1ª Aula Advecção - Difusão
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1ª Aula Advecção - Difusão
Objectivos deste capítulo e Método dos volumes finitos.
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Objectivos• Este capítulo tem como objectivos apresentar métodos de
resolução da equação de Advecção – Difusão e fazer uma aplicação num sistema unidimensional.
• Este capítulo dá continuidade ao problema de difusão resolvido em Mecânica dos Fluidos Ambiental. Usa o mesmo código desenvolvido em VBA, adicionando o transporte pela velocidade e juntando alguma complexidade às condições de fronteira num problema com superfície livre.
• O trabalho desenvolvido dá suporte teórico para Modelação Ambiental.
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Programa deste capítulo• Revisão do método do volume finito para quantificação do princípio de
conservação “a taxa de acumulação é igual ao que entra, menos o que sai, mais o que se produz menos o que se consome”.
• Particularidade da advecção por necessitar dos valores sobre as faces do volume finito. Método upwind e método do valor médio (diferenças centrais). Outros métodos de resolução.
• A questão do tempo: métodos explícitos, implícitos e Crank-Nicholson (semi-implícitos).
• A questão da difusão numérica e da estabilidade. Relação entre as propriedades dos métodos numéricos e os princípios físicos. Nº de Courant e nº de Difusão.
• Dedução das equações algébricas a partir das equações diferenciais e das séries de Taylor. Erro de truncatura e precisão do método.
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Processos• Taxa de acumulação:
• Fluxos:– Advectivo: (porquê o sinal “-”)?
– Difusivo:
vol
volcdt
ulaçãoTaxadeAcum
dAnucA
.
dAncA
.
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Localização das variáveis no volume de controlo: Fluxos advectivo e difusivo
através das faces
tx
tx
ttx
ttx VolcVolc t
xxt
xxttxx
ttxx VolcVolc
t
xxt
xxttxx
ttxx VolcVolc
* 2/*
2/ xxxx cQucdA ***
*2/
dA
xcc xxx
xx
* 2/*
2/. xxxxAcQucdAdAnuc
***
*2/.
dA
xccdAnc xxx
xxA
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Aplicando o princípio de conservação
xccAQc
xccAQc
tVolcVolc
xxxxxxx
xxxxxxx
tx
tx
ttx
ttx
2/2/
2/2/
A taxa de acumulação é igual ao que entra menos o que sai, mais o que se produz menos o que se destrói, e admitindo que não há produção nem destruição, obtém-se:
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Hipótese Upwind para a concentração na face
0:
0:
0:
0:
*2/
**2/
*2/
**2/
*2/
**2/
*2/
**2/
xxxxxx
xxxxx
xxxxx
xxxxxx
usecc
usecc
usecc
usecc
xcc
Axcc
ACQCQtVolcVolc xxxxx
xxxxxxxxxxxx
tx
tx
ttx
ttx 2/2/2/2//
• No caso de velocidade positiva (escoamento para a direita):
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Teste em problema unidimensional com volume constante e caudal uniforme
Ci
Ci-1
Ci+1
2
111 2x
cccxccu
tcc t
iti
ti
ti
ti
ti
tti
xcc
Axcc
ACQCQtVolcVolc xxxxx
xxxxxxxxxxxx
tx
tx
ttx
ttx 2/2/2/2//
Se o volume for constante e o caudal e a difusividade forem uniformes fica, em upwind explícito:
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Explícito, Upwind, Cr = 1, Dif=0
i-3 i-2 i-1 i i+1 i+2 i+30 0 0 0 1 0 0 0 11 0 0.00 0.00 0.00 1.00 0.00 0 12 0 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 0 13 0 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0 04 0 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0 0
Time stepGrid point number Total
amount
ti
ti
ti
tti c
xtc
xt
xtuc
xt
xtuc 12212
21
Cr=(Espaço percorrido num intervalo de tempo)/(passo espacial)
Cr=1, implica uma célula por passo => a solução é exacta
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Explícito, Upwind, Cr= 0.5, Dif=0
i-3 i-2 i-1 i i+1 i+2 i+30 0 0 0 1 0 0 0 1.001 0 0.00 0.00 0.50 0.50 0.00 0 1.002 0 0.00 0.00 0.25 0.50 0.25 0 1.003 0 0.00 0.00 0.13 0.38 0.38 0 0.884 0 0.00 0.00 0.06 0.25 0.38 0 0.695 0 0.00 0.00 0.03 0.16 0.31 0 0.506 0 0.00 0.00 0.02 0.09 0.23 0 0.347 0 0.00 0.00 0.01 0.05 0.16 0 0.238 0 0.00 0.00 0.00 0.03 0.11 0 0.149 0 0.00 0.00 0.00 0.02 0.07 0 0.09
10 0 0.00 0.00 0.00 0.01 0.04 0 0.05
Time stepGrid point number Total
amount
ti
ti
ti
tti c
xtc
xt
xtuc
xt
xtuc 12212
21
Temos difusão numérica. A mancha espalha-se. Porquê? Porque violámos a definição de concentração. Como se resolve?
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O que aconteceu?
t0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
t0+Δt 0 0 0.5 0.5 0 0 0 0 0
t0+2Δt 0 0 0.25 0.5 0.25 0 0 0 0
t0+3Δt 0 0 0.125 0.375 0.375 0.125
O modelo é estável: os erros que aparecem diminuem no tempo.
O modelo tem difusão numérica: a concentração vai baixando apesar de a difusão física ser nula.
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Explícito, Upwind, Cr=2
t0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
t0+Δt 0 0 -1 2 0 0 0 0 0
t0+2Δt 0 0 +1 -4 4 0 0 0 0
t0+3Δt 0 0 -1 10 -16 8
ti
ti
ti
tti c
xtc
xt
xtuc
xt
xtuc 12212
21
Temos um modelo instável: os erros aparecem e crescem. Porquê? Num modelo explícito Cr≤1. Os coeficientes têm que ser positivos.
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As instabilidades são consequências da violação de princípios físicos
• Quando as propriedades aumentam num instante, nos instantes seguintes também só podem aumentar.
• Quando Cr>1 o coeficiente de Ci fica negativo. • Neste caso, durante um intervalo de tempo o
volume que sai de uma célula é maior do que o que lá estava no início (Usando volumes finitos é fácil ver que isso é a causa do problema).
• (ver Patankar, Fluid Flow)
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Condição de estabilidade
Condição de estabilidade:
021 2
xt
xtu
ti
tii
ti
tti xxi
CfCeCdc
11
iii fde
ti
ti
ti
tti c
xtc
xt
xtuc
xt
xtuc 12212
21
Forma geral da Equação:
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2ª Aula Advecção - Difusão
Diferenças Centrais. Método implícito. Método QUICK
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Outra opção: Valores médios nas faces =>Diferenças Centrais
*
*2/
**
2/
2
2
xxxxx
xxxxx
ccc
ccc
***2/
*2/
222
xcc
xcc
xcc
xcc xxxxxxxxxxxxxx
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Diferenças Centrais Explícitas
ttttti
xxxxx
xxxxxxxxx
tx
ttx
iiiC
xt
xtuC
xtC
xt
xtuc
xccA
xccACCAuxAcc
11 222
2/2/
21
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1D explicit central differences Courant=1
i-3 i-2 i-1 i i+1 i+2 i+30 0 0 0 1 0 0 0 11 0 0.00 -0.50 1.00 0.50 0.00 0 12 0 0.25 -1.00 0.50 1.00 0.25 0 13 0 0.75 -1.13 -0.50 1.13 0.75 0 14 0 1.31 -0.50 -1.63 0.50 1.31 0 15 0 1.56 0.97 -2.13 -0.97 1.56 0 16 0 1.08 2.81 -1.16 -2.81 1.08 0 17 0 -0.33 3.93 1.66 -3.93 -0.33 0 18 0 -2.29 2.94 5.59 -2.94 -2.29 0 19 0 -3.76 -1.00 8.52 1.00 -3.76 0 1
10 0 -3.26 -7.14 7.52 7.14 -3.26 0 111 0 0.31 -12.54 0.38 12.54 0.31 0 1
Total amount
Grid point numberTime step
Modelo Instável. Porquê? Há um dos coeficientes que é sempre negativo.Propriedade transportiva violada. Como se resolve?
ti
ti
ti
tti c
xt
xtuc
xtc
xt
xtuc 12212 2
212
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Porque é instável?
• Por advecção (ou por difusão) quando as propriedades aumentam num ponto, nos pontos vizinhos só podem aumentar também.
• Isso implica que os coeficientes que multiplicam as concentrações nos pontos vizinhos têm que ser positivos.
• Só adicionando difusão é que isso pode acontecer….
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Condição de estabilidade para diferenças centrais explícitas
Porque é que adicionando difusão o método fica estável?
Porque é que excesso de difusão torna o modelo instável?
![Page 21: 1ª Aula Advecção - Difusão](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081511/56815f18550346895dcde5b8/html5/thumbnails/21.jpg)
Interpretação das diferenças centrais
• Porque é que as diferenças centrais são instáveis sem difusão? – Resp: Violam a propriedade transportiva. Um ponto fica a
saber o que está abaixo através da advecção, o que é fisicamente impossível.
• Porque é que a difusão pode estabilizar as diferenças centrais?– Resp: Porque a difusão transporta a informação para
montante. No caso de a difusão ser importante a advecção transporta efectivamente para jusante coisas que foram transportadas para montante pela difusão.
![Page 22: 1ª Aula Advecção - Difusão](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081511/56815f18550346895dcde5b8/html5/thumbnails/22.jpg)
Continuação• Poderão as diferenças centrais explícitas ser usadas quando a advecção é
dominante?– Resp: Não. Nesse caso difusão transporta para montante muito menos do que a
advecção transporta para jusante (Reynolds da malha) • Se a difusão for dominante é preferível usar diferenças centrais ou upwind?
– Se a difusão for dominante as diferenças centrais são vantajosas porque têm precisão de 2ª ordem e por isso introduzem menos difusão numéricas
• E se o algoritmo fosse implícito? Seria o algoritmo mais estável?– Resp: Sim. Nesse caso a solução seria função dos valores das variáveis no passo de
tempo seguinte. Se a advecção tende a criar concentrações negativas, a difusão aumenta automaticamente para porque o gradiente de concentração aumenta.
• E se o método fosse upwind? – Resp: nesse caso as concentração não pode ficar negativa. Em upwind a concentração
fica negativa se retirarmos de uma célula mais do que lá existe para sair. Mas como em implícito o que sai é função da nova concentração, se ela ficasse negativa isso significaria que sairia uma quantidade negativa e por isso a concentração cresceria…..
![Page 23: 1ª Aula Advecção - Difusão](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081511/56815f18550346895dcde5b8/html5/thumbnails/23.jpg)
Outros métodos para a advecção• Upwind: Passa numa face o que está a montante.• Diferenças centrais: Passa numa face a média do que está dos
dois lados. • E se ajustássemos um polinómio de 2ª ordem a 3 pontos?
Obteríamos o método QUICK: (Quadratic Upstream Interpolation for Convective Kinematics):
• Tem precisão de terceira ordem. Tem mais problemas de estabilidade (em situações particulares, nomeadamente junto às fronteiras.
• Afinal qual é o melhor método?
18
118
386
281
83
186
21
21
0
0
iiiii
iiiii
CCCCQ
CCCCQ
![Page 24: 1ª Aula Advecção - Difusão](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081511/56815f18550346895dcde5b8/html5/thumbnails/24.jpg)
Método implícito
tttxx
ttx
tt
ttxxxxx
ttxxx
tx
ttx
ttxxx
xx
ttxxx
xxtt
xxxtx
ttx
xxxcc
xtc
xt
xtuc
xt
xtu
xccc
xCCu
tcc
xccA
xccACCAuxAcc
222
2
2/2/
21
2
ti
tti
ttii
tti CCfCeCd
ii
111
itt
itt
iitt
i TICfCeCdii
11
1
![Page 25: 1ª Aula Advecção - Difusão](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081511/56815f18550346895dcde5b8/html5/thumbnails/25.jpg)
Porque serão os métodos implícitos incondicionalmente estáveis?
• UPWIND– No método explícito o que sai de uma célula é o que lá está
em “t”. No método implícito o que sai é o que lá vai estar em “t+dt”.
– No método explícito, quando se retira de uma célula mais do que lá está para sair, a concentração fica negativa.
– No método implícito não pode ficar porque o que sai é função do que lá vai estar e por isso, se a concentração pudesse ficar negativa, sairia uma quantidade negativa e por isso a concentração iria aumentar e não diminuir. Isto mostra que é impossível ficar com concentrações negativas em upwind.
– E em diferenças centrais?
![Page 26: 1ª Aula Advecção - Difusão](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081511/56815f18550346895dcde5b8/html5/thumbnails/26.jpg)
Porque são as diferenças centrais implícitas mais estáveis que as explícitas?
• No caso das diferenças centrais, o que entra numa célula é o que está a montante e o que sai é calculado em função do que está a jusante ( em explícito viola a propriedade transportiva da advecção).
• Em explícito, sem difusão a solução é instável (viola a propriedade transportiva). Em implícito, o que sai de uma célula é o que vai estar a jusante e o que entra é o que vai estar a montante. Se a concentração a montante de uma célula for nula, nessa zona ela vai ter que ficar negativa. No entanto, o valor negativo a montante vai entrar na célula de jusante e vai fazê-lo baixar, o que implica que vai ser removido menos material de montante e por isso que a concentração vai ser menos negativa.
![Page 27: 1ª Aula Advecção - Difusão](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081511/56815f18550346895dcde5b8/html5/thumbnails/27.jpg)
Diferença entre métodos explícitos e implícitos
t
c
t1 t1+Δt
Método Explícito
Método implícito
Têm erros da mesma ordem de grandeza. Se um é por excesso o outro é por defeito. O método ideal é a média dos dois.
![Page 28: 1ª Aula Advecção - Difusão](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081511/56815f18550346895dcde5b8/html5/thumbnails/28.jpg)
Método Semi-implícito (Crank – Nicholson)
ti
tii
ti
tti
ttii
tti iiii
CfCeCdCfCeCd1111 2
1211
21
21
211
21
ti
tii
ti
tti xxi
CfCeCdc
11
Método explícito:
Método implícito:
ti
tti
ttii
tti CCfCeCd
ii
111
Método Semi-implícito (Crank – Nicholson):
Requer o dobro das contas, mas deve ser mais preciso.
![Page 29: 1ª Aula Advecção - Difusão](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081511/56815f18550346895dcde5b8/html5/thumbnails/29.jpg)
3ª Aula Advecção - Difusão
Séries de Taylor para obtenção das equações algébricas.
![Page 30: 1ª Aula Advecção - Difusão](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081511/56815f18550346895dcde5b8/html5/thumbnails/30.jpg)
Formas da equação
)( kkjjj
kjk PFxc
xxcu
tc
)( kkj
kjj
k PFxccu
xtc
Escrevendo na forma da divergência dos fluxos:
Onde o 1º termos do 2º membro é o simétrico da divergência dos fluxos, i.e. o que entra menos o que sai.
)( kkjjj
kj
kk PFxc
xxcu
tc
dtdc
Ou na forma convencional:
![Page 31: 1ª Aula Advecção - Difusão](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081511/56815f18550346895dcde5b8/html5/thumbnails/31.jpg)
Séries de Taylor
• Estão na base do método das diferenças finitas, que são da mesma família dos Volumes Finitos.
• Os Elementos Finitos/Elementos de fronteira são a segunda principal família de métodos numéricos.
t
in
nnt
i
t
i
t
i
ti
tti t
cnt
tct
tct
tctcc
!....
!3!2 3
33
2
22
![Page 32: 1ª Aula Advecção - Difusão](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081511/56815f18550346895dcde5b8/html5/thumbnails/32.jpg)
O que representa a série de Taylor?t
in
nnt
i
t
i
t
i
ti
tti t
cnt
tct
tct
tctcc
!....
!3!2 3
33
2
22
t1 t1+Δt
Δt
Δc
Outras derivadas Δc 1ª Derivada: Δc/ Δt
t
c
![Page 33: 1ª Aula Advecção - Difusão](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081511/56815f18550346895dcde5b8/html5/thumbnails/33.jpg)
Como usar para calcular as derivadas?t
in
nnt
i
t
i
t
i
ti
tti t
cnt
tct
tct
tctcc
!....
!3!2 3
33
2
22
)(
)( 2
ttcc
tc
ttctcc
ti
tti
t
i
t
i
ti
tti
Método Explícito: A derivada é calculada à esquerda “em t” e tem precisão de 1ª ordem, ou seja, as derivadas que foram ignoradas estão multiplicadas por )( t
O erro ser proporcional a significa que “o erro do cálculo aumenta quando o passo de tempo aumenta.
A derivada ser calculada à esquerda significa “à esquerda do intervalo de tempo”, i.e. em “t” e por isso o método é explícito. Todas as derivadas (i.e. todos os termos da equação) são calculados em “t”.
)( t
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Mas poderia ter feito calculado a derivada à direita do intervalo de tempo
tt
in
nntt
i
tt
i
tt
i
tti
ti t
cnt
tct
tct
tctcc
!
....!3!2 3
33
2
22
)(
)( 2
ttcc
tc
ttctcc
ti
tti
tt
i
tt
i
tti
ti
Método Implícito: A derivada é calculada à direita “em t+dt” e tem precisão de 1ª ordem, ou seja, todas as derivadas que foram ignoradas estão multiplicadas por )( tIsto significa que o erro do cálculo aumenta quando o passo de tempo aumenta. Os métodos implícitos e explícitos têm a mesma precisão.
![Page 35: 1ª Aula Advecção - Difusão](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081511/56815f18550346895dcde5b8/html5/thumbnails/35.jpg)
Para calcular a derivada no centro do intervalo teria que calcular os valores nos extremos a partir daquele
2/2/
3
332/
2
222/2/
!2/....
!32/
!22/2/
tt
in
nntt
i
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i
tti
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cnt
tct
tct
tctcc
Subtraindo uma da outra:
2/2/
3
332/
2
222/2/
!2/....
!32/
!22/2/
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22/
32/
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2/
ttcc
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tti
Neste método a derivada é calculada no centro do intervalo de tempo e tem precisão de 2ª ordem. Dá a solução exacta até uma evolução parabólica. As derivadas ignoradas estão multiplicadas por 22/t
![Page 36: 1ª Aula Advecção - Difusão](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081511/56815f18550346895dcde5b8/html5/thumbnails/36.jpg)
O que representa a série de Taylor?t
in
nnt
i
t
i
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tti t
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!3!2 3
33
2
22
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t1 t1+Δt
Δt
Δc
Outras derivadas
1ª Derivada: Δc/ Δt
Método ImplícitoMétodo Explícito
Método Diferenças Centrais
![Page 37: 1ª Aula Advecção - Difusão](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081511/56815f18550346895dcde5b8/html5/thumbnails/37.jpg)
Derivadas espaciaist
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)(
)( 2
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xc
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txi
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txi
Derivada à direita, Método downwind, se velocidade positiva
Neste método a derivada espacial num ponto é calculada a partir da informação no ponto e da informação à direita.
Veremos mais adiante que este cálculo cria problemas se esta derivada for usada para calcular o termo advectivo quando a velocidade é positiva.
![Page 38: 1ª Aula Advecção - Difusão](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081511/56815f18550346895dcde5b8/html5/thumbnails/38.jpg)
Derivadas espaciais
Derivada à esquerda: “Método upwind” se velocidade positiva e downwind se fosse negativa.
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ti
txi
Neste método a derivada espacial num ponto é calculada a partir da informação no ponto e da informação à esquerda. Este método respeita a propriedade transportiva da velocidade se esta for positiva, mas não se for negativa. Nesse caso a derivada deveria ser calculada “à direita”.
![Page 39: 1ª Aula Advecção - Difusão](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081511/56815f18550346895dcde5b8/html5/thumbnails/39.jpg)
Subtraindo uma equação da outra
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)(2
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3
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Diferenças Centrais
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![Page 40: 1ª Aula Advecção - Difusão](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081511/56815f18550346895dcde5b8/html5/thumbnails/40.jpg)
2ª Derivada**
3
33*
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xcx
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)(2
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2
2
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2
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xx
cccxc
xtcxccc
xiixi
i
iixixi
Adicionando:
![Page 41: 1ª Aula Advecção - Difusão](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081511/56815f18550346895dcde5b8/html5/thumbnails/41.jpg)
4ª Aula Advecção - Difusão
Equações algébricas. Erro de truncatura, condições iniciais e
condições de fronteira.
![Page 42: 1ª Aula Advecção - Difusão](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081511/56815f18550346895dcde5b8/html5/thumbnails/42.jpg)
Sumário da aula anterior• Na última aula vimos como obter equações algébricas a partir das equações
diferenciais, usando séries de Taylor.• Vimos que poderíamos obter facilmente discretizações com precisão de primeira ou
de segunda ordem no tempo e/ou no espaço e vimos o que queria dizer o erro de truncatura.
• Combinando este conhecimento com o que obtivemos quando analisamos o problema com o método dos volumes finitos concluímos que nem sempre o menor erro de truncatura significa menor erro dos resultados.
• Para se obterem bons resultados é necessário garantir o respeito pelos princípios físicos, nomeadamente:
– Conceito de Concentração, que tem que ser mais ou menos uniforme no interior da célula,– A transportividade da advecção,– Que uma célula não é despejada numa iteração (Cr ≤ 1).
• Os métodos implícitos respeitam os processos físicos de forma semelhante aos explícitos e são mais estáveis. OS métodos semi-implícitos são mais estáveis e têm maior precisão que os explícitos.
![Page 43: 1ª Aula Advecção - Difusão](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081511/56815f18550346895dcde5b8/html5/thumbnails/43.jpg)
Equações Algébricas• Obtêm-se substituindo as derivadas pelas
aproximações:
• Explícito, diferenças centrais. Precisão de 2ª ordem no espaço e 1ª no tempo.
• Semi-implícito (Crank-Nicholson) diferenças centrais espaço. Precisão de 2ª ordem no tempo e no espaço.
222 2
2x
xcccx
xccut
tcc t
xxtx
txx
txx
txx
txx
tt
22
2/2/2/2
2/2/2 2
2x
xcccx
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tcc tt
xxtt
xttxx
ttxx
ttxx
txx
tt
O que se paga pela precisão de 2ª ordem no tempo?
![Page 44: 1ª Aula Advecção - Difusão](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081511/56815f18550346895dcde5b8/html5/thumbnails/44.jpg)
Como se obtém o valor em (t+Δt/2) ?Fazendo a média…..
• Adicionando as equações!
2/2/
3
332/
2
222/2/
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!32/
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!2/....
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!22/2/
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tct
tct
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22/
2/
2
222/
2/2
.....2/2
tccc
tctccc
tti
titt
i
tt
i
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tti
• Substituindo estes termos nas equações obtém-se a equação a resolver.
![Page 45: 1ª Aula Advecção - Difusão](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081511/56815f18550346895dcde5b8/html5/thumbnails/45.jpg)
Explícito Upwind
• Precisão de 1ª ordem no tempo e no espaço para advecção. Segunda ordem para difusão.
• Esta equação pode ser organizada na forma:
222 2 x
xcccx
xccut
tcc t
xxtx
txx
txx
tx
tx
ttx
)(1 11 PFcfcecdc tii
tii
tii
tti
ti
ti
ti
tti c
xtc
xt
xtuc
xt
xtuc 12212
21
![Page 46: 1ª Aula Advecção - Difusão](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081511/56815f18550346895dcde5b8/html5/thumbnails/46.jpg)
Forma geral da Equação )(11111 1111 PFcfkcekcdkckfckeckd t
iitii
tii
ttii
ttii
ttii
Explicito, upwind:
xtuCr
2ºxtDifN
Números de Courant e de Difusão
ti
ti
ti
tti c
xtc
xt
xtuc
xt
xtuc 12212
21
K=1=> implícito. K=0 => Explicito, k=0.5=> Crank-Nicholson:
![Page 47: 1ª Aula Advecção - Difusão](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081511/56815f18550346895dcde5b8/html5/thumbnails/47.jpg)
Sobre a precisão do cálculo• No cálculo implícito e no cálculo explícito as derivadas são calculadas
nos extremos do intervalo de tempo. Estes métodos ignoram todas as derivadas a partir da primeira: têm precisão de primeira ordem ou “até à primeira ordem”.
• Os termos da série de Taylor ignorados estão multiplicados por• Quando a derivada é calculada no centro do intervalo de tempo as
derivadas só são ignoradas a partir da segunda. São métodos com precisão de 2ª ordem, ou “até à 2ª ordem”. Se a função for uma recta ou uma parábola o cálculo da derivada é exacto.
• Os termos da série de Taylor ignorados estão multiplicados por• Mas >1 então quanto maior é a ordem de precisão do cálculo,
maior é o coeficiente dos termos ignorados. Porque é que a precisão do cálculo aumenta?
)( t
22/t)( t
![Page 48: 1ª Aula Advecção - Difusão](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081511/56815f18550346895dcde5b8/html5/thumbnails/48.jpg)
Porque aumenta a precisão com o expoente de ? )( t
2/1
!2/
tt
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Porque os termos ignorados são da forma:
O cálculo da derivada faz aparecer em denominador o intervalo de tempo elevado n e o coeficiente está elevado a (n-1) e por isso o produto é proporcional a ou seja à primeira derivada multiplicada pelo inverso do factorial de n e por isso quanto maior é o valor do expoente do intervalo de tempo, menor é o valor dos temos desprezados.
Esta conclusão é consistente como facto de as derivadas perderem importância à medida que a ordem aumenta.
)/()( tc
![Page 49: 1ª Aula Advecção - Difusão](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081511/56815f18550346895dcde5b8/html5/thumbnails/49.jpg)
Condições Iniciais e de Fronteira
• Iniciais podem ser importantes ou não• Fronteira idem. Como se impõem?
Ci
Ci-1
Ci+1
ti
tti
ttii
tti CCfCeCd
ii
111
![Page 50: 1ª Aula Advecção - Difusão](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081511/56815f18550346895dcde5b8/html5/thumbnails/50.jpg)
Condições de fronteira• Difusão:
– Requer o cálculo dos fluxos nas células de fronteira e por isso requer a concentração no exterior em ambas as fronteiras. Se não for conhecida a melhor solução é normalmente gradiente nulo.
• Advecção– Quando o escoamento entra no domínio transporta as
propriedades do exterior. As propriedades têm que ser conhecidas no exterior. Se não forem conhecidas, a simulação só pode fazer sentido se as fontes e os poços ou os fluxos através do fundo e/ou da superfície livre dominarem a solução.
![Page 51: 1ª Aula Advecção - Difusão](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081511/56815f18550346895dcde5b8/html5/thumbnails/51.jpg)
Transporte de calor
• No caso do calor os fluxos através do fundo são normalmente pouco importantes.
• Pelo contrário os fluxos através da superfície livre são essenciais (radiação, calor sensível e calor latente.
![Page 52: 1ª Aula Advecção - Difusão](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081511/56815f18550346895dcde5b8/html5/thumbnails/52.jpg)
5ª Aula Advecção - Difusão
Condições de fronteira na interface com a atmosfera.
![Page 53: 1ª Aula Advecção - Difusão](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081511/56815f18550346895dcde5b8/html5/thumbnails/53.jpg)
Condições de fronteira: Fronteiras abertas
• Num canal as fronteiras de entrada e de saída do escoamento (fronteiras abertas) requerem duas condições de fronteira por via da difusão e da advecção no caso de o escoamento estar a entrar.
• A difusão envolve uma segunda derivada e por isso precisa de duas condições de fronteira (uma na entrada e outra na saída).
• A advecção envolve uma primeira derivada e por isso requer uma condição de fronteira: valor da propriedade à entrada (ou fluxo advectivo à entrada, pois estão relacionados pelo caudal).
![Page 54: 1ª Aula Advecção - Difusão](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081511/56815f18550346895dcde5b8/html5/thumbnails/54.jpg)
Condições de Fronteira: Fronteiras sólidas
• Nas fronteiras sólidas só pode haver fluxos difusivos, que dependem da propriedade que se está a estudar.
• No caso de sedimentos poderíamos ter erosão e deposição (este último processo envolve a velocidade de queda dos sedimentos).
• No caso do calor o fluxo difusivo através da fronteira sólida é igual ao fluxo que se propaga através do solo. Admitindo que esse fluxo é baixo, então poderemos admitir que os fluxos através das paredes sólidas são desprezáveis.
![Page 55: 1ª Aula Advecção - Difusão](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081511/56815f18550346895dcde5b8/html5/thumbnails/55.jpg)
Condições de fronteira: fluxos através da superfície livre
• Os fluxos através da superfície livre dependem também da propriedade que estamos a considerar.
• No caso de gases e de vapores dependem das pressões parciais na atmosfera e na água. Na grande maioria das propriedades são nulos, mas no caso do calor são determinantes.
• Poderemos ter fluxos de calor latente, sensível e fluxos de calor por radiação directa do sol, difusa da atmosfera e ainda radiação da água para a atmosfera.
![Page 56: 1ª Aula Advecção - Difusão](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081511/56815f18550346895dcde5b8/html5/thumbnails/56.jpg)
Fluxo de calor latente
• Depende da temperatura da água e da humidade relativa do ar. No modelo MOHID é calculado como:
![Page 57: 1ª Aula Advecção - Difusão](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081511/56815f18550346895dcde5b8/html5/thumbnails/57.jpg)
Fluxo e calor sensível
![Page 58: 1ª Aula Advecção - Difusão](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081511/56815f18550346895dcde5b8/html5/thumbnails/58.jpg)
Fluxo de calor por radiação
• Ver: • Brock, T. D. (1981) - Calculating solar radiation
for ecological studies. Ecological Modelling.