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Universidade Federal do Recôncavo da Bahia Curso: Licenciatura em Física / Matemática Componente: Cálculo Vetorial e Integral Prof. Álvaro Fernandes Serafim Aluno(a): ______________________________________

A integral curvilínea de campo vetorial, também pode ser considerada como uma generalização natural do conceito de integral definida. A sua origem está relacionada com o conceito físico de Trabalho.

Considere um campo vetorial contínuo ( ) ( ) ( ) ( )( ) 1 2 3F x, y,z f x, y,z , f x, y,z , f x, y,z=r

, definido no

espaço ( particularmente sobre uma curva suave e orientada C ).

Sabemos que 1f , 2f e 3f são funções escalares contínuas de três variáveis, nas quais podemos

calcular integrais de linha em relação às variáveis x, y ou z ao longo de uma curva C parametrizada por

( ) ( ) ( ) ( )( ): , , , C r t x t y t z t a t b= ≤ ≤r ou

( )( )( )

: ,

x x t

C y y t a t b

z z t

=

= ≤ ≤ =

.

Estas integrais curvilíneas ocasionalmente aparecem em conjunto.

Por exemplo, ( ) ( ) ( ) 1 2 3C C Cf x, y,z dx f x, y,z dy f x, y,z dz+ +∫ ∫ ∫ escrevemos simplesmente como

( ) ( ) ( ) 1 2 3Cf x, y,z dx f x, y,z dy f x, y,z dz+ +∫ .

Assim,

Integral curvilínea de campo vetorial

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( ) ( ) ( ) 1 2 3Cf x, y,z dx f x, y,z dy f x, y,z dz+ + =∫

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) b

1 2 3af x t , y t ,z t x' t dt f x t , y t ,z t y' t dt f x t , y t ,z t z' tdt+ + =∫

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) b

1 2 3af x t , y t ,z t , f x t , y t ,z t , f x t , y t ,z t x' t , y' t ,z' tdt ⋅ = ∫

( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) b

1 2 3af r t , f r t , f r t r ' t dt⋅ =∫

r r r r

( )( ) ( ) b

aF r t r ' t dt⋅∫r r r

que expressamos simplesmente como C

F dr∫r r

,

pois, de ( ) ( ) ( ) ( )( ), ,r t x t y t z t=r vem que ( ) ( ) ( ) ( )( )dr

r ' t x' t , y' t ,z' tdt

= =r

r, de onde ( )dr r ' t dt=r r

.

Assim,

Como o produto escalar de duas funções vetoriais resulta numa função escalar, podemos calcular a

integral de linha de um campo vetorial Fr

ao longo de uma curva suave e parametrizada

( ): , C r t a t b≤ ≤r, através de uma integral definida em relação ao parâmetro t, calculada de a até

b. Ou seja,

Exercício 1: Calcule ( ) ( ) ( ) C

2x dx 3y dy 4z dz+ +∫ , ao longo da:

a) Parábola 2z x

C :y 2

=

= do ponto ( )A 0,2,0 até o ponto ( )B 2,2,4 .

b) Linha poligonal AOB, sendo ( )O 0,0,0 a origem do sistema.

Respostas: a) 36. b) 36.

( ) ( ) ( ) 1 2 3C CF dr f x, y,z dx f x, y,z dy f x, y,z dz= + +∫ ∫r r

define a integral de linha do campo

vetorial ( ) ( ) ( ) ( )( ) 1 2 3F x, y,z f x, y,z , f x, y,z , f x, y,z=r

ao longo da curva C parametrizada por

( ) ( ) ( ) ( )( ), , , r t x t y t z t a t b= ≤ ≤r.

( )( ) ( ) b

C aF dr F r t r ' t dt= ⋅∫ ∫r rr r r

Produto escalar de vetores.

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Exercício 2: Calcule a integral de linha do campo vetorial ( ) ( )F x, y y,x= −r

ao longo do caminho

poligonal C de vértices ( )M 1,1 , ( )N 1,1− e ( )P 0, 1− (um triângulo), orientado no sentido anti-

horário. Solução: O triângulo C é uma curva parcialmente suave formada pela união de 3 curvas suaves (segmentos de reta) 1C , 2C e 3C , isto é, 1 2 3C C C C= ∪ ∪ .

Neste caso, 1 2 3C C C C

F dr F dr F dr F dr= + +∫ ∫ ∫ ∫r r r rr r r r

.

Segue que:

( ) ( )( ) ( ): , ,

' ,

1C r t 1 2t 1 0 t 1

r t 2 0

= − ≤ ≤

= −

r

r

( ) ( )( ) ( ): , ,

' ,

2C r t 1 t 1 2t 0 t 1

r t 1 2

= − + − ≤ ≤

= −

r

r

( ) ( )( ) ( ): , ,

' ,

3C r t t 1 2t 0 t 1

r t 1 2

= − + ≤ ≤

=

r

r

1 2 3C C C C

F dr F dr F dr F dr= + + =∫ ∫ ∫ ∫r r r rr r r r

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1

0 0 01,1 2t 2,0 dt 1 2t, 1 t 1, 2 dt 1 2t ,t 1,2 dt= − − ⋅ − + − + − + ⋅ − + − ⋅ =∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( ) 1 1 1

0 0 02 dt 1 2t 2 2t dt 1 2t 2t dt ... 4= + − + + − + − + = =∫ ∫ ∫ .

N C1 M

P

C2

C3

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O Trabalho como integral de linha

Imaginemos uma força constante Fr

atuando sobre uma partícula com a intenção de deslocá-la em linha reta de um ponto A até um ponto B. O comprimento do deslocamento é a distância do ponto A

ao ponto B que também é o módulo do vetor d AB=uuurr

. Da Física sabemos que o trabalho realizado por essa força para efetuar esse deslocamento é

( )W F d cos= ⋅ θrr

onde Fr

é o vetor força, dr

é o vetor deslocamento e θ é a medida do ângulo

entre esses vetores. Lembramos da Geometria Analítica a propriedade do produto escalar de vetores que afirma

( )v w v w cos⋅ = ⋅ θr r r r, sendo θ o ângulo entre os vetores v

r e w

r. Assim, o trabalho realizado por

uma força constante Fr

para efetuar um deslocamento em linha reta dr

, é dado por Este é o conceito mais elementar de trabalho.

Vamos generalizar este resultado para um campo de forças no espaço Fr

que desloca uma partícula ao longo de um caminho curvilíneo (curva) C também no espaço.

Consideremos um campo de força Fur

contínuo numa região D do espaço. Seja C uma curva contida em D e parametrizada por ( ) , r t a t b≤ ≤r

.

Uma partícula move-se ao longo de C do ponto A até o ponto B sendo ( )A r a= r

e ( )B r b= r.

Introduzindo n 1− pontos na curva C entre os pontos A e B , obtemos uma partição

0 1 2 n 1 nA P ,P ,P ,...,P ,P B−= = da curva, que a divide em n arcos (Fig. 1).

W F d= ⋅rr

Fr

( )F cos θr

A B

θ

k 1P −

kTuur

kF

uur

kQ

B = Pn

P1

P2 P3

C

Pn-1

kP

A = P0

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Consideremos um ponto qualquer em cada um destes arcos e denotemos por kQ esse ponto no k-

ésimo arco ������� . Desta forma, ( )k kQ r t=r r

e o vetor unitário (versor) tangente à C no ponto kQ é

( ) ( )( )

kk k

k

r ' tT T t

r ' t= =

ruur ur

r (Fig. 2).

Fig. 1 Fig. 2

Denotemos por ks∆ o comprimento do k-ésimo arco e por kFuur

o vetor (força) do campo de forças

no ponto kQ (Fig. 2).

Se o k-ésimo arco for suficientemente pequeno, a força do campo Fur

varia muito pouco nos pontos

deste arco e podemos considerá-la constante e aproximadamente igual à ( )( )k kF F r t=uur ur r

. Nesse

contexto infinitesimal, também podemos considerar que a partícula move-se em linha reta, na

direção do vetor k ks T∆ ⋅uur

(isto é, o deslocamento é de comprimento ks∆ e ocorre na direção de kTuur

,

versor tangente a curva no ponto kQ ). Assim, o trabalho kW realizado pelo campo vetorial ao longo

do k-ésimo arco é

( ) ( )k k k k k k kW F s T F T s≈ ⋅ ∆ ⋅ = ⋅ ∆uur uur uur uur

e o trabalho total W realizado pelo campo Fur

ao longo de toda a curva C é aproximado por

( )n

k k kk 1

W F T s=

≈ ⋅ ∆∑uur uur

Fazendo o número de arcos aumentar indefinidamente (tendendo ao infinito), o comprimento de cada arco tende a zero, tornando possível as aproximações acima consideradas. Daí,

( ) n

k k k Cnk 1

W lim F T s F T ds→∞ =

= ⋅ ∆ = ⋅∑ ∫uur uur ur ur

Temos então a seguinte definição:

Dados, em uma região D do espaço, um campo vetorial contínuo Fur

e uma curva suave e

parametrizada C com versor tangente Tur

, então o trabalho realizado pelo campo de

forças Fur

para deslocar uma partícula ao longo de C, segundo a sua orientação é

C

W F T ds= ⋅∫ur ur

k 1P −

kTuur

kF

uur

kQ

B = Pn

P1

P2 P3

C

Pn-1

kP

A = P0

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Lembrando que ( )ds r ' t dt= r e que ( ) ( )

( )r ' t

T T tr ' t

= =r

ur ur

r , temos então

( ) ( )( ) ( ) ( )r ' t

T t ds r ' t dt r ' t dt drr ' t

= ⋅ = =r

ur r r rr

e, portanto, o trabalho realizado pelo campo F

ur ao longo da curva C é

que é uma integral de linha de campo vetorial ao longo de uma curva.

Obs: Podemos encontrar valor positivo, nulo ou negativo para o trabalho W, conforme o ângulo

entre os vetores Fur

e Tur

seja agudo, reto ou obtuso nos pontos de C, respectivamente.

Exercício 3: Calcule o trabalho realizado pelo campo de forças ( ) ( )1 1F x, y x , y− −=ur

que move uma

partícula ao longo da curva de equação y 1 x= do ponto ( )A 1,1 ao ponto 1

B 2,2

.

Resp.: o trabalho é nulo.

C C

W F T ds F dr= ⋅ = ⋅∫ ∫ur ur ur r

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Integral curvilínea independente do caminho de integração

Definição: Seja Fr

um campo vetorial definido em uma região D do espaço. A integral C

F dr∫ur r

é

dita independente do caminho de integração em D se, qualquer par de pontos A e B em D, o valor da integral é o mesmo para todos os caminhos C que iniciam em A e terminam em B. O seguinte teorema nos dá uma condição necessária para que uma integral curvilínea de campo vetorial seja independente do caminho de integração.

Teorema: Seja Fr

um campo vetorial continuo e conservativo, isto é, existe uma função escalar

contínua ( )u u x, y,z= tal que F u= ∇ur

, numa região D do espaço. Então

( ) ( ) BAC

F dr u u B u A= = −∫ur r

,

para qualquer caminho suave C em D, unindo o ponto A até o ponto B. Prova: Sejam A e B dois pontos quaisquer em D. Seja ( ) ( ) ( ) ( )( ) [ ] C : r t x t , y t ,z t , t a,b= ∈r

, um

caminho suave parametrizado que une ( )A r a= r e ( )B r b= r

. Assim:

( )( ) ( ) b

C C aF dr u dr u r t r ' t dt= ∇ = ∇∫ ∫ ∫ur r r r r

.

Considere a função escalar ( ) ( )( ) [ ] g t u r t , t a,b= ∈r

. Pela regra da cadeia, temos:

( ) u dx u dy u dzg' t

x dt y dt z dt

∂ ∂ ∂= + +∂ ∂ ∂

,

onde as derivadas parciais de u são calculadas nos pontos ( ) ( ) ( )( )x t , y t ,z t . Portanto,

( ) ( )( ) ( ) g' t u r t r ' t= ∇ r r.

Levando em consideração a continuidade de F u= ∇r

e a suavidade de C, podemos aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo e escrever

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) b bb

a aC aF dr g' t dt g t u r t u r b u r a u B u A= = = = − = −∫ ∫ur r r r r

.

Obs.: Algumas integrais curvilíneas aparecem com a notação B

AF dr∫ur r

. Esta notação deixa

implícito que o campo vetorial Fur

é conservativo. Assim, a integral não depende do caminho de integração C, apenas dos pontos inicial (A) e final (B).

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Exercício 4: Verifique se o campo vetorial ( ) ( ) 2F x, y,z sen x i 2yz j y k= − + +rr r r

é conservativo

em 3ℜ e calcule C

F dr∫ur r

ao longo de qualquer caminho C que liga ( )A 0,2,0 até ( )B ,2,4π . Resp.: 14.

Teorema: Se 1 2 3F f i f j f k= + +rr r r

é um campo vetorial contínuo em um domínio conexo 3D ⊂ ℜ, são equivalentes as três afirmações seguintes:

a) Fr

é conservativo em D, isto é, F u= ∇r

para alguma função escalar u em D;

b) A integral de linha de Fr

é independente do caminho de integração em D;

c) A integral de linha de Fr

ao redor de todo caminho fechado simples em D é igual a zero. Obs.: Quando o caminho de integração é fechado, costumamos denotar a integral curvilínea do

campo vetorial Fr

ao longo de C como ∮ ����

.

Exercício 5: Calcule ( )

( )

1,1

1,0F dr∫ur r

, sendo ( ) ( ) ( )x y x yF x, y e 1 i e j+ += + +ur r r

.

Exercício 6: Determine o trabalho realizado pelo campo de forças

( ) ( ) ( ) ( )F x, y,z 1 yz i 1 xz j 1 xy k= + + + + +ur rr r

no deslocamento de uma particular:

a) ao longo da linha poligonal ( ) ( ) ( ) ( )A 1,1,0 ,B 2,2,0 ,C 2,2,6 ,D 0,5,0 e ( )E 4,5,5 .

b) ao longo da circunferência ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) [ ] r t 2 cos t i 2 sen t j 4 k , t 0,2= + + + + ∈ πrr rr

.

Respostas:

5) e2 – e.

6) a) 112 u.t. b) 0 u.t.