Professora: Rosa Canelas 1 Ano Letivo 2012/2013

Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis

10º Ano de Matemática – A

TEMA 1 – Geometria no Plano e no Espaço I

Tarefa Intermédia nº 4 – versão 1

1.1.1.1. Na figura está um paralelepípedo dimensões 4 × 6 × 2 e

pretendemos identificar o vetor de coordenadas �−4,−6,2. Qual

dos seguintes, poderá ser? Justifique indicando as coordenadas

dos quatro vetores.

(A) AF � (B) CH � (C) DG � (D) BE �

2.2.2.2. Considere a esfera definida pela condição �� − 2� + �� − 3� + �� − 4� ≤ 14. Sabendo que

[AB] é diâmetro dessa esfera e que A�1,1,1, determine as coordenadas de B.

3.3.3.3. Considere, num referencial o.n. xOy, os pontos A�0,3, B�−1,1 e C�4,0 3.1. Escreva uma equação da circunferência que tem A e B por extremos de um diâmetro.

3.2. Determine as coordenadas de um ponto D de modo que [ABCD] seja um paralelogramo.

3.3. Determine as coordenadas de um vetor colinear com AC � e com o triplo do comprimento.

4.4.4.4. Considere no referencial o.n.��, � �, �� �, �! � os pontos P�0,0,1, Q�2,−1,3 e R�5,3,−3. 4.1. Calcule &'( �& + 3&() �& .

4.2. Indique as coordenadas de * � = 3'( � − �() � . 4.3. Determine as coordenadas do ponto T, tal que �, � = 2') � 4.4. Determine, pelas suas coordenadas um vetor -� colinear com OQ � e com norma igual a

2√14.

4.5. Determine o ponto médio de [PQ] e o de [QR]. Questão 1 2 3.1 3.2 3.3 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5

Cotação 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10

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Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis

10º Ano de Matemática – A

TEMA 1 – Geometria no Plano e no Espaço I

Tarefa Intermédia nº 4 – versão 1 – Proposta de resolução

1.1.1.1. Na figura está um paralelepípedo dimensões 4 × 6 × 2 e

pretendemos identificar o vetor de coordenadas �−4,−6,2. E

calculadas as coordenadas concluímos ser o vetor CH � . (A) AF � = �−4,6,−2 (B) CH � = �−4,−6,2 (C) DG � = �−4,6,2 (D) BE � = �−4,−6,−2

2.2.2.2. Consideremos a esfera definida pela condição �� − 2� + �� − 3� + �� − 4� ≤ 14. Sabendo

que [AB] é diâmetro dessa esfera e que A�1,1,1, determinemos as coordenadas de B.

Podemos fazer por dois processos:

Utilizando o ponto médio: Se chamarmos C ao centro da esfera 0�2,3,4 ele será o ponto

médio de [AB]. Comecemos por fazer 1��, �, �. Então será �2,3,4 = 2 34� , 35� , 36� 7 ou seja

89:9;2 = 34�3 = 35�4 = 36�

⇔ =� = 4 − 1� = 6 − 1� = 8 − 1 ⇔ =� = 3� = 5� = 7 E concluímos ser 1�3,5,7. Utilizando vetores: 1 = 0 + @0 � ou seja 1 = �2,3,4 + �1,2,3 = �3,5,7 3.3.3.3. Consideremos, num referencial o.n. xOy, os pontos A�0,3, B�−1,1 e C�4,0

3.1. Escreva uma equação da circunferência que tem A e B por extremos de um diâmetro.

O centro é ABCDE = 2F3�G � , !3 � 7 = 2− � , 27 e o raio é H = CDIIII� = J�F3 K3�!G K� = √L�

A equação da circunferência é 2� + �7� + �� − 2� = LM 3.2. Determinemos as coordenadas de um ponto D de modo

que [ABCD] seja um paralelogramo. E para isso torna-se

mais fácil ver uma figura da qual podemos concluir poder

ser, por exemplo: N = 0 + 1@ � = �4,0 + �1,2 = �5,2

3.3. Determinemos as coordenadas de um vetor colinear com

AC � e com o triplo do comprimento que pode ser 3AC � = 3�4,−3 = �12,−9

4

2

-2

5

y

x

D

C

B

A

Professora: Rosa Canelas 3 Ano Letivo 2012/2013

4.4.4.4. Consideremos no referencial o.n.��, � �, �� �, �! � os pontos P�0,0,1, Q�2,−1,3 e R�5,3,−3. 4.1. Calculemos

&'( �& + 3&() �& = J�2 − 0� + �−1 − 0� + �3 − 1� + 3J�5 − 2� + �3 + 1� + �−3 − 3� =

√4 + 1 + 4 + 3√9 + 16 + 36 = 3 + 3√61.

4.2. Indiquemos as coordenadas de

* � = 3'( � − �() � = 3�2,−1,2 − � �3,4,−6 = 26 − !� , −3 − 2,6 + 37 = 2P� , −5,97 . 4.3. Determinemos as coordenadas do ponto T, tal que �, � = 2') � ⇔ , = 2�5,3,−4 =

�10,6, −8 4.4. Determine, pelas suas coordenadas um vetor -� colinear com OQ � e com norma igual a

2√14.

Comecemos por calcular a norma de OQ �: &OQ �& = √4 + 1 + 9 = √14 pelo que -� pode ser

-� = 2�( � = 2�2,−1,3 = �4,−2,6 4.5. Determine o ponto médio de [PQ] e o de [QR].

ABQRE = S0 + 22 , 0 + �−12 , 1 + 32 T = U1,−12 , 2V ABRWE = S2 + 52 , �−1 + 32 , 3 − 32 T = U72 , 1,0V

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Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis

10º Ano de Matemática – A

TEMA 1 – Geometria no Plano e no Espaço I

Tarefa Intermédia nº 4 – versão 1 – Critérios de classificação

1. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 10

• Coordenadas dos vetores -------------------------------------------- 8

• Escolher o vetor -------------------------------------------------------- 2

2. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 10

3. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 30

3.1. ------------------------------------------------------------------------------------------------ 10

• Centro -------------------------------------------------------------------- 2

• Raio ----------------------------------------------------------------------- 2

• Equação da circunferência ------------------------------------------ 6

3.2. ------------------------------------------------------------------------------------------------ 10

• Dar as coordenadas -------------------------------------------------- 5

• Justificar ----------------------------------------------------------------- 5

3.3. ------------------------------------------------------------------------------------------------ 10

4. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 50

4.1. ------------------------------------------------------------------------------------------------ 10

4.2. ------------------------------------------------------------------------------------------------ 10

4.3. ------------------------------------------------------------------------------------------------ 10

4.4. ------------------------------------------------------------------------------------------------ 10

4.5. ------------------------------------------------------------------------------------------------ 10

• Ponto médio de [PQ] ------------------------------------------------- 5

• Ponto médio de [QR] ------------------------------------------------- 5

TOTAL ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 100