10º Ano Geometria no Espaço I (10º - Ano). 10º Ano Rectas e planos 1. Dois pontos distintos do...
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10º Ano Geometria no Espaço Geometria no Espaço I I (10º - Ano) (10º - Ano)
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10º Ano
Geometria no Espaço IGeometria no Espaço I(10º - Ano)(10º - Ano)
10º Ano
Rectas e planosRectas e planos1. Dois pontos distintos do plano ou do espaço definem uma e
uma só recta
2. Três pontos distintos do espaço, não colineares, definem um plano ( e se forem colineares?)
3. Qualquer recta com 2 pontos num plano está contida nesse plano
4. Se dois planos distintos têm um ponto comum, a sua intersecção é uma recta
5. Por um ponto exterior a uma recta passa uma e uma só paralela a essa recta
10º Ano
Modos de definir um plano
Um plano fica definido por:
• Um ponto e uma recta que não o contenha
• Duas rectas paralelas mas não coincidentes
• Duas rectas concorrentes
• Três pontos distintos, não colineares
10º Ano
Posição entrePosição entreRectasRectas
10º Ano
Paralelismo:
Definição
No espaço duas rectas são paralelas se satisfazem as seguintes condições:
- são complanares
- não têm nenhum ponto comum, ou são coincidentes
10º Ano
No espaço duas rectas são perpendiculares se, por um ponto qualquer, é possível traçar duas rectas perpendiculares, paralelas às duas rectas dadas.
Perpendicularidade:
Definição
10º Ano
AB
E F
D C
GH
Definição de perpendicularidade entre rectas: 2 rectas são _|_s se por um ponto qualquer (B) forpossível traçar 2 rectas _|_s (BC_|_BA) paralelas àsrectas dadas( BC//FG e BA//DC)
10º Ano
Propriedades de:
paralelismoe
perpendicularidade:
10º Ano
1- Duas rectas paralelas (//s) a uma terceira, são paralelas entre si.
10º Ano
AB
E F
D C
GH
2 rectas paralelas a uma terceira são paralelas entre si
DC // EF porqueDC // AB EF // AB
10º Ano
2- Dadas duas rectas paralelas, todo o plano que intersecta uma, intersecta a outra.
10º Ano
AB
E F
D C
GH
Dadas 2 rectas paralelas, todo o plano que intersecta uma intersecta outra
DC // EF o plano BCGFintersecta DC em C e EFem F
10º Ano
3 - Se duas rectas são _|_s,
toda a recta paralela a uma é _|_ à outra.
10º Ano
AB
E F
D C
GH
Se 2 rectas são _|_ s, toda a recta paralela a uma é _|_ à outra
DC_|_ FG , então
HG // DC e HG_|_FG ouBC // FG e BC _|_DC
10º Ano
4 - Se duas rectas são //s,
toda a recta _|_ a uma
é _|_ à outra
10º Ano
BA
E F
D C
GH
DC // EF entãoBC _|_ DC e BC _|_ EF
Se 2 rectas são paralelas, todo a recta _|_ a uma é _|_ à outra
10º Ano
Posição entrePosição entreRectasRectas
e e PlanosPlanos
10º Ano
Uma recta é paralela a um plano se não é secante ao plano
Paralelismo:
Definição
10º Ano
Uma recta é perpendicular a um
plano se é perpendicular a todas as rectas do
plano.
Perpendicularidade:
Definição
10º Ano
AB
E F
D C
GH
Definição de perpendicularidade entre recta e plano: 1 recta é _|_ a um plano se é _|_ a todas as rectas doplano
DC _|_ ao plano BCGF pqé _|_ a todas rectas doplano (CG, FG,FB e BC)
10º Ano
Propriedades:
10º Ano
Se existir, num plano, uma recta paralela a uma recta dada, que não está contida
nesse plano, a recta e o plano são paralelos
1- Critério de paralelismoentre recta e plano:
10º Ano
AB
E F
D C
GH
Critério de paralelismo entre recta e plano:Uma recta exterior a um plano é paralela a esse plano, se for paralela auma recta contida no plano
AD não pertence ao plano BCFmas BC // AD, logo AD// BCF
10º Ano
2- Dadas duas rectas não complanares, existe um e um só plano que contém uma e é paralelo à outra
10º Ano
BA
E F
D C
GH
AD e CG são não complanares,existe o plano BCF que contémCG e é // AD
Dadas duas rectas não complanares, existe um e um só planoque contém uma e é paralelo à outra
10º Ano
3- Critério de perpendicularidade entre recta e plano:
Se uma recta é perpendicular a duas rectas concorrentes de um plano, então a recta é perpendicular ao plano.
10º Ano
BA
E F
D C
GH
Se uma recta é _|_ a duas rectas concorrentes de um plano,então a recta é _|_ ao plano
Critério de perpendicularidade entre recta e plano:
Se DC _|_CG e DC_|_BC
então DC _|_BCGF
10º Ano
Posição entrePosição entrePlanosPlanos
10º Ano
Dois planos são paralelos se não são secantes
Paralelismo:
Definição
10º Ano
Dois planos e são perpendiculares se em existe uma recta perpendicular a
e se em existe uma recta perpendicular a
Perpendicularidade:
Definição
10º Ano
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GH
ABD _|_ BCF porque DC _|_ BCF e BF_|_ABD
Definição de perpendicularidade entre dois planos:Dois planos são _|_s se em cada um deles existir umarecta _|_ ao outro plano
10º Ano
Propriedades:
10º Ano
Se duas rectas concorrentes de um plano são paralelas a outro plano, então os planos são paralelos
1 - Critério de paralelismo entre planos:
10º Ano
2- Existe um só plano que passa por um ponto dado e é paralelo a um plano dado
10º Ano
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D C
GH
Critério de paralelismo entre planos:
Se duas rectas concorrentes de um plano são //s a outro plano,então os planos são //s.
Se AD e DC são concorrentes e //s a EFGHentão ABCD//EFGH
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Pelo ponto dado D só passa o plano ADEque é paralelo ao plano BCF
Existe um só plano que passa por um ponto dado eé paralelo a um plano dado.
10º Ano
3- Se um plano intersecta dois planos, as rectas de intersecção são paralelas
10º Ano
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Se um plano (amarelo) intersecta dois planosparalelos (azuis) então as rectas de intersecçãosão paralelas.
10º Ano
4- Critério de perpendicularidade entre planos:
Se num plano existe uma recta perpendicular a outro plano, então os dois planos
são perpendiculares
10º Ano
BA
E F
D C
GH
Se num plano existe uma recta _|_ a outro plano,então os planos são _|_ s.
Critério de perpendicularidade entre planos:
Se DC _|_CG e DC_|_BC
então DC _|_BCGF, logoo plano ABCD_|_BCGF
10º Ano
É Tudo!!!
