FIELFACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA

Disciplina: Circuitos Elétricos II

Tópicos: Sistemas Trifásicos

Prof.: Alcindo

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1. Circuitos Elétricos

1.1. Tensões Polifásicas

Toda energia elétrica é gerada e distribuída através de circuitos trifásicos. Um circuito

trifásico tem um gerador de corrente alternada, também chamado alternador, que produz três

tensões senoidais idênticas, defasadas de 120:

Notação:

A figura 1 mostra uma secção transversal de um alternador trifásico, com um estator

estacionário e um rotor rotativo, no sentido contrário aos ponteiros do relógio (anti-horário).

Fisicamente deslocados de 120° internamente ao estator, estão três conjuntos de enrolamentos

do induzido (terminais A-A’,B-B’, C-C’). São nestes enrolamentos que são geradas as tensões

senoidais.

O rotor tem um enrolamento de campo no qual o fluxo de uma corrente continua produz um

campo magnético.

Fig. 1 – Geração de tensão trifásica (b)

O rotor gira numa velocidade e seu campo magnético corta os enrolamentos do induzido,

induzindo neles as tensões senoidais ilustradas na fig. 1 (b).

Estas tensões atingem os picos com distancia de um terço do período, ou distantes 120°

devido ao deslocamento de 120° enrolamentos.

2

O alternador produz três tensões do mesmo valor eficaz (RMS) e de mesma freqüência,

defasadas 120°.

Normalmente nas centrais geradoras são geradas tensões de 13.800 volts, 60 Hz, equilibradas.

Exemplo:

As tensões equilibradas, em qualquer tempo, somam zero. (fig. 1-b) ou pela adição dos

fasores correspondentes.

(fig. 2a e fig. 2b).

A soma das tensões instantâneas é igual a zero, em qualquer tempo.

1.2. Ligações de enrolamento para os geradores

Os terminais podem ser ligados juntos para formarem o Y (estrala, fig. 2_a) ou ∆ (delta,

fig. 2_b).

Fig. 2_a: Ligação Y (estrela) Fig. 2_b: Ligações ∆ (delta)

3

Existem razões práticas para ligações de alternadores, transformadores e cargas em Y ou ∆,

como veremos posteriormente.

N → Neutro: Terminal comum.

Tensão de Linha ou Tensão Fase – Fase: .

Por exemplo: 220,0 V

Tensão de Fase ou Tensão Fase - Neutro:

Existência ou não dos neutros: trifásico a 4 ou 3 fios

Ligação Estrela (Y) Ligação Delta

1.3. Seqüências de Fase

A seqüência de fase de um circuito trifásico é a ordem na qual as tensões ou correntes atingem

os seus máximos.

Da fig. 1b →1°. , 2°. , e 3°. → ordem ABC => seqüência ABC → seqüência

da fase positiva.

Seqüência ACB (CBN ou BAC) => seqüência de fase negativa.

Valem para as tensões de pico e correntes de pico, assim como para seus valores eficazes.

Fig. 3_a: Seqüência de fase Fig. 3_b

A,B,C ( )

Se por exemplo, tiver um ângulo de 120° maior que aquele de , então deverá

avançar de 120°, e então a seqüência de fase deverá ser ABC.

4

avançada de de 120° e de 120° com relação a .

c.q.d.

Fig. 4_a: Seqüência Positiva

Fig. 4_b: Seqüência Negativa

Admitindo:

5

(valores eficazes)

(valores eficazes)

(valores eficazes)

Figura 5_a: Tensões equilibradas de módulos iguais (127v) e defasada de 120º

Analogamente,

Resumo:

O diagrama fasorial das tensões está mostrado na figura 5_a

2. Cargas equilibradas em triângulo

Sejam três impedâncias ligadas conforme figura:

Correntes de fase = Correntes de Carga => | | = s, defasadas de 120º.

Correntes de linha => | |s e defasagem de 120º.

Seja um sistema de três fios, trifásico, com U (tensão fase-fase ou de linha) de 220V e

impedâncias por fase de 5,45 | 45º , ligadas em delta. Determinar as correntes de linha e

traçar o diagrama fasorial.

6

Portanto,

7

(referência )

3. Carga Ligada em estrela (Y), 4 fios, equilibrada

Três impedâncias iguais, ligadas conforme figura, constituem uma carga equilibrada, ligada

em Y.

As correntes de linha são iguais às correntes de fase.

Dados:

Pede-se:

a) As correntes

b) Diagrama Fasorial

Diagrama Fasorial

8

As correntes retornam pelo neutro, portanto, .

A corrente de neutro de uma carga trifásica equilibrada, ligada em Y é sempre zero; o

condutor neutro pode, para fins de cálculo, ser retirado, sem alterar os resultados.

Ou, o neutro é o condutor para passagem das correntes desequilibradas (importante para

estudo de proteção).

Aplicações:

1) Um sistema trifásico, com uma tensão eficaz de 100,0V, tem uma carga ligada em delta

(∆) e equilibrada, com impedância de 20,0 | 45º (Ω). Obter as correntes de linha e traçar o

diagrama fasorial.

Diagrama Fasorial

2) Um sistema trifásico, rotação de fase CBA, com tensão de linha de 220,0V, tem uma

carga ligada em estrela (Y) equilibrada com impedância de 5 | -30 Ω.

Obter as correntes e traçar o diagrama fasorial tensão e corrente.

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3) Um motor cujos enrolamentos têm resistência de 8 Ω e reatância de 6 Ω, é alimentado por

um sistema equilibrado, cuja tensão é de 220,0 |30º (referência). Calcular a impedância Z

(módulo fase), a tensão de fase e as correntes ( ).

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Valores Eficazes

Circuito Monofásico

Potência entregue ao elemento:

No domínio do tempo:

4) Exercício: Seja o sistema trifásico:

Seqüência Positiva de Fase

Cálculo da corrente de linha = Corrente de Fase

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5) Um sistema trifásico balanceado com 3 fios, tem uma carga conectada em estrela (Y) e

que contém em série, em cada fase, um resistor de 50 Ω, um capacitor de 5 μ F e um redutor

de 0,56H. Usando a seqüência positiva de fase, com

VRMS e =500 radianos /s, determinar:

, e

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Determinação de IaA, IbB e IcC.

Cálculo da Potência em Sistemas Balanceados

A determinação de potência em sistemas polifásicos balanceados é baseada em cálculos

por fase.

Se a tensão por fase é e a corrente por fase, , e é o ângulo entre a tensão e

corrente, a potência por fase é dada por:

Para um sistema trifásico

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A potência também pode ser colocada em termos da corrente de linha e da tensão de

linha :

Sistema Estrela (Y)

Ligação Delta (∆)

Conclusão: As equações para as potências trifásicas para cargas equilibradas, em função

das tensões de linha e de corrente de linha, tanto para o sistema estrela (Y) quanto para o

delta (∆), são idênticas.

Aplicação: carga motor

Pede-se e a potência total

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Ou

Repita o problema para carga ligada em delta com Z iguais (estrela Y e delta)

Carga em Delta

Se aplicarmos ao circuito:

Carga do motor

Se transformamos a impedância Z de Y => ∆

que corresponde a

Potência aparente em kVA.

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Ligação Delta (∆):

Ligação Estrela (Y):

Ou ainda, S = V I *

A potência aparente para um sistema trifásico equilibrado é igual, quer a ligação seja

Delta (∆) ou Estrela (Y) e é igual a 3 .

Potência Reativa: (kVAr)

Conclusão: .

TRANSMISSÃO MONOFÁSICA:

Sejam v(t) = v max * senwt ei(t) = i max * sen (wt-φ)

i(t)

v(t) p(t)

Seja p(t) a potência instantânea transmitida igual a v(t) * i(t) = v * i

p(t) = v(t) * i(t) = v * i = vmax * imax * senwt * sen(wt - φ)

Lembrando que sena * senb = ½ * [cos(a - b)-cos(a + b)]

p = v max * i max * [cosφ – cos(2wt - φ)] 2

Definindo: |V| = v max e |I| = i max

√2 √2

p = √ 2 |V| |I| √ 2 * [cosφ – cos (2wt - φ)] => p = |V| |I| cosφ - |V| |I| cos(2wt - φ) 2A potência tem uma componente constante e uma componente cossenoidal (ora envia, ora

recebe potência).

A potência média transmitida é devido apenas ao termo |V| |I| cosφ. A potência transmitida

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pulsa em torno de um valor médio (|V| |I| cosφ), com freqüência 2w (fig. 1).

Ainda, de:

p(t) = |V| |I| cos φ - |V| |I| cos (2wt - φ)

p = |V| |I| cosφ - |V| |I| [cos 2wt cosφ + sen 2wt senφ]

p = |V| |I| cosφ [1 - cos 2wt - |V| |I| sen 2wt senφ]

P = Potência Ativa ou Real = |V| |I| cosφ

Q = Potência Reativa ou Imaginária = |V| |I| senφ

p = P (1 – cos 2wt) – Q sen 2wt (fig. 2)

Fig. 1 – Tensão, Corrente e Potência em Circuito Monofásico.

Fig. 2 – Potência Ativa, Reativa e Total.

S² = P² + Q² S = √P² + Q² => potência aparente ou complexa

O termo P (1 – cos 2wt) dá como potência média transmitida o valor P.

O termo Q sen 2wt pulsa, mas a potência média transmitida é nula (valor de pico Q da

potência que não é transmitida, mas pulsa).

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Figura 3

A potência ativa P é definida como o valor médio de p e fisicamente significa a potência útil

sendo transmitida. Sua magnitude depende do nível de tensão, cosϕ, etc.

A potência reativa Q, por definição é o valor de pico da componente de potência que viaja

ao longo da linha, para frente e para trás, resultando em um valor médio nulo e, portanto, sem

realizar trabalho útil.

TRANSMISSÃO TRIFÁSICA

Fig. 3 : Sistema Trifásico de Transmissão

O Gerador trifásico fornece tensão senoidais trifásica.

Sejam:

va = √2 |V| sen wt

vb = √2 |V| sen (wt – 120º)

vc = √2 |V| sen (wt – 240º)

Se a carga é balanceada ou simétrica, as correntes também o são. Portanto:

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ia = √2 |I| sen (wt - φ)

ib = √2 |I| sen (wt – 120º - φ)

ic = √2 |I| sen (wt – 240º - φ)

A potência trifásica total transmitida vale:

p3φ = pa + pb + pc = va*ia + vb*ib + vc*ic

Lembrar que sena*senb = -½ [cos (a + b) – cos (a – b)] = ½ [cos (a – b) – cos (a + b)

pa = va . ia = - √ 2 |V| √ 2 |I| . [cos (2wt - φ) – cosφ] 2

= |V| |I| [cosφ - cos (2wt - φ)]

= |V| |I| [cosφ - cos 2wt cosφ + sen 2wt senφ ]

= |V| |I| [(1 – cos 2wt) cosφ – sen 2wt senφ]

Sendo, P = |V| |I| cosφ Q = |V| |I| senφ

pa = P [1 – cos 2wt] – Q sen 2wt

pb = 2 |V| |I| * -½ [cos (2wt – 240º - φ) – cosφ]

= |V| |I| [cosφ - cos (2wt – 240º - φ)]

= |V| |I| cosφ [1 - cos (2wt – 240º)] – [sen (2wt – 240º) senφ]

pb = P [1 – cos (2wt – 240º)] – Q sen (2wt-240º)

Analogamente,

pc = P [1 – cos (2wt – 480º)] – Q sen (2wt-480º)

pa + pb + pc = P [1 – cos 2wt] – Q sen 2wt + P [1 – cos (2wt – 240º)] – Q sen (2wt-240º) +

P [1– cos (2wt – 120º)] – Q sen (2wt-120º)

= P [3 – cos2wt - cos(2wt–240º) – cos(2wt–120º)] – Q [sen2wt + sen(2wt-240º) + sen(2wt–120º)]

I II

Lembrando que : cos p + cos q = 2 cos p + q * cos p - q 2 2sen p + sen q = 2 sen p + q * cos p – q

2 2Portanto I = 0 e II = 0

pt = pa + pb + pc = 3P = 3 |V| |I| cosφ

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A potência trifásica instantânea é constante e de magnitude 3 vezes a potência ativa de uma

fase; isto não quer dizer que a potência reativa não é importante na transmissão trifásica, ela

aparece em cada fase como componente pulsante.

Nota : Os valores de |V| , |I| e P são por fase.

Para um sistema trifásico balanceado observamos:

1- A soma algébrica das correntes trifásica é igual a zero. Num sistema perfeitamente

balanceado não haveria necessidade do condutor neutro.

2 -A soma algébrica das tensões trifásica é também nula.

3- As tensões de linha UL têm magnitudes iguais e se relacionam com as de fase por:

|UL| = √3 |V|

Daí a potência trifásica poder ser escrita por:

P3φ = √3 |UL| |IL| cosφ.

4- A potência ativa total P3φ = 3 P1φ.

A potência reativa total Q3φ = 3 Q1φ ,tem pouco sentido.

5- Dada a simetria entre fases basta se conhecer a corrente, tensão e potência de uma fase que

as demais estão determinadas.

Conceito de Potência Complexa

Seja o circuito da Fig. 4 que representa, por exemplo, uma das fases de um circuito trifasico.

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Figura 4 – Representação por Fase de um Sistema Trifásico

Em termos de fasores, escrevemos para a tensão e corrente.

V = |V| e I = |I|

Introduzimos: I* = |I| e formamos o produto

S = V . I* = |V| * |I| = |V| |I| .

A diferença angular /V - /I é definida como φ, portanto:

S = |V| |I| = |V| |I| cosφ + j|V| |I| senφ

S = P + jQ

Ou, V = Z . I e I = γ . V

S = V I* = V. γ* V* = γ* |V|²

Ou

S = V . I* = Z . I . I* = Z |I|²

S = P + jQ = V I* = Z |I|² = γ * |V|²

Computando S por qualquer uma das maneiras acima, obtemos P e Q como as partes reais e

imaginárias de S, respectivamente.

O módulo de S (|S|) da potência complexa é denominado potência aparente. Potência aparente

é a unidade nominal em que geradores e transformadores são expressos.

|S| = |V I*| = |V| |I| = √P² + Q² (VA, kVA, MVA)

Fórmula de Euler

Seja g uma grandeza escrita da seguinte forma:

g = cos + j sen

é real e j = -1

Derivando, temos:

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Componente real = projeção no eixo horizontal dada por cos wt.

Componente iniog.= projeção no eixo vertical dada por sen wt.

Integrando, temos:

K= constante de integração

g =1 quando = 0, ou seja:

Portanto, temos: ln g = j

Ou

g = ,

conhecida como fórmula de Euler.

Então, (conjugado)

A fórmula de Euler nos proporciona um processo de se obter fórmulas alternativa de cos e

sen .

Por exemplo:

Esclarecimento da forma polar A = r | do nº complexo A=a+jb onde a = r cos b = r sen

Pela fórmula de Euler podemos escrever:

De

Aplicação: se

A x B = ? =>

Analogamente,

Exercício:

1. Calcular a corrente no fio neutro do circuito equilibrado.

22

2. A tensão de linha aplicada a um motor cujos enrolamentos têm 20Ω de impedância é

220V. Calcular as correntes de linha e as e fase sabendo-se que o motor está ligado em

delta (∆).

Cuidado com as fases !!!

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3. Um Motor trifásico tem uma potência de 5,0 kW, quando ligado a uma tensão de linha de

220V. Calcular a corrente de linha, se o fator de potência é 0,85.

=>

4. Um aquecedor trifásico é constituído de três resistências de 20Ω, ligadas em delta (∆).

Calcular a corrente de linha e a potência total, se a tensão de linha é de 220V.

Z = 20,0Ω

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Repetir o problema para as resistências ligadas em estrela (Y) e comparar os resultados.

Resp.:

5. Os enrolamentos de um motor têm resistência de 8Ω e reatância redutiva de 6 Ω. As

tensões de fase – fase ou de linha valem 220|0º (V); 220|-120 (V) e

+220,0|-240º (V). O motor está ligado em estrela (Y).

a) Calcular as tensões de fase e

b) As correntes de fase

c) As potencias por fase e a potencia total.

Se

220|0º; 220|-120 e +220,0|-240º

(V).

a)

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b) Correntes de Fase

c)

OBS.: Atentar para a importância da escolha da referência para a tensão. A defasagem (fixa)

de 30º se mantém, ou seja, está defasada de 30º de ou está avançada de 30º com

relação a (Sistema Y)

6. O circuito mostra o secundário de um transformador, ligado em delta (∆), com uma tensão

de linha de 220V. A carga é constituída de um motor trifásico de 5,0kW, fator de potência

0,85 e 3 motores monofásicos de 2,0kW e cos = 0,80 cada um, conforme figura.

Determinar:

a) A corrente total de linha.

b) A potencia ativa (real), a potência reativa (Q) e a aparente (S) da instalação.

c) O fator de potencia da instalação.

Motores Monofásicos

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P total motores monofásicos = 600 W

b) Potência Ativa Total =

Potência Reativa Total =

De

a)

De

c)

Descarga Desbalanceadas

Dada a carga desbalanceada da figura, calcular as correntes de fase e de linha, para as tensões:

Solução

Cálculo das correntes de fase:

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Cálculo das Correntes de Linha:

OBS.: 1) A relação só vale para sistemas equilibrados.

2) Se fosse pedida a potência total só poderíamos calculá-la por fase e somá-las.

onde

Carga em Estrela (Y) Desbalanceada

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W

Um conjunto de tensões trifásicas, conectadas conforme figura, alimentam cargas em estrela

(Y). São dadas as tensões, .

a)calcular as correntes de linha . Para facilidade de cálculo, faremos a

transformação das cargas de estrela(Y) para delta(∆), onde:

Correntes no Delta

Correntes de Linha

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Circuito Desbalanceados

Solução: Aplicação das Leis de Kirchhoff.

Seja o circuito:

Dados:

Seqüência abc é considerada (b atrasada de a, de 120º)

Equações das Malhas

1500+j866 -(52+j8)

-j1732 (84 + j68)

I1 = = 16,0 |-34,9º (A) = Iaa’

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(74 + j36) -(52 + j8)

-(52 + j8) (84 + j68)

(74 + j36) (1500 + j866)

-(52 + j8) – j1732

I2 = = 20,7 |-109,2º (A) = Icc’

(74 + j36) – (52 + j8)

-(52 + j8) (84 + j68)

Portanto, Ibb’= - I1 + I2 = -16,0|-34,9º + 20,7 |-109,2º = 22,5 |-152,5º (A)

Queda de Tensão na Carga:

Tensão fase – fase (linha) na carga:

As tensões de linha podem ser calculadas a partir da tensão gerada e da queda de tensão na

linha:

ou

31

=500 + j866 – 500 + j866 -22,5 |-152,50 (3 + j10) + 20,7 |-109,20 (3 + j10)

= j1732 -22,5 | - 152,50 (10,440|73,30º) + 20,7 |-109,20º (10,440|73,30º) =

= j1732 – 234,90 |-79,2º +214,02 |-35,90º =

= j1732 – 44,016 + j230,739 + 173,365 – j125,495 =

= 129,349 + j1837,244 = 1841,791 |85,970 (V)

Analogicamente,

|69,3º (V)

ou

Reforço

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Pode-se empregar:

Fixado um, os demais ficam fixados, com defasagem de 120º.

Sistema Estrela – Estrela (Y - Y) com Ligação de Neutro

Sistema a 4 fios trifásicos, similar ao da figura, podem ser empregados em sistemas de distribuição de energia elétrica.

Aplicação da Lei de Kinchhoff à malha n’a’ann’,n’b’nn’,n’c’cnn’, tem-se:

Desde que segue que

onde, por simplicidade, escrevemos:

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CargaDesbalanceada

Sistema trifásico a 4 fios

Resolvendo a equação para Inn’, obtém-se:

Tensão entre os Pontos Neutros

Sistema Estrela - Delta

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