1

A

B

C

0

01. Com três segmentos e comprimentos iguais a 10cm, 12cm e 23cm... a) é possível apenas formar um triângulo retângulo b) é possível formar apenas um triângulo obtusângulo c) é possível formar apenas um triângulo acutângulo d) é possível formar os três triângulos e) não é possível formar um triângulo 02. Um pedaço de papel tem a forma do triângulo equilátero PQR, com 7cm de lado, sendo M o ponto médio do lado PR:

Dobra-se o papel de modo que os pontos Q e M coincidam, conforme ilustrado acima. O perímetro do trapézio PSTR, em cm, é igual a: a) 9 b) 17,5 c) 24,5 d) 28 e) 49 03. (UFPE) Um barco está sendo rebocado para a margem de um porto por um cabo de aço. Inicialmente, o barco está no ponto A da ilustração, quando o cabo tem comprimento de 100m. Após puxar 20m do cabo, o barco ocupa a posição B. Nessas condições, podemos afirmar que a distância AB é a) maior que 20m. b) igual a 20m. c) igual a 19m d) igual a 18m. e) menor que 18m. 04. O segmento da perpendicular traçada de um vértice de um triângulo à reta suporte do lado oposto é denominado: a) mediana. b) mediatriz. c) bissetriz. d) altura. e) base. 05. Se um ponto P do plano de um triângulo é eqüidistante dos três lados desse triângulo, ele necessariamente é a intersecção das: a) retas suportes das alturas. b) mediatrizes dos lados. c) medianas. d) bissetrizes dos ângulos. e) nenhuma das alternativas anteriores é correta.

06. Na figura abaixo AB = AC, O é o ponto de encontro das bissetrizes do triângulo ABC e o ângulo BÔC é o triplo do ângulo Â. Então a medida de  é:

a) 18° b) 12° c) 24° d) 36° e) 15° 07. Na figura, o triângulo ABC é equilátero e está circunscrito ao círculo de centro 0 e raio 2 cm. AD é altura do triângulo. Sendo E ponto de tangência, a medida de AE, em centímetros, é:

a) 2√2 b) 2√5 c) 3 d) 5 e) √26 08. (UPE/química II) Um estudante muito dedicado à geometria plana levou à sala de aula um modelo de triângulo, confeccionado com pedaços de fios de cobre de diâmetro 0,2cm, para mostrar aos seus colegas um dos pontos notáveis do triângulo (ABC). Considere a figura abaixo, na qual R, S e T são os pontos médios dos lados opostos aos vértices de onde partem as medianas, também confeccionadas com o mesmo fio de cobre. Os pedaços de fios de cobre, utilizados na construção do modelo, têm a forma de um cilindro de revolução. Dados: d = 9,0g/cm3, π = 3, Cu = 63,5u, CP =10 cm

Em relação ao triângulo, é correto afirmar que a) a massa do fio de cobre, representado pelo segmento PR, é exatamente igual a do fio de cobre, representado pelo segmento PA. b) o número de átomos de cobre, encontrado no fio de cobre, representado pelo segmento PC, é o triplo do encontrado em PR. c) há uma igualdade no número de átomos de cobre, encontrados nos fios de cobre, representados pelos segmentos PB, PC e PT. d) a massa do fio de cobre, representado pelo segmento PR, é igual a 1/3 da massa do fio de cobre, representado pela mediana CR. e) a massa do fio de cobre, representado pelo segmento PC, é, em gramas, igual a 1,35.

2

09. Na figura abaixo, temos uma pilha de canos cilíndricos de diâmetros 20 cm cada um. h Assinale a medida que mais se aproxima da altura h da pilha de canos cilíndricos. a) 66 cm b) 69 cm c) 72 cm d) 76 cm e) 80 cm 10. (UFPE) Na figura abaixo, ABD e BCD são triângulos retângulos isósceles. Se AD = 4, qual é o comprimento de DC? a) 4√2 b) 6 c) 7 d) 8 e) 8√2 11. O perímetro de um triângulo isósceles de 3cm de altura é 18cm. Os lados desse triângulo em cm são: a) 7, 7, 4 b) 5, 5, 8 c) 6, 6, 6 d) 4, 4, 10 e) 3, 3, 12 12. (UPE) A figura abaixo é um retângulo de lados 10cm e 8cm. Podemos afirmar que o valor de x, em cm, é: 8 cm x x a) 4; 10 cm b) 4,5; x + 2 c) 5; d) 6 e) 5,5.

13. (UFPE) Na figura a seguir o triângulo ABC é equilátero com lados de comprimento 2cm. Os três círculos C1, C2 e C3 têm raios de mesmo comprimento igual a 1cm e seus centros são os vértices do triângulo ABC. Seja r > 0 o raio do círculo C4 interior ao triângulo ABC e simultaneamente tangente aos círculos C1, C2 e C3. Calcule 9(1+r)2.

14. (UFPE) Na ilustração a seguir, a circunferência passa pelos vértices A e B do quadrado ABCD e é tangente ao lado CD. Se o quadrado tem lado 12, indique o diâmetro da circunferência.

15. (UFPE) Na ilustração abaixo, todos os círculos tem mesmo raio, o triângulo ABC é equilátero e seus lados medem 28(1+ 3) unidades de comprimento. Determine o raio dos círculos. 16. Seja AOB um ângulo medindo 36º e C o pé da

perpendicular a OB por A. Construa a reta r perpendicular a

AC passando por A. Determine o ponto D, situado entre A e C

tal que a reta por O e D intercepta r em E com ED = 2AO.

Qual a medida de AOE?

3

A

B C

17. Observe a figura. Suponha que as medidas dos ângulos PSQ, QSR, SPR, assinalados na figura, sejam 45°, 18° e 38°, respectivamente. A medida do ângulo PQS, em graus, é: a) 38 b) 63 c) 79 d) 87 e) 97 18. O ângulo x, na figura a seguir, mede: a) 60° b) 80° c) 90° d) 100° e) 120° 19. A medida do ângulo ADC inscrito na circunferência de centro O é: a) 125° b) 110° c) 120° d) 100° e) 135°

20. Seja a circunferência de centro O, representada na figura abaixo. A medida do ângulo x, assinalado, é:

a) 25° b) 20° c) 15° d) 10° e) 5° 21. Um triângulo ABC está inscrito na circunferência de centro O e diâmetro BC, conforme figura. Sendo AB = 6cm e AC = 8cm, o raio dessa circunferência mede, em cm: a) 2,5 b) 3,0 c) 5,0 d) 5,5 e) 6,0 22. Um ciclista, para vencer uma competição, percorreu 1885 m em uma bicicleta com rodas de raio 30 cm (incluindo o pneu). O número de voltas completas que cada roda da bicicleta deu, para percorrer essa distância, foi: a) 900 b) 1000 Use: π = 3,14 c) 1040 d) 1250 e) 1500 23. (ENEM) As cidades de Quito e Cingapura encontram-se próximas à linha do equador e em pontos diametralmente postos no globo terrestre. Considerando o raio da Terra igual a 6370km, pode-se afirmar que um avião saindo de Quito, voando em média 800km/h, descontando as paradas de escala, chega a Cingapura em aproximadamente a) 16 horas. b) 20 horas. c) 25 horas. d) 32 horas. e) 36 horas.

A

D

CB

30º 80º

o

x

4

24. (UPE) Na figura abaixo, a reta PQ tangencia em N o círculo que passa por L, M e N. A reta LM corta a reta PQ em R. Se LM = LN, e a medida do ângulo PNL é , > 600, quanto mede o ângulo LRP?

a) 3 - 180º b) 180º - 2 c) 180º - d) 90º /2 e) 25. No processo inicial de criação de um logotipo para uma empresa, um designer esboçou várias composições de formas geométricas, na tentativa de encontrar algo simples e representativo. Em uma dessas composições, um círculo de raio foi sobreposto a um triângulo equilátero de lado

, de acordo com a figura. Sabendo-se que as duas figuras têm centros no mesmo ponto, pode-se afirmar que o perímetro do logotipo é, em cm, igual a

a)

b)

c)

d)

e) 26. (UFPE) Na figura abaixo, cada um dos pontos A, B, C é o centro de um arco de circunferência de raio 50/π cm. Indique o comprimento, em cm, da curva composta pelos arcos AB, BC e CA.

27. (Enem 2013) Em um sistema de dutos, três canos iguais, de raio externo 30 cm, são soldados entre si e colocados dentro de um cano de raio maior, de medida R. Para posteriormente ter fácil manutenção, é necessário haver uma distância de 10cm entre os canos soldados e o cano de raio maior. Essa distância é garantida por um espaçador de metal, conforme a figura:

Utilize 1,7 como aproximação para 3. O valor de R, em centímetros, é igual a a) 64,0. b) 65,5. c) 74,0. d) 81,0. e) 91,0. 28. (Enem) Um professor, ao fazer uma atividade de origami (dobraduras) com seus alunos, pede para que estes dobrem um pedaço de papel em forma triangular, como na figura a seguir, de modo que M e N sejam pontos médios respectivamente de AB e AC, e D, ponto do lado BC, indica a nova posição do vértice A do triângulo ABC.

Se ABC é um triângulo qualquer, após a construção, são exemplos de triângulos isósceles os triângulos a) CMA e CMB. b) CAD e ADB. c) NAM e NDM. d) CND e DMB. e) CND e NDM. 29. Na figura a seguir, M, N e P são pontos de tangência e a medida de OM é 16. Então o perímetro do triângulo assinalado é:

a) 32 b) 34 c) 36 d) 38 e) 40

α α

ααα

αα

r 6cm=L 18cm=

( )6 6 π−( )6 9 π−( )6 6 π+( )9 3 2π+

( )9 2 3π−

O

M

N

P

5

30. Determine o raio da circunferência inscrita no triângulo retângulo cujos catetos medem 6 cm e 8 cm. a) 1 cm b) 2 cm c) 3 cm d) 4 cm e) 5 cm 31. A figura a seguir mostra uma circunferência de raio r = 3 cm, inscrita num triângulo retângulo, cuja hipotenusa mede 18 cm.

a) Calcule o comprimento da circunferência que circunscreve o triângulo ABC. b) Calcule o perímetro do triângulo ABC. 32. Na figura abaixo, têm-se quatro círculos congruentes de centros , , e e de raio igual a 10 cm. Os pontos M, N, P, Q são pontos de tangência entre os círculos e A, B, C, D, E, F, G, H são pontos de tangência entre os círculos e a correia que os contorna.

Sabendo-se que essa correia é inextensível, seu perímetro, em cm, é igual a a)

b)

c)

d)

e)

33. A figura a seguir é a planta dos trechos de duas estradas retilíneas E1 e E2, perpendiculares e interligadas por uma semicircunferência de centro R e por um quarto de outra circunferência de centro S, numa determinada região plana. Utilizando-se o sistema cartesiano x0y como referência e desprezando a largura das estradas, calcula-se que a distância percorrida por um automóvel no trecho de A até E é: (adotar π = 3) a) 1200 metros b) 1500 metros c) 1550 metros d) 1700 metros e) 1800 metros 34. Na figura abaixo, R, S e T são pontos sobre a circunferência de centro O. Se x é o número real, tal que a = 5x e b = 3x + 42° são as medidas dos ângulos RTS e ROS, respectivamente, pode-se dizer que

a) a = 30° e b = 60°. b) a = 80° e b = 40°. c) a = 60° e b = 30°. d) a = 40° e b = 80°. e) a = 30° e b = 80°. 35. Pretendo construir uma piscina circular com 10 m de diâmetro e centro no ponto O, como mostra a figura seguinte. No ponto A, pretendo colocar um pequeno toboágua, no ponto B, uma escada e no ponto C, um guarda-sol com algumas ca deiras. Se BC = 5 m e ACO = 15°, então, a medida do ângulo AOD é:

a) 42° b) 43° c) 44° d) 45° e) 46°

1O 2O 3O 4O

( )2 40π +( )5 16π +( )20 4π +( )5 8π +5 π +3( )

MATEMÁTICA64

RESOLUÇÃO:

OM é comum

A^OM ≅ B

^OM (bissetriz)! ⇒ LAAo ⇒ ∆MOA ≅ ∆MOB ⇒ AM ≅ BM

O^AM ≅ O

^BM (retos)

! Demonstre que num triângulo isósceles os ângulosopostos aos lados congruentes são também congruentes.

RESOLUÇÃO:

Hipóteses

Tese: B ≅ C

Seja M o ponto médio de BC e, portanto, —BM ≅ —MC.

Logo, ^B ≅

^C

" No qu adrilátero ABCD da figura seguinte, tem-se:

AB––

// CD––

e AD––

// BC–––

. Prove que AB––

≅ CD––

e BC––

≅ DA––

.

RESOLUÇÃO:

⇒ ALA ⇒ ∆ABD ≅ ∆CDB

Logo, —AB ≅

—CD e

—BC ≅

—DA

# Pretendo construir uma piscina circular com 10 m dediâmetro e centro no ponto O, como mostra a figura seguinte.No ponto A, pretendo colocar um pequeno toboágua, no pontoB, uma escada e no ponto C, um guarda-sol com algumas ca -deiras. Se BC = 5 m e A

^CO = 15°, então, a medida do ângulo

A^OD é:

a) 42° b) 43° c) 44° d) 45° e) 46°

RESOLUÇÃO:

I) BC = BO = 5 m e, portanto, B^OC = B

^CO = 15°, pois o triângulo

COB é isósceles

II) O^BA = 15° + 15° = 30°, pois é ângulo externo do triângulo COB.

III)O triângulo AOB também é isósceles e, portanto,

O^AB = O

^BA = 30°.

Logo, A^OD = 15° + 30° = 45°, pois é ângulo externo do triângulo

AOC.

Resposta: D

—AB ≅

—AC

—BM ≅

—MC

—AM comum

⇒ LLL ⇒ ∆AMB ≅ ∆AMC

" ∆ABC é isósceles

AB ≅ AC

—BD comumA

^DB ≅ C

^BD (alternos internos)

A^BD ≅ C

^DB (alternos internos)

Para saber mais sobre o assunto, acesse o PORTALOBJETIVO (www.portal.objetivo.br) e, em “localizar”,digite MAT2M121

No Portal Objetivo

C1_2AMAT_prof 2011 16/09/10 10:08 Página 64

6

Usar as seguintes aproximações: π = 3,14 √2 = 1,41 √3 = 1,73

36. (Enem) Um homem, determinado a melhorar sua saúde, resolveu andar diariamente numa praça circular que há em frente à sua casa. Todos os dias ele dá exatamente voltas em torno da praça, que tem de raio.

Use como aproximação para Qual é a distância percorrida por esse homem em sua caminhada diária? a) b) c) d) e) 37. No livro A hora da estrela, de Clarice Lispector, a personagem Macabéa é atropelada por um veículo cuja logomarca é uma estrela inscrita em uma circunferência, como mostra a figura.

Se os pontos e dividem a circunferência em arcos de

mesmo comprimento e a área do triângulo é igual a

determine a medida do raio desta circunferência em centímetros. a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 38. Na figura a seguir, temos dois triângulos equiláteros ABC e A’B’C’ que possuem o mesmo baricentro, tais que AB||A’B’, AC // A’C’ e BC // B’C’. Se a medida dos lados de ABC é igual a 3√3 cm e a distância entre os lados paralelos mede 2 cm, então a medida das alturas de A’B’C’ é igual a: a) 11,5 cm b) 10,5 cm c) 9,5 cm d) 8,5 cm e) 7,5 cm

39. Um triângulo ABC é retângulo em A. A altura AH forma com a mediana AM um ângulo de 28°. Indique a medida do ângulo com vértice em B do triângulo ABC.

40. Certo proprietário tem, no quintal de sua casa, uma grande extensão de terra coberta com grama. Num determinado dia, cansado de comer vegetais cheios de agrotóxicos, ele pensou: “Vou fazer em meu quintal um cercadinho retangular e cultivar uma bela horta.” Assim, decidiu medir a parte do terreno destinada à horta, mas, como tinha perdido a trena, usou um pedaço de barbante. Depois de medir a largura e o comprimento dessa parte, viu que a soma das duas medidas valia 25 vezes o comprimento do barbante. Então, comprou 180 m de arame, o suficiente para construir uma cerca de 3 fios, sem sobras. Qual das alternativas apresenta a medida do pedaço de barbante usado pelo proprietário em suas medições? a) 12 cm b) 3,6 cm c) 2,4 m d) 36 cm e) 1,2 m 41. Um fabricante de embalagens dispõe em seu estoque de uma grande quantidade de peças em forma de retângulos, quadrados, círculos e triângulos equiláteros, como as indicadas na figura. 20 cm 70 cm As peças têm em comum a dimensão 20 cm, e as linhas tracejadas, que dividem as figuras em partes iguais, representam possibilidades de cortes para a confecção das embalagens. Com essas peças, o fabricante pretende obter figuras prismáticas ou cilíndricas usando um retângulo na área lateral e, nas bases, as demais figuras, inteiras ou seccionadas por um corte. As emendas e os encaixes serão feitos com material à parte e não precisam ser considerados. O preço das embalagens será definido pelo peso do material, por isso, o critério usado para decidir qual a forma da embalagem a ser confeccionada é o de usar o material disponível com o menor desperdício possível. Assim, a forma escolhida para as bases da caixa deverá ser: a) o triângulo equilátero. b) o triângulo retângulo isósceles. c) o triângulo retângulo escaleno. d) o círculo. e) o semicírculo.

1550 m

3 .π

0,30 km0,75 km1,50 km2,25 km4,50 km

A, B CABC

227 3 cm ,

7

x

y

z

30 18

16

42. Na figura anterior, o triângulo ABD é equilátero, e seu lado mede 3m.; H é o ortocentro, sendo que os pontos F e G são os pontos médios dos lados AD e BD, respectivamente. Quantos rolos de fita adesiva serão necessários, no mínimo, para cobrir todos os segmentos da figura, se cada rolo possui 1m de fita? a) 18 b) 20 c) 22 d) 24 e) 26 43. Um lenhador empilhou 3 troncos de madeira num caminhão de largura 2,5 m, conforme a figura abaixo. Cada tronco é um cilindro reto, cujo raio da base mede 0,5 m. Logo, a altura h, em metros, é:

a) 271+

b) 371+

c) 471+

d) 37

+1

e) 471+

44. No triângulo da figura, a soma das medidas x, y e z pode ser: a) 25 b) 27 c) 29 d) 31 e) 33

45. No triângulo ABC (figura abaixo), os lados AB, AC e BC medem respectivamente 5cm, 7cm e 9cm. Se P é o ponto de encontro das bissetrizes dos ângulos B e C e PQ//MB, PR//NC e MN//BC, a razão entre os perímetros dos triângulos AMN e PQR é: a) 10/9 b) 9/8 c) 7/6 d) 4/3 e) 7/5 46. Na figura, sabemos que AB = AC e AD = BC. Assinale a medida do ângulo α. A 100º C B α D 47. (UFPE) A figura abaixo ilustra o auditório plano de um teatro. O contorno do auditório tem a forma de um arco de circunferência contendo A e D e com centro em C. Os pontos M e N indicados são os extremos do palco e B é um ponto do interior do auditório colinear com A e C. A visibilidade de um ponto P do auditório é dada pela medida do ângulo MPN. A partir destas observações, analise as afirmações a seguir:

BC

NM

D

A

0 – 0 A visibilidade em A é maior que a visibilidade em D. 1 – 1 A visibilidade em C é maior que a visibilidade em B. 2 – 2 A visibilidade em C é maior que a visibilidade em A. 3 – 3 A visibilidade em B é igual à visibilidade em D. 4 – 4 A visibilidade em D é menor que a visibilidade em C.

8

48. A figura seguinte é uma pista de atletismo, periodicamente usada para competições de corrida. Os trechos AB, CD e EF são retilíneos, e seus comprimentos são 110 m, 80 m e 135 m, respectivamente.

O trecho BC é um arco de 120° de uma circunferência de raio igual a 15 m e os trechos DE e AF são arcos de 90° de circunferência de raio igual a 15 m. Treinando para uma corrida, um atleta correu uma volta nessa pista, a uma velocidade constante de 16 km/h. Interprete o texto apresentado e identifique, nas alternativas a seguir, aquela que traz corretamente o tempo gasto pelo atleta para dar uma volta completa na pista, desprezando, para tanto, a largura dela. Se necessário, utilize o valor de π como sendo igual a 3. a) 1 minuto b) 1 minuto e 15 segundos c) 1 minuto e 30 segundos d) 1 minuto e 45 segundos e) 2 minutos e 15 segundos 49. Um arquiteto vai construir um obelisco de base circular. Serão elevadas sobre essa base duas hastes triangulares, conforme figura a seguir, onde o ponto O é o centro do círculo de raio 2 m e os ângulos BOC e OBC são iguais.

O comprimento do segmento AB é a) 2 m. b) 3 m. c) 3√2 m. d) 2√5 m. e) 2√3 m. 50. Na figura a seguir, os arcos QMP e MTQ medem, respectivamente, 170° e 130°. Então, o arco MSN mede a) 60° b) 70° c) 80° d) 100° e) 110°

51. José deseja construir, com tijolos, um muro de jardim com a forma de uma espiral de dois centros, como mostra a figura a seguir.

Para construir esta espiral, escolheu dois pontos que distam 1 metro um do outro. A espiral tem 4 meias-voltas e cada tijolo mede 30 cm de comprimento. Considerando π = 3, o número de tijolos necessários para fazer a espiral é: a) 100 b) 110 c) 120 d) 130 e) 150 52. O hexágono ABCDEF é circunscritível. Se AB = 1, BC = 2, CD = 3, DE = 4 e EF = 5, quanto mede FA?

12

3

4 5

?

A

BC

D

E

F

a) 1 b) 3 c) 15/8 d) 6 e) 9 53. O perímetro da figura não pontilhada a seguir é 8π, onde os arcos foram obtidos com centros nos vértices do quadrado cujo lado mede:

a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) 8

9

54. Na figura abaixo o triângulo ABC é retângulo em A, as três circunferências são tangentes duas a duas e tangentes a lados do triângulo. Se as circunferências têm raios com medidas iguais assinale tal medida. 6 cm r r r 8 cm 55. No triângulo ABC, são dados os vértices B e C e também a medida do ângulo A, agudo. O lugar geométrico do vértice A é: a) uma circunferência. b) um arco de circunferência. c) a união de dois arcos de circunferências. d) uma reta. e) a união de duas retas paralelas. 56. A figura mostra duas roldanas circulares ligadas por uma correia. A roldana maior, com raio 12 cm, gira fazendo 100 rotações por minuto, e a função da correia é fazer a roldana menor girar. Admita que a correia não escorregue.

Para que a roldana menor faça 150 rotações por minuto, o seu raio, em centímetros, deve ser a) 8. b) 7. c) 6. d) 5. e) 4. 57. Na figura, os círculos de centros A, B e C são tangentes. Os raios medem, respectivamente, 10 cm, 4 cm e 2 cm. O perímetro do triângulo ABC, em cm, é:

a) 30 b) 24 c) 20 d) 18 e) 16

GABARITOS

01. E 02. B 03. A 04. D 05. D 06. D 07. A 08. D 09. C 10. E 11. B 12. C 13. 12 14. 15 15. 14 16. 24 17. C 18. B 19. A 20. D 21. C 22. b 23. c 24. a 25. C 26. 50 27. C 28. D 29. a 30. b 31. 18π e 42 cm 32. c 33. d 34. a 35. d 36. e 37. c 38. B 39. 59 40. E 41. A 42. D 43. E 44. E 45. D 46. 10º 47. FFVFV 48. C 49. E 50. A 51. A 52. B 53. D 54. 1 cm 55. C 56. A 57. C