Disciplina:Cinemática dos Mecanismos

Carga Horária: 60 horas

Prof. Newton Sure Soeiro, Dr. Eng.

Universidade Federal do Pará

Departamento de Engenharia Mecânica

Grupo de Vibrações e Acústica

Notas de Aula 1

EMENTA DA

DISCIPLINA

1. Introdução a Cinemática de Mecanismos

2. Análise de Posição de Mecanismos

3. Análise de Velocidade de Mecanismos

4. Análise de Aceleração de Mecanismos

5. Usando o software Working Model

6. Síntese de Mecanismos

7. Cames: Projeto e Análise Cinemática

8. Projeto Final

Revisão sobre Operações com Vetores, Matrizes

e Uso do Matlab

Bibliografia

1. Myszka, David, “Machines & Mechanisms – Applied Kinematic Analysis”,

Third Edition, Pearson – Prentice Hall, 2005.

2. Norton, Robert, “Design of Machinery – An Introduction to the Synthesis

and Analysis of Mechanisms and Machines”, McGraw-Hill, 1994.

3. Mabie, Hamilton & Reinholtz, Charles, “Mechanisms and Dynamics of

Machinery”, Fourth Edition, John Wiley & Sons, 1987.

4. Uicker, John & Pennock, Gordon & Shigley, Joseph., “Theory of Machines

and Mechanism”, Third Edition, Oxford University Press, 2003.

5. Erdman, Arthur & Sandor, George, “Mechanisms Design: Analysis and

Synthesis”, Prentice-Hall, 1984.

6. Mallik, Asok & Ghos, Amitabha & Dittrich, Günter, “Kinematic Analysis

and Synthesis of Mechanisms”, CRC Press, 1994.

7. Gardner, J., Simulations of Machines Using MATLAB and SIMULINK,

Cengage-Engineering, 2000.

Avaliações e Critério de

Aprovação

Ai – Avaliações

Pi - Pesos

N – Número de avaliações

As avaliações podem ser provas e/ou trabalhos

MF – Média Final

5 0

7 5

5,8 7

10 8,5

MFI

MFR

MFB

MFE

N

ii

N

iii

P

AP

MF

1

1

.

Áreas da Mecânica

MECÂNICA

Fluidos

Sólidos

Corpos Deformáveis

Corpos

Rígidos

Estática

Dinâmica

Cinética

Cinemática

Resistência dos Materiais

Teoria da Elasticidade

Teoria da Plasticidade

Pontos Materiais

Corpos Rígidos

Mecanismos

A Mecânica Newtoniana

Cinemática dos Mecanismos

Cinemática:

Estudo do movimento do sistema independentemente das forças que

o originam.

Dinâmica:

Estudo das forças e movimentos agindo no sistema.

Cinemática dos

Mecanismos

Análise (Determinação do movimento do

mecanismo a partir de sua geometria e de

quantidades cinemáticas de alguns elementos do

mecanismo)

Síntese (É a forma pela qual se chega à geometria de

um mecanismo a partir das quantidades cinemáticas

previamente estabelecidas)

Máquinas e Mecanismos

Máquina:

É uma unidade usada de forma a produzir força e transmitir

potência em um padrão pré-determinado.

Mecanismo:

É um conjunto de peças ligadas de forma a produzir ou transmitir

um movimento específico. Pode ser uma parte da máquina usada

para transferir movimento.

Plataforma Elevatória

Pantográfica

Exemplos de Mecanismos

Revisão de Vetores

Soma de Vetores

Para somar graficamente dois vetores a e b conforme Figura abaixo,

move-se a origem de um até coincidir com a extremidade do outro.

A origem e a extremidade restantes definem o vetor representativo da

soma vetorial (resultante). Este é o método da triangulação.

A adição vetorial é comutativa, ou seja: a + b = b + a

Método do Paralelograma

O vetor resultante da soma é a maior

diagonal do paralelogramo

constituído com os dois vetores

colocados com a mesma origem.

Subtração de Vetores

( )

c a b

c a b

A subtração resultante é a outra diagonal do paralelogramo

formado com os dois vetores colocados com a mesma origem.

A B

C

Seguindo o procedimento, tem-se que a soma vetorial dos vetores A,

B e C é igual à resultante R como mostrado abaixo:

Dados os vetores A, B e C, deseja-se determinar a

resultante da soma entre eles

A

BC

R

0

A B C R

A B C R

Equação Vetorial:

Revisão de Vetores

Notação Retangular

Notação Vetorial em Coordenadas Cartesianas

ˆ ˆx yR R i R j

2 2

x yR R R

cosxR R

sinyR R

1tany

x

R

R

Exemplo: Determinar a soma entre os vetores A e B, mostrados

abaixo, utilizando notação retangular.

15o

30o

|A|=10

|B|=8

Solução: A = 10cos30o i + 10sen30o j = 8,66 i + 5,00 j

B = 8cos(-15º) i + 8sen(-15º) j = 7,73 i – 2,07 j

C = A + B = (8,66+ 7,73) i + (5,00 – 2,07) j

C = 16,39 i + 2,93 j

Revisão de Vetores

a) Produto Escalar Entre Dois Vetores:

(Produto interno, produto interior)

. | || | cosa b a b m

( . ) ( ). .( )m a b ma b a mb

( . ) . .c a b a c b c

. .a b b a

. 0a b

0

0

cos 0 / 2 rad

a

b

ângulo entre e a b

a.1) Propriedades:

1) Propriedade comutativa se aplica

2) , sendo m um escalar

3) Propriedade distributiva se aplica

4) Se

escalar

; ou

; ou

Revisão de Vetores

* Lembrete: Vetores unitários (módulo unitário)

ˆ| |

rr

r

iˆˆ ˆ, , i j k

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ5) . 0 ; . 0; . 0

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ6) . . . 1

i j i k j k

i i j j k k

Vetores unitários fundamentais do

sistema de eixos cartesianos:

j

k

Revisão de Vetores

Revisão de Vetores

a.2) Representação Analítica do Produto Escalar Entre Dois vetores:

ˆˆ ˆ

ˆˆ ˆ

. ?

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ. ( ) ( )

. número escalar

a a a

b b b

a a a b b b

a b a b a b

a X i Y j Z k

b X i Y j Z k

a b

a b X i Y j Z k X i Y j Z k

a b X X Y Y Z Z

Revisão de Vetores

b) Produto Vetorial (ou Cruzado) de Dois Vetores:

ˆ | || | sen a b n a b

O vetor n é um vetor unitário com

direção normal ao plano formado

por a e b e no sentido da regra da

mão direita

Revisão de Vetores

b.1) Propriedades:

( )c a b c a c b

( )a b b a

0a b

0

0

sen 0 0 ou rad

a

b

1) Propriedade comutativa não se aplica

2) Propriedade distributiva se aplica

3) Se

; ou

; ou

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ4) 0

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ5) ; ;

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ; ;

i i j j k k

i j k k i j j k i

j i k i k j k j i

i

j

k

ˆˆ ˆ

ˆˆ ˆ

?

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( )

De acordo com as propriedades (4) e (5):

ˆˆ ˆ( ) ( ) ( )

O que se pode também escrever s

a a a

b b b

a a a b b b

a b a b a b a b a b a b

a X i Y j Z k

b X i Y j Z k

a b

a b X i Y j Z k X i Y j Z k

a b Y Z Z Y i Z X X Z j X Y Y X k

ob a forma de determinante:

ˆˆ ˆ

a a a

b b b

i j k

a b X Y Z

X Y Z

b.2) Representação Analítica do Produto Vetorial

Revisão de Vetores

Notação Vetorial Complexa

cos sinje j

jR R e Notação Polar Complexa

Fórmula de Euler

x yR R jR

cosxR R

sinyR R

Notação Retangular Complexa

cos sin cos sinR R j R R j

2 2x yR R R

1tany

x

R

R

Notação Vetorial Complexa

2 2| | 2 3 13 r z 2 3 jz j re

03arctan 56,3

2z

056,32 3 13 jz j e

Exercício: Escreva na forma polar complexa o seguinte vetor escrito

nas forma retangular complexa: z = 2 + j 3

Solução:

OBS: Deve-se atentar em qual quadrante estamos trabalhando para

não calcular o ângulo de fase errado.

Notação Vetorial Complexa

*Obs: Quando o número complexo está no 1o ou 4o quadrante não há problemas ao

se usar a máquina calculadora, mas caso o número esteja no 2o ou 3o quadrante,

deve-se ter cuidado.

Se o número estiver no 2o quadrante, deve-se adicionar 180o ao ângulo do número

complexo obtido na calculadora. Se o número estiver no 3o quadrante, deve-se

subtrair 180o do ângulo obtido na calculadora.

Exemplo: Escreva na forma polar o seguinte número complexo: z = -2+j

Exemplo: Escreva na forma polar o seguinte número complexo: z = -2-j3

Portanto, é sempre desejável que se faça um esboço do número complexo no

plano complexo para saber em que quadrante o mesmo se encontra.

Verificar a função cart2pol(a,b) no Matlab, que converte um número complexo

a+jb em sua forma polar.

Resposta: r = 13 , = -123,7o

Resposta: r = 5 , = 153,44o