1

Restrições Não-Estritas / Variáveis Arbitrárias

• Analisemos agora a situação em que no conjunto de restrições lineares algumas variáveis podem tomar valores reais/racionais arbitrários.

• Tal como no caso anterior, substituem-se todas as desigualdades por igualdades com variáveis de desvio não negativas.

• Desta forma, um sistema de m restrições lineares com n variáveis é transformado num sistema de m equações a m+n variáveis.

• Algumas das variáveis podem tomar um valor real arbitrário, enquanto outras (as variáveis de desvio e eventualmente algumas variáveis de decisão) só podem tomar valores não negativos.

• Para as distinguir, vamos renomear essas variáveis como Z e S, em número de z e s, respectivamente (z + s = m + n)

2

Restrições Não-Estritas / Variáveis Arbitrárias

Se o número de variáveis reais não fôr inferior ao número de restrições (z ≥ m), e sendo assumido que os coeficientes das variáveis das restrições são linearmente independentes (como será sempre assumido), o sistema é sempre possível.

Com efeito, é sempre possível reescrever as equações isolando m variáveis arbitrárias (as variáveis básicas-Z; sem perda de generalidade, consideramos serem Z1 a Zm,)

Zi = ci + pi,m+1Zm+1 +...+ pi,zZz + qi1X1 +...+ qi,sXs

 Como as Zi são arbitrárias, uma solução é

Zi = ci para i: 1..m

Zi = 0 para i: m+1..z

Si = 0 para i: 1..s

3

Restrições Não-Estritas / Variáveis Arbitrárias

• Havendo mais restrições m do que as z variáveis reais, podemos isolar os Zi em z das m restrições, obtendo

Zi = ci + qi,1S1 + ... + qi,sSs para i: 1..m

• Quaisquer que sejam os valores, não negativos, atribuídos às variáveis Si, estas restrições são satisfeitas já que é possível atribuir

valores arbitrários às variáveis Zi.

• As restantes restrições constituem um conjunto de m-z equações a m-z+n variáveis não negativas. Como visto anteriormente, estas restrições são satisfazíveis sse se puderem reescrever na forma resolvida SF0.

• Assim, quando as restrições não estritas envolvem variáveis arbitrárias, pode definir-se uma forma resolvida SF1 por extensão de SF0.

4

Forma Resolvida SF1 (Igualdades)

Definição: Um sistema de restrições de igualdade está na forma resolvida SF1 se as suas restrições se dividirem em dois conjuntos Ea e

Es definidos como:

•Se z ≥ m, Es é vazio e Ea constituído por m equações

Zi = di + pi,m+1Zm+1 +...+ pi,zZz + qi,1S1 + ... + qi,sSs

sendo as variáveis do lado esquerdo as variáveis básicas-Z, e todas as outras variáveis não básicas.

•Se z < m o conjunto Es é constituido por m-z equações

Si = ci + ri,m-z+1Sm-z+1 +...+ ri,sSs com ci≥0 para i:1..m-z

em que as variáveis no lado esquerdo são variáveis básicas-S e as outras não básicas-S. Ea é constituido por z equações

Zi = di + ri,m-z+1Sm-z+1 + ... + ri,sSs

em que as variáveis básicas-Z são definidas exclusivamente em função de variáveis não básicas-S.

5

Forma Resolvida SF1 (Igualdades)

Exemplo:

X2

X3 = 0

X5 = 0

X4 = 0

Eliminando-se o requisito de não negatividade de X1 e X2 as restrições

admitem como forma resolvida SF1

X1 = 5 - X3 - X4X2 = -2 + X3 + 2 X4

X5 = 12 - 2 X3 - 3 X4

Ea:

Es:

2 X1 + X2 ≤ 8 X1 + X2 ≥ 3 X1 - X2 ≥ -5

2 X1 + X2 + X3 = 8 X1 + X2 - X4 = 3 X1 - X2 - X5 = -5

6

Forma Resolvida SF1 (Igualdades)

Teorema: Um sistema de m equações a m+n variáveis arbitrárias e/ou não negativas é satisfazível sse puder rescrever na forma SF1.

Demonstração:

Se um sistema se pode escrever na forma SF1 então é satisfazível

Trivial. Anulando as variáveis não básicas obtem-se uma solução

Se um sistema é satisfazível pode escrever-se na forma SF1.

Escolham-se arbitrariamente as variáveis básicas-Z. Se z ≥ m, as m

equações constituem o sistema Ea (sendo Es vazio). Se z < m, então

considerem-se z equações para formar Ea. Nas restantes equações

eliminando-se as variáveis arbitrárias (segundo Ea), obtem-se um

sistema apenas em variáveis não-negativas. Se fôr satisfazível pode ser

colocado na forma SF0, e corresponde ao conjunto Es.

7

Restrições Estritas / Variáveis Arbitrárias

Se o conjunto de restrições envolver restrições estritas (<, > e ≠) é possível reescrever estas restrições em termos não só de igualdades mas também de desigualdades como abaixo (em que os si ≥ 0).

ai1 X1 +...+ ain Xn ≤ bi ai1 X1 +...+ ain Xn + Si = bi

ai1 X1 +...+ ain Xn < bi ai1 X1 +...+ ain Xn + Si = bi

ai1 X1 +...+ ain Xn ≠ bi

ai1 X1 +...+ ain Xn ≥ bi ai1 X1 +...+ ain Xn - Si = bi

ai1 X1 +...+ ain Xn > bi ai1 X1 +...+ ain Xn - Si = bi

ai1 X1 +...+ ain Xn ≠ bi

Obtém-se desta forma um sistema de equações (=) e de disequações (≠), em que algumas (eventualmente todas as) variáveis são não negativas.

8

Restrições Estritas / Variáveis Arbitrárias

As disequações são satisfazíveis sempre que as suas variáveis não sejam fixas (constantes).

A conversão na forma resolvida SF1 permite verificar que o conjunto de equações é satisfazível, e definir as variáveis básicas em termos das variáveis não básicas.

Em geral, as variáveis não-básicas aparecem no lado direito das equações de Ea e Es, e podem tomar vários valores.

Escrevendo as disequações exclusivamente em função das variáveis não básicas, elas serão satisfazíveis se contiverem pelo menos uma variável não fixa.

Assim, devemos concentrar-nos nas equações, e verificar se elas impõem ou não a fixação de variáveis não básicas.

9

Restrições Estritas / Variáveis Arbitrárias

• Caso z ≥ m:

Não havendo mais restrições que variáveis arbitrárias, basta escolher m variáveis arbitrárias para básicas, obtendo-se assim um conjunto Es vazio e Ea constituído por m equações

Zi = di + pi,m+1Zm+1 +...+ pi,zZz + qi,1S1 + ... + qi,sSs

Quaisquer valores arbitrários das variáveis não básicas-Z (Zi com i:

m+1 .. z) e não-negativos das variáveis não básicas-S (sj com j: 1 ..

s), conduzem a valores das variáveis básicas-Z dentro do seu domínio (arbitrário).

Donde, se z ≥ m, as variáveis não básicas não são fixadas e as disequações são sempre satisfazíveis.

10

Restrições Estritas / Variáveis Arbitrárias

• Caso z < m:

Neste caso todas as variáveis arbitrárias são básicas, originando um conjunto Ea é constituido por z equações

Zi = di + ri,m-z+1Sm-z+1 +...+ ri,sSs

Uma vez obtido Ea, continuam a existir m-z equações nas variáveis não-negativas. Assim, a análise da fixação de variáveis é análoga ao caso em que não há variáveis arbitrárias.

Para simplificar a notação, vamos estudar o caso de um sistema de m equações a m+n variáveis não negativas.

11

Restrições Estritas / Variáveis Arbitrárias

Consideremos pois um conjunto Es constituido por

Si = ci + ri,m+1Sm+1 +...+ ri,m+nSm+n ci ≥ 0 ( i:1.. m)

No conjunto Es há que verificar se, para além dos valores nulos das variáveis não básicas-S Sm+j (j: 1.. n), existem outros valores que não

tornem negativas as variáveis básicas-S.

Se todos os ci forem positivos, existem vizinhanças εi de 0 para as

variáveis não básicas-S que mantêm as variáveis básicas-S não negativas.

Assim se todos os ci forem positivos não há variáveis não básicas-S (nem básicas-S) fixadas e, se existirem disequações nessas variáveis, essas disequações são satisfazíveis.

12

Restrições Estritas / Variáveis Arbitrárias

Se alguns ci forem nulos, não há garantia de haver essas vizinhanças.

Um exemplo permite clarificar este ponto.

Exemplo: Verificar que, para S1 e S2 não negativos, são insatisfazíveis

as restrições

S1 - S2 ≤ 0 ; S1 - S2 ≥ 0 e S1 - S2 ≠ 0

Reescrevendo as restrições como equações, obtem-se

S1-S2+S3 = 0 ; S1-S2-S4 = 0 e S1 - S2 ≠ 0

Escolhendo variáveis básicas-S, S3 e S4,, a forma SF1 é

S3 = -S1+S2 e S4 = S1-S2

com a desigualdade S1-S2≠ 0 escrita em função das variáveis (S1 e S2)

não básicas-S.

13

Restrições Estritas / Variáveis Arbitrárias

Aparentemente o sistema é satisfazível, pois foi possível escrever as equações na forma SF1 e colocar a disequação em termos das variáveis não básicas-S.

No entanto, uma análise mais cuidada permite verificar que as variáveis S1 e S2 têm um valor fixo de 0, o que torna impossível a disequação.

Com efeito, somando as duas equações de Es,

S3 = -S1+S2 e S4 = S1-S2

obteríamos S3 + S4 = 0.

Sendo S3 e S4 variáveis não negativas, ambas devem ser nulas. Assim

sendo, por qualquer das equações de Es se obteria S1 = S2, pelo que a disequação

S1 - S2 ≠ 0

não é satisfazível.

14

Restrições Estritas / Variáveis Arbitrárias

S1-S2+S3 = 0 ; S1-S2-S4 = 0

Escolhendo outra combinação de variáveis básicas-S (S1, S3 e S4) poderíamos ter reescrito a forma SF1 como

S1 = S2 ; S3 = 0 e S4 = 0

Eliminando a variável básica S1, da disequação

S1 - S2 ≠ 0

... Obtemos

S2 - S2 ≠ 0

... que se simplifica para a desigualdade trivial

0 ≠ 0

... o que torna evidente a insatisfazibilidade da restrição de desigualdade.

15

Restrições Estritas / Variáveis Arbitrárias

Analisando a razão pela qual a fixação de variáveis não foi detectada na primeira forma SF1, pode constatar-se que o problema reside na utilização de uma expressão

-S1 +S2 e da sua simétrica

S1- S2

no lado direito de equações do conjunto Es da forma SF1 em que os termos independentes eram nulos.

S3 = -S1+S2 e S4 = S1-S2

É para impedir estas situações que se define a forma SF2 (para o caso m > z) com uma condição adicional em relação à forma SF1.

16

Forma Resolvida SF2

Definição SF2: Um sistema m restrições = e ≠, com z variáveis arbitrárias (z < m) e s+t (s = m-z) variáveis não negativas está na forma resolvida SF2 se as suas restrições se dividirem nos seguintes conjuntos, Ea ,Es, D:

D: O conjunto D é constituido por desigualdades do tipo

ri,1T1 +...+ri,tTt ≠ ai

sendo um dos termos ri,t não nulo. As t variáveis Tj são as variáveis não

básicas-S.

Ea: O conjunto Ea é constituido por z igualdades

Zi = di + pi,1T1 +...+ pi,tTt

sendo as variáveis arbitrárias Zi ,variáveis básicas-Z.

17

Forma Resolvida SF2

Definição SF2 (cont.):

Es: O conjunto Es é constituido por s = m-z igualdades do tipo

Si = ci+qi,1T1 +...+qi,tTt com ci ≥ 0 para i:1..s

em que as variáveis Si e Tj, respectivamente básicas-S e não

básicas-S, são variáveis não negativas.

Condição adicional (não existente em SF1):

• Para as variáveis Tj, não básicas-S, define-se uma ordem arbitrária pela qual elas devem ser escritas nas igualdades.

• Nestas igualdades, ou o termo ci é positivo ou, sendo ci=0, o

primeiro coeficiente ri,j não nulo deve ser positivo.

As condições impostas no conjunto Es garantem que qualquer variável não negativa que deva tomar valores fixos é considerada como variável básica-S na forma SF2, permitindo explicitar as variáveis fixas.

18

Forma Resolvida SF2

Teorema: A forma resolvida SF2 detecta as variáveis fixas, como variáveis básicas-S.

Consideremos para as igualdades de Es

Si = ci + qi,1 T1 +...+ qi,tTt

a seguinte partição das igualdades de Es

Es = F R e R = R0 R1 ... Rt

em que

• a F pertencem todas as restrições com qi,t= 0;

• a R0 pertencem todas as outras restrições com ci > 0;

• a Rk (1 k t) pertencem todas as outras restrições em que o primeiro coeficiente não nulo (donde, positivo) é qi,k.

As variáveis básicas Si pertencentes às restrições de F são fixas.

A demonstração de que não há mais variáveis básicas fixas pode ser feita por indução nos conjuntos Ri, mostrando que em nenhum nível i existem variáveis (básicas ou não básicas) fixas.

19

Forma Resolvida SF2

Caso Base (j = 0):

No caso em que R = R0, então todas as variáveis não básicas Tj

podem tomar valores num intervalo [ 0 , ε [ , não sendo portanto fixadas, sendo

ε = mini ci/(|qi,1|+...+|qi,t|)

Com efeito, se em cada restrição

Si = ci + qi,1 T1 +...+ qi,tTt

todas as variáveis não básicas Tj tomarem valores arbitrários εi no intervalo [ 0 , ε [, será

ci + qi,1 ε1 +...+ qi,t εt = δi > 0

e portanto as variáveis básicas Si podem tomar valores arbitrários nos intervalos [ 0 , δi ], não sendo igualmente fixadas.

20

Forma Resolvida SF2

Caso de Indução (k ~> k + 1):

Assumindo que nenhum sistema R0 ... Rk fixa variáveis, provemos que nenhum sistema R = (R0 ... Rk) Rk+1 as fixa.

Considere-se para o sistema R a partição R = RK Rk+1. Pela hipótese de indução, o sistema RK não fixa variáveis pelo que

• todas as variáveis não básicas Tj podem tomar valores arbitrários num intervalo [ 0 .. εi [

• todas as variáveis básicas Si (i K ) podem tomar valores arbitrários num intervalo [0, δi[.

As restantes restrições (pertencentes a Rk+1 e com i I ), têm a forma

Si = qi,k+1Tk+1 (qi,k+1 > 0 )

Então se Tk+1 toma quaisquer valores num intervalo [0, εk+1], Si toma igualmente quaisquer valores no intervalo [0, ε/qi,k+1[, pelo que o seu valor não é igualmente fixado.

21

Passagem à Forma Resolvida SF2

A conversão de um conjunto de restrições lineares na forma SF2, de uma forma incremental, é explicada através de um exemplo.

R1: -X1 + 3X2 ≤ 9

R2: X1 + X2 ≤ 11

R3: 2X1 + X2 ≤ 18

R4: 2X1 - X2 ≥ 2

X1 ,X2 ≥ 0

22

Cada restrição é introduzida resolvendo em ordem à variável de desvio. Assume-se a ordem X1 < X2 < S1 < S2 .. < Sn.

No caso de restrições ≤ nada mais é necessário fazer.

R1: -X1 + 3X2 ≤ 9

-X1 + 3X2 + S1 = 9

S1 = 9 + X1 - 3X2

R2: X1 + X2 ≤ 11

X1 + X2 + S2 = 11 S2 = 11 - X1 - X2

R3: 2X1 + X2 ≤ 18

2X1 + X2 + S3 = 18 S3 = 18 - 2X1 - X2

O vértice definido implicitamente é a origem.

Passagem à Forma Resolvida SF2

23

No caso de restrições ≥ a origem não pertence à região admissível, pelo que há que fazer uma mudança de base (troca de X1 com S4).

S1 = 9 + X1 - 3X2

S2 = 11 - X1 - X2

S3 = 18 - 2X1 - X2

R4: 2X1 - X2 ≥ 2 2X1 - X2 - S4 = 2 S4 = -2 + 2X1 - X2

X1 = 1 + X2/2 + S4/2

Substituindo X1 obtem-se

S1 = 10 - 5X2/2 + S4/2 S2 = 10 - 3X2/2 - S4/2 S3 = 16 - 2X2 - S4

X1 = 1 + X2/2 + S4/2

Por “sorte” o termo independente da equação em X1 é positivo e não acarretou nenhum termo negativo em S1, S2 ou S3.

Passagem à Forma Resolvida SF2

24

Em geral a mudança de base pode fazer-se de uma forma sistemática por minimização de uma variável artificial (1ª fase do método de 2 fases do SIMPLEX), que é considerada para além da variávels de desvio.

Exemplo:

R5: X1 + 2X2 ≥ 12

X1 + 2X2 –S5 + Z5 = 12

Z5 = 12 - X1 - 2X2 + S5

Z5 = 11 - 5X2/2 - S4/2 + S5 Agora há que minimizar Z5, através de sucessivas mudanças de base.

Passagem à Forma Resolvida SF2

S1 = 10 - 5X2/2 + S4/2 S2 = 10 - 3X2/2 - S4/2 S3 = 16 - 2X2 - S4

X1 = 1 + X2/2 + S4/2

25

Passagem à Forma Resolvida SF2

Min Z5 (= 11 - 5X2/2 - S4/2 + S5) S1 = 10 - 5X2/2 + S4/2 S2 = 10 - 3X2/2 - S4/2 S3 = 16 - 2X2 - S4

X1 = 1 + X2/2 + S4/2 Z5 = 11 - 5X2/2 - S4/2 + S5

Como Z5/X2 = -5/2 e Z5/S4 = -1/2 existe um maior decréscimo de Z5 com X2, pelo que X2 entra na base. Por outro lado, mantendo-se S4 = S5 = 0,

S1 = 0 = 10 - 5X2/2 => X2 = 4 S2 = 0 = 10 - 3X2/2 => X2 = 20/3 (6.666)S3 = 0 = 16 - 2X2 => X2 = 8X1 = 0 = 1 + X2/2 => X2 = -2Z5 = 0 = 11 – 5X2/2 => X2 = 22/5 (4.4)

pelo que a variável S1 sai da base, já que é a primeira variável a anular-se para valores crescentes de X2.

26

Por entrada na base de X2, por troca com S1,

Min Z5 = 11 -5X2/2 - S4/2 + S5

S1 = 10 - 5X2/2 + S4/2 S2 = 10 - 3X2/2 - S4/2 S3 = 16 - 2X2 - S4

X1 = 1 + X2/2 + S4/2Z5 = 11 - 5X2/2 - S4/2 + S5

converte-se em

Min Z5 = 1 + S1 - S4 + S5(-) X2 = 4 - 2S1/5 + S4/5 (5) S2 = 4 + 3S1/5 - 4S4/5 (40/7) S3 = 8 + 4S1/5 - 7S4/5(-) X1 = 3 - S1/5 + 3S4/2(1) Z5 = 1 + S1 - S4 + S5

Continuando a minimização de Z5, e pelo raciocínio anterior, S4 entra da base, por troca com Z5.

Passagem à Forma Resolvida SF2

27

Por entrada na base de S4, por troca com Z5, obtem-se

Min Z5 = 1 + S1 - S4 + S5

X2 = 4 - 2S1/5 + S4/5 S2 = 4 + 3S1/5 - 4S4/5 S3 = 8 + 4S1/5 - 7S4/5 X1 = 3 - S1/5 + 3S4/2Z5 = 1 + S1 - S4 + S5

converte-se em

Min Z5 = 0(-) X2 = 21/5- S1/5+ S5/5- Z5/5(5) S2 = 16/5- S1/5– 4S5/5- Z5/5 (40/7) S3 = 1 - 4S1/5- 7S5/5+ 7Z5/5 (-) X1 = 18/5+ 2S1/5+ 3S5/5– 3Z5/5 (1) S4 = 1 + S1 + S5 - Z5

Tendo-se pois anulado a variável artificial Z5, como pretendido.

Passagem à Forma Resolvida SF2

28

Passagem à Forma Resolvida SF2

Tendo-se anulado a variável artificial Z5, o sistema pode reescrever-se eliminando simplesmente esta variável. Assim,

Min Z5 = 0(-) X2 = 21/5- S1/5+ S5/5- Z5/5(5) S2 = 16/5- S1/5– 4S5/5- Z5/5 (40/7) S3 = 1 - 4S1/5- 7S5/5+ 7Z5/5 (-) X1 = 18/5+ 2S1/5+ 3S5/5– 3Z5/5

(1) S4 = 1 + S1 + S5 – Z5

converte-se em

X2 = 21/5 - S1/5 + S5/5 S2 = 16/5 - S1/5 - 4S5/5 S3 = 33/5 - 3S1/5 - 7S5/5X1 = 18/5 + 2S1/5 + 3S5/5S4 = 1 + S1 + S5

que se encontra na forma SF2, já que os termos independentes são positivos (SF1) e não há inequações.

29

Se houver lugar à fixação de variáveis, esta é detectada na conversão para a forma SF2. Esta fixação é ilustrada no seguinte exemplo. Dadas as 4 primeiras restrições

S1 = 10 - 5X2/2 + S4/2 S2 = 10 - 3X2/2 - S4/2 S3 = 16 - 2X2 - S4

X1 = 1 + X2/2 + S4/2

Adicionar a nova restrição:

R6: X1 + 2X2 ≥ 16

Z6 = 16 - X1 - 2X2

Z6 = 15 - 5X2/2 - S4/2

Tal como anteriormente, há que minimizar Z6, através de sucessivas mudanças de base.

Variáveis Fixas em SF2

30

Variáveis Fixas em SF2

Min Z6 = 15 - 5X2/2 - S4/2 + S6

S1 = 10 - 5X2/2 + S4/2 S2 = 10 - 3X2/2 - S4/2 S3 = 16 - 2X2 - S4

X1 = 1 + X2/2 + S4/2 Z6 = 15 - 5X2/2 - S4/2 + S6

Como anteriormente, Z5/X2 = -5/2 e Z5/S4 = -1/2, pelo que existe um maior decréscimo de Z5 com X2, e X2 entra na base. Igualmente,

S1 = 0 = 10 - 5X2/2 => X2 = 4 S2 = 0 = 10 - 3X2/2 => X2 = 20/3 (6.666)S3 = 0 = 16 - 2X2 => X2 = 8X1 = 0 = 1 + X2/2 => X2 = -2Z6 = 0 = 15 - 5X2/2 => X2 = 6

Sendo igualmente a variável S1 a sair da base.

31

Por entrada na base de X2, por troca com S1,

S1 = 10 - 5X2/2 + S4/2 S2 = 10 - 3X2/2 - S4/2 S3 = 16 - 2X2 - S4

X1 = 1 + X2/2 + S4/2Z6 = 15 - 5X2/2 - S4/2 +S6

converte-se em

X2 = 4 - 2S1/5 + S4/5 S2 = 4 + 3S1/5 - 4S4/5 S3 = 8 + 4S1/5 - 7S4/5X1 = 3 - S1/5 + 3S4/5Z6 = 5 + S1 - S4 +S6

Na minimização de Z6, agora S4 entra da base, por troca ou com Z6 ou com S2!

Variáveis Fixas em SF2

32

Variáveis Fixas em SF2

Com efeito, pretendendo-se obter o Min Z6

X2 = 4 - 2S1/5 + S4/5 S2 = 4 + 3S1/5 - 4S4/5 S3 = 8 + 4S1/5 - 7S4/5X1 = 3 - S1/5 + 3S4/5Z6 = 5 + S1 - S4 + S6

S4 entra na base, e portanto deve verificar-se

X2 = 0 = 4 + S4/5 => S4 = -20 S2 = 0 = 4 - 4S4/5 => S4 = 5S3 = 0 = 8 - 7S4/5 => S4 = 40/7 (5.714)X1 = 0 = 3 + 3S4/5 => S4 = -5Z6 = 0 = 5 - S4 => S4 = 5

Pelo que quer Z6 quer S2 se anulam para S4 = 5.

33

Variáveis Fixas em SF2

Escolhendo S2 para sair da base, por troca com S4,

X2 = 4 - 2S1/5 + S4/5 S2 = 4 + 3S1/5 - 4S4/5 S3 = 8 + 4S1/5 - 7S4/5X1 = 3 - S1/5 + 3S4/5Z6 = 5 + S1 - S4 +S6

converte-se em

X2 = 5 - S1/4 - S2/4 S4 = 5 + 3S1/4 - 5S2/4 S3 = 1 - S1/4 - 7S2/4X1 = 6 + S1/4 - 3S2/4Z6 = 0 + S1/4 + 5S2/4 +S6

Eliminando-se Z6, reescreve-se a equção como

S6 = 0-S1/4-5S2/4

que não está na forma SF2!

34

Variáveis Fixas em SF2

Analisando-se a igualdade S6 = 0-S1/4-5S2/4 e reescrevendo-a como

S1 + 5S2 + 4 S6 = 0

verifica-se que deve ser

S1 = S2 = S6 = 0

Convertendo-se ...X2 = 5 - S1/4 - S2/4 S4 = 5 + 3S1/4 - 5S2/4 S3 = 1 - S1/4 - 7S2/4X1 = 6 + S1/4 - 3S2/4S6 = 0 - S1/4 - 5S2/4

... na forma SF2, evidenciando-se adicionalmente a fixação das variáveis X1, X2, S3 e S4

S1 = S2 = S6 = 0 X1 = 6 X2 = 5 S4 = 5 S3 = 1

35

Sistemas Impossíveis

Se o conjunto de restrições fôr insatisfazível, esta situação é igualmente detectada na conversão para a forma SF2, sendo esta feita de uma forma incremental, como ilustrado no seguinte exemplo. Dadas as 4 primeiras restrições,

S1 = 10 - 5X2/2 + S4/2 S2 = 10 - 3X2/2 - S4/2 S3 = 16 - 2X2 - S4

X1 = 1 + X2/2 + S4/2

adicionar a nova restrição:

R7: X1 + 2X2 ≥ 18

Z6 = 18 - X1 - 2X2

Z6 = 17 - 5X2/2 - S4/2

Como anteriormente, há que minimizar Z7.

36

Sistemas Impossíveis

Min Z7 S1 = 10 - 5X2/2 + S4/2 S2 = 10 - 3X2/2 - S4/2 S3 = 16 - 2X2 - S4

X1 = 1 + X2/2 + S4/2Z7 = 17 - 5X2/2 - S4/2 + S7

Como anteriormente, Z7/X2 = -5/2 e Z7/S4 = -1/2, pelo que existe um maior decréscimo de Z7 com X2, e X2 entra na base. Igualmente,

S1 = 0 = 10 - 5X2/2 => X2 = 4 S2 = 0 = 10 - 3X2/2 => X2 = 20/3 (6.666)S3 = 0 = 16 - 2X2 => X2 = 8X1 = 0 = 1 + X2/2 => X2 = -2Z7 = 0 = 17 - 5X2/2 => X2 = 34/5 (6.800)

Continuando a ser a variável S1 a sair da base.

37

Por entrada na base de X2, por troca com S1,

S1 = 10 - 5X2/2 + S4/2 S2 = 10 - 3X2/2 - S4/2 S3 = 16 - 2X2 - S4

X1 = 1 + X2/2 + S4/2Z7 = 17 - 5X2/2 - S4/2 + S7

converte-se em

X2 = 4 - 2S1/5 + S4/5 S2 = 4 + 3S1/5 - 4S4/5 S3 = 8 + 4S1/5 - 7S4/5X1 = 3 - S1/5 + 3S4/5Z7 = 7 + S1 - S4

Na minimização de Z7, agora S4 entra da base, por troca com S2 !

Sistemas Impossíveis

38

Sistemas Impossíveis

Com efeito, pretendendo-se obter o Min Z7

X2 = 4 - 2S1/5 + S4/5 S2 = 4 + 3S1/5 - 4S4/5 S3 = 8 + 4S1/5 - 7S4/5X1 = 3 - S1/5 + 3S4/5Z7 = 7 + S1 - S4 + S7

S4 entra na base, e portanto deve verificar-se

X2 = 0 = 4 + S4/5 => S4 =-20 S2 = 0 = 4 - 4S4/5 => S4 = 5S3 = 0 = 8 - 7S4/5 => S4 = 40/7 (5.714)X1 = 0 = 3 + 3S4/5 => S4 = -5Z7 = 0 = 5 - S4 => S4 = 7

Pelo que S2 é o primeiro a anular-se para valores crescentes de S4 (para S4 = 5).

39

Sistemas Impossíveis

Saindo S2 da base, por troca com S4,

X2 = 4 - 2S1/5 + S4/5 S2 = 4 + 3S1/5 - 4S4/5 S3 = 8 + 4S1/5 - 7S4/5X1 = 3 - S1/5 + 3S4/5Z7 = 7 + S1 - S4 + S7

converte-se em

X2 = 5 - S1/4 - S2/4 S4 = 5 + 3S1/4 - 5S2/4 S3 = 1 - S1/4 - 7S2/4X1 = 6 + S1/4 - 3S2/4Z7 = 2 + S1/4 + 5S2/4 + S7

Mas esta última restrição, mostra que Z7 tem um valor mínimo de 2, e portanto não não pode tomar o valor 0. Assim o sistema não se pode colocar na forma SF2 e é portanto insatisfazível.

40

Sistemas Impossíveis

A conversão na forma SF2 permite ainda detectar Conjuntos Mínimos

de Restrições Insatisfazíveis (Irreducible Impossible Sets).

Estes conjuntos são identificados pelas suas variáveis de desvio que podem ser vistas como “testemunhas”.

Exemplo:

S1 = 10 - 5X2/2 + S4/2 S2 = 10 - 3X2/2 - S4/2 S3 = 16 - 2X2 - S4

X1 = 1 + X2/2 + S4/2

-X1 + 2X2 ≥ 10 -X1 + 2X2 -S8 = 10

X2 = 22/3 + S4/3 +2S8/3

41

Sistemas Impossíveis

Substituindo X2 = 22/3 + S4/3 +2S8/3 na 1ª equação do sistema abaixo

S1 = 10 - 5X2/2 + S4/2 S2 = 10 - 3X2/2 - S4/2 S3 = 16 - 2X2 - S4

X1 = 1 + X2/2 + S4/2

obtemos,

S1 = -25/3 - S4/3 - 5S8/3

que pode ser reescrito como

3S1 + S4 + 5S8 = -25

O que mostra que não só o sistema inicial é impossível, mas que existe um conjunto mínimo de restrições incompatíveis constituído pelas restrições R1, R4 e R8.

42

Sistemas Impossíveis

Os conjuntos IIS não são únicos. Substituindo X2 = 22/3+ S4/3 + 2S8/3

na 2ª equação do sistema abaixo,

S1 = 10 - 5X2/2 + S4/2 S2 = 10 - 3X2/2 - S4/2 S3 = 16 - 2X2 - S4

X1 = 1 + X2/2 + S4/2

obteríamos igualmente,

S2 = -1 - S4 - S8

que pode ser reescrito como

S2 + S4 + S8 = -1

o que identifica outro conjunto mínimo de restrições incompatíveis constituído pelas restrições R2, R4 e R8.

43

Sistemas Impossíveis

Outros conjuntos IIS podem permanecer “escondidos” na conversão para a forma SF2. A restrição obtida anteriormente

S1 = -25/3 - S4/3 - 5S8/3

pode reescrever-se como

S4 = -25- 3S1- 5S8

que, com as anteriores,

X2 = 22/3 + S4/3 +2S8/3

X1 = 1 + X2/2 + S4/2

origina

X1 = -12 -2S1 - 3S8

ou X1 + 2S1 + 3S8 = -12, revelando ainda outro conjunto mínimo constituído pelas restrições R1, R8 e X1 (>= 0).

44

Sistemas Impossíveis

Igualmente das restrições

X2 = 22/3 + S4/3 +2S8/3

S4 = -25- 3S1- 5S8

obtem-se, com as anteriores,

X2 = 1 - S1 - S8

ou seja

X2 + S1 + S8 = 1,

revelando outro conjunto mínimo constituído pelas restrições explicitas R1, R8 e pela implícita X2 >= 0.

(De notar que a determinação de todos os conjuntos mínimos é um problema NP-hard).

45

Restrições Redundantes

É fácil de mostrar que, dado um conjunto de restrições satisfazíveis, se uma restrição

ai Xi > K ( ai Xi - Sc = K)

é impossível, então a restrição

ai Xi < K ( ai Xi + Sr = K)é redundante.

A igualdade

ai Xi + Sr = K pode ser analisada igualmente.

Das equações anteriores tira-se Sr + Sc = 0. Se se obtiver uma condição de impossibilidade Sc + pj Vj = - C (com C, pj>0) entre a 1ª restrição e as identificadas pelas variáveis Vj, então a 2ª restrição é redundante face a essas restrições, pois Sr = C + pj Vj.

46

Restrições Redundantes

Exemplo: Dadas as restrições

S1 = 10 - 5X2/2 + S4/2 S2 = 10 - 3X2/2 - S4/2 S3 = 16 - 2X2 - S4

X1 = 1 + X2/2 + S4/2

a restrição -X1+2X2 ≤ 10

-X1+2X2 +S9 = 10

é redundante.

Das equações acima tira-se

S1 = -25/3 - S4/3 + 5S9/3 S9 = 5 + 3S1/5 + S4/5

Pelo que a última restrição é redundante face a R1 e R4.

47

Restrições Lineares no SICStus

• As restrições anteriormente referidas podem ser especificadas em SICStus através de predicados com a sintaxe adaptada

:- use_module(user:library(clpq)). r0(X1,X2):- {X1 >= 0, X2 >= 0}.

r1(X1,X2):- {-X1 + 3*X2 =< 9}.r2(X1,X2):- {X1 + X2 =< 11}.r3(X1,X2):- {2*X1 + X2 =< 18}.r4(X1,X2):- {2*X1 - X2 >= 2}.r5(X1,X2):- {X1 + 2*X2 >= 12}.r6(X1,X2):- {X1 + 2*X2 >= 16}.r7(X1,X2):- {X1 + 2*X2 >= 18}.

• Os exemplos anteriores podem ser introduzidos para validação. |?- r0(X,Y), r1(X,Y), r2(X,Y), r3(X,Y).{X+Y=<11},{X+1/2*Y=<9},{X>=0},{Y>=0},{X-3*Y>= -9} ? ;no

48

Restrições Lineares no SICStus

• A projecção das variáveis não permite apreender a forma SF2 da resposta. Essa forma será mais facilmente apreendida se se explicitarem as variáveis de desvio, em restrições equivalentes

s1(X1,X2,S1):- {-X1 + 3*X2 + S1 = 9, S1 >= 0}.s2(X1,X2,S2):- {X1 + X2 + S2 = 11, S2 >= 0}.s3(X1,X2,S3):- {2*X1 + X2 + S3 = 18, S3 >= 0}.s4(X1,X2,S4):- {2*X1 - X2 - S4 = 2, S4 >= 0}.s5(X1,X2,S5):- {X1 + 2*X2 - S5 = 12, S5 >= 0}.s6(X1,X2,S6):- {X1 + 2*X2 - S6 = 16, S6 >= 0}.s7(X1,X2,S7):- {X1 + 2*X2 - S7 = 18, S7 >= 0}.

• Agora a questão equivalente tem a resposta “esperada”

|?- s0(X,Y), s1(X,Y,S1), s2(X,Y,S2), s3(X,Y,S3). {S1=9+X-3*Y},{S2=11-X-Y},{S3=18-2*X-Y}, {X+Y=<11},{X+1/2*Y=<9},{X>=0},{Y>=0},{X-3*Y>= -9} ?

; no

49

Restrições Lineares no SICStus

Outras questões exemplificadas.

• Mudança de base:

| ?- s0(X,Y),s1(X,Y,S1),s2(X,Y,S2), s3(X,Y,S3),s4(X,Y,S4).{S4= 16- 2*Y - S3},{S2= 2-1/2*Y +1/2*S3},{S1= 18-7/2*Y -1/2*S3},{X= 9-1/2*Y -1/2*S3},{Y+1/2*S3=<8},{Y+1/7*S3=<36/7},{Y-S3=<4}, {Y>=0}, {S3>=0} ?

; no.

• Neste caso, o SICStus “optou” pelo ponto (X1=9, X2=0), sobre a restrição R3 (S3 = 0).

• Na explicação atrás, X1 tinha sido arbitrariamente trocado por S4, pelo que o ponto encontrado foi (X1=9,X2=0), sobre a restrição R4 (S3 = 0).

50

Restrições Lineares no SICStus

Outras questões exemplificadas.

• Optimização de Variáveis:

| ?- s0(X,Y),s1(X,Y,S1),s2(X,Y,S2), s3(X,Y,S3),s4(X,Y,S4), s5(X,Y,S5), maximize(Y). X = 6, Y = 5,

S1 = 0,S2 = 0,S3 = 1, S4 = 5, S6 = 0 ? ; no.

| ?- s0(X,Y),s1(X,Y,S1),s2(X,Y,S2), s3(X,Y,S3),s4(X,Y,S4), s5(X,Y,S5), maximize(X). X = 8, Y = 2, S1 = 0, S2 = 0, S3 = 1, S4 = 5, S6 = 0 ? ; no.

51

Restrições Lineares no SICStus

• Optimização de Expressões:

| ?- s0(X,Y),s1(X,Y,S1),s2(X,Y,S2), s3(X,Y,S3),s4(X,Y,S4), s5(X,Y,S5), minimize(3*X+Y). X = 18/5,

Y = 21/5, S1 = 0, S2 = 16/5, S3 = 33/5, S4 = 1, S5 = 0 ? ; no.

52

Restrições Lineares no SICStus

• A colocação na forma SF2 pode ser obtida por minimização de S5+Z5 que determina um ponto na restrição R5.

• | ?- s0(X,Y),s1(X,Y,S1),s2(X,Y,S2), s3(X,Y,S3),s4(X,Y,S4), z5(X,Y,S5,Z5), minimize(S5+Z5). X = 18/5, Y = 21/5,

S1 = 0, S2 = 16/5, S3 = 33/5, S4 = 1, S5 = 0 ? ; no.

onde a restrição R5 é codificada comoz5(X1,X2,S5,Z5):- {X1 + 2*X2 + Z5 - S5 = 12, Z5 >= 0,S5 >= 0}.

53

Restrições Lineares no SICStus

• A fixação de variáveis é igualmente detectada.

|?- s0(X,Y), s1(X,Y,S1), s2(X,Y,S2), s3(X,Y,S3),

s4(X,Y,S4), s6(X,Y,S6). X = 6, Y = 5, S1 = 0,S2 = 0, S3 = 1,S4 = 5, S6 = 0 ? ; no

... ou mais directamente

|?- r0(X,Y),r1(X,Y),r2(X,Y),r3(X,Y),r4(X,Y),r6(X,Y).

X = 6, Y = 5 ? ; no

54

Restrições Lineares no SICStus

• Naturalmente, a insatisfação é detectada

|?- s0(X,Y), s1(X,Y,S1), s2(X,Y,S2), s3(X,Y,S3),

s4(X,Y,S4), s7(X,Y,S7). no

... ou equivalentemente

|?- r0(X,Y),r1(X,Y),r2(X,Y),r3(X,Y),r4(X,Y),r7(X,Y).

no

55

Restrições Lineares no SICStus

• No SICSTus é ainda possível obter como termo (utilizável em posterior “meta-programação”, as restrições avaliadas, através do predicado pre-definido dump/3.

|?- r0(X,Y), r1(X,Y), r2(X,Y), r3(X,Y), dump([X,Y],[A,B],C).

C = [A+1/2*B=<9, A+B=<11, B>=0, A-3*B>= -9, A>=0],

{X+Y=<11},

{X+1/2*Y=<9},

{X>=0},

{Y>=0},

{X-3*Y>= -9} ? ;no

• C é uma lista com as restrições definidas em termos das novas variáveis A e B, que tomam a vez de X e Y. Testes sobre A e B não afectam os valores de X e Y.