IFCE Engenharia de Mecatrnica/Licenciatura em Fsica - S2 2015-2 Clculo II - INTEGRAIS Integrao Trigonomtrica Uso de diferenciais: 1) Resolva a equao diferencial f(x) = 5 cos x + 2 sen x sujeita s condies iniciais f(0) = 3 e f(0) = 4. Resposta: f(x) = -5 cos x 2 sen x + 6x + 8 2) Resolva a equao diferencial f(x) = 16 cos 2x 3 sen x sujeita s condies iniciais f(0) = -2 e f(0)=4. Resposta: f(x) = 3 sen x 4 cos 2 x + x + 2. Integral indefinida

1) Calcule dxx2sec .

Soluo: kxtgdxx 2sec

Soluo: Utilizando o software de computao algbrica Maple, temos:

> Int((sec(x))^2,x)=int((sec(x))^2,x)+k;

2)Calcule dxxtg2

.

Soluo: kxxtgdxdxxdxxdxxtg 1sec]1[sec22

*2

Soluo: Utilizando o software de computao algbrica Maple, temos:

> Int((tan(x))^2,x)=int((tan(x))^2,x)+k;

Mtodo de substituio 1) Mostre que:

(i) dxxxsen cos = kx

2

sen2 (Faa: u = sen x)

(ii) dxxxsen cos = kx

2

cos2 (Faa: u = cos x)

Mtodo por partes:

1) calcule a) dxx3sec .

Soluo: vamos inicialmente preparar o integrando, observando que o artifcio que usaremos vlido sempre que n for um nmero mpar: sec3x = sec2x . secx

dxxtgxxtgxtgxduvvudxxxdxxdvu

secsecsecsecsec*

23

dxxxxtgxdxxtgxxtgx )1(secsecsecsecsec2

**2

|sec|lnsecsecsecsecsec 3***

3 xtgxdxxxtgxdxxdxxxtgx

Assim: kxtgxxtgxdxxxtgxxtgxdxx ]|sec|ln[sec21

sec|sec|lnsecsec2 33

Utilizando o software de computao algbrica Maple, temos: > Int((sec(x))^3,x)=int((sec(x))^3,x)+k;

d ( )sec x

2 x ( )sin x

( )cos xk

d ( )tan x

2 x ( )tan x ( )arctan ( )tan x k

d ( )sec x

3 x 1

2

( )sin x

( )cos x 21

2( )ln ( )sec x ( )tan x k

Integrao de Potncias de Seno e Co-seno: formas alternativas, usando as identidades trigonomtricas.

Essas identidades do lugar a

1) Calcule:

a) dxxcos5

Soluo: vamos inicialmente preparar o integrando, observando que o artifcio que usaremos vlido

sempre que n for um nmero mpar.

Temos: cos5 x = (cosx).cosx = (1 senx) .cosx = (1 2senx + sen4 x) . cosx =

= cosx 2senx.cosx + sen4 x.cosx, portanto:

dxxcos5 dx)xcos.xsenxcos.xsen2x(cos 42

dxxcos.xsendxxcos.xsen2dxxcos 42 Cxsen5

1xsen

3

2xsen 53 .

b) dxxsen4 .

Soluo: neste exemplo n um nmero par. Na preparao do integrando, fazemos agora:

sen4 x = (senx) 2

x2cos1.2

1

x2cosx2cos21

4

1 2

2

x4cos1x2cos21

4

1

Portanto: sen4 x .x4cos8

1x2cos

2

1

8

3

Assim: dxxsen4

dxx4cos

8

1x2cos

2

1

8

3 .Cx4sen

32

1x2sen

4

1x

8

3

As integrais duutgn

, duugcotn

, duusecn e duueccos

n onde n inteiro positivo.

Na preparao do integrando, usamos as identidades:

1usecutg 22 ou 1utgusec 22

1useccosugcot22 ou 1ugcotuseccos 22 .

Os artifcios so semelhantes aos usados nos casos anteriores. Temos:

)1u.(secutgutg.utgutg 22n22nn e )1usec.(cosugcotugcot.ugcotugcot 22n22nn .

Ex: Calcule: a) dtgtgdtg 3.3323

Integrao Trigonomtrica: Frmulas de Reduo : Estas frmulas expressam uma integral com potncia de funo em termos de uma integral que envolve uma potncia mais baixa daquela funo. Por exemplo, se n for um

inteiro positivo e n 2, ento a integrao por partes pode ser usada para obter as frmulas de reduo:

n n 1 n 21 n 1sen xdx sen x cos x sen xdxn n

(1) e xdx2ncos

n

1nxsenx1nsco

n

1xdxncos (2)

Mostre que:

4 3 3 23 1 3 1 2a) cos x dx = x+ cos x.senx+ sen2x + C; b) sen xdx - sen x.cosx - cosx + c

8 4 16 3 3 ;

c) 4/4

0

3 1sen xdx

32 4

Integrao de produtos de senos e co-senos

dx x cos . xsennm

pode ser calculada de diversas maneiras, dependendo de m e n serem pares ou mpares:

Ex: 4 5 5 7 91 2 1

sen x . cos x dx sen x sen x sen x C5 7 9

4 4 3 1 1

sen x cos xdx x sen4x sen8x c128 128 1024

OBSERVE Se n impar: 1) separe um fator de cosx 2) aplique a identidade cos2x = 1 sen2x; 3) faa a substituio u = senx Se m impar: 1) separe um fator de senx 2) aplique a identidade sen2x = 1 cos2x; 3) faa a substituio u = cosx

Se m e n so par: 1) use as identidades )x2cos1(2

1x2sen e )x2cos1(

2

1x2cos

para reduzir as potencias de senx e cosx

Integrais da forma: cos(mx).cos(nx)dx; sen(mx).cos(nx)dx sen(mx).sen(nx)dx

Podem ser encontradas usando as identidades trigonomtricas: 1

cos cos [cos( ) cos( )]2

;

)](sen)(sen[

2

1cossen e )]cos()[cos(

2

1sensen

Calcule: a) sen7x cos3xdx b) xdx5xsen3sen

Integrao de Potncias de Tangente e de Secante O procedimento para integrao de potncias de tangente e de secante segue paralelamente os do seno e co-seno. A idia usar as seguintes frmulas de reduo para reduzir o expoente do integrando at que a integral resultante possa ser calculada:

(1) (2)

Tipo: m n

tg x sec dx , se:

n par: 1) separe um fator de sec2 x 2) aplique a identidade sec2x = 1 + tg2x; 3) faa a substituio u = tgx m impar: 1) separe um fator de secx.tgx 2) aplique a identidade tg2x = sec2x - 1; 3)faa a substituio u = secx m par e n impar: 1) use a identidade para reduzir as potencias de secx. tg2x = sec2x 1. 2) Use a frmula de reduo para potncias de secx.

Mostre que:

2 4 5 3 3 3 5 3

2

1 1 1 1a) tg x sec x dx = tg x+ tg x+c b) tg x sec x dx = sec x - sec x+c

5 3 5 31 1

c) tg x sec x dx secx.tgx - ln|secx+tgx|+c 2 2

Integrais de funes trigonomtricas inversas (seno e tangente):

k x tgdx

x1

1

2arc

ksen x dx

x1

1

2arc

Calcule: dx

x 5

12

Soluo:

duu

dxx

dxx

dxx

dxx

51

1

5

1

51

1

5

1

51

1

5

1

515

1

5

12

*

2222=

II

24 x

.

kxtgarckutgarcduu

5

5

5

5

5

5

1

1

5

52

Fazendo: dxdu 55

1

5

dx

duxu

Substituies Trigonomtricas:

Quadro resumo da substituio trigonomtrica: (r > 0, e x a varivel)

Expresso no integrando Substituio trigonomtrica

22 xr sen rx (- )2 2

22 xr tgrx (- < < )2 2

22 rx sec rx

0 ( se x a )2

< ( se x -a ) 2

onde r uma constante positiva

1 ) Achar a integral 22 4 xx

dx

.sec.2sec.4

.sec.2

..4.21

2.

.

.11

.24

2

2

22

22

2

2

ax

ddx

tgxtgxutgtgb

au

xuxu

bb

aa

ddd

tgd

tgxx

dx2

2

2

222

2

22 sen

cos.

cos

1

4

1

cos

sen

cos

1

4

1sec

4

1

)sec2).(4(

sec2

4

dd 2

2).(sencos

4

1

sen

cos

4

1

ddu

u

cos

sen ...

Cuu

uuduud

411

.4

1

1.

4

1

12.

4

1

4

1cos.)(sen

4

1 11222 = Csen.4

1.

Devemos agora voltar varivel original x ...

Como 22

2x

CA

COxtgtgx logo x

2

Da , Cx

xC

CO

HI

CO

HI

HI

COsensen

4

4

.4.

4

11.

4

11.

4

1

.4

1 2,

Portanto,

2

2 2

4

44

dx xC

xx . x

.

01) Mostre que a rea da elipse:

2 2

2 2

x y1 ab

a b

02) Calcule:

a)

2

2

9 xdx , faa x 3 cos

2x

b) 3 2

dx , faa x 4 sec

x x 16

c)

tg 2 xfaa , dx

42x

x

03) Calcule:

a) 2x

dx29 x

R.: 9 x 11 2sen - x 9 x +c2 3 2

b) dx

2x 1

R.: 2ln x x 1 + c

c) 21 t

dt t

R.:

21 t 121 t +ln +ct

d)

2x 25dx

x

R.:

x2 1x 25 - 5sec +c5

e) 24 x dx R.: x 11 22sen + x 4 x +c 2 2

04) Calcule:

a) 2

dx

4 x b) 2

dx

25x 4 c) 2

3dx

1 9x d)

dx

2x 4x 13 e)

dx

28 2x x

05) Calcule: a) 2

1 2 2

dx

x 4 x b)

2

2 2 2

dx

x x 1

Para dxxba 222

faa a substituio senb

ax

Para dxaxb 222

faa a substituio tgb

ax

Para dxaxb 222

faa a substituio secb

ax

Aplicaes: 1.Determine a rea da regio no primeiro quadrante que delimitada pelos eixos coordenados e pela curva

y 29 x

3

2. Considere a regio delimitada pelos grficos de y = sen-1x, y = 0 e x = . Determine a rea da regio

3. Mostre que: 4

4

216 dxx = 8

4. Mostre que: a) dxx 1

0

21 = 4

b) dxx

1

0

21 = )12( ln22

1

c) dxx 21 = kxxxx |1| ln1.

2

1 22

d) dxx29 senx 3 e) dxx

29 = 3tg

f) dxx 92

sec3x g) dxxx22 1 senx