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Transformada de Laplace
Prof. André Marcato
Livro Texto: Engenharia de Controle Moderno – Quarta Edição – Editora Pearson Prentice Hall – Autor: Katsuhiko OGATA
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Aula 2 2
Introdução
Funções ComunsFunções ComunsSenoidaisSenoidaisSenoidais AmortecidasSenoidais AmortecidasExponenciaisExponenciaisOperação de DiferenciaçãoOperação de DiferenciaçãoOperação de IntegraçãoOperação de IntegraçãoEquação Diferencial LinearEquação Diferencial Linear
Funções Algébricas de 1 variável Funções Algébricas de 1 variável complexacomplexa££
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Aula 2 3
Introdução
Solucionar Equações Diferenciais Lineares Diferenciação e Integração: Operações
Algébricas no Plano Complexo Técnicas Gráficas para prever o desempenho
do sistema sem necessidade de solucionar sistemas de equações diferenciais. Tanto a componente estacionária quanto a transitória da solução são obtidas simultaneamente
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Aula 2 4
Revisão das Variáveis e Funções Complexas
Variáveis Complexas
Funções Complexas
Função Complexa Analítica Numa Dada Região G(s) e todas as suas derivadas existirem nessa
região
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Aula 2 5
Existência da Derivada de Uma Função Analítica G(s)
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Aula 2 6
Exemplo:
Satisfaz as condições de Cauchy-Riemann para todos
os pontos, exceto s = -1
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Aula 2 7
Derivada de G(s) (1)
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Aula 2 8
Derivada de G(s) (2)
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Aula 2 9
Pólos e Zeros
Pólos: Pontos Singulares em que a função G(s) ou suas derivadas tendem ao infinito.
ZerosZeros: Pontos nos quais G(s) é nula.
Pontos Ordinários: Pontos do Plano s onde G(s) éé analítica
Pontos Singulares: Pontos do Plano s onde G(s) não énão é analítica.
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Aula 2 10
Ilustração
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Aula 2 11
Teorema de Euler
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Aula 2 12
Transformada de Laplace (1)
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Aula 2 13
Transformada de Laplace (2)
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Aula 2 14
Transformada Inversa de Laplace
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Aula 2 15
Função Exponencial
A e α são constantes.
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Aula 2 16
Função Degrau
A é uma constante.
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Aula 2 17
Função Rampa
A é uma constante.
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Aula 2 18
Função Senoidal
A e ω são constantes.
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Aula 2 19
Função Cossenoidal
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Aula 2 20
Pares de Transformadas de Laplace(1)
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Aula 2 21
Pares de Transformadas de Laplace(2)
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Aula 2 22
Pares de Transformadas de Laplace(3)
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Aula 2 23
Pares de Transformadas de Laplace(4)
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Aula 2 24
Função Transladada(1)
Já que:
Temos que:
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Aula 2 25
Função Transladada(2)
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Aula 2 26
Função Pulso Retangular
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Aula 2 27
Função Impulso
A Função Impulso em que a área é igual a unidade é chamada função impulso unitário ou função delta de Dirac. E a função impulso unitário que ocorre em t = t0 é normalmente representada por:
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Aula 2 28
Multiplicação de f(t) por e-αt
Exemplos:
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Aula 2 29
Mudança de Escala de Tempo
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Aula 2 30
Exemplo Mudança Escala de Tempo
Alternativamente:
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Aula 2 31
Comentários Sobre o Limite Inferior da Integral de Laplace