantes. Isso de certa forma explica o fato de existirem tantas

abordagens teóricas, na busca de explicar tais processos. Como exemplo de algumas

Teorias Cognitivistas-Constutivistas mais famosas, citam-se a Teoria Desenvolvimentista

de Piaget, a Teoria da Mediação de Vygotsky e a Teoria da Aprendizagem Significativa

(TAS) de Ausubel.

Para Pozo (1998), dentre as teorias cognitivistas elaboradas a partir de posições

organicistas, a TAS é interessante por estar centrada na aprendizagem produzida num

contexto educativo. Reportando-se a terminologia de Vygotsky, acrescenta que Ausubel

desenvolve uma teoria a respeito da interiorização ou assimilação, através da instrução, dos

conceitos verdadeiros, que são construídos a partir de conceitos previamente formados ou

“descobertos” pela criança em seu meio, ou seja, os seus “conhecimentos prévios”.

Assim, para Ausubel (2002), podemos inter-relacionar uma nova informação com

um conhecimento prévio, existente na estrutura cognitiva, chamado de subsunçor, sendo

esse o fator isolado mais importante que influencia a aprendizagem significativa. Daí

porque ele aconselha que os professores devem criar situações didáticas para descobrir

esses conhecimentos e, ao identificá-los, organizar seus ensinamentos e utilizar recursos e

princípios que possibilite acioná-los com vistas a facilitar a aprendizagem significativa.

Para caracterizar melhor o que vem a ser um subsunçor, Moreira (2011), esclarece

que não é qualquer ideia prévia, mas algum conhecimento especificamente relevante à

nova aprendizagem, já existente na estrutura cognitiva do sujeito e que permite dar

significado a um novo conhecimento. Explica ainda que os subsunçores podem ser

proposições, modelos mentais, construtos pessoais, concepções, ideias, invariantes

operatórios, representações sociais e, é claro, conceitos já existentes na estrutura cognitiva

de quem aprende.

Isso significa que a nova informação se integra à estrutura cognitiva de maneira não

arbitrária e não literal, contribuindo para a diferenciação, elaboração e estabilidade dos

subsunçores e, consequentemente, da própria estrutura cognitiva. Sobre isso, Novak (1981,


104

p. 56) coloca que “uma nova aprendizagem significativa resulta em crescimento e

modificação adicionais de um subsunçor já existente”. E “dependendo da experiência

prévia do indivíduo, os subsunçores podem ser relativamente grandes e bem

desenvolvidos, ou podem ser limitados na variedade e quantidade de elementos (conjuntos

celulares) que contêm”.

Conforme se observa, essa teoria procura explicar, de uma forma científica e

objetiva, a importância e a influência dos conhecimentos prévios para a aprendizagem

significativa e, embora essa seja uma ideia bastante defensável, Moreira (2011) alerta que

não se trata de uma tarefa simples, porque requer esforço e disponibilidade tanto do

ensinante quanto do aprendiz.

Esse aspecto fica bem caracterizado quando Ausubel conforme (MASINI e

MOREIRA, 2017, p. 22) argumenta que além da existência prévia de subsunçores na

estrutura cognitiva a “aprendizagem significativa como um processo pressupõe tanto que o

aprendiz apresente uma atitude de aprendizagem significativa como que o material a ser

aprendido seja potencialmente significativo para ele/ela”.

Adverte ainda que não importa o quanto um material possa ser potencialmente

significativo, se a intenção do aprendiz é memoriza-lo literalmente, como uma serie de

palavras arbitrariamente relacionadas, tanto o processo de aprendizagem quanto o seu

resultado são mecânicos, sem significado.

Isso significa que, apesar dos seres humanos serem capazes de aprender de forma

significativa, a aprendizagem mecânica ocorre ou porque não existem elementos relevantes

na área da nova informação ou porque esses estejam pouco elaborados na estrutura

cognitiva e possam servir de subsunçores ou porque não há disponibilidade (predisposição)

por parte do aprendiz em aprender de forma significativa.

Por outro lado, Moreira (2011) tem feito referência a uma zona cinza intermediária

localizada entre o contínuo, “aprendizagem significativa x aprendizagem mecânica”,

sugerindo que, na prática, grande parte da aprendizagem ocorre nessa zona e um ensino

potencialmente significativo poderá facilitar “a caminhada do aluno nessa zona cinza”.

Adverte, também, que a passagem da aprendizagem mecânica para a aprendizagem

significativa não é natural, nem automática, sendo uma ilusão pensar que o aluno pode

inicialmente aprender de forma mecânica, e depois, ao final do processo, a aprendizagem

acabar sendo significativa, isto pode até ocorrer, mas depende dos três condicionantes

ausubelianos: a existência de subsunçores, a potencialidade do material de aprendizagem e

a disponibilidade para aprendizagem significativa, além da mediação do professor.

Sobre essa mediação, faz-se necessário que o professor compreenda na

perspectiva ausubeliana segundo Moreira e Massini (2012), que cada componente

curricular possui uma estrutura articulada e hierarquicamente organizada de conceitos que

constitui seu sistema de informação, devendo ser identificado pelos professores e ensinado

aos alunos.

Entretanto, no âmbito escolar, o que se observa é que os conteúdos são abordados

seguindo uma perspectiva, por vezes linear, onde todos os conteúdos são vistos perante o

mesmo nível de importância, sem o estabelecimento de idas e voltas, conexões,

interligações conceituais a outros conhecimentos, culminado, em algumas situações, a


105

promover uma aprendizagem mecânica, que de forma sucinta, pode ser compreendida

como uma aprendizagem meramente, memorística.

No que se refere à potencialidade significativa do material, visto que esse é o foco

do trabalho em tela, Moreira (2006) explica que esse deve ter “significado lógico”, ou seja,

deve ser suficientemente não arbitrário e não aleatório, sendo, portanto relacionável à

estrutura cognitiva de forma substantiva e não literal. Assim, o que se pretende é que o

aluno atribua aos novos conhecimentos, veiculados pelos materiais de aprendizagem, os

significados aceitos no contexto da matéria de ensino, a partir dos subsunçores que

possuem.

Nesse contexto, vale destacar que para Ausubel (2002) a estrutura cognitiva é

considerada uma estrutura dinâmica de subçuncores iter-relacionados e hierarquicamente

organizados, caracterizada por dois processos principais: a diferenciação progressiva e

reconciliação integradora.

A diferenciação progressiva é um processo de interação em um subsunçor, que

também se modifica, adquirindo novos significados, ou seja, vão progressivamente sendo

diferenciado em termos de detalhe e especificidade. Por usa vez, a reconciliação

integradora significa que no curso de novas aprendizagens, antigas ideias podem se

relacionar, se reorganizar e adquirir novos significados, explorando-se relações de

similaridades, diferenças e reconciliando discrepâncias reais ou aparentes.

Isso significa, conforme Moreira (2011), que à proporção que aprendemos de forma

significativa, temos de progressivamente diferenciar significados dos novos adquiridos a

fim de reconhecer diferenças entre eles, mas é preciso também se proceder à reconciliação,

pois, se apenas diferenciamos, acabamos por perceber tudo diferente e se apenas

reconciliamos, terminamos por perceber tudo igual.

Assim, Moreira (op. cit.) argumenta que sendo esses dois processos fundamentais

na aprendizagem, nada mais óbvio do que usá-los como princípios programáticos no

ensino, iniciando com um mapeamento conceitual, de maneira a identificar as ideias mais

gerais, mais inclusivas, os conceitos estruturantes, as proposições-chave do que vai ser

ensinado, de maneira a identificar o que é secundário, supérfluo do conteúdo e ao longo do

ensino, e intencionalmente, trabalha-los numa perspectiva de diferenciação e integração,

ou seja, descer e subir várias vezes , nas hierarquias conceituais.

Aspectos histórico sobre o cálculo da área do círculo e do comprimento da

circunferência

Algumas considerações históricas sobre circunferência e círculo apontam que o

grande número de objetos existentes na natureza, com formas circulares como, por

exemplo, o contorno do sol, da lua, o arco-íris, as ondas formadas na superfície da água ao

atira-se uma pedra, podem ter despertado no homem, um interesse especial por essas

formas.

Segundo Goldstein (1998) o círculo é uma figura singular e perfeita na sua

simplicidade e, por ser idêntico a si mesmo, têm inspirado ao longo dos tempos vários

artistas, poetas, místicos, além de ter despertado o interesse de astrônomos, filósofos,

geógrafos, que o estudaram, mediram e descreveram. Neste contexto, ele cita o matemático


106

Euclides que há vinte e três séculos atrás já descrevia vinte e três definições no Livro I,

sobre o círculo como uma figura plana e não como uma simples linha de maneira que para

conhecê-lo e calcular sua área era preciso definir seus elementos de base: o centro, a

circunferência e o diâmetro:

... 15. Círculo es una figura plana delimitada por una línea –

llamada circunferencia – respecto de la cual, a partir de un punto

entre los situados en el interior de la figura, todas las rectas que la

inciden son – hasta la circunferencia del círculo – iguales entre sí.

16. Se llama a este punto centro del círculo.

17. Diámetro del círculo es cualquier recta que atraviesa el centro

que esté limitada por la circunferencia del círculo en sus dos

extremos, y que divida el círculo en dos. (GOLDSTEIN, 1998, p.

157)

Por outro lado, Vázquez e Ramos (1972, p. 40) apresentam o conceito de círculo a

partir de ideias mais gerais, mas não menos corretas, expressando que “a união da

circunferência e dos pontos de seu interior é uma região circular fechada que chamamos

círculo.”(Tradução do autor)1. Entretanto, registra-se que por trás dessa enganosa

simplicidade o círculo e o cálculo de sua área ocultam uma complexidade que marca

contextualmente a própria história da matemática.

Para entender melhor esse percurso histórico, chama-se a atenção para um aspecto

trazido por Eves (1997) e outros historiadores, sobre a passagem de uma geometria

subconsciente, vinculada a inúmeras circunstâncias da vida, para a chamada geometria

científica, ao extraírem-se, a partir de um certo número de observações relativas a forma,

tamanho e relações espaciais de objetos físicos específicos, propriedades gerais e relações

necessárias até que se chega a obtenção de generalizações (fórmulas).

Mediante esse contexto, Goldstein (op. cit.) explica que alguns métodos e

resultados para obtenção do cálculo da área do círculo em algumas civilizações antigas, era

proposto a partir do quadrado de seu raio. O interesse era, então, determinar a relação entre

a superfície do círculo e o quadrado de seu raio que é também a mesma relação entre o

comprimento da circunferência e o seu diâmetro, a qual recebe o nome específico de (pi).

Com efeito, frente aos milênios anos de aventura do círculo o número , pode-se por

assim dizer, é o mais evidenciado dos números da história da matemática. De acordo com

Lima (2011, p. 54) “Euclides determinou a relação entre o comprimento da circunferência

e o seu diâmetro como uma razão constante, independente da circunferência tomada, mas

não tratou nos Elementos de estimar esse valor”.

Como não existe um numérico exato que corresponde ao valor da medida de e que

independentemente do tamanho da circunferência essa relação permanece constante, pode-

se chegar a uma expressão para representar o cálculo da circunferência. Sobre essa

expressão, Vázquez e Ramos (1972) explicam que se trata de uma comparação, por

1 “La unión de la circunferencia y de los puntos de su interior es una región circular cerrada que

llamamos círculo.”


107

divisão, entre o comprimento da circunferência ( C ) e do seu diâmetro ( d ). Conforme

ilustra a figura 01.

Figura 01 – obtenção da expressão para o cálculo do comprimento da circunferência

Fonte: os autores

Contudo, foi somente quando se começou a suspeitar que poderia ser um número

irracional que os cálculos para a obtenção da área do círculo mudam de direção, no aspecto

matemático. Sobre esse fato, Bagazgoitia et al., (1997, p. 3) lembra que “Em 1882, F.

Lindemann demonstrou que p não é solução de nenhum polinômio de coeficientes inteiros,

provando assim a impossibilidade da quadratura do círculo.” 2. (Tradução do autor).

Sobre esse problema, Joseph (1996, p. 261) coloca que “Somente no século

dezenove demonstrou-se que, posto que quadrar um círculo equivale a construir um

segmento linear cujo comprimento seja igual ao produto da raiz quadrada de p (que não é

uma quantidade construível) e o raio do círculo dado, isso não se pode fazer.” 3 (Tradução

do autor).

Os fatos e aspectos levantados até aqui vêm a corroborar com o que foi trazido

anteriormente sobre a grande dificuldade de compreensão que esta subjacente aos

conceitos de circunferência e de círculo e consequentemente ao entendimento do cálculo

de seu comprimento e da sua área devido dentre outras coisas à incomensurabilidade do

número pi.

Destaca-se, que ainda que a solução do problema da quadratura do círculo é a prova

de sua impossibilidade, os métodos empregados em sua investigação foram importantes

para a idealização e desenvolvimento de técnicas de procedimentos de demonstrações que

têm servido até hoje para compreender melhor diversas outras estruturas matemáticas.

Vale registrar, que muitas das estratégias que predominaram nas civilizações

antigas para o cálculo da área do círculo resultaram em tentativas de transformá-la em

áreas retilíneas. Esse aspecto parece ser bastante compreensível, pois estando diante de

uma figura de padrões tão específicos sem que houvesse referência anterior para o cálculo

de sua área, era natural que se buscassem aproximações com modelos matemáticos de

áreas que lhes eram familiares.

Um exemplo disso fica bem demarcado por Sirera (2000) sobre os trabalhos de

Arquimedes, referindo-se ao seu intento em determinar a área de superfícies curvas e

volumes de sólidos, obtidas através da comparação com áreas e volumes de triângulos,

retângulos e cubos. Nessa busca a técnica demonstrativa mais poderosa é a combinação de

2 “En 1882 F. Lindemann demostró que no es solución de ningún polinomio de coeficientes enteros,

probando así la imposibilidad de la cuadratura del círculo”. 3 “Sólo en el siglo diecinueve se demostró que, puesto que cuadrar un círculo equivale a construir un

segmento lineal cuya longitud sea igual al producto de la raíz cuadrada de p (que no es una cantidad

construible) y el radio de l círculo dado, esto no podía hacerse”.


108

um procedimento de demonstração por redução ao absurdo com o chamado método de

exaustão.

Uma dessas aproximações, conforme explica Sirera (op. cit.) é obter a área do

círculo inscrevendo-se uma sucessão de polígonos regulares numa dada região circular,

onde se estabelece que a diferença de áreas entre a figura curva e os polígonos é menor que

a quantidade dada para um número suficientemente grande de lados do polígono regular.

Normalmente cada polígono se obtém do anterior dobrando o número de seus lados.

Inspirados por essa estratégia, Vázquez e Ramos (1972) sugerem que com para

calcular a área de um polígono regular qualquer basta utilizar a fórmula2

)()()(

abnApr ,

se o polígono regular inscrito aumenta seu número de lados ( n ), pode acontecer duas

ocorrências:

I- O apótema ( a ), se aproxima cada vez mais do valor do raio ( r ).

II- O produto ( nb ) se aproxima cada vez mais do valor do comprimento ( r2 ).

Figura 02 – aproximações entre os elementos do polígono regular e os elementos

do círculo

Fonte: os autores

Então, diante da importante produção científica arquimediana na tentativa de

calcular a área de uma região circular, pode-se ainda registrar como coloca Goldstein

(1998) que segundo Eutocio de Ascalón, autor de um comentário sobre os trabalhos de

Arquimedes no século V d. C., Arquimedes queria demonstrar a que área retilínea equivale

o círculo, problema que desde longo tempo os célebres filósofos anteriores tentavam

resolver.

Em complemento a isso, acrescenta que dentre essas tentativas Arquimedes mostra

que todo círculo é equivalente a um triângulo retângulo, em que um dos lados do ângulo

reto é igual ao semidiâmetro do círculo, ou seja, a medida do seu raio e, a base é igual ao

perímetro do círculo. Algo próximo ao que se tentou ilustrar na figura 03, abaixo.

Figura 03 – Cálculo da área do círculo com equivalência à área do triângulo retângulo

Fonte: os autores


109

Utilizando um raciocínio análogo ao anterior, Lima (2011) sugere decompor o

círculo em um número par, suficiente de setores, de maneira que ao rearranjar esses setores

se aproxime de um paralelogramo, cuja base equivale ao semiperímetro do círculo e a

altura ao seu raio, conforme se ilustra na figura 04.

Figura 04: Cálculo da área do círculo com equivalência à área do paralelogramo

Fonte: os autores

Metodologia

A pesquisa em pauta tem enfoque qualitativo com características de um estudo de

caso educativo, nos moldes proposto por André (2005). A aplicação da oficina elaborada

para esse estudo foi realizada em uma turma de 42 alunos do 9º ano do EF, de uma escola

pública, situada em Lagoa de Itaenga, município de Pernambuco-Brasil, cujo objetivo visa

avaliar a potencialidade significativa desse material de aprendizagem.

Como instrumento de coleta de dados foi elaborado um questionário diagnóstico,

apresentado na sequência, o qual foi reaplicado como questionário avaliativo, no intento de

identificar as evoluções conceituais dos participantes, acerca dos temas abordados, cujas

perguntas foram organizadas a partir dos objetivos que se almeja atingir com cada uma

delas.

Questionário Diagnóstico/Avaliativo

1- Você saberia dizer o que é um círculo?

2- Na sua opinião existe alguma diferença entre círculo e circunferência. Justifique.

3- Nomeie as figuras abaixo:

4- Determine quais relações se pode estabelecer entre os segmentos abaixo e os nomeie:

5- Para medir o contorno das figuras que seguem foi utilizada a seguinte estratégia: se

colocou um fio coincidindo com cada um dos contornos e depois os estendendo para medir

os segmentos que os representam, em seguida se utilizou como unidades padrão de medida

os seus respectivos diâmetros. Com relação a estratégia utilizada responda:


110

a) o que se pode observar?

b) que expressão se pode estabelecer entre o contorno e o diâmetro dessas figuras?

c) identifique qual é a grandeza geométrica que se determina a partir dessa relação?

6- Sabe-se que dividindo a figura 1 em vários setores pode-se montar a figura 2 que se

aproxima de um “paralelogramo” (conforme ilustração abaixo). Dessa informação

determine:

a) Quais expressões correspondem ao comprimento e a altura do paralelogramo?

b) Se a figura 1 tivesse um diâmetro de 2 cm qual seria a área da figura 2? (admita

π=3,14)

Acredita-se que vivenciando com os alunos alguns aspectos da base de construção

histórica sobre circunferência e círculo, com o uso de materiais manipuláveis, podemos

ajuda-los a atribuir sentido para a aplicação dos modelos geométricos das fórmulas do

comprimento da circunferência e da área do círculo e potencializar a aprendizagem

significativa.

A organização das atividades de ensino, na forma de uma oficina, expressa no

quadro 01, foram estruturadas no viés da TAS, considerando os subsunçores dos alunos e

adotando como princípios programáticos a diferenciação progressiva e a reconciliação

integradora.

Quadro 01: Caracterização Sintética das Atividades propostas na Oficina

Etapa

s Objetivos Atividades

Recursos/Procediment

os

I

Levantar os subsunçores

dos alunos sobre as ideias

de circunferência e de

Aplicação do Questionário

Diagnóstico.

Questionário impresso

contendo seis questões.


111

círculo.

II

Compreender o conceito

de circunferência a partir

da ideia geral de uma

curva fechada simples, na

qual todos os seus pontos

se mantêm a mesma

distância de um ponto

central.

Traçar uma curva fechada

usando um compasso

construído com um lápis e

barbante, em volta de um

ponto O (chamado centro da

circunferência) definido na

cartolina.

Cartolina, lápis,

barbante e tesoura.

III

Conceituar os elementos

da circunferência (raio,

diâmetro e corda),

chamando a atenção para

as suas diferenças, mas ao

mesmo tempo para certas

semelhanças de forma a

obter algumas relações,

dentre as quais que rd 2 .

Através de algumas

medições usando o barbante,

constatar que a distância

entre qualquer ponto da

circunferência e o centro é a

mesma que corresponde ao

raio (r). Esticando este

barbante, na mesma

proporção até atingir um

ponto do lado oposto, obtém-

se uma corda, chamada de

diâmetro ( d ).

Circunferência

construída na Etapa

anterior e barbante.

IV

Obter a fórmula para o

cálculo do comprimento da

circunferência,

compreendendo a relação

de incomensurabilidade

entre as medidas do

comprimento da

circunferência e seu

diâmetro, de forma a

chegar na expressão:

rC 2

Sobrepor com o barbante o

comprimento da

circunferência e comparar

(por divisão) com a medida

do seu diâmetro. Observar

que esta comparação resulta

em três medidas do diâmetro

mais uma pequena sobra,

conhecida por ,

independente do

comprimento do raio da

circunferência.

Circunferência da Etapa

I e barbante.

V

Construir o conceito de

círculo como uma figura

completa, formada pela

união do conjunto de

pontos da circunferência e

todos os outros pontos

interiores a ela.

Pintar o interior da figura, de

forma a visualizar que a

região colorida, incluindo o

seu contorno, é chamada de

região circular ou

simplesmente de círculo.

Circunferência

construída na Etapa II,

lápis de cera.

VI

Obter a fórmula da área do

círculo ( 2rA ),

vivenciando uma das

Cobrir o disco circular com

barbante e ao cortá-lo até o

centro, reorganizar os

Cartolina, lápis,

barbante e tesoura.


112

aplicações do método da

exaustão arquimediano

fazendo-se uma

aproximação com a área

do triângulo retângulo (

2

baA

).

pedaços de forma a obter

uma área triangular. Perceber

que o cateto menor

corresponde à medida do

raio e o maior, à medida do

comprimento da

circunferência. Adotar essas

medidas na fórmula da área

do triângulo de maneira a

obter a fórmula da área do

círculo.

VII

Obter a fórmula da área do

círculo ( 2rA ), a partir

da aproximação com a área

do paralelogramo (

hbA ).

Dividir a região circular em

um número par de setores

iguais. Recortá-los e

remontá-los de forma que se

aproxime de um

paralelogramo, cujos lados

paralelos equivalem às

medidas do raio e do

semiperímetro. Aplicar essas

medidas na fórmula da área

do paralelogramo e obter a

fórmula da área do círculo.

Círculo obtido na Etapa

V, tesoura, cola e papel.

VIII

Identificar as evoluções

dos alunos sobre as ideias

e cálculos da

circunferência e do círculo.

Aplicação do Questionário

Avaliativo.

Reaplicar o questionário

diagnóstico, como

questionário avaliativo.

Fonte: os autores

Para explicitar uma visão panorâmica integrando, por um lado os aspectos

epistemológicos aportados na história da matemática como recurso educacional integral

e/ou como um recurso didático segundo o destaque apontado por Pereira e Pereira (2015),

apresenta-se em um mapa conceitual, conforme figura 05, que caracterizou as atividades da

oficina realizada sobre circunferência e círculo, na perspectiva da aprendizagem

significativa.


113

Figura 05 – O uso da História da Matemática alinhada aos pressupostos da TAS como

caracterização de um material potencialmente significativo sobre o cálculo da

circunferência e da área do círculo

Fonte: os autores

Apresentação e Discussão dos Dados

Para análise das respostas obtidas com a aplicação dos questionários,

estabeleceram-se critérios, relacionados com os objetivos almejados. As respostas foram

agrupadas em categorias, considerando a base teórica desse estudo, na perspectiva da

aprendizagem significativa. Os dados encontram-se organizados em forma de gráficos.

Gráfico 01 – Compreensão sobre o conceito de Círculo (Questão 1)

Legenda: Não Respondeu (NR), Resposta Inadequada (RI), Resposta Parcialmente

Adequada (RPA) e Resposta Adequada (RA).

8%

75%

17%0%8%

33%

58%

0%0%

50%

100%

NR RI RPA RA

Questionário

Diagnóstico

Questionário

Avaliativo


114

Fonte: os autores

Embora os alunos não tenham estabelecido relações com os elementos de base

(centro, circunferência e diâmetro) ao conceituarem o círculo, parte deles passa a

reconhecê-lo como uma figura completa, composta por uma região que compreende os

pontos da circunferência e os pontos internos. Assim, pode-se dizer que houve evolução

conceitual considerando os subsunçores exibidos antes da Oficina.

Protocolos de respostas do Aluno (A6)

Questionário Diagnóstico:

Questionário Avaliativo:

Gráfico 02 – Distinção entre Círculo e Circunferência (Questão 2)



Fonte: os autores

Metade dos alunos passou a reconhecer distinções que figuram entre a ideia de

curva e de região; pontos de fronteira e pontos internos e de fronteira, aludindo

respectivamente ao conceito de circunferência e de círculo. A mais citada foi a que os

caracteriza a partir do conjunto de pontos, elaborando o processo cognitivo da

diferenciação progressiva



Não respondeu.

17%

58%

17%8%

17%33%

42%

8%

0%

50%

100%

NR RI RPA RA

Questionário

Diagnóstico

Questionário

Avaliativo


115


Gráfico 03 – Compreensão visual acerca do Círculo e Circunferência (Questão 3)

Legenda: Não Respondeu (NR), Resposta Inadequada (RI) e Resposta Adequada (RA).

Fonte: os autores

Com essa questão, foi possível observar que os participantes tiveram mais

facilidade em visualizar qual das figuras representava o círculo e qual representava a

circunferência do que a conceituar, considerando os dados apresentados nas questões

anteriores. Porém, um erro habitual foi trocar o nome das figuras ou mesmo nomeá-las

como se fossem a mesma forma.




17%25%

58%

8%25%

67%

0%

20%

40%

60%

80%

NR RI RA

Questionário

Diagnóstico

Questionário

Avaliativo


116

Gráfico 04 – Nomeação e Relação entre raio, corda e diâmetro (Questão 4)

Legenda: Resposta Inadequada (RI), Resposta Parcialmente Adequada (RPA) e Resposta

Adequada (RA).

Fonte: os autores

Pode-se considerar que metade da turma passou a nomear e/ou estabelecer relações

entre os seguimentos traçados na circunferência (raio, corda e diâmetro), principalmente na

direção da nomeação, sinalizando um reconhecimento de suas características, fato que

inicialmente quase não existiu, indicando que houve uma evolução conceitual sobre esses

segmentos.




Gráfico 05 – Obtenção da expressão da circunferência (Questão 5)



Fonte: os autores

83%

17%0%

50%42%

8%

0%

50%

100%

RI RPA RA

QuestionárioDiagnóstico

QuestionárioAvaliativo

92%

8% 0% 0%8%

33% 25% 33%

0%

50%

100%

NR RI RPA RA

Questionário

Diagnóstico

Questionário

Avaliativo


117

Um grupo considerável dos alunos obteve a expressão para o cálculo da

circunferência, a partir da relação entre as medidas do comprimento da circunferência e seu

diâmetro, reconstruindo o caminho que os antigos matemáticos fizeram. Percebeu-se que,

conforme esperado, a não compreensão da incomensurabilidade entre essas medidas, e

consequentemente do significado de , foi um obstáculo para a obtenção dessa fórmula.



Não respondeu.


Gráfico 06 – Relação entre a área do círculo e a do paralelogramo (Questão 6)



Fonte: os autores

De acordo com os dados apresentados, registra-se que após a intervenção, houve

uma evolução conceitual considerável por parte dos alunos, ao conseguirem entender que

para solucionar a questão proposta seria necessário relacionar, por aproximação, a área do

círculo e a do paralelogramo, elaborando o processo cognitivo da reconciliação

integradora.



Não respondeu.

75%

25%

0% 0%

42%

8%17%

33%

0%

50%

100%

NR RI RPA RA

QuestionárioDiagnóstico

QuestionárioAvaliativo


118



Conforme colocado, as preocupações que impulsionaram o interesse em propor

uma prática diferente das que usualmente são aplicadas no cálculo do comprimento da

circunferência e da área do círculo, levou-nos a apostar num material de ensino, no formato

de uma oficina, cuja organização lógica foi estruturada em alguns aspectos históricos da

base de construção desses objetos e de seus cálculos e os princípios programáticos da

diferenciação progressiva e da reconciliação integradora, na perspectiva de que esse

material possa se configurar em um material potencialmente significativo.

Nesse sentido, buscou-se caracterizar o fazer matemático a partir da generalização

para obtenção e aplicação dos modelos geométricos das fórmulas do comprimento da

circunferência e da área do círculo, reconstruindo estratégias que predominaram nas

civilizações antigas, a exemplo da aplicação do método da exaustão arquimediano, para

aquisição da área do círculo por aproximações com áreas de figuras retilíneas.

Inicialmente exploraram-se conceitos mais gerais sobre esses objetos tais como as

ideias de curva fechada, região circular, conjunto de pontos de fronteira, conjunto de

pontos internos, dentro outras, na perspectiva de possibilitar diferenciações e

reconciliações ao interagirem com conceitos específicos, como os conceitos de raio,

diâmetro e circunferência.

A partir das evoluções conceituais identificadas, comparando-se as respostas

obtidas antes e após a intervenção, com a aplicação dos questionários, foi possível

encontrar indícios de aprendizagem significativa, tanto no que concerne o conceito de

círculo, quanto a estabelecer distinções importantes entre as ideias de círculo e de

circunferência.

Destaca-se ainda, a evolução ocorrida na compreensão dos significados de raio,

corda e diâmetro, assim como na obtenção da fórmula do cálculo da circunferência, a partir

da comparação, por divisão, entre as medidas do comprimento da circunferência e do seu

diâmetro ser constante e medir três quantidades do diâmetro mais uma parte sobrante.


119

Registra-se também que houve uma melhora na compreensão dos alunos sobre a

obtenção e aplicação da fórmula da área do círculo, ao conseguirem fazer uma

equivalência entre essa área e a do paralelogramo, de forma a solucionar a questão

proposta. Isso foi bastante interessante, pois perceberam a relação desse procedimento com

o método da exaustão arquimediano, trabalhado na oficina.

Por tudo que foi registrado, pode-se responder a pergunta geradora desse estudo,

colocando que o material tem potencialidade significativa importante. Contudo, há

necessidade de realizar outras aplicações que possam corroborar ou não com esta

potencialidade.

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Maria Aparecida da Silva Rufino

Universidade de Pernambuco – UPE, Campus Mata Norte; Secretaria Estadual de

Educação – PE



José Roberto da Silva

Universidade de Pernambuco – UPE, Campus Mata Norte



http://orcid.org/0000-0002-4850-7228

http://orcid.org/0000-0003-2970-9702




Atividades investigativas no ensino de função afim: desafios e

possibilidades

Investigative activities when teaching affine function: challenges and

possibilities

Ivan Bezerra de Sousa

Universidade Estadual da Paraíba – UEPB

José Joelson Pimentel de Almeida


RESUMO

As atividades elaboradas por professores para suas aulas de Matemática apresentam diferentes

ramificações, todas com um mesmo propósito, a aprendizagem dos alunos sobre os assuntos

requeridos no currículo. No presente artigo expomos algumas reflexões sobre atividades

investigativas em sala de aula, destacando uma que envolve o ensino de função afim, mostrando

desde sua elaboração, até a aplicação e análise dos resultados obtidos. Trata-se de uma atividade

investigativa desenvolvida no ano de 2017, envolvendo uma turma de primeiro ano do Ensino

Médio. Considerando o contexto de aplicação, discutimos sobre o potencial de aulas investigativas

como metodologia a ser adotada no ensino de Matemática, considerando que a produção de

significados pode ocorrer de forma mais dinâmica a partir dos conhecimentos prévios e estratégias

pessoais de resolução de problemas, ou seja, considerando o repertório de conhecimentos e de

estratégias pessoais dos próprios alunos, podendo, inclusive, levar a diferentes resultados para uma

mesma situação. A atividade foi elaborada com ênfase na venda de geladinhos e foi dividida em

três etapas. Na primeira, foi discutido sobre isto como uma possibilidade de empreendedorismo; na

segunda, foi explorado um quadro com os ingredientes de nove sabores de geladinhos; e, na

terceira etapa, cada equipe trabalhou com um único sabor, com o objetivo de criar estratégias para

as vendas desse produto, descobrir o valor do custo de produção, do preço de venda e do lucro

obtido com dois geladinhos de tamanhos diferentes. A partir da investigação proposta e que era

particular para cada equipe, pediu-se que os alunos determinassem as funções que representavam o

preço de custo, de venda e de lucro de cada sabor de geladinho, os gráficos dessas funções e o

ponto de vista de cada uma delas sobre a atividade que estava em pauta. Foi constatado uma maior

interação entre os alunos, raciocínios diferentes para o mesmo fim e uma ótima oportunidade para

discutirmos situações tão presentes em nosso dia a dia, como o empreendedorismo e o capitalismo

que estão tão presentes em nosso cotidiano e na sociedade em que estamos inseridos.

Palavras-chave: Investigação matemática. Função afim. Produção e venda de geladinhos.

Produção de significados.

ABSTRACT

The activities developed by teachers for their Mathematics classes have different ramifications, all

with the same purpose, the students' learning about the subjects required in the curriculum. In the

present paper, we present some reflections on investigative activities in the classroom, highlighting

one that involves teaching affine function, showing since its elaboration, to the application and

analysis of the results obtained. This is an investigative activity developed in the year 2017,

involving a first-year high school class. Considering the context in which this strategy is applied,

we discuss the potential of investigative classes as a methodology to be adopted in the teaching of

Mathematics, considering that the production of meanings can occur more dynamically from


123

previous knowledge and personal problem solving strategies, that is, considering the repertoire of

knowledge and personal strategies of the students themselves, which can even lead to different

results for the same situation. The activity was designed with an emphasis on the sale of ice cups

(geladinhos) and was divided into three stages. At first, it was discussed about this as a possibility

of entrepreneurship; in the second, a table with the ingredients of nine flavors of ice cream was

explored; and, in the third stage, each team worked with a single flavor, aiming to create strategies

for selling this product, discovering the value of the production cost, the selling price and the profit

obtained with two different sized ice creams. Based on the proposed investigation, which was

specific to each team, students were asked to determine the affine functions that represented the

cost, sales and profit prices of each flavor of ice cream, the graphics of these functions and the

point of view of each of them about the activity that was on the agenda. It was found a greater

interaction between students, different reasoning for the same purpose and a great opportunity to

discuss situations that are so present in our daily lives, such as entrepreneurship and capitalism that

are so present in our daily lives and in the society in which we are inserted.

Keywords: Mathematical research. Affine function. Production and sale of ice cups (geladinhos).

Production of meanings.

Introdução

Aos professores de Matemática cabem preocupações sobre o planejamento de

atividades a serem desenvolvidas em sala de aula, principalmente porque, de um lado, há

alguns alunos que se identificam com a disciplina e se sentem satisfeitos com quaisquer

atividades e, por outro lado, há aqueles, a maioria, que tendem a rejeitar mesmo as

tentativas mais inovadoras, dificultando o trabalho do professor. A pergunta que os

professores costumam fazer é: De que maneira chamar a atenção dos alunos para a

execução de uma atividade? É uma boa pergunta, porém resposta definitiva não

encontramos.

Não é apenas hoje que a Educação Matemática e os professores engajados com o

fazer Matemática na sala de aula buscam respostas e alternativas para vencer esta pergunta.

Na busca por isto, apontamos alternativas metodológicas que, dependendo das

circunstâncias, podem incentivar os alunos a uma maior aproximação com o que é

ensinado no cenário escolar. Neste sentido é que apontamos uma possibilidade por meio de

investigações matemáticas na sala de aula, foco deste artigo.

Podemos afirmar que uma investigação matemática corresponde a uma

possibilidade metodológica de exercício da docência em que o professor utiliza atividades

que podem ser discutidas de forma individual ou em grupos, cujo objetivo envolve instigar

os alunos a buscarem resoluções com base no seu repertório de conhecimentos abordados

na escola e também nas suas vivências exteriores à sala de aula, aproximando, assim, os

discentes com o seu cotidiano. Assim desenvolvida, a atividade investigativa possibilita

uma aproximação entre os problemas propostos e os alunos, uma vez que estes são

desafiados à investigação e busca de caminhos e resoluções genuínas para a atividade

proposta.

Em numerosas experiências já empreendidas com trabalho investigativo,

os alunos têm mostrado realizar aprendizagens de grande alcance e

desenvolver um grande entusiasmo pela Matemática. Apesar disso, não

encaramos as investigações matemáticas como a chave que permite por si

só resolver todos os problemas do ensino da Matemática. Há muitas


124

outras atividades a realizar na sala de aula. (PONTE; BROCARDO;

OLIVEIRA, 2016, p. 10-11)

É neste sentido que apresentamos uma experiência envolvendo investigação

matemática desenvolvida em uma turma de 1º ano do Ensino Médio, na qual utilizamos a

temática de produção e venda de geladinhos, em uma proposta que envolve

empreendedorismo e reflexão sobre este tipo de atividade. Em termos de conteúdo

matemático, a proposta envolve função afim.

Investigações matemáticas na sala de aula

O desenvolvimento de investigações matemáticas em sala de aula, segundo Ponte,

Brocardo e Oliveira (2016), favorecem a produção de significados por parte dos

estudantes, além de seu potencial de levá-los ao entusiasmo para o estudo de Matemática.

Diante disto, essa metodologia pode contribuir para que os alunos compreendam os

conteúdos e procedimentos matemáticos abordados ao longo das aulas.

Diferentemente do que alguém possa julgar, investigações matemáticas em sala de

aula não são propostas a partir de atividades de difícil solução, que exigem malabarismos

do professor para poder explicar e resolver, são, na verdade, atividades sofisticadas no

sentido de exigir dos alunos um esforço cognitivo e organizacional para traçar caminhos

que possam levar à solução. Isto envolve os seus conhecimentos prévios e as estratégias

pessoais de resolução, além, é claro, dos conhecimentos (conteúdos e procedimentos) que

estão em discussão naquele contexto em sala de aula.

Em contextos de ensino e aprendizagem, investigar não significa

necessariamente lidar com problemas muito sofisticados na fronteira do

conhecimento. Significa, tão só, que formulamos questões que nos

interessam, para as quais não temos resposta pronta, e procuramos essa

resposta de modo tanto quanto possível fundamentado e rigoroso. Desse

modo, investigar não representa obrigatoriamente trabalhar em problemas

muito difíceis. Significa, pelo contrário, trabalhar com questões que nos

interpelam e que se apresentam no início de modo confuso, mas que

procuramos clarificar e estudar de modo organizado (PONTE;

BROCARDO; OLIVEIRA, 2016, p. 9)

Assim, percebemos que uma investigação em matemática possui em seu cerne a

capacidade de lidar com situações bem planejadas, que levem os alunos à busca de

estratégias a partir de seu repertório de conhecimentos. Ao professor, essa metodologia

permite perceber as capacidades cognitivas dos alunos e a gestão da resolução dos

problemas por parte dos indivíduos reunidos em grupos, algo que é dificultado em

atividades rotineiras.

Nesse sentido, uma atividade investigativa abordada na sala de aula, caracteriza-se

em um momento desafiador, mas cheio de significados, pois possibilita os discentes a

mobilizar suas ideias e conhecimentos prévios em diversos momentos durante a exploração


125

da atividade. Um problema desse tipo dá aos alunos a chance de descobertas fabulosas.

Nesse sentido, Polya (2006, p. 5) afirma o seguinte:

Uma grande descoberta resolve um grande problema, mas há sempre uma

pitada de descoberta na resolução de qualquer problema. O problema

pode ser modesto, mas se ele desafiar a curiosidade e puser em jogo as

faculdades inventivas, quem o resolver pelos seus próprios meios

experimentará a tensão e gozará o triunfo da descoberta. Experiências

tais, numa idade susceptível, poderão gerar o gosto pelo trabalho mental e

deixar, para toda a vida, a sua marca na mente e no caráter.

Estar envolvido em uma atividade de investigação pode implicar, para alunos e

professores, no envolvimento em altos níveis de pensamento matemático, uma vez que se

requer o comprometimento com processos matemáticos, como a busca por resultados

usando recursos diversos, como elaboração e teste de conjecturas, generalização e registros

(KWANG, 2002).

Tal qual previsto por Kwang (2002), como percebemos ao longo de nossa

investigação – e isto está detalhado mais adiante neste artigo –, os alunos se concentram e

entram em profunda discussão quando submetidos a atividades de cunho investigativo. Até

alunos que no início se mostram pouco motivados para a aprendizagem de tal conteúdo

matemático, acabam por participar ativamente da investigação.

Bird (1991) argumenta que há ganhos cognitivos e afetivos quando os professores

ensinam e são produzidos significados por meio de atividades desta natureza.

Um ponto importante a acrescentar a essa discussão é aquilo que concebemos como

estudar Matemática. Como discutimos em Almeida (2016), isto envolve toda uma

comunidade de investigadores e professores de Matemática, mas deve envolver também os

alunos dos diversos níveis de ensino, da escola básica à formação superior, inclusive em

cursos de formação inicial e contínua de professores de Matemática. Com esse

compromisso firmado em cada ambiente onde se desenvolve uma atividade matemática, de

ensino, a partir do repertório de conhecimentos e de estratégias de abordagem do problema

é que cada um dos envolvidos produz significados para as novidades com as quais se

defronta. Podemos dizer mesmo que essa produção de significados se dá na relação

dialógica entre o que já se sabe e as novidades com as quais nos defrontamos (ALMEIDA,

2016).

Dessa forma, como em Almeida (2016), propomos atividades envolvendo

investigação matemática, levando os alunos à corresponsabilização nas atividades

propostas em sala de aula, explorando significados. É dessa forma que entendemos e

propomos o verbo estudar, de Chevallard, Bosch e Gascón (2000), o que inclui os

pesquisadores, professores, os alunos e os pais dos alunos, estes que devem assumir o

compromisso de participar ativamente da vida escolar de seus filhos.

Assim, na resolução de um problema investigativo, os alunos têm a oportunidade

de organizar e desenvolver os seus modos de pensar, expressá-los aos seus colegas e

registrá-los de maneira adequada e, tais procedimentos levam os alunos a ganharem

confiança na sua capacidade cognitiva, pois aprendem a pensar e a chegar a resultados


126

interessantes com o seu repertório de conhecimentos advindos de outros momentos ao

longo de sua trajetória de estudante e de sujeito que vive imerso no meio social.

Uma investigação matemática, quando bem planejada e executada, favorece a

produção de significados de acordo com o contexto em que se desenvolve a atividade. Os

alunos, partindo dos seus próprios saberes, formulam conjecturas, que devem ser

negociadas e testadas, podendo ser confirmadas ou refutadas. A partir desta negociação

linguística, retórica, do confronto de ideias tão diferentes quanto os grupos e o professor

permitirem, os alunos devem alcançar um resultado que ainda pode ser contestado. Desta

forma, desde o princípio desse processo há produção de significados, nesse confronto entre

o que se sabe (o repertório dos alunos) e o que se vislumbra aprender.

Em suma, é possível perceber em uma investigação matemática na sala de aula uma

metodologia que ajuda no desenvolvimento da aprendizagem, favorecendo uma rica fonte

de exploração de conhecimentos, que permite novos direcionamentos tanto ao professor

quanto aos alunos nas aulas.

Aos professores, o trabalho com investigação matemática, permite quatro etapas

importantes: 1. desafiar os alunos; 2. avaliar o progresso dos alunos; 3. raciocinar

matematicamente com os alunos; 4. apoiar o trabalho dos alunos. Durante a execução

dessas etapas, o professor consegue perceber como os discentes trabalham

matematicamente; permite observar as dificuldades individuais de cada um, suas tentativas

e sua forma de pensar; ajuda a perceber como os alunos formulam suas conjecturas e como

procuram testá-las e prová-las; permite uma visão melhor dos processos de ensino e

aprendizagem em Matemática que se estabelecem na sala de aula, o que transforma a sala

de aula em um ambiente de comunicação, investigação, formulação, demonstração e

discussão de conhecimentos, fugindo à ótica da comum transmissão de saberes.

Já aos alunos, o trabalho com a investigação matemática permite que estes

apresentem maior entusiasmo pela Matemática ensinada na sala de aula, uma vez que, ao

agir como investigadores, estes começam com a formulação de questões e caminhem até as

discussões finais, tendo nesse intervalo a discussão de vários conhecimentos tanto do

conteúdo quanto de outros contextos. Uma aula investigativa também é capaz de dar voz

ao aluno, pois, ao final de toda a investigação, os alunos são chamados para discutirem os

seus resultados com todos os seus colegas, o que permite que a sua participação favoreça

também o envolvimento na sua própria aprendizagem e na aprendizagem dos demais.

Permite, por fim, que o aluno seja capaz de produzir significados de acordo com as

circunstâncias do momento da exploração das atividades investigativas.

Diante do exposto, uma investigação matemática através de atividades pode

favorecer um melhor desenvolvimento das capacidades cognitivas de uma turma, levando-

a a agir como detetives em busca do saber matemático.

Em síntese:

Aprender Matemática não é simplesmente compreender a Matemática já

feita, mas ser capaz de fazer investigação de natureza matemática (ao

nível adequado a cada grau de ensino). Só assim se pode verdadeiramente

perceber o que é a Matemática e a sua utilidade na compreensão do

mundo e na intervenção sobre o mundo. Só assim se pode realmente


127

dominar os conhecimentos adquiridos. Só assim se pode ser inundado

pela paixão “detetivesca” indispensável à verdadeira fruição da

Matemática. Aprender Matemática sem forte intervenção da sua faceta

investigativa é como tentar aprender a andar de bicicleta vendo os outros

andar e recebendo informação sobre como o conseguem. Isso não chega.

Para verdadeiramente aprender é preciso montar a bicicleta e andar,

fazendo erros e aprendendo com eles. (BRAUMANN, 2002, p. 5 apud

PONTE; BROCARDO; OLIVEIRA, 2016, p. 19)

Dependendo da forma como for desenvolvida em sala de aula, a investigação

matemática pode trazer muitos benefícios, tanto para o professor quanto para os alunos,

favorecendo uma consolidação adequada dos conhecimentos matemáticos propostos.

Etapas de uma atividade investigativa

Envolvido no principal objetivo de uma aula investigativa está a busca pelo

conhecimento daquilo que ainda não se sabe. A partir de uma atividade ou de um conjunto

de atividades, o professor identifica as estratégias que os alunos utilizam para resolver os

problemas propostos, de tal forma que, do início ao final da atividade, é possível ao

docente perceber momentos de suma importância para que a investigação matemática seja

exitosa.

Uma atividade investigativa, de fato, necessita que seja desenvolvida em algumas

etapas, as quais podem ser denominadas momentos na realização de uma investigação,

conforme sintetizadas no quadro a seguir.

Quadro 1: Momentos na realização de uma investigação

Exploração e formulação de questões Reconhecer uma situação problemática

Explorar a situação problemática

Formular questões

Conjecturas Organizar dados

Formular conjecturas (e fazer afirmações

sobre uma conjectura)

Testes e reformulação Realizar testes

Refinar uma conjectura

Justificação e avaliação Justificar uma conjectura

Avaliar o raciocínio ou o resultado do

raciocínio

Fonte: Ponte, Brocardo e Oliveira (2016, p. 21)

Para estes autores,

[...] a realização de uma investigação matemática envolve quatro

momentos principais. O primeiro abrange o reconhecimento da situação,

a sua exploração preliminar e a formulação de questões. O segundo

momento refere-se ao processo de formulação de conjecturas. O terceiro

inclui a realização de testes e o eventual refinamento das conjecturas. E,


128

finalmente, o último diz respeito à argumentação, à demonstração e

avaliação do trabalho realizado (PONTE; BROCARDO; OLIVEIRA,

2016, p. 20).

No decorrer do acontecimento de cada uma dessas etapas, o professor é capaz de

perceber a mobilização dos recursos cognitivos e afetivos dos seus alunos, pois os

discentes são convidados a agirem como matemáticos, não como meros resolvedores de

problemas e exercícios, como é costume ocorrer em boa parte das aulas de Matemática.

Um cenário de aula investigativa requer um maior engajamento dos alunos, como

afirmam Ponte, Brocardo e Oliveira (2006, p. 23):

Na disciplina de Matemática, como em qualquer outra disciplina escolar,

o envolvimento ativo do aluno é uma condição fundamental da

aprendizagem. O aluno aprende quando mobiliza os seus recursos

cognitivos e afetivos com vista a atingir um objetivo. Esse é,

precisamente, um dos aspectos fortes das investigações. Ao requerer a

participação do aluno na formulação das questões a estudar, essa

atividade tende a favorecer o seu envolvimento na aprendizagem.

Em uma aula de investigação, além de explorarem a fundo as situações propostas

que lhes são apresentadas, os discentes também argumentam, demonstram o porquê de

seus resultados e passam a ter voz dentro da sala de aula. Quanto aos professores, estes

passam a ter o papel de observadores do que ocorre ao longo da investigação, minimizando

o seu papel de resolvedor de problemas, passando assim a interrogar muito mais do que

tirar dúvidas dos alunos durante a investigação.

O professor, ao planejar suas aulas, programa o percurso, assim tendo um controle

sobre o modo como a aula deve se iniciar, porém não pode saber como vai terminar.

Durante o desenvolvimento da atividade, há três fases que precisam ser levadas em

consideração:

(i) introdução da tarefa, em que o professor faz a proposta à

turma, oralmente ou por escrito, (ii) realização da investigação,

individualmente, aos pares, em pequenos grupos ou com toda a

turma, e (iii) discussão dos resultados, em que os alunos

relatam aos colegas o trabalho realizado (PONTE;


Em resumo, podemos dizer que uma investigação matemática na sala de aula

dispõe de três fases, que são: I) o arranque da aula; II) o desenvolvimento do trabalho; e

III) a discussão da investigação, sendo cada uma dessas fases de suma importância para a

concretização da investigação posta, ocorrendo em consonância com os momentos

descritos no Quadro 1.

A primeira fase, o arranque da aula, diz respeito à introdução do trabalho, em que

o professor vai anunciar os objetivos, apresentar o que se espera dos discentes. Este é o


129

momento inicial, aquele momento em que o professor precisa esclarecer os alunos sobre o

sentido da atividade proposta. É nessa fase que ocorre a exploração e formulação de

questões sobre a atividade a ser investigada.

Nessa primeira fase os alunos podem fazer perguntas sobre o que devem fazer a

partir daquele momento, devendo se sentir acolhidos e livres para discutirem entre si e

desenvolverem autonomia para o percurso de toda a investigação. A fase introdutória deve

ser breve, para que o aluno não perca o seu interesse pela atividade.

Na segunda fase, o desenvolvimento do trabalho, distribuídos em pequenos ou

grandes grupos, os alunos partem para a realização da tarefa, seguindo as etapas descritas

anteriormente. Nessa fase os discentes começam a formular conjecturas e, a partir da

elaboração destas, começam os testes e a reformulação das mesmas. Essa segunda fase

abrange o segundo e o terceiro momentos de uma investigação.

Durante essa fase o professor observa o trabalho dos alunos na atividade

em andamento, presta apoio aos discentes sempre que necessário durante

a execução da tarefa, mas nunca lhe dando as respostas, porém apontando

o caminho para que os alunos raciocinem matematicamente e consigam

se encontrar na investigação. (SOUSA, 2018, p. 90)

A terceira fase corresponde à discussão da investigação, momento em que se

intensifica a partilha de conhecimentos, quando as principais ideias são colocadas em

pauta. Cabe ao professor estimular questionamentos entre os membros das equipes.

Quando a turma passa à justificação e avaliação como fatores preponderantes, os alunos

devem ser incitados à exposição de suas reflexões e ideias.

Segundo Ponte, Brocardo e Oliveira (2016, p. 41):

A fase de discussão é, pois, fundamental para que os alunos, por um lado,

ganhem um entendimento mais rico do que significa investigar, e por

outro lado, desenvolvam a capacidade de comunicar matematicamente e

de refletir sobre o seu trabalho e o seu poder de argumentação. Podemos

mesmo afirmar que, sem a discussão final, se corre o risco de perder o

sentido da investigação.

Vale salientar que essa metodologia tende ao sucesso quando o professor fica atento

ao que ocorre em cada grupo, uma vez que é necessário saber sobre o comportamento de

cada aluno diante dos enunciados estabelecidos.

O conceito de investigação matemática, como atividade de ensino-

aprendizagem, ajuda a trazer para a sala de aula o espírito da atividade

matemática genuína, constituindo, por isso, uma poderosa metáfora

educativa. O aluno é chamado a agir como um matemático, não só na

formulação de questões e conjecturas e na realização de provas e

refutações, mas também na apresentação de resultados e na discussão e

argumentação com os seus colegas e o professor. (PONTE;



130

A partir de atividades e sua gestão da forma como ora discutimos, por meio da

investigação, há uma correlação intensa entre o enunciado posto e os conhecimentos

prévios dos alunos, suas estratégias pessoais de resolução, que, no decorrer da discussão,

são compartilhadas com todos os envolvidos. Estabelece-se, também, uma relação entre os

conhecimentos requeridos e aqueles que estão como objetivos conceituais e

procedimentais. Desta forma, permite-se que alunos e professores possam produzir

significados acerca de conhecimentos matemáticos envolvidos nas atividades em

discussão. Por isto, consideramos as aulas investigativas como algo que pode se mostrar

eficaz para produção de significados.

Atividade investigativa: produção de geladinhos

A atividade que ora apresentamos foi elaborada para a pesquisa de campo do nosso

estudo (SOUSA, 2018). Em Sousa e Almeida (2018) há uma proposição completa dessa

atividade, na forma de produto educacional, intitulado Empreendedorismo e função afim:

contextos cotidianos e aulas investigativas. Nesse espaço, destacamos, resumidamente,

como aconteceu cada uma das três etapas de nossa investigação:

Etapa I: apresentação do texto Vender geladinho dá dinheiro? Tínhamos por

objetivo introduzir ideias sobre empreendedorismo;

Etapa II: apresentação de um quadro com nove sabores de geladinhos, com seus

respectivos ingredientes, para porções de 115 ml e de 180 ml;

Etapa III: apresentação da atividade a partir da qual os alunos teriam que montar

estratégias para a venda hipotética de 500 geladinhos por dia e, a partir disso,

apresentar custos de produção, de venda e lucro, modelando as situações com a

utilização da função afim, em suas formas algébrica e gráfica.

Etapa I: Leitura do texto

VENDER GELADINHO DÁ DINHEIRO?1

Vender geladinho pode não ser um grande negócio para se montar e nem tão

pouco será algo que poderá render rios de dinheiro, mas dá para ganhar uma boa grana

extra com isso.

Eu sinceramente não conheço ninguém que ficou rico vendendo geladinho, mas

conheço pessoas que conseguem um bom dinheiro para gastar no final de semana, pagar

suas contas no final do mês e até mesmo dar uma arrumada na vida, apenas fazendo e

vendendo geladinho das mais variadas formas.

Como vender geladinho?

O processo para começar a vender geladinho é muito simples e não requer toda a

estrutura usada para montar um negócio grande. Digo isso, porque a venda de geladinho

1Publicado em 26 de março de 2012, por José Neto. Disponível em

https://www.montarumnegocio.com/vender-geladinho-da-dinheiro/. Acessado em 11 mai 2017.

https://www.montarumnegocio.com/author/neto/

https://www.montarumnegocio.com/vender-geladinho-da-dinheiro/


131

é algo a se comparar com a venda de bijuterias ou de doces, pois é algo com um

investimento inicial extremamente baixo.

A minha principal dica é que você foque em locais onde exista uma grande

circulação de pessoas, como na porta de escolas, em parques de diversão e em locais onde

as pessoas praticam esportes, pois assim será mais fácil vender geladinho. Existem

pessoas que vendem também no semáforo, enquanto os carros estão parados, e pode ser

uma alternativa interessante.

Para começar, você precisa apenas dos ingredientes para fabricar seus

geladinhos, de um isopor ou de um carrinho para sair vendendo e de uma estratégia para

vender. O investimento inicial pode ser muito baixo, dependendo das suas pretensões, e o

lucro poderá vir de forma rápida, se você conseguir vender bastante todos os dias.

E aí, será que vender geladinho dá dinheiro?

Como eu disse no início, esse é aquele tipo de produto que não gera muito dinheiro

para todas as pessoas, mas se o seu objetivo for ganhar uma grana extra, então essa pode

ser uma ótima opção. A verdade é que tudo dependerá do seu desempenho nesse trabalho,

pois quanto mais pessoas conseguir impactar com seus produtos, mais dinheiro

conseguirá ganhar.

E você, o que acha desse tipo de empreendedorismo? Se você fosse um vendedor

de geladinhos como você faria para vender e lucrar cada vez mais?

Etapa II: Apresentação de possíveis sabores e seus ingredientes

Após a leitura do texto, passamos a discutir possíveis sabores e os ingredientes

relacionados a partir de um quadro que dispomos aos grupos. O quadro foi entregue com

algumas lacunas a serem preenchidas pelos alunos. Havia a possibilidade de composição

de geladinhos com porções de 115 ml ou 180 ml. Os geladinhos poderiam, então, variar no

sabor, no tamanho da embalagem utilizada e no preço de venda.

Quadro 2: Sabores, ingredientes e porções de geladinhos (Etapa II)

Sabor Ingredientes

Preço

dos

ingredientes,

em reais

Geladinho de leite

condensado

(12 porções de 115 ml)

(__ porções de 180 ml)

1 litro de leite;

3 colheres de chá de açúcar (50g);

1 caixa de leite condensado;

3 colheres de sopa de leite em pó (100g).

Geladinho de chocolate

econômico


1 litro de leite;


1 lata de creme de leite;

6 colheres de sopa de achocolatado (180g);

https://www.montarumnegocio.com/bijuterias-para-revenda-e-na-imagem-folheados/


132

(08 porções de 180 ml) 4 colheres de sopa de açúcar (66g).

Geladinho azul



1 litro de leite;

2 colheres de sopa cheias de pó azul para

sorvete (100g);

5 colheres de sopa de açúcar (82g).

Geladinho de

mousse de maracujá


(10 porções de 180

ml)


1 lata de creme de leite;

3 colheres de chá de açúcar (50g);

½ litro de suco de maracujá (ou 02

maracujás, aproximadamente 400g);

½ litro de leite.

Geladinho de

amendoim


(__ porções de 180

ml)

1 litro de leite;

3 colheres de açúcar (50g);


400 g de amendoim torrado e moído.

Geladinho de

biscoito



ml)

1 litro de leite;

1 saquinho de suco artificial de sua

preferência;


100 g de bolacha Maisena ou Maria.

Geladinho de coco



ml)

300 ml de leite;



1 pacote de 100 g de coco ralado.

Geladinho de

manga



ml)

4 mangas grandes sem fiapo

(aproximadamente 2 unidades por kg);

1 litro de leite;


3 colheres de açúcar (50 g).

Geladinho de

goiaba



½ litro de leite;


4 goiabas cortadas ao meio (aproximadamente

1 Kg);

1 caixa de leite condensado.


133

ml)

Fonte: Receita da Hora2.

Etapa III: Investigação e modelagem da situação

Após a leitura do texto e análise do quadro, os alunos discutiram o seguinte

enunciado:

Depois da leitura do texto e da análise feita do quadro, imagine que vocês se

tornarão empreendedores da venda de geladinhos, sendo que na sua produção haja a venda

de 500 geladinhos, que variam em dois tamanhos: uns de 115 ml e outros de 180 ml.

Escolha uma das receitas do quadro da Etapa II e discutam em grupo de 4 pessoas,

estratégias para que as suas vendas sejam bem-sucedidas. Coloque todas as suas ideias no

papel, incluindo a escrita delas, as expressões matemáticas formuladas e os gráficos que

vocês conseguirem elaborar. Use o conteúdo de função afim para a discussão de suas

ideias. No final de tudo, elabore um cartaz para a divulgação de suas vendas.

Aspectos metodológicos

A atividade investigativa envolvendo a venda de geladinhos foi abordada em uma

turma do primeiro ano do Ensino Médio durante os meses de agosto e setembro do ano de

2017 em uma escola localizada na cidade de Sousa, sertão da Paraíba. No momento em

que essa investigação aconteceu, os alunos estavam estudando sobre função afim.

Importante assinalar que primeiro o professor da turma apresentou o conteúdo de função

afim, depois damos início à pesquisa envolvendo essa temática.

Por buscarmos compreender como uma investigação matemática na sala de aula

acontece, optamos por usar nesse estudo uma abordagem metodológica qualitativa, uma

vez que estivemos frente à frente com o objeto de pesquisa e com os seus participantes.

Nesta perspectiva, Lüdke e André (1987) afirmam que a pesquisa qualitativa apresenta o

ambiente natural como fonte direta dos dados e o pesquisador como o seu principal

instrumento.

A pesquisa qualitativa permite ao pesquisador uma análise mais profunda da

obtenção de dados descritivos sobre pessoas, lugares e processos interativos, por isso,

nossa escolha, pois estivemos o tempo todo em contato direto com a situação estudada, o

que nos ajudou a compreender os fenômenos segundo a perspectiva dos sujeitos da

situação em estudo.

Dentre as inúmeras modalidades de pesquisa qualitativa em Educação, a nossa

pesquisa se enquadra em uma modalidade denominada pesquisa exploratória. Seu caráter

exploratório está no fato dela explorar um determinado problema de estudo com vista a

compreendê-lo com mais detalhes, pois a pesquisa exploratória permite uma maior

aproximação entre o pesquisador e o assunto pesquisado, no qual, a partir do

2 http://receitatodahora.com.br/7-receitas-de-geladinho-imperdiveis-para-fazer-e-vender/. Acessado em mai

2017.

http://receitatodahora.com.br/7-receitas-de-geladinho-imperdiveis-para-fazer-e-vender/


134

aprofundamento na investigação posta, é possível encontrar as reais causas para os

objetivos em estudo.

Para a realização dessa pesquisa algumas etapas foram seguidas, baseando-se nos

princípios que regem as investigações matemáticas na sala de aula. Essas etapas foram

regidas pela aplicação de questionários (sendo dois deles com questões objetivas e os

outros dois com questões discursivas) e pelo desenvolvimento das etapas que precisam ser

seguidas em uma atividade investigativa. Essa pesquisa contou com oito encontros e

dezenove aulas.

Os dados obtidos no trabalho de campo foram levantados por meio dos registros

dos alunos em cada etapa da atividade aplicada. Nessas observações utilizamos como

instrumentos o diário de bordo, gravações de áudio e uma câmera fotográfica. No

momento em que os sujeitos da pesquisa apresentavam alguma estratégia para a resolução

da atividade em andamento fazíamos as observações necessárias, utilizando fotografias e

anotações pertinentes àquele momento.

O processo avaliativo aconteceu continuamente durante toda a atividade através da

participação dos alunos, dos questionamentos, da realização da investigação e nas

reflexões feitas na sala de aula sobre o tema proposto.

Resultados e discussão da atividade investigativa

As discussões que ora apresentamos sobre a execução da atividade investigativa

proposta têm por objetivo problematizar os resultados que encontramos em nossa pesquisa,

a qual contou com a participação de 35 discentes, organizados em oito equipes.

No primeiro encontro, desenvolvemos a Etapa I da atividade, o que correspondeu a

três aulas; a Etapa II durou três encontros, totalizando seis aulas; e a Etapa III durou três

encontros, em um total de sete aulas. O último encontro foi dedicado à discussão da

investigação, durando três aulas.

Percebemos no decorrer desses encontros diferentes atitudes e ações para uma

mesma atividade. Percebemos caminhos diferentes, percursos diferenciados para uma

mesma atividade. Percebemos que o repertório de leitura e a busca por estratégias já

conhecidas e reconhecidas para abordagem do problema são diferentes para cada equipe e,

no interior de cada uma delas, diferentes entre os membros. Como vimos em Almeida

(2016), a negociação discursiva ocorrida no interior das equipes leva à percepção de que há

produções de significados amplos a partir de uma mesma atividade. Percebíamos entre as

equipes bastante empenho em resolver a atividade, pois os alunos em sua grande maioria,

como previa Bird (1991), se sentiam motivados para a investigação.

Na Etapa I começamos com o texto Vender geladinho dá dinheiro? E, a partir dessa

leitura, os alunos deram a sua primeira ideia sobre o que achavam da venda de geladinhos

e que estratégias eles adotariam, caso fossem um empreendedor desse ramo de negócio.

Algumas equipes comentaram que vender geladinhos era um bom negócio para gerar uma

renda extra e duas equipes mencionaram que não achavam esse tipo de venda um bom

negócio. Essa atividade inicial foi bem simples e muito importante porque foi o arranque

inicial da pesquisa, em que precisávamos ouvir as ideias dos alunos sobre o que estávamos

propondo em nossa proposta de intervenção.


135

Em seguida, na Etapa II, ao receber o quadro com diferentes sabores de geladinhos,

os alunos deveriam preencher as lacunas, inclusive adotando um preço para cada

ingrediente presente, segundo o que tinham de conhecimento acerca do comércio local. No

decorrer dessa etapa, notamos uma grande preocupação de cada membro para colocar o

valor mais próximo do valor real, tanto é que até panfletos de supermercados uma equipe

trouxe durante dois encontros, sem nada mencionarmos enquanto estávamos no trabalho

em campo. Nessa etapa estavam presentes os ingredientes para porções de 115 ml e 180

ml. O primeiro passo deles era descobrir, por meio de estratégias pessoais, inclusive regra

de três simples, as porções de um dos tamanhos, conhecendo-se o rendimento da outra

porção.

Também pedimos que, a partir do valor que eles atribuíram para os ingredientes de

cada sabor, calculassem o preço de custo de cada geladinho, de acordo com o seu tamanho,

e atribuíssem um valor para o preço de venda e, finalmente, calculassem o preço do lucro

que cada porção renderia.

Como eram muitos sabores diferentes, optamos por fazer um sorteio entre as

equipes para que cada uma delas abordasse as suas ideias apenas para um único sabor. Ao

término da Etapa II os alunos apresentaram os valores atribuídos aos ingredientes, o total

de porções de 115 ml e de 180 ml de cada um e os gastos gerais de cada sabor.

Apresentamos no quadro a seguir apenas os gastos com ingredientes do sabor que foi

sorteado para eles desenvolverem as estratégias na Etapa III. Além dos gastos gerais,

apresentamos também o total de porções encontrados para a produção dos geladinhos de

115 ml e 180 ml.

Quadro 3: Alguns resultados da Etapa II

EQUIPE SABOR DO

GELADINHO

GASTOS

TOTAIS COM

CADA SABOR

TOTAL DE

PORÇÕES DE

115 ml

TOTAL DE

PORÇÕES DE

180 ml

01 LEITE CONDENSADO R$ 9,15 12 07

02 CHOCOLATE

ECONÔMICO R$ 10,10 12 08

03 AZUL

R$ 3,86 15 09

04 MOUSSE DE

MARACUJÁ R$ 9,30 16 10

05 BISCOITO

R$ 4,60 16 10

06 COCO

R$ 6,66 06 04

07 MANGA

R$ 9,60 20 13

08 GOIABA

R$ 7,60 15 09

Fonte: Sousa (2018, p. 183-185).

Ao final da Etapa II os alunos também mostraram os valores de produção obtidos,

os valores de vendas que eles atribuíram e os valores correspondentes ao lucro de cada


136

unidade para os geladinhos de 115 ml e para os de 180 ml, respectivamente, conforme

mostramos no Quadro a seguir.

Quadro 4: Valor do custo de produção, do preço de venda e do lucro dos geladinhos

Equipes

Geladinho de 115 ml (01 porção)

(Valor em reais)

Geladinho de 180 ml (01 porção)

(Valor em reais)

Custo de

produção

Preço de

venda Lucro

Custo de

produção

Preço de

venda Lucro

01 R$ 0,76 R$ 1,25 R$ 0,49 R$ 1,30 R$ 2,00 R$ 0,70

02 R$ 0,84 R$ 1,00 R$ 0,16 R$ 1,26 R$ 1,50 R$ 0,24

03 R$ 0,25 R$ 0,75 R$ 0,50 R$ 0,42 R$ 1,00 R$ 0,58

04 R$ 0,60 R$ 1,00 R$ 0,40 R$ 1,00 R$ 1,50 R$ 0,50

05 R$ 0,30 R$ 1,00 R$ 0,70 R$ 0,46 R$ 1,25 R$ 0,79

06 R$ 1,11 R$ 1,50 R$ 0,39 R$ 1,66 R$ 2,00 R$ 0,34

07 R$ 0,48 R$ 0,75 R$ 0,27 R$ 0,73 R$ 1,00 R$ 0,27

08 R$ 0,50 R$ 1,50 R$ 1,00 R$ 0,84 R$ 2,00 R$ 1,16

Fonte: Sousa (2018, p. 187).

Diante dos resultados encontrados percebemos, no Quadro 4, que dependendo do

sabor do geladinho algumas equipes chegaram à conclusão que uns gastariam mais com

ingredientes do que outros. As equipes observaram que as porções de 115 ml gerariam um

lucro maior do que aqueles relativos às porções de 180 ml, o que não foi bem assim no

começo da atividade, sendo outras conjecturas formuladas ao longo da investigação.

Com esses dados, o próximo passo de cada equipe seria estabelecer uma estratégia

de venda para 500 unidades diárias, conforme foi anunciado na atividade da Etapa III.

Cada equipe iria fazer uma distribuição das 500 unidades, com os sabores escolhidos (por

sorteio) na Etapa II. Nessa nova etapa o grupo tinha a missão de fazer a divisão dessas 500

unidades entre os dois tamanhos de embalagens fornecidos. Cada uma das equipes iria

fazer isso conforme o consenso do grupo, em que usariam ideias para que as vendas

pudessem sempre render mais lucro.

Nessa Etapa, a ideia foi abordar o conteúdo de função afim para o que eles tinham

feito, sendo que cada equipe se responsabilizaria pela modelagem dessas funções, relativos

ao custo, à venda e ao lucro, referentes à cada sabor. Essas funções tinham x como variável

independente, representando a quantidade de geladinhos, e, como variável dependente, y =

f(x), representando ora o custo de produção, ora o preço de venda, ora o lucro. Também

atribuímos a responsabilidade de criação de estratégias de venda à cada equipe, incluindo a

criação de marketing para promoção do produto.

A seguir, apresentamos o Quadro 5 com as respectivas funções para ambos os

tamanhos dos geladinhos, conforme modeladas pelas equipes.


137

Quadro 5: Funções que modelam o custo de produção, o preço de venda e o lucro dos

geladinhos

Equipes Geladinho de 115 ml

(01 porção)

(função afim)

Geladinho de 180 ml

(01 porção)

(função afim)

Custo de

produção

Preço de

venda

Lucro Custo de

produção

Preço de

venda

Lucro

01 𝑓(𝑥) = 0,76𝑥 𝑓(𝑥)

= 1,25𝑥

𝑓(𝑥)

= 0,49𝑥

𝑓(𝑥)

= 1,30𝑥

𝑓(𝑥)

= 2,00𝑥

𝑓(𝑥) = 0,70𝑥

02 𝑓(𝑥) = 0,84𝑥 𝑓(𝑥)

= 1,00𝑥

𝑓(𝑥)

= 0,16𝑥

𝑓(𝑥)

= 1,26𝑥

𝑓(𝑥)

= 1,50𝑥

𝑓(𝑥) = 0,24𝑥

03 𝑓(𝑥) = 0,25𝑥 𝑓(𝑥)

= 0,75𝑥

𝑓(𝑥)

= 0,50𝑥

𝑓(𝑥)

= 0,42𝑥

𝑓(𝑥)

= 1,00𝑥

𝑓(𝑥) = 0,58𝑥

04 𝑓(𝑥) = 0,60𝑥 𝑓(𝑥)

= 1,00𝑥

𝑓(𝑥)

= 0,40𝑥

𝑓(𝑥)

= 1,00𝑥

𝑓(𝑥)

= 1,50𝑥

𝑓(𝑥) = 0,50𝑥

05 𝑓(𝑥) = 0,30𝑥 𝑓(𝑥)

= 1,00𝑥

𝑓(𝑥)

= 0,70𝑥

𝑓(𝑥)

= 0,46𝑥

𝑓(𝑥)

= 1,25𝑥

𝑓(𝑥) = 0,79𝑥

06 𝑓(𝑥) = 1,11𝑥 𝑓(𝑥)

= 1,50𝑥

𝑓(𝑥)

= 0,39𝑥

𝑓(𝑥)

= 1,66𝑥

𝑓(𝑥)

= 2,00𝑥

𝑓(𝑥) = 0,34𝑥

07 𝑓(𝑥) = 0,48𝑥 𝑓(𝑥)

= 0,75𝑥

𝑓(𝑥)

= 0,27𝑥

𝑓(𝑥)

= 0,73𝑥

𝑓(𝑥)

= 1,00𝑥

𝑓(𝑥) = 0,27𝑥

08 𝑓(𝑥) = 0,50𝑥 𝑓(𝑥)

= 1,50𝑥

𝑓(𝑥)

= 1,00𝑥

𝑓(𝑥)

= 0,84𝑥

𝑓(𝑥)

= 2,00𝑥

𝑓(𝑥) = 1,16𝑥

Fonte: Sousa (2018, p. 189).

Pela análise do Quadro 5 é possível perceber diversos significados que as equipes

obtiveram com a atividade ao longo das etapas, sendo possível observar uma grande

coerência de uma etapa para outra. Ficamos contentes também por atingir a meta da

atividade que consistia na elaboração das funções de cada sabor para o custo, a venda e o

lucro de cada um dos tamanhos dos geladinhos.

Durante a discussão da investigação, as equipes também apresentaram os gráficos

dessas funções e os cartazes de divulgação, em que cada equipe ficou responsável por dar

um nome ao seu empreendimento e apresentar as opções de geladinhos, bem como outros

detalhes que ficaram a critério de cada equipe. A seguir mostramos duas imagens, uma

correspondendo aos gráficos das funções encontradas pelos alunos e a outra

correspondendo ao cartaz de divulgação de uma das equipes.


138

Figura 01: Gráficos das funções do geladinho de 115 e 180 ml da Equipe 07

Fonte: Sousa (2018, p. 201).

Figura 02: Fotografia do cartaz elaborado pela Equipe 05

Fonte: Sousa (2018, p. 196).

Diante das imagens apresentadas e das funções encontradas pelas equipes,

percebemos que uma profunda investigação foi feita durante a execução da atividade,

sendo perceptível a interação de todos em cada etapa e o compromisso que assumiram

diante da tarefa posta. Essa interação também foi bem visível durante a fase final, que

constituiu na discussão final da investigação, quando os alunos apresentaram um alto grau

de interação entre si, principalmente defendendo o seu ponto de vista sobre o desenrolar de

toda a investigação.

Na atividade que aplicamos percebemos que a contextualização, envolvendo

empreendedorismo em aulas investigativas, nos fez refletir ao perceber melhor o

desenvolvimento do pensamento e conhecimento matemático do aluno. Ou seja, os alunos

utilizaram Matemática no levantamento de ideias, nas tomadas de decisões sobre o preço

dos ingredientes, na elaboração das funções do custo, da venda e do lucro, na elaboração

dos gráficos dessas funções e na preparação do material de marketing dos produtos, tudo


139

isto tendo surgido de ideias oriundas de cada equipe, gerando muitos conhecimentos para a

turma.

Considerações finais

A pergunta de Bird (1991) permanece viva e era também a nossa: como podemos

abordar um assunto previsto no currículo, por meio de um plano de estudos, envolver os

estudantes na execução de seu próprio pensamento matemático? Imbuídos desta indagação,

percebemos que a atividade proposta, segundo a abordagem posta, trouxe resultados

significativos.

Diante das ideias desenvolvidas, dos dados coletados e dos resultados obtidos,

pudemos perceber que o uso de contextos cotidianos na sala de aula pode contribuir para

uma formação humana a partir da Educação Matemática, de forma significativa. Como

apresentamos em Sousa (2018), o mais importante dessas aulas é que os alunos não têm

uma resposta pronta, são desafiados a lapidarem suas ideias na busca por resultados. O

mais interessante é que, de início, pode parecer complicado para os alunos e complexo para

os professores, mas, de repente, nos surpreendemos com os resultados.

Ao longo de nossas discussões foi possível perceber que uma atividade de um

contexto cotidiano sendo articulada com a metodologia das investigações matemáticas na

sala de aula favoreceu a compreensão dos discentes para várias outras ideias.

Essa investigação possibilitou um desafio tanto aos pesquisadores quanto aos

alunos envolvidos, e esse desafio proporcionou uma situação de equilíbrio entre o

conhecimento matemático discutido e a autonomia da turma para serem autores de sua

própria investigação. Como nos faz refletir Paulo Freire (2016, p. 25) ao afirmar:

O respeito à autonomia e à dignidade de cada um é um imperativo ético e não

um favor que podemos ou não conceder uns aos outros. Precisamente porque

éticos podemos desrespeitar a rigorosidade da ética e resvalar para a sua

negação, por isso é imprescindível deixar claro que a possibilidade do desvio

ético não pode receber outra designação senão a de transgressão. O professor que

desrespeita a curiosidade do educando, o seu gosto estético, a sua inquietude, a

sua linguagem, a sua sintaxe e a sua prosódia; o professor que ironiza o aluno,

que minimiza, que manda que “ele se ponha em seu lugar” ao mais tênue sinal de

sua rebeldia legítima, tanto quanto o professor que se exime do cumprimento do

seu dever de ensinar, de estar respeitosamente presente à experiência formadora

do educando, transgride os princípios fundamentalmente éticos de nossa

existência.

Nas palavras de Freire podemos perceber que o professor nunca deve achar que ele

é o dono de todo o conhecimento dentro da sala de aula. É preciso buscar o equilíbrio entre

o que ele sabe e o que os alunos têm a acrescentar aos conhecimentos abordados no

ambiente escolar. É preciso que o professor possa interagir com os seus alunos na sua

prática pedagógica, e o trabalho com aulas investigativas desempenha muito bem esse

papel.

Como comentamos na introdução, essa não é uma fórmula mágica, mas uma

metodologia que pode contribuir para as aulas de um professor de Matemática que procura


140

incorporar ideias inovadoras nesse componente curricular e, conforme percebemos ao

longo da pesquisa, uma aula investigativa propõe vários aprendizados aos alunos e também

ao professor, pois o docente consegue enxergar potencialidades nos seus alunos que em

outros momentos não conseguira, favorecendo assim novas descobertas para ambas as

partes.

Em uma simples atividade sobre a venda de geladinhos foi possível destacar que,

além da exploração matemática, em que os alunos partiram de uma ideia inicial até a

chegada da função afim, outras ideias poderiam ser exploradas, como as questões voltadas

para o empreendedorismo no século XXI, sobre as dificuldades de ser um pequeno

empreendedor no mercado regido pelas políticas neoliberais, entre tantas outras indagações

que podiam ir muito além da exploração puramente matemática e aprimorar a criticidade

de cada aluno para outros detalhes, que são de suma importância para o nosso cotidiano.

Neste sentido, vale a pena ressaltar que atividades envolvendo empreendedorismo,

como a que apresentamos, carecem de reflexões aprofundadas sobre aspectos de outra

natureza, como de apropriação de capital, sob pena de se cair em uma formação com

ditames neoliberais, o que não contribuiria para uma formação adequada aos dias atuais,

em que deve se buscar uma formação humana em que o social e o comum devem se

sobrepor ao que rege os produtores do capital. Como propõe Paulo Freire, é preciso

transgredir essa forma cada mais exposta de controle do comportamento dos alunos e dos

professores. Mas isto já é outra história, tema para outro artigo, que se encontra em ritmo

de elaboração.

Diante disso percebemos que ao propor atividades investigativas, é importante que

o professor fique atento a detalhes que partem de cada equipe ou de cada aluno, pois o

conjunto de cada ideia favorece discussões riquíssimas ao final de toda investigação.

Em nossa pesquisa, ao longo dos oito encontros, muitos significados foram

produzidos pelos alunos e a fase final da investigação favoreceu um momento de muito

aprendizado, pois as equipes discutiram entre si, explicitando às demais os seus

pensamentos, desafios e as suas descobertas, compartilhando conhecimentos.

Após essa experiência, que achamos exitosa pelos significados que ela trouxe aos

alunos para compreender o conceito de função afim na prática, defendemos um ensino que

mostre ao aluno que ele também é capaz de pensar matematicamente, que partindo de uma

ideia é possível explorar diversas outras ideias e que o cotidiano é recheado de ideias

puramente matemáticas, que precisam ser vislumbradas com outros olhares. Sendo assim, a

metodologia com aulas investigativas pode ser a aliada para que o encontro entre cotidiano,

matemática e sala de aula possam se efetivar.

Em suma, as ideias discutidas ao longo da construção desse artigo nos ajudou a

compreender que uma investigação matemática na sala de aula, dependendo do contexto

circunstanciado dos discentes, pode melhorar a forma como o professor consegue captar os

conhecimentos dos seus alunos, no quesito de conhecimentos matemáticos, assim como

pode ajudar aos discentes a perceberem que eles ao usarem as suas próprias ideias podem

chegar a resultados surpreendentes.

Logo, é preciso que o professor de Matemática explore mais a capacidade

intelectual dos seus alunos, que acredite no potencial de cada um, e que este possa


141

perceber, ao longo de sua prática, que ensinar Matemática vai muito além de pedir aos

alunos que decorem fórmulas e mais fórmulas e resolvam exercícios e mais exercícios,

pois é preciso que este dê a oportunidade do seu aluno perceber a beleza da Matemática,

que motive-os a enxergarem ideias naquilo que parece obscuro. Dessa forma, aulas

investigativas se constituem em uma grande oportunidade para que o aluno se torne um

sujeito ativo em se processo de aprendizagem e nos processos de ensino que vigoram em

sala de aula.

Portanto, partindo desta e de outras experiências com aulas investigativas, podemos

afirmar que para os docentes de Matemática que almejam o melhor para os seus alunos,

que visam a criticidade como ponto importante para o desenvolvimento dos discentes, esta

metodologia pode ajudar bastante para que os alunos tenham autonomia e sejam

protagonistas do seu próprio aprendizado.

Referências

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significados para aulas de matemática. São Paulo/ Campina Grande: Livraria da Física/

Eduepb, 2016.

BIRD, Marion H. Mathematics for young children: An active thinking approach.

London: Routledge, 1991.

CHEVALLARD, Yves; BOSCH, Marianna; e GASCÓN, Josep. Estudiar matemáticas:

el eslabón perdido entre enseñanza y aprendizaje. 2. ed. Barcelona: Horsori Editorial,

2000.

FREIRE, Paulo. Pedagogia da autonomia. 53ª ed. São Paulo: Paz e Terra, 2016.

KWANG, Teong Su. An Investigative Approach to Mathematics Teaching and Learning.

The mathematics educator. 2002. v. 6, n. 2, 32-46.

LÜDKE, M.; ANDRÉ, M. E. D. A. Pesquisa em Educação: abordagens qualitativas.

São Paulo: EPU, 1987.

POLYA, George. A arte de resolver problemas. Tradução de Heitor Lisboa de Araújo. 2ª

ed. Rio de Janeiro: Interciência, 2006.

PONTE, João P.; BROCARDO, Joana; OLIVEIRA, Hélia. Investigações matemáticas na

sala de aula. 3ª ed. Belo Horizonte: Autêntica Editora, 2016.

SOUSA, Ivan B. Produção de significados a partir de investigações matemáticas:

função afim e contextos cotidianos. 2018. 250f. Dissertação (Mestrado) – Universidade

Estadual da Paraíba – UEPB, Campina Grande, 2018.

SOUSA, Ivan B.; ALMEIDA, José Joelson P. Empreendedorismo e função afim:

contextos cotidianos e aulas investigativas. Campina Grande, PB: PPGECEM-UEPB,

2018. Disponível em http://pos-graduacao.uepb.edu.br/ppgecm/produtos-educacionais/.


142

Ivan Bezerra de Sousa

Secretaria da Educação e da Ciência e Tecnologia – PB


ORCID: 0000-0001-8668-7111

José Joelson Pimentel de Almeida



ORCID: 0000-0001-8210-584X






As atividades experimentais no ensino de matemática

Experimental activities in the teaching of mathematics

Pedro Franco de Sá

DMEI, GCEM, PPGED, PMPEM-UEPA e REAMEC

RESUMO

Este trabalho apresenta os resultados de uma pesquisa sobre o ensino de matemática por meio de

atividades tendo como base a Teoria da Atividade que objetivou distinguir as atividades utilizadas

no ensino de matemática no Brasil. Os resultados indicam que as atuais Tendências em Educação

Matemática: Resolução de Problemas, Etnomatemática, Modelagem, Uso de Jogos, Uso de

Tecnologias, Uso da História e Investigação Matemática, realizam procedimentos que podem ser

caracterizados como atividades no sentido da Teoria da Atividade e que é a organização do trabalho

didático, o produto obtido e a forma de participação discente/docente de cada tendência que legitima

cada uma delas. Foi também possível concluir a existência de uma outra tendência ainda não

registrada na literatura, apesar de já praticada em muitas situações, que foi denominada de Ensino de

Matemática por Atividades Experimentais. Além disso, foi possível concluir a existência de oito

tipos de gerais de atividade para o ensino de matemática, cada uma com a possibilidade de subtipos.

Palavras-chave: Teoria da Atividade. Tendências da Educação Matemática. Ensino de Matemática

por Atividades Experimentais.

ABSTRACT

This work presents the results of a research on teaching of mathematics through activities based on

the Activity Theory which aimed to distinguish the activities used in the teaching of mathematics in

Brazil. The results indicate that the current Trends in Mathematics Education: Problem Solving,

Ethnomathematics, Modeling, Use of Games, Use of Technologies, Use of History and Mathematical

Research, perform procedures that can be characterized as activities in the sense of Activity Theory

and which is the organization of didactic work, the product obtained and the form of student / teacher

participation of each trend that legitimizes each of them. It was also possible to conclude the

existence of another trend not yet registered in the literature, although already practiced in many

situations, which was called Teaching of Mathematics by Experimental Activities. In addition, it was

possible to conclude the existence of eight types of general activities for teaching mathematics, each

with the possibility of subtypes.

Keywords: Activity Theory. Mathematics Education Trends. Teaching of Mathematics by

Experimental Activities

Introdução

O ensino de matemática escolar, que ocorre nos níveis fundamental e médio

brasileiro, tem recebido críticas já faz bastante tempo. Essas críticas tiveram como

consequências o surgimento de alternativas metodológicas para o trabalho pedagógico da

disciplina matemática.

Essas alternativas têm características próprias e organização de seu funcionamento

também. Essas alternativas metodológicas receberam a denominação de Tendências em

Educação Matemática e são denominadas como: Modelagem, Uso de jogos, Uso da História

da Matemática, Etnomatemática, Uso Tecnologias de Comunicação, Investigação

Matemática e Resolução de Problemas.


144

Essas Tendências usam com frequência a palavra atividade de um modo pouco

preciso, muitas vezes como sinônimo de ação, movimento ou realização, do que vem a ser

uma Atividade em cada Tendência. Apesar da existência de uma Teoria da Atividade que

foi desenvolvida por diversos pesquisadores desde o século dezenove.

Em muitos trabalhos brasileiros sobre o ensino de matemática a

palavra atividade é mencionada com frequência.

No contexto da Educação para Barichello e Guimaraes (2017, p. 186)

“a palavra atividade [pode ser considerada] como termo genérico

que se refere a qualquer solicitação, em geral vinda do docente, feita

em sala de aula e que resulte em ações por parte dos estudantes.”

Em Educação Matemática a palavra atividade já teve os seus adjetivos investigados

pelo menos por dois países: Inglaterra e Brasil.

Na Inglaterra os resultados do estudo foram publicados em Foster e Inglis ( 2017)

com a seguinte motivação “a percepção da existência de um grande número de adjetivos

utilizados em documentos oficiais, publicações de cunho acadêmico e materiais voltados

para docentes sem nenhum cuidado com [a] definição e [a] exemplificação do que cada um

deles significa.”

Com relação ao estudo realizado no Brasil os resultados foram publicados em

Barrichello e Guimarães (2017).

Neste trabalho apresentamos os resultados de uma pesquisa bibliográfica sobre o

ensino de matemática por meio de atividades tendo como base a Teoria da Atividade (TA)

que objetivou distinguir as atividades utilizadas no ensino de matemática no Brasil.

Origens da Teoria da Atividade

Até o fim do século XIX essa palavra atividade ainda não possuía um significado

técnico associado a mesma. Com o desenvolvimento da Teoria da Atividade no século XX

foi produzida, entre outros resultados, a distinção entre atividade e ação.

Segundo Nuñez e Pacheco (1997) a Teoria da Atividade teve seu início com as

investigações de Vigotski na então União Soviética da década de 30 do século XX. Esta

posição é referendada por Libâneo (2004), entre outros autores.

Segundo Franco (2009, p.198)

“... a teoria da atividade [.........] procura estabelecer a diferença entre

atividade e ação, entre atividade animal e atividade humana e sua

vinculação com a atividade psíquica, sua base material, suas

necessidades, seus motivos e finalidades.”

Deste modo a Teoria da Atividade buscou estabelecer os elementos estruturantes

compõe uma atividade de modo geral.

De acordo com Franco (2009, p.198)

“a base material da teoria da atividade está na diferença da relação do

ser humano e os demais animais com a natureza. Na busca pela

satisfação de suas necessidades os animais se apropriam da natureza,


145

mas não a transformam. Já os seres humanos também se apropriam da

natureza, a transformam e são transformados neste processo.”

Como consequência da diferença entre a relação do ser humano e os animais com

natureza, podemos concluir que na vida humana a Atividade é determinante sobre o

desenvolvimento das pessoas.

De acordo com Picoloo (2012) e Querol, Cassandre e Bulgacov (2014) a Teoria da

Atividade foi desenvolvida por pesquisadores tendo começado por Hegel, continuado com

Marx, seguido com Vygotsky, Luria, Rubinstein, Leontiev, Galperin, Dayvidov, Talizina e

Engestrom, entre outros pesquisadores.

Sobre o desenvolvimento histórico da Teoria da Atividade não há consenso. Para

mais detalhes historiográficos da Teoria da Atividade sugerimos a leitura de Piccolo (2012).

Segundo Engestrom (1987) e Sannino (2011) (apud Querol, Cassandre e Bulgacov,

2014, p. 408) “o conceito de atividade foi introduzido pelo filosofo alemão [...] Hegel que

reconheceu o papel da atividade produtiva e os instrumentos do trabalho no desenvolvimento

do conhecimento.”.

Ainda segundo Querol, Cassandre e Bulgacov (2014, p. 408) “As opiniões de Hegel

foram desenvolvidas por Marx, que considera o homem não apenas como um produto da

história e da cultura, mas também como transformador da natureza e um criador.”.

Para Querol, Cassandre e Bulgacov (2014, p. 408) “baseado no conceito de atividade

de Marx, Vygotsky criou a ideia de mediação cultural da ação humana, que tornou-se central

na Teoria da Atividade”.

Segundo Rolindo (2007) o trabalho de Vygotsky resultou em cinco teses que estão

expressas no Quadro 1 a seguir.

Quadro 1: Teses de Vygotsky

Teses Afirmação

Primeira

As características tipicamente humanas não estão presentes desde o

nascimento do indivíduo, nem são mero resultados das pressões do meio

externo.

Segunda

O desenvolvimento humano não é dado a priori, não é mutável e

universal, não é passivo nem tampouco independente do desenvolvimento

histórico e das formas sociais da vida humana.

Terceira O cérebro pode servir a novas funções, criadas na história do homem, sem

que sejam necessárias transformações no órgão físico.

Quarta

São instrumentos técnicos e sistemas de signos, construídos

historicamente, que fazem a mediação dos seres humanos entre si e deles

com o mundo.

Quinta A análise psicológica deve ser capaz de conservar as características

básicas dos processos psicológicos, exclusivamente humanos.

Fonte: Rolindo (2007, p. 52)

Com estas teses a contribuição de Vigotsky sobre a Atividade ficou fortemente

marcada pelo conceito de mediação.

A contribuição de Leontiev veio como continuação do trabalho de Vygotsky por meio

da expansão da unidade de análise que em Vygotsky era focada nos indivíduos e que

Leontiev estendeu por meio da distinção entre ação individual e ação coletiva. Outra


146

contribuição importante de Leontiev foi a distinção entre ação e atividade (QUEROL,

CASSANDRE e BULGACOV,2014).

A ação é um componente da atividade, mas não a própria atividade. Além disso, uma

mesma ação pode compor várias atividades distintas.

Mais detalhes sobre a relação ação e atividade podem ser encontrados em Leontiev

(1984).

Outra contribuição de Leontiev foi a tipificação de Atividade Principal, Atividade

Guia ou Atividade Predominante. Segundo Leontiev (1988, apud Lima Sekkel, 2018, p.405)

“A atividade principal é a atividade que promove as principais

mudanças psicológicas na personalidade do sujeito em

determinado período de sua vida sendo, portanto, a atividade por

meio da qual os processos psíquicos tomam forma e são

reorganizados”.

Assim a Atividade Principal vai variar ao longo da vida do indivíduo, desde sua

infância até a idade adulta.

Segundo Lima e Sekkel (2018) Elkonin propôs a seguinte periodização da Atividade

Principal: comunicação emocional direta, atividade objetal-manipulatória, brincadeira de

papeis, atividade de estudo, comunicação íntima pessoal e atividade de estudo e profissional.

Além disso, segundo Nuñez e Pacheco (1997), Leontiev mostrou a indissociabilidade

entre a psique e atividade externa e também que a atividade interna psíquica é uma atividade

externa transformada.

Finalmente Engeström desenvolveu um outro modelo de sistema de atividade que

representa os relacionamentos básicos em sistemas de mediação da atividade humana. Para

Engeström a compreensão das ações individuais só é possível se houver a concepção de que

o objeto da atividade está em constante relacionamento com sujeito, objeto e instrumento,

assim como com os mediadores sociais (QUEROL, CASSANDRE e BULGACOV, 2014).

Segundo Eidt e Duarte (2007) para a teoria da atividade a função da escola é a de

socialização do conhecimento científico, filosófico e artístico produzido pela humanidade

através dos tempos, em suas formas mais elevadas.

Segundo Ferreira (2009), Lisboa (2009) e Pontelo (2009 apud Moreira, Pedrosa e

Pontelo (2011, p. 17)

“a Teoria da Atividade apresenta-se com um referencial capaz de

descrever e analisar práticas educativas constitutivas de ambientes de

aprendizagem diversos, na complexidade de seus elementos e da

relação entre eles”.

Em concordância com a última citação buscaremos na próxima seção deste trabalho

apresentar, com base na Teoria da Atividade, as características gerais de uma Atividade.

Características gerais de uma atividade

Os estudos sobre atividade que foram produzidos por Leontiev foram relatados em

Leontiev (1984).

Segundo Leontiev (1984) a estrutura geral da atividade apresenta o objeto como o

principal elemento e é composta também pela necessidade, pelo motivo – interno ou externo


147

- e ação. Para Leontiev, a atividade direcionada a um objetivo é consequência das relações

sociais, que englobam a divisão do trabalho, sendo essa atividade estimulada por seu

produto, o qual, por sua vez, corresponde às necessidades de cada indivíduo envolvido no

trabalho.

Assim, para Leontiev (1984) uma Atividade tem os seguintes elementos: sujeito(s),

objeto, necessidade, motivo, objetivo, ação e produto.

A Teoria da Atividade que também foi estudada por Vasily Davydov. Em Davydov

(1999), em concordância com Rubinstien é apresentada uma abordagem diferenciada da

realizada por Leontiev, seja do ponto de vista da estrutura, seja do ponto de vista da natureza.

Davydov (1999) acrescenta o desejo aos elementos elencados por Leontiev e propõe uma

natureza interdisciplinar.

Assim podemos afirmar que uma Atividade, segundo Davydov (1999) é composta

de: sujeito(s), uma necessidade, um desejo, um objeto, um motivo, um objetivo, ações e um

produto.

Para Nuñez e Pacheco (1997), Leontiev propôs como elementos da estrutura

funcional da Atividade o que segue: a) um sujeito da atividade, b) um objeto da atividade,

c) motivos d) um objetivo, e) sistema de operações, f) a base orientadora da ação g) os meios

h) as condições i) o produto.

O sujeito da Atividade é quem realiza a atividade podendo ser um sujeito ou um

coletivo de sujeitos que participam da realização da mesma.

O objeto da Atividade é a matéria prima com a qual o(s) sujeito(s) da Atividade

começa(m) a atuar para obter um determinado produto. Este objeto pode ser material ou

ideal.

Os motivos da Atividade correspondem as motivações que levam o(s) sujeito(s) a

realizar(em) as ações relacionadas a Atividade.

O objetivo da Atividade é a representação imaginaria dos resultados possíveis de se

alcançar com a realização de uma ação concreta.

O sistema de operações da Atividade consiste dos procedimentos para realizar a

ação para transformar o objeto no produto desejado.

A base orientadora da ação se constitui pela imagem que o sujeito tem da ação que

vai realizar, bem como também da imagem do produto a obter.

Os meios da Atividade são os instrumentos adequados de que se vale o sujeito para

organização e realização da Atividade.

O produto da Atividade é o resultado obtido das transformações sobre o objeto da

Atividade que deve coincidir com objetivo da Atividade.

Agora que já temos conhecimento das características gerais de uma Atividade

analisaremos a Atividade Didática em particular.

Atividades Didáticas

O trabalho docente é percebido por meio da realização de diversas tarefas que

possuem características didáticas. Essas tarefas, de modo simplificado, podem ser vistas

como as seguintes: Planejamento, Organização, Execução do ensino, Aprofundamento,

Revisão, Avaliação e Feedback.

Cada uma dessas tarefas contém sujeito, objeto, motivos, objetivo, sistema de

operações, base orientadora da ação, meios, condições e produto, que são os elementos


148

funcionais de uma Atividade segundo Nuñez e Pacheco (1997) e todas estão relacionadas ao

trabalho didático por este motivo podem ser vistas como Atividades didáticas.

Em virtude do espaço para este trabalho não apresentaremos mais detalhes sobre cada

uma das Atividades Didáticas supra mencionadas. Nos concentraremos na Atividade de

Estudo proposta pelos estudos de Davydov.

A Atividade de Estudo

Os estudos de Davydov, que segundo Sforni (2004) foi orientando de doutorado de

Galperin, relativos à Teoria da Atividade focaram na atividade de estudo. A atividade de

estudo, segundo Querol, Cassandre e Bulgacov, (2014), era considerada por Leontiev como

a Atividade predominante das crianças em idade escolar.

Segundo Reis, Nehring e Breunig (2018), Davydov desenvolveu experimentos

formativos nas áreas de língua russa, matemática e artes por mais de 40 anos. Durante este

tempo as investigações foram centradas na Atividade de Estudo. Para Davydov (1988, p.165)

“O pensamento dos estudantes, no processo da atividade de estudo, de

certa forma, se assemelha ao raciocínio dos cientistas, que expõem os

resultados de suas investigações por meio das abstrações,

generalizações, e conceitos teóricos substantivas, que exercem um

papel no processo de ascensão do abstrato ao concreto.”

Esta posição de Davydov aponta para a necessidade de um trabalho pedagógico que

favoreça a realização de abstração, generalização e conceituação.

Essa interpretação é reforçada quando ainda segundo Davydov(1988, p.166)

“Embora o pensamento das crianças tenha alguns traços em comum

com o pensamento dos cientistas, artistas, filósofos da moral e teóricos

do direito, os dois não são idênticos. As crianças em idade escolar não

criam conceitos, imagens, valores e normas de moralidade social, mas

apropriam-se deles no processo da atividade de estudo. Mas, ao realizar

esta atividade, as crianças executam ações mentais semelhantes às

ações pelas quais estes produtos da cultura espiritual foram

historicamente construídos.”

Esta posição fortalece que a Atividade de Estudo não é uma reprodução do trabalho

dos cientistas, artistas ou filósofos, mas que deve proporcionar momentos de realizações de

ações mentais que contribuem para a realização do trabalho de pesquisadores do ramo do

conhecimento que está sendo trabalhado pedagogicamente.

Ainda segundo o autor em questão temos a seguinte recomendação para a Atividade

de Estudo, no que diz respeito as tarefas/ações realizadas durante a mesma: “[...] a tarefa de aprendizagem é produzida pelos escolares

mediante o cumprimento de determinadas ações, que passamos a enumerar:

transformação dos dados da tarefa a fim de revelar a relação

universal do objeto estudado;

modelação da relação diferenciada em forma objetivada, gráfica ou

por meio de letras;

transformação do modelo da relação para estudar suas propriedades

em “forma pura”;


149

construção do sistema de tarefas particulares que podem ser

resolvidas por um procedimento geral;

controle da realização das ações anteriores;

avaliação da assimilação do procedimento geral como resultado da

solução da tarefa de aprendizagem dada.” Davydov (1988, p.173)

Estas recomendações de Davydov indicam claramente a necessidade de um ensino

que tenha o protagonismo do estudante com a mediação do docente para que o processo de

ensino, aprendizagem e avaliação de um assunto seja bem sucedido.

Sobre as características da Atividade de Estudo, Davydov (1988) destaca que elas

devem solicitar do estudante: análise, dedução e domínio.

Essas solicitações são explicitadas da seguinte maneira:

“A tarefa de aprendizagem que o docente propõe aos escolares

exige deles: 1) a análise do material factual a fim de descobrir nele

alguma relação geral que apresente uma vinculação governada por

uma lei com as diversas manifestações deste material, ou seja, a

construção da generalização e da abstração substantivas; 2) a

dedução, baseada na abstração e generalização, das relações

particulares do material dado e sua união (síntese) em algum

objeto integral, ou seja, a construção de seu “núcleo” e do objeto

mental concreto; e 3) o domínio, neste processo de análise e

síntese, do procedimento geral (“modo geral”) de construção do

objeto estudado.” (Davydov, 1988, p. 170), Grifos nossos.

Davydov (1988) deixa claro que no momento da publicação de seu trabalho não havia

encontrado uma diferenciação precisa entre tarefa e problema. Também afirmou que a Teoria

da Atividade Estudo e a Teoria de Ensino baseada na resolução de problemas tinham muitas

semelhanças, mas que isso não excluía importantes divergências na interpretação do

conteúdo de vários conceitos. Logo o autor não admitia a correspondência entre a Teoria da

Atividade de Estudo e a Teoria de Ensino baseada na resolução de problemas.

Para mais detalhes sobre tarefa e resolução de problemas recomendamos a leitura de

Ponte (2017).

Atividades do Ensino de Matemática

O ensino de matemática pode ocorrer de diversas maneiras. Entretanto, essas maneiras

podem ser divididas em duas grandes categorias:

1) Com o protagonismo exclusivo do docente;

2) Com o protagonismo compartilhado por docente e os estudantes.

Quando o protagonismo é do docente normalmente se dá da seguinte forma:

apresentação de conceito/resultado/regra, seguida de exemplos, propriedades e questões para

serem resolvidas.

Nestes casos não é possível afirmar que está ocorrendo uma Atividade no sentido da

Teoria da Atividade por alguns motivos, entre temos os seguintes:

Não há ação em grupo;

Não há protagonismo de todos os participantes;

Não há um produto como final das ações;

As ações não são mediadas.


150

Quando o ensino acontece com o protagonismo compartilhado entre docente e

estudantes a literatura de Educação Matemática tem registrado diversas possibilidades de

Atividades de Ensino em função dos objetivos ou da participação dos envolvidos todas com

organizações próprias para o seu desenvolvimento.

As maneiras de realizar o ensino de matemática com protagonismo dos estudantes

são denominadas atualmente de Tendências da Educação Matemática. As Tendências em

Educação Matemática no momento registradas em Brasil (1998) são as seguintes: Uso de

Jogos, Resolução de Problemas, Uso da História da Matemática, Uso de Tecnologias e a

Etnomatemática.

A seguir analisaremos a relação entre as Tendências em Educação Matemática a

Teoria da Atividade.

As tendências em Educação Matemática como Atividades

Como já nos referimos anteriormente as atuais Tendências da Educação matemática

são: Modelagem, Uso de Jogos, Etnomatemática, Resolução de Problemas, História da

matemática, Investigação Matemática e Uso de novas tecnologias.

Neste momento apresentaremos quadros relativos à aula dentro de cada tendência da

Educação Matemática no Brasil em comparação com os elementos os elementos funcionais

de uma Atividade segundo Nuñez e Pacheco (1997).

O registro da mediação em cada quadro será omitido devido em todas Tendências

em Educação Matemática o docente explicitamente atua como mediador.

Quadro 2: Elementos da Atividade numa aula de matemática por meio de modelagem

Elemento funcional da

Atividade

Elemento da Atividade na aula com modelagem

matemática

Os sujeitos da atividade Docente e estudantes

O objeto da atividade Conhecimento matemático/ problema ou situação

motivadora.

O motivo Necessidade de obter conhecimentos matemáticos ou

resposta para a situação explorada.

O objetivo Produzir/ analisar um modelo que permita analisar a

situação.

O sistema de operações Ações que são permitidas realizar a partir das

características do fenômeno/ problema motivador.

A base orientadora da ação As informações prévias a respeito do

fenômeno/problema motivador.

Os meios Os recursos disponíveis para a realização da modelagem.

As condições As relações que regem as informações referentes ao

fenômeno/problema em estudo.

O produto O modelo produzido/ análise do modelo

Fonte: Criação e adaptação a partir de Nuñez e Pacheco (1997)

A análise do Quadro 2 mostra que todos os elementos funcionais de uma Atividade

são encontrados na modelagem matemática em Educação Matemática. Isto permite

considerar que as aulas de matemática que usam a modelagem matemática como opção

metodológica atendem a todas as condições de uma Atividade de um modo geral e em


151

particular de uma Atividade de Estudo. Como consequência pode receber a justa

denominação de Atividade de modelagem. Deste modo podemos de maneira coerente

afirmar que durante uma aula em que se utiliza a modelagem matemática está se realizando

uma Atividade de Modelagem, como realizado por Braga (2015).

O Quadro 3 a seguir é relativo ao uso de Investigação Matemática nas aulas de

matemática.

Quadro 3: Elementos da Atividade numa aula de matemática por meio de Investigação


Atividade

Elemento da Atividade na aula de matemática por

investigação matemática

Os sujeitos da atividade Docente e estudantes.

O objeto da atividade Conhecimento matemático.

O motivo Necessidade de obter conhecimentos matemáticos.

O objetivo Produzir/analisar/validar conjecturas


características da situação analisada.

A base orientadora da ação As informações prévias a respeito da situação.

Os meios Os recursos disponíveis para a realização da investigação.

As condições As relações que regem as informações referentes a

situação.

O produto Conjectura/Conclusões válidas produzidas por meio da

investigação.

Habilidades desenvolvidas durante a investigação.


A análise do Quadro 3 permite perceber que todos os elementos funcionais da

Atividade são encontrados nas aulas de matemática com uso de Investigação matemática,

por este motivo é acertado denominar esse processo pedagógico de ensinar de Atividade de

Investigação com foi denominado por Varandas e Nunes (1999).

O Quadro 4 a seguir é relativo ao uso de jogos nas aulas de matemática e os elementos

funcionais da Atividade.


152

Quadro 4: Elementos da Atividade numa aula de matemática por meio de jogos

Elemento funcional da teoria da

atividade

Elemento da Atividade na aula de matemática

com jogos



O motivo Necessidade de obter ou aprofundar aspectos/

habilidade relacionadas ao conhecimento

matemático.

O objetivo Participar de jogo com conteúdo matemático

O sistema de operações Ações que são permitidas realizar a partir das regras

do jogo utilizado.

A base orientadora da ação As informações oriundas das regras do jogo.

Os meios Os recursos disponíveis para a realização do jogo.

As condições As relações que regem as informações e os materiais

referentes ao jogo.

O produto Desenvolvimento de uma habilidade matemática.

Conhecimento matemático obtido.



Atividade são encontrados nas aulas de matemática com uso de jogos. Os jogos são muito

comumente denominados de Atividade Lúdica, o que é também uma maneira adequada de

denominar tal tipo de Atividade no âmbito da Educação Matemática.

Vejamos agora o Quadro 5 relativo ao uso da História da Matemática nas aulas de

matemática.

Quadro 5: Elementos da Atividade numa aula de matemática com uso da História


teoria da atividade

Elemento da Atividade na aula de matemática com

uso da história da matemática



motivadora.


O objetivo Oportunizar acesso a conhecimento matemático


características do fenômeno/ problema motivador.

A base orientadora da ação As informações prévias a respeito da situação

apresentada.

Os meios Os recursos disponíveis para a realização da atividade.

As condições As relações que regem as informações referentes a

situação apresentada.

O produto Conclusões produzidas durante a realização da atividade.

Habilidades desenvolvidas durante a realização da

atividade



153


Atividade são encontrados nas aulas de matemática com uso da História da matemática, por

este motivo é acertado denominar esse processo pedagógico de ensinar matemática de

Atividade Histórica como fez Mendes (2001).

A literatura registra diversos trabalhos que abordam os possíveis usos da resolução

de problemas (objetivo, processo e ponto de partida) durante o processo de ensino e

aprendizagem de matemática, entre eles Sá (2005, 2006, 2008 e 2009) e Allevato e Onuchic

(2009). O Quadro 6 a seguir serve para todas abordagens da Resolução de Problemas no

ensino de matemática.

Quadro 6: Elementos da Atividade em aula de matemática por meio da Resolução de

Problemas

Elemento Funcional da

Atividade

Elemento da Atividade em aulas de matemática por

Resolução de Problemas



motivadora.


O objetivo Resolver problema(s), desenvolver habilidade especifica ou

introduzir conteúdo.

O sistema de operações Ações que são permitidas realizar as informações oriundas

do(s) problema(s).

A base orientadora da ação As informações a respeito das informações e elementos do(s)

problema(s).

Os meios Os recursos disponíveis para a realização da resolução do(s)

problema(s).

As condições As relações que regem as informações referentes ao

fenômeno/problema em estudo.

O produto A solução do problema;

Domínio de uma técnica de resolução de problema ou

formalização de conteúdo especifico.



são encontrados na aula realizada com uso da Resolução de Problemas como alternativa

metodológica do processo de ensino e aprendizagem. Isto permite considerar que quando se

usa a Resolução de Problemas em aula de matemática todos os elementos funcionais da

Atividade de Estudo estão presentes o que caracteriza essas aulas com tal tipo de Atividade.

Vejamos agora o Quadro 7 relativo ao uso da Etnomatemática nas aulas de

matemática.


154

Quadro 7: Elementos da Atividade numa aula de matemática por meio da Etnomatemática


Atividade

Elemento da Atividade na aula por meio da

Etnomatemática




O objetivo Oportunizar o acesso a conhecimento matemático a partir das

práticas sociais de uma comunidade.

O sistema de operações Ações que são permitidas realizar a partir das características da

prática social analisada.

A base orientadora da

ação

As informações prévias a respeito da prática social em análise

e do conteúdo matemático envolvido.

Os meios Os recursos disponíveis para a realização das ações.

As condições As maneiras possíveis de realizar ações dentro dos limites da

prática social envolvida no estudo.

O produto Resultados obtidos como consequência do estudo da prática

social.



são encontrados na aula realizada com uso da Etnomatemática como abordagem

metodológica do processo de ensino e aprendizagem. Isto permite considerar que quando se

usa a Etnomatemática em aula de matemática todos os elementos funcionais da Atividade

de Estudo estão presentes o que caracteriza que essas aulas são desenvolvidas por meio de

uma Atividade Etnomatemática.

Vejamos agora o Quadro 8 relativo ao uso da tecnologia nas aulas de matemática.

Quadro 8: Elementos da Atividade numa aula de matemática com uso de Tecnologia


Atividade

Elemento da Atividade na aula da matemática com uso de

tecnologia




O objetivo Oportunizar o acesso a conhecimento matemático por meio

do auxílio de ferramentas tecnológicas.

O sistema de operações Ações que são permitidas realizar a partir das características

da ferramenta tecnológica que está sendo utilizada.

A base orientadora da

ação

As informações prévias a respeito da ferramenta(s)

tecnológica(s) e do conteúdo matemático envolvido.

Os meios Os recursos tecnológicos disponíveis para a realização das

ações.

As condições As maneiras possíveis de realizar ações com a ferramenta

tecnológica/recurso tecnológico disponível.

O produto Resultados obtidos com o uso da ferramenta.



são encontrados na aula realizada com uso de Tecnologia. Isto permite considerar que a


155

Tendência em Educação Matemática do uso Tecnologia em aula de matemática pode ser

considerada como uma genuína Atividade no sentido da Teoria da Atividade de um modo

geral e da Teoria da Atividade de Estudo.

Como podemos observar as aulas baseadas nas Tendências da Educação Matemática

Brasileira satisfazem os requisitos funcionais de uma Atividade de Estudo. O que mostra

que quando saímos do modo expositivo de ministrar aulas de matemática e utilizamos uma

das Tendências atuais da Educação Matemática estamos fazendo uso dos elementos

funcionais da Atividade de Ensino, em concordância com os estudos de Davydov e seus

seguidores.

As Atividades Experimentais

A literatura sobre Educação Matemática registra um tipo de aula com protagonismo

compartilhado por docentes e estudantes que não se caracteriza como nenhuma das

Tendências supra mencionadas, mas que também possui os elementos funcionais de uma

Atividade. Essa estratégia metodológica tem como característica ser a aula desenvolvida por

meio da realização de tarefas experimentais, elaboradas e acompanhadas pelo docente, com

o objetivo de levar o estudante ao encontro com um conhecimento matemático específico

após a execução de tarefas, registro de resultados, análise e reflexões sobre os resultados

obtidos culminando com a sistematização do conteúdo.

Em Sá (2019) esse processo de ensino de matemática foi denominado somente de

Ensino de Matemática por Atividade. Entretanto, com base nas considerações apresentadas

no presente texto julgamos mais adequado denominar a referida alternativa metodológica de

Ensino de Matemática por Atividades Experimentais, para assim diferenciar das demais

Atividades realizadas pelas outras Tendências em Educação Matemática consideradas neste

trabalho.

Desse modo podemos afirmar que o ensino de matemática por atividade

experimental é um processo didático desenvolvido por meio da realização de tarefas,

envolvendo material concreto ou ideias, elaboradas pelo professor com objetivo de levar

estudantes ao encontro com um conhecimento/conteúdo matemático especifico após a

realização da tarefa, do registro de resultados, análise e elaboração de reflexões sobre os

resultados obtidos que culmina com a sistematização ou institucionalização de um conteúdo

matemático.

A partir das considerações anteriores podemos admitir que as Atividades

Experimentais para o ensino de matemática podem ser classificadas sob diversos aspectos

que podem ser desde a natureza da participação do estudante até o objetivo da mesma. Em

suma o que Sá (1999 e 2019) denominou somente de Atividade doravante denominaremos

de Atividade Experimental.

Segundo Sá (1999) quanto a participação a atividade pode ser realizada por meio da

ação ou por meio da observação, principalmente quando houver manipulação de objetos

frágeis ou perigosos durante a realização das tarefas da atividade.

Em Sá (2019) encontramos a classificação das Atividades Experimentais em função

do objetivo da mesma gerando duas possibilidades de Atividades Experimentais: as de

conceituação e as de redescoberta.


156

Devido a Atividade Experimental no ensino de matemática não ter sido discutida na

literatura, achamos procedente apresentar uma explicação mais minuciosa de como uma

Atividade Experimental é realizada.

Segundo Sá (2019) uma aula de matemática por meio de Atividade Experimental de

conceituação ou de redescoberta tem os seguintes momentos: organização, apresentação,

execução, registro, análise e institucionalização.

No momento da organização a turma deve ser, preferencialmente, organizada em

equipes com no máximo 4 estudantes e no mínimo 2, tal quantidade é fruto da nossa

experiencia com o ensino por Atividades Experimentais que indica uma tendência a

dispersão quando o número de participantes é superior a quatro. Mas pode também ocorrer

de forma individual o que não é recomendável por não estimular a troca de ideias que é

fundamental para o processo de aprendizagem. Esta organização deve ser preferencialmente

espontânea

O docente deve dirigir as ações, orientar a formação das equipes sem imposições,

demonstrar segurança e que planejou com cuidado as tarefas da Atividade Experimental e

evitar que os estudantes desperdicem tempo com ações alheias a organização da turma.

Durante o momento da apresentação da Atividade Experimental compete ao docente

distribuir o material necessário para a realização das tarefas da Atividade Experimental

incluindo o roteiro da mesma. O roteiro pode ser impresso ou disponibilizado no quadro o

que vai depender das condições estruturais da escola. Para Atividades Experimentais com

procedimento mais longo é preferível que o roteiro seja disponibilizado de forma escrita para

economizar tempo.

Esse material deve estar organizado em kits para facilitar a distribuição do material.

Este cuidado evita o desperdício de tempo. O esperado por parte dos estudantes é a atenção

às orientações apresentadas.

O momento da execução corresponde à etapa da experimentação quando o

pesquisador manipula os materiais, realiza medidas e/ou cálculo, compara e/ou observa.

Neste momento, numa aula por Atividade Experimental, espera-se que cada equipe realize

os procedimentos estabelecidos como tarefa.

O docente neste momento deve deixar as equipes trabalharem livremente,

supervisionar o desenvolvimento das ações e auxiliar nas dúvidas, quando solicitado ou

perceber dificuldade de execução, que possam surgir em cada equipe no ocorrer da

realização do procedimento.

Os estudantes neste momento devem procurar seguir as instruções previstas no

roteiro da Atividade Experimental, sem conversas paralelas ou atenção para assuntos alheios

a atividade. Também devem evitar deixar o grupo ou ficar visitando outros grupos.

Eles devem ter a oportunidade de agir para obter os resultados buscados, mas também

de receber orientações cuidadosas quando tiverem dificuldades ou duvidas para realizar

alguma ação prevista. As orientações devem ser claras e precisas para permitir o

prosseguimento da Atividade Experimental sem constrangimento dos executores.

Quando um questionamento ou dúvida evidenciar que sua origem é fruto de uma

falha das orientações contidas no procedimento ou da confecção do material a ser utilizado

o docente deve imediatamente socializar com a turma o fato e apresentar uma orientação que

contorne o ocorrido e permita o prosseguimento da Atividade Experimental, se possível.

Esse tipo de situação pode evitado com um planejamento cuidadoso.


157

O momento do registro corresponde ao momento da sistematização das informações

na pesquisa cientifica. Neste momento espera-se que cada equipe registre as informações

obtidas durante a execução dos procedimentos no respectivo espaço destinado no roteiro.

O docente durante a realização do registro deve supervisionar o desenvolvimento das

ações e auxiliar dirimindo as eventuais dúvidas que possam ocorrer durante o processo. O

ideal é que o roteiro da Atividade Experimental contenha espaço adequado para o registro

das informações produzidas durante o momento da execução. Isto facilita o registro e evita

o gasto de tempo desnecessário neste momento.

Neste momento da análise espera-se que cada equipe analise as informações que

foram registradas e descubram uma relação válida entre as informações. Este momento é

crucial para o alcance do objetivo da Atividade Experimental devido ser o momento em que

os estudantes deverão ter o primeiro acesso à informação desejada pelo docente.

Quando durante a análise alguma equipe apresentar dificuldade para perceber uma

relação válida a partir das informações registradas o docente deve auxiliar a equipe por meio

da formulação de questões que auxiliem os membros da mesma a perceberem uma relação

válida. O momento da análise corresponde a análise dos resultados de uma pesquisa

cientifica. Este momento deve ser concluído com a elaboração de uma conclusão pela

equipe.

A institucionalização é o momento em que será produzida a conclusão oficial da

turma a partir das conclusões que cada equipe elaborou no momento da análise. O momento

da institucionalização corresponde grosso modo ao momento da elaboração das

considerações finais de um trabalho cientifico. O enunciado elaborado na primeira Atividade

Experimental realizada por uma turma sem experiencia com esta forma de ensino costuma

não atender as condições de um texto de natureza conclusiva. É comum os estudantes

reproduzirem na conclusão a relação obtida no momento da análise. Isto não é motivo de

grandes preocupações devido ser uma consequência da pouca experiência dos aprendizes em

participarem de aulas em que lhes é solicitado que realizem observações, registro e análise

de informações e a elaboração de textos conclusivos.

O docente, independente do formato das conclusões elaboradas pelas equipes, deve

solicitar que um representante de cada equipe vá ao quadro e registre a conclusão elaborada

pela sua equipe. Após analisar as conclusões registradas o docente deve perguntar as equipes

quais das conclusões apresentadas permitem a alguém que não participou da atividade

entender relação estabelecida. Este momento é oportuno para que o docente teça

considerações sobre as características de uma conclusão. Finalmente o docente pode elaborar

junto com a turma uma conclusão que permita a alguém que não participou da Atividade

Experimental entender relação estabelecida.

A conclusão que foi elaborada em conjunto com a turma será denominada de

conclusão da turma. Se for possível é positivo elaborar um registro pictórico da conclusão

produzida ou mesmo elaboração de uma representação com símbolos matemáticos da

conclusão.

Além disso, é importante destacar aos estudantes que não foi realizada uma

demonstração do resultado concluído e que existem técnicas específicas para a demonstração

do resultado encontrado. Se for possível é recomendável apresentar a demonstração do

resultado se existir uma demonstração ao alcance do entendimento dos estudantes,

principalmente no ensino médio e no fim do ensino fundamental.


158

Com a elaboração da conclusão da turma chega ao fim o momento da

institucionalização e da atividade experimental também.

Vejamos os elementos funcionais da Atividade na aula de Matemática por

Atividade Experimental.

Quadro 9: Elementos da Atividade em aula de matemática por Atividade Experimental


Atividade

Elemento da Atividade na aula Experimental de

Matemática



O motivo Necessidade de ensinar/aprender conhecimentos

matemáticos.

O objetivo Oportunizar o acesso a conhecimento matemático.

O sistema de operações Ações que são permitidas realizar a partir do

procedimento e dos materiais disponíveis para aula.

A base orientadora da ação As informações prévias a respeito dos materiais

disponíveis e do conteúdo matemático envolvido.

Os meios Os recursos disponíveis para a realização das ações.

As condições As regras de utilização do material do experimento.

O produto Conclusão/ conceituação obtida.


Como a aula experimental de Matemática não se caracteriza como nenhuma das

Tendências da Educação Matemática anteriormente referidas julgamos adequado incluir

doravante o Ensino de Matemática por Atividades Experimentais como uma das Tendências

da Educação Matemática.

Segundo Sá (2019) as Tendências não são incompatíveis entre sim e nem conflituosas

com o ensino de Matemática por Atividade Experimental.

Na oportunidade é importante destacar que o ensino de matemática por Atividade

Experimental:

1) Não deve ocorrer de forma improvisada;

2) Não dispensa a participação ativa do docente durante a sua realização;

3) Não deve ser utilizado após se ministrar exposição sobre o conteúdo;

4) Não deve ser utilizado para verificar a validade de um resultado já estudado;

5) Não dispensa do docente o conhecimento do assunto a ser trabalhado;

6) Não deve ser utilizado como reforço de assunto explorado.

Estas observações sobre o ensino de matemática por Atividades Experimentais são

concordantes com as características do ensino de matemática por Atividade apresentado em

Sá (2019) que são as seguintes:

1) É diretivo;

2) Tem compromisso com o conteúdo;

3) Tem compromisso com o desenvolvimento de habilidades para além do

conteúdo;

4) É estruturado;

5) É sequencial;

6) Não está necessariamente associado à resolução de problemas;


159

7) Leva em consideração os conhecimentos prévios dos estudantes;

8) Os resultados são institucionalizados ao final da Atividade Experimental;

9) Não dispensa a participação ativa do docente;

10) É adequado para formação de conceitos e acesso a resultados operacionais ou

algorítmicos;

11) É iterativo entre estudantes e docente.


Os resultados apresentados neste trabalho nos permitem concluir que as aulas que

são realizadas com base nas atuais Tendências da Educação no Brasil possuem os elementos

funcionais de uma Atividade, em particular da Atividade de Estudo proposta por Davydov.

Os resultados também permitem reconhecer que além das atuais Tendências da

Educação Matemática brasileira há uma outra que denominamos de Ensino por Atividades

Experimentais, que tem características que as permitem se distinguir das demais Tendências

de Educação Matemática.

Assim de maneira consciente ou não quando se usamos uma das atuais Tendências

da Educação Matemática se tem como suporte teórico a Teoria da Atividade, em particular

da Atividade de Estudo.

Em continuidade ao presente estudo se faz necessário estudos que respondam as

seguintes questões, entre outras: a) Quais as aproximações e distanciamentos entre as

Atividades realizadas pelas Tendências em Educação Matemática? b) Qual a diferença em

tempo da lembrança de resultados estudados por Atividades Experimentais e pelo ensino

expositivo? c) Quais os efeitos do ensino de matemática por Atividades Experimentais sobre

a autoestima escolar dos estudantes? d) Qual é a aceitação dos estudantes ao ensino por

Atividades Experimentais ao longo de sua escolarização? e) Como o ensino de matemática

por Atividades Experimentais influencia na capacidade de produzir textos conclusivos dos

estudantes? e f) Como o ensino de matemática por Atividades Experimentais pode ser

utilizado na Formação Inicial de Professores dos Anos Iniciais do Ensino Fundamental?

As respostas as questões propostas trarão para a Educação Matemática mais solidez

no quesito fundamentação e no quesito articulação entre articulação entre as Tendências da

Educação Matemática no trabalho pedagógico.

Para finalizar registramos que também se faz necessário para apoiar a pesquisa e o

trabalho docente que sejam criados centros de referencia como o de Modelagem Matemática

e o de História da Matemática para que o acesso aos trabalhos de cada tendência que se

avolumam cada vez mais sejam mais facilmente localizados pelos pesquisadores e docentes

interessados em alguma da Tendências da Educação Matemática.

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Pedro Franco de Sá

DMEI, GCEM, PPGED, PMPEM-UEPA e REAMEC




https://orcid.org/0000-0002-8986-2787




Resolução de problemas e expressões numéricas: o quadro dos quatro

quatros e o nunca dois e números binários

Problem solving and numerical expressions: the table of four fours and

never two and binary numbers


Universidade Federal do Sul e Sudeste do Pará - UNIFESSPA


Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho” - UNESP

RESUMO

Este artigo tem como objetivo apresentar os recursos didáticos O Quadro dos Quatro Quatros e o

Nunca Dois e Números Binários, que podem contribuir na resolução de problemas que recaem em

expressões numéricas e sua funcionalidade. Os recursos são provenientes de um projeto de

extensão desenvolvido no Laboratório de Ensino de Matemática na UNIFESSPA, em 2015, e, de

uma atividade de ensino realizada com uma turma de Pedagogia na UNESP-Campus de Bauru, em

2019. Os recursos são caracterizados como de manipulativos e inclusivos. Como fundamentação

teórica, se utilizou os estudos de Sternberg (2008) sobre os passos do Ciclo da solução de

problemas e os obstáculos de Configuração Mental. Observamos que estas atividades de ensino se

mostram como importantes aliadas para o estímulo do raciocínio lógico e desenvolvimento de

estratégias, apreensão e direcionamento para o uso correto dos sinais de operação e sinais de

associação, e da mudança de base entre números binários e decimais.

Palavras-chave: Quadro dos Quatro Quatros. Nunca Dois e Números Binários. Expressões

Numéricas, Resolução de Problemas.

ABSTRACT

This article aims to present the teaching resources The Framework of the Four Fours and the Never

Two and Binary Numbers, which can contribute to the resolution of problems that fall into

numerical expressions and their functionality. The resources come from an extension project

developed at the Mathematics Teaching Laboratory at UNIFESSPA, in 2015, and from a teaching

activity carried out with a Pedagogy class at UNESP-Campus de Bauru, in 2019. The resources are

characterized as manipulative and inclusive. As a theoretical basis, the studies of Sternberg (2008)

on the steps of the Cycle of problem solving and the obstacles of Mental Configuration were used.

We observed that these teaching activities are shown to be important allies for the stimulation of

logical reasoning and development of strategies, apprehension and direction for the correct use of

the operation signals and association signs, and of the change of base between binary and decimal

numbers.

Keywords: The Framework of the Four Fours. Never Two and Binary Numbers. Numerical

Expressions. Resolution of Problems.


164

Introdução

É sintomático e notório no Brasil que grande parte dos alunos ao chegarem nos

anos finais do Ensino Fundamental (6º ao 9° ano) apresentam dificuldade na aprendizagem

da matemática, e, particularmente, em aritmética, que age como “efeito cascata”, tendo

como consequência, o baixo desempenho também na aprendizagem de álgebra e

geometria.

Diversas são as pesquisas e estudos voltados para encontrar explicações para tal

comportamento na aprendizagem, a considerar as dificuldades dos alunos na resolução de

problemas de matemática (CURY, DA SILVA (2008); MOURA (2007); PIROLA (2000)).

Outra frente, busca ainda, nesse sentido, produzir recursos, métodos, didáticas e

pedagogias que deem conta de munir professores para que os alunos tenham prazer em

aprender matemática.

Incentivar os alunos em olimpíadas matemáticas, como é o caso da Olimpíada

Brasileira de Matemática nas Escolas Públicas (OBMEP) que atinge todas as unidades da

federação brasileira, quase 100 por cento dos municípios, segundo dados da página oficial

da OBMEP, é um passo importante para incentivar os alunos e detectar novos talentos em

matemática. Em 2019 houveram 18.158.775 alunos inscritos na primeira fase, e destes,

apenas 55671 tiveram alguma premiação, 0,31% dos inscritos, dos quais 579 ganharam

medalha de ouro, um número nada animador.

Há muito ainda a ser feito, mas estamos na direção certa. Em 2018 foi anunciado

pelo Instituto de Matemática Pura e Aplicada (IMPA) a entrada do Brasil no grupo dos dez

países do mundo que mais desenvolvem pesquisa matemática, refletido na medalha Fields,

considerado o Nobel da matemática, concedida ao brasileiro Arthur Ávila, em 2014, um

fator inspirador para alunos e professores.

Neste artigo serão apresentadas duas atividades, a saber: O Quadro dos Quatro

Quatros, e, o Nunca Dois e os Números Binários. Ambos, tem a pretensão de se posicionar

como atividade relacionada à resolução de problemas e expressões numéricas, visando

auxiliar no desenvolvimento cognitivo, ao que se refere a capacidade de pensar e

compreender, e ao raciocínio lógico, voltado à estruturação de um pensar consciente e

organizado, de forma criativa e descontraída.

Resolução de problemas

Resolver problema é o que fazemos o tempo todo, observamos, analisamos,

erramos, buscamos outros caminhos, levantamos argumentos, selecionamos as variáveis,

determinamos o melhor método, testamos, validamos, e tomamos uma decisão. É claro,

que nem sempre nos utilizamos de todos esses processos, entre outros, ou mesmo,

percebemos que nossa memória executa uma série de passos para resolver um problema,

dada a velocidade com que processa as informações coletadas. Ora, mas se resolvemos

problemas o tempo todo, como é possível a resolução de problemas, em particular os de

matemática, ser um dos maiores desafios na aprendizagem escolar? Eis um problema

difícil de se resolver, mas não por falta de interesse da academia. Um dos grandes

implicadores para a solução deste problema, está na complexidade, diversidade e


165

desigualdade social ainda muito presente no Brasil, o que pode desmotivar os alunos e

afetar a forma como resolvem problemas, ou mesmo, não conseguindo fazê-lo

(ZIMMERMAN e CAMPILHO, 2003 apud STERNBERG, 2008).

Segundo Sternberg (2008) só estamos diante de uma resolução de problema se sua

solução não for facilmente recuperada pela memória. Assim, se estivermos diante de um

problema a ser resolvido propõe passos do Ciclo da Solução de Problema, onde destaca a

identificação do problema, sua definição, a estratégia para sua formulação, a organização

da informação, a alocação de recursos (tempo, dinheiro, equipamento, espaço, mente), o

monitoramento e a avaliação, como pode ser visto na figura 1.

Em um problema matemático hipotético, estes passos podem ser entendidos da

seguinte maneira: Identifiquei o problema (1), é sobre produção de gado; defino (2) como

um problema algébrico a ser representado como um sistema linear; a estratégia (3) é

analisar o problema para determinar as variáveis e suas condições de existência; organizo

(4) as variáveis em forma de equações e uso as três operações, ou transformações

elementares no processo de solução; a depender do número de variáveis, mais ou menos

tempo (5), levarei para resolver o problema, devido ao número de operações envolvidas,

caso esteja muito demorado, retorno ao passo (4); monitoro (6) todos os dados e decisões

tomadas até o momento no processo de solução e, em caso de algum erro ser detectado,

retorno para o passo (3) ou (4) e busco outros procedimentos; e finalmente, me acerco (7)

de que tudo saiu como planejado e se convergiu a solução do problema. Resolvido o

problema, poderá usar procedimentos semelhantes para novos problemas e inicia-se um

novo ciclo de solução.

Figura 1: Passos do Ciclo da Solução de Problemas

Fonte: Sternberg (2008).

No processo de resolução de problemas Sternberg (2008) destaca alguns obstáculos

denominados de Configuração mental (CM), baseada em modelos de resolução pré-


166

existentes. O entrincheiramento é um tipo de CM que se dá quando se insiste em um

modelo que resolve vários problemas, mas não um problema específico. A fixação

funcional e a incapacidade de perceber que algo que se sabe para resolver um problema

possa resolver outros problemas. Outra CM que chama bastante atenção e se configura

como um aspecto da cognição social é a do estereótipo, crenças de que, pertencer a um

certo grupo social pode determinar suas características, a exemplo, um aluno da periferia

que estuda em escola pública, teria menos condições de resolver um determinado problema

do que um aluno de classe alta que estuda em uma escola privada.

É importante ressaltar que cada problema pode apresentar formas ou procedimentos

diferentes para serem resolvidos, dado que um mesmo problema pode ser entendido de

forma diferente e assim gerar soluções diferentes, e mesmo assim, chegando-se ao mesmo

resultado.

Expressão numérica

As expressões numéricas é um daqueles casos em que o aluno faz o seguinte

questionamento ao Professor “Para que serve isto?”, “Como vou usar no meu dia a dia?”,

ou exclama frases como “É muito símbolo misturado”. Em geral as expressões numéricas

são trabalhadas em sala de aula para se exercitar as operações de adição, subtração,

multiplicação, divisão, potência e radiciação. No entanto, elas são muito mais do que isto,

são representações de situações reais, em aplicações nas diversas áreas do conhecimento.

Por exemplo, quando escrevemos a equação de Torricelli desenvolvida a partir da

junção da função horária da velocidade com a função horária da posição para o movimento

uniformemente variado (MUV), ou seja, um movimento que ocorre em linha reta e com

aceleração constante, obtemos a seguinte equação:

, onde V é a velocidade

final, a velocidade inicial, a variação do espaço, S medida do espaço final e

medida do espaço final.

Assim, se quisermos determinar o valor de V, basta substituir os valores de

, resultando em uma expressão numérica, que resolvida resulta o valor

de V. Desta forma, as expressões numéricas pode ser definida como uma representação

simbólica de um problema a ser resolvido. Para além desta questão, podem servir, entre

outros, para o professor observar e avaliar a competência do aluno com relação as

operações aritméticas.

Em termos gerais as expressões numéricas são conjuntos de números e operações

matemáticas com ordem bem definida. As operações envolvidas em expressões numéricas

são as básicas: adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação, e os

sinais de associação parênteses, colchetes e chaves.

Com relação as operações, seguem a seguinte ordem de prioridade: 1º as

potenciações ou as radiciações, 2º Multiplicações ou divisões e, 3º Adições e subtrações.

Essas operações podem ser feitas em qualquer ordem dentro de suas prioridades.

Nas expressões numéricas algumas operações são colocadas com maior prioridade

do que outras. Essa prioridade é dada pelo uso de sinais de associação do seguinte modo:

1º as operações dentro dos Parênteses, 2º as que estiverem nos Colchetes, 3º as que


167

restarem dentro das Chaves, e 4º realizar as operações que restarem fora das chaves.

Ressalta-se que não necessariamente as expressões numéricas precisam ter sinais de

associação, bem como há ocasiões nas quais só aparecem parênteses, ou parênteses e

colchetes, ou os três sinais de associação.

Com relação aos sinais de associação, seu uso é uma convenção aceita por toda

comunidade matemática, embora, esta associação possa ser feita unicamente com o uso de

parênteses, ao modo como realizam as calculadoras científicas.

Na sequência apresentaremos as atividades de ensino O Quadro dos Quatro Quatros

e o Nunca dois e Números Binários e seus procedimentos de produção e uso didático.

O Quadro dos Quatro Quatros

Esta atividade é um dos resultados do projeto de extensão intitulado “Leitura e

Matemática: histórias de Malba Tahan e sua potencialidade como Material Curricular

Educativo na formação inicial e continuada de professores que ensinam Matemática”,

financiado pela Pró-Reitoria de Extensão da Universidade Federal do Sul e Sudeste do

Pará, que objetivou produzir recursos didáticos educacionais, com propósito de auxiliar e

estimular a leitura na formação inicial e continuada de professores que ensinam

matemática, de modo que tais recursos sejam significativos na aprendizagem para melhoria

da prática pedagógica docente.

O recurso foi idealizado para se trabalhar expressões numéricas com alunos do 6º

ao 9º ano do ensino fundamental, mas pode ser utilizado, a depender da aplicação, com

alunos do Ensino Médio e como desafio para alunos do ensino superior, em particular de

cursos de Matemática. Tem como objetivo geral compreender o uso das regras das

expressões numéricas manipulando quatro quatros (4 4 4 4). A partir deste objetivo o

Professor se assim o quiser, pode adaptar outros objetivos específicos, a depender de sua

intenção didática.

O recurso se compõe de um quadro pequeno (60x40 sugestão!) com fundo em

feltro, números de 0 a 10, confeccionados em 3 quantidades cada, sinais de operação e

sinais de associação, também em quantidade de 3 cada, todos em material EVA com

pequeno velcro colado na parte de trás para pregar no quadro, conforme se pode visualizar

na figura 2. A participação dos alunos na produção do material pode ajudar a despertar

interesse pelo recurso. O objetivo desse material é que o aluno consiga escrever com

quatro quatros expressões numéricas utilizando os sinais de operação de adição, subtração,

multiplicação, divisão, raiz quadrada, e sinais de associação parênteses, colchetes e chaves.

Em alguns desafios, de números acima de 10 podem aparecer ainda o fatorial e log na

expressão. Uma extensão da atividade é propor a elaboração de expressões que resultem

em números de 11 a 100, usando os quatro quatros.


168

Figura 2: O quadro dos quatro quatros

Fonte: Santos e Soares (2015).

O recurso pode ser classificado como manipulativo, o que lhe permite ser inclusivo,

visto que não se limitados a uma parte apenas dos alunos. No caso de alunos cegos ou de

baixa visão Ferreira e outros (2010, p.167), mencionam que “O ensino da Matemática de

maneira geral fica disperso e inconsistente se não adotar meios de ‘visualização’ de

gráficos, equações, figuras geométricas”. Deixando, em caso contrário, por exemplo,

alunos cegos, ou de baixa visão, excluídos, pois, o tato é um dos principais meios de

“visualização” deles e algumas vezes apenas ouvir o professor não é insuficiente para tratar

de operações que demandam uso intensivo da memória. Neste sentido, Mollossi (2013) diz

que ensinar matemática a esses estudantes necessita um fazer pedagógico que ultrapassa a

apresentação oral de conteúdos, sendo indispensável encorajá-los no uso dos sentidos

remanescentes para que possam adquirir conhecimentos matemáticos.

A atividade foi produzida com base a uma adaptação do texto “Os quatro quatros”

do livro o Homem que Calculava de Malba Tahan (1995). Vejamos uma parte do texto:

Ao ver Beremiz interessado em adquirir o turbante azul, objetei:

- Julgo loucura comprar esse luxo. Estamos com pouco dinheiro e ainda não

pagamos a hospedaria.

- Não é o turbante que me interessa – retorquiu Beremiz. – Repare que a tenda

desse mercador é intitulada “Os Quatro Quatros”. Há nisso tudo espantosa

coincidência digna de atenção.

- Coincidência? Por quê?

- Ora bagdali – retorquiu Beremiz -, a legenda que figura nesse quadro recorda

uma das maravilhas do Cálculo: podemos formar um número qualquer

empregando quatro quatros! (TAHAN, p. 28-29, 1995)

A partir daí o texto mostra o personagem Beremiz Samir formando números de 0 a

10 com quatro quatros. Nossa sugestão é que o professor comente sobre o livro e sua

importância para o ensino de Matemática, faça a leitura até onde vai a citação. Em seguida,

apresenta os desafios de compor expressões numéricas com os quatro quatros. A resolução

dos problemas propostos requer bastante atenção, momento no qual o professor pode

colocar em prática o Ciclo da Solução de problemas proposto por Sternberg. Na figura 3


169

são apresentadas algumas sugestões de formar expressões que representem números de 0 a

10 com os quatro quatros.

Figura 3: formando números de 0 a 10

Fonte: Santos (p. 34, 2017).

Sugestão de atividades

Para esta atividade, recomenda-se o uso de dois quadros:

1ª momento: O professor inicia a aula informando que se trata de expressões numéricas,

mas que envolverá apenas quatro quatros (4 4 4 4), sinais de operação (+, -, x, ÷ e √) e

sinais de associação ( ), [ ] e { };

2º Momento: O professor conta a história dos quatro quatros, informando que se trata de

uma história do Livro O homem que Calculava. O professor pode abrir o livro e ler a

história até a parte em que o personagem principal gera expressões que resultem nos

números 0 e 1 com os quatro quatros como motivação;

3º momento: A partir da história contada, o professor sugere aos alunos com auxílio do

Quadro dos Quatro Quatros que formem expressões que representem números de 2 até o

número 10, podendo ser feita individualmente ou em grupo;

4º momento: Separar algumas duplas e escrever no quadro dos quatro quatros, uma

expressão que forme um número inteiro dado. Vence a dupla que conseguir realizar a

atividade primeiro;

5º momento: Deixar que produzam no Quadro dos Quatro Quatros expressões e vejam

que número será formado.

Os desafios apresentados, são problemas que vão demandar estratégias, raciocínio

lógico, atenção, paciência e momentos de retorno para buscar outras estratégias.

Nunca dois e Número binário


170

Esta atividade foi desenvolvida para se trabalhar números binários com uma turma

de pedagogia da UNESP Campus de Bauru, no segundo semestre de 2019. O objetivo da

aula foi apresentar a história dos números binários, mostrar a sua composição e ensinar a

mudança de base de binário para decimal e de decimal para binário.

Em se tratando de um curso que forma professores que vão, entre outras, ensinar

matemática nos anos iniciais do Ensino Fundamental, levantou-se a preocupação de como

os professores poderiam abordar o assunto com alunos do 5º ano, em particular, com

relação a mudança de base.

Assim, o recurso proposto tomou como base o jogo Nunca dez, desenvolvido para

ajudar os alunos a compreender o sistema de numeração decimal, sendo com frequência

trabalhado com materiais de contagem como o material dourado e o ábaco.

Ao usar o material dourado a regra é que nunca se poderá acumular mais de 10

peças iguais. O primeiro tipo de peça que ele começa a acumular é o cubinho que equivale

a uma unidade. Quando ele acumular mais de 10 desses cubinhos, ele deverá trocar 10

cubinhos de unidade por uma dezena. Quando acumular mais de 10 barras de dezena,

deverá trocar por uma placa de centena, e assim por diante, como no exemplo a seguir com

quadrados e barra de quadrados (figura 4 e 5):

Figura 4: 11 unidades

Fonte: os autores

A cada 10 quadrados troca-se por uma barra de dezena e sobra 1 quadrado. E assim

teremos uma dezena e uma unidade, formando o número 11 na base decimal.

Figura 5: 1 barra e 1 quadrado

Fonte: os autores

No caso do Nunca Dois e os Números Binários, utilizou-se a ideia básica do Nunca

Dez, porém, ao invés de cubos, foram usadas as formas geométricas, triângulo, quadrado,

círculo, losango e pentágono, com 2cm de lado, e no caso do círculo 2cm de diâmetro, que

podem ser confeccionadas em cartolina, papel cartão ou papel sulfite, sendo adotadas as

seguintes representações para cada forma: a cada dois triângulos troca-se por um quadrado,

a cada dois quadrados troca-se por um círculo, a cada dois círculos troca-se por um

losango, e a cada dois losangos troca-se por um pentágono. As trocas podem se ampliar a

critério do professor ou jogador com outras formas geométricas.


171

Figura 6: modelos de formas

Fonte: os autores

O sistema binário é base para a Álgebra booleana (de George Boole (1815-1864) -

matemático inglês), que permite fazer operações lógicas e aritméticas usando-se apenas

dois dígitos ou dois estados (falso e verdadeiro, ligado e desligado, 0 ou 1).

Numericamente seus números são representados apenas por 0 ou 1, formando a linguagem

binária, adotado internamente pelos sistemas computacionais, daí a importância de se

compreender seu funcionamento, e sua relação com a base decimal.

Para se entender a composição do número binário, vamos apresentar um exemplo

de número natural na base decimal e sua decomposição, e por analogia, representar e

decompor um número binário, sem nos utilizamos de matemática mais rigorosa.

Seja o número 5.379, façamos sua decomposição.

Daí, temos a decomposição em potências de base 10.

Assim, para decompor um número, multiplicamos os algarismos posicionais por

potências de 10, sendo que o expoente da primeira potência (da esquerda) é determinado, a

partir da seguinte ideia, será a quantidade de algarismos do número menos 1, ou seja, como

Troca-se por

Troca-se por

Troca-se por

Troca-se por


172

o número tem 4 algarismos, a potência será 3, e as demais seguem em ordem decrescente

até chegar em zero.

Analogamente, um número na base binária pode ser decomposto da seguinte forma:

Seja o número binário (o número 2 indica a base), vejamos sua

decomposição. Se o número está no sistema binário, a potência será de base 2 seguindo o

mesmo critério da base decimal para determinação dos expoentes, como o número tem

algarismos, o expoente da potência do primeiro algarismo da esquerda será 4. Assim,

teremos que:

Tendo este entendimento, e aplicando outros exemplos, podemos agora passar à

mudança de base.

Para transformar um número binário em decimal, basta resolvermos as potências de

dois e resolver a expressão, o resultado será a representação em base decimal. Tomemos o

exemplo dado:

Calculando-se as potências obtemos:

Ou seja, o número 10111 na base 2 representa o número 23 na base 10.

Já para transformar um número decimal em número binário, usamos o método das

divisões sucessivas por 2. Tomemos como exemplo o número 23.

23 2

(1) 11 2

(1) 5 2

(1) 2 2

(0) 1

Concluído o processo, pegamos o último quociente e juntamos com os restos das

divisões conforme o sentido da seta, e, formamos o número binário 10111 que representa o

número 23 na base decimal.

Com intuito de tornar esta aprendizagem mais descontraída e prazerosa para os

alunos a partir do 5º ano do ensino fundamental o Nunca Dois e Números Binários se

apresenta aqui na forma de uma cartela para se apreender o processo de mudança de base

de binário para decimal (figura 7) e de decimal para binário (figura 8).


173

Figura 7: Cartela de Mudança Binário para Decimal

Representação

Numérica

A = sobra de peças B = potências de base 2

A x B C = Soma dos produtos

(A x B)

Cálculo da expressão C

Fonte: os autores.

Figura 7: Cartela de Mudança Binário para Decimal

Distribuição em pares Nº de pares Sobra

Antes das atividades específicas, o professor pode propor como uma atividade

coletiva, produzir as cartelas e as peças (formas) com os alunos, ou como uma atividade

extraclasse. Ou ainda, propor que os alunos pesquisem sobre a história dos números

binários e suas aplicabilidades, e apresentarem na forma de seminário, ou gravarem vídeo

entrevistando profissionais que trabalhem na área de tecnologia e possam falar da

importância dos números binários e como ele os utiliza em seu trabalho.

Sugestão de atividade

Mudança de Binário para Decimal

1º momento: o professor faz uma apresentação motivacional dos números binários,

na forma de vídeo, ou slides, ou mesmo cartaz sobre a sua história e importância;

2º momento: o professor define Binário e mostra sua representação;


174

3º momento: o professor mostra a decomposição do número binário numa relação

análoga com a decomposição dos números na base decimais;

4º momento: definição das duplas para as atividades com o Nunca Dois e Números

Binários;

5º momento: é realizado a distribuição de peças, em quantidades diferentes para

cada dupla;

Vamos supor a seguinte distribuição:

- Triângulos: 35

- Quadrados: 23

- Círculos: 12

- Losangos: 17

- Pentágonos: 5

A Questão é:

Com as peças distribuídas, qual número binário será formado e qual valor ele

representa na base decimal?

Como a cada dois triângulos trocamos por um quadrado, teremos 17 pares de

triângulos que serão trocados por 17 quadrados, sobrando 1 triângulo.

Aos 23 quadrados junta-se os 17, resultantes da troca, ficando com 40 quadrados,

obtendo assim, 20 pares de quadrados, que serão trocados por 20 círculos, e nenhuma

sobra.

Os 20 círculos serão adicionados aos 12 distribuídos, somando-se 32 círculos, e dos

quais se obtém, 16 pares, que serão trocados por 16 losangos, e nenhuma sobra.

Soma-se aos 17 losangos distribuídos os 16, obtendo-se 33 losangos, de onde

obtém-se 16 pares, a serem trocados por 16 pentágonos, e uma sobra.

E, por último, junta-se aos 5 pentágonos, os 16 da troca, somando-se 21

pentágonos, dos quais obtém-se 10 pares, e uma sobra.

Representação

Numérica

A = sobra de peças 1 1 0 0 1

B = potências de base 2

A x B

C = Soma dos produtos

(A x B)

Cálculo da expressão

Então, temos que 11001 na base 2, representa 25 na base decimal.

Observe que sobram sempre uma (1) ou nenhuma peça (0).

Assim como nos números da base decimal, o zero à esquerda não tem valor. Então

caso o primeiro valor à esquerda termine em zero, ele não será considerado, ou seja, se

tivermos o número 001101 na base dois ele será representado por 1101.


175

O maior número em decimal que pode ser escrito no quadro (cartela) acima é o

número 31, que em decimal é representado por 11111 na base 2. Quanto mais colunas

forem inseridas, números maiores podem ser gerados. Distribuições diferentes geram

números diferentes, então são muitas possibilidades.

6º momento: Para se trabalhar Mudança de Decimal para Binário, se faz uso de uma

outra cartela, e desta vez, apenas são distribuídos números X de triângulos, e a

demais peças ficam disponíveis para se fazer a troca;

Vamos supor que tenham sido distribuídos 25 triângulos, para determinada dupla.

Assim, usando a ideia das divisões sucessivas por 2, teremos 12 pares de triângulos

e uma sobra.

Os 12 pares de triângulos são trocados por 12 quadrados, que geram 6 pares de

quadrados, a serem trocados por 6 círculos, e com nenhuma sobra.

Dos 6 círculos formam-se 3 pares de círculos, a serem trocados por 3 losangos, e

com nenhuma sobra.

Dos 3 losangos é possível formar apenas 1 par de losangos, a ser substituído por 1

pentágono, e com uma sobra.

Como só resta 1 pentágono, não é possível formar novos pares. Daí, passamos a

compor o número binário, que será formado, pela junção dos valores das sobras, tomadas

de baixo para cima, formando o número binário 11001.

Assim, o número 25 na base dez é representado pelo número 11001 na base binária.

Então, com as duas cartelas, podemos fazer a ida e a volta, ou seja, apreender a mudança

de binário para decimal e de decimal para binário, em um jogo de manipulação, e por

consequência de inclusão.

Distribuição em pares Nº de pares Sobra

12

1

6

0

3

0

1

1

0

1

Embora as atividades pareçam de fácil manuseio e aprendizagem, alguns alunos

podem sentir dificuldades, ou errar determinados passos, e devem ser orientados pelo

professor, que deve entender o erro como uma parte do processo de aprendizagem. Alunos


176

que saiam melhor com as atividades podem ser posicionados como monitores em sala, isto

pode ajudar a não dispersarem, ou darem pouca atenção às atividades.


No percurso deste artigo, o cerne foi dar notoriedade a dois recursos desenvolvido

no âmbito dos espaços da academia, sendo um pensado e produzido em um Laboratório de

Ensino de Matemática, e outro, durante estudos e orientações pós-doutorais, o que

provocou a elaboração de um recurso para uma aula na graduação.

É interessante notar que os materiais são de baixo custo e podem ser construídos de

forma coletiva, e que o ensino de expressões numéricas foi abordado com a

transversalidade da leitura do livro O Homem que Calculava e com os estudos de números

binários, este último um assunto pouco explorado na educação básica, enquanto que o livro

é geralmente usado para se contar histórias, sendo pouco potencializado.

Os passos do ciclo de soluções proposto por Sternberg, embora não sejam vistos de

forma explicita, eles aparecem implícitos nas atividades, no processo de resolução.

Principalmente os professores devem estar atentos e orientar as soluções, com base no

ciclo, o que pode ser feito com prévia conversa, antes das atividades propostas aos alunos

pelo professor em sala de aula.

As configurações mentais por sua vez, são corriqueiras, estão presentes, quase que

naturalmente na resolução de problemas, achar que não sabe, não saber usar o

conhecimento que possui, se sentir excluído, são aparentes e perceptíveis nas ações e

atitudes comportamentais dos alunos. Portanto, a psicologia cognitiva deve ser também

uma constante no acompanhamento dos alunos, sejam por sentirem alguma dificuldade,

seja por apresentarem uma excepcionalidade para resolver problemas.

Os recursos podem ser adaptados, a partir da necessidade do professor, e para além

disto, podem ser transformados em objetos de aprendizagem, um próximo passo a ser

dado, tendo em vista o avanço da informática nos ambientes escolares, bem como a

facilidade em terem acesso a ferramentas tecnológicas com o celular.

Por fim, destacamos a relevância de recursos, como os apresentados neste artigo,

como uma alternativa metodológica promissora para o Ensino de Expressões Numéricas,

pois, além de toda discussão aqui já apresentada, este Produto Educacional com ênfase na

resolução de problemas, propõe tomadas de decisões, estimula e desenvolve capacidades,

valorizando também atitudes que extrapolam o âmbito da Matemática.

A utilização de jogos e metodologias diferentes das que são habitualmente

utilizadas, traz importantes benefícios à aprendizagem dos alunos já que permitem o

envolvimento, a atenção e a participação do grupo. Por outro lado, ao mostrar a

aplicabilidade e outras formas de se trabalhas expressões numéricas colabora para tornar a

matemática uma ciência ao alcance de todos e de formas variadas. Certamente

problematizar, contextualizar e utilizar atividades lúdicas são alguns caminhos de sucesso

no processo de ensino-aprendizagem da matemática.

Referências


177

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de problemas: uma experiência de estágio em um curso de licenciatura em matemática.

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matemática para portadores de deficiência visual, 2010.

MOLLOSSI, L. F.S.B. Educação Matemática no Ensino Fundamental: Um estudo de caso

com estudante cego, Joinville, 2013. Disponível em:

<http://pergamumweb.udesc.br/dados-bu/00001a/00001ad9.pdf> Acesso em: março de

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MOURA, Graziella Ribeiro Soares. Crianças com dificuldades em resolução de

problemas matemáticos: avaliação de um programa de intervenção. 2007, 159 f. Tese

(Doutorado em Educação do Indivíduo Especial) - Universidade Federal de São Carlos,

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PIROLA, N. A. Solução de problemas geométricos: dificuldades e perspectivas. 2000.

245f. Tese (Doutorado em Educação Matemática) – Universidade Estadual de Campinas,

Campinas, 2000.

SANTOS, Bianca Kariny Fernandes dos. SOARES, Narciso das Neves. Leitura e

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Marabá-Pará. 2015.

SANTOS, Bianca Kariny Fernandes dos. Vida e obra de malba tahan e sua

potencialidade para o ensino e aprendizagem de matemática. Trabalho de Conclusão

de Curso. UNIFESSPA. 2017.

STERNBERG, R. J. Psicologia Cognitiva. 4ª ed. Porto Alegre. Artmed, 2008.

TAHAN, M. O Homem que Calculava. Ed. Record, 40ª ed. 1995.

Williams, W. M., & Sternberg, R. J. Group intelligence: Why some groups are better than

others. Intelligence, Volume 12, 1988. Disponível em:

<https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/0160289688900025>. Acesso em

20 de março de 2020.


UNIFESSPA




UNESP



https://orcid.org/0000-0003-0331-4497

https://orcid.org/0000-0002-8215-1317




Narrativas de professores ao desenvolver atividades sobre fração:

contribuições de um curso de formação continuada

Teachers' narratives when developing activities on fractions:

contributions from a continuing education course

Idemar Vizolli

Universidade Federal do Tocantins – UFT


Rede Pública Municipal de Canaã dos Carajás, PA

RESUMO Estudo integra o PROCAD – AMAZÔNIA, o qual desenvolve ações integradas para qualificar a

formação na pós-graduação em educação no Pará, Tocantins e Rio Grande do Norte, no qual se insere

o estudo de pós-doutoramento. Desde o final do século passado e de forma mais intensa nos últimos

anos, profissionais da educação tem feito uso de Sequência Didática (SD) para o desenvolvimento

dos processos de ensino e aprendizagem bem como na formação inicial e continuada de professores.

Na perspectiva de contribuir com as reflexões sobre esta temática, estabelecemos como objetivo

deslindar contribuições do desenvolvimento de uma SD sobre fração em um curso de formação

continuada para professores que ensinam Matemática nos 4º e 5º Anos do Ensino Fundamental na

rede municipal de Araguaína, TO. Para proceder as análises inspiramo-nos nos escritos de estudiosos

sobre SD (Zabala e Oliveira) e sobre o processo de ensino e aprendizagem de fração (Bertoni,

Merlini, Nunes & Bryant). Trata-se de um estudo de natureza qualitativa e exploratória em que se

fez uso de narrativas orais e textuais de participantes do curso. Os resultados indicam que os

professores ampliaram sua compreensão em relação ao conceito de fração e ao uso de SD e isso

reverbera em seu fazer de sala de aula.

Palavras-chave: Educação; Sequência Didática; Formação continuada de professores; Fração.

ABSTRACT Study is part of PROCAD - AMAZÔNIA, which develops integrated actions to qualify postgraduate

education in Pará, Tocantins and Rio Grande do Norte, which includes the post-doctoral study. Since

the end of the last century and more intensely in recent years, education professionals have made use

of the Didactic Sequence (SD) for the development of teaching and learning processes as well as in

the initial and continuing training of teachers. In order to contribute to the reflections on this theme,

we established as an objective to unravel contributions from the development of an SD on fraction

in a continuing education course for teachers who teach Mathematics in the 4th and 5th Years of

Elementary Education in the municipal network of Araguaína, TO. In order to carry out the analyzes,

we are inspired by the writings of scholars on SD (Zabala and Oliveira) and on the fraction teaching

and learning process (Bertoni, Merlini, Nunes & Bryant). It is a qualitative and exploratory study in

which oral and textual narratives of course participants were used. The results indicate that teachers

expanded their understanding of the concept of fraction and the use of DS and this reverberates in

their classroom practice.

Keywords: Education; Following teaching; Continuing teacher education; Fraction.

Palavras iniciais ....

As inquietações em relação ao processo de compreensão conceitual de fração advêm

de experiências vivenciadas no exercício da docência na Educação Básica e em cursos

superiores, especialmente na Pedagogia e Licenciatura em Matemática, alcança a Pós-

Graduação e encontra eco nos estudos de Bertoni (2004).


179

Considerando a dificuldade do tema e outras prioridades curriculares, documentos

oficiais têm diminuído a ênfase em frações, nas séries iniciais. É o caso dos

Parâmetros Curriculares Nacionais, cujas orientações vão no sentido de eliminar

das séries iniciais as operações com números racionais na representação

fracionária. A matriz de descritores da 4ª série do SAEB – Sistema Nacional de

Avaliação da Educação Básica, MEC/INEP - também não inclui essas operações.

Por outro lado, não se nota, de modo geral, nos livros e nas propostas curriculares

de 5ª a 8ª série, mudanças no sentido de uma introdução mais cuidadosa às frações

e às operações entre elas, visando suprir essa lacuna deixada nas séries iniciais.

Isso nos leva à constatação de que o espaço para a aprendizagem desses números

nas séries iniciais foi diminuído e não houve ganho de espaço nas séries finais.

(BERTONI, 2004, p. 1)

No Pacto Nacional pela Alfabetização na Idade Certa (PNAIC), muito se falou sobre

a utilização de Sequência Didática (SD) para trabalhar com estudantes conteúdos

curriculares, com ênfase na produção de gêneros textuais. Embora muitos professores

fizessem uso do termo, ficou patente a perspectiva do uso de um conjunto de atividades

relacionadas a um determinado conceito, por exemplo, o que em matemática se configura

como uma lista de exercícios tal qual os que constam em livros didáticos.

No Programa de Pós-Graduação de Mestrado Acadêmico em Educação o grupo de

estudantes com formação em Matemática, sentiu a necessidade de enfrentar o desafio e

propor um curso de formação continuada para professores que ensinam Matemática nos

Anos Inicias do Ensino Fundamental em que se fez uso da Sequência Didática para trabalhar

o conceito de fração, considerando a história e significados de fração, bem como a existência

de uma diversidade de registros de representação semiótica e as características das

quantidades. Assim, a partir de narrativas orais e escritas de cursistas, busca-se responder à

seguinte indagação: que contribuições o desenvolvimento de uma Sequência Didática sobre

fração em um curso de formação continuada trouxe à atuação de professores que ensinam

Matemática nos 4º e 5º Anos do Ensino Fundamental na rede municipal de Araguaína, TO?

Na perspectiva de contribuir com as reflexões sobre esta temática, estabelecemos como

objetivo geral deslindar contribuições de um curso de formação continuada para professores

que ensinam Matemática nos 4º e 5º Anos do Ensino Fundamental na rede municipal de

Araguaína, TO, em que se desenvolveu uma SD sobre fração.

Importante ainda destacar que este estudo integra o PROCAD – AMAZÔNIA,

desenvolve ações integradas para qualificar a formação na pós-graduação em educação no

Pará, Tocantins e Rio Grande do Norte, no qual se insere o estudo de pós-doutoramento e

vincula-se a um projeto do Programa de Doutorado da Rede Amazônica de Ensino de

Ciências e Matemática – REAMEC, que está desenvolvendo um estudo com o objetivo de

mapear e construir um panorama das pesquisas que tematizam a formação de professores na

Amazônia Legal Brasileira.

O lugar de onde se fala ...

Uma vez que os estudos de Zabala (1998) e Oliveira (2013), dentre outros, indicam

que o desenvolvimento de Sequências Didáticas (SD) por professores têm se mostrado

salutar ao processo de ensino e aprendizagem, para este artigo estabelecemos como objetivo


180

deslindar contribuições do desenvolvimento de uma SD sobre fração em um curso de

formação continuada para professores que ensinam Matemática nos 4º e 5º Anos do Ensino

Fundamental na rede municipal de Araguaína, TO.

A opção pela rede municipal de Araguaína se deve ao fato de que é um município

com forte polo educacional: conta com 03 (três) Instituições de Ensino Superior (IES)

públicas tais como a Universidade Federal do Tocantins (UFT), que oferta cursos a nível de

graduação, pós-graduação lato e stricto sensu (mestrado e doutorado); o Instituto Federal do

Tocantins (IFTO), que oferta cursos tecnológicos integrados com o ensino médio, superior;

a Universidade Aberta do Brasil (UAB), que oferta cursos de graduação e pós-graduação na

modalidade de Educação à Distância (EaD); Universidade Tocantinense Presidente Antônio

Carlos (UNITPAC); a Faculdade Católica Dom Orione; as quais desempenham papel

relevante ao desenvolvimento educacional da região. Tal fato, contribui com a formação

inicial e estimula a busca pela qualificação profissional, o que propicia parcerias entre

Universidades e Educação Básica.

Inspirados na Engenharia Didática (ED), elaboramos e propusemos o

desenvolvimento de uma SD com professores, a qual organizada em atividades, constituídas

de tarefas que, em alguns casos, desmembram-se em situações. A SD foi desenvolvida em

três etapas, totalizando seis encontros: sondagem (primeiro encontro 19/02/2018), composta

por cinco atividades de sondagem encontradas em Barros (2018) e devolutiva (segundo

encontro – 17 e 18/04/2018). A fase de experimentação aconteceu nos terceiro, quarto e

quinto encontros, na qual os professores desenvolveram 22 atividades constituintes da SD,

as quais encontram-se em Cardoso (2020) sete sobre história das frações, três sobre

equivalência de fração (terceiro encontro – 16 e 17/05/2018); três sobre comparação de

fração, duas sobre as características das quantidades; duas sobre registro de representação

semiótica (quarto encontro – 13 e 14/09/2018); cinco sobre significados de fração e duas

sobre Sequência Didática (quinto encontro – 21 e 22/03/2019). No último encontro (sexto –

0 2 e 03/05/2019) realizou-se a validação/avaliação, em que os cursistas apresentaram os

planos de ensino contendo a proposição de uma sequência didática com vistas ao processo

de ensino e aprendizagem de fração com crianças de 4º e 5º ano do Ensino Fundamental e

os mestrandos apresentaram suas pesquisas aos professores participantes.

O curso de formação continuada foi desenvolvido com 120 professores, teve duração

de 120h e foi realizado no período de fevereiro/2018 a maio/2019, no qual os professores

foram organizados em equipes, distribuídos em três salas, cujas atividades foram mediadas

por, pelo menos um, dos cinco formadores.

O curso de formação continuada integra o projeto amplo denominado “Ensino e

Aprendizagem de Fração”, registrado no Comitê de Ética e Pesquisa da UFT, sob o número

de protocolo 80769217. 0. 0000. 5519, e tem possibilitado o desenvolvimento de uma série

de dissertações nos Programas de Mestrados Acadêmico e Profissional da UFT, duas já

defendidas e três em fase de elaboração.

Uma vez que o projeto mais amplo contou com aprovação no Comitê de Ética e os

cursistas citados neste estudo concordaram com a utilização de seus nomes, efetuamos os

registros das narrativas indicando os respectivos sobrenomes dos autores, seguido da letra

“c” a qual indica o instrumento carta e “e” para indicar a entrevista videografada.


181

A fase de sondagem resultou na dissertação de Barros (2018), a qual teve como

objetivo “verificar o modo como professores que ensinam matemática nos Anos Iniciais do

Ensino Fundamental de Araguaína, TO, resolvem situações que envolvem o conceito de

fração, considerando o uso de registros de representação semiótica, os diferentes significados

de fração, bem como as características das quantidades.” (BARROS, 2018, p. 09). Na fase

da experimentação Cardoso (2020), realizou sua pesquisa com objetivo “analisar os efeitos

do desenvolvimento de uma sequência considerando a história, equivalência, comparação e

significados de fração, bem como as características das quantidades e a utilização de

diferentes registros de representação semiótica sobre o conhecimento de fração dos

professores participantes do curso.” (CARDOSO, p. 08, 2020).

Estão em fase de elaboração as dissertações dos mestrandos Adílio Jorge Sabino, a

qual tem como objetivo analisar as contribuições dos envolvidos no processo de elaboração

e desenvolvimento de Sequências Didáticas; Ademir Brandão Costa, que analisa o legado

do curso aos professores que participaram do curso de formação continuada; Ritianne de

Fátima Silva de Oliveira que analisa os planos de ensino e as SDs produzidas por cursistas.

O material de pesquisa para este artigo se constitui de sete cartas elaboradas pelos cursistas,

os quais falam, para supostos amigos, sobre suas percepções em relação ao curso de

formação continuada e transcrição de suas falas videografadas, as quais indicam legados do

curso à sua atuação docente. A escolha dos autores deve-se ao fato de que versam sobre

aspectos matemáticos do curso, suscitaram reflexões/análises/críticas em relação ao curso

de formação continuada, trataram do uso de SD no processo de ensino e aprendizagem e

versam sobre a atuação pedagógica dos cursistas; e se dispuseram a conceder entrevista para

compor um documentário em relação ao legado do curso de formação continuada aos

professores (COSTA, 2020).

Trata-se, portanto, de um estudo de natureza qualitativa em que se faz uso de

narrativas orais e escritas de participantes. Pesquisas dessa natureza preocupam-se em

descrever pormenorizadamente as situações, de modo a alcançar a complexidade do

fenômeno, o que muitas vezes requer a atuação direta dos pesquisadores na ação,

especialmente quando se trata de capturar ideias em relação as situações que envolvem

variáveis a serem evidenciadas.

A entrevista “é um encontro entre duas pessoas, a fim de que uma delas obtenha

informações a respeito de determinado assunto, mediante uma conversação de natureza

profissional.” (MARCONI; LAKATOS, 2003, p. 195). As entrevistas foram realizadas em

novembro de 2019, para tanto, valemo-nos de um roteiro semiestruturado contendo três

perguntas abertas elaboradas a partir do conteúdo de suas respectivas cartas. De acordo com

Meihy (2005), as questões devem ser contextualizadas, seguindo uma ordem de importância,

de modo a provocar o entrevistado referir-se a assuntos/temas tidos como fundamentais a

pesquisa.

Palavras que orientam o curso de formação continuada ...

Desde o título nos reportamos a palavras/conceitos que merecem ser analisados pelos

leitores a fim de compreenderem melhor o conteúdo do artigo como um todo e em especial


182

as narrativas de professores. Termos/conceitos como Sequência Didática (SD) e fração, por

exemplo, são caros para este artigo, daí a necessidade explicitá-los.

Algumas palavras sobre Sequência Didática ...

Zabala (1998, p. 18), define Sequência Didática (SD) como “um conjunto de

atividades ordenadas, estruturadas e articuladas para a realização de certos objetivos

educacionais, que têm um princípio e um fim conhecidos tanto pelo professor como pelos

alunos”. De acordo com Oliveira (2013, p, 39), a “sequencia didática é um procedimento

simples que compreende um conjunto de atividades conectadas entre si, e prescinde de um

planejamento para delimitação de cada etapa e/ou atividade para trabalhar os conteúdos

disciplinares de forma integrada para uma melhor dinâmica no processo ensino

aprendizagem”. Ainda,

A sequência didática é um procedimento para a sistematização do processo ensino-

aprendizagem, sendo de fundamental importância a efetiva participação dos

alunos. Essa participação vai desde o planejamento inicial informando aos alunos

o real objetivo da sequência didática no contexto da sala de aula, até o final da

sequência para avaliar e informar os resultados. (OLIVEIRA, 2013, p. 40)

Concebemos a Sequência Didática (SD) como um conjunto de atividades

organizadas, articuladas, ordenadas e encadeadas entre si, as quais comportam níveis de

complexidades cada vez maiores, de modo a conduzir os sujeitos a compreenderem um

determinado conceito. Assim, o professor e os estudantes são sujeitos ativos no processo de

ensino e aprendizagem.

Uma vez que os conceitos matemáticos conectam-se uns aos outros, há necessidade

de estudos reflexões, a fim de planejar as atividades adequadamente. Nessa perspectiva, para

o desenvolvimento de uma SD como um procedimento de ação pedagógica, o professor e/ou

o pesquisador pode se inspirar nas tendências em Educação Matemática e fazer uso da

modelagem matemática, resolução de problemas, história da matemática, jogos, uso das

tecnologias, etnomatemática, atividades experimentais, atividades por redescoberta, dentre

outras.

Segundo Oliveira (2013), a proposição de SD comporta cinco passos básicos, nos

quais deve-se levar em consideração os conhecimentos prévios dos estudantes: escolha do

tema a ser trabalhado; problematização do assunto a ser trabalhado por meio de

questionamentos; dos conteúdos; definição dos objetivos a serem alcançados no processo de

ensino e aprendizagem; e, delimitação da sequência de atividades.

Para Zabala (1998), a SD deve ser organizada de modo a considerar as três dimensões

do processo de ensino e aprendizagem: conceituais, “o que se deve saber?”; procedimentais

ou “o que se deve saber fazer?”; e atitudinais “como se deve ser?”.

Em relação aos aspectos conceituais, o professor precisa conhecer o espectro de

conceitos subjacentes e que influenciam na compreensão do objeto em estudo; nos

procedimentais, o professor necessita perceber e criar condições adequadas às necessidades

específicas para cada estudante; os atitudinais, estão intimamente ligadas às ações

formativas, não bastando propor debates e reflexões sobre comportamento cooperativo,


183

tolerância, justiça, respeito mútuo, dentre outros, e sim, viver um clima de solidariedade,

cooperação, tolerância e cumplicidade.

Ao propor o desenvolvimento de SD, instrumentaliza-se e incentiva-se professores e

pesquisadores em sua atuação no processo de ensino e aprendizagem, especialmente porque

remete à análise da prática profissional. Zabala (1998), disponibilizou um modelo para

analisar e interpretar a relações didáticas que se estabelecem entre os envolvidos no processo

educativo, mais precisamente entre professor-estudantes-objeto de estudo. Trata-se de uma

proposta que se contrapõe ao modelo tradicional em que o professor é tido como o único

responsável no processo e os estudantes como agentes passivos.

Zabala (1998), ancora-se no pensamento prático do fazer de sala de aula, alicerçado

na capacidade reflexiva do professor. Recomenda, portanto, uma constante avaliação do

trabalho desenvolvido com os estudantes. Numa perspectiva processual estabelece fases para

o planejamento, desenvolvimento e avaliação do trabalho realizado, a partir das variáveis

selecionadas às intervenções didático-pedagógicas, assim como das condicionantes

implicadas processo educativo, dentre as quais se destaca as implicações do contexto social

amplo e particular, a formação do professor bem como suas percepções e concepções em

relação aos processos de educar e aprender, pressões sociais, a trajetória profissional dos

professores.

Uma vez que a função social da escola reside na formação integral dos estudantes, o

que envolve necessariamente o desenvolvimento de habilidades e competências para além

dos aspectos cognitivos e conceituais, a partir das relações constituídas nas experiências

vividas nos processos educativos, alicerçam-se os vínculos e as condições que definem as

concepções sobre cada um e em relação aos demais, o que remete a sociedade como um

todo, e em especial aos educadores, a uma reflexão profunda e constante sobre as condições

de cidadania. Nessa perspectiva, os conteúdos de ensino devem contemplar as distintas

dimensões da pessoa, de modo a abarcar as aprendizagens: factual e conceitual, relacionadas

ao o que se deve aprender; procedimental, que dizem respeito ao o que se deve fazer e;

atitudinal, como se deve fazer (ZABALA, 1998).

Para além de conhecer e vivenciar a cultura dos estudantes, o processo de ensino

requer que os professores compreendam o modo como os estudantes aprendem, o que

implica em conhecimentos de filosofia, sociologia, psicologia, bem como do conteúdo da

ciência a ser ensinada. Segundo Zabala (1998), a ordenação e articulação das atividades se

constituem num diferenciador nas metodologias de ensino. Há, portanto, que se considerar

os conhecimentos que os estudantes já dispõem sobre o assunto em estudo e as atividades

devem ser elaboradas e dispostas considerando níveis de complexidade cada vez maiores e

as variáveis escolhidas. Assim, as SD contemplam as intenções educacionais na definição

dos conteúdos de ensino e nos procedimentos metodológicos adotados no processo de

desenvolvimento das atividades pelos estudantes, de modo a abarcar as dimensões

conceituais, procedimentais e atitudinais.

Algumas palavras em relação ao ensino de fração ...

Bertoni (2004), nos diz que os professores indicam que o conteúdo de fração

apresenta uma série de problemas de aprendizagem nos Anos Iniciais do Ensino


184

Fundamental e que as avaliações nacionais mostram que os estudantes apresentam baixo

índice de acertos em questões que tratam desse conceito. Merlini (2005) analisou o

desempenho de estudantes de 5ª e 6ª séries em relação aos diferentes significados de fração

e percebeu que somente 35% obteve sucesso nas respostas às questões.

É importante que os estudantes compreendam que os números racionais se

desdobram em duas representações igualmente importantes: a decimal e a fracionária, sendo

que a primeira é bastante usual no meio social enquanto que a segunda se faz mais presente

quando se trata de razões, escalas, porcentagens e probabilidade (BERTONI, 2004). Cabe

destacar, no entanto, que raras vezes os livros didáticos e mesmo os professores estabelecem

a relação fação-decimal-porcentagem (Vizolli 2001; 2006).

De acordo com Bertoni (2004), as representações fracionárias são mais usuais em

particionamentos da unidade, enquanto que as decimais aparecem com bastante frequência

em quantias monetárias e medidas. Naturalmente fala-se metade de uma barra de chocolate,

por exemplo, e escreve-se ½ e dificilmente a representamos por 0,5. “Ainda que facetas de

um mesmo número, as duas representações são, geralmente, tratadas de modo estanque,

como se dissessem respeito a números diferentes – números decimais e frações. Isto é,

confundem-se o número e suas representações” (BERTONI, 2004, p. 1-2)

Nunes et al (2003), tratam a fração com os significados de número, relação parte-

todo, quociente, medida e operador multiplicativo. Com o significado de número, a notação

a/b, com (a ∈ Z, b ∈ Z, com b # 0), expressa um número na reta numérica. Nele diferencia-

se as quantidades em maior, menor e igual (>, < e =), ou ainda, sua representação na notação

decimal (representar ¾ e 0,75 na reta numérica). Na relação parte-todo, tem-se a ideia de

partição de um todo em partes iguais, em que cada parte pode ser representada como 1/n.

Nas situações estáticas a utilização de um procedimento de dupla contagem é suficiente para

chegar a uma representação. A fração como quociente, indica uma divisão e seu resultado,

como por exemplo, uma barra de cereal a ser repartida igualmente entre 5 crianças. Temos

o quociente entre duas variáveis (quantidade de barras de cereal e número de crianças), em

que uma corresponde ao numerador e a outra ao denominador, neste caso, 1/5 = 1 : 5, em

que cada criança recebe 1/5. Como medida, as frações podem se referir a quantidades

intensivas, as quais se baseiam na relação entre duas quantidades diferentes – suco de limão

e água que resulta na limonada. Outro exemplo é o caso da probabilidade de um evento

acontecer (quociente entre o número de casos favoráveis e o número de casos possíveis),

onde temos uma relação em que o valor do todo não influencia a quantidade intensiva. Trata-

se da probabilidade de um evento que varia de 0 a 1, e a maioria dos valores com os quais

trabalhamos são fracionários. Como operador multiplicativo as frações podem ser vistas

como o valor escalar aplicado a uma quantidade. “Situações em que os números são

operadores (1/4 de 24): dividir 24 em quatro grupos de 4, tomar 1 grupo. João perdeu 1/4 de

suas bolinhas de gude.” (NUNES, 2003, p. 13).

Nunes et al (2005), caracterizam quantidades continuas, discretas, intensivas,

extensivas, as quais implicam no processo de compreensão conceitual da fração. Para as

autoras, as quantidades contínuas são aquelas que podem ser divididas exaustivamente sem

necessariamente perderem suas características, como é o caso das medidas unidimensionais.

As quantidades discretas dizem respeito a um conjunto de objetos idênticos, que representa


185

um único todo e o resultado da divisão deve produzir subconjuntos com o mesmo número

de unidades inteiras (quantidade de pessoas, por exemplo).

Apesar das diferenças entre quantidades contínuas e descontínuas, elas estão

baseadas na mesma estrutura lógica, que é a relação parte-todo: a soma das

unidades é igual ao valor do todo. Essa estrutura lógica relaciona-se ao fato de que

a medida dessas quantidades é essencialmente uma comparação entre duas

quantidades de mesma natureza. "Três metros" expressa a comparação de uma

unidade de comprimento, o metro, com outro comprimento, o comprimento da

mesa. (...) Quando a medida de uma quantidade baseia-se na comparação de duas

quantidades da mesma natureza e na lógica parte-todo, dizemos que a medida se

refere a uma quantidade extensiva. (NUNES et al, 2005, p. 123).

De acordo com as autoras supramencionadas, a quantidade intensiva baseia-se na

relação entre duas quantidades de natureza diferentes, onde a quantidade é medida pela

relação entre duas variáveis distintas e resulta numa terceira, fruto de fusão de ambas, como

nas relações reais por litro; gramas de açúcar por litro de refrigerante; concentração de suco

de limão por litro de água na limonada; colheres de achocolatado em pó por litro de leite. A

comparação entre as quantidades de natureza distintas pode ser escrita na forma de razão ou

fração, mas nem sempre é possível efetuar a representação de uma determinada situação nas

formas de razão e fração, isto porque a condição necessária é a de que as quantidades de

naturezas diferentes possam ser misturadas formando uma nova composição homogênea,

como é o caso da mistura de suco concentrado de limão com água, por exemplo. Ao se tratar

do preço por quilo de laranja não é possível fazer sua representação por meio de fração, e

sim, por meio da razão.

Narrativas de cursistas ...

Ao tratar de narrativas de professores em relação a formação continuada sobre fração

para professores que atuam nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental, há que considerar que

o ensino de Matemática pode ter sido o causador do distanciamento de estudos em que esta

ciência figure com grau de importância significativa. Ao ofertar um curso de formação

continuada via Secretaria Municipal de Educação envolvendo Matemática, a possibilidade

de resistência se amplia, isso porque há uma tendência (natural) de os professores sentirem-

se vigiados em relação ao domínio de conhecimentos em áreas específicas, como é o caso

da fração. Os excertos das cartas a seguir retratam bem essa realidade.

(...) junto com a expectativa veio ansiedade e talvez o medo devido à idade das

crianças e a forma de conduzir, isto é, me reinventar, tive que sair da zona de

conforto e saber que a matemática faria parte do meu cotidiano em sala de aula.

(...) confesso que no primeiro encontro fiquei apreensiva, sem saber o que

encontraria, se seria testada ou se ficaria muito exposta, já que não sou muito de

participar se não estou segura de algo, prefiro ouvir e tomar nota, e assim, mesmo

que só ouvindo aprendi muito durante essa formação. (ACHURE, 2019c)

(...) lá podemos vivenciar e compartilhar com os outros colegas as nossas

experiências e frustrações dentro da sala de aula e principalmente com a tal da

sequência didática. (SILVA, 2019c)

As narrativas de Nunes (2019c), “Confesso que na minha graduação o ensino de

matemática foi muito fragmentado, deixando algumas lacunas que foram preenchidas

durante os encontros dessa formação”, ecoa como um pedido de socorro às Instituições de


186

Ensino Superior a repensarem seus currículos e forma como os conteúdos são abordados na

formação inicial de professores e quanto ainda os sistemas educacionais carecem de políticas

públicas que atendam as demandas do ensino de Matemática, neste caso específico, dos Anos

Inicias do Ensino Fundamental. Na continuidade da carta menciona a metodologia utilizada

no curso de formação como sendo responsável pela compreensão de conceitos.

A metodologia utilizada me favoreceu a melhor compreensão dos conteúdos, os

recursos foram adequados e a dinâmica das aulas contribuiu para uma troca de

experiências excepcional, me fazendo refletir sobre grandes possibilidades de

mudanças na minha prática pedagógica. (NUNES, 2019c)

Os estudos de Nunes & Bryant (1997), indicam que as dificuldades dos estudantes

aparecem quando eles não distinguem as características particulares dos conjuntos

numéricos e acabam transferindo as propriedades do conjunto dos Números Naturais para o

conjunto dos Números Racionais, e neles as frações; e ainda, que alguns concluem a seus

estudos sem necessariamente ter superado uma série de dificuldades em relação à

compreensão do conceito de fração. As narrativas dos professores indicam que eles também

apresentam lacunas em relação a compreensão do conceito de fração.

Alguns participantes do curso fizeram menção a aspectos de conteúdos de

matemática suscitados no desenvolvimento das atividades da SD, destaca-se o excerto de Sá

(2019c) e Neto (2019c), os quais indicaram quase a totalidade de conteúdos/conceitos

trabalhados no decorrer do curso de formação.

Números e fração localizem na reta numérica as frações (...) História das frações

em diferentes civilizações (...) Sistema Mesopotâmico com atividade da prova

Brasil com questões sobre horas/Minutos. (...) representação das frações

impróprias utilizando se de números mistos (...) Equivalência de fração (...) Tantos

Conceitos. O que é um quadrado? Trace 3/4 da outra diagonal. (...) Resolvemos

cálculos, montamos tangaram e vimos Equivalência (...) quantidades discretas,

continua, intensivas, extensivas cada um dos conceitos MMC e Situações-

problema etc. (...) Significado de uma fração (SÁ, 2019c).

(...) ainda me lembro quando estudamos as figuras geométricas com uso do

Tangram, para aprender tivemos que voltar um pouco e lembrar passo a passo de

cada ângulos, centímetros, vértices, retas para realmente chegar na atividade

proposta, a evolução das atividades no ramo da fração nos proporcionou uma

evolução muito sistematizada voltada a área da matemática em forma geral. (...)

vale ressaltar também sobre aquele texto da “Fração em diferentes civilizações”

que foi um espetáculo, várias representações numéricas, quanto a representação

semiótica esse nome me deixou um pouco preocupado, mas foi tranquilo (NETO,

2019c).

As narrativas supramencionadas encontram eco nos estudos de Bertoni (2002),

segundo a qual a formação do conceito de fração pelos estudantes, requer a utilização de um

conjunto de representações simbólicas, linguísticas, gráficas e gestuais, capazes de

representar situações e procedimentos intimamente ligados ao conceito. Isso significa que a

construção do conceito pelo estudante requer uma metodologia fortemente articulada às

situações cotidianas, cujo processo de ensino perpassa pela proposição de respostas de modo

informal, mentalmente ou por meio de falas. Os registros inicias das frações tem origem nas

estratégias utilizadas pelos estudantes e, posteriormente utiliza-se os registros formais.


187

Se faz mister lembrar que, de acordo com Carvalho (2017), nos livros didáticos é

bastante usual o significado parte-todo, embora em menor incidência seja possível encontrar

o operador multiplicativo. Pouco se encontra o significado de número, quociente e medida.

Ademais, pouca atenção é dada em relação à natureza das quantidades. Já os estudos de

Vizolli (2001; 2006), apontam para a necessidade da utilização de diferentes registros de

representação semiótica. “As representações semióticas são constituídas pelo emprego de

signos pertencentes a um sistema de representação os quais comportam regras próprias de

significado e funcionamento” (DUVAL, 1993, p. 38).

Achure (2019c) e Diniz (2019c), chamam a atenção em relação a experiências no processo

de ensino e aprendizagem de fração.

Fração ainda é um conteúdo que requer muito estudo da minha parte, no entanto,

estar em contato com outras experiências me possibilitou ter um olhar diferente,

saber que meu aluno pode aprender de várias maneiras. Podemos brincar com um

conteúdo que muito nos assusta e percebê-lo nas situações mais simples do dia a

dia. (ACHURE, 2019c)

A princípio, a temática era insignificante, pois se tratava de um assunto ao qual eu

dominava. Mas o professor orientador dos mestrandos foi introduzindo os pontos

de interrogação em nossas mentes. Assim percebi que não tinha conhecimento do

conteúdo frações a fundo. (DINIZ, 2019c)

Os excertos coadunam-se com o pensamento de Damico (2007, p. 171), ao referir-se

sobre a concepção de ensino de Matemática,

[...] se a concepção de ensino de Matemática estiver embasada na teoria

construtivista de construção de conhecimentos matemáticos, o conhecimento de

regras ou algoritmos, por parte de quem ensina, seria um item necessário, mas não

seria suficiente. Neste caso, a organização do ensino é mais complexa, uma vez

que não se trata de transmissão de conhecimentos em fase final de elaboração, o

que demanda de quem ensina um amplo conhecimento conceitual do objeto de

estudo que, obviamente, está além do conhecimento processual imposto pelas

regras (DAMICO, 2007, p.171).

As entrevistas dos professores indicam que a formação possibilitou que passassem a

refletir sobre suas práticas em sala de aula. As narrativas de Silva (2019e), as falas dos

demais entrevistados indicam contribuições do curso de formação às práticas educativas dos

professores.

Nós pudemos através da formação trazer um conhecimento maior para os nossos

alunos que foi de grande valia, e até mesmo as experiências dos outros professores

que alguns conhecimentos que uns tinham, outros não tinham, experiências que

nós podemos até mesmo dentro da formação está atrelando aos nossos alunos,

compartilhando com eles.

(...) a formação nos trouxe isso, de tirar aquele negócio de papel, quadro e pincel,

e partir para construção realmente de fato, onde o aluno possa pegar, fazer,

aprender, discutir, ir e assim chegar a um resultado, de saber realmente o que que

ele estava fazendo, o quê que ele estava manuseando.

(...) Então, a partir do momento que os formadores nos colocaram novos caminhos

para a gente levar para os nossos alunos com outro olhar, nós professores

mudamos também totalmente a nossa prática, até mesmo com materiais

construídos que nós podemos levar para dentro de sala, mudou o comportamento


188

dos alunos. Porque, a partir do momento que eles têm algo a manusear, algo

diferenciado para fazer e até nós mesmo professores, a partir do momento que o

formador nos levou algo novo, não conteúdo novo, mas um conteúdo que nós já

estudamos mais de outras formas. Então, quando ele levou práticas novas, nós nos

tornamos também pessoas com conhecimento mais elevado e nossos alunos

gostam disso, porque eles gostam de coisas diferentes, eles gostam de manusear,

fazer, recortar e descobri que realmente estão aprendendo, porque a matemática

em si, ela já não é algo que todo mundo ama de paixão. (SILVA, 2019e)

Em suas narrativas, os participantes teceram comentários em relação a Sequência

Didática, inclusive suas percepções e concepções. Os excertos das falas dos participantes

dão a dimensão das discussões efetuadas.

(...) nós pudemos naqueles momentos de formação entender que a sequência

didática, tão falada, não era necessariamente a interdisciplinaridade que nós

professores achávamos que era, e era imposta a nós (...), mesmo porque nós

mesmos e nossos formadores anteriores, também não conseguiram nos passar o

que era a sequência didática. (...) conseguimos enfim, saber sequenciar esses

conteúdos e obtermos o sucesso dentro da nossa sala de aula. (SILVA, 2019e)

Para fazer uma sequência didática precisava ter todas as disciplinas? Eu poderia

fazer uma sequência didática só de matemática? Eu poderia fazer uma sequência

didática só de outras disciplinas? Foi esse o ponto que houve mais discussão, na

sala que eu estava. Então chegou à conclusão de que você poderia fazer com essa

sequência didática de matemática. Mas, isso não impedia de ser regado por outras

disciplinas, que outras disciplinas viessem dar sua contribuição. Foi por isso, que

o carro-chefe da sequência didática do nosso grupo foi a matemática, claro! Porque

era a disciplina que nós estávamos tendo a formação. Só que lá não impediu que

outras disciplinas aparecessem mais de forma natural, não abrir a gavetinha e falar,

ó aqui agora nós vamos ver a fração lá na história! Agora em Geografia, você vai

ver isso aqui de frações! (ACHURE, 2019e)

Zabala (1998) indica que os métodos globalizados, dentre os quais encontra-se a SD,

como uma das formas de inserir o estudante no centro das atenções e no foco dos objetivos

de aprendizagem.

Nestes métodos, as unidades didáticas dificilmente são classificáveis se tomamos

como critério o fato de que correspondam a uma disciplina ou matéria

determinada. Os conteúdos das atividades das unidades dística passam de uma

matéria para outra sem perder a continuidade: a uma atividade que aparentemente

é de matemática segue outra que diríamos que é de ciências naturais, e a seguir

uma que poderíamos classificar como de estudos sociais ou de educação artística.

A diferença básica entre os modelos organizativos disciplinares e os métodos

globalizados está em que nestes últimos as disciplinas como tais nunca são a

finalidade básica do ensino, senão que têm a função de proporcionar os meios ou

instrumentos que devem favorecer a realização dos objetivos educacionais.

(ZABALLA, 1998 p. 141-142)

De acordo com Zabala (1998), o diferencial, além da organização e encadeamento

das atividades na SD, reside no fato de elas atenderem as especificações dos estudantes assim

como do conteúdo a ser estudado. O pano de fundo nesse tipo de trabalho reside no fato de

atender as especificidades dos estudantes e colocá-los em cena no processo de aprendizagem.

As oportunidades comunicativas estabelecidas a partir das análises e reflexões sobre as

atividades, orientam e definem os papeis de cada um dos envolvidos no processo.


189

O que queremos dizer é que mais do que nos movermos pelo apoio acrítico a um

ou a outro modo de organizar o ensino, devemos dispor de critérios que nos

permitem considerar o que é mais conveniente em um dado momento para

determinarmos objetivos a partir da convicção de que nem tudo tem o mesmo

valor, nem vale para satisfazer as mesmas finalidades. Utilizar estes critérios para

analisar a nossa prática e, se convém, para orientá-la em algum sentido, pode

representar, em princípio, um esforço adicional, mas o que é certo é que pode

evitar perplexidades e confusões posteriores. (ZABALA, 1988, p. 86).

A fala de Achure (2019e), a seguir, remete-nos a pensar em relação aos papeis dos

envolvidos no processo de ensino e aprendizagem.

(...) porque nós não somos prontos e acabados, nós estamos sempre em processo

de aprendizagem(...), eu me vi na mesma situação dos meus alunos. (...) Houve

tipo que um despertar, não que ninguém estivesse vendo isso antes. Mas, nós

vimos que tinha a necessidade de estar trabalhando mais a matemática com os

nossos alunos, não que tenha que ser trabalhado só no quinto ano, acho que desde

as séries iniciais, (...) Então, ela (a formação continuada) está para o professor,

mas tá pensando no aluno, como que eu vou preparar esse professor para estar

atendendo esses anseios da educação. Então, eu acho que a formação, ela vai

contribuir muito para o nosso crescimento individual, como pessoa, como

profissional (...). Então, baseado na experiência do meu colega, nos recursos que

ele utiliza, eu posso estar levando isso para minha sala de aula, (...) e nós podemos

trocar essas experiências, e o que eu acho bom da formação é isso, estar em contato

com as outras pessoas. Então, essa troca de experiência para mim é

fundamental.(ACHURE, 2019e)

O valor social das relações do professor com os estudantes vai além do que é ensinado

em sala de aula e, uma vez que todos devem atuar ativamente no processo de solução das

atividades, os diálogos constantes, inclusive sobre assuntos do contexto social em que vivem

os estudantes devem servir para orientá-los em suas atuações na comunidade. Isso remete ao

professor planejar atividades de modo a diversificar as estratégias de ensino, prevendo

situações desafiadoras tanto do ponto de vista do conteúdo das ciências tratadas e discutidas

na escola, como de situações do contexto social. Os diálogos instiguam os estudantes na

busca de soluções e respostas criativas às situações em discussão.

A plasticidade das relações interativas entre professores e estudantes e objeto do

conhecimento por meio do desenvolvimento de SD, permite a adaptação das atividades

previstas de modo que os estudantes em diferentes níveis de conhecimento possam participar

ativamente do processo e expressar suas ideias. Assim o planejamento das ações deve

atender as necessidades dos estudantes; considerar suas experiências; auxiliá-los na

compreensão do que estão fazendo; levá-los a enxergar os processos; deixar claros os

objetivos a serem alcançados; municiá-los com dados e informações que propiciem

condições para que respondam ao que lhes é demandado; propiciar um ambiente de

estudo/trabalho colaborativo; permitir reflexões e trocas de ideias; avaliar as aprendizagens;

dentre outras condições que favoreçam as aprendizagens.

Nessa perspectiva, o ambiente de sala de aula deve ser propício à aprendizagem, o

que requer uma disposição na organização/distribuição dos estudantes distinta daquela de

“cabeça atrás de cabeça”, o que não significa que em determinados momentos os estudantes

não tenham que trabalhar de forma individual, mas esta não pode e nem deve ser


190

predominante. Aconselha-se o predomínio do trabalho colaborativo e em equipe e que as

atividades requeiram a realização de registros dos procedimentos adotados para responder

as tarefas.

Eu acho que o mais difícil é elaborar o material, porque é mais cômodo para nós,

devido a correria, tanto os outros fatores, você só pegar o que vem no livro, ou

então, uma situação e colocar para o aluno. Agora, a parte que você vai se

desdobrar para tentar mostrar para aquele aluno, na maneira mais visual, algo que

ele possa tocar, que ele possa ver, possa vivenciar aquilo. Eu acho que é a parte

mais desafiadora, pelo menos para mim! Porque, você pode ter os materiais, mas

você construir aquele material, você tentar fazer uma multiplicação de frações,

você mostrar a equivalência de frações, você elaborar um material concreto eu

sinto dificuldade em fazer essa parte. (ACHURE, 2019e)

Não é muito difícil produzir a sequência (...) A dificuldade foi pensar o quê que

poderia vir primeiro, aí veio a história da fração, como tudo iniciou. Depois foi a

reunião do grupo para debater como é que iremos iniciar e um sempre quer

iniciar de uma forma ou de outra, (...) (NETO, 2019e)

O planejamento das atividades, a metodologia a ser adotada no processo de solução

das tarefas, a organização dos estudantes, o estabelecimento de critérios e condutas a serem

seguidos no desenvolvimento da SD e a decoração do ambiente de sala de aula, inscrevem-

se no rol de competências do professor e são importantíssimas ao processo de ensino e

aprendizagem porque orientam os papeis dos estudantes, do professor e situa o lugar do

objeto de estudo.

(...) porque nós não somos prontos e acabados, nós estamos sempre em processo

de aprendizagem(...), eu me vi na mesma situação dos meus alunos. (...) Houve

tipo que um despertar, não que ninguém estivesse vendo isso antes. Mas, nós

vimos que tinha a necessidade de estar trabalhando mais a matemática com os

nossos alunos, não que tenha que ser trabalhado só no quinto ano, acho que desde

as séries iniciais, (...) Então, ela (a formação continuada) está para o professor,

mas tá pensando no aluno, como que eu vou preparar esse professor para estar

atendendo esses anseios da educação. Então, eu acho que a formação, ela vai

contribuir muito para o nosso crescimento individual, como pessoa, como

profissional (...). Então, baseado na experiência do meu colega, nos recursos que

ele utiliza, eu posso estar levando isso para minha sala de aula, (...) e nós podemos

trocar essas experiências, e o que eu acho bom da formação é isso, estar em contato

com as outras pessoas. Então, essa troca de experiência para mim é fundamental.

(ACHURE, 2019e)

As falas dos participantes remetem aos termos de Vizolli (2006), em que a formação

inicial e continuada de professores não pode ser constituída de teorias desconexas de práticas

e tampouco distante das indicações ou orientações das pesquisas.

(...) é preciso estudar com os professores teorias e metodologias que fundamentem

sua ação, de forma a melhorar o processo ensino e aprendizagem desta disciplina

(Matemática). Para tanto, o professor que atua na formação de professores deve

discutir com eles, o conteúdo e os objetivos a que se destina a formação

continuada, porque, ao contrário, teremos o que se pode chamar de “pacotes” de

cursos, que pouco tem contribuído com a melhoria da qualidade da ação docente

em sala de aula (VIZOLLI, p. 27-28).


191

Tecendo considerações ...

As pesquisas de Bertoni (2004), Oliveira (2013), Barros (2018), Cardoso (2020),

COSTA (2020), dentre outros, indicam que os professores ensinam matemática nos Anos

Iniciais do Ensino Fundamental carecem de conhecimentos em relação ao conceito de fração.

Este estudo indica que há necessidade de se considerar a diversidade de registros de

representação semiótica, os diferentes significados quea fração comporta, bem como sua

relação com os números decimais e a porcentagem; que os professores tendem a ensiná-la

em seu significado parte/todo, o que é importante, porém insuficiente à compreensão

conceitual.

Ao solicitar que os participantes da pesquisa elaborassem sistemas de numeração e

operassem matematicamente para resolver situações que tratam da história da fração em

diferentes civilizações provocou um certo desconforto, isso porque esse tipo de atividade

exigiu ação intelectual dos cursistas, o que não é algo trivial em cursos de formação de

professores. A pesquisa indicou que muitos participantes não conheciam elementos da

história das frações; a relação com as características dos sistemas de numeração; a existência

de distitnas bases numéricas e os diferetens modos de representar uma fração.

Dos cinco significados apresentados no desenvolvimento da sequência didática, os

cursistas apresentaram facilidade com os significados numérico, medida, parte/todo e

quociente. Os cursistas apresentaram maiores obstáculos com o operador multiplicativo.

Tais resultados corroboram com Silva (1997), segundo o qual, há professores que

apresentam dificuldades em associar frações em diferentes registros. Assim como os

estudantes, alguns professores ainda levam em conta somente a quantidade de partes em que

o todo foi particionado, ficando evidente, mais uma vez, a dificuldade dos cursistas com a

natureza das quantidades contínuas. Por isso a necessidade do ensino de fração considerando

as múltiplas quantidades (discreta, contínua, intensiva e extensiva).

Nosso entendimento é que os professores participantes da pesquisa ampliaram seus

conhecimentos em relação a fração a medida que apresentaram desenvoltura ao converter

frações e resolver problemas envolvendo os diversos significados e natureza das

quantidades. Acreditamos também que este trabalho serva de instrumento para outras

formações, mas de modo algum ele está pronto e acabado, pois a educação é um processo e

como tal, há que se buscar constantemente novas perspectivas.

Os relatos dos professores reverberam dificuldades iniciais e resistências aos

diferentes entendimentos sobre SD até então apresentados à eles, e de acordo com falas dops

os entrevistados persistiram nos primeiros três encontros da formação. O entendimento da

maioria dos cursistas é de que o planejamento de aulas, com atividades sobre conteúdos que

deveriam ser, obrigatoriamente apresentados de forma interdisciplinar.

Ademais, entende-se que sequência didática precisa ser apreendida como um

procedimento de ação pedagógica que estreita as relações entre professores, estudantes e os

conteúdos de aprendizagem, de modo a favorecer a compreensão do conceito do conteúdo

em estudo. Neto (2019c) diz que “ao final da formação, a maioria demonstrara terem

adquirido o entendimento conceitual e a ampliação de seu conhecimento prático em relação

a temática desenvolvida”.


192

O exposto denota que existem diferentes possiblidades de se organizar o trabalho de

sala de aula a partir da proposição e desenvolvimento de SD, assim como se constitui numa

importante fonte de pesquisa aos interessados em compreender os meandros do processo de

ensino e aprendizagem nas diferentes áreas do conhecimento.

Recomenda-se estudos em relação as concepções dos professores sobre sequências

didática e compreender os campos conceituais mobilizados pelos cursistas ao solucionarem

as atividades propostas.

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Idemar Vizolli

Professor na Universidade Federal do Tocantins – UFT




Professora na Rede Pública Municipal de Canaã dos Carajás, PA

Mestranda em Educação pela Universidade Federal do Tocantins – UFT




https://orcid.org/0000-0002-7341-7099


https://orcid.org/0000-0002-6928-6348




O corpo do indivíduo como meio semiótico e centro do sistema referência

no processo de objetivação da orientação espacial

The individual's body as a semiotic medium and center of the reference

system in the process of objectivation spatial orientation


Universidade Federal da Paraíba


Universidade Federal do Rio Grande do Norte

RESUMO

Este artigo tem como objetivo evidenciar como o corpo atua como sistema de referência central

para o desenvolvimento da orientação espacial. Para isso, com fundamentação na Teoria da

Objetivação, desenvolvida por Luis Radford, analisa evidências relacionadas a objetivação dos

saberes matemáticos referentes à orientação espacial, em especial quanto a utilização do corpo do

indivíduo como meio semiótico relevante no âmbito da localização, da movimentação e da

comunicação espacial. Os dados apresentados foram coletados durante uma pesquisa de

intervenção desenvolvida em sala de aula, com estudantes do 6º ano do Ensino Fundamental, em

que foram realizadas tarefas que abordam a orientação espacial. Na análise dos dados coletados,

demonstramos a importância da tomada de consciência dos saberes matemáticos mobilizados em

torno do conceito de lateralidade e a importância do corpo do indivíduo como meio semiótico e

sistema de referência central para o desenvolvimento da orientação espacial, quer seja no espaço

real perceptível, no espaço representacional ou na relação entre ambos.

Palavras-chave: Teoria da Objetivação; meios semióticos; orientação espacial; lateralidade.

ABSTRACT

This article aims to show how the body acts as a central reference system for the development of

spatial orientation. For this, based on the Theory of Objectification, developed by Luis Radford, it

analyzes evidence related to the objectification of mathematical knowledge regarding spatial

orientation, particularly the use of the individual's body as a relevant semiotic medium within the

scope of location, of spatial movement and communication. The data presented were collected

during an intervention research carried out in the classroom, with students from the 6th year of

elementary school, in which tasks were performed that address spatial orientation. In the analysis of

the data collected, we demonstrate the importance of becoming aware of the mathematical

knowledge mobilized around the concept of laterality and the importance of the individual's body

as a semiotic medium and central reference system for the development of spatial orientation,

whether in real space perceptible, in the representational space or in the relationship between the

two.

Keywords: Objectification Theory; semiotic means; spatial orientation; laterality.


195

Introdução

Neste artigo trazemos discussões sobre os resultados de uma pesquisa de

Doutorado (PAIVA, 2019) que objetiva analisar os meios semióticos mobilizados no

processo de ensino-aprendizagem da orientação espacial, que possibilitam ao estudante

estabelecer uma relação reflexiva e ética com o espaço. Essa pesquisa adotou como

referencial teórico a Teoria da Objetivação (TO) desenvolvida por Radford (2006), na qual

o saber é entendido como algo posto culturalmente e historicamente, e o processo de

objetivação ocorre por meio da tomada de consciência dos indivíduos, desses saberes

movimentados durante o labor conjunto, que pressupõe um comprometimento e um

envolvimento na atividade e põe em evidência que o mundo não existe sem o outro.

Destaca-se que o conceito de atividade, na perspectiva da TO, recebe influências

da Teoria da Atividade, de Leontiev, que articula a ideia de atividade como movimento,

com base no Materialismo Dialético, e a caracteriza por seus objeto e motivo (RADFORD;

D’AMORE, 2017). Essa perspectiva embasa um dos conceitos chaves da TO, apresentado

no item 2.1, o de labor conjunto. Portanto sempre que falamos em “atividade” neste texto,

não nos restringimos a uma tarefa escolar, mas também “a uma serie de acoes

mobilizadoras (discussoes orais entre alunos-alunos, alunos-professores, registros escritos,

uso de gestos, dentre outros), de diferentes naturezas (social, cognitiva, dentre outras) que

fomentam o encontro dos envolvidos com o saber matemático” (GOMES, 2020, p. 71).

Em relação aos conceitos de orientação espacial partimos dos estudos de Clements

e Sarama (2009) que definem que orientação espacial e “saber onde você está e como se

locomover no mundo; isto é, entender as relações entre diferentes posições no espaço, a

princípio com respeito à sua própria posicão e ao seu movimento atraves dela.”

(CLEMENTS; SARAMA, 2009, p. 107, tradução nossa).

Para a coleta de dados na pesquisa buscamos estabelecer tarefas para o ensino-

aprendizagem da orientação espacial, fundamentadas na teoria da objetivação, vivenciadas

com estudantes do 6º ano do Ensino Fundamental, para identificar e analisar as

dificuldades envolvidas, as intervenções realizadas e os meios semióticos mobilizados no

processo ensino-aprendizagem da orientação espacial.

Este artigo tem como objetivo evidenciar como o corpo dos indivíduos atua como

sistema de referência central para o desenvolvimento da orientação espacial. Para isso,

analisamos segmentos da atividade realizada na sala de aula durante a vivência das tarefas

e buscamos destacar situações que demonstram a relevância do próprio corpo como

sistema de referência e a compreensão da alteridade espacial, considerando que não

estamos sós no mundo e que no labor conjunto, o outro tem o seu próprio corpo como

sistema de referência central para sua orientação espacial.

Na segunda seção deste artigo apresentamos o marco teórico utilizado para o a

vivência em sala de aula e a análise dos resultados. Na seção seguinte, trazemos o

delineamento metodológico da coleta e análise dos dados. Na quarta seção, realizamos a

descrição do episódio, que serviu de base para a coleta de dados, bem como analisamos

algumas evidências coletadas na pesquisa. Por fim, alinhados com o objetivo deste artigo e

tecemos algumas considerações finais.


196

Marco teórico

Nesta seção delineamos os principais pressupostos teóricos utilizados para a

construção das hipóteses, desenho das tarefas vivenciadas, coleta e análise dos dados.

Discorremos sobre os conceitos utilizados, organizando-os em torno da Teoria da

Objetivação e da orientação espacial.

Teoria da Objetivação

Em relação aos conceitos em torno da Teoria da Objetivação (TO) podemos

compreender que a objetivacão se caracteriza como “os processos sociais atraves dos quais

os estudantes são confrontados com formas de pensamento e ação historicamente e

culturalmente constituídas e gradualmente se familiarizam com eles de uma maneira

crítica” (RADFORD, 2018a, p. 67, traducão nossa). Diante disso, aprender e tomar

consciência dos sistemas de pensamento, reflexão e ação culturalmente e historicamente

constituídos, e ocorre por meio de um labor conjunto. (RADFORD, 2017).

Para a Teoria da Objetivação, o processo de ensino e de aprendizagem não são

processos distintos, separados, com uma ação feita pelo professor (ensino) que passa as

orientações e outra pelo estudante (aprendizagem) que recebe essas orientações, mas como

um processo único, inseparável, um Labor conjunto (RADFORD, 2014b). O labor

conjunto, por sua vez, é a categoria central da TO o que pressupõe que o conhecimento se

revela por meio das interações entre os indivíduos, valorizando a alteridade, e com isso

destacando a importância do papel de cada sujeito nesse processo e pressupõe que o labor

conjunto ocorre por meio da mobilização de meios semióticos.

Nesse sentido, para a TO o processo de objetivação ocorre por meio de uma

atividade semiótica, em que o sistema de signos e significação é visto como algo mais

amplo e imerso dentro de contextos históricos e culturais. Assim, o indivíduo é

compreendido no âmbito de um Sistema Semiótico de Significação Cultural (SSSC), que é

uma estrutura simbólica e dinâmica que estabelece a compreensão de indivíduo e de

mundo (RADFORD, 2016). Os modos de conhecimento são então compreendidos por

meio da relação entre a atividade (labor conjunto) e o SSSC, no qual essa atividade está

imersa. Ressalta-se que, o “[...] SSSC está cheio de tensões, assim como as atividades de

onde elas emanam, e tem uma função normativa (que pode ser explícita, implícita ou

ambas)” (RADFORD, 2016, p. 2, traducão nossa).

Ressaltamos que a tomada de consciência dos saberes postos culturalmente ocorre

por meio do labor conjunto, imerso em um sistema semiótico cultural e dentro de um

Sistema Semiótico. Os signos são entendidos como um registro de representação

semiótica, porém, de uma maneira abrangente, como tudo que exprima significados

(linguagem, gestos, ritmos, escritos, expressões faciais). Destacamos o entendimento de

Radford (2018b) quando ele diz que

[...] não limito o escopo dos signos à marcas ou inscrições. Eu considero os

indivíduos como signos também. Como os signos, os indivíduos ocupam

posições no mundo social e se comportam de maneiras que não são de todo

diferentes dos signos de um texto. Uma diferença crucial entre inscrições e

indivíduos, no entanto, é que os indivíduos não são meramente significados por


197

meio de sintaxes bem definidas, como inscrições e signos tradicionais. As

sintaxes culturais pelas quais os indivíduos passam a se posicionar no mundo

social são menos visíveis: elas fazem parte de uma superestrutura simbólica

cultural dinâmica (RADFORD, 2018b, p. 21, tradução nossa).

Assim, na Teoria da Objetivação o conceito para meios semióticos é o conjunto

desses meios dotados de significado que são mobilizados no processo de objetivação

(RADFORD et al, 2003). No âmbito da mobilização desses meios semióticos destacamos

dois construtos relevantes para as análises desse artigo. O primeiro construto é o nó

semiótico, caracterizado como o segmento do labor conjunto, em que os meios semióticos

foram coordenados de tal maneira que levaram o indivíduo a progressivamente tomar

consciência de determinados saberes mobilizados (RADFORD et al, 2017). É importante

ressaltar que

Um nó semiótico não é um conjunto de signos. É um segmento de atividade

conjunta que geralmente inclui uma coordenação complexa de vários registros

sensoriais e semióticos que os estudantes e professores mobilizam para perceber

algo (por exemplo, uma estrutura matemática ou um conceito matemático

trabalhado) (RADFORD et al, 2017, p. 718, tradução nossa)

O outro construto relevante, é a contração semiótica, que ocorre quando há uma

reorganização dos meios semióticos utilizados no processo de objetivação, de forma a

descartar alguns recursos semióticos inicialmente utilizados e otimizar o processo, por

meio de uma escolha mais consciente daqueles a serem utilizados, simplificando o

processo (RADFORD, 2015).

Na contração semiótica, o estudante usa menos recursos e de forma mais

consolidada, demonstrando um nível mais aprofundado de intelegibilidade e, portanto,

dispendendo menos energia, passa a direcionar a atenção aos elementos centrais do

processo. Diante dos diversos meios semióticos mobilizados no processo de objetivação,

os gestos e a movimentação corporal são considerados relevantes para as análises desse

artigo. Assim, dentre os significados que podem ser expressos por meio do corpo do

indivíduo destacamos a significação espacial, como referência no âmbito da orientação

espacial, conforme discutido na seção seguinte.

Orientação Espacial

Quanto aos saberes matemáticos envolvidos nas análises deste artigo é preciso

compreender, inicialmente, a orientação espacial como constitutiva do pensamento

espacial. Para Clements “[...] o pensamento espacial e importante porque e uma habilidade

humana essencial que contribui para a capacidade matemática” (2008, p. 107, traducão

nossa) e afirma que o pensamento espacial requer aprendizagem da orientação espacial e

da visualização.

A visualização diz respeito a como um indivíduo percebe determinado objeto e

movimenta as partes que o constitui, e nesse caso o observador está externo ao sistema

referencial a que esse objeto pertence. Nessa perspectiva, a posição do observador em


198

relação ao objeto ou mesmo a relação entre objetos observáveis não é necessariamente

relevante.

De outro modo, a orientação espacial requer a compreensão de um sistema

referencial mais amplo, em que a posição do observador em relação ao objeto, ou a posição

desse objeto em relação a outros, é fundamental para a compreensão do espaço no sentido

mais amplo. Podemos considerar que na visualização centramos a atenção no objeto em si,

e, na orientação espacial, centramos a atenção no sistema espacial no qual o objeto está

imerso, e do qual fazem parte outros objetos. Ressaltamos que nesse artigo centramos

atenção aos conceitos matemáticos em torno da orientação espacial, considerando-a

distinta da visualização espacial.

Partindo do conceito proposto por Clements e Sarama (2009), para os quais a

orientação espacial é saber onde você está (localização) e como se locomover no mundo

(movimentação), propomos uma primeira categorização relevante para o desenho das

tarefas e para a análise dos dados quanto aos saberes envolvidos na orientação espacial,

conforme expresso no Quadro 1.

Quadro 1 - Categorias de mobilização de saberes matemáticos nas tarefas de

orientação espacial

Fonte: Paiva (2019)

Na categorização para análise da orientação espacial, apresentada no Quadro 1, a

localização e a movimentação são categorias diretamente ligada ao conceito proposto por

Clements e Sarama (2009). Entretanto, ampliamos essa categorização, incluindo a

comunicação como uma categoria que deve ser analisada de forma distinta da localização e

da movimentação, por consideramos que essa requer mais do que a compreensão de uma

linguagem adequada e significativa para comunicar algo. Requer, também, o

Quanto a mobilização de saberes matemáticos nas tarefas de orientação espacial.

Localização - refere-se à identificação de posições noespaço, de um observador ou de um objeto (estáticos), emrelação a um determinado sistema de referência adotado.

Movimentação - refere-se à identificação do movimentorealizado por um observador ou objeto num determinadoespaço. A posição do observador ou dos objetos se alteramentre eles ou em relação a um determinado sistema dereferência.

Comunicação - Considera-se a alteridade na orientaçãoespacial, ou seja, como um indivíduo comunica a outro (ououtros) indivíduo uma determinada localização oumovimentação no espaço. Destaca-se a relaçãoestabelecida entre o sistema de referência adotado por umindivíduo que comunica determinada orientação espacial eo sistema de referência do indivíduo que recebe amensagem


199

estabelecimento de uma relação entre sistemas de referência espaciais, por quem comunica

a orientação e quem recebe essa comunicação.

Portanto, a comunicação de uma orientação espacial não é meramente uma forma

de informar uma determinada localização ou movimentação no espaço, mas exige a

compreensão de saberes matemáticos e habilidades1 espaciais. Dessa forma, envolve a

compreensão de uma alteridade espacial, de que não estamos sós no mundo, buscando nos

colocar no lugar do outro, neste caso, também no sentido espacial.

Diante da categorização exposta (Quadro 1), definimos então que orientação

espacial é a mobilização de saberes pelo indivíduo para localizar, movimentar, comunicar,

perceber e representar objetos e pessoas no espaco” (PAIVA, 2019, p.58).

Uma segunda categorização (Quadro 2) utilizada como parâmetro para as análises

efetuadas neste artigo, é quanto ao sistema de referência adotado pelo observador durante a

orientação espacial, distinguindo se ele está alicerçado no espaço real perceptível ou no

espaço representacional.

Quadro 2 –Modos de vivência das tarefas de Orientação Espacial

1 Grande parte dos estudos sobre o desenvolvimento de habilidades ligadas a orientação espacial no âmbito

do ensino fundamental tem centralidade no desenvolvimento cognitivo individual do aluno. Todavia,

partindo-se do conceito de ensino-aprendizagem para a Teoria da Objetivação, esta investigação buscou uma

abordagem educacional sobre a orientação espacial, fundamentada no labor conjunto entre os indivíduos

dentro de uma perspectiva histórico-cultural. Com isso, devemos entender habilidade como formas de ação e

reflexão que já existem na nossa cultura e que as “encontramos no curso de nossa vida como objetos

externos” (RADFORD, 2017, p.118).

Quanto aos modos de vivenciar tarefas de orientação espacial com base no

sistema de referência adotado.

Espaço real perceptível - em que o espaço objeto da orientação é oespaço percebível pelos sentidos, especialmente a visão, e neste caso opróprio corpo do observador é elemento central do sistema dereferência;

Espaço representacional - quando a orientação ocorre levando-se emconsideração um sistema de referência de um espaço representacional,seja uma representação gráfica ou na memória, de um espaço real ounão;

Relação entre espaço real perceptível e espaço representacional -quando a orientação espacial ocorre por meio do estabelecimento deuma interligação entre o sistema de referência do espaçorepresentacional e o sistema de referência do espaço real perceptível;

Relação entre espaços representacionais - quando a orientação espacialocorre no estabelecimento de relação entre sistemas de referência deespaços representacionais distintos.


200

Fonte: Paiva (2019).

Para estabelecermos essa categorização (Quadro 2), partimos da distinção

estabelecida entre espaço real e espaço representacional. O espaço real não é caracterizado

apenas pelo fato de existir ou não concretamente, mas aquele espaço que também está

sendo percebido pelo indivíduo no momento da orientação. Nesse caso, um espaço real que

exista, mas não esteja sendo vivenciado e ocupado pelo indivíduo no exato momento de

uma orientação, é um espaço que, naquele momento, está representado na memória do

indivíduo, sendo assim considerado também um espaço representacional.

Assim, podemos considerar que um parâmetro relevante para essa distinção entre o

espaço perceptível e o espaço representacional é o fato do indivíduo que está se orientando

ser ou não considerado como origem do sistema de referência adotado. Nesse caso, para a

compreensão de espaço real, como aquele espaço perceptível no momento da orientação,

com o observador como central no sistema de referência, o corpo do indivíduo, sua

movimentação, seus gestos, são meios semióticos centrais.

Assim, realizamos a análise dos dados coletados com base em elementos da Teoria

da Objetivação, considerando especialmente a articulação de meios semióticos mobilizados

no labor conjunto e essas duas categorizações estabelecidas quanto a orientação espacial.

Aspectos metodológicos

Os dados utilizados para a análise deste artigo foram coletados no âmbito de uma

pesquisa de doutorado, que tem caráter metodológico qualitativo, com o pesquisador

atuando como parte ativa do processo analisado e não apenas como um observador desse

processo. Consideramos como característica relevante da abordagem qualitativa a de que é

“focalizada no indivíduo com toda a sua complexidade, e na sua insercão e interacão com o

ambiente sociocultural e natural.” (D’AMBRÓSIO, 2000, p.103)

Com base no referencial teórico da Teoria da Objetivação e nos conceitos que

envolvem a orientação espacial, desenhamos tarefas a serem vivenciadas durante as aulas

de matemática, numa turma de 6º Ano do Ensino Fundamental, composta por 30

estudantes com a faixa etária, entre 11 e 13 anos de idade, de uma Escola Pública do

Município de Marcação-PB.

O desenho das tarefas foi baseado na estrutura objeto – meta – tarefa, como

proposto por Radford (2015), e proporcionou situações nas quais os estudantes atuassem

em pequenos grupos e, com interações entre os grupos, valorizando as discussões entre os

estudantes, e desses com o professor, considerando a importância do labor conjunto.

A etapa seguinte foi a vivência dessas tarefas na sala de aula. Essas vivências foram

gravadas em vídeos, com duas câmeras fixas e uma móvel, e os episódios relevantes foram

transcritos para coleta de dados. A primeira autora atuou como professora da turma durante

a intervenção na escola.

Os dados analisados neste artigo foram coletados durante a Tarefa-1 e a Tarefa-4,

das seis vivenciadas na pesquisa. A Tarefa-1 foi realizada no primeiro encontro, como uma

forma de conhecer melhor a turma, de estabelecer uma relação de confiança e de


201

reconhecer os conceitos matemáticos envolvidos que os estudantes já tinham consciência.

A Tarefa-4, foi desenvolvida no terceiro encontro com a turma.

Transcrevemos os episódios evidenciando os meios semióticos mobilizados durante

o labor conjunto. Analisamos os dados coletados na transcrição com base nos pressupostos

da Teoria da Objetivação e nas categorias estabelecidas para a análise quanto aos conceitos

matemáticos mobilizados em torno da orientação espacial.

Evidências das tarefas vivenciadas

A vivência da Tarefa-1 ocorreu em 4 horas-aula e permitiu um melhor diagnóstico

da turma e uma melhor aproximação entre a pesquisadora-professora e os estudantes. A

meta dessa tarefa foi realizar um diagnóstico sobre os conceitos de elementos matemáticos

básicos envolvidos na orientação espacial, como por exemplo, a noção de lateralidade,

sistemas de referência, representação gráfica, posicionamento no espaço real e no espaço

representacional e vocabulário de termos linguísticos de significação espacial.

Na discussão geral com os estudantes, solicitamos que alguns explicassem o

caminho que nós faríamos para ir da escola até às suas respectivas casas, com o intuito de

identificarmos os termos mais utilizados por eles, os gestos e a utilização do corpo para

comunicar essa orientação. Nesse momento, percebemos que nenhum dos estudantes

mencionou termos como “direita” e “esquerda” para indicar a orientacão espacial. Embora,

eles conhecessem esses termos, não os utilizaram para exprimir uma orientação espacial.

Com isso, optamos por realizar algumas ações para verificar o estabelecimento da

relação entre esses termos e a respectiva posição do corpo. A partir dessas, identificamos

que a maioria dos estudantes da turma sentiam dificuldade em identificar o lado direito ou

esquerdo do próprio corpo e até mesmo em utilizar o corpo como sistema de referência.

De acordo com Garnica e Martins-Salandim (2014, p.62) “a partir dessas nocoes de

lateralidade inicia-se uma sistematização da percepção da localização de si mesmo, de seu

próprio corpo e de outros objetos, disparando, portanto, um processo de representação do

espaco”. Ressaltamos a distincão entre o conceito de lateralizacão, que e a escolha em

utilizar membros de um lado do corpo para a realização de certas ações, e o conceito de

lateralidade, que requer uma evolução e a compreensão da posição do seu lado esquerdo ou

direito em relação a outros indivíduos e ao espaço à sua volta (GARNICA e MARTINS-

SALANDIM, 2014). Nesse caso, “o que propicia a passagem da ‘lateralizacão’ ao

conhecimento da ‘lateralidade’ e a orientacão no espaco” (PIRES, CURI e CAMPOS,

2000, p. 54).

Embora, essas habilidades espaciais ligadas à lateralidade devam ser trabalhadas e

desenvolvidas desde a educação infantil, nosso grupo de estudantes (entre 11 e 13 anos)

em sua maioria, apresentou dificuldades em expressar esses conceitos básicos. Assim,

optamos por realizar uma discussão específica sobre lateralidade e o uso dos termos direita

e esquerda para exprimir a posição do corpo.

Inicialmente, a pesquisadora-professora solicitou que os estudantes levantassem o

braço direito e, nessa ocasião, apenas uma estudante (Y) levantou o braço, entretanto, o

erguido foi o esquerdo. Como não tínhamos certeza se os estudantes não tinham levantado

os braços por terem dúvidas sobre qual o braço correto ou se estavam envergonhados,


202

alteramos a estratégia e pedimos aos estudantes que levantassem os dois braços e, em

seguida, solicitamos que baixassem o braço esquerdo. Nesse momento, apenas duas

estudantes permaneceram com o braço correto levantado (braço direito). Percebemos então

que havia uma dificuldade real na maior parte da turma em identificar com segurança o

lado direito ou esquerdo do seu próprio corpo.

Na continuidade da atividade com a turma, novas solicitações foram feitas,

conforme transcrito a seguir, entretanto, em uma dessas, ao fazer o comando para que

levantassem o braço direito (L1), a pesquisadora-professora, de frente para a turma,

também levantou o seu.

L1. Pesquisadora-

professora:

Braço direito ... levanta!

Braço direito ... levanta! [de frente para a turma

levantamos nosso braço direito]

A Estudante Y que tinha levantado o braço correto, quando olhou o braço direito da

pesquisadora-professora levantado, teve a impressão de que havia levantado o braço

errado, por isso baixou o seu braço direito e levantou o esquerdo (Imagens 1 e 2)

provocando, nesse instante, alguns risos na turma.

Imagens 1 e 2 – Na imagem da esquerda, a Estudante Y está com o seu braço direito

levantado; e na imagem da direita, o momento seguinte, quando a Estudante Y baixou o

seu braço direito e levantou o seu braço esquerdo.

Fonte: Dados da pesquisa

Na continuidade da atividade, a Estudante X percebeu que a Y tinha trocado o

braço devido a uma impressão equivocada, por conta da diferença de posição entre a

pesquisadora-professora e os estudantes, e disse isso para a sua colega (L2).

L2. Estudante X: Não tá vendo que ela está ao contrário, ‘Estudante Y’!

[Dirigindo-se à Estudante Y e à posição da

pesquisadora-professora]

Nesse momento, ao constatar que a Estudante Y, mesmo com a intervenção

assertiva da Estudante X, ainda não tinha percebido a diferença de posição entre a


203

pesquisadora-professora e si, foi instigada a refletir sobre o comentário da Estudante X

(L3). Porém, a Estudante Y, olhando para o braço direito da pesquisadora-professora ainda

levantado, manteve a sua posição e mais uma vez levantou o seu braço esquerdo (L4).

L3. Pesquisadora-

professora:

E, por que não é esse? [apontado para o braço direito

da Estudante Y]

L4. Estudante Y: É esse! [levanta o braço esquerdo, olha para

pesquisadora-professora e olha para a Estudante X]

A Estudante X, envolvida no labor conjunto e com uma postura de cooperação,

tenta mais uma estratégia para explicar para a Estudante Y a diferença de posição entre os

estudantes e a pesquisadora-professora. Para isso, realiza gestos contundentes,

rotacionando o seu corpo com o braço direito levantado (Imagem 3) para que a Estudante

Y visualizasse espacialmente o que ela estava falando (L5).

L5. Estudante X: Oh! Se tu virar pra lá, não vai ser aquele dali não!

[Toca na Estudante Y, levanta o braço direito e faz um

movimento giratório no corpo e depois aponta para o

braço direito da pesquisadora-professora]

Imagem 3: Sequência de fotos em que a Estudante X dialogava com a Estudante Y,

enquanto rotacionava o seu corpo.


Nesse instante a Estudante Y tomou consciência de que a diferença que ela tinha

percebido entre o braço dela e o da pesquisadora-professora se devia à diferença de posição

entre ambas, já que estavam uma de frente para a outra. A Estudante Y deixa transparecer

que tomou consciência disso, com uma expressão de riso e o rosto envergonhado.

A atuação da Estudante X, no labor conjunto, fez com que a Estudante Y tomasse

consciência sobre a distinção entre a direita e a esquerda do seu corpo e a de uma outra

pessoa à sua frente. Assim, compreendendo que esse é um saber matemático importante

para que todos os estudantes da turma tomem consciência, foi solicitada a atenção de toda

a turma para que a Estudante X explicasse para os demais colegas aquilo que acabou de

demonstrar à Estudante Y.

Ressaltamos que pela categorização estabelecida quanto aos elementos da

orientação espacial, essa evidência descrita pode ser enquadrada na categoria de

localização, com referência ao espaço real perceptível, considerando o próprio corpo como

integrante do sistema de referência. Os gestos, orquestrados pela Estudante X, foram

dotados de uma característica dinâmica fundamentais para que a Estudante Y tomasse


204

consciência da diferença entre considerar o seu próprio corpo ou o corpo do outro como

origem do sistema de referência.

Outra evidência que ressaltamos ocorreu durante a Tarefa-4, que teve como meta

planejada levar os estudantes a interpretarem as orientações de itinerários dadas e

representar por meio de desenhos o trajeto relacionado às respectivas instruções, numa

representação em 2D. Nessa tarefa, procuramos estimular os estudantes a perceberem

elementos importantes na comunicação de uma orientação espacial, quer seja por meio de

instruções escritas, quer seja pela adequada representação gráfica. Após essa discussão

geral, para realizar a Questão-2 da tarefa, foi entregue o desenho de uma planta baixa da

escola e uma orientação escrita para percorrer 3 (três) itinerários distintos dentro da escola.

A planta da escola disponibilizada, continha os nomes dos ambientes, mas nas orientações

dos itinerários citava apenas o nome do ambiente que era o local de partida do primeiro

itinerário (Portão Principal). Era esperado que os estudantes traçassem na planta baixa,

com lápis de cores diferentes, o caminho percorrido por cada um dos três itinerários. A

folha de resposta de um dos grupos de estudantes, com os itinerários percorridos na planta,

delineados com segmentos de retas com cores diferentes, foi apresentada na Imagem-4.

Imagem-4 – Representação gráfica dos itinerários propostos na Questão-

2 da Tarefa-4 da pesquisa, elaborada por um dos grupos.


Nesse segmento da tarefa, destacamos o diálogo entre duas estudantes que

divergiram quanto a movimentação a ser realizada em um dos itinerários na representação

gráfica, quando em determinado ponto do percurso a Estudante M, leu a instrucão “virar à

esquerda” e fez o movimento correto na representacão gráfica. Entretanto, a sua colega,

Estudante V que estava posicionada ao seu lado, disse que com esse movimento a sua

colega estava “indo para trás” e não à esquerda. As duas estudantes descreveram o mesmo

movimento do objeto no espaço representacional e a diferença entre as instruções que cada

uma expressou decorreu do fato de que elas, como observadoras, estavam em posições


205

diferentes em relação à representação gráfica. Nesse momento, foi solicitado à Estudante V

que se movimentasse e ficasse na mesma posição que a Estudante M ocupava em relação à

representação gráfica, de modo a verificar novamente a descrição do itinerário. Com isso,

as estudantes perceberam que pode existir uma diferença na comunicação do movimento

de um objeto no espaço, dependendo da posição do corpo do observador.

Conclusões

No segmento descrito que ocorreu durante a vivência da Tarefa-1, evidenciamos a

dificuldade de estudantes na identificação da direita ou esquerda do seu próprio corpo

(lateralidade). Como pudemos observar na descrição da nossa tarefa diagnóstica a noção da

existência dos termos linguísticos ‘direita’ e ‘esquerda’ era um saber que os estudantes

envolvidos na intervenção tinham consciência. Todavia, não tinham a vivência desse saber

matemático, que relaciona os termos linguístico ‘direita’ e ‘esquerda’, para expressar uma

orientação espacial. Era mais comum na orientação espacial, utilizarem termos como

‘enrola’, ‘vira’, ‘pega ali’, acompanhados do movimento do próprio corpo para

complementar o significado da comunicação espacial.

No âmbito do Sistema Semiótico de Significação Cultural (SSSC) vivenciado com

esse grupo, os termos “direita” e “esquerda” não eram comumente utilizados para

expressar uma orientação espacial. Isso nos remete para uma das funções do SSSC

descritas por Radford, a organizacional, que tem “[...] a ver com a maneira pela qual a

cultura organiza e legitima as relacoes dos indivíduos com o mundo e entre eles”

(RADFORD, 2014a, p. 63, tradução nossa).

Ao tomar consciência da importância do significado dos termos “direita” e

“esquerda” para a comunicacão da orientacão espacial e ao adotar o seu próprio corpo

como central no sistema de referência, percebemos inicialmente a dificuldade de muitos

estudantes em fazer a relação entre o seu lado direito e esquerdo e do outro. Nesse contexto

destacamos a existência de formas de referência alocêntrica, em que as localizações

espaciais são codificadas em termos do ambiente circundante, como por exemplo as

direções cardeais (norte, sul, Leste e oeste) e de formas de referência egocêntricas que

codificam a localização em relação ao próprio corpo (NEWCOMB, 2016).

Como o primeiro sistema de referência geralmente adotado para a localização é

egocêntrico (o próprio corpo), ressaltamos que quanto mais agilidade se tem nessa

identificação inicial da localização de objetos em relação ao corpo do observador, mas

agilmente podemos pensar sobre a localização de outros objetos e entre os objetos.

Entendemos que essa agilidade requer, não mero processo corporal sinestésico e individual

cognitivo, mas a tomada de consciência de saberes ligados a interpretação matemática do

espaço e a sua adequada mobilização junto a outros indivíduos no espaço social. Essa

agilidade requer então, a mobilização de meios semióticos envolvidos nesse aspecto da

orientação espacial configurando uma contração semiótica, que “nos leva a escolher entre

o que conta como relevante e irrelevante; leva a uma contração da expressão e a um nível

mais profundo de consciência e inteligibilidade concomitantes” (RADFORD, 2008b, p. 90,

tradução nossa).


206

Um desafio importante ligado a adoção do próprio corpo como centro do sistema

de referência é estabelecer a relação com o sistema de referência de outros observadores.

No segmento descrito da vivência da Tarefa-1, identificamos a dificuldade da Estudante Y

que estava à nossa frente, em identificar a diferença entre o nosso braço direito e o braço

direito dela. Essa dificuldade ocorre pela diferença em considerar como referência o

próprio corpo ou o corpo de outra pessoa, que está à sua frente. Neste segmento, a

intervenção de uma terceira pessoa, a Estudante X, possibilitou demonstrar a Estudante Y a

diferença entre os sistemas de referência, por meio de movimentos de rotação do seu

corpo, colocando-se ora na posição da Estudante Y, ora na nossa posição. Esse exemplo

nos leva a evidenciar a tomada de consciência dessa alteridade espacial, percebendo o

próprio corpo como central no seu sistema de referência espacial e o corpo dos outros

indivíduos como dotados de uma significação espacial que depende de sua posição no

espaço, sendo que a movimentação dos indivíduos muda a correlação entre esses sistemas

de referência.

Pudemos evidenciar essa tomada de consciência também no segmento de

atividade descrito durante a vivência da Tarefa-4, quando no diálogo entre as estudantes M

e V, ao colocarem-se espacialmente no lugar do outro, as estudantes perceberam que a

utilizacão de termos “esquerda” ou “para trás”, podem significar uma mesma

movimentação no espaço, dependendo da posição do corpo do observador.

Nesse exemplo, evidenciamos também que, ao observar a movimentação de um

objeto no espaço representacional é necessária uma maior atenção aos saberes matemáticos

para reflexão e o estabelecimento da relação entre o sistema de referência do corpo do

observador e o sistema de referência desse espaço representacional. Isso ocorre, por

exemplo, quando seguimos um mapa de uma cidade ao guiar um veículo. Podemos notar

que a maioria dos aplicativos eletrônicos utilizados para guiar as pessoas nas cidades

(GoogleMaps, Waze), para facilitar a relação entre a movimentação nos espaços real

perceptível e representacional, buscam alinhar automaticamente o sistema de referência do

mapa na tela à direção que o corpo do indivíduo se move. Na ocasião em que essa

movimentação ocorre com o uso de um mapa impresso, que não tem esse dispositivo

automático de rotação do sistema de referência, é muito comum que a própria pessoa

busque fazer esse alinhamento e rotacione o mapa impresso, para que fique alinhado à

direção que se movimenta ou numa posição alinhada aos pontos de referência que se

visualiza, para facilitar o estabelecimento da relação do espaço real perceptível com o

espaço representacional.

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Universidade Federal da Paraíba




Universidade Federal do Rio Grande do Norte


ORCID: https://orcid.org/0000-0002-4238-065X

https://orcid.org/0000-0002-4238-065X




Critérios de divisibilidade à luz do ensino por atividades

Divisibility criteria in the light of teaching by activities

Sandro Benício Goulart Castro

Universidade do Estado do Pará

SEDUC-PA

São João de Pirabas

SEMED- Belém

Ana Kely Martins da Silva


SEMED- Belém

RESUMO

Este artigo apresenta os resultados de um estudo baseado no ensino de matemática por atividades

desenvolvido com estudantes do 6º ano do ensino fundamental em uma escola da rede pública do

município de São João de Pirabas, cidade localizada no nordeste paraense, que objetivou analisar a

validade de conclusões produzidas por estudantes sobre critérios de divisibilidade a partir de

atividades de redescoberta. O experimento obedeceu às seguintes etapas: diagnóstico, aplicação das

atividades e análise dos resultados. A análise dos resultados se deu através da comparação dos

registros das observações e conclusões feitas pelos discentes ao final de cada atividade com o

enunciado de alguns livros didáticos sobre tais critérios de divisibilidade. Entre os principais

resultados obtidos podemos destacar o bom desempenho dos estudantes no que diz respeito às

observações e conclusões que foram apresentadas no final de cada atividade, além de mostrarem-se

capazes de resolver questões relativas ao assunto, que lhes foram propostas ao término da

experiência. Por isso pudemos concluir que as atividades causaram impactos positivos na

aprendizagem dos estudantes, ajudando-os na descoberta de regras referentes às divisibilidades por

dois, dez, cinco, quatro e oito.

Palavras-chaves: Ensino de Matemática por Atividades; Divisibilidade; Critérios de divisibilidade.

ABSTRACT

This article presents the results of an experiment based on activity-based teaching developed with

students from the 6th year of elementary school in a public school in the city of São João de

Pirabas, a city located in northeastern Pará, which aimed to investigate whether students could find

out and enunciate criteria for divisibility by two, ten, five and eight without the teacher having

previously formalized them, in addition to verifying their performance in resolving issues that

require knowledge about such criteria. The experiment followed the following steps: diagnosis,

preparation of activities, application of activities and analysis of results. The analysis of the results

was made by comparing the records of observations and conclusions made by the students at the

end of each activity with the statement of some textbooks on such divisibility criteria. Among the

main results obtained, we can highlight the good performance of the students with regard to the

observations and conclusions that were presented at the end of each activity, in addition to proving

themselves capable of resolving issues, related to the subject, that were proposed to them at the end

of the course. experience. Therefore, we were able to conclude that the activities had a positive




210

impact on students' learning, helping them to discover rules regarding divisibility by two, ten, five

and eight.

Keywords: Teaching by activities; Divisibility; Divisibility criteria.

Introdução

A matemática escolar é uma disciplina, considerada por muitos, abstrata e

historicamente de difícil assimilação. Na educação básica este fato é uma realidade, pois

relatos de professores, com os quais convivemos, destacam que boa parte dos discentes não

demonstra interesse em estudar matemática, alegando que as aulas são monótonas e que

eles não conseguem entender muita coisa dos conteúdos ministrados. Tais afirmações

podemos testificar como verdadeiras, devido nossa atuação como docentes da Educação

Básica, em especial o ensino público, há mais duas décadas.

O ensino de matemática tem recebido muitas sugestões de alteração de realização.

As alterações que foram sistematizadas e analisadas têm recebido a denominação de

Tendências em Educação Matemática. Entre essas Tendências temos, segundo Sá (2019), o

ensino de matemática por atividades.

O uso de atividades, na direção apresentada por Sá (2019), foi registrado em muitos

trabalhos, dentre eles podemos citar: Jucá (2008), Moreira (2010), Graça (2011), Paula

(2011), Gomes (2013), Silva (2014), Lopes (2015), Pires (2017), Santos (2017), Silva

(2018), Alves (2018), Batista (2018), Rosas (2018) e Soares (2018).

Em Sá e Salgado (2011) temos os resultados de um estudo que mostrou os

estudantes em aulas de matemática desenvolvidas por meio de atividades com calculadora

produziam conclusões sobre o modo de operar com os números inteiros que eram válidas

quando comparadas com as respectivas regras, enunciadas em livros didáticos.

Neste artigo apresentamos os resultados de uma pesquisa que teve como objetivo

analisar a validade de conclusões produzidas por estudantes sobre critérios de

divisibilidade a partir de atividades de redescoberta.

O ensino de matemática por atividades

O ensino de Matemática por atividades é uma tendência de ensino que aponta uma

proposta que permite que o estudante seja o elaborador do seu próprio conhecimento, o

ajudando assim a entender alterações que lhes auxiliarão a construir sua própria ação de

pensamento. De acordo com Sá (2019), o ensino de matemática por atividades tem

características dentre as quais podemos enumerar:

1) é diretivo, ou seja, segue um conjunto de orientações;

2) tem compromisso com o conteúdo trabalhado;

3) tem compromisso com o desenvolvimento de habilidades que vão além do

conteúdo trabalhado;

4) é organizado;

5) é sequencial;

6) não está necessariamente associado à resolução de problemas;

7) leva em conta os conhecimentos prévios dos estudantes;

8) os resultados são institucionalizados ao final das atividades realizadas;

9) é imprescindível a participação do professor;


211

10) é conveniente para formação de conceitos e acesso a resultados operacionais ou

algorítmicos;

11) é participativo entre estudantes e professor.

Quanto ao objetivo, o ensino de Matemática por atividades pode ser realizado por

dois tipos básicos de atividade: conceituação ou redescoberta.

Nesse sentido, uma atividade de conceituação tem por objetivo levar o estudante a

perceber a ocorrência de determinado tipo de situação/tipo de objeto matemático. A

definição deste objeto percebido é o objetivo da atividade de conceituação. Uma atividade

de redescoberta tem por objetivo levar o estudante a descobrir uma relação ou propriedade

relativa a um dado objeto ou operação matemática. Uma atividade de redescoberta não

representa uma demonstração de um resultado matemático, mas sim a ocasião da

investigação do objeto que precede a demonstração do resultado.

As atividades que utilizamos são de redescoberta, daremos ênfase aos momentos

de elaboração dos tipos de atividades de redescoberta, que segundo Sá (2019), são os

seguintes:

1º) organização: Neste momento a turma deve ser, preferencialmente, organizada

em grupos com no máximo 4 estudantes e no mínimo 2 estudantes. Porém podendo

também ocorrer de forma individual o que não é muito recomendável devido ao fato de

não estimular a troca de ideias que é fundamental para o processo de aprendizagem. Esta

organização deve ser feita, preferencialmente, de forma espontânea onde o professor deve

conduzir as ações, orientando na formação das equipes sem determinações, além de

demonstrar segurança e que planejou com cuidado a atividade, e evitar que os estudantes

desperdicem tempo com ações alheias a organização da turma.

2º) Apresentação: Neste momento, cabe ao professor distribuir o material

necessário para a realização da atividade incluindo o roteiro da mesma. O roteiro pode ser

impresso ou disponibilizado no quadro o que vai depender das condições estruturais da

escola. Para atividades com procedimento mais longo é recomendável que o roteiro seja

viabilizado de forma escrita com intuito de economizar tempo. Esse material deve estar

organizado em kits para facilitar a distribuição do material. Este procedimento evita o

desperdício de tempo. O esperado por parte dos estudantes é a atenção às orientações

apresentadas.

3º) Execução: Este momento corresponde à fase da experimentação quando o

estudante manipula os materiais, realiza medidas e/ou cálculo, compara e/ou examina.

Neste momento, numa aula em que é utilizado o ensino por atividades, deseja-se que cada

grupo realize os procedimentos determinados para a atividade. O professor neste momento

deve deixar os grupos trabalharem com liberdade, supervisiona o desenvolvimento das

ações e auxilia nas dúvidas quando solicitado, e/ou percebe possíveis dificuldades de

execução, que possam surgir em cada grupo no ocorrer da realização do processo. Os

estudantes neste momento devem procurar seguir as instruções determinadas no roteiro da

atividade, sem conversas paralelas ou atenção para assuntos alheios a atividade. Também

devem evitar abandonar o grupo e/ ou ficar visitando outros grupos.

Os estudantes devem ter a oportunidade de atuar no sentido de alcançar os

resultados desejados, porém também devem receber orientações cuidadosas quando


212

tiverem dificuldades ou dúvidas para realizar alguma ação prevista na atividade. As

orientações devem ser claras e precisas para permitir o prosseguimento da atividade sem

constrangimento dos estudantes. Quando uma pergunta ou dúvida salientar que sua origem

é fruto de uma falha das orientações contidas no procedimento ou da confecção do material

a ser utilizado o professor deve imediatamente socializar com a turma o fato e apresentar

uma orientação que contorne o ocorrido e permita o prosseguimento da atividade, se

possível. Esse tipo de situação pode ser evitado, com um planejamento cuidadoso da

atividade.

4º) Registro: Este momento corresponde à sistematização das informações. Neste

instante deseja-se que cada grupo registre as informações obtidas durante a execução das

determinações no respectivo espaço destinado no roteiro. O professor durante a realização

do registro deve monitorar o desenvolvimento das ações e auxiliar eliminando as possíveis

dúvidas que possam ocorrer durante o processo. O ideal é que o roteiro da atividade

contenha espaço adequado para o registro das informações produzidas durante o momento

da execução. Isto facilita o registro e evita o gasto de tempo neste momento.

5º) Análise: É o momento em que se deseja que cada grupo analise as informações

que foram registradas e descubra uma relação válida entre tais informações. Este instante é

fundamental para o bom desenvolvimento da atividade devido, ser o momento em que os

estudantes deverão ter o primeiro acesso a informação desejada pelo professor. Quando

durante a verificação alguma equipe apresentar dificuldade para perceber uma relação

válida a partir das informações registradas o professor deverá auxiliar o grupo por meio da

formulação de questões que orientem os membros de tal equipe a perceberem uma relação

válida. Esta ocasião corresponde a análise dos resultados do experimento. Este é o instante

que deve ser concluído com a elaboração de uma conclusão formulada pelo grupo ou

participante da atividade.

6º) Institucionalização: é o momento em que será produzida a conclusão oficial

da turma a partir das constatações que cada grupo elaborou no momento da análise. O

momento da institucionalização corresponde a grosso modo ao instante da elaboração das

considerações finais de um trabalho cientifico. O exposto elaborado na primeira atividade

realizada por uma turma sem experiência com o ensino por atividades costuma não atender

as condições de um texto convincente. É muito normal que os estudantes reproduzam na

conclusão a relação obtida no momento da observação. Isto não é motivo de grandes

preocupações devido ser uma consequência da pouca experiência dos aprendizes em

realizarem atividades que solicitem a elaboração de textos conclusivos.

Para Sá (2019), o professor, independente de como sejam as conclusões elaboradas

pelos grupos, deve solicitar que um representante de cada um se dirija ao quadro e registre

a conclusão elaborada pela sua equipe. Após analisar as conclusões registradas, o professor

deve perguntar as equipes quais das conclusões apresentadas permitem a alguém que não

participou de tal atividade entender a relação estabelecida. Este momento é oportuno para

que o professor faça considerações sobre as características de uma conclusão. Finalmente o

professor pode elaborar junto com a turma uma conclusão que permita a alguém que não

participou de tal atividade entender a relação estabelecida.


213

Metodologia

O experimento foi desenvolvido em uma escola pública municipal localizada no

Município de São João de Pirabas no nordeste paraense, contando com a participação de

12 estudantes de uma turma do 6º ano do ensino fundamental. Para o desenvolvimento do

experimento seguimos as seguintes etapas: diagnóstico, aplicação das atividades e

análise dos resultados.

Diagnóstico

O diagnóstico da turma foi realizado por meio de um questionário sócio econômico

que teve por objetivo colher informações pessoais dos estudantes, bem como informações

relacionadas aos conhecimentos matemáticos dos mesmos, incluindo a temática proposta

por este artigo, no caso alguns critérios de divisibilidade como: os critérios de

divisibilidade por dois, cinco, dez, quatro e oito.

A análise dos resultados da sistematização das informações obtidos pela aplicação

do questionário, mostrou que a maioria dos estudantes consultados gostavam de

Matemática, embora terem informado que só às vezes entendiam as explicações e sentiam-

se interessados pelas aulas; só estudavam no período de avaliações, mesmo não

trabalhando para ajudar em casa; recebiam a ajuda familiar nas tarefas de Matemática; só

às vezes conseguiam relacionar os conteúdos matemáticos com o cotidiano; diziam que as

aulas de Matemática desenvolviam-se através de definição de conceitos, exemplos e

exercícios ; que o professor os avaliava através de provas e testes semanais; gostavam da

explicação do professor e se sentiam-se tranquilos diante de uma avaliação em

Matemática. Os dados supramencionados foram imprescindíveis para aplicação do

experimento, pois proporcionaram um diagnóstico dos estudantes que tomamos por base

para subsidiar a condução das atividades.

Aplicação das atividades

As atividades foram desenvolvidas em três encontros, onde o primeiro teve início

às 07:30h e término às 08:10, no qual foram trabalhados os critérios de divisibilidade por

dois e o por dez. Nesse dia notamos a surpresa por parte dos estudantes ante a proposta da

atividade, algo que consideramos natural, pelo fato de os mesmos nunca terem trabalhado

com uma metodologia dessa natureza.

Antes da aplicação das atividades, solicitamos que os estudantes se organizassem

em seis grupos de duas pessoas cada. Os grupos foram formados pelos próprios estudantes

sem maiores problemas. Na realização do experimento foi entregue a cada grupo uma folha

contendo a atividade, e uma calculadora que seria usada como recurso didático, a partir daí

orientamos os grupos no sentido de como deveriam preencher as fichas e para fazerem as

devidas observações. Os grupos responderam aos questionamentos da ficha, e, logo em

seguida, foram orientados a conversar entre si no sentido de fazerem observações sobre o

que tinham acabado de realizar.

Após concluído esse momento, solicitamos que um representante de cada grupo

fizesse a socialização no quadro branco do que haviam observado e concluído sobre a

atividade, provocando desta forma uma discussão geral. Em seguida realizamos a


214

institucionalização dos critérios trabalhados, os quais foram escritos no quadro branco, a

fim de que todos pudessem copiar em seus cadernos.

No segundo encontro, que teve início às 07:30h e término ás 9:00h, trabalhamos a

atividade relacionada ao critério de divisibilidade por cinco. Neste dia, notamos os

estudantes mais familiarizados com a atividade e bem mais confiantes no que deveriam

fazer, o que nos exigiu poucas orientações para a execução, registro e análise da mesma.

Após esses momentos, solicitamos novamente que um estudante do grupo socializasse no

quadro branco o que haviam observado e concluído, gerando assim uma discussão geral

entre os grupos, por fim realizamos a institucionalização do critério.

No terceiro encontro, que teve início às 07:30h e término às 09:00h, trabalhamos as

atividades relacionadas aos critérios de divisibilidade por quatro e por oito, onde os

estudantes não mostraram nenhuma dificuldade em relação aos procedimentos a serem

seguidos para o preenchimento da atividade, onde no término um estudante de cada grupo,

como de costume, fez a socialização no quadro branco para logo em seguida fazermos a

institucionalização dos critérios. Vale ressaltar que após cada atividade, foram propostas

questões no sentido de fazer a fixação do conteúdo trabalhado, onde os estudantes

apresentaram desempenho bastante satisfatório.

Análise dos resultados

Para realizarmos a análise dos resultados usamos as observações e conclusões que

foram socializadas pelos estudantes no momento da análise, fazendo a comparação com o

resultado constante dos livros didáticos a seguir:

1) Matemática na medida certa de Marília Centurión e José Jakubovic

(Jakubo).

2) Matemática: ideias e desafios de Iracema Mori.

3) Praticando Matemática de Álvaro Andrini e Maria José Vasconcelos.

4) Matemática: Fazendo a diferença de José Roberto Bonjorno, Ayrton

Olivares, Regina Azenha Bonjorno e Tânia Gusmão.

A primeira atividade desenvolvida foi a relacionada ao critério de divisibilidade por

dois e que teve a participação de todos os estudantes.

A atividade 1 que é uma atividade de redescoberta, é uma adaptação de atividade

proposta em Mendes e Sá (2006, p.45). O Quadro 1 apresenta o roteiro da Atividade 1


215

Quadro 1 Roteiro da Atividade Experimental 1

Atividade 1

Título: Divisibilidade por dois

Objetivo: Descobrir uma maneira de identificar quando um número é divisível por dois,

sem realizar a divisão.

Material: Roteiro da atividade, lápis ou caneta e máquina de calcular.

Procedimento:

Verifique, com o auxílio da calculadora, se os números dados são divisíveis por 2;

Com as informações obtidas preencha o quadro a seguir

Número

O número é par? O número é divisível por 2?

Sim Não Sim Não

72

83

96

114

125

230

425

508

5579 .

1274

Observação:

Conclusão:

Fonte: Castro, Silva e Sá (2019)

Os autores dos livros didáticos, usados como referência, apresentam os seguintes

enunciados em relação ao critério de divisibilidade por dois:

1) Centurión e Jakubovic (2010, p.97): “Um número natural é divisível por dois

quando é par”.

2) Mori (2015, p.113): “Um número natural é divisível por 2 quando ele é um

número par”.

3) Andrini e Vasconcelos (2012, p. 89): “Todo número par é divisível por 2”.

4) Bonjorno et al (2009, p.119): “um número é divisível por 2 quando o algarismo

das unidades for 0, 2, 4, 6 ou 8”.


216

As conclusões dos estudantes para a Atividade 1 estão no Quadro 2.

Quadro 2 Comparação das Conclusões elaboradas para Atividade 1 com livro didático

Grupo Conclusão Autor comparado Validade

1 “Nós concluímos que todo

número que dava par era sempre

divisível por dois”

Andrini e

Vasconcelos (2012);

Centurión e

Jakubovic (2010); e

Mori (2015).

Válida

2 “Nossa conclusão foi que a

mesma resposta da primeira

pergunta foi igual a segunda”

Andrini e

Vasconcelos (2012);

Centurión e

Jakubovic (2010);

Mori (2015) e

Bonjorno et al

(2009)

Inválida

3 “Nós concluímos que podemos

saber se o número é divisível por

2 se ele for par”.

Andrini e

Vasconcelos (2012);

Centurión e

Jakubovic (2010); e

Mori (2015)

Válida

4 “Todo número que é par é

divisível por dois”

Andrini e

Vasconcelos (2012);

Centurión e

Jakubovic (2010); e

Mori (2015)

Válida

5 “Nós concluímos que os números

pares sempre são divisíveis por

2”.

Andrini e

Vasconcelos (2012);

Centurión e

Jakubovic (2010); e

Mori (2015)

Válida

6 “Nós concluímos que todos os

números pares sempre serão

divisíveis por 2”.

Andrini e

Vasconcelos (2012);

Centurión e

Jakubovic (2010); e

Mori (2015)

Válida


Da análise dos resultados do Quadro 2 permite concluir que a maioria dos grupos

conseguiu produzir conclusões válidas a respeito da divisibilidade de um número natural

por 2 após a realização da Atividade 1.

A Atividade 2 foi relacionada ao critério de divisibilidade por 10 tem seu roteiro no

Quadro 3.


217


Atividade 2

Título: Divisibilidade por dez

Objetivo: Descobrir um critério de divisibilidade por dez.

Material: Papel, lápis ou caneta e máquina de calcular.

Procedimento



Número O número é divisível por 10? O número termina em 0?

Sim Não Sim Não

20

26

40

100

325

13140

20425

32420

40628

45680

Observação:

Conclusão:



enunciados em relação ao critério de divisibilidade por dez:

1) Centurión e Jakubovic (2010, p.97): “Um número natural é divisível por 10

quando termina em 0 ”.

2) Mori (2015): “Um número natural é divisível por 10 quando ele terminar em

zero” (p.114).

3) Andrini e Vasconcelos (2012): “Um número é divisível por 10 quando o

algarismo das unidades é zero” (p.89).

4)Bonjorno et al (2009): “um número é divisível por 10 quando termina em 0” (p.

119).


218

O Quadro 4 apresenta as conclusões elaboradas pelos grupos.

Quadro 4 Comparação das Conclusões da Atividade 2 com livro didático



número que termina em zero era

divisível por dez”

Andrini e

Vasconcelos (2012);

Centurión e

Jakubovic (2010); e

Mori (2015).

Válida

2 “Minha conclusão foi que os

primeiros tinham os mesmos

resultados que a segunda

pergunta”

Andrini e

Vasconcelos (2012);

Centurión e

Jakubovic (2010); e

Mori (2015).

Inválida

3 “Nós concluímos que a maioria é

divisível por 10”.

Andrini e

Vasconcelos (2012);

Centurión e

Jakubovic (2010); e

Mori (2015).

Inválida

4 “Todo número que termina em

zero é divisível por dez”

Andrini e

Vasconcelos (2012);

Centurión e

Jakubovic (2010); e

Mori (2015).

Válida

5 “Nós concluímos que os números

que terminavam em zero dava por

dez”. [Sic]

Andrini e

Vasconcelos (2012);

Centurión e

Jakubovic (2010); e

Mori (2015).

Válida

6 “Concluímos que a maioria

terminava em zero e dava por

dez”.

Andrini e

Vasconcelos (2012);

Centurión e

Jakubovic (2010); e

Mori (2015).

Inválida

Fonte: Castro (2019)

A análise dos resultados do Quadro 4 permite concluir que a metade dos grupos

produziu conclusões válidas quando comparadas com os enunciados registrados nos livros

didáticos.

Durante o planejamento da Atividade 2 foi esperado que o total de conclusões

válidas aumentaria em relação à Atividade 1. Entretanto, os resultados produzidos não

concretizaram tal previsão. Nossa análise da realização da Atividade 2 indicou que durante

a realização da mesma não demos a devida atenção na direção de auxiliar os grupos a

direcionarem a atenção para as condições para que um número natural seja divisível por 10


219

no momento da análise dos resultados. Este fato pode justificar a ocorrência do total de

conclusões válidas não ter aumentado como fora previsto.

A Atividade 3 que foi relacionada ao critério de divisibilidade por cinco tem seu

roteiro no Quadro 5.


Atividade 3

Título: Divisibilidade por cinco

Objetivo: Descobrir um critério de divisibilidade por 5.


Procedimento:



Número

O número é

divisível por 5?

O número

termina em 0?

O número

termina em 5?

Sim Não Sim Não Sim Não

165

380

563

246

420

647

1231

5108

10715

9880

Observação:

Conclusão:



enunciados em relação ao critério de divisibilidade por cinco:

1) Centurión e Jakubovic (2010): “Um número natural é divisível por 5 quando

termina em 0 ou 5 ” (p.97).

2) Mori (2015): “Um número natural é divisível por 5 quando ele termina em zero

ou em cinco” (p.114).

3) Andrini e Vasconcelos (2012): “Um número é divisível por 5 quando o

algarismo das unidades é zero ou cinco” (p.89).

4) Bonjorno et al (2009): “um número é divisível por 5 quando o algarismo das

unidades for 0 ou 5” (p. 119).


220

O Quadro 6 apresenta as conclusões elaboradas pelos grupos.



1 “Nós concluímos que quando um

número era divisível por cinco

sempre dava cinco ou zero”.

Andrini e

Vasconcelos (2012);

Centurión e

Jakubovic (2010); e

Mori (2015).

Válida

2 “Minha conclusão foi que os

divisíveis por cinco eram números

como 165, 380 etc.

Andrini e

Vasconcelos (2012);

Centurión e

Jakubovic (2010); e

Mori (2015).

Parcialmente

válida

3 “Concluímos que termina mais em

zero do que cinco”.

Andrini e

Vasconcelos (2012);

Centurión e

Jakubovic (2010);

Mori (2015) e

Bonjorno et al

(2009).

Inválida


número que termina em cinco ou

zero é divisível por cinco”.

Andrini e

Vasconcelos (2012);

Centurión e

Jakubovic (2010); e

Mori (2015).

Válida

5 “Nós concluímos que é divisível

por 5 pois termina em 5”.

Andrini e

Vasconcelos (2012);

Centurión e

Jakubovic (2010);

Mori (2015) e e

Bonjorno et al

(2009).

Parcialmente

válida

6 “Concluímos que a maioria

terminava em 0 ou 5”.

Andrini e

Vasconcelos (2012);

Centurión e

Jakubovic (2010);

Mori (2015) e

Bonjorno et al

(2009).

Inválida


A análise do Quadro 6 indica que a realização da Atividade 3 novamente produziu

conclusões válidas e inválidas, sendo que as válidas foram maioria quando consideramos

as conclusões parcialmente válidas. As conclusões inválidas mostraram que o professor


221

durante o ensino por atividades deve ficar atento ao que está sendo elaborado pelas equipes

no momento da análise. Se o professor constatar que os participantes estão produzindo

conclusões a partir da análise dos resultados sem focar no objetivo da Atividade deve neste

momento direcionar a análise tendo o objetivo como referência. Em nossa opinião a falta

de direcionamento ao objetivo levou a produção das conclusões inválidas.

A Atividade Experimental 4 foi dedicada ao critério de divisibilidade por quatro, o

Quadro 6 apresenta o seu roteiro.


Atividade 4

Título: Divisibilidade por 4


Material: Papel, lápis ou caneta e máquina de calcular (optativa).

Procedimento:Verifique, com o auxílio da calculadora, se os números dados são

divisíveis por 4;


Número

O número é

divisível por 4?

O número

termina em 00?

Os dois últimos

algarismos do número

formam um número

divisível por 4?


300

932

1000

1300

4158

7813

8991

9998

19990

23456

Observação:

Conclusão:



enunciados em relação ao critério de divisibilidade por quatro:

1) Centurión e Jakubovic (2010, p. 99): “Um número natural será divisível por 4

se o número formado pelos algarismos das dezenas e das unidades é divisível

por 4”.

2) Mori (2015, p. 114): “Um número natural é divisível por 4 quando o número

formado pelos algarismos das dezenas e das unidades simples desse número é



222

3) Andrini e Vasconcelos (2012, p. 90): “Um número é divisível por 4, se o

número terminar em 00, ou se os dois últimos algarismos da direita formam um

número divisível por 4”.

4) Bonjorno et al (2009,p. 121): “um número é divisível por 4 se terminar em 00

ou se os dois últimos algarismos da direita, juntos, formarem um número


No Quadro 8 estão as conclusões elaboradas pelos grupos.



1 “O quatro só pode ser divisível

quando o número tem dois zeros

ou quando a soma de seus últimos

algarismos dá um número divisível

por 4”.

Andrini e Vasconcelos

(2012); Bonjorno et al

(2009)

Inválida

2 “A minha conclusão foi que

quando o número é dividido

quando o número termina em

quatro em zero”.



(2009)

Inválida

3 “A minha conclusão que é

divisível quando termina em

quatro ou dois zeros”.



(2009)

Parcialmente

Válida

4 “Quando os dois últimos

algarismos forem divisível por 4”.



(2009)

Parcialmente

Válida

5 “Nós concluímos que o número

dividido por quatro quando o

número termina em zero”.



(2009)

Parcialmente

e válida

6 “Nós concluímos quando um

número é divisível por quatro

quando o número termina em

zero”.



(2009)

Parcialmente

válida


A análise do Quadro 8 indica que para o critério de divisibilidade por 4 os

participantes não elaboraram conclusões válidas, somente foram produzidas quatro

conclusões parcialmente válidas e duas inválidas. Este fato pode ser explicado pela

característica do enunciado do critério de divisibilidade por 4 de ser composto por duas

possibilidades de um número ser divisível por 4. Mais uma vez fica explícita a necessidade

de atenção por parte do docente ao momento da análise dos resultados da atividade para

tentar auxiliar os participantes no sentido de não deixaram de lado aspectos importantes

dos resultados obtidos que são indispensáveis para a produção de uma conclusão válida,

esperada e desejada.


223

A seguir apresentamos a quinta atividade e seus resultados:


Atividade 5

Título: Divisibilidade por 8



Procedimento: Verifique, com o auxílio da calculadora, se os números dados são

divisíveis por 8;


Número

O número é

divisível por 8?

O número

termina em 000?

O número formado

pelos três últimos

algarismos do número

é divisível por 8?


1000

3120

5410

2000

4775

10000

1688

10240

6308

9814

Observação:

Conclusão:


O critério divisibilidade por oito de autores dos livros didáticos, usados como

referência, estão registrados no Quadro 9.

Quadro 10 O critério de divisibilidade por oito em livros didáticos

Autor Critério de divisibilidade por oito

Centurión e Jakubovic

(2010)

“Um número será divisível por 8 se o número formado

pelos algarismos das centenas, dezenas e unidades é

divisível por 8” (p.100).

Mori (2015) “Um número natural é divisível por 8 quando o número

formado pelos algarismos das centenas, dezenas e

unidades simples desse número é divisível por 8”

(p.117).


(2012)

“Um número é divisível por8 quando termina em 000 ou

quando o número formado pelos seus três últimos

algarismos da direita é divisível por 8” (p.90).


224

Bonjorno et al (2009) “Um número natural é divisível por8 se terminar em 000

ou se os três últimos algarismos da direita, juntos,

formarem um número divisível por 8” (p. 121).

Fonte: Pesquisa bibliográfica (2019)

O Quadro 11 apresenta as conclusões produzidas para a Atividade 5.



1 “O número é divisível por oito

quando termina em 000 ou

quando os três últimos números

formarem um número divisível

por oito”.


(2012) e Bonjorno et al

(2009)

Válida

2 “Um número é dividido por oito

quando termina em 3 zeros ou

quando os 3 algarismos formam

o número dividido por 8”.



(2009)

Válida

3 “Concluímos que um número é

divisível por oito quando

termina em três zero ou quando

um número forma número

divisível por oito”.



(2009)

Parcialment

e válida

4 “Um número é divisível por 8

quando termina em 3 zeros ou

quando os 3 últimos algarismos

formar um número divisível por

8”.



(2009)

Válido

5 “Nós concluímos que o número

é divisível por oito quando ele

terminar em 3 zeros ou quando

o número formado da pra

dividir por oito”.



(2009)

Parcialment

e e válido

6 “O número é divisível por oito

quando termina em três zeros

ou quando os 3 últimos

algarismos formarem número

divisível por oito”.



(2009)

Válido


A análise dos resultados do Quadro 11 permite concluir que ao contrário da

Atividade 4 as conclusões da Atividade 5 tiveram o predomínio de conclusões válidas e

parcialmente válidas, com o predomínio das conclusões válidas, sem o registro de

conclusões inválidas.


225

Esta diferença de resultados creditamos a atenção que foi dada de nossa parte ao

momento da análise dos resultados da Atividade e também aos comentários que foram

realizados no momento da institucionalização da Atividade 4.

Quadro 12 Distribuição da validade das conclusões por atividade

Validade Atividades

Total Atividade1 Atividade2 Atividade3 Atividade4 Atividade5

Válida 5 3 2 --- 4 14

Parcialmente

válida

--- --- 2 4 2 10

Inválida 1 3 2 2 --- 8

Não elaborou

conclusão

--- --- --- --- --- ---


A análise do Quadro 12 indica que a validade das conclusões elaboradas teve variação

de atividade para atividade, com a presença de constante da validade, mesmo que parcial,

em cada uma delas. Fato que não ocorreu com a invalidade de conclusões. Outro registro

que consideramos importante realizar é que em todas as atividades sempre foram

elaboradas conclusões, isto demonstrou o envolvimento dos participantes na realização das

tarefas propostas. Também é possível perceber que o total de conclusões válidas em termos

absolutos foi maior que os totais de conclusões parcialmente válidas e inválidas.


A problemática orientadora do estudo cujos resultados aqui foram apresentados foi

o seguinte: O ensino dos critérios de divisibilidade por meio de atividades permite ao

estudante descobrir e enunciar regras válidas sobre o assunto sem que o professor as tenha

apresentado previamente?

Com base nos resultados apresentados a resposta para esta questão não pode ser

apresentada de maneira absoluta e única, mas sim em enfoques diferentes.

Em primeiro lugar os resultados indicaram que foi possível produzir conclusões

válidas sobre os critérios de divisibilidade sem a apresentação prévia do assunto pelo

professor com a ressalva de que há oscilação entre a frequência de conclusões válidas,

parcialmente válidas e inválidas a depender do critério trabalhado.

Em segundo lugar a produção de conclusões válidas tendeu a ocorrer de forma

maioritária.

Desse modo podemos afirmar que o ensino dos critérios de divisibilidade por meio

de atividades mostrou-se viável, vale ressaltar que o mesmo exige pouco esforço por parte

do docente e dos discentes para produzirem enunciados válidos sobre o assunto.

O estudo aqui apresentado tem a limitação de ter sido realizado com apenas uma

turma. Entretanto, os resultados obtidos indicaram a possibilidade de replicação do mesmo

em outras turmas sem grandes problemas.

A replicação do estudo em tela certamente apontará os aspectos do processo de

ensino que necessitam de aperfeiçoamento para que os resultados produzidos sejam ainda

mais significativos do que os aqui apresentados.


226

Os resultados que foram obtidos neste experimento demostraram que os estudantes

são capazes de participar ativamente do processo de aquisição do conhecimento

matemático desde que lhes sejam oferecidas condições para tal, sempre com a participação

do professor para realizar a mediação necessária visando o alcance do objetivo de cada

atividade.

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Belém, 2018.

Sandro Benício Goulart Castro


SEDUC-PA

São João de Pirabas

SEMED


Ana Kelly Martins da Silva


SEMED





Um Estudo sobre o Ensino de Poliedros por Atividades

A Study on Teaching Polyhedra by Activities


Universidade Federal do Pará – Pará – Brasil


Universidade do Estado do Pará – Pará – Brasil

RESUMO

Este trabalho apresenta os resultados de uma pesquisa desenvolvida com discentes do 3º ano do

ensino médio de uma escola pública federal no município de Tucuruí no Estado do Pará no Brasil,

que objetivou analisar a validade de conclusões elaboradas por estudantes sobre aspectos de

Poliedros a partir da realização de atividades experimentais sem que o professor tivesse apresentado

o assunto anteriormente. O experimento obedeceu aos seguintes momentos: diagnóstico, elaboração

das atividades, aplicação das atividades e análise dos resultados. A análise dos resultados obtidos

apontou que o ensino por atividade juntamente com uso de materiais manipuláveis possibilitou que

os discentes enunciassem conclusões válidas sobre propriedades dos Poliedros. Além disso, foi

observado que no experimento em questão, ocorreu uma maior compreensão na aprendizagem dos

discentes durante a descoberta de relações/propriedade na exploração do objeto matemático estudado

e as conclusões produzidas pelos participantes foram comparadas com resultados encontrados em

livros didáticos do ensino médio.

Palavras-chave: experiência didática, poliedros, ensino por atividade, manipuláveis.

ABSTRACT

This work presents the results of a research developed with students of the 3rd year of high school at

a federal public school in the municipality of Tucuruí in the state of Pará in Brazil, which aimed to

analyze the validity of conclusions drawn by students on aspects of Polyhedra from the carrying out

experimental activities without the teacher having previously presented the subject. The experiment

followed the following steps: diagnosis, preparation of activities, application of activities and

analysis of results. The analysis of the results obtained showed that teaching by activity together with

the use of manipulable materials enabled students to make valid conclusions about the properties of

Polyhedra. In addition, it was observed that in the experiment in question, there was a greater

understanding of the students' learning during the discovery of relationships / property in the

exploration of the studied mathematical object and the conclusions produced by the participants were

compared with results found in high school textbooks.

Keywords: didactic experience, polyhedra, teaching by activity, manipulable.

Introdução

O processo de ensino e aprendizagem de Matemática, não só no ensino médio, mas

de modo geral, ou seja, nos vários níveis educacionais, são notórias as dificuldades no

entendimento de conceitos estudados e suas respectivas aplicabilidades de forma concreta,

demonstrando a carência talvez de metodologias que proporcionem a minimização deste

problema, uma vez que o ensino que valoriza apenas a mecanização de exercícios e conjunto


229

de regras que devem ser obrigatórias, ainda é muito utilizado nas metodologias, porém vem

se mostrando pouco eficaz em relação a maioria dos conteúdos matemáticos estudados.

A geometria como ramo da matemática em que se dedica ao estudo das propriedades

e das medidas das figuras no espaço ou no plano, presente na vida do ser humano desde

períodos mais remotos, é uma excelente ferramenta para materializar conceitos matemáticos,

pois considera o espaço em volta do educando, podendo desse modo formalizar

matematicamente a realidade contribuindo com a construção de capacidades e habilidades

intelectuais, sendo de suma importância para o desenvolvimento da capacidade de abstração,

resolução de problemas práticos do quotidiano, estimar e comparar resultados, reconhecer

propriedades das formas geométricas.

Durante o ensino de poliedros, conteúdo pertencente a geometria espacial, a

possibilidade de manipulação favorece a visualização, a qual é um aspecto imprescindível

no estudo da geometria, uma vez que potencializa o entendimento das propriedades destes.

Neste sentido, existem muitas pesquisas enfatizando a importância da visualização, bem

como do raciocínio visual no ensino e aprendizagem de matemática.

Os estudos relacionados ao ensino de poliedros, categorizados por Corrêa (2019)

como estudos diagnósticos, teóricos e experimentais, convergiram em suas conclusões que

uma diminuição significativa das dificuldades pode ser alcançada através da utilização de

metodologias que enfatizem o uso de materiais manipuláveis e softwares de maneira

dinâmica e interativa, isto é, favorecendo a visualização e o manuseio, onde os discentes

tendem a ser mais participativos, e até colaborativos entre si nas atividades propostas, se

sentindo inseridos de forma mais ativa em seu aprendizado.

Nesta perspectiva, o Ensino por Atividades como metodologia tem o potencial de

transformar o discente em autor principal do seu aprendizado, de forma a construir seus

conhecimentos através de atividades de forma ativa, bem como a sua divisão didática através

dos seus respectivos momentos levará a construção do conhecimento através de um processo

de ensino e aprendizagem mais significativos.

Dessa forma, com a finalidade de contribuir para uma possível reversão do cenário

de dificuldades no ensino de geometria, mas especificamente ao ensino de poliedros, no qual

os alunos do ensino médio demonstram dificuldades e baixos rendimentos educacionais, esta

pesquisa tem como objetivo analisar a validade de conclusões elaboradas por estudantes

sobre aspectos de Poliedros a partir da realização de atividades experimentais sem que o

professor tivesse apresentado o assunto anteriormente.

Metodologia

A pesquisa foi desenvolvida no Instituto Federal do Pará (IFPA), campus de Tucuruí,

e contou com a participação efetiva de 26 (vinte e seis) discentes do 3º ano do turno da

manhã da turma técnico em edificações integrada ao ensino médio. Para o desenvolvimento

do experimento seguimos as respectivas etapas: diagnóstico, elaboração das atividades,

aplicação das atividades e análise dos resultados.


230

Diagnóstico

Para construir o perfil dos discentes e diagnosticar seus respectivos desempenhos

acerca da resolução de questões envolvendo poliedros aplicamos um questionário a turma e

seus 26 (vinte e seis) discentes presentes, contendo questões referentes ao perfil

socioeconômico destes, bem como a relação dos participantes com a matemática na vida

escolar.

Os resultados obtidos demonstraram que a turma era composta por 07 discentes do

sexo masculino e 19 discentes do sexo feminino, com idades entre 16 e 19 anos, dos quais

61% responderam que já haviam ficado em dependência em alguma disciplina, sendo 12%

só em Matemática e 27% Matemática e outras disciplinas.

O diagnóstico apontou que a maioria dos discentes (65%) afirmou ter afinidade com

a matemática, gostando um pouco da disciplina. E que 69% dos discentes pesquisados

estudam matemática somente em períodos ligados a prova. No que se refere ao entendimento

dos discentes nas aulas de matemática, as respostas obtidas indicaram que os discentes em

sua maioria, sendo 54%, conseguem chegar as vezes ao entendimento nas aulas.

A respeito das formas de avaliação de matemática que os discentes geralmente são

submetidos, estes responderam em sua maioria (92%), que as formas mais comuns de

avaliação são provas ou simulados.

O diagnóstico também revelou que 92% dos discentes apontaram que as aulas de

matemática iniciaram pela definição seguida de exemplos e exercícios, e ainda que a forma

que o professor costumava praticar os conteúdos eram apenas duas: solicitar que os

estudantes resolvessem os exercícios do livro didático, o que foi apontado por 54% dos

pesquisados; e apresentar aos discentes uma lista de exercícios para serem resolvidos por

estes (citado por 46% dos discentes). Por fim, 62% dos discentes pesquisados afirmaram que

as aulas de matemática despertam seu interesse apenas “as vezes”.

Elaboração das atividades

O Ensino por Atividade é uma metodologia pautada na construção da autonomia do

aluno na construção do seu conhecimento, sendo esta a principal peculiaridade desta

metodologia, onde os conteúdos propostos possam ser descobertos pelo próprio aluno

durante o processo de aprendizagem, tendo o professor apenas como orientador (MENDES

e SÁ, 2006, p. 13).

Essa metodologia, busca apresentar os conteúdos matemáticos através do encontro

de leis gerais, ou ainda de generalizações, sem a intervenção do professor, no que diz respeito

a oferecer informações iniciais, fazendo com que o aluno construa sua aprendizagem por

meio de descobertas (SÁ, 2009, p.18).

Segundo Sá (2019) o ensino por atividades pode ser realizado por dois tipos básicos

de atividade que são a de conceituação e a de redescoberta, as quais possuem características

distintas. Em linhas gerais, enquanto atividade de conceituação visa a construção do

conhecimento durante a definição do objeto matemático, a atividade de redescoberta tem o

enfoque na construção do conhecimento a partir da descoberta das relações/propriedade

durante a exploração do objeto matemático.


231

Apesar da distinção entre os objetivos de uma atividade de conceituação e de uma

atividade de redescoberta, o ensino de matemática por meio de uma aula por ambos os tipos

de atividade, podem ser divididos didaticamente em seis momentos a saber: organização,

apresentação, execução, registro, análise e institucionalização (SÁ, 2019).

Desse modo, embasados no Ensino de Matemática por Atividades e nos seus

respectivos Momentos elaboramos nossas atividades, sendo um total de onze atividades, das

quais abordaremos os resultados de somente três atividades de redescoberta neste momento,

dada a grande extensão destas.

As três atividades que serão abordadas são: Atividade 01, sobre a relação entre as

Arestas e os Vértices de um poliedro; a Atividade 02, tratando da relação entre Arestas e os

Polígonos das faces de um poliedro e a Atividade 03 que traz a Relação de Euler. É

importante destacarmos aqui, que as atividades utilizaram kits de sólidos geométricos

construído para que os discentes manuseassem os poliedros durante a realização destas, os

quais apresentamos a seguir:

Figura 1: Kit de Sólidos Geométricos

Fonte: Corrêa, 2019.

Figura 2: Poliedros construídos para Kit


No decorrer das atividades o nome da caixa onde ficam os sólidos do kit foi

modificado de acordo com o que era proposto no desenvolvimento de cada respectiva

Cubo Grande Cubo

Pequeno Dodecaedro

grande Dodecaedro

pequeno Icosaedro

Grande Icosaedro Pequeno

Octaedro Grande

Octaedro Pequeno

Tetraedro Grande Tetraedro Pequeno

Pirâmide Hexagonal

Grande

Pirâmide Hexagonal Pequena

Poliedro Côncavo

Prisma Quadrangular

Prisma Triangular Grande

Prisma Triangular Pequeno

Pirâmide Quadrangular

Grande

Pirâmide Quadrangular

Pequena


232

atividade de modo a buscar ajudar na identificação e classificação dos sólidos presentes no

decorrer do processo.

Para uma melhor compreensão no desenvolvimento das atividades que propomos,

recomendamos uma leitura minuciosa dos momentos do ensino por atividade de autoria de

Sá (2019).

Aplicação das atividades

Para iniciarmos as atividades primeiramente organizamos a turma em equipes, as

quais foram formadas de maneira espontânea pelos discentes, de no máximo quatro

integrantes, como a turma possuía 26 (vinte e seis) alunos, então foram formados sete grupos,

sendo cinco contendo quatro alunos e dois com três alunos respectivamente. Informamos a

todos que permaneceriam nas mesmas equipes no decorrer de todas as atividades.

Logo em seguida, distribuímos o kit de sólidos geométricos para cada um dos sete

grupos formados, posteriormente apresentamos o referido kit e distribuímos envelopes

contendo as atividades acordo com o número de integrantes de cada equipe.

As atividades eram constituídas com um roteiro contendo os seus respectivos

procedimentos, bem como possuía o espaço destinado as respostas, e outro para posterior

conclusão, a qual buscamos chegar juntamente com os participantes.

De modo geral, os procedimentos descritos nas atividades solicitavam que os

discentes manuseassem os sólidos do kit, e a partir das características observadas

conseguissem chegar em uma conclusão sobre um conceito ou relação envolvendo poliedros.

Para tanto, após a realização dos procedimentos determinados por cada atividade,

bem como as discussões internas entre os grupos, solicitamos que um representante de cada

equipe fizesse a leitura de suas conclusões, instigando desse modo uma discussão com toda

a turma sobre o conceito ou relação encontrados, e posteriormente entrar com a formalização

construída a partir das respostas dos discentes.

Após cada atividade, é importante ressaltamos que solicitamos que os participantes

devolvessem ao envelope a folha referente a esta, o qual recolhíamos, e logo em seguida

distribuíamos outros envelopes contendo questões referentes ao conteúdo proposto em cada

respectiva atividade.

No momento em que os discentes terminavam de resolver as questões solicitávamos

que devolvessem as folhas para os envelopes. E após todos os grupos terem concluído as

resoluções, iniciávamos outra atividade. É importante registrar que durante a resolução os

discentes consultaram o kit de sólidos geométricos com frequência.

Análise dos resultados

Para a análise dos resultados obtidos utilizamos as construções das equipes descritas

nas folhas de atividades, classificando as observações e conclusões de cada grupo como:

Características inválidas, parcialmente válidas e válidas, relacionadas a Poliedro, e

atribuindo as cores vermelha, amarela e verde, respectivamente para cada uma delas. A

seguir apresentamos nossa primeira atividade de redescoberta:


233

Quadro 1: Roteiro da Atividade 01


Esta atividade teve como objetivo a descoberta de uma relação entre as arestas e os

vértices de um poliedro através dos procedimentos descritos na folha da atividade, os quais

eram: identificar os poliedros da atividade presentes na caixa; determinar o total de vértices,

arestas e faces destes; determinar a quantidades arestas presentes em cada vértice; e

preencher o quadro.

De forma geral, a maioria dos participantes executaram de maneira efetiva a atividade

proposta, uma vez que conseguiram perceber sem dificuldades as características dos sólidos

presentes dentro da caixa, e até mesmo começaram a comentar sobre as características dos

que estavam fora da mesma, a seguir apresentamos as características encontradas pelos

discentes e as análises destas:


234

Quadro 2: Resposta dos Discentes sobre Arestas e os Vértices de um poliedro

ALUNO

S OBSERVAÇÕES E CONCLUSÕES ANÁLISE

(GRUP

O 01)

A20,

A22

e A26

OBSERVAÇÃO Observação e

Conclusão

válidas sobre a

relação ente

arestas e

vértices dos

poliedros

O resultado de “v . n” são o dobro do número de arestas.

CONCLUSÃO

O número de arestas de cada vértice multiplicado pelo total

de vértice é igual ao dobro do total de arestas de um

poliedro.

(GRUP

O 02)

A1, A2,

A11 e

A23

OBSERVAÇÃO

Observação e

Conclusão

válidas sobre a

relação ente

arestas e

vértices dos

poliedros

A aresta é a metade do valor multiplicado de vértices com

as arestas que encontram os vértices no polígono.

CONCLUSÃO



poliedro.

(GRUP

O 03)

A7, A9,

A13 e

A18


Conclusão

válidas sobre a

relação ente

arestas e

vértices dos

poliedros

O número de vértices vezes a quantidade de arestas

encontradas em cada vértice é igual ao dobro do número

total de arestas.

CONCLUSÃO

(GRUP

O 04)

A10,

A17

e A24


Conclusão

válidas sobre a

relação ente

arestas e

vértices dos

poliedros

Todos os “V.(n)” são o dobro do número de arestas.

CONCLUSÃO

Em um poliedro convexo o númermo de arestas cada

vértice multiplicado no total de cada vértice é igual ao

dobro no total de arestas.

(GRUP

O 05)


Conclusão

válidas sobre a

relação ente

O número de vértices multiplicado pelo número de arestas

em um vértice sempre dará o dobro do número de arestas.

Poliedro

𝐴 =𝑉.𝑛

2

𝐴 =𝑉.𝑛

2 𝐴 =

𝑉1 .𝑛1+𝑉2 .𝑛2

2

𝑉 × 𝑛 = 2𝐴

𝑉 × 𝑛 = 2𝐴

𝐴 =𝑉.𝑛

2 𝑉 × 𝑛 = 2𝐴


235

A3, A5,

A15 e

A16

arestas e

vértices dos

poliedros CONCLUSÃO

O nº de arestas de cada vértice × total de vértice é igual ao

dobro do total de arestas do poliedro.

(GRUP

O 06)

A6,

A14,

A19 e

A25


Conclusão

válidas sobre a

relação ente

arestas e

vértices dos

poliedros

A multiplicação do número de vértices pelo número de

arestas em cada vértice , sempre sera o dobro do número

de arestas.

CONCLUSÃO

ou

(GRUP

O 07)

A4, A8,

A12 e

A21

OBSERVAÇÃO

Observação e

Conclusão

válidas sobre a

relação ente

arestas e

vértices dos

poliedros

O número total de arestas (A) é sempre metade do produto

do total de vértices (V) e o número de arestas que se

encontram em cada vértice do poliedro.

CONCLUSÃO



poliedro.


Para verificarmos a respectiva validade das observações e conclusões obtidas nos

embasamos em Lima e outros (2006) que afirma que o número de arestas também pode ser

contado através da observação dos vértices do poliedro, através da contagem do número de

arestas que ocorrem nestes, e que bastaria multiplicarmos por três o vértice com gênero V3,

multiplicarmos por quatro o vértice com gênero V4, multiplicarmos por cinco o vértice com

gênero V5, e assim sucessivamente, somando seus respectivos resultados, e por conta de cada

aresta ter sido contada duas vezes, esta soma deverá ser igualada ao dobro do número de

arestas. Logo,

3 4 5 6

3

2 3 4 5 6 ...j

j m

m

A V V V V jV mV

No desenvolvimento desta atividade, como previsto, os discentes tiveram certa

dificuldade no princípio, no que se refere ao preenchimento do quadro, posteriormente na

observação e na conclusão, levando assim um tempo superior ao que planejamos para a

realização da atividade pelos grupos.

Porém, como podemos observar com as análises das conclusões obtidas das equipes,

mesmo existindo dificuldades no desenvolvimento da atividade, estas foram possivelmente

𝐴 𝑉 𝑛12 8 3

𝑉.𝑛24

𝑉 × 𝑛 = 2𝐴 𝐴 =𝑉.𝑛

2 𝐴 =

𝑉1 .𝑛1+𝑉2 .𝑛2

2

2𝐴 = 𝑉 × 𝑛 𝐴 =𝑉.𝑛

2

𝑉 × 𝑛 = 2𝐴 ⇒ 𝐴 =𝑉×𝑛

2


236

superadas, uma vez que todos os estudantes conseguiram possivelmente chegar ao

entendimento da relação existente entre os elementos dos poliedros a qual a atividade se

referia.

Desse modo, acreditamos que todos os participantes conseguiram a partir dos

procedimentos descritos na atividade que levou ao preenchimento do quadro, a observação

e posterior conclusão, chegar à relação entre o número arestas e o número vértices em um

poliedro.

Ao final da realização dos procedimentos descritos na atividade, solicitarmos que um

representante de cada equipe fosse até o quadro e expusesse sua conclusão, em seguida

fizemos a análise das conclusões de todas as equipes presentes no quadro, e tomando por

base as conclusões de cada equipe produzimos a conclusão oficial da turma.

A Atividade 02 tinha como objetivo a descoberta de uma relação entre os polígonos

que formam a face e o total de arestas de um poliedro regular através dos procedimentos

descritos na folha da atividade, sendo estruturada da seguinte forma:


Fonte: Corrêa, 2019


237

Todos os participantes executaram de maneira efetiva a atividade proposta,

conseguindo enumerar várias características dos sólidos que estavam dentro da caixa, a

seguir apresentamos as características encontradas pelos discentes:

Quadro 4: Resposta dos Discentes sobre Arestas e os Polígonos das faces de um poliedro

ALUNO


(GRUP

O 01)

A20,

A22

e A26


Conclusão

válidas sobre a

relação ente

arestas e as

faces dos

poliedros

O número de lados do polígono das faces de um poliedro

multiplicado pelas vezes que se repete é igual ao dobro do

número de arestas.

CONCLUSÃO

(GRUP

O 02)

A1, A2,

A11 e

A23


Conclusão

válidas sobre a

relação ente

arestas e as

faces dos

poliedros

CONCLUSÃO

O dobro do número de arestas é igual ao número de lados

do plígono das faces multiplicado pelas vezes que ele se

repete.

(GRUP

O 03)

A7, A9,

A13 e

A18


Conclusão

válidas sobre a

relação ente

arestas e as

faces dos

poliedros

O número de lados das faces multiplicado pelas vezes que

se repete igual ao dobro do número de arestas.

CONCLUSÃO

(GRUP

O 04)

A10,

A17

e A24


Conclusão

válidas sobre a

relação ente

arestas e as

faces dos

poliedros

O número de arestas é igual metade do número de lados do

polígono das faces pelas vezes que se repete.

CONCLUSÃO

Assim, temos:

(GRUP

O 05)


Conclusão

válidas sobre a

relação ente

O número de faces multiplicado pelas vezes que repete é

igual ao dobro do nº de arestas.

CONCLUSÃO

𝐹 × 𝑛 = 2𝐴 𝑜𝑢 𝐴 =𝐹. 𝑥

2

𝐴 =𝑛.𝐹

2

𝐴 =𝑛1.𝐹1 + 𝑛2.𝐹2

2

𝑛.𝐹 = 2𝐴 𝑜𝑢 𝐴 =𝑛.𝐹

2

𝐴 =𝑛 × 𝐹

2 𝑜𝑢 𝐹 × 𝑛 = 2𝐴


238

A3, A5,

A15 e

A16

O nº das arestas de uma face × pelo nº de vezes que se

repete.

arestas e as

faces dos

poliedros

(GRUP

O 06)

A6,

A14,

A19 e

A25


Conclusão

válidas sobre a

relação ente

arestas e as

faces dos

poliedros

CONCLUSÃO

O número de arestas é igual a metade do multiplicado do

número de lados do polígono das faces pelas vezes que se

repete.

(GRUP

O 07)

A4, A8,

A12 e

A21


Conclusão

válidas sobre a

relação ente

arestas e as

faces dos

poliedros

O número de arestas é igual a metade do número de lados

do polígono das facesmultiplicado pelas vezes que ele se

repete.

CONCLUSÃO


Para examinarmos a respectiva validade das observações e conclusões construídas,

também nos fundamentamos em Lima e outros (2006) que apresenta a relação entre as

arestas com as faces de um poliedro, por meio de um exemplo onde imaginamos um poliedro

qualquer totalmente desmontado com suas respectivas faces sobre uma mesa ou qualquer

outra superfície plana.

Neste cenário, notaríamos que cada uma de suas faces é representada por um

polígono, de modo que se quiséssemos saber a quantidade de lados de cada um destes,

bastaria multiplicarmos o número de triângulos por três (F3), o número de quadriláteros por

quatro (F4), o número de pentágonos por cinco (F5), o número de hexágonos por seis (F6) e

assim sucessivamente, e depois realizar a soma de todos os resultados obtidos. Porém, por

conta de cada aresta do poliedro ser lado de exatamente duas faces, esta soma deverá ser

igualada ao dobro do número de arestas do poliedro, assim:

3 4 5 6

3

2 3 4 5 6 ...i

i n

n

A F F F F iF nF

Ao observarmos as análises das conclusões das equipes, podemos inferir que mesmo

existindo dificuldades durante o desenvolvimento da atividade, estas possivelmente foram

superadas, uma vez que todas as equipes conseguiram chegar a construção da relação

existente entre os elementos dos poliedros que a atividade propunha entre as arestas e as

faces de um poliedro.

𝐹 × 𝑛 = 2𝐴 𝑜𝑢 𝐴 =𝐹 × 𝑛

2

𝐴 =𝑛.𝐹

2

𝐴 =𝑛.𝐹

2 𝐴 =

𝑛1.𝐹1 + 𝑛2 .𝐹2

2

𝐹. 𝑛 = 2𝐴 ⇒ 𝐴 =𝐹. 𝑛

2


239

Novamente ao final da realização dos procedimentos descritos na atividade,

solicitarmos que um representante de cada equipe fosse até o quadro para expor para a turma

sua conclusão, em seguida fizemos a análise das conclusões de todas as equipes, e a partir

de cada uma destas produzimos a conclusão oficial da turma.

A Atividade 03 abordava a Relação de Euler, e estava estruturada da seguinte forma:



Com a execução do preenchimento do quadro pelos grupos, estes começaram as

discussões internamente sobre as observações e conclusões, as quais destacamos a seguir:

Quadro 6: Resposta dos Discentes sobre a Relação de Euler

ALUNO


(GRUP

O 01)

A20,

A22


Conclusão

válidas sobre a

relação de

Euler

A relação V-A+F é igual a 2 em todos os poliedros

convexos e para alguns não convexos.

CONCLUSÃO

A relação V-A+F=2 em todos os poliedros convexos


240

e A26

(GRUP

O 02)

A1, A2,

A11 e

A23

OBSERVAÇÃO

Observação e

Conclusão

válidas sobre a

relação de

Euler

A relação V-A+F é igual a 2 nos poliedros convexos e

alguns poliedros não convexos.

CONCLUSÃO

V-A+F=2 é válido em todos os poliedros convexos e alguns

não convexos

(GRUP

O 03)

A7, A9,

A13 e

A18


Conclusão

válidas sobre a

relação de

Euler

A relação V-A+F é igual a 2 em todos os poliedros

convexos e para alguns não convexos.

CONCLUSÃO

Em todos os poliedros convexos a relação V-A+F=2

(GRUP

O 04)

A10,

A17

e A24


Conclusão

válidas sobre a

relação de

Euler

A relação V-A+F é igual a 2

CONCLUSÃO

A relação V-A+F=2 é válido em todos os poliedros

convexos, e para alguns não convexos.

(GRUP

O 05)

A3, A5,

A15 e

A16

OBSERVAÇÃO

Observação e

Conclusão

válidas sobre a

relação de

Euler

A relação V-A+F é igual a dois em todos os poliedros

convexos.

CONCLUSÃO

A relação V-A+F é igual a dois em todos os poliedros

convexos, sendo paraalguns não convexos.

(GRUP

O 06)

A6,

A14,

A19 e

A25

OBSERVAÇÃO

Observação e

Conclusão

válidas sobre a

relação de

Euler

V-A+F é igual a 2.

CONCLUSÃO

A relação V-A+F=2 é válida em todos os poliedros

convexos e para alguns não convexos

(GRUP

O 07)

A4, A8,

A12 e

A21


Conclusão

válidas sobre a

relação de

Euler

A relação V-A+F=2

CONCLUSÃO

A relação V-A+F=2 em todos os poliedros convexos e para

alguns não convexos



241

Para verificarmos a validade das observações e conclusões desta atividade, também

nos baseamos em Lima e outros (2006), que apresenta por meio de demonstração adaptada

do professor Zoroastro Azambuja Filho, publicada na RPM nº 3 (1983) a relação Euler, a

saber: “Em todo poliedro com A arestas, V vértices e F faces, vale a relação V – A + F = 2”,

e ainda afirma que os poliedros para os quais é válida a relação de Euler, são conhecidos por

poliedros eulerianos, e como consequência da existência de poliedros não convexos que

satisfazem esta relação, e assim toma como a Propriedade que “Todo poliedro convexo é

euleriano, porém nem todo poliedro euleriano é convexo”.

De acordo com as análises das conclusões das equipes, podemos inferir que os

participantes possivelmente conseguiram construir o entendimento da validade da relação

de Euler para poliedros. E como nas demais atividades semelhantes a esta, isto é, contendo

campos para observações e conclusões, solicitamos que um representante de cada equipe

registrasse no quadro a conclusão de sua equipe, posteriormente a partir das conclusões das

equipes construímos a conclusão oficial da turma.

No decorrer do processo de experimentação percebemos que os discentes

participantes da pesquisa ficaram cada vez mais rápidos no desenvolvimento das atividades

propostas, o que corrobora com Sá (1999, p.81), o qual afirma que “a experiência tem

mostrado que o educando fica mais rápido à medida que as atividades são vencidas e deste

modo o maior tempo gasto no início é recompensado posteriormente”.

Durante o estudo das análises das respostas dos discentes percebemos que no decorrer das

atividades a quantidades de respostas consideradas válidas sobre poliedros cresce

significativamente, enquanto que as parcialmente válidas e inválidas diminuem,

demonstrando que os discentes ao longo das atividades conseguiram construir conceitos e

desenvolver respostas.

Um fator que chamou nossa atenção, reiteramos, foi a fala constante dos discentes a respeito

da vontade de que as aulas de matemática fossem conduzidas dessa forma, onde eles

pudessem sair do campo do pensamento, isto é, do abstrato e ver a aplicabilidade da

matemática de forma concreta.

Conclusões dos estudantes e os Livros Didáticos

Com o objetivo de comparar as respostas obtidas nas conclusões dos estudantes

durante nossa pesquisa com as relações/propriedades existentes nos livros didáticos

referentes a Poliedros, selecionamos quatro livros didáticos utilizados no Ensino Médio que

abordam o conteúdo, a saber: Matemática Contexto & Aplicações (2016), Matemática

Ciência e Aplicações (2016), Conexões com a Matemática (2016) e Matemática Paiva

(2015).

Ao buscar compararmos as conclusões obtidas na Atividade 01 com as informações

existentes a relação apresentada, referente as Arestas e os Vértices de um poliedro,

verificamos que os quatro livros destacados não abordam a relação separadamente para

posteriormente apresentar a Relação de Euler, mas sim as apresentam somente em seus

exemplos e exercícios de maneira superficial. O mesmo acontece com a relação apresentada

na Atividade 02, que trata da relação entre as arestas e os polígonos das faces de um poliedro.


242

Essas relações são essenciais no estudo das propriedades de Poliedros, bem como

para o desenvolvimento do entendimento da Relação de Euler e sua respectiva aplicação em

questões que a abordem. E ao apresenta-las sem ênfase, como já percebemos em nossa

experiência docente e no desenvolvimento das atividades apresentadas, poderemos nos

deparar com maiores dificuldades no processo de ensino e aprendizagem do referido

conteúdo.

No que se refere as conclusões obtidas na Atividade 03, que aborda diretamente a

Relação de Euler, podemos observar que estão de acordo com o que apresentam os quatro

livros didáticos selecionados, como observamos no livro Matemática Contexto &

Aplicações (2016), que apresenta os poliedros e solicita que por meio da observação destes

o leitor observe que o número de arestas é exatamente duas unidades a menos do que a soma

do número de faces com o número de vértices.

Na sequência, apresenta a relação de Euler “V-A+F=2”, e posteriormente afirma que

o valor 2 da referida expressão é uma característica de todos os poliedros convexos, e ainda

traz observações sobre a validade da relação, como “Em alguns poliedros (não em todos)

não convexos vale também a relação de Euler”, apresentado exemplos de poliedros não

convexos em que a relação é válida.

No livro Matemática Ciência e Aplicações (2016), apresenta a relação de Euler após

abordar os poliedros e suas fórmulas para o encontro de suas respectivas áreas e volumes,

entre outros. Então de maneira direta afirma que “Pode-se mostrar que para todo poliedro

convexo vale a relação: V - A + F = 2”, e em seguida comenta superficialmente sobre

Leonhard Euler.

Este livro traz exemplos de poliedros com quantidades de vértices, arestas e faces de

poliedros em tabelas, mostrando que os poliedros não convexos geralmente não satisfazem

a relação de Euler, mas sugere que um poliedro não convexo pode ou não satisfazer a relação

de Euler. Por fim, afirma que “Se um poliedro (convexo ou não) satisfaz a relação de Euler,

diz-se que é um poliedro euleriano”.

No livro Conexões com a Matemática (2016), antes da abordagem da relação de

Euler é chamada a atenção para o fato de que os elementos dos poliedros mantêm entre si

muitas relações geométricas, e na sequência afirma que uma das mais importantes é a relação

de Euler que está relacionada aos poliedros convexos.

Para verificar a validade da relação, apresenta três exemplos de poliedros convexos

em que a relação de Euler tem validade, em seguida aponta um exemplo de poliedro não

convexo em que também é válida, neste sentido faz uma observação que embora todo

poliedro convexo satisfaça a relação de Euler, nem sempre um poliedro que satisfaz essa

relação é convexo.

Por fim, o livro Matemática Paiva (2015), aborda como introdução a relação de Euler

as características dos polígonos convexos, posteriormente comenta sobre a descoberta de um

teorema por Leonhard Euler, indicando que em todo poliedro convexo vale a relação “V-

A+F=2”, e posteriormente traz dois exemplos de poliedros convexos em que a relação

apresentada é válida.

Como podemos observar os livros didáticos somente apresentam a Relação de Euler

e sua validade para os poliedros convexos, porém a validade da relação para alguns poliedros


243

não convexos não é aprofundada no desenvolvimento do conteúdo de poliedros. Nas

conclusões construídas pelos grupos podemos verificar que a maioria conseguiu identificar

que a Relação de Euler tem validade para todos os poliedros convexos e para alguns não

convexos, sendo um total de cinco grupos, e apenas dois grupos não identificaram, porém

em suas observações destacaram a validade para alguns não convexos, de modo que

inferimos que entenderam a corrente validade.


Nossa pesquisa objetivou analisar a validade de conclusões elaboradas por estudantes

sobre aspectos de Poliedros a partir da realização de atividades experimentais sem que o

professor tivesse apresentado o assunto anteriormente, e dado ao fato de que todas as

respectivas conclusões obtidas foram válidas no que se refere ao respectivo conteúdo,

consideramos que nossos resultados foram significativos, uma vez que contribuiu para que

os discentes participantes da pesquisa identificassem as regularidades e descobrissem leis

gerais para chegarem ao entendimento das relações desejadas.

Com esta pesquisa, esperamos ter contribuído com para o desenvolvimento do

conteúdo de Poliedros em sala de aula, na intenção de oferecer suporte ao professor, e

buscando favorecer a obtenção do conhecimento pelo discente, para deste modo tentar

ocasionar a existência de maiores possibilidades de um processo efetivo de ensino e

aprendizagem do conteúdo matemático em questão. Temos consciência que o conteúdo de

poliedros e de geometria espacial de modo geral possuem uma grande extensão, o que nos

leva a refletir sobre possíveis atividades a serem futuramente desenvolvidas de forma

semelhante.

Por fim, no que se refere a pesquisas envolvendo o ensino e aprendizagem de

poliedros, acreditamos que nossa pesquisa abre espaço para novas investigações sobre a

referida temática por meio de outras pesquisas envolvendo metodologias semelhantes, ou

ainda outras metodologias.

Referências

CORRÊA, J. N. P. O Ensino de Poliedros por Atividades. 2019. 354f. Dissertação

(Mestrado em Ensino de Matemática) – Universidade do Estado do Pará, PA, Programa de

Mestrado Profissional em Ensino de Matemática, Belém, 2019.

DANTE, Luiz Roberto. Matemática: Contexto & Aplicações: Ensino Médio, 3. ed. São

Paulo: Ática, 2016.

DOLCE, O.; POMPEO, J. N., Fundamentos de Matemática Elementar - Volume 10, 4ª

edição. São Paulo. Editora ATUAL. 1985.

IEZZI, Gelson.; DOLCE, Osvaldo.; DEGENSZAJN, David.; PÉRIGO, Roberto.;

ALMEIDA, Nilze de. Matemática: Ciência e Aplicações: Ensino Médio, volume 2. 9. ed.

São Paulo: Saraiva, 2016.

LEONARDO, Fabio Martins de. Conexões com a Matemática. 3. ed. São Paulo: Moderna,

2016.


244

LIMA, E. L. O teorema de Euler sobre poliedros. In: Meu Professor de Matemática e

outras Histórias - Coleção do Professor de Matemática, Sociedade Brasileira de

Matemática. Rio de Janeiro: IMPA, 1991a.

LIMA, E. L. et al. A Matemática do Ensino Médio - Volume 2, SBM Coleção do Professor

de Matemática. 6ª Edição (2006). Rio de Janeiro.

SÁ, Pedro Franco de. Atividades para o ensino de Matemática no ensino fundamental.



SBEM-PA, 2019. Disponível em http://sinepem.sbempara.com.br/file/V7.pdf.

PAIVA, Manoel. Matemática: Paiva. 3.ed. São Paulo: Moderna, 2015.


Universidade Federal do Pará – Pará – Brasil




Universidade do Estado do Pará – Pará – Brasil





https://orcid.org/0000-0002-1875-4711


https://orcid.org/0000-0003-4511-0185

2 (QVLQR SRU $WLYLGDGHV ([SHULPHQWDLV

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