10_colunas

21/02/2010

1

RESISTNCIA DOS

MATERIAISCAPITULO

Notas de Aula:

Prof. Gilfran Milfont

As anotaes,bacos, tabelas, fotos e

grficos contidas neste texto, foram

retiradasdosseguinteslivros:

-RESISTNCIA DOS MATERIAIS -

Beer, Johnston, DeWolf- Ed. McGraw

Hill -4 edio-2006

- RESISTNCIA DOS MATERIAIS -R.

C. Hibbeler-Ed. PEARSON -5 edio-

2004

-MECNICA DOS MATERIAIS -James

M. Gere-Ed. THOMSON-5 edio-2003

-MECNICA DOS MATERIAIS - Ansel

C. Ugural-Ed. LTC-1 edio-2009

-MECNICA DOS MATERIAIS - Riley,

Sturges, Morris-Ed. LTC-5 edio-2003

11 Colunas

RESISTNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT

Estabilidade das Estruturas

1 - 2

A

- A deformao estivesse dentro das

especificaes

specAE

PL

No projeto de colunas, a rea da seo

transversal era determinada, visando a sua

Resistnciae Rigidez,tal que:

- a tenso admissivel no fosse excedida

admP

Agora estaremospreocupadostambmcom a suaestabilidade, isto ,

quea colunanovenhaa flambar soba aodo carregamentoa que

sersubmetida.

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1 - 3

Considereo modelocomduasbarrase umamola

detoro. Apsumapequenaperturbao,

22Momento da cargasen

Momento da mola2

LP

LP

K

A coluna estvel(tendea retornarpara

posiovertical)enquanto:

L

KPPK

LP cr

42

2

Como: sen



1 - 4

Se a carga P aumentada. Aps a

perturbao, o sistema assumeuma nova

configuraoe o ngulopassade para

senP

P

K

PL

KsenL

P

cr4

22

Note que sin < , e a configurao

assumidas possvelse P > Pcr.

O valor de encontradopor

tentativas.

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3


Frmula de Euler Para Colunas Bi-Articuladas

1 - 5

Uma colunapodeserconsideradacomo

uma viga colocada na vertical. Aps

uma perturbaoo sistema encontra

umaposiodeequilbrio,tal que:

02

2

2

2

yEI

P

dx

yd

yEI

P

EI

M

dx

yd

Eq. Dif. de

2 ordem.

Cuja soluo geral :

Condies de Contorno:

x=0 => y=0 => B=0

x=L => y=0 => Asen(pL)=0 => sen(pL)=0 => pL= n



1 - 6

2

2

2

22

2

2

rL

E

AL

ArE

A

P

L

EIP

crcr

cr

As configuraesassumidasem

funo de n, so mostradasao

lado. Como: P1 < P2 < P3, a

coluna ir flambar comP1, ou

sejan=1. Ento:

L/r= = indicedeesbeltez

Equao da linha elstica

na flambagem.

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1 - 7

A anlisefeita aqui limitada a

cargascentradas.

esbeltez de ndice

crtica enso 2

2

2

22

2

2

r

L

trL

E

AL

ArE

A

P

L

EIP

cr

crcr

cr

Ensaiode um ao com E=200GPa e

tensodeescoamentode250MPa.

= ndicedeesbeltez


Frmula de Euler Para Outras Condies de Extremidades

1 - 8

Uma coluna com uma extremidade

engastadae a outra livre, ter o mesmo

comportamentoquanto flambagemque

umacolunabi-articuladadecomprimento

duasvezeso comprimentodesta.

A cargacrtica calculadapelafrmulade

Euler,substituindoL porLe

length equivalent 2

2

2

2

2

LL

rL

E

L

EIP

e

ecr

ecr

comprimentoequivalente

e = Le/r ndice de esbeltez

equivalente.

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Comprimentos Equivalentes

1 - 9


Exemplo 10.1

1 - 10

Uma coluna de aluminio de comprimentoL e

seo retangular tem a sua extremidade B

engastadae suportauma carga centradaP na

extremidadeA. Dois suportesde guia restrigem

o movimento da extremidadeA em um dos

planos de simetria vertical, mas permite o

movimentono outroplano.

a) Determinea relaoa/b dos dois ladosda

seotransversal,correspondenteao mais

eficienteprojetocontraa flambagem.

b) Determine a seo transversal mais

eficiente para coluna, baseadonos dados

fornecidos.

L = 500mm.

E = 70 GPa

P = 22 KN

CS= 2.5

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Exemplo 10.1

1 - 11

Flambagem no plano xy

:

12

7.0

1212

,

23121

2

a

L

r

L

ar

a

ab

ba

A

Ir

z

ze

zz

z

Flambagem no plano xz :

12/

2

1212

,

23121

2

b

L

r

L

br

b

ab

ab

A

Ir

y

ye

yy

y

Projeto mais eficiente:

2

7.0

12/

2

12

7.0

,,

b

a

b

L

a

L

r

L

r

L

y

ye

z

ze

35.0b

a

SOLUO:

O projeto mais eficiente ocorre quando a

resistncia flambagem igual em ambos os

planosde simetria. Isto ocorrequandoos ndices

deesbeltezsoiguais, emrelaoaosdoisplanos.


Exemplo 10.1

1 - 12

Projeto:

2

923

2

92

2

2

cr

3

cr

12

1070

0.35

1055

12

1070

0.35

1055

kN 55225,2

464,3

12

5,02

12

2

bbb

brL

E

bbA

P

PCSP

bbb

L

r

L

e

cr

cr

y

e

.2,1435.0

.7,40

mmba

mmb

L = 500mm.

E = 70 GPa

P = 22 KN

CS= 2.5

a/b= 0.35

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Carga Excntrica; Formula da Secante

1 - 13

Uma cargaexcntrica equivalentea uma

cargacentradae um momento.

Flexo ocorre quandoexiste excentricidade.

Questesde flambagem devem levar em

contatambmo efeitodaflexo.

Eq. Diferencial da L. E.



1 - 14

A soluogeraldaequaodiferencialdaL. E. :

12

secmax

2

2

crP

Pey

EI

PePy

dx

yd

A deflexo tende a infinito quando: P = Pcr

Tensomxima:

cr

e

P

P

r

ec

A

P

r

L

EA

P

r

ec

A

P

r

cey

A

P

2sec1

2

1sec1

1

2

2

2

maxmax

Condies de Contorno:

x=0 => y(0)=0

x=L => y(L)=0

x=L/2 => y(L/2)=ymx

A tensono varia linearmentecom a

carga. Portanto,deve se determinara

resultante, antes da aplicao das

equaes,assimcomo o C.S. deve ser

aplicada cargae no tenso.

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1 - 15

r

L

EA

P

r

ec

A

P eY

2

1sec1

2max


Exemplo 10.2

1 - 16

Uma colunauniformede 2,4m de comprimento

feita detuboestruturalcoma seotransversal

mostradanafigura.

a) Usandoa frmuladeEulere um coeficiente

de seguranade dois, determinea carga

centrada admissvel e a correspondente

tensonormal.

b) Supondoquea cargaadmissvelencontrada

no item a, aplicada com uma

excentricidadede 19mm do eixo axial da

coluna, determinea deflexohorizontalno

topo da colunae a tensonormal mxima

na mesma. Dados: E=200 Gpa;

A=2284mm2 ; I=3,3x106mm4; r=38mm e

c=50mm.

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Exemplo 10.2

1 - 17

SOLUO:

a) Cargacentradaadmissvel:

.48008,44,22 mmmLe

- Comprimento efetivo,

KN

L

EIP

e

cr

7,282

4,8

103,3102002

-692

2

2

- Carga crtica,

6-102284

36,141

2

7,282

A

P

CS

PP

adm

cradm

KNPadm 36,141

MPa9,61

- Carga admissvel,


Exemplo 10.2

1 - 18

b) Carga Excntrica:

.79,23 mmym

122

sec19

12

seccr

mP

Pey

- Deflexo no topo,

22sec

38

50191

102284

10141,36

2sec1

26

3

2

cr

mP

P

r

ec

A

P

MPam 6,153

- Tenso normal mxima,

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Projeto de Colunas Sob Carga Centrada

1 - 19

A anlise anterior assumiuque as

tensesestavamabaixodo Limite de

Proporcionalidadedo materiale que

a colunaerade materialhomogneo

deeixo inicialmentereto.

Dadosexperimentaisdemonstram:

- paravaloresaltos de Le/r, crsegue a frmulade Euler e

dependede E masnode Y.

- para valores intermedirios

de Le/r, cr depende ao

mesmotempode Y eE.

- para valores pequenosde

Le/r, cr determinadapela

tensode escoamento Y e

noporE.



1 - 20

Ao Estrutural (AISC)

American Inst. of Steel Construction

Para Le/r Cc

92.1

/2

2

CS

CSrL

E cradmc

e

cr

Para Le/r < Cc

3

2

2

/

8

1/

8

3

3

5

2

/1

c

e

c

e

cradm

c

eYcr

C

rL

C

rLCS

FSC

rL

Em Le/r = Cc

YcYcr

EC

22

21 2

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1 - 21

Aluminio

Aluminum Association, Inc.

Liga 6061-T6

Le/r < 66:

MPa /868.0139

ksi /126.02.20

rL

rL

e

eadm

Le/r > 66:

2

3

2/

MPa 10513

/

ksi 51000

rLrL eeadm

Liga 2014-T6

Le/r < 55:

MPa /585.1212

ksi /23.07.30

rL

rL

e

eadm

Le/r > 66:

2

3

2/

MPa 10273

/

ksi 54000

rLrL eeadm


Exemplo 10.4

1 - 22

2

4

giraoderaio

2

4c

c

c

A

I

r

Para L = 750 mm, assumaL/r > 55

Determine o raiodabarra:

mm44.18

c/2

m 0.750

MPa 103721060

rL

MPa 10372

2

3

2

3

2

3

cc

N

A

Pall

Verifique o indice de esbeltez assumido:

553.81mm 18.44

mm750

2/c

L

r

L

est correto:

mm 9.362cd

Usandoa liga de alumnio 2014-T6, determineo menordimetroda barraque

pode ser usadapara suportara cargacentradaP = 60 kN se a) L = 750 mm,

b) L = 300mm

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Exemplo 10.4

1 - 23

Para L = 300 mm, assuma L/r < 55

Determine o raio da barra:

mm00.12

Pa102/

m 3.0585.1212

1060

MPa 585.1212

62

3

c

cc

N

r

L

A

Pall

Verifique o indice de esbeltez assumido:

5550mm 12.00

mm 003

2/c

L

r

L

est correto

mm 0.242cd


Projeto de Colunas Sob Carga Excntrica

1 - 24

I

Mtodo da Tenso Admissvel:

admMc

A

P

Mtodo da Interao:

1fadmcadm

IMcAP

Uma carga excntrica P pode ser

substitudapor umacargacentradaP e um

momentoM = Pe.

A tensonormalpodeserencontradapela

superposioda tensodevido carga

centradae a tensodevido ao momento

fletor,

IA

McP

fc

max

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