100.- Teoria. is.completo.

8/16/2019 100.- Teoria. is.completo.

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INTERES SIMPLE DESCUENTO RACIONAL )

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO

FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS

MATEMATICASFINANCIERAS

TEMA:

INTERES SIMPLE


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Econ. Máximo Calero Briones .UNAC Interés Simple

2

INDICE

1. FORMULAS INTERES SIMPLE 03

2. INTRODUCCION A LAS MATEMATICAS FINANCIERAS 05

3. INTERES SIMPLE 19

4. BIBLIOGRAFIA

4 EJEMPLOS

ZIMA, PER/BROWN Robert L. Matemática Financiera 28

ALIAGA VALDEZ, Carlos, 01. Matemáticas Financieras 38

VILLALOBOS PEREZ, José Luis. Matemática Financiera 48

MORA ZAMBRANO, Armando. Matemáticas Financieras 58

4 2 EJERCICIOS

o ZIMA PER/BROWN Robert L. Matemática Financiera 59

o ALIAGA VALDEZ Carlos 01. Matemáticas Financieras 64

oVILLALOBOS PEREZ José Luis. Matemática Financiera 69

o MORA ZAMBRANO, Armando. Matemáticas Financieras 76

“L MENTE PUEDE H CER DEL CIELO UN

INFIERNO Y DEL INFIERNO UN CIELO”


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INTERES SIMPLE

i P I ..

ni

I P

.

Se utiliza para calcular al capital inicial cuandose conocen los otros elementos. En algunos casos

se emplea la letra C

n P

I i

.

Se emplea para calcular la tasa de interés,conocidos los otros elementos

i P

I n

.

Sirve para calcular el tiempo, cuando se conocenlos otros elementos

I P S I S P

Sirve para calcular el Capital Inicial o Valor Presente

P S I Se emplea para calcular el interés que cobra o

paga por el uso del dinero

)1( in P S Fórmula que sirve para calcular el capital final

)1( in

S P

Sirve para calcular el Valor Presente o Capital Inicial

)(....)()()( 332211 nn nininini P I Interés con principal constante tasa nominalvariable

)(...)()()( 332211 nn n P n P n P n P i I Interés con principal variable y tasa nominalconstante

)...(1 1111 nn ninini P S )(....)()1( 2211 nn ninini P S

Monto con principal constante y tasa nominalvariables

)...(1 2211 nn nininiS P

)(...)()1( 2211 nn nininiS

P

Principal con monto constante y tasa nominalvariables

n

P

S

i

1 ;

n P

P S i

.

Se emplea para calcular la tasa de interés

i

P

S

n

1

; i P

P S n .

Se emplea para calcular el tiempo de latransacción

I = Representa el interes que se paga o cobra por el uso de dineroP = Es el capital inicial que se presta o se invierte, también se le conoce como principal (Deuda, Valor

Presente, etc.)i = Representa a la tasa de interés, que es el porcentaje que se paga por cada unidad monetaria y es

anual salvo que se diga lo contrarion = Es el tiempo por el que se pacta la transacción, puede ser: años, meses, días, etc.S = Representa el Monto o Capital Final que se obtiene después de transcurrir un tiempo determinado

(Capital Futuro). En algunos casos se emplea las letras M y F.

Eco. Máximo Calero Briones


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PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS

PROPIEDADES FORMULAS DEFINICION

LOGARITMO DEUN PRODUCTO

)()()( B Log A Log AxB Log El Logaritmo del producto de dos números

positivos es igual a la suma de los logaritmos dedichos números

LOGARITMO DEUN COCIENTE

)()()( B Log A Log B

A Log

El Logaritmo de un cociente de dos números positivos es igual a logaritmo del dividendo(numerador) menos el logaritmo del divisor (denominador)

LOGARITMO DEUNA POTENCIA )()( AnLog A Log n

El Logaritmo de una potencia es igual alexponente multiplicado por el logaritmo de la base

LOGARITMO DEUNA RAIZ n

LogA A Log n

El Logaritmo de una raíz es igual a la divisióndel logaritmo de un número entre la base

ANTILOGARITMO 10XDado el logaritmo de L, de un número n,determinar n.Se escribe n= Antilog L cuando Log n = L

LOGARITMOVULGAR

(LOGARITMO NEPERIANOS)

LnEmplea como base un número irracionalrepresentado por la letra e, y cuyo valor aproximado a 12 cifras decimales es2.718281828459…..

Eco. Máximo Calero Briones


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INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICASFINANCIERAS

Desde el punto de vista matemático, la base de las matemáticas financieras la encontramos en larelación resultante de recibir una suma de dinero hoy (VA - valor actual) y otra diferente (VF -valor futuro) de mayor cantidad transcurrido un período.

La diferencia entre VA y VF responde por el “valor” asignado por las personas al sacrificio deconsumo actual y al riesgo que perciben y asumen al posponer el ingreso.

1.INTRODUCCIÓN Nos dice Michael Parkin, en su obra Macroeconomía: «El dinero, el fuego y la rueda, hanestado con nosotros durante muchos años. Nadie sabe con certeza desde cuándo existe -el

dinero-, ni de cuál es su origen». En forma similar nos acompaña la matemática financiera, cuya génesis está en el proceso de la

transformación de la mercancía en dinero. Según la teoría del valor: el valor solo existe deforma objetiva en forma de dinero. Por ello, la riqueza se tiene que seguir produciendo comomercancía, en cualquier sistema social.

El sistema financiero esta esencialmente vinculado a las matemáticas financieras. Por el año1,368 - 1,399 D.C. aparece el papel moneda convertible, primero en China y luego en la Europamedieval, donde fue muy extendido por los orfebres y sus clientes.

Siendo el oro valioso, los orfebres lo mantenían a buen recaudo en cajas fuertes. Como estas

cajas de seguridad eran amplias los orfebres alquilaban a los artesanos y a otros espacios paraque guardaran su oro; a cambio les giraban un recibo que daba derecho al depositante parareclamarlo a la vista.

Estos recibos comenzaron a circular como medio de pago para comprar propiedades u otrasmercancías, cuyo respaldo era el oro depositado en la caja fuerte del orfebre.

En este proceso el orfebre se dio cuenta que su caja de caudales estaba llena de oro en custodiay le nace la brillante idea, de prestar a las personas “recibos de depósitos de oro”, cobrando por sus servicios un interés; el oro seguiría en custodia y solo entregaba un papel en que anotaba lacantidad prestada; tomando como previsión el no girar recibos que excedieran su capacidad derespaldo.

Se dio cuenta de que intermediando entre los artesanos que tenían capacidad de ahorro en oro ylos que lo necesitaban, podía ganar mucho dinero.

Así es la forma en que nació el actual mercado de capitales, sobre la base de un sistemafinanciero muy simple, de carácter intermediario.


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2. MATEMATICAS FINANCIERAS La Matemática Financiera es una derivación de la matemática aplicada que estudia el valor del

dinero en el tiempo, combinando el capital, la tasa y el tiempo para obtener un rendimiento ointerés, a través de métodos de evaluación que permiten tomar decisiones de inversión.

Se relaciona multidisciplinariamente, con la contabilidad, por cuanto suministra en momentos precisos o determinados, información razonada, en base a registros técnicos, de las operacionesrealizadas por un ente privado o público, que permiten tomar la decisión más acertada en elmomento de realizar una inversión; con el derecho, por cuanto las leyes regulan las ventas, losinstrumentos financieros, transportes terrestres y marítimos, seguros, corretaje, garantías yembarque de mercancías, la propiedad de los bienes, la forma en que se pueden adquirir, loscontratos de compra venta, hipotecas, préstamos a interés; con la economía, por cuanto brindala posibilidad de determinar los mercados en los cuales, un negocio o empresa, podrían obtener mayores beneficios económicos; con la ciencia política, por cuanto las ciencias políticasestudian y resuelven problemas económicos que tienen que ver con la sociedad, donde existenempresas e instituciones en manos de los gobiernos.

Las matemáticas financieras auxilian a esta disciplina en la toma de decisiones en cuento ainversiones, presupuestos, ajustes económicos y negociaciones que beneficien a toda la

población; con la ingeniería, que controla costos de producción en el proceso fabril, en el cualinfluye de una manera directa la determinación del costo y depreciación de los equiposindustriales de producción; con la informática, que permite optimizar procedimientos manualesrelacionados con movimientos económicos, inversiones y negociaciones; con la sociología, lamatemática financiera trabaja con inversiones y proporciona a la sociología las herramientasnecesarias para que las empresas produzcan más y mejores beneficios económicos que permitanuna mejor calidad de vida de la sociedad y con las finanzas, disciplina que trabaja con activosfinancieros o títulos valores e incluyen bonos, acciones y préstamos otorgados por institucionesfinancieras, que forman parte de los elementos fundamentales de las matemáticas financieras.

Por ello, las matemáticas financieras son de aplicación eminentemente práctica, su estudio está

íntimamente ligado a la resolución de problemas y ejercicios muy semejantes a los de la vidacotidiana, en el mundo de los negocios. Dinero y finanzas son indesligables.

3. TASAS DEL SISTEMA FINANCIERO3.1.TASAS DEL SISTEMA FINANCIERO

Cuando decimos "sistema financiero", nos referimos a las empresas que forman parte de él, deacuerdo con la Ley de Banca y Seguros.

Según esta norma legal, son empresas del sistema financiero los Bancos, las Financieras, las Cajasde Ahorro Municipal, las Cajas Rurales, las Empresas de Apoyo a la Pequeña y Mediana Empresa

(EDPYME), etc.

Genéricamente y para hacer las explicaciones rápidamente, les llamamos simplemente “Bancos”

3.2.DE ACUERDO CON LOS CAPITALES QUE SON REMUNERADOS(QUE PRODUCEN INTERESES)3.2.1.TASAS ACTIVAS

Son las tasas que cobran los bancos por los préstamos que otorgan bajo diversasmodalidades (préstamos directos, descuento de documentos, sobregiros, tarjetas de crédito,

etc.).

Se llaman tasas activas porque para los bancos los préstamos otorgados son cuentas por cobrar, son derechos. ¡Hablando en términos contables, son activos!

Actualmente estas tasas activas son fijadas libremente por los bancos, en un marco de librecompetencia.


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4. DIAGRAMAS DE FLUJO DE CAJACada persona o compañía tiene ingresos de dinero (rentas) y pagos de dinero (costos) que ocurren

particularmente cada lapso o tiempo dado. Estos ingresos y pagos están dados en ciertos intervalosde tiempo y se denomina flujos de caja. Un flujo de caja positivo usualmente representa uningreso y un flujo de caja negativa representa un pago o desembolso. En cualquier instante detiempo, el flujo de caja podría representarse como: FLUJO DE CAJA NETO = ENTRADAS – DESEMBOLSOS.

Un flujo de caja normalmente toma lugar en diferentes intervalos de tiempo dentro de un períodode interés, un supuesto para simplificar es el de que todos los flujos de caja ocurren al final decada período de interés. Esto se conoce como convención fin de período. Así, cuando variosingresos y desembolsos ocurren en un período dado, el flujo neto de caja se asume que ocurre alfinal de cada período de interés. Sin embargo, puede entenderse que aun cuando las cantidades dedinero de S o R son siempre consideradas que ocurren al fin de cada período de interés, esto nosignifica que el fin de cada período es diciembre 31.

Un diagrama de flujo de caja es simplemente una representación gráfica de un flujo de caja en unaescala de tiempo. El diagrama representa el planteamiento del problema y muestra que es lo dadoy lo que debe encontrarse. Es decir que, después de que el diagrama de flujo de caja es dibujado,el observador está en capacidad de resolverlo mirando solamente el diagrama.

La dirección de las flechas en el flujo de caja es importante para la solución del problema. Sinembargo una flecha hacia arriba indica un flujo de caja positivo. Inversamente, una flecha haciaabajo indica un flujo de caja negativo.

Es importante entender el significado y la construcción del diagrama del flujo de caja, en vista deque es una herramienta valiosa en la solución de problemas.

Escala de tiempo típica para flujos de caja

Figura Nº 01

Año 1 Año 1

0 1 2 3 4 5

Tiempo

Flujo de caja positivo y negativo

Figura Nº 02

+

0 1 2 3 4 5

Tiempo

-

P = $ 2 000 se tomaban en préstamo y se calculaba S después de 5 años. Construya eldiagrama de flujo de caja para este caso, suponiendo una tasa de interés de 12% anual


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F igu ra Nº 03

+ 'P = 2000

i = 12% S = ?

0 0 1 2 3 4

T iem po

-

Si se comienza ahora y se hacen 5 depósitos de $ 1 000 por año ( R ) en un cuenta que paga el7% anual, ¿Cuánto se habrá acumulado inmediatamente después de que se haya hecho elúltimo depósito? Construya el diagrama de flujo de caja.

Figura Nº 04

S = ?

i = 1 7 %

A ñ o

0 1 2 3 4

1 0 00 1 00 0 1 0 0 0 1 00 0

Asuma que se desea depositar una suma P en una cuenta de ahorros dentro de dos años, demanera que le sea posible retirar $ 400 anuales durante 5 años consecutivos, empezando dentrode tres años a partir de este momento. Suponga que la tasa de interés es de 15 ½% anual.Construya el diagrama del flujo de caja

Figura Nº 05

400 400 400

i = 151/2%

0 1 2 3 4 5 6 7

P = ?

5. GRADIENTESUn gradiente uniforme es una serie de flujo de caja que aumenta o disminuye de manera uniforme.Es decir que el flujo de caja, ya sea ingreso o desembolso, cambia en la misma cantidad cada año.La cantidad de aumento o disminución es el gradiente.

El valor G puede ser positivo o negativo. Si ignoramos el pago base, podríamos construir undiagrama generalizado de flujo de caja de gradiente creciente uniforme como se muestra en lafigura

Serie gradiente uniforme ignorando la cantidad base

Figura Nº 06 n-1 n

1 2 3 4 … … … … …

0

G

2G

3G

4G

+(n-2)G

+(n-1)G

1

GananciasGradiente

n

1Ventas IngresosGradiente

n


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Diagrama de una serie gradiente uniforme con un gradiente de $ 50, cuando el costo total esde $ 900

Figura Nº 07 n-1 n

1 2 3 4 ……………

0

900

950

1000

1050

900

+(n-2)50 900

+(n-1)50

6. INTERPOLACIÓNAlgunas veces es necesario localizar el valor de un factor para una tasa de interés i o un año n queno aparece en las tablas de interés. Cuando esto ocurre, el valor del factor deseado se puede

obtener de una serie de las tres maneras siguientes:a. Usando las fórmulas que fueron deducidas b. Por interpolación entre los valores tabuladosc. Usando una calculadora con los factores programados en ella. Es generalmente más fácil y más

rápido usar las fórmulas en vez de interpolar para determinar el valor del factor quecorresponde a un valor de i o n no listado. Sin embargo, al interpolación lineal es aceptable yse considera suficiente, siempre y cuando los valores de i o n no estén demasiado distantes eluno con el otro.

El primer paso en la interpolación lineal es disponer los valores conocidos y los desconocidos. Seestablece una ecuación proporcional y se resuelve para c, de la siguiente manera:

o c

a c a

d b d bDonde a, b, c y d representan las diferencias entre los números mostrados en las tablas de interés.El valor de c de la ecuación se suma o se resta del valor 1, dependiendo de si el factor aumenta odisminuye en valor, respectivamente.

Valor 1

d No listado

Valor 2

Tabuladoa c

b Deseado

Tabulado

( )a d

X e f eb d


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EJEMPLOS

1. El señor Picapiedra deposita en una entidad financiera el 1º de enero de 2006 la suma de S/. 1 000y después de 6 meses retira una cantidad de S/. 1 075. Construir el flujo de Caja.

a. Punto de vista del prestamista

1075

01/01/2006 01/07/2006

1000

1) El momento en que el señor Picapiedra deposita el dinero se denomina el presente omomento cero

2) El valor del depósito inicial se conoce como valor presente o simplemente (P)3) El segmento de recta representa el tiempo de la operación financiera ( n )4) El valor del dinero retirado después de los 6 meses se denomina valor futuro o

simplemente (S)

b. Punto de vista del prestatario1000

01/01/2006 01/07/2006

1075

Es necesario anotar que en los sistemas de ahorro, en los cuales una persona deposita unacantidad de dinero en una entidad financiera que le reconoce una tasa de interés, la relaciónentre las partes se asimila a la relación prestatario-prestatario que utilizaremos. Para estecaso, el ahorrador desempeña el papel de prestamista y la entidad financiera desempeña el

papel de prestatario.

2. El señor Picapiedra compra una casa por S/. 10 000 y se compromete a pagarla de la siguientemanera: una cuota inicial de S/. 2 000 y el saldo en 3 cuotas iguales en los meses 3, 6 y 9 por valor de S/. 3 000 cada una. Construir el flujo de caja para el señor Picapiedra.

10000

0 3 6 9 meses

2000 3000 3000 3000

3. El Banco Continental le concede al señor Pérez un crédito por valor de S/. 10 000 con plazo de unaño. La tasa de interés trimestral es del 9%. El banco le exige al señor Pérez la restitución delcapital al final del año. Construir el flujo de Caja para el señor Pérez.

I = PinI = 10000x0.09x1I = 900


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12

10000

0 1 2 3 4 Trimestre

900 900 900 10900

4. Consideremos el ejercicio anterior pero suponiendo que el banco le exige al señor Pérez larestitución del capital en 4 cuotas trimestrales iguales además del pago de los intereses.

Período Deuda Amortizac. Interés Cuota

1 Trimestre 10000 2500 900 3400

2 Trimestre 7500 2500 675 3175

3 Trimestre 5000 2500 450 2950

4 Trimestre 2500 2500 225 2725

10000

0 1 2 3 4 Trimestre

3400 3175 2950 2725


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EJEMPLOS

Autor: BLANK Leland/TARQUIN Anthony

1. Suponga que se planean hacer un depósito total de $ 5 000 en una cuenta que paga el 6% anual yque se planea retiros iguales anuales de $ 1 000 durante 5 años, empezando el próximo año. Alfinal de sexto año se desea cerrar la cuenta retirando el dinero que quede. Defina los símbolos queintervienen en el problema.

P = 5000

A = R = 1000 por año durante 5 años

F = S = ? Final del 6º año

i = 6% Anual

n = 5 años para A

2. La compañía Aire-Caliente, invirtió $ 2 500 en un nuevo compresor de aire hace 7 años. Los

ingresos anuales que produce el compresor son de $ 750. Durante el primer año se gastaron $ 100en mantenimiento, costo que ha venido aumentado anualmente en $ 25. La compañía piensavender el compresor por un valor de salvamento de $ 150 a finales del próximo año. Prepare eldiagrama de flujo de caja para este equipo

Ingresos = 750 Costos = 100

VS = 150 Increm = 25

Fin de Flujo Neto

Año Ingresos Costos de Caja

-7 0 2500 (2500)

-6 750 100 650

-5 750 125 625-4 750 150 600

-3 750 175 575

-2 750 200 550

-1 750 225 525

0 750 250 500

1 900 275 625

650

625 625

600

575

550

525

500

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 Año

P = 2500


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3. Suponga que se desea hacer un depósito en una cuenta ahora, de tal manera que se pueda retirar uncantidad igual anual A1 = $ 200 por año durante los primeros 5 años, comenzando un año despuésde su depósito y una cantidad anual diferente A2 = $ 300 por año los siguientes 3 años, ¿Cómoserá el diagrama de flujo de caja si i =14 ½% anual?

200 200 200 200 200 300 300 300

0 1 2 3 4 5 6 7 8 Año

i = 14 1/2%

P = ?

4. Si usted compra un nuevo televisor en 2012 por $ 900, lo conserva durante tres años a un costo demantenimiento de $ 50 por año, vendiéndolo al final por $ 200, diagrame sus flujos de caja ymarque cada flecha como P, F, o A con su respectivo valor en dinero, de manera que le sea posiblehallar una sola cantidad en 2011, equivalente a todos los flujos de caja mostrados. Suponga una

tasa de interés de 12% anualP = ?

F2 = 150

i = 12% anual

2011 2012 2013 2014 2015

A = 50 A = 50

F1 = 900

P = ?

F2 = 150

i = 12% anual

2011 2012 2013 2014 2015

F2 = 50 F3 = 50

F1 = 900

5. La compañía Licores Libres espera obtener un ingreso de $ 47 500 para el próximo año en la ventade sus productos. Sin embargo, se espera que las ventas aumenten uniformemente con laintroducción de un nuevo artículo a un nivel de $ 100 000 en 8 años. Determine el gradiente y

construya el diagrama de flujo de cajaG = ?Ventas = 100000

Ingreso = 47500

n = 8 G = 7500

100000

92500

85000

77500

70000

62500

55000

47500

0 1 2 3 4 5 6 7 8 Año

1

Ventas IngresosGradiente

n

1

GananciasGradiente

n


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6. Determinar el valor del factor A/P, si n es de 10 años,a.- Para una tasa de interés del 7.3%, es decir, (A/P, 7.3%, 10).

b.- Interpolando valores A/P para tasas de interés 7% y 8%

a

PMT = R = ?VP = P = 1

i = 7.30%

n = 10

R = 14.436%

in F R C P R .

1)1()1(

n

n

i

ii P R

( %, , , , ) Pago i n P S Tipo ( %, , ,0,0) Pago i n P

( / , , ) P A P i n

b

PMT = R = ?

VP = P = 1

i = 7.00%

n = 10

R = 0.142

i

n F R C P R .

1)1(

)1(

n

n

i

ii P R


( / , , ) P A P i n

PMT = R = ?

VP = P = 1

i = 8.00%

n = 10

R = 0.149

i

n F R C P R .

1)1(

)1(

n

n

i

ii P R


( / , , ) P A P i n

7% 0.142

7.30% X

8% 0.149

X = ?a = 7.30%

b = 8%

d = 7% 0.142 + 0.3 0.007

e = 0.142 X = 0.14437

f = 0.149 0.14437 es la distancia entre 0.142 y 0.149

( )a d

X e f eb d

7. Encontrar el valor del factor na.- (P/F, 4%, 48)

b.- Interpolación para los años 45 y 50

an = ? 47.89

VP = P = 1

VF = S = 1

i = 4.00% 1 = 0.1529

( / , , ) P F P i nni

S P )1(

1

( / , , ) F P F i n

i

n F S C P S .

b

n = ? 45

VP = P = 1

VF = S = 1

i = 4.00% 1 = 0.1712

( / , , ) P F P i nni

S P )1(

1

( / , , ) F P F i n

i

n F S C P S .


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n = ? 50

VP = P = 1

VF = S = 1

i = 4.00% 1 = 0.1407

ni

S P )1(

1

i

n F S AS P .

( / , , ) F P F i n

45 0.1712

47.89 X

50 0.1407

X = ?

a = 48

b = 50

d = 45 0.171 + 0.6 -0.030

e = 0.1712 X = 0.15291

f = 0.1407

( )a d

X e f eb d


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EJERCICIOS

Autor: BLANK Leland/TARQUIN Anthony

8. La Compañía HRP planea depositar $ 709.90 ahora al 6% anual y retirar $ 100 anuales durante los próximos 5 años y $ 200 anuales los siguientes 2 años, ¿Cuáles son los símbolos económicos y susvalores respectivos?

9. ¿Cuántos años serán necesarios para que $ 1 400 tripliquen su valor a una tasa de interés de 10%anual. Defina los símbolos económicos?

10. Supongamos que usted ha desarrollado el siguiente plan de inversión: invertir $ 500 ahora y así

sucesivamente hasta el año 10, retirar $ 300 anualmente comenzando dentro de 5 años a partir dehoy y haciéndolo durante 8 años consecutivos. Dibuje los flujos netos de caja

11. Si se planea hacer un depósito ahora de tal manera que se tengan $ 3 000 en una cuenta dentro de5 años, ¿Cuánto deberá depositarse si la tasa de interés es del 8% anual? Dibuje el diagrama deflujo de caja

12. Su tío ha acordado depositarle en una cuenta de ahorros $ 700 anuales empezando ahora. A la vez,usted ha acordado no retirar ningún dinero sino hasta el final del año 9, cuando retirará inicial.Dibuje los flujos de caja para su tío y para usted.

13. El presidente de una compañía desea hacer dos depósitos iguales, uno dentro de 2 años y elsegundo dentro de 4, de tal manera que pueda hacer retiros anuales de $ 100 que empezaráncuando se haga el segundo depósito. Además, él quiere retirar $ 500 más un año después de que laserie de retiros termine. Dibuje su diagrama de flujo de caja

14. Usted desea invertir dinero al 8% anual de tal manera que dentro de 6 años pueda retirar una sumatotal F. El consultor de inversiones y el banco han desarrollado los dos planes siguientes parausted: (1) depositar $ 351.80 ahora y $ 351.80 tres años después. (2) depositar: $ 136.32anualmente, empezando el próximo año y terminando en el 6º año. Dibuje los diagramas de flujode caja de cada plan si se desea calcular F.

15. ¿Qué cantidad podría gastar usted ahora con el objeto de evitar un gasto de $ 580 dentro de 8 añossi la tasa de interés es 6% anual? Dibuje el diagrama de flujo de caja

16. Si se depositan $ 100 anualmente durante 5 años, empezando dentro de un año, ¿Cuánto habrá enuna cuenta dentro de 15 años si la tasa de interés es 10% anual? Dibuje el diagrama de flujo decaja.

17. ¿Cuál es el valor presente de un gasto de $ 1 200 dentro de 5 años y de una de $ 2 200 dentro de 8si la tasa de interés es 10% anual Construya el diagrama de flujo de caja

18. Calcule el valor presente de un gasto anual de 4 85 durante 6 años que comenzarán dentro de 3años si la tasa de interés es 20% anual. Construya el diagrama de flujo de caja


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19. Si usted invierte hoy $ 10 000 en un negocio de finca raíz, ¿En cuánto debe vender su propiedaddentro de 10 años si quiere obtener una tasa de retorno de 12% sobre su inversión? Defina lossímbolos económicos y dibuje el diagrama de flujo de caja

20. Si usted invierte hoy $ 4 100 y recibe $ 7 500 dentro de 5 años, ¿Cuál es la tasa de retorno sobresu inversión? Defina los símbolos económicos y elabore un diagrama de flujo de caja

21. ¿Cuánto dinero se acumulará en 6 años si una persona deposita $ 500 hoy e incrementa estedepósito en $ 50 anuales durante los próximos 6 años? Asuma que i es 16 anual y dibuje eldiagrama de flujo de caja

22. ¿Qué pago uniforme durante 8 años comenzando un año a partir de la fecha sería equivalente agastar hoy $ 4 500, $ 3 300 dentro de 3 años y $ 6 800 dentro de 5 años, si la tasa de interés es 8%anual? Defina los símbolos económicos y dibuje el diagrama de flujo de caja


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INTERES SIMPLE

1. DEFINICIONSe llama interés simple a la operación financiera donde interviene un capital, un tiempo

predeterminado de pago y una tasa o razón, para obtener un cierto beneficio económico llamadointerés.

El interés simple, es pagado sobre el capital primitivo que permanece invariable. En consecuencia,el interés obtenido en cada intervalo unitario de tiempo es el mismo. Es decir, la retribucióneconómica causada y pagada no es reinvertida, por cuanto, el monto del interés es calculado sobrela misma base.

Interés simple, es también la ganancia sólo del Capital (principal, stock inicial de efectivo) a la tasa

de interés por unidad de tiempo, durante todo el período de transacción comercial.

La fórmula de la capitalización simple permite calcular el equivalente de un capital en un momento posterior. Generalmente, el interés simple es utilizado en el corto plazo (períodos menores de 1año).

Al calcularse el interés simple sobre el importe inicial es indiferente la frecuencia en la que éstosson cobrados o pagados. El interés simple, NO capitaliza.

2. PERIODO DE TIEMPO COMPRENDIDO ENTRE DOS FECHASDe acuerdo al sistema legal vigente, si una persona deposita y retira de su cuenta en un banco unadeterminada cantidad de dinero en el mismo día, no habrá ganado interés alguno. Lo contrariosupondría percibir Interés por horas, minutos, segundos, etc. Situación que puede corresponder alcálculo del interés continuo y no contemplado en el sistema financiero. Para percibir interés esnecesario que el dinero haya permanecido en la institución financiera como mínimo un día,transcurrido entre dos fechas consecutivas, la primera de las cuales se excluye y la última seincluye, operación conocida como el “método de los días terminales”.

Ejm: un depósito efectuado el 3 de abril y retirado el 4 del mismo mes habrá percibido interéscorrespondiente a un día, contando del 3 al 4.

Excluido incluido

¾ 4/4

O 1 día ☻

En el cálculo del período de tiempo comprendido entre dos fechas, para excluir el primer día podemos efectuar lo siguiente:

a.- Depósitos y retiros producidos en el propio mes: restar al día de retiro el día de depósito. Por

ejemplo, para un depósito del 3 de abril, retirado el 26 del mismo mes, se contabilizará 23 días(26 – 3 = 23).

http://www.monografias.com/trabajos12/mafina/mafina.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos13/capintel/capintel.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos901/evolucion-historica-concepciones-tiempo/evolucion-historica-concepciones-tiempo.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos7/tain/tain.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos7/tain/tain.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos7/tain/tain.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos7/tain/tain.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos901/evolucion-historica-concepciones-tiempo/evolucion-historica-concepciones-tiempo.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos13/capintel/capintel.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos12/mafina/mafina.shtml


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b.- Depósitos y retiros producidos en períodos que incluyen más de un mes: restar al número dedías del primer mes los días transcurridos desde que se efectuó el depósito(incluido ese día) yadicionar los días de los meses siguientes incluyendo el día de retiro. Por ejemplo para undepósito del 26 de mayo, retirado el 7 de junio, se contabilizaran 12 días (5 en mayo y 7 en

junio).

Ejm: ¿Cuántos días de Interés se habrán acumulado entre el 3 de junio y el 18 de setiembre delmismo año, fechas de depósito y cancelación de un importe ahorrado en un banco?

MES DIASTRANSCURRIDOS

EN EL MES

DÍAS

Junio 30-3 27Julio 31 31Agosto 31 31Setiembre 18 18

107 Días

3. AÑO BANCARIO SEGÚN BCRPDe acuerdo a lo normado por el Banco Central de Reserva del Perú, el año bancario es un períodode 360 días.

ANO BANCARIO UNIDADES DE TIEMPO

TERMINOPERIODODE DIAS UNIDAD NUMERO

AñoSemestre

CuatrimestreTrimestreBimestre

MesQuincena

Día

360180120906030151

AñoSemestre

CuatrimestreTrimestreBimestre

MesQuincena

Día

12346

1224

360

Ejm: Si la tasa anual de interés simple es del 18% anual. ¿Cuál será la tasa para el períodocomprendido entre el 1 de enero de 2003 y el 1 de enero de 2004?

Resp.Entre dos fechas referidas han transcurrido 365 días.18% 360 díasX 365 días X = 18.25%


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Ejm: El interés simple de un capital inicial de S/. 1,000 colocado durante un año a una tasa de24% anual puede calcularse alternativamente con diferentes tiempos y tasas proporcionales.

Años I = 1,000 x 0.24 x 1 = 240Semestres I = 1,000 x 0.12 x 2 = 240Cuatrimestres I = 1,000 x 0.08 x 3 = 240

Trimestres I = 1,000 x 0.06 x 4 = 240Bimestres I = 1,000 x 0.04 x 6 = 240Meses I = 1,000 x 0.02 x12 = 240Quincenas I = 1,000 x 0.01 x24 = 240Días I = 1,000 x 0.0006 x 360 = 240

Ejm: Si la tasa anual de Interés simple es del 18% anual. ¿Cuál será la tasa para el períodocomprendido entre el 1 de enero 2012 y el 1 de enero 2012?

18%_____________ 360 díasX%______________ 365 días X = 18.25%

4. REGLA DE LOS NUDILLOSEs una regla nemotécnica que consiste en cerrar el puño de la mano derecha y contar con un

dedo de la mano izquierda. Los nudillos representarán a los meses de 31 días, y los espaciosentre nudillos los meses de menos de 31 días. El primer nudillo representa a enero (y equivale a31 días). El espacio próximo representa a febrero (y por ser un espacio entre nudillos tienemenos de 31 días, en este caso 29 o 28 días). El segundo nudillo representa a marzo (y equivale a31 días) y así sucesivamente hasta llegar a julio, representado también por un nudillo (queequivale a 31 días). Luego se comienza de nuevo la cuenta con un nudillo extremo, que esta vezrepresentará a agosto (y equivaldrá a 31 días). Se continúa la cuenta hasta llegar a diciembre,representado también por un nudillo (considerándosele de 31 días).

5. EL AÑO COMERCIAL Y EL AÑO COMUN EN LADETERMINACIÓN DEL INTERESCuando se calcula el interés por periodos menores de 1 año se presentan dos casos:

a) Calcular el interés simple ordinario, que corresponde al año comercial de 360 días.

b) Calcular el interés simple exacto, que corresponde al año natural o común de 365 días (366en años bisiestos).

5.1.INTERES SIMPLE ORDINARIO(Comercial):Es el único que se utiliza en la práctica mercantil y bancaria en nuestro país, debido a quesimplifica los cálculos y toma como base el año comercial de 360 días.

Este método aumenta el interés que debe pagar el deudor, beneficiando al acreedor que enesta forma gana o cobra más Intereses.


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Los bancos acostumbran calcular los intereses, tomando como base el año 360 días; pero para la duración del tiempo de préstamos a corto (menores que un año), cuentan los díasefectivo calendario.

Su fórmula como ya lo hemos tratado es la siguiente:

5.2.INTERES SIMPLE EXACTO(Real): No se aplica en nuestro país. Utiliza como base el año común de 365 días.

Su fórmula es la siguiente:

6. CALCULO EXACTO Y APROXIMADO DEL TIEMPOConociendo las fechas, el número de días que ha de calcularse el Interés puede ser determinadode dos maneras:

a) Cálculo exacto del tiempo: como su nombre lo indica, el número exacto de días tal como seencuentran en el calendario. Se acostumbra contar una de las dos fechas dadas.

b) Cálculo aproximado del tiempo: se hace suponiendo que cada mes tiene 30 días.

7. PAGAREUn pagaré es un documento mediante el cual una persona se obliga a pagar a otra una cantidaddeterminada de dinero, con interés o sin él, en una fecha dada. La persona que hace la promesade pagar es el deudor u otorgante y la persona que cobra el pagaré es el beneficiario o tenedor.En todo pagaré intervienen los siguientes conceptos:Fecha: es la fecha en la que se extiende el pagaréFecha de vencimiento: es la fecha en la cual se debe pagar la deudaPlazo: es el tiempo que transcurre entre la fecha en que se extiende el pagaré y la fecha devencimientoValor Nominal es la cantidad marcada en el pagaré. Si el pagaré se indica que el valor nominalcausará interés a determinada tasa, entonces el valor nominal les el capital obtenido en préstamo;

en cambio, si el pagaré se indica que el valor nominal incluye intereses a determinada tasa, elvalor nominal es el monto a pagar en la fecha de vencimiento.

3 6 0..

ni P I

3 6 5..

ni P I


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Valor de Vencimiento: Es la cantidad que se debe pagar en la fecha de vencimiento. Esto es elcapital obtenido en préstamo más el interés, si los hubiera.En algunos pagarés no se especifica la tasa de interés, esto da lugar a una de dos situaciones; o

bien el pagaré no produce intereses o los intereses ya han sido añadidos al capital, de tal maneraque el documento muestra la cantidad total (monto) a pagar en la fecha de vencimiento.

Cuando una deuda no se liquida en la fecha de vencimiento, empieza a ganar intereses llamadosMoratorios, los cuales se deben calcular sobre el capital original prestado y no sobre el monto, yaque los intereses moratorio son interés simple. Es usual que la tasa de interés moratorio sea 50%más de la tasa normal aplicada, aunque esta no es una regla general.

Ejm: Determine el Valor al vencimiento del siguiente pagaré.

E ne ro 1 9

F e bre ro 2 8M a rzo 3 1

A br i l 3 0M a yo 3 1

J u nio 814 7

I = ¿ ?

S = ¿ ?P = 12 00 0

i = 5% I = 24 5 .0 0 S = 1 22 45 .00n = 0. 40 83 3 (1 47 /36 0) S = 1 22 45 .00 I = 24 5.0 0

ni P I .. I P S

)1( i n P S P S I

Ejm: Si en el caso anterior el deudor paga la deuda el 30 de junio, cuánto pagará por conceptode mora. La tasa de interés moratoria es de 10%

I = ¿ ?S = ¿ ?P = 12 00 0

i = 1 0% I = 7 3 .3 3 S = 1 20 73 .33

n = 0. 06 11 1 S = 1 20 73 .33 I = 73 .3 3

ni P I ..

I P S

)1( i n P S

P S I


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8. VARIACIONES EN EL PRINCIPAL (NUMERALES)Cuando el saldo de una cuenta corriente, de ahorro, etc. Cambia constantemente debido a losmovimientos que se generan en torno a ella (cargos y abonos), el cálculo del interés simple seefectúa usando numerales. Numeral es el producto de cada nuevo saldo de una cuenta y el númerode días de permanencia de ese saldo sin movimiento. A una fecha determinada (fin de mes,trimestre, etc.) se obtiene el interés simple multiplicando la sumatoria de los numerales por la tasadiaria de interés.

La siguiente ecuación muestra el movimiento de una cuenta de ahorros durante un período detiempo:

I = P1in1 + P2 in2 + P3 in 3+........+Pm inm

Cada sumando de la expresión anterior representa una operación de interés simple, donde:

p1, p2, p3,........ son los saldo del capital originaln1, n2, n3,........ son los días de permanencia de los saldos p1, p2, p3,........

I = i [ P1in1 + P2 in2 + P3 in 3+........+Pm inm ]

Cada sumando de la expresión entre corchetes es un numeral

El procedimiento bancario del cálculo del interés simple a través de numerales: Registramos los depósitos o retiros de ahorros, abonando o cargando respectivamente en la

columna Movimiento y establecemos los saldos acreedores de acuerdo a las fechas en quese hayan efectuado estos movimientos.

Contablemente el Debe es igual : Cargo, Ingreso o Activo.Haber es igual: Abono, Salida o Pasivo

Modelo I : Contable

CALCULO DEL INTERES SIMPLE A TRAVES DE NUMERALES

MOVIMIENTO SALDO TASADIAS D/R S/. Debe Haber Deudor Acreedor DIAS Numerale DIARIA INTERES

m

I = i ∑ Pk nk k = 1


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Modelo II: (Saldo débito se le coloca signo positivo y al saldo crédito, signo negativo. Losintereses serán de cargo o abono, según su signo positivo o negativo.

CALCULO DEL INTERES SIMPLE A TRAVES DE NUMERALES

MOVIMIENTO TASAFECHA DETALLE S/. Debe Haber SALDO DIAS Numerale DIARIAINTERES

Registramos los días de permanencia de la cuenta con el último movimiento. Por ejemplo, elsaldo inicial acreedor de S/. 1 100.00 ha permanecido tres días con dicho importe, desde el 1 al3 de junio inclusive, ya que a partir del día 4 la cuenta registra un nuevo saldo acreedor deS/. 950.00

Calculamos los numerales: multiplicando los saldo acreedores Pk por los días nk que la cuentaha permanecido con ese saldo, y obtenemos la sumatoria de las operaciones acumuladasdurante el mes, incluyendo el último día del mes, esta cantidad así obtenida de S/. 32 810.00viene a representar los numerales que servirán para el cálculo del interés.

Hallamos el interés del mes, multiplicando la tasa diaria por los numerales acreedores:Interés = (0.04/30)(32 810) = 43.75

El importe de S/. 43.75 es el interés ganado por el ahorrista durante el mes de junio y está

disponible a partir del primer día útil del mes siguiente.Cuando la institución financiera abona los intereses del mes en la librera de ahorros comoel desarrollo en el presente ejemplo, se está produciendo el proceso de capitalización,combinándose el interés simple con el Interés compuesto

Cuando existen variaciones de tasas, el cálculo del interés simple a través de numerales debeefectuarse por tramos durante los períodos de tiempo que la tasa tuvo vigencia (Numerales convariaciones de tasas).

9. ECUACIONES DE VALOR EQUIVALENTE A INTERESSIMPLETodas las decisiones financieras deben tener en cuenta la idea básica de que el dinero tiene valor por el tiempo. En una transacción financiera, cada pago debe tener una fecha anexa, la fecha enque se vence. En otras palabras, en las matemáticas financieras se maneja valores fechados.

Dos o más importes de dinero ubicados en diferentes momentos de tiempo son equivalentescuando sus valores presentes calculados con una misma tasa de interés, son iguales. Si dichosimportes coinciden cronológicamente y están expresados en la misma unidad monetaria,entonces, en ese punto del tiempo podrán sumarse o restarse. En el interés simple, si dos importesson equivalentes en el presente, no necesariamente son equivalentes en el presente, nonecesariamente en otro momento, tal como ocurre con el interés compuesto.


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En las operaciones mercantiles, suelen presentarse situaciones en las cuales deudores yacreedores por convenir a sus intereses se ponen de acuerdo en cambiar las condiciones pactadasoriginalmente, generando nuevas relaciones contractuales, tal como sucede en: Refinanciación de deudas Sustitución de varias deudas que vencen en fechas diferentes, por un solo pago. Pagos adelantados con relación a una o varias fechas de vencimiento.

Prórrogas de vencimientos de plazos pactados, etc.

Para el cálculo de equivalencias de capitales a interés simple es necesario fijar una Fecha Focal(fecha de evaluación) y plantear una ecuación de equivalencia donde se pongan en igualdad lascondiciones originales y las nuevas condiciones y luego despejar la incógnita planteada.

Ecuación de valor o Ecuación de equivalencia son dos conjuntos de pagos equivalentes adeterminada tasa de interés simple, si los valores fechados de los conjuntos, en cualquier fechacomún, son iguales; a la fecha que se usa se llama FECHA FOCAL O FECHA DECOMPARACION.

La fijación de la fecha focal debe ser cuidadosamente analizada, ya que debe corresponder estrictamente a lo pactado en los pagarés. Los cambios de fecha focal producen variaciones en ladeterminación de las cantidades.

En algunas ocasiones es conveniente para el deudor cambiar el conjunto de sus obligaciones por otro conjunto. Para efectuar esta operación el deudor como el acreedor deben estar de acuerdocon la tasa de interés que ha de utilizarse en la transacción y en la fecha en que se llevará a cabo(a menudo llamada fecha focal).En la solución de problemas se sugiere el procedimientosiguiente:

Hacer un buen diagrama de tiempo que muestre los valores fechados de un conjunto de pagos en un lado de la línea de tiempo, y los valores fechados del segundo conjunto de pagos al otro lado

Seleccionar una fecha focal, y pasar todos los valores fechados a esta fecha focal, usandola tasa de interés especificada

Plantear una ecuación de valor en la fecha focal Resolver la ecuación de valor, usando los métodos algebraicos adecuados

10.TASAS10.1.Tasas Extranjeras

Primer Rate:Esta es de Estados Unidos. En las publicaciones mexicanas le llaman “Tasa prime”. Esta esla tasa preferencial que aplican en Estados Unidos a sus clientes privilegiadosLibor:Es la tasa interbancaria de Londres

10.2.Tasas MexicanasCosto Porcentual Promedio(CPP):Que es el promedio del costo de captación de recursos pagado por el sistema financiero enoperaciones a corto y largo plazoTasa Interbancaria Promedio(TIP):

Que es la tasa que se cargan o acreditan los bancos nacionalesCertificados de Tesorería(CETE).


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Esta no es una tasa promedio. Su fijación se debe referir a una semana específica deemisión, ya que, el miércoles de cada semana se efectúa la colocación primaria y se señalancon el progresivo de la semana y el año.Ejm: semana 40 del año 2012. Se denomina: subasta o emisión 40/10.

En las operaciones financieras la tasa de referencia elegida se incrementa de X puntos o de X

porcentaje. Este incremento llamado técnicamente “Spread”, da al prestamista un diferencia entrela tasa pagada y cobrada, mismo que cubre sus gastos de operación y le da un margen de utilidad.

Cuando el incremento se expresa e punto se refiere a cada “punto” como un1% adicionable a latasa.

Ejm: Aplicar la tasa de CPP más 6 puntos.Si la tasa CPP es del 16.18%, la tasa aplicable será 16.8+6 puntos = 22.18%

Ejm: Aplicar la tasa TIP más 20%.Si la tasa TIP es de 15.88%, el incremento será de 15.88x0.2= 3.176 por lo que la tasa

aplicable será 15.88+3.176= 19.056%

11. SALDO INSOLUTOEs la renta interés calculado en una deuda sobre los saldos que quedan por pagar. Es evidente queen toda operación de crédito se tienen dos fichas: la de contratación (inicio del crédito) y la deliquidación (fin del crédito)


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EJEMPLOS

AUTOR : Zima Petr/ Brown, Robert . Matemáticas Financieras

Interés Simple1. Calcular

a.- El interés simple Ordinario (Resp. I = $ 36.35 ) b.- El interés simple exacto (Resp. I = $ 35.75)Sobre un préstamo de $ 1 500 a 141/2% y a 60 días. Se tiene P = 1500 y i = 0.145

2. ¿A qué tasa de interés simple se acumularán interés de $ 72 por $ 1 200 a 6 meses?Resp. i = 12%)

3. ¿Cuánto tiempo tardarán $ 500 para acumular cuando menos $ 560 a 13 ¼ % de interés simple

ordinario (Resp. n = 327 días)

4. Para alentar al pronto pago de las facturas, los fabricantes y los mayoristas ofrecen descuentos enefectivo por pagos adelantados a la fecha de vencimiento. Los siguientes términos típicos puedenestar impresos en la factura de la venta: 3/10, n/30. Las mercancías cobradas con esta base estánsujetas a un descuento en efectivo de 3% si se pagan en menos de 10 días. En caso contrario, sedebe pagar toda la cantidad no después de 30 días a partir de la fecha de facturación. Supongamosque un comerciante recibe una factura por $ 2 800 con los términos arriba descritosa.- ¿Cuál es la tasa máxima de interés simple a la que puede obtener un préstamo para aprovechar

el descuento en efectivo (Resp. i = 55.67% ) b.- ¿Qué utilidad puede lograr el comerciante si recibe dinero prestado a 18%, y paga la factura al

décimo día de su fecha de expedición? (Resp. U = $ 56.84 )

a

i = ¿ ?

I = 84 2800*3%

P = 2716 2800-84

n = 0.0555556 20/360 i =

n P

I i

.ni P I ..

b

I = ¿ ?

P = 2716 2800-84

i = 18.00%n = 0.0555556 20/360 I =

ni P I ..

U = ¿ ?Descuen = 84

I = 27.16 U =

Interes DescuentoU ontoPago Pr

5. Determinar el valor descontado de $ 1 000 pagaderos en 3 meses, si la tasa es 11%(Resp. P = $ 973.24 )

6. Una persona pide prestados $ 1 000 por 220 días a 12.17%,¿Qué cantidad debe pagar?(Resp. S = $ 1 074.37)


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7. Ochenta días después de pedir prestado, una persona paga exactamente $ 850, ¿Cuánto pidió prestado si los $ 850 incluyen el principal y el interés simple a 9 ¾% (Resp. P = $ 831.97 )

8. Judy tiene una cuenta de ahorros que le paga un interés de 12% anual. El interés se calcula sobreel saldo mensual mínimo, y se paga en la cuenta el 31 de diciembre. Dada las siguientestransacciones en su cuenta, que abrió el 10 de enero, calcular los intereses ganados en el primer

año. Fecha Depósitos Retiros Saldo10 de Enero 825 825

5 de Marzo 300 1125

18 de Junio 200 925

12 deSetiembre 100 825

3 de Octubre 250 1075

a.- Saldo mensual (Resp. I = $ 104.75 ) b.- Saldo Diario (Resp. I = $ 118.41 )c.- Utilizar el método de los numerales para b.

a

825 825 1125 1125 925

P = 0 300

Enero Febrero Marzo Abril Mayo

200

925 925 925 825 1075

250

Junio Julio Agosto Setiembre Octubre100

I = ¿ ?

i = 12%

P1 = 0

n1 = 0.0833333 1/12

P2 = 825

n2 = 0.0833333 1/12P3 = 825

n3 = 0.0833333 1/12

P4 = 1125

n4 = 0.0833333 1/12

P5 = 1125

n5 = 0.0833333 1/12

P6 = 925

n6 = 0.0833333 1/12

7 = 925

n7 = 0.0833333 1/12

P8 = 925

n8 = 0.0833333 1/12P9 = 825

n9 = 0.0833333 1/12

P10 = 825

n10 = 0.0833333 1/12

P11 = 1075

n11 = 0.0833333 1/12

P12 = 1075

n12 = 0.0833333 1/12 I =

](....)()()[( 332211 nnn P n P n P n P i I


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30

b

1125 925 825

P = 825 300

10-ene 05-mar 18-jun

200 100

54 d 105 d 86 d

1075

250

12-sep 03-oct 31-dic

21 d 89 d

I = ¿ ?

i = 12%

P1 = 825n1 = 0.15 54/360

P2 = 1125n2 = 0.2916667 105/360

3 = 925 I =

n3 = 0.2388889 86/360

P4 = 825

n4 = 0.0583333 21/360

P5 = 1075

n5 = 0.2472222 89/360

]360

891075()

360

21825()

360

86925()

360

1051125()

360

54825[(12.0 x x I

](....)()()[( 332211 nn n P n P n P n P i I

c

Datos

I = ?

i = 12%

n = 12 días I = 0.0003333

Meses = 30 Mes

n

m e s e s

i I

n x me se s

i I

c

Datos

I = ?

i = 12%

n = 12 días I = 0.0003333

Meses = 30 Mes

n

m e s e s

i I

n x me se s

i

I

MOVIMIENTO Saldo TASA

DIAS D/R S/. Debe Haber Acreedor DIAS Numerale DIARIA INTERES

10-ene D 825

05-mar D 300

18-jun R 200

12-sep R 100

03-oct D 250

31-dic


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Tiempo Entre Fechas9. Calcular

a.- El tiempo exacto (Resp. 199 días) b.- El tiempo aproximado (Resp. 195 Días)Del 18 de abril al 3 de noviembre del mismo año

a

TIEMPO EXACTO

Abril Van

Mayo Setiembre

Junio Octubre

Julio Noviembre

Agosto

Días

bTIEMPO APROXIMADO

Día Mes Año

03 de Noviembre 2011

18 de abril 2011

Son : 7 meses, -15 días

Total Días

10. Calcular el tiempo

a.- Exacto (Resp. 325 Días) b.- Aproximado (Resp. 320 Días)Del 18 de mayo de 2010 al 8 de abril de 2011

a

TIEMPO EXACTO

Van Van

Mayo Setiembre Enero

Junio Octubre Febrero

Julio Noviembre Marzo

Agosto Diciembre Abril

b

TIEMPO APROXIMADO

Día Mes Año

08 de abril 2012

18 de mayo 2011

Son : 1 año, -1 mes, -10 días

Total Días


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11. Se han invertido $ 2 000 desde el 18 de mayo de 2010 hasta el 8 de abril de 2011, a 16% deinterés simple. Calcular los intereses ganados, (utilice el tiempo exacto y aproximado del ejemplo

Nº 10)a.- Tiempo Exacto e interés ordinario (regla del banquero) (Resp. I = $ 288.89)

b.- Tiempo exacto y el interés exacto (Resp. I = $ 284.93)c.- Tiempo aproximado y el interés ordinario (Resp. I = $ 284.44)

d.- Tiempo aproximado y el interés exacto (Resp. I = $ 280.55)

12. Aplicar la regla del Banquero para calcular el interés simple sobre $ 3 260 a 12 ¼% desde el 21abril hasta el 24 de diciembre del mismo año. Utilicea.- El tiempo exacto (Resp. I = $ 274.00 )

b.- El Tiempo Aproximado (Resp. I = $ 269.76 )

13. El 10 de enero el Sr. A pide prestado $ 1 000 a su banco. El interés se paga al final de cadatrimestre (31 de marzo, 30 de junio, 30 de setiembre, 31 de diciembre) y en la fecha del último

pago. El interés se calcula con la tasa de 12% sobre saldos insolutos. El Sr. A pagó el préstamo enla forma siguiente:

1 de marzo 10017 de abril 300

12 de julio 200

20 de agosto 100

18 de octubre 300

1000

Calcular el interés pagado en cada pago, y el interés total pagado (Resp. I = $ 59.07 )

Ecuaciones de Valor14. Una deuda de $ 1500 se vence en 6 meses, con un interés de 11%. Con 15% de Interés Simple,

calcular el valor de la obligacióna.- Al final de 3 meses (Resp. P = $ 1 525.30 )

b.- Al Final de 12 meses (Resp. S = $ 1 701.19 )

P = 1500

0 3 6 Meses

X

S = ¿ ?

P = 1500

i = 11.00%n = 0.50 6/12 S =

)1( in P S

a

S = 1582.50

0 3 6 12 Meses

X

P = ¿ ?

S = 1582.50

i = 15.00%

n = 0.25 3/12 P =

).1( ni P S ).1( ni

S P


33/77


33

b

P = 1582.50

0 3 6 12 Meses

X

S = ¿ ?

P = 1582.5

i = 15.00%

n = 0.50 6/12 S =

)1( in P S

15. La Sra. Hill tiene una deuda de $ 500 que se vencen en 4 meses, y otra de $ 700 que vence en 9meses,¿ Qué pago único liquidará esas obligacionesa.- Ahora (Resp. P = $ 1 128.97 )

b.- En 6 meses (Resp. X = $ 1 190.44 )c.- En 1 año (Resp. S = $ 1 255.92 )

Si el Valor del dinero es de 11%?a

0 4 9 12 Meses

X 500 700

12

911.01

70 0

12

411.01

50 0 X

)1()1( in

S

in

S X

X = 482.32 + 646.65

X = 1128.97

b

0 4 6 9 Meses

500 X 700

12311.01

70 0

12

2

11.01 X )1()1( in

S in P X

c

0 4 9 12 Meses

500 700 X

12

311.01

12

811.01500 X )1()1( in P in P X


34/77


34

16. La Sra. Adams tiene dos opciones para pagar un préstamo: puede pagar $ 200 al final de 5 meses y$ 300 al final de 10 meses, o bien puede pagar $ X al final de 3 meses y $ 2X al final de 6 meses.Si las opciones son equivalentes y el dinero vale 12%, calcular X, usando como fecha focala.- El final de 6 meses (Resp. X = $ 161.87 )

b.- El final de 3 meses (Resp. X = $ 161.96 )

a200 300

0 3 5 6 10 meses

X 2X

b

200 300

0 3 5 6 10 meses

X 2X

)1()1()1(

2

in

S

in

S

in

X X

)12

712.01

300

12

212.01(

200

12

312.01

2 X X

17. Blake pidió prestados $ 5 000 el 1 de enero de 2011. Pago $ 2 000 el 30 de abril de 2011, y$ 2 000 el 31 de agosto de 2011. El pago final lo hizo el 15 de diciembre de 2011. Calcular la

magnitud del pago final, si la tasa de interés fue de 7% y la fecha focala.- El 15 de diciembre de 2011 (Resp. X = $ 1 208.05 ) b.- El 1 de enero de 2011 (Resp. X = $ 1 211.92 )

a

P= 5000

01/01/2011 30/04/2011 31/08/2011 15/12/2011

2000 2000 X

Valor Fechado de los Pagos = Valor Fechado de la Deuda

360

34807.015000

360

10607.012000

360

22907.012000 X )1()1()1( in P X in P in P

b

P= 5000

01/01/2011 30/04/2011 31/08/2011 15/12/2011

X 2000 2000

12

412.01

30 0

12

112.0120 02

12

312.01 X X (1 ) 2 (1 ) (1 )

(1 )

S X in X in P in

in


35/77


35

15/12/1995 al 01/01/1995 = 348 Días

31/08/1995 al 01/01/1995 = Agosto 31 Van 123

Julio 31 Abril 30

Junio 30 Marzo 31

Mayo 31 Febrero 28

123 Enero 30

242

30/04/1995 al 01/01/1995 = Abril 30

Marzo 31

Febrero 28

Enero 30

119

5000

360

34807.01

360

24207.01

2000

360

11907.01

2000

X P in

X

in

S

in

S

)1()1()1(

18. Gordon pidió prestado $ 1 000 el 15 de enero de 2011, a 16%. Pago $ 350 el 12 de abril de 2011,$ 20 el 10 de agosto de 2011 y $ 400 el 3 de octubre de 2011,a.- ¿Cuál es el saldo a pagar el 1 de diciembre de 2011, según la regla del comerciante?

(Resp. Comerciante = $ 324.48 ) b.- Método focal al 1 de diciembre de 2011 (Resp. X = $ 324.48 )c.- Regla de los Estados Unidos (Resp. $ 330.78 )

a

P= 10000

15/01/1995 12/04/1995 10/08/1995 03/10/1995 01/12/1995

350 20 400

S = ¿ ?P = 1000

i = 16.00%

n = 0.89 320/360 S =

)1( in P S

321 Pago Pago PagoS eComerciant


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36

S = ¿ ?

P = 350

i = 16.00%

n = 0.65 233/360 S =

)1( in P S

S = ¿ ?

P = 20i = 16.00%

n = 0.31 113/360 S =

)1( in P S

S = ¿ ?

P = 400

i = 16.00%

n = 0.16 59/360 S =

)1( in P S

Comercia =

Saldo pagadero el 1/12 es $ 324.48

b

P= 10000

15/01/2011 12/04/2011 10/08/2011 03/10/2011 01/12/2011

350 20 400

Valor Fechado de los Pagos = Valor Fechado de la Deuda

)1()1()1()1( in P X in P in P in P

360

32016.011000

360

5916.01400

360

11316.0120

360

23316.01350 X

S = ¿ ?

P = 350

i = 16.00%

n = 0.65 233/360 S =

)1( in P S

S = ¿ ?

P = 20

i = 16.00%

n = 0.31 113/360 S =

)1( in P S

S = ¿ ?

P = 400

i = 16.00%

n = 0.16 59/360 S =

)1( in P S


37/77


37

c

688.67 705.4 322.33 330.78

P= 10000

15/01/1995 12/04/1995 10/08/1995 03/10/1995 01/12/1995

350 20 400

S = ¿ ?

P = 1000

i = 16.00%

n = 0.24 87/360

Pago = 350 S =

Pagoin P S )1(

S = ¿ ?

P = 688.67

i = 16.00%

n = 0.33 120/360

Pago = 20 S =

Pagoin P S )1(

S = ¿ ?

P = 705.4

i = 16.00%

n = 0.15 54/360

Pago = 400 S =

Pagoin P S )1(

S = ¿ ?

P = 322.33

i = 16.00%

n = 0.16 50/360

Pago = 0 S =

Saldo pagadero al 01/12 es de $ 330.78

Pagoin P S )1(


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38


EJEMPLOS

AUTOR: ALIAGA VALDEZ, Carlos. Matemática Financiera.01

Interés1. Calcule el Interés simple que ha producido un capital de S/. 10 000 colocado a una tasa anual del

48% durante el período comprendido entre el 3 de abril y 3 de junio del mismo año(Resp. I = S/. 813.33)

2. Con los datos del problema 1 calcule el interés simple aplicando una tasa mensual del 4%.a.- Interés trabajando en meses (Resp. I = S/. 813.33)

b.- Interés trabajando en días (Resp. I = S/. 813.33)

3. Calcule el interés simple de un capital de S/. 5 000 colocado en una institución financiera desde el

3 de marzo al 15 de mayo del mismo año, a una tasa del 2% mensual (Resp. I = S/. 243.33)

4. Determinar el interés simple incluido en el monto de S/. 10 000, obtenido el 2 de junio sobre uncapital colocado el 1 de mayo a una tasa anual del 36% (Resp. I = S/. 310.08)

Principal5. ¿Qué capital colocado a una tasa anual del 30% producirá un interés simple de S/. 1 000 en el

período comprendido entre el 19 de abril y 30 de junio? (Resp. P= S/. 16 667.67)

6. ¿Qué capital colocado al 36% anual, ha producido S/. 500 de interés simple al término de 18semanas? (Resp. P = S/. 3 968.25)

7. ¿Cuál será el capital que habrá producido un Interés simple de S/. 800 al 12% semestral en 7Trimestres? (Resp. P = S/. 1 904.76)

8. Cierto capital y sus interés simples hacen un total de S/. 3 000, habiendo estado impuesto desde el9 de marzo al 15 de abril a una tasa trimestral del 9%, ¿Cuál ha sido el interés y el capital que lo ha

producido? (Resp. P = S/. 2 892.96)

9. Encontrar el capital que impuesto a una tasa de interés simple mensual del 3% durante 87 días, ha producido un monto de S/. 500 (Resp. P = S/. 459.98)

10. Dos letras de cambio de S/. 8 000 y S/. 9 000 c/u con vencimiento a 60 y 90 días respectivamente,son descontados a una tasa mensual del 3%, Calcule el valor presente de ambas letras a interéssimple. (Resp. P = S/. 15 804.05)

11. Actualmente tengo una deuda de S/. 4 000 la cual vencerá dentro de 3 meses y acuerdo con miacreedor cancelarla hoy, actualizando el monto con las siguientes tasas mensuales de interéssimple: 2% para el primer mes y 2.5% para los dos últimos meses. Halle el importe a cancelar.

(Resp. P = S/. 3 738.32 )


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39

12. En el proceso de adquisición de un torno la empresa Crayon SA recibe de sus proveedores lassiguientes propuestas, ¿Cuál es la mejor oferta evaluando cada una a un valor presente yasumiendo que el costo del dinero es del 2% de interés simple mensual?

PROVEEDOR CUOTA INICIALCUOTAS MENSUALES

1er 2da

A 6 500 3 000 3 000B 7 500 2 500 2 500

(Resp. A = S/. 12 325.79, B = S/. 12 354.83)

PROVEEDOR A:

P = ¿ ?

C.I. = 6500

S1 = 3000

i1 = 2%

n1 = 1

S2 = 3000 6500 2941.18 2884.62i2 = 2% P =

n2 = 2

21 P P CI P

)1()1( 22

2

11

1

ni

S

ni

S CI P

Valor Presente de un pagaré incluyendo gastos13. ¿Por qué importe debe entenderse un pagaré en 45 días para obtener un efectivo de

S/. 20 000 descontándolo racionalmente a una tasa anual de interés simple del 36%?. La empresafinanciera además carga S/. 10.00 de gastos, S/. 5.00 de portes y efectúa una retención del 5%sobre el préstamo líquido. Efectúe la liquidación correspondiente.

. (Resp. I = S/. 1 915 ; S = S/.21 915)

I = ¿ ?S = ¿ ?

P = 20000

i = 36.00%

n = 0.13 45/360 I =

i' = 5.00% S =

G = 15 10+5

Gini P S )].).(.1[ '

P S I

Monto14. ¿Qué monto habrá acumulado una persona en una cuenta de ahorro, del 4 al 16 de octubre a una

tasa de interés simple del 3% mensual, si el depósito inicial fue de S/. 2 500?

(Resp. S = S/. 2530)

15. El 25 de junio el saldo de una cuenta de ahorros fue de S/. 1 500. Efectué la liquidación de dichacuenta al 30 de junio del mismo año, aplicando una tasa anual de interés simple del 24%.

(Resp. I = S/. 5.00; S= S/. 1 505.00)

16. ¿Por qué importe se deberá aceptar un pagaré que vence el 4 de junio, si lo descontamos el 16 deabril pagando una tasa anual de interés simple del 24% y necesitamos disponer deS/. 7 500 en la fecha del descuento? (Resp. I = S/. 245 ; S= S/. 7 745).

17. Calcular el monto simple que habrá producido un capital de S/. 5 000 colocado durante 5 meses.

La tasa mensual fue del 3% durante los dos primeros meses y del 3.5% durante los 3 mesesrestantes (Resp. S = S/. 5 825 )


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40

Tasa18. ¿Cuál es la tasa anual de Interés simple aplicada para que un capital de S/. 8 000 a 1 año, 3 meses y

18 días haya ganado S/. 6 000 de interés. (Resp. i = 57.69%)

19. Un capital de S/. 15 000 ha producido S/. 2 000 de interés del 3 de marzo al 19 de junio del mismoaño. Determinar la tasa mensual de Interés simple. (Resp. i = 3.70%)

20. ¿Cuál será la tasa mensual de interés simple a cargar en el financiamiento a 45 días, sobre unartículo cuyo precio de contado es de S/. 2 000 y al crédito sin cuota inicial será de S/. 2 300 ?

(Resp. i = 10% )

21. Un artefacto electrodoméstico tiene un precio de contado de S/. 2 000, pero puede adquirirse acrédito con una cuota inicial de S/. 1 000 y una letra de S/. 1 100 a 60 días, ¿Cuál es la tasa deinterés simple mensual cargada en este financiamiento? (Resp. i = 5%)

22. Una máquina cuyo precio de contado es de S/. 6 000 fue adquirida con una cuota inicial deS/. 2 000 y el saldo financiado con una letra a 45 días por el importe de S/. 4 500, ¿Cuál fue la tasa

mensual de interés simple cargada? (Resp. i = 8.33%)

Tiempo23. ¿En cuánto tiempo podrá duplicarse un capital a una tasa de interés del 5% mensual?

(Resp. n = 20 )

24. Un capital de S/. 5 000 se ha incrementado en 15% por razón de interés simple al 30% anual. Halleel tiempo en días. (Resp. n = 180 días)

25. Un capital de S/. 6 000 ha producido S/. 500 de interés simple al 12.5% anual. Determine el tiempode la operación. . (Resp. n = 240 días)

26. ¿Durante qué tiempo habrá estado impuesto un capital de S/. 15 000 al 28% anual, si el Interéssimple producido es de S/. 300. (Rp. n = 25.71 día, aprox. 26 días).

27. ¿En qué tiempo podré triplicar un capital a una tasa mensual de Interés simple del 5%?

(Rp. n = 40 meses).

28. ¿En qué tiempo podrá quintuplicarse un capital colocado a interés simple percibiendo una tasatrimestral del 15%? (Rp. n = 26.66 trimestres, 80 meses).

29. ¿En qué tiempo un capital de S/. 1 000 se habrá convertido en un monto de S/. 1100 a una tasamensual del 5% de interés simple? (Resp. n = 2 meses )

30. ¿En qué tiempo se podrá se podrá triplicar un capital a una tasa anual de interés simple del 60%?(Resp. n = 3.33)


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41

a

06-jul 16-jul 16-sep 30-sep

36% 24% 21%

10d 62d14 d

I T = ¿ ?

P = 5000

i1 = 36.00%

n1 = 0.0277778 10/360

i2 = 24.00%n2 = 0.1722222 62/360

i3 = 21.00% IT =

n3 = 0.0388889 14/360

][ 332211 ninini P I T

b

06/7 16-jul 31-jul 31-ago 16-sep 30-sep

10 d 15 d 31 d 14 d 16 d

Julio

I T = ¿ ?

P = 5000

i1 = 36.00%n1 = 0.0277778 10/360

2 = 24.00% I =

n2 = 0.0416667 15/360 S julio =

][ 2211 nini P I T

I P S

Agosto

I = ¿ ?

P = 5100

i = 24% I =

n = 0.0861111 (31/360) Sagosto =

ni P I .. I P S

Setiembre

I T = ¿ ?

P = 5205.40

i1 = 24.00%n1 = 0.0444444 16/360

i2 = 21.00% I =

n2 = 0.0388889 14/360 setiembre =

][ 2211 nini P I T

I P S

Interés Simple con variaciones de tasa31. Calcular:

a.- El interés simple de un depósito de ahorro de S/. 5 000 colocado en el Banco Norte del 6 de julio al 30 de setiembre del mismo año ganando una tasa anual de interés simple del 36%. Latasa anual baja al 24% a partir del 16 de julio y al 21% a partir del 16 de setiembre.

(Resp. I = S/. 297.50)

b.- Con la misma información calcule nuevamente el interés, considerando que el banco abona elinterés en la librera de ahorro cada fin de mes (capitalización) (Resp. I= S/. 303.44)


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42

32. Calcule el interés simple de una inversión de S/. 5 000 colocada a 2 meses, si en el primer mes latasa anual fue del 12% y durante el segundo mes fue del 10%. (Resp. I = S/. 91.67)

33. El 8 de abril cuando la tasa mensual era del 3% una empresa invirtió un capital de S/. 2 000, el cualretiró el 4 de agosto del mismo año. Calcule el Interés simple si durante dicho período las tasasmensuales cambiaron al 2.5% el 6 de mayo y al 2% el 16 de julio respectivamente.

(Resp. I = S/. 199.67)

08/04 06-may 16-jul 04-ago

A = 22 M = 25 J = 15

M = 6 J = 30 A = 4

J = 16

28 71 19

2871 19

I T = ¿ ?

P = 2000

i1 = 3%

n1 = 0.9333333 28/30

i2 = 2.50%n2 = 2.3666667 71/30

3 = 2% T =

n3 = 0.6333333 19/30

][ 332211 ninini P I T

Numerales34. Una persona abre una libreta de ahorros el 1 de junio con S/. 1 100 y efectúa a partir de esa fecha

durante todo el mes de junio las operaciones detalladas en el cuadro siguiente, ¿Qué interés habráacumulado al 1 de julio, si la tasa mensual de interés simple fue del 4%?a.- Método Tradicional

b.- Método de los Numerales

DEPOSITOS RETIROS01 Junio 1100 04 Junio 15006 Junio 200 18 Junio 30010 Junio 100 27 Junio 63023 Junio 60

26 Junio 48028 Junio 100

a

950 1150 1250 950

P = 1100 200 100

01/06/2011 04-jun 06-jun 10-jun 18-jun

150 300

3 d 2d 4 d 8 d


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44/77


44

2600 2400

400

20-sep 25-sep

200

i=2%

4 d 5 d 6 d

I = ¿ ?

i1 = 3%

P1 = 2000

n1 = 0.1666667 5/30

P2 = 1900n2 = 0.1 3/30

3 = 2200 I =

n3 = 0.2333333 7/30

i2 = 2%

P4 = 2200n4 = 0.1333333 4/30

P5 = 2600

n5 = 0.1666667 5/30

P6 = 2400

n6 = 0.2 6/30

)]()()[(

)]()()[(

6655442

3322111

n P n P n P i

n P n P n P i I

b

MOVIMIENTO SALDO TASA

DIAS D/R S/. Debe Haber Deudor Acreedor DIAS Numerale DIARIA INTERES

01-sep

06-sep

06-sep

09-sep16-sep

20-sep

25-sep

30-jun

36. Carlos, Eduardo y Antonio constituyeron una SRL el 11 de julio, con un capital suscrito deS/. 15 000 de los cuales se pago S/. 9 000 con la fecha de inicio de la sociedad. El saldo se cubriócon las siguientes fechas:

FECHA CARLOS EDUARDO ANTONIO TOTAL

11/07 3 000 2 000 4 000 9 00023/08 1 000 2 000 0 3 00015/09 2 000 1 000 0 3 000

TOTAL 6 000 5 000 4 000 15 000

La Minuta de Constitución establece que las utilidades serán distribuidas proporcionalmente a loscapitales aportados. Al 31 de diciembre la sociedad arrojó una utilidad neta de S/. 3 000. ¿Cuántole corresponderá a cada socio si se acuerda que la utilidad sea distribuida en función al tiempo decada aportación?

(Resp. Carlos = S/. 1 141.53 ; Eduardo = S/. 943.12; Antonio = S/. 915.34)


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45

NUMERALES DEL SOCIO CARLOS NUMERALES DEL SOCIO EDUARDO

FECHA CAPITAL DIAS NUMERAL FECHA CAPITAL DIAS NUMERAL

11-jul 3000 173 519000 11-jul 2000 173 346000

23-ago 1000 130 130000 23-ago 2000 130 260000

15-sep 2000 107 214000 15-sep 1000 107 107000

31-dic 6000 863000 31-dic 5000 713000

NUMERALES DEL SOCIO ANTONIO NUMERALES DE LA SOCIEDAD

FECHA CAPITAL DIAS NUMERAL FECHA CAPITAL DIAS NUMERAL

11-jul 4000 173 692000 11-jul 9000 173 1557000

0 23-ago 3000 130 390000

0 15-sep 3000 107 321000

31-dic 4000 692000 31-dic 15000 2268000

Considerando la utilidad del socio como un interes, la utilidad de la sociedad como

un capital y la relación Numeral Socio/Numeral Sociedad como una tasa tenemos:

Ut. Socio = Ut sociedad x (Numeral Socio/Numeral de Sociedad)

I = P x II = 3000 x I

Carlos = 3000x863000/2268000 1141.53

Eduardo = 3000x713000/2268000 943.12

Antonio = 3000x692000/2268000 915.34

Total 3000.00

Monto con variaciones de tasa37. Calcular el monto simple que habrá producido un capital del S/. 5 000 colocado durante 5 meses.

La tasa mensual fue del 3% durante los dos primeros meses y del 3.5% durante los 3 meses

restantes. (Resp. S = S/. 5 825)

38. Un préstamo de S/. 2 000 fue pactado para ser devuelto dentro de 4 meses conjuntamente con losinterés simples generados por el capital original y calculados con la tasa de inflación mensual másun punto adicional. Al final del plazo la inflación fue del 2% y 2.5% para el primer y segundo mesy del 2.2% para los últimos dos meses. Calcule el monto de esa operación.

(Resp. S = S/. 2 258 )Ecuaciones de valor a Interés simple39. Determinar si los importes de S/. 540 y S/. 570 al final de los meses 4 y 7 respectivamente son

equivalentes en el presente. Utilice una tasa de interés simple anual del 24%

S=540 S=570

P 0 1 2 3 4 5 6 7

S = ¿ ?

P = 540

i = 2.00% (24/12)%

n = 4 P =

S = ¿ ?

P = 570

i = 2.00% (24/12)%n = 7 P =

).1( ni P S ).1( ni

S P

).1( ni P S

).1( ni

S P


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40. El señor Silva tomo un préstamo S/. 5 000 para devolverlos dentro de 180 días pagando una tasa deinterés simple mensual del 2.5%. Si durante dicho período paga S/. 2 000 el día 35 y S/. 1 000 eldía 98,¿Cuánto deberá pagar el día 180 para cancelar su deudaa.- Procesando los bonos el mismo día ( Resp. X = S/. 5 468.91)

b.- Tomando como fecha focal el día 180? ( Resp. X = S/. 5 440.00)

a

P=5000 X

35 d 98 d 180 días2000 1000

35 d 63 d 82 d

S = ¿ ?

P = 5000i = 2.50%

n = 1.17 35/30Pago = 2000

S =

Pagoin P S )1(

S = ¿ ?P = 3145.83i = 2.50%

n = 2.10 63/30Pago = 1000

S =

Pagoin P S )1(

)30

82025.01(99.231010002000 x X

)1(321 in P P P X

b

180 días

P=5000

2000 1000 X

35 98 180 días

180 - 35 =145 días

180 - 98 =82 días

180 d

82 d

X in P in P in P )1()1()1(

X x x x )3082025.01(1000)30145025.01(2000)30180025.01(5000


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41. En la fecha, la empresa el Sol SA, tiene deudas con el banco del Oriente por S/. 5 000, 8 000 y9 000 las cuales vencen dentro de 20, 45 y 60 días respectivamente. Si el Sol negocia con su bancoefectuar un pago único de S/. 22 000, ¿En qué fecha debe efectuarlo considerando una tasa anualde interés simple del 24%?

60-45= 15 días

60-20= 40 días

5000 8000 9000

0 20 45 60 días

15 d

40 d

)1()1()1()1( iX P in P in P in P

)

360

24.01(22000)024.01(9000)

360

1524.01(8000)

360

4024.01(5000 n x x x

S = ¿ ?

P = 5 0 00i = 2 4 .0 0%

n = 0 .11 4 0 / 3 6 0

S =

)1( i n P S

S = ¿ ?P = 80 00

i = 24 .0 0%

n = 0 .04 1 5 / 36 0

S =

)1( i n P S

S = ¿ ?P = 90 00i = 24 .0 0%

n = 0 .00S =

)1( i n P S

n = 1 4 . 5 4

S = ¿ ?P = 2 2 0 00

i = 0 .07 % (2 4 / 3 6 0) %

S =

)1( i n P S

5133.33 + 8080.00 = 22000(1.0006667n)

+ 9000.0022213.33 = 22000(1.0006667n)

n = 1 4 .5 4

S = ¿ ?P = 2 2 0 0 0

i = 0 .0 6 6 7 % ( 2 4 /3 6 0 ) %

S =

)1( i n P S

=

Con el pago de S/. 22 000, la deuda total quedarácancelada 15 días antes del día 60.


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EJEMPLOS

AUTOR: .VILLALOBOS, José Luis. Matemática Financiera

Tasa de Interés Simple en un préstamo1. ¿Cuál es la tasa de interés simple anual, sí con $ 14 644 se liquida un préstamo de $ 14 000 en un

plazo de 6 meses? (Resp. i = 9.20%)

Monto acumulado en cuenta bancaria2. ¿Cuánto acumula en 2 años en su cuenta bancaria el señor Morales, si invierte $ 28 000 ganando

intereses del 7.3% simple anual? (Resp. S = $ 32 088)

Plazo en que se duplica una inversión con Interés Simple

3. ¿En cuánto tiempo se duplica una inversión con un tipo de interés del 13% simple anual?(Resp. 7 años, 8 meses, 9 días)

Precio de un bien con Interés Simple, TIIE4. ¿Cuál es el precio de un Televisor que se paga con un anticipo del 30% y un documento a tres

meses con valor nominal de $ 3 600? Suponga que la tasa de interés es igual a la TIIE más 4 puntos porcentuales y que el día de la compra la TIIE fue de 9.8%.

(Resp. P = $ 3 479.94; Precio = $ 4 971.34)Tasa de Interés Simple5. ¿Con qué tasa de interés simple se realizó una operación crediticia que se liquidó con un pago a

los 10 meses con $ 42 350, suponiendo que el crédito fue por $ 37 644.44?( Resp. i =15%)

DIAGRAMA DE TIEMPO

Inversión con Interés Simple para montos preestablecidos6. ¿Cuánto deberá invertirse al 5.1% simple anual el 15 de febrero, para disponer de $ 7 000 el 9 de

mayo, de $ 15 500 el 20 de junio, y de $ 10 000 el 23 de diciembre? (P = $ 31 726.95)

Diagramas de Tiempo7. El 11 de marzo Adriana depositó $ 10 000 en una cuenta que devenga intereses del 12.48% simple

anual. El 15 de diciembre había depositado otros $ 15 000, pero el 28 de enero retiró $ 9 500.a.- ¿Cuánto podrá retirar el 9 de mayo? (Resp. S = $ 16 125. 90)

b.- ¿Cuánto ganó por intereses? (Resp. I = $ 625.90)

Inversión en cuenta de ahorros y adquiriendo Onzas-Oro8. El 40% de su indemnización la depósito el señor González en una cuenta de ahorros que le

bonifica el 13.2% simple anual y con el resto, $ 45 000, compra onzas-oro. Siete meses despuésretira su dinero del banco y adquiere más onzas-oro,a.- ¿Cuánto valen sus monedas un año y medio después de su retiro laboral, considerando que su

valor se incrementa un 1.05% mensual en promedio? (Resp. S = $ 90 552.52) b.- ¿A cuánto ascienden las utilidades para el señor Gonzalez? (Resp. I = $ 15 552.52)


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45 S1

30 S2 S3

18 m

7 m 11m

a

Valor Futuro de los Onzas-Oro

S1 = ¿ ?

P = 45000

i = 1.05%

n = 18 1 =

ni P S )1(

Indemnización es el 60% del Capital, que destino a comprar Onzas-Oro

P1 = ¿ ?

P = 45000.00

% = 0.60

P1 =

1% P P %

1 P P

P2 = ¿ ?

P1 = 75000

X = 0.40

P2 =

12 % P P

7 meses con los intereses, crece:

I = ¿ ?

S2 = ¿ ?P = 30000

i = 13.20% I =n = 0.58 7/12 S2 =

).1( ni P S P S I

Once meses después el valor de las Onzas-Oro que ahora se adquieren es:

S3 = ¿ ?

P = 32310

i = 1.05%

n = 11 3 =

ni P S )1(

Valor de los Onzas-Oro

S = ¿ ?

S1 = 54308.303 = 36244.02 S =

21 S S S

b

U = ¿ ?

S = 90552.32

P = 75000 U =

P S U


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Capital, Monto e Interés9. El 15 de noviembre un comerciante compró mercancía que liquidó con un 35% de contado, un

pago por $ 32 050, que corresponde al 40% el día 3 de marzo, y otro por el resto el día 22 de abril.Considerando cargo del 16.8% anual. Determinar:a.- El valor de la mercancía el día de la compra (Resp. P = $ 76 280.48)

b.- El monto que se paga al 22 de abril (Resp. S = $ 20 476.22)

c.- Los intereses o cargos por no pagar de contado (Resp. I = $ 2 943.91)

P X

15-Nov 03-M ar 22-A br

32050

N o vie m = 1 5 N o vie m = 1 5

D ic ie m = 3 1 D ic ie m = 3 1

E n e ro = 3 1 E n e ro = 3 1

F e b re ro = 2 8 F e b re ro = 2 8M a rz o = 3 M a rz o = 3 1

A b ri l = 2 2

1 0 8 15 8

a

I = ¿ ?

P1 = ¿ ?

S = 32050

i = 16.8% 1 =

n = 0.3 108/360 I =

).1( ni P S ).1( ni

S P

P = ¿ ?P1 = 30512.19

% = 0.40

P =

1% P P %

1 P P

b

P2 = ¿ ?

P1 = 76280.48

X = 0.25

2 =

P P %2

I = ¿ ?

S = ¿ ?

P = 19070.12i = 16.80% I =

n = 0.44 158/360 S =

).1( ni P S P S I

c

I = ¿ ?

I1 = 1406.1I2 = 1537.81

I =

21 I I I Total

Metodo Nº 02

I = ¿ ?

Retiro = 32050S total = 20476.22

Deposito = 76280.48 total =

% = 65.00%

)%()(R e 1 DepS tiro I Total Total


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INTERES SIMPLE EXACTO Y COMERCIAL

Monto con Interés Simple Comercial y con tiempo aproximado y la TIIE10. Utilizando un interés simple comercial con tiempo aproximado, obtenga el monto que se acumula

al 15 de octubre, si el 25 de marzo anterior se depositan $ 15 000 en una cuenta que abona con laTIIE+2.4 puntos porcentuales. Suponga que la TIIE es de 7.5% anual. (Resp. S = $ 15 825)

Monto con Interés Simple Exacto y con Tiempo Real11. Resuelva el ejemplo Nº 09 con interés simple exacto con tiempo real (Resp. S = $ 15 829.97)

AMORTIZACION CON INTERES SIMPLEAmortización de un crédito con pagos fijos12. ¿Cuál es el abono mensual con el que se amortiza un préstamo de $ 90 000 en año y medio, si se

cargan intereses del 1.5% simple, es decir, global mensual?a.- Interé

100.- Teoria. is.completo.

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