10.3 Sistema de uma fila com população finita e um canalContinuando o estudo de filas que foi iniciado no sub item anterior, agora vamos aprender os elementos e fórmulas de uma fila, com um canal e população finita.

Lembrem-se que no sub item anterior, a população era “infinita”

As fórmulas agora vão levar em consideração a quantidade máxima da população, que é chamado de “K” , como veremos a seguir

Capitulo 10: Teoria das Filas

Nome Descrição Fórmula

P (n) Probabilidade de haver n clientes no sistema

P(n)= (μ / λ)K-n / [(K – n) ! * ∑Kj=0 ((μ / λ)j / j !)]

NF Número médio de clientes na fila

NF= K – ((λ + μ) / λ) * (1 – P0)

NS Número médio de clientes no sistema

NS= K – ((λ + μ) / λ) * (1 – P0) + λ / μ

TF Tempo médio gasto na fila TF= (K / λ) – ((λ + μ) * (1 - P0)) / λ²

TS Tempo médio gasto no sistema TS= (K / λ) – ((λ + μ) * (1 - P0)) / λ² + (1 / μ)

Exercício 10.3 Fonte: E Andrade (2009)

Uma seção de fábrica dispões de 6 máquinas que apresentam defeito a uma taxa de 3 por semana, segundo a distribuição de Poisson. A equipe de Manutenção consegue reparar, em média, 6 máquinas por semana. Pede-se:

a) Qual a probabilidade de haver 0 máquinas em Manutenção

b) Qual a probabilidade de haver 1 máquina em Manutenção

c) Qual o número médio de máquinas na fila

d) Qual o número médio de máquinas paradas por semana

e) Qual o tempo médio por máquina parada

f) Qual o tempo médio de espera (fila) por máquina

Capitulo 10: Teoria das Filas

P(n)= (μ / λ)K-n / [(K – n) ! * ∑Kj=0 ((μ / λ)j / j !)]

P(0)= (6 / 3)6-0 / [(6 – 0) ! * ∑6j=0 ((6 / 3)j / j !)]

P(0)= 26 .

6 ! ∑6 2j

j = 0 j !

Capitulo 10: Teoria das Filas

P(0)= 64 .

6*5*4*3*2*1 * (1 +2 +2 +8/6 +16/24 +32/120 +64/720)

P(0)= 0,01208

Dados do enunciado:

K = 6 máquinas

λ = 3 máquinas por semana

μ = 6 máquinas por semana

a) Qual a probabilidade de haver 0 máquinas em Manutenção

P(n)= (μ / λ)K-n / [(K – n) ! * ∑Kj=0 ((μ / λ)j / j !)]

P(1)= (6 / 3)6-1 / [(6 – 1) ! * ∑6j=0 ((6 / 3)j / j !)]

P(1)= 25 .

5 ! ∑6 2j

j = 0 j !

Capitulo 10: Teoria das Filas

P(1)= 32 .

5*4*3*2*1 * (1 +2 +2 +8/6 +16/24 +32/120 +64/720)

P(1)= 0,03625

Dados do enunciado:

K = 6 máquinas

λ = 3 máquinas por semana

μ = 6 máquinas por semana

b) Qual a probabilidade de haver 1 máquina em Manutenção

c) Qual o número médio de máquinas na fila?

Capitulo 10: Teoria das Filas

NF= K – ((λ + μ) / λ) * (1 – P0)

NF= 6 – ((3 + 6) / 3) * (1 – 0,01208)

NF= 3,036

NS= K – ((λ + μ) / λ) * (1 – P0) + λ / μ

NS= 6 – ((3 + 6) / 3) * (1 – 0,01208) + 3 / 6

NS= 3,536

TS= (K / λ) – ((λ + μ) * (1 - P0)) / λ² + (1 / μ)

TS= (6 / 3) – ((3 + 6) * (1 – 0,01208)) / 3² + (1 / 6)

TS= 1,1787 semana

TF= (K / λ) – ((λ + μ) * (1 - P0)) / λ²

TF= (6 / 3) – ((3 + 6) * (1 – 0,01208)) / 3²

TF= 1,012 semana

d) Qual o número médio de máquinas paradas por semana?

e) Qual o tempo médio por máquina parada?

f) Qual o tempo médio de espera (fila) por máquina?