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UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE ESCOLA DE ENGENHARIA MESTRADO EM ENGENHARIA DE PRODUCAO FERNANDO PAES BARRETO MACHADO FORMULAÇÕES DE PROGRAMAÇÃO INTEIRA PARA PROBLEMAS DE ESCALONAMENTO DA PRODUÇÃO NITERÓI 2018

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UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE ESCOLA DE ENGENHARIA

MESTRADO EM ENGENHARIA DE PRODUCAO

FERNANDO PAES BARRETO MACHADO

FORMULAÇÕES DE PROGRAMAÇÃO INTEIRA PARA PROBLEMAS DE

ESCALONAMENTO DA PRODUÇÃO

NITERÓI

2018

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FERNANDO PAES BARRETO MACHADO

FORMULAÇÕES DE PROGRAMAÇÃO INTEIRA PARA PROBLEMAS DE

ESCALONAMENTO DA PRODUÇÃO

Dissertação apresentada ao Curso de

Mestrado em Engenharia de Produção

da Universidade Federal Fluminense

como requisito parcial para obtenção

do Grau de Mestre em Engenharia de

Produção.

Professor Orientador:

Prof. D.Sc. EDUARDO UCHOA BARBOZA

NITERÓI

2018

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Ficha catalográfica automática - SDC/BEE

Bibliotecária responsável: Fabiana Menezes Santos da Silva - CRB7/5274

M149f Machado, Fernando Paes BarretoFormulações de programação inteira para problemas de

escalonamento da produção / Fernando Paes Barreto Machado;Eduardo Uchoa Barboza, orientador. Niterói, 2018.145 f.

Dissertação (mestrado)-Universidade Federal Fluminense,Niterói, 2018.

1. Pesquisa operacional. 2. Programação inteira. 3.Otimização. 4. Tomada de decisão. 5. Produçãointelectual. I. Título II. Barboza,Eduardo Uchoa, orientador.III. Universidade Federal Fluminense. Escola de Engenharia.

CDD -

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AGRADECIMENTOS

Agradeço em primeiro lugar à minha família por todo apoio e compreensão

ao longo dessa difícil caminhada pelo saber que é a realização de um projeto de

pesquisa e escrita da dissertação. Pai e irmã foram ombros nos quais eu pude me

confortar e reforçar minha vontade em concluir este objetivo. Tenho gratidão

especial à minha mãe por me ensinar o verdadeiro significado das palavras

comprometimento, disciplina e perseverança. Seus ensinamentos foram

fundamentais para essa conquista.

Aos amigos também sou grato pelos momentos de companheirismo,

descontração e divertimento tão necessários ao longo do mestrado. Compartilhar as

dificuldades e potencializar as alegrias me ajudou a passar por este período de

muito estudo e algumas renúncias de maneira mais leve e suave.

Um agradecimento especial não poderia faltar ao Professor Uchoa por todo

profissionalismo, excelente didática, paciência e dedicação a este projeto. Registro

aqui, neste documento tão importante para minha vida pessoal e profissional, minha

profunda gratidão e admiração. Sem sua orientação a conclusão deste trabalho não

seria possível.

Direciono também meus agradecimentos aos professores que aceitaram

compor a banca examinadora de defesa desta dissertação. É uma grande honra ter

a oportunidade de apresentar minha pesquisa e receber os comentários de

profissionais com tamanho reconhecimento na academia e notória capacidade de

contribuição para o tema. Mais uma vez, muito obrigado pela disponibilidade.

Por fim, agradeço à Universidade Federal Fluminense e, mais

especificamente, a todos os professores e colaboradores dessa instituição que, com

muito empenho, trabalham no Programa de Mestrado e Doutorado em Engenharia

de Produção da UFF.

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Our passion for learning…is our tool for survival.

Carl Sagan

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RESUMO

Os modelos determinísticos para resolução de problemas de escalonamento

possuem grande aplicabilidade por permitirem o estudo de diversas situações em

diferentes áreas do conhecimento. Dois problemas deste tipo foram abordados neste

estudo: o problema de sequenciamento de job shop (PSJS) e o caso prático do

problema de alocação de bobinas (PAB) para fabricação de dutos flexíveis da

indústria de óleo e gás. O ambiente de produção job shop possibilita alta flexibilidade

na oferta de produtos e serviços, sendo estratégico para a satisfação dos clientes.

Devido à sua relevância, um dos objetivos dessa dissertação consiste em propor um

modelo de programação inteira (PI) para resolver o problema de sequenciamento de

job shop com função objetivo de minimizar o atraso total ponderado de forma

eficiente. O novo modelo é baseado na formulação proposta por Bowman e Kondili,

Pantelides e Sargent com variáveis indexadas no tempo e introdução de restrições

como fluxos em rede. Os resultados demonstraram que a nova formulação é

competitiva em condições em que os tempos de processamento das tarefas pelas

máquinas é reduzido e apresenta resultados iniciais, isto é, soluções ótimas com

relaxação linear mais próximas da solução ótima inteira do que as formulações

presentes na literatura. As bobinas tratadas no segundo problema deste trabalho

são utilizadas para armazenagem e transporte de dutos flexíveis em cada etapa da

sua produção até a entrega final ao cliente. Outro objetivo desta dissertação é a

proposição de um modelo de PI para resolução do problema de alocação de bobinas

a fim de minimizar o número de bobinas necessárias e/ou reduzir a sua

movimentação dentro da fábrica. A contribuição deste modelo é a capacidade de

fornecer respostas ágeis e precisas em um cenário de escassez de bobinas e

esforço crescente para redução de custos na indústria do petróleo. O modelo foi

aplicado em uma fábrica de dutos localizada no Estado do Rio de Janeiro. O teste foi

realizado para um horizonte de planejamento de seis meses, correspondendo a uma

produção de dutos 10% maior do que a do semestre anterior. O modelo mostrou que

era possível realizar esse aumento de produção sem a aquisição de bobinas

adicionais, gerando consideráveis ganhos financeiros.

Palavras-chave: escalonamento, programação inteira, job shop, atraso total

ponderado, dutos flexíveis, bobinas

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ABSTRACT

The deterministic models for solving scheduling problems have high

applicability due to the fact they permit the study of several situations in different

areas of knowledge. Two problems of this type were addressed in this study: the job

shop scheduling problem (JSSP) and the practical case of the reel allocation problem

(RAP) for the production of flexible pipes in the oil and gas industry. The job shop

machine environment enables high flexibility to offer products and services and

therefore it is strategic for customer satisfaction. Due to its relevance, one of the

objectives of this master thesis consists in proposing an integer programming (IP)

model to solve the job shop scheduling problem with the objective function of

minimizing the total weighted tardiness. The new model for solving the job shop

scheduling problem is based on the formulation proposed by Bowman and Kondili,

Pantelides and Sargent with time-indexed variables and introduction of constraints as

network flows. Results have shown that the new formulation is competitive under

conditions in which processing times of the jobs in the machines are reduced and

presents initial results, i.e. optimal solutions with linear relaxation closer to the integer

optimal solution than the existing formulations in the literature. The reels treated in

the second problem of this work are used for storage and transportation of flexible

pipes at each stage of their production, until final delivery to the customer. Another

objective of this master thesis is proposing an IP model for solving the reel allocation

problem in order to minimize the number of reels required and/or reduce its

movement inside the factory. The contribution of the proposed model for the

definition of reel allocation is the ability to provide agile and accurate responses in

scenarios of reel shortages and increasing effort to reduce costs in the oil industry.

The model was applied to a pipe plant located in the State of Rio de Janeiro. The test

was performed for a planning horizon of six months, corresponding to a production of

pipes 10% higher than that of the previous semester. The model showed that it was

possible to achieve this increase of production without purchasing additional reels,

generating considerable financial gains.

Keywords: scheduling, integer programming, job shop, total weighted tardiness,

flexible pipes, reels

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SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO .................................................................................................... 13

1.1 MOTIVAÇÃO DO TRABALHO ..................................................................... 14

1.2 DESCRIÇÃO DO PROBLEMA ..................................................................... 16

1.3 JUSTIFICATIVA E RELEVÂNCIA DO ESTUDO .......................................... 17

1.4 OBJETIVO GERAL ...................................................................................... 18

1.5 OBJETIVOS ESPECÍFICOS ........................................................................ 18

1.6 DELIMITAÇÕES DO ESTUDO .................................................................... 19

1.7 METODOLOGIA E TRABALHO REALIZADO .............................................. 20

1.8 ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO ................................................................ 21

2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA .......................................................................... 24

2.1 ESTRUTURA E NOTAÇÕES PARA MODELOS DETERMINÍSTICOS DE

ESCALONAMENTO ............................................................................................... 24

2.1.1 Campo 𝛂 – Ambientes de máquina ....................................................... 25

2.1.2 Campo 𝛃 – Detalhes das características e restrições de processamento

27

2.1.3 Campo 𝛄 – Objetivos de minimização ................................................... 30

2.2 JOB SHOP ................................................................................................... 32

2.3 PROBLEMA DE FLUXO EM REDE ............................................................. 38

2.3.1 Problema do fluxo de custo mínimo ....................................................... 40

3 FORMULAÇÃO DE PI PARA O PROBLEMA DE SEQUENCIAMENTO DE JOB

SHOP ........................................................................................................................ 42

3.1 INTRODUÇÃO ............................................................................................. 42

3.2 METODOLOGIA DA PESQUISA ................................................................. 43

3.2.1 Levantamento e análise das melhores formulações .............................. 44

3.2.2 Identificação e implementação de oportunidades de melhoria .............. 44

3.2.3 Realização de testes com a nova formulação e as de referência .......... 44

3.2.4 Comparação dos resultados obtidos ..................................................... 46

3.3 MODELO MATEMÁTICO ............................................................................. 47

3.4 EXEMPLO ILUSTRATIVO ........................................................................... 49

3.5 FORMULAÇÕES DE REFERÊNCIA PARA OS TESTES ............................ 54

3.6 DISCUSSÃO DOS RESULTADOS .............................................................. 57

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4 FORMULAÇÃO DE PI PARA O PROBLEMA DE ALOCAÇÃO DE BOBINAS NA

PRODUÇÃO DE DUTOS FLEXÍVEIS ....................................................................... 70

4.1 INTRODUÇÃO ............................................................................................. 70

4.2 METODOLOGIA DA PESQUISA ................................................................. 74

4.2.1 Reconhecimento e levantamento de dados do processo fabril ............. 74

4.2.2 Elaboração e programação do modelo matemático .............................. 75

4.2.3 Aplicação no estudo de caso ................................................................. 75

4.2.4 Discussão dos resultados e comparação com a situação anterior ........ 76

4.3 PRODUTO E PROCESSO DE PRODUÇÃO ............................................... 76

4.4 EXEMPLO ILUSTRATIVO ........................................................................... 78

4.5 MODELO MATEMÁTICO ............................................................................. 83

4.6 IMPLEMENTAÇÃO E ESTUDO DE CASO .................................................. 88

5 CONCLUSÃO E TRABALHOS FUTUROS ......................................................... 92

6 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................................... 95

7 APÊNDICES ....................................................................................................... 98

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LISTA DE ILUSTRAÇÕES

Figura 1 – Produção científica relacionada ao tema "job shop" ................................ 14

Figura 2 – Produção científica relacionada ao tema "scheduling" ............................. 15

Figura 3 – Produção científica relacionada ao tema "integer programming" ............. 16

Figura 4 – Etapas da metodologia da pesquisa para o problema de sequenciamento

de job shop ................................................................................................................ 43

Figura 5 – Representação esquemática das Restrições (28) e (29) relativas à

capacidade das máquinas ......................................................................................... 49

Figura 6 – Representação esquemática das Restrições (30) a (32) relativas à ordem

de precedência das tarefas ....................................................................................... 49

Figura 7 – Diagrama de Gantt da solução ótima do exemplo ................................... 51

Figura 8 – Esquema representativo dos fluxos em rede das restrições de capacidade

de máquina do exemplo ............................................................................................ 52

Figura 9 – Esquema representativo do fluxo em rede da restrição de precedência da

tarefa 1 do exemplo ................................................................................................... 52

Figura 10 – Esquema representativo do fluxo em rede da restrição de precedência

da tarefa 2 do exemplo .............................................................................................. 53

Figura 11 – Esquema representativo do fluxo em rede da restrição de precedência

da tarefa 3 do exemplo .............................................................................................. 53

Figura 12 – Análise comparativa dos gaps de integralidade das formulações para

uma instância 8 x 8 com tempos de processamento entre 1 e 5 UT, semente 3 e

solução ótima igual 266 ............................................................................................. 67

Figura 13 – Análise comparativa dos gaps de integralidade das formulações para

uma instância 8 x 8 com tempos de processamento entre 1 e 10 UT, semente 6 e

solução ótima igual 468 ............................................................................................. 68

Figura 14 – Exemplo de arranjo submarino com aplicações de dutos flexíveis ........ 71

Figura 15 – Duto flexível ........................................................................................... 72

Figura 16 – Bobinas .................................................................................................. 73

Figura 17 – Etapas da metodologia da pesquisa para o problema de alocação de

bobinas ...................................................................................................................... 74

Figura 18 – Partes de uma bobina ............................................................................ 77

Figura 19 – Diagramas de Gantt do plano de produção e dos seus usos ................. 81

Figura 20 – Grafos de usos e a solução para o exemplo dado ................................. 86

Figura 21 – Diagrama de Gantt dos usos alocados com bobinas de 14 ft ................ 90

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Figura 22 – Diagrama de Gantt dos usos alocados com bobinas de 16 ft, 17 ft, 19 ft e

22 ft ........................................................................................................................... 91

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LISTA DE TABELAS

Tabela 1 – Tamanho das instâncias adotadas na metodologia de pesquisa ............ 45

Tabela 2 – Tempos de processamento das tarefas nas máquinas do exemplo ........ 50

Tabela 3 – Sequência das máquinas de cada tarefa do exemplo ............................. 50

Tabela 4 – Valores das variáveis de decisão da solução ótima do exemplo ............. 50

Tabela 5 – Resultados do novo modelo .................................................................... 58

Tabela 6 – Resultados do modelo disjuntivo adaptado ............................................. 59

Tabela 7 – Resultados do modelo de Kondili adaptado ............................................ 60

Tabela 8 – Resultados do modelo de kondili adaptado e revisado ........................... 61

Tabela 9 – Resumo das formulações mais eficientes por instância .......................... 62

Tabela 10 – Redução do tempo de resolução dos modelos com variáveis indexadas

no tempo com alguma restrição como fluxo em rede em comparação ao modelo de

kondili adaptado ........................................................................................................ 64

Tabela 11 – Resultados das formulações para uma instância 8 x 8 com tempos de

processamento entre 1 e 5 UT, semente 3 e solução ótima igual 266 ...................... 66

Tabela 12 – Resultados das formulações para uma instância 8 x 8 com tempos de

processamento entre 1 e 10 UT, semente 6 e solução ótima igual 468 .................... 68

Tabela 13 – Descrição das camadas de um típico duto ............................................ 76

Tabela 14 – Exemplo de plano de produção ............................................................. 78

Tabela 15 – Distâncias (metros) entre locais do exemplo ......................................... 79

Tabela 16 – Instantes e locais de liberação das bobinas do exemplo ....................... 79

Tabela 17 – Usos definidos pelo plano de produção do exemplo ............................. 80

Tabela 18 – Alocação das bobinas na solução do exemplo ...................................... 82

Tabela 19 – Movimentação das bobinas vazias na solução do exemplo .................. 82

Tabela 20 – Quantidade de bobinas e total de instantes de liberação por diâmetro . 88

Tabela 21 – Dados dos usos considerados no trabalho ............................................ 98

Tabela 22 – Matriz distância entre máquinas .......................................................... 119

Tabela 23 – Solução ótima da alocação de bobinas aos usos ................................ 120

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LISTA DE ABREVIATURAS, SIGLAS E SÍMBOLOS

𝛼 tempo mínimo entre duas alocações consecutivas de uma

bobina a usos

𝛿𝑘−(𝑢) conjunto de arcos de 𝐺𝑘 entrando no vértice 𝑢 ∈ 𝑉𝑘

𝛿𝑘+(𝑢) conjunto de arcos de 𝐺𝑘 deixando o vértice 𝑢 ∈ 𝑉𝑘

∑ 𝑤𝑗(1 − 𝑒−𝑟𝐶𝑗) tempo total de conclusão ponderado descontado

∑ 𝑤𝑗𝐶𝑗 tempo total de conclusão ponderado

∑ 𝑤𝑗𝑇𝑗 atraso total ponderado

∑ 𝑤𝑗𝑈𝑗 número ponderado de tarefas atrasadas

𝜎ℎ𝑗 h-ésima operação da tarefa j

𝑎𝑖𝑗 limite de fluxo de (i,j)

𝐴𝑘 conjunto de arcos do grafo direcionado das bobinas de tamanho

k

𝑏𝑖𝑗 limite de fluxo de (i,j)

𝑏𝑘(𝑟) número de bobinas liberadas de tamanho k

batch(b) processamento em lotes

block bloqueio

brkdwn paradas

𝑐𝑖𝑗 coeficiente de custo de (i,j)

𝐶𝑚𝑎𝑥 makespan

𝑐𝑢𝑣𝑘 custo de movimentação de uma bobina de tamanho k de 𝑒𝑙(𝑢)

até 𝑠𝑙(𝑣)

𝑑𝑖𝑗 distância entre um par de locais 𝑖, 𝑗 ∈ 𝐿

𝑑𝑗 prazo em que a tarefa j deve estar finalizada

DLL Dynamic Link Library

𝑒𝑖𝑗𝑡 variável binária que é igual a 1 se a tarefa j não começar na

máquina i no momento t

𝑒(𝑟) instante de liberação de bobinas

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𝑒(𝑢) instante final de um uso

𝑒𝑙(𝑢) local final de um uso

𝑒𝑙(𝑟) local de liberação de bobinas

𝑓𝑖𝑡 variável binária que se iguala a 1 quando a máquina i permanece

ociosa no período t

FIFO First In First Out

ℎ𝑖𝑘 variável que representa o tempo de início do processamento da

tarefa na k-ésima posição da máquina i

𝐽𝑚 job shop

JSSP job shop scheduling problem

𝐾 conjunto de tamanhos do diâmetro do tambor das bobinas

𝐹𝑚 flow shop

𝐹𝐹𝑐 flow shop flexível

𝐹𝐽𝑐 job shop flexível

fmls famílias de tarefa

𝐺𝑘 grafo direcionado das bobinas de tamanho k

𝐿 conjunto de locais na fábrica de dutos flexíveis

𝑀𝑗 restrições de elegibilidade de máquina

nwt sem espera

𝑂𝑚 open shop

𝑝𝑖𝑗 tempo de processamento da tarefa j na máquina i

𝑃𝑚 máquinas idênticas em paralelo

PAB problema de alocação de bobinas

PSJS problema de sequenciamento de job shop

PI programação inteira

PIM programação inteira mista

prec restrições de precedência

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prmp preempção

prmu permutação

𝑞𝑖𝑗𝑘 variável de excesso relacionada à máquina i e às tarefas j e k

𝑄𝑚 máquinas em paralelo com diferentes velocidades

rijk variável binária igual a 1 se a k-ésima operação da tarefa j for

processada na máquina i e 0

𝑅𝑘 conjunto de liberações de bobinas de tamanho k

RAP reel allocation problem

𝑟𝑗 data de liberação da tarefa j

𝑅𝑚 diferentes máquinas em paralelo

rcrc recirculação

𝑠𝑖 suprimento do nó i

𝑠𝑖𝑗 variável contínua que representa o tempo de início da tarefa j na

máquina i

𝑠𝑗𝑘 tempo de configuração que depende da sequência de

processamento entre as tarefas j e k

𝑠(𝑢) instante de início de um uso

𝑠𝑙(𝑢) local de início de um uso

𝑡𝑗 atraso da tarefa j, calculado como 𝑡𝑗 = 𝑚𝑎𝑥{0, 𝐶𝑗 − 𝑑𝑗}, onde 𝐶𝑗 é

o tempo de conclusão da tarefa j

U conjunto definido como {1, … , 𝐻} no problema de

sequenciamento de job shop ou conjunto de usos de bobina no

problema de alocação de bobinas

𝑈𝑖𝑗 conjunto dos tempos em que a tarefa j pode efetivamente

começar sua operação na máquina i sem exceder o tempo H

definido, uma vez que a tarefa j também precisa ser executada

em máquinas antes e/ou depois de i

𝑈𝑘 conjunto de usos que são compatíveis com bobinas de tamanho

k ou maiores

UT unidade de tempo

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𝑤𝑗 peso atribuído à tarefa j

𝑉 número com valor grande

𝑉𝑘 conjunto de vértices

VBA Visual Basic for Applications

𝑥𝑖𝑗𝑡 variável binária que assume o valor igual a 1 caso a tarefa j

comece na máquina i no instante t

𝑥𝑢𝑣𝑘 variável binária que indica se uma bobina de tamanho k é

alocada a 𝑢 e em seguida é alocada para 𝑣

𝑧𝑖𝑗𝑘 variável binária que assume o valor 1 quando a tarefa j precede

a tarefa k na máquina i

𝑍𝑂𝑝𝑡 valor da solução ótima

𝑍𝑅𝐿 valor da solução ótima com relaxação linear

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1 INTRODUÇÃO

Escalonamento ou sequenciamento consiste na função de alocar um

conjunto de tarefas a um conjunto de meios de produção ao longo de um

determinado intervalo de tempo com o objetivo de otimizar um ou mais indicadores

de desempenho. Assim, encontrar uma solução ótima para um problema de

escalonamento significa determinar a sequência de processamento das tarefas

capaz de maximizar ou minimizar uma ou mais funções objetivo. A principal

contribuição deste processo é a capacidade de planejamento e controle da produção

de bens e da prestação de serviços.

Este trabalho apresenta formulações de programação inteira para dois

problemas de escalonamento da produção. O primeiro se trata de um problema

teórico, clássico e de difícil resolução: o problema de sequenciamento de job shop.

Amplamente encontrado em várias indústrias, segundo Pinedo (2016), este

problema é classificado como NP-difícil e vem sendo estudado há aproximadamente

70 anos. O segundo é um problema real encontrado em uma fábrica e consiste em

definir a alocação ótima de bobinas utilizadas no armazenamento e transporte ao

longo da fabricação de dutos flexíveis para produção e exploração de petróleo e gás.

O autor não encontrou registros de trabalhos publicados na literatura que abordem

este problema.

Essa dissertação está estruturada em seis capítulos. O presente capítulo

apresenta uma breve contextualização e introduz os problemas estudados. O

Capítulo 2 se refere à fundamentação teórica, onde os principais elementos

conceituais do estudo são abordados. O Capítulo 3 aborda especificamente a

formulação proposta para o problema de sequenciamento de job shop. Neste

capítulo, há introdução, metodologia da pesquisa, proposição do novo modelo

matemático, exemplo ilustrativo, apresentação das formulações de referência para

os testes e discussão dos resultados. O Capítulo 4 trata do modelo de programação

inteira proposto para resolver o problema de alocação de bobinas na produção de

dutos flexíveis. Neste capítulo, há introdução, contextualização do produto e seu

processo de fabricação, exemplo ilustrativo, apresentação da formulação

matemática proposta, implementação e realização do estudo de caso. O Capítulo 5

expõe a conclusão do trabalho e as sugestões para trabalhos futuros. O Capítulo 6

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organiza as referências bibliográficas utilizadas na elaboração desta pesquisa e, por

fim, o Capítulo 7 apresenta os apêndices.

1.1 MOTIVAÇÃO DO TRABALHO

Os problemas de escalonamento permitem a modelagem de um vasto

conjunto de situações reais e permeiam diversas áreas do conhecimento. Pinedo

(2016) cita alguns exemplos de problemas deste tipo encontrados em uma fábrica

de sacola de papel, em uma instalação de manufatura de semicondutores, em um

aeroporto no processo de alocação de portões de embarque e em uma unidade de

processamento central de um computador para sequenciamento de tarefas. Nesta

dissertação, são tratados especificamente dois problemas desta classe: o

sequenciamento de job shop e a alocação de bobinas para fabricação de dutos

flexíveis.

O problema de sequenciamento de job shop é relacionado à indústria de

manufatura e apresenta muitas aplicações práticas para a programação de

operações em ambientes de produção (JAMILI, 2016). Outro fator que torna o

problema interessante para se tratar em um estudo é o seu nível de complexidade.

O sequenciamento das tarefas de um job shop, como explicado por Akram, Kamal e

Zeb (2016), é um problema NP-difícil bem conhecido de otimização combinatória.

O interesse pela investigação deste tipo de problema vem aumentando na

literatura ao longo dos últimos anos, o que pode ser percebido a partir da análise da

produção científica de 2006 a 2017 sobre este tema.

Figura 1 – Produção científica relacionada ao tema "job shop"

Fonte: Scopus – Acesso em janeiro de 2018

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Os números apresentados na Figura 1 resultam da consulta realizada na

base de periódicos Scopus a partir da expressão “job shop” nos títulos dos

documentos, resumos e palavras chaves.

O problema de alocação de bobinas é um problema bem específico da

fabricação de dutos flexíveis, que pertence à indústria de óleo e gás. Resolver este

problema exige sequenciar a utilização de bobinas para transporte e

armazenamento de dutos ao longo de sua fabricação e em função de uma de suas

dimensões. Problemas como este vêm recebendo bastante atenção da comunidade

científica, mais que triplicando o número de publicações sobre o tema

“sequenciamento” de 2000 até 2017. A Figura 2 evidencia essa tendência.

Figura 2 – Produção científica relacionada ao tema "scheduling"

Fonte: Scopus – Acesso em janeiro de 2018

Esse gráfico apresenta números resultantes da consulta realizada na base

de periódicos Scopus a partir da expressão “scheduling” nos títulos dos documentos,

resumos e palavras chaves e limitando a pesquisa a quatro áreas do conhecimento:

ciência da computação, engenharia, matemática e ciência da decisão.

A pesquisa relacionada à programação inteira também se mostrou

promissora ao demonstrar um aumento das publicações sobre o tema nos últimos

anos. A Figura 3 esboça essa inclinação.

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Figura 3 – Produção científica relacionada ao tema "integer programming"

Fonte: Scopus – Acesso em janeiro de 2018

Os dados para elaboração do gráfico anterior foram extraídos de uma

consulta na base de periódicos Scopus a partir da expressão “integer programming”

nos títulos dos documentos, resumos e palavras chaves.

1.2 DESCRIÇÃO DO PROBLEMA

Lakatos e Marconi (2003) definem o problema de uma pesquisa como uma

dificuldade, que pode ser teórica ou prática, relativa ao conhecimento de algo de real

importância, para a qual uma solução deve ser encontrada. Gil (2009) complementa

esta visão e defende que um problema é de natureza científica quando envolve

variáveis que podem ser classificadas como testáveis, isto é, são passíveis de

observação ou de manipulação.

Lakatos e Marconi (2003) citam cinco aspectos a serem analisados para que

um problema seja considerado apropriado:

1) Viabilidade: possibilidade de ser resolvido de forma eficaz por meio da

pesquisa;

2) Relevância: capacidade de trazer novos conhecimentos;

3) Novidade: adequação ao nível atual de evolução científica e

capacidade de trazer novo enfoque e/ou soluções;

4) Exequibilidade: possibilidade de chegar a uma conclusão válida;

5) Oportunidade: atendimento a interesses particulares e gerais.

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Os dois problemas que norteiam esta pesquisa são:

1) Resolver de maneira eficiente o problema de sequenciamento de job

shop e minimizar o atraso total ponderado das tarefas;

2) Alocar eficientemente o menor número possível e/ou com o menor

deslocamento possível as bobinas utilizadas para armazenamento e

transporte de dutos flexíveis ao longo do seu processo de fabricação.

Entende-se como eficiência, neste estudo, a capacidade de resolver uma

determinada instância em um tempo computacional inferior aos demais métodos

atualmente propostos ou em tempo razoável e a propriedade de ser aplicável nas

atividades de planejamento de curto prazo.

1.3 JUSTIFICATIVA E RELEVÂNCIA DO ESTUDO

As justificativas do estudo dos dois problemas apresentados nesta

dissertação estão listadas abaixo:

1) Para o sequenciamento de job shop é o avanço na compressão da

abordagem de programação inteira em função de sua complexidade e

pelas oportunidades que a otimização pode possibilitar;

2) Para a alocação das bobinas é a possibilidade de melhorar o

processo de planejamento encontrado na operação de uma fábrica de

dutos flexíveis.

A relevância do estudo foi identificada conforme exposto a seguir:

1) Alto potencial de aplicabilidade dos métodos desenvolvidos uma vez

que o job shop é um ambiente de produção comum na indústria

brasileira e mundial. Além disso, as técnicas utilizadas neste trabalho

acadêmico podem servir de referência para resolução e tratamento de

outros problemas NP-difíceis;

2) O modelo proposto para a alocação ótima de bobinas pode aumentar

a eficiência de utilização dos recursos da fábrica analisada e

contribuir para a redução de custos do produto vendido. Em última

escala, esse ganho pode ser revertido para os operadores dos

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campos de petróleo e gás e até para os consumidores finais de seus

derivados.

1.4 OBJETIVO GERAL

Para Lakatos e Marconi (2003) toda pesquisa deve apresentar um objetivo

determinado com a finalidade de definir o que será procurado e o que se pretende

atingir. Os mesmos autores complementam que o objetivo torna o problema

explícito, o que contribui para o aumento de conhecimento acerca do assunto

tratado.

Os objetivos gerais desta dissertação consistem em:

1) Propor uma formulação para resolver o problema de sequenciamento

de job shop com função objetivo de minimizar o atraso total

ponderado de forma eficiente;

2) Elaborar um modelo capaz de resolver o problema de alocação das

bobinas para transporte e armazenamento de dutos flexíveis ao longo

de sua fabricação de maneira ótima e em tempo razoável para o

processo de planejamento.

1.5 OBJETIVOS ESPECÍFICOS

O desdobramento do objetivo geral relativo ao problema de sequenciamento

de job shop resulta nos seguintes objetivos específicos:

Identificar e analisar as melhores formulações de PI utilizadas para resolver o

problema de sequenciamento de job shop;

Adaptar as melhores formulações encontradas para o caso em que a função

objetivo consiste em minimizar o atraso total ponderado;

Implementar melhorias em uma formulação de maneira a diminuir o tempo e

esforço computacional na resolução das diferentes instâncias;

Realizar testes com a formulação proposta e as de referência;

Mensurar os resultados obtidos com os testes computacionais e comparar o

desempenho dos diferentes modelos;

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Definir as limitações do estudo de modo a delinear as condições nas quais as

vantagens da aplicação do método proposto podem ser reproduzidas.

O objetivo geral referente ao problema de alocação de bobinas leva aos

seguintes objetivos específicos:

Resolver o problema de alocação de bobinas e encontrar soluções ótimas;

Reduzir o tempo do processo de planejamento da utilização das bobinas;

Diminuir a movimentação das bobinas na planta fabril ao longo da fabricação

de dutos flexíveis;

Aumentar a taxa de uso das bobinas, o que implica na redução do tempo

ocioso desse tipo de equipamento;

Reduzir investimentos na aquisição de novas bobinas;

Reduzir o capital imobilizado em bobinas que não precisariam estar

participando do processo de fabricação dos dutos flexíveis.

1.6 DELIMITAÇÕES DO ESTUDO

A pesquisa foi delimitada conforme os pontos a seguir:

1) O problema de sequenciamento de job shop se refere à versão

clássica do problema, isto é, aquele em que não há recirculação e

não é composto por centros de trabalho. O foco desta dissertação é a

análise e aplicação de métodos exatos para otimização, portanto o

desenvolvimento de técnicas heurísticas não faz parte do escopo

deste trabalho;

2) Para o modelo de alocação de bobinas somente foram consideradas

aquelas destinadas ao transporte e armazenamento dos dutos

flexíveis enquanto estes estão sendo fabricados. Isso exclui do estudo

as bobinas enviadas para o cliente ou utilizadas para transporte e

armazenamento dos dutos flexíveis já acabados. Somente o diâmetro

do tambor das bobinas foi considerado, neste trabalho, como uma

restrição. A dimensão dos flanges foi desconsiderada por não

impactar na operação fabril nem oferecer riscos às propriedades dos

dutos flexíveis. Essa pesquisa também não visa realizar a otimização

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da fabricação de dutos flexíveis. O plano de produção é considerado

uma entrada já definida para o modelo de alocação de bobinas.

1.7 METODOLOGIA E TRABALHO REALIZADO

Segundo Lakatos e Marconi (2003), pesquisa é um procedimento formal

realizado com um método de pensamento reflexivo, que demanda um tratamento

científico e compõe o meio pelo qual a realidade será conhecida ou verdades

parciais serão descobertas.

Gil (2009) complementa esta visão ao definir pesquisa como o procedimento

racional e sistemático cuja finalidade é encontrar respostas aos problemas que se

apresentam. A pesquisa tem sua função requisitada quando não há informações

disponíveis para obter respostas a um determinado problema ou no caso em que as

informações disponíveis não estão suficientemente organizadas, o que impossibilita

a correlação adequada ao problema.

Lakatos e Marconi (2003) propõem que o desenvolvimento de um projeto de

pesquisa seja estruturado em seis etapas:

1) Seleção do tópico ou problema para a investigação;

2) Definição e diferenciação do problema;

3) Levantamento de hipóteses de trabalho;

4) Coleta, sistematização e classificação dos dados;

5) Análise e interpretação dos dados;

6) Relatório do resultado da pesquisa.

Desse modo, a base metodológica desta pesquisa para abordar o problema

de sequenciamento de job shop é composta de quatro fases:

1) Levantamento e análise das melhores formulações;

2) Identificação e implementação de oportunidades de melhoria;

3) Realização de testes com a nova formulação e as de referência;

4) Comparação dos resultados obtidos.

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A primeira etapa consiste em identificar e analisar as melhores formulações

utilizadas para resolução do problema de sequenciamento de job shop. A próxima

fase tem como objetivo buscar e implementar oportunidades de melhoria que sejam

capazes de trazer aumento de velocidade na resolução das diferentes instâncias.

Em seguida, é necessário realizar testes para medir o desempenho da nova

formulação proposta e das demais que são referência para a comparação. Por fim,

as diferentes abordagens do problema são comparadas como forma de medir quais

resultados apresentam mais vantagens em termos de eficiência.

Para elaboração e aplicação do modelo de alocação de bobinas foi utilizada

a seguinte metodologia:

1) Reconhecimento e levantamento de dados do processo fabril;

2) Elaboração e programação do modelo;

3) Aplicação do estudo de caso;

4) Discussão dos resultados e comparação com a situação anterior.

A fase inicial consistiu em mapear o processo fabril e coletar os dados

referentes ao plano de produção dos dutos flexíveis. Isso permitiu o agrupamento de

atividades consecutivas realizadas em um mesmo duto por máquinas diferentes.

Após o reconhecimento e estudo da operação da fábrica, foi possível elaborar o

modelo matemático e implementar sua programação com a utilização do UFFLP. A

terceira etapa foi a aplicação do modelo para o caso real descrito no plano de

produção. Com a solução do problema, houve a análise dos resultados e a

realização de um comparativo com a situação anterior, tanto em termos de eficiência

do processo de planejamento quanto em ganhos de utilização das bobinas.

1.8 ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO

Essa dissertação está dividida em cinco capítulos mais a seção destinada

aos apêndices. Assim, no Capítulo 1 referente à introdução, buscou-se

contextualizar o tema da pesquisa, descrever os problemas em torno do qual a

dissertação foi escrita, apresentar as motivações e os objetivos e delimitar o escopo

do trabalho.

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O Capítulo 2 aborda a fundamentação teórica dos assuntos centrais

discutidos neste estudo. Assim, foram feitas consultas aos mais importantes livros

que compõem a literatura de cada tópico tratado. Em paralelo, houve um

levantamento junto às bases de periódicos mais consistentes e reconhecidas pela

comunidade científica internacional a fim de coletar o que há de estado da arte em

matéria de conhecimento.

O Capítulo 3 é destinado ao problema de sequenciamento de job shop. Nele,

é encontrada a Seção 3.1 que trata de sua introdução e a Seção 3.2, que apresenta

a metodologia empregada para estudo deste problema. Em termos gerais, a partir

da fundamentação teórica foi possível levantar as principais técnicas utilizadas

recentemente na resolução do problema de sequenciamento de job shop e propor

melhorias que tragam ganhos em termos de eficiência. Após a realização de uma

comparação detalhada das abordagens foi possível identificar as vantagens da nova

proposição.

A Seção 3.3 apresenta a formulação proposta para resolver o problema de

sequenciamento de job shop com função objetivo de minimizar o atraso total

ponderado e detalha as características da nova abordagem. Nesta seção, as

variáveis de decisão, bem como as restrições que foram propostas são

especificadas e explicadas detalhadamente.

A Seção 3.4 propõe um exemplo ilustrativo de resolução do problema para

aprofundar o entendimento do leitor. A Seção 3.5 introduz as formulações de

referência utilizadas para os testes comparativos. A Seção 3.6 se refere aos

resultados obtidos com as formulações adaptadas e com a nova proposição. A partir

de uma comparação foi possível mapear em que condições as diferentes

abordagens possuem vantagens e desvantagens.

O Capítulo 4 aborda o problema de alocação de bobinas. Assim, na Seção

4.1, é feita sua introdução e na Seção 4.2, a metodologia utilizada para abordar este

problema é definida. Em linhas gerais, foi realizado o mapeamento do processo

fabril de dutos flexíveis e o levantamento de dados do plano de produção. Essa

etapa inicial viabilizou a elaboração e programação do modelo matemático. Após a

conclusão do modelo houve sua aplicação no estudo de caso representativo de uma

situação real. A resolução do problema de alocação de bobinas gerou resultados

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que foram comparados à situação antes da implementação do novo método

proposto.

Na Seção 4.3, é apresentado o que é um duto flexível e como ocorre seu

processo de fabricação. Nesta seção, as principais camadas de um duto e suas

funções são detalhadas, as máquinas onde cada camada é fabricada são definidas

e as partes de uma bobina convencional são apresentadas.

Na Seção 4.4, é proposto um exemplo ilustrativo completo. Neste exemplo, é

resolvida uma instância pequena e simples do problema para aprofundar o

entendimento do leitor e tornar a abordagem do problema mais clara. Na Seção 4.5,

o modelo matemático é formulado e na Seção 4.6, ocorre o detalhamento de sua

implementação em um caso real.

O Capítulo 5 retoma os principais objetivos e resultados do trabalho, expõe

as conclusões e identifica oportunidades para novas pesquisas. Os Capítulos 6 e 7

estão relacionados, respectivamente, às referências bibliográficas que suportaram

este estudo e aos apêndices, onde mais detalhes sobre a pesquisa podem ser

consultados.

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2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

2.1 ESTRUTURA E NOTAÇÕES PARA MODELOS DETERMINÍSTICOS DE

ESCALONAMENTO

De acordo com Pinedo (2016) em todos os problemas de escalonamento

(scheduling problems) considerados, tanto o número de tarefas (jobs) quanto o de

máquinas são finitos. Atribui-se ao número de tarefas a letra n, enquanto a letra m é

utilizada para denominar o número de máquinas do problema. É usual que a letra j,

subscrita a uma variável, represente uma tarefa específica e que a letra i, da mesma

maneira, se refira a uma determinada máquina. Para representar uma etapa de

processamento ou operação da tarefa j na máquina i utiliza-se o par (i, j).

Algumas características, apresentadas a seguir, podem estar associadas a

uma tarefa j:

Tempo de processamento (𝑝𝑖𝑗): Refere-se ao tempo de processamento

da tarefa j na máquina i. Se o tempo de processamento da tarefa j for

independente da máquina em que a operação está sendo realizada ou só

existir uma máquina pela qual a tarefa é processada, a letra subscrita i é

omitida;

Data de liberação (𝑟𝑗): É o tempo no qual a tarefa j chega ao sistema

produtivo. Em outras palavras, é o tempo mais cedo no qual a tarefa j

pode começar a ser processada em uma máquina. Outra nomenclatura,

citada por Pinedo (2016) em sua obra, para essa mesma característica é

a data de prontidão da tarefa j;

Prazo de finalização (𝑑𝑗): Representa a data esperada de finalização da

tarefa j no processo produtivo. Caso o prazo de finalização não seja

cumprido, o sistema é penalizado com um atraso. Nos casos em que o

prazo deve obrigatoriamente ser atendido, muda-se a representação para

(�̅�𝑗) e denomina-se prazo limite (deadline);

Peso (𝑤𝑗): Denota a importância de uma tarefa em relação às demais do

sistema e constitui um fator de prioridade. Pode estar atrelado ao custo do

não cumprimento do prazo de finalização de uma tarefa e sua

consequente permanência no processo de produção.

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Um problema de sequenciamento geralmente é descrito em função de uma

tríplice 𝛼|𝛽|𝛾. O campo 𝛼 descreve o ambiente de máquinas do processo e

apresenta uma única entrada. O campo 𝛽, por sua vez, fornece detalhes das

características e restrições de processamento, podendo conter uma única entrada,

múltiplas entradas ou mesmo nenhuma. Finalmente, o campo 𝛾 explicita o objetivo a

ser minimizado e, embora possa apresentar mais de uma entrada, frequentemente

apresenta uma única.

As próximas três subseções tratam dos campos citados anteriormente e

mostram as principais possibilidades de entrada e suas representações:

2.1.1 Campo 𝛂 – Ambientes de máquina

As possibilidades de ambientes de máquina a serem preenchidas no campo

α são as listadas a seguir:

Máquina única (1): A situação onde há somente uma máquina é o caso

mais simples de todos os ambientes de máquina e também um caso

especial de todos os outros casos mais complicados;

Máquinas idênticas em paralelo (𝑃𝑚): Neste ambiente há m máquinas

dispostas paralelamente. Assim, uma tarefa j precisa passar por somente

uma operação e pode ser processada em qualquer uma das m máquinas

ou qualquer uma que pertença a um determinado subconjunto. No caso

em que a tarefa j não puder ser processada em qualquer uma das m

máquinas do sistema, mas somente em qualquer uma do subconjunto 𝑀𝑗,

então o atributo 𝑀𝑗 é acrescentado ao campo 𝛽;

Máquinas em paralelo com diferentes velocidades (𝑄𝑚): Neste arranjo,

também chamado de máquinas uniformes, há m máquinas em paralelo

com diferentes velocidades, onde denota-se por 𝑣𝑖 a velocidade da

máquina i. Assumindo que a tarefa j é integralmente processada pela

máquina i, o tempo de processamento 𝑝𝑖𝑗 que a tarefa j gasta na máquina

i pode ser calculado como 𝑝𝑗 / 𝑣𝑖. Se todas as máquinas apresentarem a

mesma velocidade de processamento, então este ambiente se torna

idêntico ao mencionado anteriormente;

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Diferentes máquinas em paralelo (𝑅𝑚): Neste layout há m diferentes

máquinas em paralelo, sendo assim uma generalização do ambiente

anterior. Tomando-se como premissa que a tarefa j é processada somente

pela máquina i, o tempo de processamento 𝑝𝑖𝑗 gasto pela tarefa j na

máquina i pode ser obtido dividindo-se 𝑝𝑗 por 𝑣𝑖𝑗, ou seja, a velocidade na

qual a máquina i pode processar a tarefa j;

Flow shop (𝐹𝑚): Há m máquinas em série nas quais cada tarefa precisa

ser processada. Todas as tarefas apresentam a mesma rota de

processamento, isto é, precisam passar pela máquina 1, depois pela

máquina 2 até a máquina m. Uma vez concluída a etapa em uma

máquina, a tarefa se junta à fila para a próxima máquina. Geralmente, as

filas são organizadas pela lógica First In First Out (FIFO), ou seja, a tarefa

que entrou na fila primeiro tem prioridade na saída. Quando esta lógica é

adotada, o flow shop é chamado de flow shop de permutação e incluem-

se no campo 𝛽 as letras prmu;

Flow shop flexível (𝐹𝐹𝑐): É uma generalização do flow shop e do

ambiente de máquinas em paralelo. Em vez de m máquinas em série, há c

estágios em série compostos por um número de máquinas idênticas em

paralelo. Cada tarefa apresenta a mesma sequência pelos diferentes

estágios, isto é, cada tarefa precisa passar pelo estágio 1, pelo estágio 2

até chegar ao estágio c. Cada tarefa precisa passar por apenas uma

máquina de cada estágio, sendo que qualquer uma pode realizar o

processamento;

Job shop (𝐽𝑚): Em um job shop há m máquinas e n tarefas que

apresentam rotas de processamento diferentes. É feita uma distinção

entre os casos em que uma tarefa visita uma única vez cada máquina e

os casos em que uma tarefa é processada mais de uma vez na mesma

máquina. No último caso, é dito que o job shop apresenta recirculação e

as letras rcrc devem ser acrescentadas no campo 𝛽;

Job shop flexível (𝐹𝐽𝑐): É a generalização do job shop e do ambiente de

máquinas em paralelo. Em vez de m máquinas em série, há c centros de

trabalho compostos por um número de máquinas idênticas. Cada tarefa

apresenta sua própria rota de processamento pelos diferentes centros de

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trabalho. Uma tarefa precisa ser processada em uma máquina do centro

uma única vez e qualquer máquina é capaz de realizar a operação. Caso

uma tarefa precise visitar um centro de trabalho mais de uma vez, então

as letras rcrc devem ser acrescentadas no campo 𝛽, indicando que o job

shop flexível tem a característica de recirculação;

Open shop (𝑂𝑚): Neste ambiente, há m máquinas nas quais cada tarefa

precisa passar uma vez. Entretanto, o tempo de processamento de uma

tarefa j em uma máquina i pode ser igual a zero. Não existem restrições

para as rotas de processamento das tarefas, ou seja, as tarefas não

possuem sequências predeterminadas de visita às máquinas.

2.1.2 Campo 𝛃 – Detalhes das características e restrições de processamento

As características e restrições de processamento no campo β podem incluir

múltiplas entradas. Algumas dessas possibilidades podem ser observadas a seguir:

Datas de liberação (𝑟𝑗): Quando este símbolo aparece no campo β, então

a tarefa j não pode iniciar seu processamento antes da data de liberação.

Caso não seja especificado, não há restrições a respeito do início de

processamento;

Preempção (prmp): Preempções implicam que não é necessário manter

uma tarefa em uma máquina do início até a sua conclusão. É possível

programar a produção de modo que o processamento de uma tarefa seja

interrompido para que outra tarefa seja processada na máquina. Essa

movimentação não faz com que a quantidade processada da tarefa

interrompida seja perdida, sendo necessário, posteriormente, somente

completar o processamento na mesma máquina ou em uma máquina

idêntica em paralelo. Quando essa característica está presente em um

ambiente de produção, as letras prmp são acrescentadas no campo β.

Caso não haja nenhuma especificação nesse sentido, a preempção não é

permitida;

Restrições de precedência (prec): Restrições de precedência podem

acontecer em um ambiente com uma única máquina ou com máquinas

em paralelo, garantindo que uma tarefa inicie seu processamento

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somente após a conclusão de outra. Há algumas formas especiais de

restrições de precedência, como as cadeias, em que cada tarefa tem no

máximo uma predecessora e uma sucessora. Se cada tarefa tem no

máximo uma sucessora, então as restrições são chamadas de árvores

internas. Por outro lado, são chamadas de árvores externas, caso cada

tarefa apresente no máximo uma predecessora. Se as letras prec não

estiverem presentes no campo β, então as tarefas não estão sujeitas às

restrições de precedência;

Tempo de configuração dependente da sequência (𝑠𝑗𝑘): 𝑠𝑗𝑘 representa

o tempo de configuração que depende da sequência de processamento

entre as tarefas j e k. 𝑠0𝑘 e 𝑠𝑗0 são, respectivamente, o tempo de

configuração se a tarefa k for a primeira da sequência e o tempo de

limpeza caso a tarefa j seja a última da sequência. Caso o tempo de

configuração entre as tarefas j e k também dependam da máquina em que

o processamento será realizado, então a letra subscrita i é adicionada à

variável, tornando-se 𝑠𝑖𝑗𝑘. Caso 𝑠𝑗𝑘 não apareça no campo β, os tempos

de configuração são tidos como zero ou independentes da sequência,

neste caso já estão considerados no tempo de processamento;

Famílias de tarefa (fmls): Neste caso, as n tarefas pertencem a F

famílias. As tarefas pertencentes à mesma família podem ter diferentes

tempos de processamento, no entanto não requerem tempo de

configuração em uma máquina quando uma tarefa é processada depois

de outra da mesma família. Por outro lado, quando uma máquina

processa uma tarefa de uma família g e depois processa outra de uma

família h, então se incorre em um tempo de configuração. Se este tempo

depende das famílias g e h, a variável é tida como 𝑠𝑔ℎ, se depende

somente de uma das famílias, por exemplo a família h, então a variável

torna-se 𝑠ℎ. Caso não dependa de nenhuma família, a variável é escrita

simplesmente como s;

Processamento em lotes (batch(b)): Uma máquina pode ser capaz de

processar um número de tarefas, assume-se b, simultaneamente. O

tempo de processamento das tarefas em um lote pode não

necessariamente ser o mesmo e um lote completo só é concluído quando

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a última tarefa do lote é finalizada. Isso implica que o tempo de conclusão

do lote é determinado pelo tempo de processamento mais longo dentre as

tarefas. Se 𝑏 = 1, então o problema é convertido em um ambiente

convencial de sequenciamento. Há casos em que se assume que não há

limite do número de tarefas que uma máquina pode processar, adotando,

assim, 𝑏 = ∞;

Paradas (brkdwn): Paradas de máquinas implicam que uma máquina

pode não estar continuamente disponível. Os períodos nos quais uma

máquina não está disponível são assumidos como fixos, como nos casos

onde há trocas ou manutenções programadas. Se há um número de

máquinas idênticas em paralelo, o número de máquinas disponíveis em

um dado momento é uma função do tempo, isto é, m(t). Paradas de

máquina são conhecidas também como restrições de disponibilidade de

máquina;

Restrições de elegibilidade de máquina (𝑀𝑗): Esta condição está

relacionada aos ambientes com m máquinas em paralelo. Quando 𝑀𝑗 está

presente, nem todas m máquinas são capazes de processar a tarefa j.

Assim, o conjunto 𝑀𝑗 denota o conjunto de máquinas que pode processar

a tarefa j. Se o campo 𝛽 não contém 𝑀𝑗, então a tarefa j pode ser

processada em qualquer uma das m máquinas;

Permutação (prmu): Esta condição é relativa aos ambientes flow shop e

se refere a uma restrição que impõe que as filas em frente a cada

máquina operem de acordo com a lógica FIFO, que prioriza o

processamento das tarefas que chegaram primeiro. Isso implica que a

ordem ou a permutação que as tarefas passaram pela primeira máquina é

mantida ao longo de todo sistema;

Bloqueio (block): Bloqueio é um fenômeno que pode ocorrer em flow

shops e está relacionado à limitação de estoque entre duas máquinas

sucessivas. Quando o estoque está cheio, a máquina anterior no fluxo de

produção não pode liberar uma tarefa completa, bloqueando a próxima

tarefa da sequência de processamento. Nos casos em que se assume

que não há estoque entre duas máquinas consecutivas, uma tarefa não

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pode deixar uma máquina enquanto a tarefa precedente não tiver sido

concluída na próxima máquina;

Sem Espera (nwt): Este requisito está relacionado aos ambientes flow

shop e se refere à condição de que as tarefas não podem esperar entre

máquinas consecutivas. Isso obriga que uma tarefa tenha o início de seu

processamento na primeira máquina atrasada para garantir que não

haverá tempo de espera para nenhuma máquina ao longo do sistema;

Recirculação (rcrc): Recirculação pode ocorrer em um job shop ou flow

shop quando uma tarefa pode visitar uma máquina ou um centro de

trabalho mais de uma vez.

2.1.3 Campo 𝛄 – Objetivos de minimização

Embora diferentes objetivos possam ser escolhidos para serem minimizados

em um sequenciamento, todos eles dependem de uma variável em comum: o tempo

de conclusão das tarefas, referenciado como 𝐶𝑗. O tempo de conclusão da operação

da tarefa j em uma máquina i é 𝐶𝑖𝑗. O objetivo também pode estar relacionado ao

prazo de finalização de uma tarefa. Nesses casos, há três principais funções de

penalidade consideradas:

a) O descumprimento de uma tarefa pode ser calculado por: 𝐿𝑗 = 𝐶𝑗 − 𝑑𝑗, que

é positivo quando a conclusão ocorre após o prazo de finalização e negativo

em caso de antecedência;

b) 𝑡𝑗, o atraso de uma tarefa, é obtido pela fórmula: max(𝐿𝑗,0), sempre sendo

positivo por ser o máximo entre duas medidas, descumprimento e zero;

c) A unidade de penalidade de uma tarefa é definida como:

𝑈𝑗 = {1, 𝑠𝑒 𝐶𝑗 > 𝑑𝑗;

0, 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜

Alguns exemplos de objetivos a serem incluídos no campo γ podem ser

listados abaixo:

Makespan (𝐶𝑚𝑎𝑥): O makespan é definido como max(𝐶1, … , 𝐶𝑛), isto é, é o

tempo de conclusão da última tarefa a deixar o sistema;

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Máximo descumprimento (𝐿𝑚𝑎𝑥): Esta medida é definida como

max(𝐿1, … , 𝐿𝑛), e mensura a máxima diferença entre o prazo de

finalização e o tempo de conclusão de uma tarefa;

Tempo total de conclusão ponderado (∑ 𝑤𝑗𝐶𝑗): Também chamado de

tempo de fluxo ponderado, este indicador calcula a soma de todos os

tempos de conclusão das tarefas, ponderando os a partir de um peso

previamente escolhido;

Tempo total de conclusão ponderado descontado (∑ 𝑤𝑗(1 − 𝑒−𝑟𝐶𝑗):

Nesta medida, se uma tarefa não for concluída no tempo t, incorre-se em

um custo adicional 𝑤𝑗𝑟𝑒−𝑟𝑡𝑑𝑡 ao longo do período [t, t + dt]. Por outro lado,

caso a tarefa seja concluída no tempo t, o custo entre 0 e t será igual a

𝑤𝑗(1 − 𝑒−𝑟𝑡). O valor estimado para r deve estar entre 0 e 1;

Atraso total ponderado (∑ 𝑤𝑗𝑇𝑗): Neste objetivo, busca-se minimizar o

somatório ponderado dos atrasos das tarefas;

Número ponderado de tarefas atrasadas (∑ 𝑤𝑗𝑈𝑗): Essa medida procura

indicar o número de tarefas atrasadas, ponderando as por um peso pré-

estabelecido.

Muito esforço tem sido aplicado em pesquisas para planejamento e

sequenciamento da produção com utilização de programação inteira e programação

inteira mista (PIM) (PINEDO, 2005). Um modelo linear inteiro misto consiste em um

programa que envolve variáveis contínuas e inteiras e restrições lineares (POCHET

e WOLSEY, 2006). A seguir são exemplificados alguns trabalhos relevantes

publicados recentemente sobre o tema.

No estudo de Ham (2017), uma formulação de programação inteira mista foi

utilizada em uma fábrica de semicondutores para sequenciamento de um job shop

flexível com máquinas de processamento em lotes dispostas paralelamente. O

trabalho de Samarghandi e Behroozi (2017) propôs modelos de PIM e de

programação de restrições para minimizar o makespan de um flow shop sem espera

entre atividades sucessivas e cujas tarefas devem ser concluídas antes do prazo de

finalização. Na pesquisa de Nguyen et al. (2018), um modelo linear inteiro misto e

uma heurística são propostos para minimizar o tempo total de conclusão de um

problema específico de sequenciamento de máquinas paralelas com um único

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32

recurso adicional. As tarefas consideradas neste problema possuem função linear de

consumo de recursos semelhante.

Os resultados do estudo de Zhang et al. (2017) mostram avanço na

resolução de problemas de job shop flexível com eficiência energética utilizando PIM

e heurística de geração evolutiva. A pesquisa de Yazdani et al. (2017) introduz um

novo critério de otimização baseado na soma do máximo adiantamento e atraso

para o problema de sequenciamento de job shop com uso de PIM. No trabalho de

Jaramillo e Erkoc (2017), foi proposta uma formulação de PIM para minimizar o

atraso total ponderado e custo de horas extras no sequenciamento de uma máquina

única com tarefas que podem ser preemptivas.

O estudo de Tan, Mönch e Fowler (2017) se concentrou na proposta de uma

abordagem híbrida a partir de um modelo de PIM e de heurística de busca em

vizinhança para minimizar o atraso total ponderado de um problema de

sequenciamento de flow shop flexível com máquinas de processamento em lote. O

trabalho de Kongchuenjai e Prombanpong (2017) demonstra a aplicação de um

modelo de PIM com o objetivo de minimizar o tempo total de produção de peças de

modelos mistos em centros de trabalho com controle numérico computadorizado. PI

e fluxo em rede foram empregados no estudo de Fukasawa et al. (2002) para

otimizar o problema do fluxo de vagões de carga com a obtenção de resultados

efetivos para todas as instâncias até então utilizadas pelo maior operador de

ferrovias da América Latina. Torjai e Kruzslicz (2016) propuseram três formulações

de PIM para o problema de sequenciamento de caminhões que realizam o

transporte de biomassa e bons resultados foram obtidos na minimização de custos

de disponibilização de recursos e de tempo ocioso total dos caminhões.

2.2 JOB SHOP

Segundo Beemsterboer et al. (2017) a oferta de produtos diferenciados é

fundamental para a sobrevivência de muitas empresas. Neste sentido, o job shop

apresenta grande relevância por ser um ambiente de manufatura que possibilita

grande variedade de produção, com os pedidos passando por diferentes rotas e em

máquinas com propósitos diferentes. Muitos produtos manufaturados neste

ambiente são únicos em função da política de tratamento da demanda make-to-

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order, isto é, o processo produtivo de um item se inicia somente após a efetivação

do pedido pelo cliente.

De acordo com Pinedo (2016) o job shop é um ambiente de produção onde

há um conjunto finito M de m máquinas e que cada tarefa, de um conjunto J, possui

uma rota predeterminada a seguir. Para cada tarefa j ∈ J é dada uma lista

(𝜎1𝑗,...,𝜎ℎ

𝑗, … , 𝜎𝑚

𝑗) de máquinas que representa a sequência de processamento da

tarefa j. Dessa forma, tem-se que 𝜎ℎ𝑗 é a h-ésima operação da tarefa j, enquanto 𝜎𝑚

𝑗é

a última operação da tarefa j, isto é, a última máquina em que a tarefa j é

processada. Nos casos em que uma tarefa precisa visitar uma máquina mais de uma

vez, atribui-se ao job shop a característica de recirculação. Além disso, para cada

tarefa j e cada máquina i é dado um tempo de processamento 𝑝𝑖𝑗que assume valores

inteiros não negativos.

O problema de sequenciamento de job shop apresenta diferentes

formulações na literatura. Manne (1960) propôs um modelo com restrições

disjuntivas e uma constante com valor relativo alto. Liao e You (1992) adicionaram

variáveis contínuas de excesso ao modelo disjuntivo de Manne com o objetivo de

aumentar o desempenho da resolução do problema. Bowman (1959) e Kondili,

Pantelides e Sargent (1993) desenvolveram um modelo com variáveis indexadas no

tempo, enquanto Wagner (1959) elaborou um modelo baseado nas posições das

máquinas.

Ku e Beck (2016) realizaram extensivos testes e análises computacionais

para definir qual modelo apresentava o melhor desempenho na resolução de

problemas para minimização do makespan. Neste estudo, cada máquina era capaz

de processar somente uma tarefa por vez e, uma vez iniciado o processamento de

uma tarefa em uma máquina, não poderia haver interrupções. Os pesquisadores

concluíram que o modelo disjuntivo proposto por Manne em 1960 é amplamente

mais eficiente que os demais. Problemas com instâncias de tamanho moderado, isto

é, com 15 tarefas e 15 máquinas podem ser resolvidos, se formulados com as

restrições disjuntivas de Manne, na média, em pouco mais de 15 minutos.

Problemas com instâncias menores, abaixo de 12 tarefas e 12 máquinas, podem ser

resolvidos praticamente de forma instantânea.

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O modelo disjuntivo de Manne será chamado de modelo disjuntivo original

neste trabalho. Essa formulação possui as seguintes variáveis de decisão:

𝑠𝑖𝑗: variável contínua que representa o tempo de início da tarefa j na

máquina i;

𝑧𝑖𝑗𝑘: variável binária que assume o valor 1 quando a tarefa j precede a

tarefa k na máquina i.

A seguir, a formulação do modelo pode ser observada:

Min 𝐶𝑚𝑎𝑥 (1)

Sujeito a

𝑠𝜎ℎ

𝑗,𝑗

≥ 𝑠𝜎ℎ−1

𝑗,𝑗

+ 𝑝𝜎ℎ−1

𝑗,𝑗, ∀𝑗 ∈ 𝐽, ℎ = 2, … , 𝑚 (2)

𝑠𝑖𝑗 ≥ 𝑠𝑖𝑘 + 𝑝𝑖𝑘 − 𝑉. 𝑧𝑖𝑗𝑘, ∀𝑗, 𝑘 ∈ 𝐽, 𝑗 < 𝑘, ∀𝑖 ∈ 𝑀 (3)

𝑠𝑖𝑘 ≥ 𝑠𝑖𝑗 + 𝑝𝑖𝑗 − 𝑉. (1 − 𝑧𝑖𝑗𝑘), ∀𝑗, 𝑘 ∈ 𝐽, 𝑗 < 𝑘, ∀𝑖 ∈ 𝑀 (4)

𝐶𝑚𝑎𝑥 ≥ 𝑠𝜎𝑚

𝑗,𝑗

+ 𝑝𝜎𝑚

𝑗,𝑗, ∀𝑗 ∈ 𝐽 (5)

𝑠𝑖𝑗 ≥ 0, ∀𝑗 ∈ 𝐽, ∀𝑖 ∈ 𝑀 (6)

𝑧𝑖𝑗𝑘 ∈ {0,1), ∀𝑗, 𝑘 ∈ 𝐽, ∀𝑖 ∈ 𝑀 (7)

A função objetivo do modelo, que consiste em minimizar o makespan do

problema, está definida em (1). As Equações (2) são as restrições de precedência e

têm a função de assegurar que as operações das tarefas sejam executadas na

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ordem preestabelecida. As Equações (3) e (4) são as restrições disjuntivas e são

responsáveis por garantir que somente uma tarefa é alocada em uma máquina de

cada vez. Para que as Restrições (3) e (4) estejam corretas e funcionem

adequadamente, é necessário que V seja um valor grande o suficiente. Na versão de

Ku e Beck (2016), definiu-se que 𝑉 = ∑ ∑ 𝑝𝑖𝑗𝑖∈𝑀𝑗∈𝐽 , pois o tempo de conclusão de

qualquer operação não pode ser maior que o somatório do tempo de processamento

de todas as operações. As Restrições (5) expressam que o makespan deve ser no

mínimo igual ao maior tempo de conclusão das últimas operações de todos as

tarefas. As Restrições (6) definem que os tempos de início de cada tarefa são

maiores ou iguais a zero. As Restrições (7) garantem a característica binária das

variáveis utilizadas nas restrições disjuntivas. Pan (1997) complementa que essas

variáveis estabelecem uma relação “um ou outro” para as restrições de não

interferência em máquinas individuais.

Liao e You (1992) propuseram uma nova versão do modelo disjuntivo ao

adicionar variáveis contínuas de excesso às Restrições (3). Dessa forma, as

Restrições (3) e (4) passam a ser escritas como:

𝑉. 𝑧𝑖𝑗𝑘 + (𝑠𝑖𝑗 − 𝑠𝑖𝑘) − 𝑝𝑖𝑘 = 𝑞𝑖𝑗𝑘, ∀𝑗, 𝑘 ∈ 𝐽, 𝑗 < 𝑘, ∀𝑖 ∈ 𝑀 (8)

𝑞𝑖𝑗𝑘 ≤ 𝑉 − 𝑝𝑖𝑗 − 𝑝𝑖𝑘, ∀𝑗, 𝑘 ∈ 𝐽, 𝑗 < 𝑘, ∀𝑖 ∈ 𝑀 (9)

Outra formulação analisada no estudo de Ku e Beck (2016) foi a com

variáveis indexadas no tempo proposta inicialmente por Kondili, Pantelides e

Sargent em um simpósio em Sydney, Austrália no ano de 1988, após

desenvolvimentos da formulação original introduzida por Bowman em 1959. Neste

trabalho, a formulação desenvolvida pelo trio será chamada de modelo de Kondili

original. A variável de decisão deste modelo é 𝑥𝑖𝑗𝑡, que é binária e tem valor igual a

1, se a tarefa j começa seu processamento na máquina i no tempo t. O conjunto 𝑈 é

definido como {1, … , 𝐻}, onde H indica o horizonte de tempo, ou seja, o maior tempo

em que uma tarefa pode começar seu processamento, sem o risco de perder a

solução ótima. O modelo matemático pode ser observado a seguir:

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36

Min 𝐶𝑚𝑎𝑥 (10)

Sujeito a

∑ 𝑥𝑖𝑗𝑡 = 1

𝑡∈𝑈

, ∀𝑗 ∈ 𝐽, ∀𝑖 ∈ 𝑀 (11)

∑(𝑡 + 𝑝𝑖𝑗). 𝑥𝑖𝑗𝑡 ≤ 𝐶𝑚𝑎𝑥,

𝑡∈𝑈

∀𝑗 ∈ 𝐽, ∀𝑖 ∈ 𝑀 (12)

∑ ∑ 𝑥𝑖𝑗𝑡 ≤ 1

𝑡∈𝑇𝑖𝑗𝑡𝑗∈𝐽

,

∀𝑖 ∈ 𝑀, 𝑡 ∈

𝑈, 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑇𝑖𝑗𝑡 = {𝑡 −

𝑝𝑖𝑗 + 1, … , 𝑡}

(13)

∑ (𝑡 + 𝑝𝜎ℎ−1

𝑗,𝑗

) . 𝑥𝜎ℎ−1

𝑗,𝑗𝑡

≤ ∑ 𝑡. 𝑥𝜎ℎ

𝑗,𝑗𝑡

𝑡∈𝑈𝑡∈𝑈

, ∀𝑗 ∈ 𝐽, ℎ = 2, … , 𝑚 (14)

𝑥𝑖𝑗𝑡 ∈ {0,1} ∀𝑖 ∈ 𝑀, ∀𝑗 ∈ 𝐽, ∀𝑡 ∈ 𝑈 (15)

A função objetivo está declarada em (10). As Restrições (11) garantem que

cada tarefa comece exatamente uma única vez em cada máquina. As Equações (12)

asseguram que o makespan é no mínimo equivalente ao tempo de conclusão mais

longo da última operação de todas as tarefas. As Restrições (13) fazem com que as

capacidades das máquinas sejam respeitadas ao longo de todo o período. As

Restrições (14) são responsáveis por manter a ordem das operações de cada tarefa

conforme definição prévia. As Restrições (15) impõem que a variável de decisão

seja binária.

O modelo de Wagner (1959) também foi analisado nos estudos de Ku e

Beck (2016) e baseia-se na alocação das tarefas em posições das máquinas. As

variáveis de decisão dessa formulação podem ser observadas a seguir:

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𝑥𝑖𝑗𝑘: variável binária que tem valor 1, se a tarefa j é sequenciada na k-

ésima posição da máquina i;

ℎ𝑖𝑘: representa o tempo de início do processamento da tarefa na k-

ésima posição da máquina i.

O modelo matemático define-se da seguinte forma:

Min 𝐶𝑚𝑎𝑥 (16)

Sujeito a

∑ 𝑥𝑖𝑗𝑘 = 1

𝑗∈𝐽

, ∀𝑖 ∈ 𝑀, ℎ = 1, … 𝑛 (17)

∑ 𝑥𝑖𝑗𝑘 = 1

𝑛

𝑘=1

, ∀𝑖 ∈ 𝑀, ∀𝑗 ∈ 𝐽 (18)

ℎ𝑖𝑘 + ∑ 𝑝𝑖𝑗𝑥𝑖𝑗𝑘 ≤ ℎ𝑖,𝑘+1,

𝑗∈𝐽

∀𝑗 ∈ 𝐽, ∀𝑖 ∈ 𝑀 (19)

∑ 𝑟𝑖𝑗𝑙ℎ𝑖𝑘 + ∑ 𝑟𝑖𝑗𝑙𝑝𝑖𝑗 ≤𝑖∈𝑀𝑖∈𝑀 𝑉. (1 −

∑ 𝑟𝑖𝑗𝑙𝑥𝑖𝑗𝑘)𝑖∈𝑀 + 𝑉. (1 − ∑ 𝑟𝑖𝑗,𝑙+1𝑥𝑖𝑗𝑘′) +𝑖∈𝑀

∑ 𝑟𝑖𝑗,𝑙+1ℎ𝑖𝑘′𝑖∈𝑀 ,

∀𝑖 ∈ 𝑀, ∀𝑗 ∈ 𝐽

𝑘, 𝑘′ = 1, … , 𝑛

𝑙 = 1, … , 𝑚 − 1

(20)

ℎ𝑖𝑛 + ∑ 𝑝𝑖𝑗𝑥𝑖𝑗𝑛 ≤ 𝐶𝑚𝑎𝑥,

𝑗∈𝐽

∀𝑖 ∈ 𝑀 (21)

ℎ𝑖𝑘 ≥ 0, ∀𝑖 ∈ 𝑀, 𝑘 = 1, … , 𝑛 (22)

𝑥𝑖𝑗𝑘 ∈ {0,1}, ∀𝑖 ∈ 𝑀, ∀𝑗 ∈ 𝐽, 𝑘 = 1, … , 𝑛 (23)

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O parâmetro 𝑟𝑖𝑗𝑘 é igual a 1, se a k-ésima operação da tarefa j for

processada na máquina i e 0, caso contrário. A função objetivo é declarada em (16).

As Restrições (17) garantem que cada posição em cada máquina é reservada

somente para uma tarefa. As Restrições (18) impõem que cada tarefa ocupe

somente uma posição em uma máquina. As Restrições (19) declaram que o tempo

de início de uma tarefa em uma máquina deve ser maior que o tempo de finalização

da tarefa alocada na posição anterior. As Restrições (20) são responsáveis por

manter a ordem de precedência conforme estabelecido. As Restrições (21) fazem

com que o makespan seja, no mínimo, igual ao maior tempo de finalização da última

tarefa de todas as máquinas. As Equações (22) definem que os tempos de início de

todas as tarefas em todas as posições das máquinas são maiores ou iguais a zero.

As Restrições (23) conferem a característica binária à variável que indica se a tarefa

j é sequenciada na k-ésima posição da máquina i.

2.3 PROBLEMA DE FLUXO EM REDE

Problemas de fluxos em rede são uma das mais importantes e mais

recorrentes classes de problemas de otimização. Eles surgem em decorrência da

análise e do projeto de grandes sistemas como de comunicação, transporte e redes

de manufatura. Ahuja, Magnanti e Orlin (1993) complementam essa visão ao

afirmarem que modelos baseados em fluxos em rede aparecem em quase todas as

indústrias, como agricultura, comunicação, defesa, educação, energia, saúde,

manufatura, medicina, varejo e transporte. Também possuem grande relevância por

serem utilizados para modelagem de classes importantes de problemas

combinatórios como de atribuição, caminho mais curto e caixeiro viajante

(BERTSEKAS, 1998).

Mazraeh Farahani et al. (2018) desenvolveram um modelo de programação

linear inteira mista para resolução do problema de evacuação-localização, aplicável

em ocasiões de logística emergencial. O modelo combina decisões de localização

com o problema do fluxo máximo com o objetivo de selecionar destinos seguros que

sejam capaz de maximizar o número de pessoas deslocadas em um desastre ou

evento de calamidade.

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Em um cenário de escassez de investimentos em plantas de biogás na

Dinamarca, Jensen, Münster e Pisinger (2017) elaboraram um modelo de

programação linear inteira mista para determinar a produção ótima e o plano de

investimentos em uma cadeia de suprimentos de biogás de modo a garantir o

melhor retorno para toda a cadeia. O problema é resolvido utilizando um modelo de

fluxo em rede cujo lado de entrada apresenta um espaço de tempo, processo e

conteúdo energético e o lado de saída apresenta um espaço de tempo e processo.

Isto é, no lado da entrada, o modelo deve ter mapeado a massa e o conteúdo

energético ao longo do tempo. A massa é necessária para o dimensionamento dos

processos e da quantidade de digestato, enquanto o conteúdo de energia deve ser

usado para calcular o rendimento do biogás para a saída. No lado da saída, é

necessário apenas ter mapeado a quantidade de metros cúbicos de biogás

disponível ao longo do tempo.

Venkatadri, Elaskari, Kurdi (2017) desenvolveram uma formulação baseada

em fluxo em rede multi-commodity para o problema de formação de células

multiperíodo, bastante relevante para área de projetos e planejamento de

instalações. O modelo proposto pelos pesquisadores visa minimizar o custo total de

aquisição, disposição e realocação de máquinas, fabricação e manuseio de

materiais entre células e dentro da célula.

Scheffler e Strehler (2016) apresentam em seu estudo uma formulação de

programação linear inteira mista que visa otimizar simultaneamente a sincronização

de sinais de trânsito e a alocação de tráfego em megaeventos programados, como

jogos de futebol e shows. Os pesquisadores utilizaram uma extensão de um modelo

de fluxo em rede de tempo expandido ciclicamente.

Problemas de fluxos em rede podem ser entendidos como uma composição

de pontos de suprimento e demanda, conectados por um número de rotas

responsáveis pela transferência do que está sendo fornecido para onde será

consumido ou recebido. Os pontos de fornecimento e demanda podem ser

modelados como nós ou vértices de um grafo, enquanto as rotas podem ser

definidas como arestas ou arcos de um grafo.

Segundo Bertsimas e Tsitsiklis (1997) um grafo orientado, 𝐺 = (𝑁, 𝐴),

consiste em um conjunto N de nós e um conjunto A de pares de nós diferentes de N

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chamados arcos. Denota-se como N o número de nós e A o número de arcos e

assume-se que 1 ≤ 𝑁 ≤ ∞ e 0 ≤ 𝐴 ≤ ∞. Um arco (𝑖, 𝑗) é tido como um par

ordenado, assim se diferenciando do arco (𝑗, 𝑖). No caso do par (𝑖, 𝑗) é dito que o

arco sai de i e entra em j . O grau de um nó i é o número de arcos incidentes em i.

O caminho P em um grafo orientado é a sequência de nós (𝑛1, 𝑛2, … , 𝑛𝑘) com

𝑘 ≥ 2 e uma sequência correspondente de k-1 arcos. O i-ésimo arco na sequência é

(𝑛𝑖, 𝑛𝑖+1), neste caso chamado de arco progressivo, ou (𝑛𝑖+1, 𝑛𝑖), conhecido como

arco regressivo (BERTSEKAS, 1998).

Bertsekas (1998) menciona que em muitas aplicações envolvendo grafos é

útil introduzir uma variável que meça a quantidade que flui através de cada arco. O

pesquisador cita exemplos de fluxos como corrente elétrica em um circuito elétrico

ou o fluxo de água em uma rede hidráulica. Refere-se a essa variável como fluxo de

um arco e denota-se como 𝑥𝑖𝑗, sendo um escalar e número real.

2.3.1 Problema do fluxo de custo mínimo

O problema do fluxo de custo mínimo tem como objetivo achar um conjunto

de fluxos de arco que minimize uma função de custo linear sujeita às restrições que

produzem um determinado vetor de divergência e que permaneçam dentro de

alguns limites. A formulação do problema pode ser observada a seguir:

Min ∑ 𝑐𝑖𝑗𝑥𝑖𝑗(𝑖,𝑗)∈𝐴 (24)

Sujeito a

∑ 𝑥𝑖𝑗 − ∑ 𝑥𝑗𝑖 = 𝑠𝑖{𝑗|(𝑗,𝑖)∈𝐴}{𝑗|(𝑖,𝑗)𝜖𝐴} , ∀𝑖 ∈ 𝑁 (25)

𝑎𝑖𝑗 ≤ 𝑥𝑖𝑗 ≤ 𝑏𝑖𝑗, ∀(𝑖, 𝑗) ∈ 𝐴 (26)

Onde 𝑎𝑖𝑗, 𝑏𝑖𝑗, 𝑐𝑖𝑗 e 𝑠𝑖são escalares. A seguir a descrição das constantes

utilizadas:

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𝑐𝑖𝑗: coeficiente de custo de (i,j);

𝑎𝑖𝑗 e 𝑏𝑖𝑗: os limites de fluxo de (i,j);

[𝑎𝑖𝑗, 𝑏𝑖𝑗]: intervalo viável de fluxo de (i,j);

𝑠𝑖: o suprimento do nó i. Quando 𝑠𝑖 é negativo, o escalar -𝑠𝑖 é

chamado de demanda de i;

A função objetivo está declarada em (24). As Restrições (25) são chamadas

de restrições de conservação de fluxo, enquanto as Restrições (26) são conhecidas

como restrições de capacidade.

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3 FORMULAÇÃO DE PI PARA O PROBLEMA DE

SEQUENCIAMENTO DE JOB SHOP

3.1 INTRODUÇÃO

Resolver o problema de sequenciamento de job shop consiste em programar

o processamento de um conjunto de tarefas em um conjunto de máquinas. Nesse

ambiente, cada tarefa possui uma rota predeterminada de operações nas máquinas

que precisa ser cumprida. Esse tipo de problema tornou-se amplamente estudado

devido à sua grande aplicação em diversas áreas do conhecimento. Além disso,

ficou ainda mais conhecido em função de sua complexidade, uma vez que é

classificado como NP-difícil. Isso significa que os algoritmos desenvolvidos para

resolver este problema podem levar um tempo exponencial para encontrar uma

solução.

A relevância do job shop para a engenharia, ciência da computação, ciência

da decisão, matemática, gerenciamento de operações, entre outras áreas, pode ser

constatada por pesquisas recentes. Gran et al. (2015) demonstraram que o modelo

proposto para resolução do problema de sequenciamento de job shop flexível

baseado em programação por meta inteira mista multiobjetivo é competitivo em

comparação com métodos metaheurísticos largamente utilizados.

Kusuma e Maruf (2016) elaboraram um modelo de programação linear

inteira para resolver o problema de sequenciamento de job shop com máquinas de

prensa não idênticas e minimizar o atraso total. A principal restrição do modelo é que

as tarefas apresentam datas de entrega fixas. Os resultados da pesquisa apontam

que, no melhor cenário, foram necessárias 14 máquinas das 59 existentes para

escalonar 70 tarefas com quatro datas de entrega. Esse cenário foi resolvido em 13

segundos, não apresentou nenhum atraso e aumentou a taxa de utilização das

máquinas para 89% em comparação com os 71% de utilização da operação

convencional com as 59 máquinas iniciais.

Lange e Werner (2017) modelaram um problema de programação de trens

como um problema de sequenciamento de job shop com restrições de bloqueio.

Restrições como essa se referem às situações em que um trem precisa ocupar um

trecho mais tempo do que o necessário até que o próximo trecho a ser seguido

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esteja liberado para passagem. Quatro formulações de programação inteira mista

foram desenvolvidas e comparadas em um estudo computacional que levou em

consideração instâncias difíceis de até 20 tarefas e 11 máquinas. Os modelos

propostos apresentam boa eficiência para a resolução de instâncias não tão

extensas.

O restante do capítulo é organizado como exposto a seguir. A Seção 3.2

apresenta a metodologia da pesquisa e a Seção 3.3 traz a formulação proposta para

resolver o problema de sequenciamento de job shop. A Seção 3.4 fornece um

exemplo ilustrativo de resolução de uma instância simples e a Seção 3.5 introduz as

formulações de referência para os testes de comparação. Por fim, a Seção 3.6

destina-se à discussão de resultados.

3.2 METODOLOGIA DA PESQUISA

A base metodológica deste capítulo pode ser esquematizada conforme a

Figura 4:

Figura 4 – Etapas da metodologia da pesquisa para o problema de sequenciamento de job shop

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As diferentes fases podem ser detalhadas conforme as próximas

subseções.

3.2.1 Levantamento e análise das melhores formulações

O levantamento e análise das melhores formulações consistiu na busca de

artigos recentes que tratassem da resolução do problema de sequenciamento de job

shop. Foi possível observar que a maioria das técnicas empregadas atualmente tem

como fim o sequenciamento das tarefas para minimizar o makespan. Em função

disso, foi preciso adaptar as formulações para o caso em que se procura minimizar o

atraso total ponderado antes de estudá-las.

3.2.2 Identificação e implementação de oportunidades de melhoria

Após análise das formulações, algumas estratégias para resolução de

problemas com programação inteira foram estudadas e a aplicabilidade nos modelos

já existentes foi avaliada. O foco das melhorias foi a formulação com variáveis

indexadas no tempo e a estratégica adotada para aumentar o desempenho deste

modelo foi a introdução do fluxo em rede nas restrições responsáveis por garantir

que uma determinada máquina não fique sobrecarregada em nenhum momento e

por assegurar que as operações de uma dada tarefa sejam executadas na ordem

definida.

3.2.3 Realização de testes com a nova formulação e as de referência

Os testes realizados têm como objetivo mensurar o desempenho de quatro

formulações aplicadas para resolução do problema de sequenciamento de job shop

para o caso em que o objetivo é minimizar o atraso total ponderado. Os modelos

avaliados são: o modelo disjuntivo adaptado, o modelo de Kondili adaptado, o

modelo de kondili adaptado e revisado e o novo modelo.

Para medição do desempenho dessas formulações foram propostas

instâncias com sequências de máquinas pseudoaleatórias e com tempos de

processamento também pseudoaleatórios variando entre 1 e 5 e 1 e 10 unidades de

tempo (UT). Para isso, foi utilizado um algoritmo gerador de números

pseudoaleatórios inicializado por diferentes valores inteiros maiores ou iguais a 1,

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chamados de sementes (seeds). As sementes permitem que as sequências de

números pseudoaleatórios geradas sejam recuperadas e reutilizadas em outros

testes.

O tempo limite adotado para resolução do problema foi de 3.600 segundos.

O prazo de finalização adotado foi igual a zero e o peso igual a um para todas as

tarefas. Os tamanhos das instâncias, ou seja, o número de máquinas e tarefas do

problema foram os mesmos usados no estudo conduzido por Ku e Beck (2016). A

Tabela 1 apresenta o tamanho das instâncias utilizadas:

Tabela 1 – Tamanho das instâncias adotadas na metodologia de pesquisa

Número de tarefas

Número de máquinas

3 3

4 3

5 3

3 6

3 8

3 10

5 5

8 8

10 10

12 12

15 15

20 15

A definição do horizonte de tempo para resolução das instâncias pelas

formulações com variáveis indexadas no tempo foi realizada com base nas soluções

ótimas apresentadas pelo modelo disjuntivo adaptado. Assim, o instante mais tarde

em que uma tarefa dos modelos de Kondili adaptado, de Kondili adaptado e revisado

e do novo modele pode começar seu processamento, sem o risco de perder a

solução ótima, é calculado a partir do tempo de conclusão da última tarefa do

modelo disjuntivo adaptado. Isso implica que os testes para esses três modelos só

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foram realizados para as instâncias cujo modelo disjuntivo adaptado foi capaz de

encontrar uma solução ótima em até 3.600 segundos.

Os modelos testados foram implementados usando o UFFLP, que consiste

em uma biblioteca de funções para interface entre linguagens de programação e

resolvedores de programação inteira mista. Pessoa e Uchoa (2011) complementam

que o UFFLP é uma Dynamic Link Library (DLL) que pode ser chamada de

programas escritos em Visual Basic for Applications (VBA) ou de programas em

C/C++ a partir do Windows ou do Linux. Ainda segundo os autores, algumas

funcionalidades do UFFLP são:

Referência a variáveis e restrições do modelo pelos seus nomes (strings);

Integração com heurísticas e rotinas de geração de cortes chamadas por

meio de callbacks em VBA ou em C/C++;

Opção de utilização dos resolvedores Coin-CBC e CPLEX. O primeiro é

aberto e gratuito, enquanto o segundo é fechado e gratuito somente para

aplicações acadêmicas;

Gratuidade e abertura do código fonte;

A linguagem de programação escolhida foi o VBA. O resolvedor adotado na

pesquisa foi o CPLEX Optimization versão 12.7.0 e todos os oitos processadores

lógicos disponíveis foram utilizados. A decisão em utilizar o CPLEX foi tomada em

função dos bons resultados encontrados por Ku e Beck (2016) em comparação com

os resolvedores GUROBI e SCIP, além da facilidade de integração com o UFFLP.

Os experimentos foram realizados em um computador com as seguintes

configurações:

Processador: Intel® Core ™ i7-4970 CPU @ 3.60 GHz;

Memória instalada (RAM): 16 GB;

Tipo de sistema: Sistema Operacional Windows 10 de 64 bits.

3.2.4 Comparação dos resultados obtidos

A garantia de que as condições de teste para todos os modelos estudados

nesta pesquisa foram respeitadas é fundamental para que a comparação de

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47

resultados seja bem sucedida. Dessa forma, todas as saídas geradas pelos testes

com as quatro formulações estudadas (modelo disjuntivo adaptado, modelo de

Kondili adaptado, modelo de kondili adaptado e revisado e novo modelo) puderam

ser analisadas, permitindo a definição do melhor modelo de resolução do problema

de job shop para minimizar o atraso total ponderado em função dos diferentes

cenários.

3.3 MODELO MATEMÁTICO

O novo método exato proposto neste estudo para resolver o problema de

sequenciamento de job shop com o objetivo de minimizar o atraso total ponderado é

baseado no modelo de Kondili com variáveis indexadas no tempo e na estratégia de

fluxo em rede. A nova formulação proposta será chamada, neste trabalho, de o

novo modelo e apresenta três variáveis de decisão, conforme a seguir:

𝑥𝑖𝑗𝑡: variável binária que assume o valor igual a 1, caso a tarefa j

comece na máquina i no instante t;

𝑓𝑖𝑡: variável binária que se iguala a 1, quando a máquina i permanece

ociosa no período t.

𝑒𝑖𝑗𝑡: variável binária que é igual a 1, se a tarefa j já terminou na

máquina anterior, mas ainda não começou na máquina i no momento

t.

Min ∑ ∑ 𝑤𝑗. max {𝑡 + 𝑝𝜎𝑚

𝑗,𝑗

− 𝑑𝑗 , 0} . 𝑥𝜎𝑚

𝑗,𝑗𝑡𝑡∈𝑈

𝜎𝑚𝑗

,𝑗𝑗∈𝐽 (27)

Sujeito a

∑ 𝑥𝑖𝑗,𝑡−𝑝𝑖𝑗+

𝑗∈𝐽

𝑓𝑖,𝑡−1 − ∑ 𝑥𝑖𝑗𝑡 −

𝑗∈𝐽

𝑓𝑖𝑡 = −1, ∀𝑖 ∈ 𝑀, 𝑡 = 1 (28)

∑ 𝑥𝑖𝑗,𝑡−𝑝𝑖𝑗+

𝑗∈𝐽

𝑓𝑖,𝑡−1 − ∑ 𝑥𝑖𝑗𝑡 −

𝑗∈𝐽

𝑓𝑖𝑡 = 0, ∀𝑖 ∈ 𝑀, 𝑡 ∈ 𝑈 − {1} (29)

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48

𝑥𝜎ℎ−1

𝑗,𝑗,𝑡−𝑝

𝜎ℎ−1𝑗

,𝑗

+ 𝑒𝜎ℎ

𝑗,𝑗,𝑡−1

− 𝑥𝜎ℎ

𝑗,𝑗𝑡

− 𝑒𝜎ℎ

𝑗,𝑗𝑡

= −1, ∀𝑗 ∈ 𝐽, 𝑡 = 1, ℎ = 1 (30)

𝑥𝜎ℎ−1

𝑗,𝑗,𝑡−𝑝

𝜎ℎ−1𝑗

,𝑗

+ 𝑒𝜎ℎ

𝑗,𝑗,𝑡−1

− 𝑥𝜎ℎ

𝑗,𝑗𝑡

− 𝑒𝜎ℎ

𝑗,𝑗𝑡

= 0, ∀𝑗 ∈ 𝐽, 𝑡 ∈ 𝑈 − {1}, ℎ

= 1, … , 𝑚 (31)

𝑥𝜎ℎ−1

𝑗,𝑗,𝑡−𝑝

𝜎ℎ−1𝑗

,𝑗

+ 𝑒𝜎ℎ

𝑗,𝑗,𝑡−1

− 𝑥𝜎ℎ

𝑗,𝑗𝑡

− 𝑒𝜎ℎ

𝑗,𝑗𝑡

= 0, ∀𝑗 ∈ 𝐽, ∀𝑡 ∈ 𝑈, ℎ = 2, … , 𝑚 (32)

𝑥𝑖𝑗𝑡 ∈ {0,1}, ∀𝑖 ∈ 𝑀, ∀𝑗 ∈ 𝐽, ∀𝑡 ∈ 𝑈 (33)

𝑓𝑖𝑡 ∈ {0,1}, ∀𝑖 ∈ 𝑀, ∀𝑡 ∈ 𝑈 (34)

𝑒𝑖𝑗𝑡 ∈ {0,1}, ∀𝑖 ∈ 𝑀, ∀𝑗 ∈ 𝐽, ∀𝑡 ∈ 𝑈 (35)

O conjunto 𝑈 é definido como {1, … , 𝐻} e 𝑈𝑖𝑗 ⊂ 𝑈 contém os tempos em que

a tarefa j pode efetivamente começar sua operação na máquina i sem exceder o

tempo H definido, uma vez que a tarefa j também precisa ser executada em

máquinas antes e/ou depois de i.

A função objetivo, neste caso a de minimizar o atraso total ponderado, está

declarada em (27). A Restrições (28) e (29) são os fluxos em rede que asseguram

que a máquina i não fica sobrecarregada em nenhum instante. As Restrições (30) a

(32) garantem que as precedências sejam respeitadas, isto é, garantem que as

operações de uma tarefa j sejam executadas na sequência determinada. As

Restrições (33) a (35) definem as variáveis de decisão como binárias.

Os esquemas a seguir são representações das duas restrições, capacidade

de máquina e precedência, modeladas como fluxos em rede e propostas no novo

modelo:

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49

Figura 5 – Representação esquemática das Restrições (28) e (29) relativas à capacidade das máquinas

Figura 6 – Representação esquemática das Restrições (30) a (32) relativas à ordem de precedência das tarefas

3.4 EXEMPLO ILUSTRATIVO

Para melhor compreensão do novo modelo é apresentada a resolução de

uma instância e o esboço dos fluxos em rede das restrições. O problema escolhido

tem tamanho 3 x 3, isto é, 3 tarefas e 3 máquinas, horizonte de tempo (H) igual a 9 e

possui os seguintes tempos de processamento e ordens de precedência:

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50

Tabela 2 – Tempos de processamento das tarefas nas máquinas do exemplo

Tarefas | Máquinas 1 2 3

1 1 2 2

2 1 2 2

3 2 1 4

Tabela 3 – Sequência das máquinas de cada tarefa do exemplo

Tarefas | Sequência 1ª Máquina 2ª Máquina 3ª Máquina

1 1 2 3

2 1 3 2

3 2 1 3

O valor da solução ótima encontrada é igual a 21. Os valores das variáveis

de decisão e o diagrama de Gantt com o sequenciamento referente à solução ótima

podem ser observados na Tabela 4 e na Figura 7, respectivamente:

Tabela 4 – Valores das variáveis de decisão da solução ótima do exemplo

Variável de decisão

Resultado

f_1_4 1

f_1_6 1

f_1_7 1

f_1_8 1

f_1_9 1

f_2_2 1

f_2_3 1

f_2_8 1

f_2_9 1

f_3_1 1

e_1_1_1 1

e_1_1_2 1

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51

e_1_1_3 1

e_1_1_4 1

x_1_1_5 1

x_1_2_1 1

x_1_3_2 1

x_2_1_6 1

x_2_2_4 1

x_2_3_1 1

x_3_1_8 1

x_3_2_2 1

x_3_3_4 1

Figura 7 – Diagrama de Gantt da solução ótima do exemplo

Os esquemas dos fluxos em rede das restrições de capacidade de máquina

e precedência para as três tarefas podem ser observados a seguir:

Máquina 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

2

3

Legenda

Tarefa 1

Tarefa 2

Tarefa 3

Tempo

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52

Figura 8 – Esquema representativo dos fluxos em rede das restrições de capacidade de máquina do exemplo

Figura 9 – Esquema representativo do fluxo em rede da restrição de precedência da tarefa 1 do exemplo

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53

Figura 10 – Esquema representativo do fluxo em rede da restrição de precedência da tarefa 2 do exemplo

Figura 11 – Esquema representativo do fluxo em rede da restrição de precedência da tarefa 3 do exemplo

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54

3.5 FORMULAÇÕES DE REFERÊNCIA PARA OS TESTES

O desempenho do novo modelo foi testado a partir de uma análise

comparativa com outras três formulações com função objetivo de minimizar o atraso

total ponderado:

O modelo disjuntivo adaptado;

O modelo de Kondili adaptado;

O modelo de kondili adaptado e revisado.

O modelo disjuntivo adaptado consiste no modelo disjuntivo de Manne

adaptado ao caso em que a função objetivo é minimizar o atraso total ponderado.

Este modelo apresenta as mesmas variáveis de decisão que a formulação disjuntiva

original, mas introduz novos parâmetros:

𝑑𝑗: prazo em que a tarefa j deve estar finalizada;

𝑤𝑗: peso atribuído à tarefa j;

𝑡𝑗: atraso da tarefa j, calculado como 𝑡𝑗 = max {0, 𝐶𝑗 − 𝑑𝑗}, onde 𝐶𝑗 é o

tempo de conclusão da tarefa j.

Min ∑ 𝑤𝑗𝑡𝑗𝑗∈𝐽 (36)

Sujeito a

𝑠𝜎ℎ

𝑗,𝑗

≥ 𝑠𝜎ℎ−1

𝑗,𝑗

+ 𝑝𝜎ℎ−1

𝑗,𝑗, ∀𝑗 ∈ 𝐽, ℎ = 2, … , 𝑚 (37)

𝑠𝑖𝑗 ≥ 𝑠𝑖𝑘 + 𝑝𝑖𝑘 − 𝑉. 𝑧𝑖𝑗𝑘, ∀𝑗, 𝑘 ∈ 𝐽, 𝑗 < 𝑘, ∀𝑖 ∈ 𝑀 (38)

𝑠𝑖𝑘 ≥ 𝑠𝑖𝑗 + 𝑝𝑖𝑗 − 𝑉. (1 − 𝑧𝑖𝑗𝑘), ∀𝑗, 𝑘 ∈ 𝐽, 𝑗 < 𝑘, ∀𝑖 ∈ 𝑀 (39)

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55

𝑡𝑗 ≥ 𝑠𝜎𝑚

𝑗,𝑗

+ 𝑝𝜎𝑚

𝑗,𝑗

− 𝑑𝑗, ∀𝑗 ∈ 𝐽 (40)

𝑠𝑖𝑗 ≥ 0, ∀𝑗 ∈ 𝐽, ∀𝑖 ∈ 𝑀 (41)

𝑧𝑖𝑗𝑘 ∈ {0,1), ∀𝑗, 𝑘 ∈ 𝐽, ∀𝑖 ∈ 𝑀 (42)

𝑡𝑗 ≥ 0, ∀𝑗 ∈ 𝐽 (43)

A função objetivo está definida em (36). Em relação ao modelo original,

acrescentam-se as Restrições (40) em substituição às Restrições (5). Essas

restrições garantem que o atraso de uma tarefa j seja maior ou igual ao seu tempo

de conclusão menos o seu prazo de finalização. Outra diferença em relação à

versão original com função objetivo para minimizar o makespan é a inclusão das

Restrições (43) que impõem que o atraso de uma tarefa j seja maior ou igual a zero.

O modelo de Kondili adaptado se refere ao modelo com variáveis

indexadas no tempo de Kondili adaptado para minimizar o atraso total ponderado.

Essa formulação apresenta a mesma variável de decisão do modelo de Kondili

original e os parâmetros 𝑑𝑗 e 𝑤𝑗 já introduzidos no modelo disjuntivo adaptado. A

formulação matemática pode ser observada a seguir:

Min ∑ ∑ 𝑤𝑗. max {𝑡 + 𝑝𝜎𝑚

𝑗,𝑗

− 𝑑𝑗 , 0} . 𝑥𝜎𝑚

𝑗,𝑗𝑡𝑡∈𝑈

𝜎𝑚𝑗

,𝑗𝑗∈𝐽 (44)

Sujeito a

∑ 𝑥𝑖𝑗𝑡 = 1

𝑡∈𝑈

, ∀𝑗 ∈ 𝐽, ∀𝑖 ∈ 𝑀 (45)

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56

∑ ∑ 𝑥𝑖𝑗𝑡 ≤ 1

𝑡∈𝑇𝑖𝑗𝑡𝑗∈𝐽

, ∀𝑖 ∈ 𝑀, 𝑡 ∈ 𝑈, 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑇𝑖𝑗𝑡 =

{𝑡 − 𝑝𝑖𝑗 + 1, … , 𝑡} (46)

∑ (𝑡 + 𝑝𝜎ℎ−1

𝑗,𝑗

) . 𝑥𝜎ℎ−1

𝑗,𝑗𝑡

≤ ∑ 𝑡 . 𝑥𝜎ℎ

𝑗,𝑗𝑡

𝑡∈𝑈𝑡∈𝑈

, ∀𝑗 ∈ 𝐽, ℎ = 2, … , 𝑚 (47)

𝑥𝑖𝑗𝑡 ∈ {0,1}, ∀𝑖 ∈ 𝑀, ∀𝑗 ∈ 𝐽, ∀𝑡 ∈ 𝑈 (48)

A função objetivo está declarada em (44) e calcula o somatório dos

resultados não negativos da diferença entre os tempos de conclusão e os prazos

predeterminados. Assim, se o prazo de finalização for maior que o tempo de

conclusão da tarefa, multiplica-se por zero à variável de decisão de forma que o

atraso total ponderado jamais resulte em um valor negativo. As demais restrições

permanecem as mesmas da formulação original.

O modelo de Kondili adaptado e revisado é o modelo com variáveis

indexadas no tempo de Kondili adaptado para minimizar o atraso total ponderado e

modelado com a restrição de precedência na lógica de fluxo em rede. Essa

formulação pode ser observada a seguir:

Min ∑ ∑ 𝑤𝑗. max {𝑡 + 𝑝𝜎𝑚

𝑗,𝑗

− 𝑑𝑗 , 0} . 𝑥𝜎𝑚

𝑗,𝑗𝑡𝑡∈𝑈

𝜎𝑚𝑗

,𝑗𝑗∈𝐽 (49)

Sujeito a

∑ ∑ 𝑥𝑖𝑗𝑡 ≤ 1

𝑡∈𝑇𝑖𝑗𝑡𝑗∈𝐽

, ∀𝑖 ∈ 𝑀, 𝑡 ∈ 𝑈, 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑇𝑖𝑗𝑡 =

{𝑡 − 𝑝𝑖𝑗 + 1, … , 𝑡} (50)

𝑥𝜎ℎ−1

𝑗,𝑗,𝑡−𝑝

𝜎ℎ−1𝑗

,𝑗

+ 𝑒𝜎ℎ

𝑗,𝑗,𝑡−1

− 𝑥𝜎ℎ

𝑗,𝑗𝑡

− 𝑒𝜎ℎ

𝑗,𝑗𝑡

= −1, ∀𝑗 ∈ 𝐽, 𝑡 = 1, ℎ = 1 (51)

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57

𝑥𝜎ℎ−1

𝑗,𝑗,𝑡−𝑝

𝜎ℎ−1𝑗

,𝑗

+ 𝑒𝜎ℎ

𝑗,𝑗,𝑡−1

− 𝑥𝜎ℎ

𝑗,𝑗𝑡

− 𝑒𝜎ℎ

𝑗,𝑗𝑡

= 0, ∀𝑗 ∈ 𝐽, 𝑡 ∈ 𝑈 − {1}, ℎ

= 1, … , 𝑚 (52)

𝑥𝜎ℎ−1

𝑗,𝑗,𝑡−𝑝

𝜎ℎ−1𝑗

,𝑗

+ 𝑒𝜎ℎ

𝑗,𝑗,𝑡−1

− 𝑥𝜎ℎ

𝑗,𝑗𝑡

− 𝑒𝜎ℎ

𝑗,𝑗𝑡

= 0, ∀𝑗 ∈ 𝐽, ∀𝑡 ∈ 𝑈, ℎ = 2, … , 𝑚 (53)

𝑥𝑖𝑗𝑡 ∈ {0,1}, ∀𝑖 ∈ 𝑀, ∀𝑗 ∈ 𝐽, ∀𝑡 ∈ 𝑈 (54)

𝑒𝑖𝑗𝑡 ∈ {0,1}, ∀𝑖 ∈ 𝑀, ∀𝑗 ∈ 𝐽, ∀𝑡 ∈ 𝑈 (55)

A função objetivo está definida em (49). Em relação à formulação anterior,

houve substituição das Restrições (46) pelas Restrições (30) a (32).

A análise comparativa não envolveu o modelo de Wagner adaptado para o

caso em que a função objetivo é minimizar o atraso total ponderado, pois essa

formulação não conta com uma variável de decisão que relacione quando uma

tarefa específica começou a ser processada em uma determinada máquina. A

variável ℎ𝑖𝑘 representa o início do processamento de uma tarefa na posição k da

máquina i, porém não define qual tarefa. Isso impossibilita o cálculo do atraso das

tarefas e, consequentemente, do atraso total ponderado.

3.6 DISCUSSÃO DOS RESULTADOS

Nesta seção é apresentada a análise comparativa entre o novo modelo e as

outras três formulações anteriormente descritas:

O modelo disjuntivo adaptado;

O modelo de Kondili adaptado;

O modelo de kondili adaptado e revisado.

Os resultados foram comparados em função dos intervalos de tempo de

processamento definidos de maneira pseudoaleatória para cada tarefa e máquina e

em função do tamanho das instâncias. O desempenho das formulações foi medido

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58

por dois indicadores: média aritmética e média geométrica deslocada. Esta última

medida foi proposta por Ku e Beck (2016) e apresenta menor sensibilidade à

variação dos números do que a média aritmética, o que reduz a influência de outliers

na análise dos dados. Sua fórmula exibida a seguir:

∏(𝑡𝑖 + 𝑠)1/𝑛 − 𝑠 (56)

Onde 𝑡𝑖 é o tempo de resolução, isto é, o tempo no qual o modelo levou até

chegar à solução ótima, n é o número de instâncias resolvidas e s é igual a 10. A

estratégia de somar uma constante aos tempos de resolução é permitir o cálculo das

médias geométricas relativas às instâncias menores, que, na maioria dos casos,

chegam a um resultado ótimo em intervalos de tempo muito curtos.

A seguir podem ser observadas as Tabelas 5, 6, 7 e 8 com os resultados

das quatro formulações que estão sendo comparadas.

Tabela 5 – Resultados do novo modelo

Intervalos dos tempos de

processamento (UT)

Instância (n x m)

Número de rodadas com otimalidade

Média aritmética do

tempo de resolução (s)

Média geométrica

deslocada do tempo de

resolução (s)

[1,5] 3 x 3 10 0,01025 0,01025

[1,5] 3 x 6 10 0,02495 0,02494

[1,5] 3 x 8 10 0,03110 0,03108

[1,5] 3 x 10 10 0,03599 0,03593

[1,5] 4 x 3 10 0,02354 0,02353

[1,5] 5 x 3 10 0,04463 0,04460

[1,5] 5 x 5 10 0,10718 0,10710

[1,5] 8 x 8 10 21,24204 16,66033

[1,5] 10 x 10 5 225,19688 184,13887

[1,5] 12 x 12 0 - -

[1,5] 15 x 15 0 - -

[1,5] 20 x 15 0 - -

[1,10] 3 x 3 10 0,00459 0,00459

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59

[1,10] 3 x 6 10 0,03579 0,03572

[1,10] 3 x 8 10 0,04692 0,04683

[1,10] 3 x 10 10 0,05454 0,05443

[1,10] 4 x 3 10 0,05010 0,04999

[1,10] 5 x 3 10 0,06123 0,06118

[1,10] 5 x 5 10 0,18447 0,18379

[1,10] 8 x 8 10 366,05396 204,72822

[1,10] 10 x 10 2 1.869,06738 1.453,68224

[1,10] 12 x 12 0 - -

[1,10] 15 x 15 0 - -

[1,10] 20 x 15 0 - -

Tabela 6 – Resultados do modelo disjuntivo adaptado

Intervalos dos tempos de

processamento (UT)

Instância (n x m)

Número de rodadas com otimalidade

Média aritmética do

tempo de resolução (s)

Média geométrica

deslocada do tempo de

resolução (s)

[1,5] 3 x 3 10 0,01471 0,01471

[1,5] 3 x 6 10 0,01442 0,01442

[1,5] 3 x 8 10 0,01279 0,01279

[1,5] 3 x 10 10 0,01548 0,01548

[1,5] 4 x 3 10 0,01390 0,01390

[1,5] 5 x 3 10 0,02920 0,02919

[1,5] 5 x 5 10 0,03893 0,03893

[1,5] 8 x 8 10 18,56375 15,75674

[1,5] 10 x 10 5 995,67539 874,00137

[1,5] 12 x 12 0 - -

[1,5] 15 x 15 0 - -

[1,5] 20 x 15 0 - -

[1,10] 3 x 3 10 0,01615 0,01613

[1,10] 3 x 6 10 0,00837 0,00836

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60

[1,10] 3 x 8 10 0,01149 0,01149

[1,10] 3 x 10 10 0,01300 0,01300

[1,10] 4 x 3 10 0,01566 0,01563

[1,10] 5 x 3 10 0,02882 0,02881

[1,10] 5 x 5 10 0,04259 0,04258

[1,10] 8 x 8 10 14,16336 11,71054

[1,10] 10 x 10 5 966,80355 822,76860

[1,10] 12 x 12 0 - -

[1,10] 15 x 15 0 - -

[1,10] 20 x 15 0 - -

Tabela 7 – Resultados do modelo de Kondili adaptado

Intervalos dos tempos de

processamento (UT)

Instância (n x m)

Número de rodadas com otimalidade

Média aritmética do

tempo de resolução (s)

Média geométrica

deslocada do tempo de

resolução (s)

[1,5] 3 x 3 10 0,02695 0,02693

[1,5] 3 x 6 10 0,08652 0,08644

[1,5] 3 x 8 10 0,07402 0,07390

[1,5] 3 x 10 10 0,08496 0,08484

[1,5] 4 x 3 10 0,11016 0,11014

[1,5] 5 x 3 10 0,37656 0,36862

[1,5] 5 x 5 10 0,86758 0,85112

[1,5] 8 x 8 10 104,91191 69,52654

[1,5] 10 x 10 2 1.736,86914 1.661,81459

[1,5] 12 x 12 0 - -

[1,5] 15 x 15 0 - -

[1,5] 20 x 15 0 - -

[1,10] 3 x 3 10 0,04219 0,04216

[1,10] 3 x 6 10 0,16250 0,16138

[1,10] 3 x 8 10 0,22734 0,22478

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61

[1,10] 3 x 10 10 0,23516 0,23329

[1,10] 4 x 3 10 0,21563 0,21382

[1,10] 5 x 3 10 1,18281 1,15637

[1,10] 5 x 5 10 2,02266 1,97336

[1,10] 8 x 8 9 986,55642 739,18695

[1,10] 10 x 10 0 - -

[1,10] 12 x 12 0 - -

[1,10] 15 x 15 0 - -

[1,10] 20 x 15 0 - -

Tabela 8 – Resultados do modelo de kondili adaptado e revisado

Intervalos dos tempos de

processamento (UT)

Instância (n x m)

Número de rodadas com otimalidade

Média aritmética do

tempo de resolução (s)

Média geométrica

deslocada do tempo de

resolução (s)

[1,5] 3 x 3 10 0,00898 0,00898

[1,5] 3 x 6 10 0,01797 0,01797

[1,5] 3 x 8 10 0,02227 0,02226

[1,5] 3 x 10 10 0,02383 0,02382

[1,5] 4 x 3 10 0,02031 0,02031

[1,5] 5 x 3 10 0,04102 0,04097

[1,5] 5 x 5 10 0,06992 0,06984

[1,5] 8 x 8 10 19,65859 15,11455

[1,5] 10 x 10 5 229,98906 203,47480

[1,5] 12 x 12 0 - -

[1,5] 15 x 15 0 - -

[1,5] 20 x 15 0 - -

[1,10] 3 x 3 10 0,01250 0,01250

[1,10] 3 x 6 10 0,03594 0,03588

[1,10] 3 x 8 10 0,04375 0,04367

[1,10] 3 x 10 10 0,04375 0,04370

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[1,10] 4 x 3 10 0,02813 0,02811

[1,10] 5 x 3 10 0,06875 0,06859

[1,10] 5 x 5 10 0,19844 0,19688

[1,10] 8 x 8 10 319,25156 163,56415

[1,10] 10 x 10 3 1.119,55339 1.105,03498

[1,10] 12 x 12 0 - -

[1,10] 15 x 15 0 - -

[1,10] 20 x 15 0 - -

A Tabela 9 sumariza quais modelos foram mais eficientes, isto é, quais

formulações conseguiram resolver cada instância no menor tempo de resolução.

Tabela 9 – Resumo das formulações mais eficientes por instância

Intervalos dos tempos de

processamento (UT)

Instância (n x m)

Modelo mais eficiente

1 – 5 3 x 3 Modelo de Kondili adaptado e revisado

1 – 5 3 x 6 Modelo disjuntivo adaptado

1 – 5 3 x 8 Modelo disjuntivo adaptado

1 – 5 3 x 10 Modelo disjuntivo adaptado

1 – 5 4 x 3 Modelo disjuntivo adaptado

1 – 5 5 x 3 Modelo disjuntivo adaptado

1 – 5 5 x 5 Modelo disjuntivo adaptado

1 – 5 8 x 8 Modelo disjuntivo adaptado

1 – 5 10 x 10 Novo modelo

1 – 5 12 x 12 -

1 – 5 15 x 15 -

1 – 5 20 x 15 -

1 – 10 3 x 3 Novo modelo

1 – 10 3 x 6 Modelo disjuntivo adaptado

1 – 10 3 x 8 Modelo disjuntivo adaptado

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1 – 10 3 x 10 Modelo disjuntivo adaptado

1 – 10 4 x 3 Modelo disjuntivo adaptado

1 – 10 5 x 3 Modelo disjuntivo adaptado

1 – 10 5 x 5 Modelo disjuntivo adaptado

1 – 10 8 x 8 Modelo disjuntivo adaptado

1 – 10 10 x 10 Modelo disjuntivo adaptado

1 – 10 12 x 12 -

1 – 10 15 x 15 -

1 – 10 20 x 15 -

A análise das tabelas com os resultados das quatro formulações

comparadas evidenciou que as médias aritmética e geométrica deslocada dos

tempos de resolução são bem próximas, o que revela pouca dispersão na solução

de diferentes instâncias de mesmo tamanho. Para instâncias maiores, a

variabilidade dos tempos de resolução foi mais alta em comparação com instâncias

menores, pois houve menos soluções ótimas encontradas.

Observa-se pela tabela anterior que à medida que os intervalos de tempo

aumentam, passando de 1 a 5 para 1 a 10 UT, o modelo disjuntivo adaptado se

torna ainda mais competitivo, sendo capaz de resolver o problema de

sequenciamento de job shop mais rapidamente em quase todos os testes com

tempos de processamento entre 1 e 10 UT. Quando as instâncias apresentam

tempo de processamento das tarefas entre o intervalo de 1 a 5 UT e tamanho médio,

isto é, até 5 tarefas e 5 máquinas, o novo modelo, o modelo de kondili adaptado e

revisado e o modelo disjuntivo adaptado são capazes de encontrar uma solução

ótima em até 0,1 segundo. Também nessas condições o modelo disjuntivo adaptado

apresentou uma leve vantagem.

Das 10 rodadas realizadas para resolver instâncias 10 x 10 e com tempos de

processamento entre 1 e 5 UT, o modelo disjuntivo adaptado conseguiu encontrar

uma solução ótima em 50% dos casos. Nessas condições, as formulações com

variáveis indexadas no tempo e com ao menos uma restrição modelada como fluxo

em rede foram quase quatro vezes mais ágeis para encontrar a solução ótima do

que o modelo disjuntivo adaptado.

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Quando o intervalo dos tempos de processamento aumenta para entre 1 e

10 UT, as formulações com variáveis indexadas no tempo perdem muita

competitividade. Uma explicação para isso é que neste tipo de modelo o número de

variáveis de decisão aumenta à medida que o tempo total H definido aumenta,

precisando, assim, de um esforço computacional maior.

Um resultado a ser notado é o ganho de desempenho das formulações com

variáveis indexadas no tempo em função da introdução das restrições modeladas

como fluxos em rede. Para quantificar essa melhoria foi comparada a diminuição do

tempo de resolução das instâncias pelo novo modelo e pelo modelo de Kondili

adaptado e revisado em relação ao modelo de Kondili adaptado. A base de

comparação para os resultados apresentados na Tabela 10 foi a média do tempo

gasto por cada formulação para encontrar a solução ótima das instâncias testadas.

Tabela 10 – Redução do tempo de resolução dos modelos com variáveis indexadas no tempo com alguma restrição como fluxo em rede em comparação ao modelo de kondili

adaptado

Intervalos dos tempos de

processamento (UT)

Instância (n x m)

Modelo de kondili adaptado e revisado

Novo modelo

[1,5] 3 x 3 66,67% 61,96%

[1,5] 3 x 6 79,23% 71,16%

[1,5] 3 x 8 69,92% 57,98%

[1,5] 3 x 10 71,95% 57,64%

[1,5] 4 x 3 81,56% 78,63%

[1,5] 5 x 3 89,11% 88,15%

[1,5] 5 x 5 91,94% 87,65%

[1,5] 8 x 8 81,26% 79,75%

[1,5] 10 x 10 86,76% 87,03%

[1,5] 12 x 12 - -

[1,5] 15 x 15 - -

[1,5] 20 x 15 - -

[1,10] 3 x 3 70,37% 89,12%

[1,10] 3 x 6 77,88% 77,97%

[1,10] 3 x 8 80,76% 79,36%

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[1,10] 3 x 10 81,40% 76,81%

[1,10] 4 x 3 86,96% 76,77%

[1,10] 5 x 3 94,19% 94,82%

[1,10] 5 x 5 90,19% 90,88%

[1,10] 8 x 8 67,64% 62,90%

[1,10] 10 x 10 - -

[1,10] 12 x 12 - -

[1,10] 15 x 15 - -

[1,10] 20 x 15 - -

Além do tempo de resolução, outro indicador utilizado para medir a eficiência

de uma formulação é o gap de integralidade ou a diferença entre o valor da solução

ótima inteira e o valor da solução ótima com relaxação linear antes e depois dos

cortes. Assim, quanto menor o gap de integralidade de um modelo, menor o

tamanho da árvore de branch-and-bound e o esforço computacional de busca por

uma solução ótima. A fórmula para obter esta medida por ser observada abaixo:

𝐺𝑎𝑝 𝑑𝑒 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 =(𝑍𝑂𝑝𝑡 − 𝑍𝑅𝐿)

𝑍𝑂𝑝𝑡 (57)

Onde 𝑍𝑂𝑝𝑡 é o valor da solução ótima e 𝑍𝑅𝐿 é o valor da solução ótima com

relaxação linear, que pode ser antes dos cortes ou depois dos cortes.

A seguir são analisados os valores das soluções ótimas com relaxação

linear antes e depois dos cortes, o número de nós até a solução ótima e o tempo de

resolução de duas instâncias 8 x 8 para os casos em que os tempos de

processamento estão entre 1 e 5 e 1 e 10 UT para as quatro formulações

comparadas. As instâncias utilizadas para a comparação foram escolhidas por

apresentarem tamanho moderado, terem suas soluções ótimas encontradas para as

quatro formulações avaliadas e devido aos seus tempos de resolução razoáveis. Os

correspondentes gráficos comparativos dos gaps de integralidade podem ser

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observados e revelam a diferença entre as soluções iniciais dos quatro modelos

analisados.

Tabela 11 – Resultados das formulações para uma instância 8 x 8 com tempos de processamento entre 1 e 5 UT, semente 3 e solução ótima igual 266

Modelo

Resultado da relaxação

linear antes dos cortes

Resultado da relaxação

linear depois dos cortes

Número de nós

Tempo de resolução

(s)

Modelo disjuntivo adaptado 205,00 220,16 128.443 19,02

Modelo de Kondili adaptado 205,00 206,87 60.588 129,17

Modelo de kondili adaptado e revisado

246,28 248,06 8.318 27,45

Novo modelo 245,71 246,36 4.795 26,78

A Tabela 11 demonstra que o modelo disjuntivo adaptado é capaz de

resolver uma quantidade de nós muito mais rapidamente que as formulações com

variáveis indexadas no tempo. A mesma tabela evidencia o ganho na introdução das

restrições como fluxos em rede. Nota-se há uma grande redução do número de nós

analisados pelo novo modelo e pelo modelo de Kondili adaptado e revisado em

comparação com o modelo de Kondili adaptado.

A Figura 12 compara os gaps de integralidade antes e depois dos cortes

com base nos resultados apresentados na Tabela 11 para as quatro formulações.

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Figura 12 – Análise comparativa dos gaps de integralidade das formulações para uma instância 8 x 8 com tempos de processamento entre 1 e 5 UT, semente 3 e solução ótima

igual 266

A Figura 12 mostra uma queda dos gaps de integralidade antes e depois do

corte com a introdução das restrições como fluxos em rede. Além de terem os

menores gaps de integralidade entre as quatro formulações analisadas, o novo

modelo e o modelo de Kondili adaptado e revisado apresentam uma variação

relativamente pequena entre o resultado da relaxação antes e o resultado da

relaxação depois dos cortes em comparação ao modelo disjuntivo adaptado.

A Tabela 12 confirma os resultados encontrados na Tabela 11 e indica a

maior velocidade do modelo disjuntivo adaptado na análise de nós. Além disso, o

novo modelo e o modelo de Kondili adaptado, também nessas condições, reduziram

consideravelmente a quantidade de nós analisados até encontrem a solução ótima.

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Tabela 12 – Resultados das formulações para uma instância 8 x 8 com tempos de processamento entre 1 e 10 UT, semente 6 e solução ótima igual 468

Modelo

Resultado da relaxação

linear antes dos cortes

Resultado da relaxação

linear depois dos cortes

Número de nós

Tempo de resolução

(s)

Modelo disjuntivo adaptado 367,10 370,61 31.512 4,63

Modelo de Kondili adaptado 301,00 338,37 66.038 289,58

Modelo de kondili adaptado e revisado

434,82 436,05 5.520 74,98

Novo modelo 434,82 435,29 5.710 132,03

De forma análoga, a Figura 13 ratifica a comparação demonstrada na Figura

12 e evidencia a diminuição dos gaps de integralidade a partir da modelagem de

restrições como fluxos em rede nas formulações com variáveis indexadas no tempo.

Figura 13 – Análise comparativa dos gaps de integralidade das formulações para uma instância 8 x 8 com tempos de processamento entre 1 e 10 UT, semente 6 e solução ótima

igual 468

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Nas duas instâncias escolhidas para serem analisadas, embora os tempos

de resolução do modelo disjuntivo adaptado tenham sido inferiores aos do novo

modelo e do modelo de Kondili adaptado e revisado, os gaps de integralidade para

estas formulações foram bem menores. A introdução das restrições como fluxos em

rede também foi determinante para diminuir a diferença entre os valores ótimos com

relaxação linear e a solução ótima inteira.

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4 FORMULAÇÃO DE PI PARA O PROBLEMA DE ALOCAÇÃO DE

BOBINAS NA PRODUÇÃO DE DUTOS FLEXÍVEIS

4.1 INTRODUÇÃO

Em 2016, a produção nacional de petróleo alcançou a média de 2,52

milhões de barris diários, dos quais 94,0% são de origem marítima (EPE, 2017).

Para atingir este marco, a produção offshore de óleo e gás exige um conjunto de

soluções elaboradas a fim de viabilizar as diversas operações complexas que

compõem a exploração no oceano. Dentre o universo de ferramentas, máquinas e

equipamentos desenvolvidos para atender essa indústria, está o duto flexível que é

aplicado no transporte de petróleo bruto, gás, condensados, água e produtos

químicos. A direção do fluxo que passa por um duto flexível pode ser da unidade de

produção para o poço, do poço para a unidade de produção e entre unidades de

produção.

Os dutos flexíveis podem ser aplicados de três maneiras distintas: como

risers, flowlines e jumpers. Os risers são empregados para interligar pontos entre

unidades de produção e equipamentos submarinos. Os dutos aplicados para cumprir

essa função estão sujeitos a cargas dinâmicas devido aos movimentos gerados

pelas forças resultantes de carregamentos causados por condições ambientais

como vento, estado de mar e irregularidades do leito marinho. Os flowlines são

utilizados para escoamento e ligam os equipamentos submarinos aos risers. Após

sua instalação, permanecem apoiados no fundo do mar. Os jumpers, por sua vez,

são dutos flexíveis de menor comprimento responsáveis pela interligação entre

equipamentos submarinos como a árvore de natal ao manifold. A árvore de natal é

um equipamento instalado na cabeça do poço e permite a abertura, fechamento e

controle de sua produção ou injeção, enquanto o manifold possibilita o controle e

intervenção da produção de um grupo de poços. A Figura 14 apresenta um exemplo

de arranjo submarino com as aplicações descritas para um duto flexível.

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Figura 14 – Exemplo de arranjo submarino com aplicações de dutos flexíveis

A busca pela redução de custos na fabricação de equipamentos para

exploração no oceano, caso dos dutos flexíveis, se intensificou a partir da recente

queda do preço do barril de petróleo. Um dos motivos dessa queda foi o aumento da

oferta do petróleo de xisto, uma fonte de energia fóssil com enormes reservas

conhecidas. O óleo e gás de xisto, nome popular da rocha denominada folhelho, são

extraídos a partir de técnicas ainda caras, como a dissolução térmica e o fracking ou

fraturamento hidráulico. Quando o preço do barril de petróleo ultrapassa um

determinado patamar, a exploração de muitas dessas reservas passa a ser viável.

Na prática, isso acaba impondo um teto ao preço do petróleo. Com uma receita

prevista para o futuro praticamente constante, as únicas formas de aumento das

margens de lucro são o aumento da eficiência e redução dos custos operacionais.

Um duto flexível é composto por várias camadas independentes cujos

principais componentes são materiais termoplásticos e fios de aço espiralados em

hélices, conforme Figura 15. As camadas termoplásticas têm como objetivos conferir

estanqueidade ao escoamento do fluido interno e proteger contra o processo

corrosivo as camadas de aço. Estas, por sua vez, têm a função de resistir às

pressões externas, internas e às cargas axiais, além de contribuir para a flexibilidade

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do duto. A sequência exata de camadas, o comprimento e o diâmetro de um duto

são calculados de acordo com seu projeto de utilização, que é influenciado pela sua

aplicação, fluido transportado, poço produtor e tipo de plataforma. Devido à estrutura

multicamadas do duto flexível, sua produção, armazenamento, manuseio e

instalação requerem alguns cuidados de modo que o produto não perca as

propriedades para as quais foi projetado. Um desses cuidados é evitar que o duto

seja submetido a uma curvatura acima da especificada.

Figura 15 – Duto flexível

A fabricação dos dutos flexíveis é realizada de forma modular, da camada

mais interna para a mais externa. Cada camada é fabricada em uma máquina, que

pertence a um workcenter composto de várias máquinas similares. Os dutos flexíveis

em produção são temporariamente armazenados e transportados de uma máquina a

outra em bobinas. Exemplos de bobinas podem ser observados na Figura 16. A

principal contribuição deste capítulo é propor um modelo de PI para alocação ótima

das bobinas usadas na produção de dutos flexíveis. Esse modelo já utiliza como

entrada um plano de produção, um sequenciamento no tempo das atividades de

produção nas máquinas. A resolução desse problema de sequenciamento, que

costuma corresponder a um problema de job shop flexível, devido à existência de

workcenters, segundo Pinedo (2005), não é o escopo deste estudo. Existem várias

metodologias propostas na literatura e que são utilizadas na prática para a resolução

do clássico e difícil problema de sequenciamento de job shop, um problema que

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pode ocorrer em muitos tipos de indústria. Entretanto, não é de conhecimento do

autor nenhum outro trabalho que proponha uma metodologia para resolver o

problema da alocação de bobinas, que é um problema específico à indústria da

fabricação de dutos.

Figura 16 – Bobinas

É natural que ao longo da execução de um planejamento ocorram eventos

inesperados, que forcem alterações no planejamento inicial. O modelo proposto

neste capítulo foi criado pensando nessa necessidade, permitindo que bobinas já

comprometidas com certas atividades, fiquem fora de um replanejamento, só sendo

consideradas pelo modelo a partir de um dado instante de liberação no futuro,

quando aquelas atividades terminarem. A função objetivo do modelo visa minimizar

o custo de movimentação das bobinas vazias na fábrica. No entanto, o modelo

também pode ser usado para reduzir o número de bobinas necessárias para realizar

certo número de atividades. O modelo de PI para a alocação ótima de bobinas foi

testado em um caso real de grande porte, com dados que correspondem a um

período de planejamento de seis meses de uma empresa fabricante de dutos.

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74

O restante do capítulo é organizado nas seguintes seções. Na Seção 4.2, a

metodologia do capítulo é explicada. Na Seção 4.3, são fornecidos detalhes do

produto considerado no trabalho, isto é, o duto flexível, e das principais

características de seu processo produtivo. A Seção 4.4 introduz um exemplo

ilustrativo para aprofundar o entendimento do leitor sobre o objeto deste estudo. A

Seção 4.5 descreve o modelo matemático utilizado para calcular a alocação de

bobinas vazias no processo produtivo do duto flexível. A Seção 4.6 demonstra a

implementação do método proposto e analisa seus resultados.

4.2 METODOLOGIA DA PESQUISA

A estrutura metodológica para abordar o problema de alocação de bobinas

foi esquematizada conforme a Figura 17:

Figura 17 – Etapas da metodologia da pesquisa para o problema de alocação de bobinas

4.2.1 Reconhecimento e levantamento de dados do processo fabril

O problema de alocação de bobinas foi identificado em uma fábrica de dutos

flexíveis localizada no Estado do Rio de Janeiro. Após finalização do planejamento

de curto prazo da fabricação dos produtos, o processo de alocação de bobinas

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acontecia de maneira não sistemática e demandava tempo considerável. Assim,

para iniciar o estudo do problema foi necessário, em primeiro lugar, levantar os

dados referentes ao plano de produção de um semestre. Este levantamento foi

realizado por Dos Santos (2017) em seu trabalho de conclusão de curso. Em posse

desse material, foi possível compreender a operação da fábrica e mapear as

máquinas e atividades envolvidas no processo fabril. A partir do plano de produção

foi possível agrupar atividades consecutivas realizadas em um mesmo duto por

máquinas diferentes.

4.2.2 Elaboração e programação do modelo matemático

Após a etapa de levantamento de dados de fabricação e mapeamento das

operações da fábrica, o modelo matemático foi elaborado. O problema da alocação

de bobinas foi modelado como um problema de escalonamento com variáveis

inteiras.

A programação foi realizada com o UFFLP e o VBA. O resolvedor escolhido

foi o CPLEX Optimization versão 12.7.0 e sua utilização envolveu os 8

processadores lógicos disponíveis. Os testes foram rodados em um computador com

as configurações listadas a seguir:

Processador: Intel® Core ™ i7-4970 CPU @ 3.60 GHz;

Memória instalada (RAM): 16 GB;

Sistema Operacional: Windows 10 de 64 bits.

4.2.3 Aplicação no estudo de caso

Neste estudo, foi utilizada a modalidade de pesquisa chamada estudo de

caso. Segundo Gil (2009), essa modalidade consiste no estudo profundo e exaustivo

de uma ou poucas situações ou objetos de modo a possibilitar seu conhecimento

amplo e detalhado. Assim, utilizando os dados levantados na primeira etapa, o

modelo foi utilizado para resolver o caso real do problema de alocação de bobinas

para fabricação de dutos flexíveis.

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4.2.4 Discussão dos resultados e comparação com a situação anterior

Os resultados gerados com a solução do problema foram analisados e

comparados com o método anterior que definia como as bobinas seriam alocadas

aos dutos flexíveis. Dessa forma, foi possível mensurar as melhorias em termos de

eficiência do processo de planejamento e os ganhos de utilização das bobinas.

4.3 PRODUTO E PROCESSO DE PRODUÇÃO

Cada duto flexível é composto por diferentes camadas e materiais com o

objetivo de realizar funções específicas e este conjunto é denominado de estrutura.

Cada camada possui uma função de aplicação, conforme exemplificado na Tabela

13. Cada camada deve ser produzida em uma das máquinas de um determinado

workcenter. Tipicamente, existem quatro workcenters para produção dos dutos:

carcaça, extrusora, espiraladora e armadora.

Tabela 13 – Descrição das camadas de um típico duto

Camada Principal função Workcenter

Carcaça Resistência aos carregamentos radiais e ao

colapso Carcaça

Barreira de pressão Estanqueidade de fluido interno Extrusora

Armadura de pressão Resistência à pressão interna e ao esforço radial Espiraladora

Camada anti-colapso Vedação para as armaduras de pressão e

resistência à pressão hidrostática Extrusora

Armadura de tração Resistência ao esforço axial e radial Armadora

Camada anti-atrito Restrição do atrito entre armadura de tração e

armadura de pressão Extrusora

Camada de

isolamento térmico Diminuição da perda de calor interno do duto Espiraladora

Barreira externa Vedação de fluido externo Extrusora

A fabricação de cada camada de um duto específico define uma atividade.

Cada atividade deve estar alocada a uma bobina de entrada, que armazena o duto

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em produção vindo da atividade anterior. A única exceção é a primeira atividade de

um duto, que não precisa de bobina de entrada, pois é responsável por fabricar a

sua camada mais interna. De modo similar, cada atividade deve também estar

alocada a uma bobina de saída, que armazena o duto com a camada adicional

produzida. A bobina de saída de uma atividade é a mesma bobina de entrada da

atividade seguinte e o transporte dos dutos em produção de uma máquina para a

seguinte é feito nessa bobina. Após a conclusão de todas as camadas de um duto, a

última atividade, chamada de respool, é executada e consiste em transferir o duto da

bobina de saída da última camada para uma bobina externa, que será enviada ao

cliente. Este trabalho trata apenas da alocação das bobinas internas à produção,

assim as bobinas externas enviadas ao cliente não foram consideradas. Dessa

forma, no modelo proposto, a última atividade de um duto, o respool, apenas precisa

de uma bobina de entrada. O duto em produção deve ser alocado a uma bobina com

um raio de curvatura que não faça com que este seja danificado.

A bobina, que é responsável pelo armazenamento e locomoção dos dutos, é

dividida em duas partes, o tambor e o flange. O tambor é a parte central da bobina,

onde os dutos ficam armazenados, e pode apresentar variação de diâmetro e do

tamanho do transverso. Já o flange são as duas abas localizadas nas extremidades

da bobina, que são responsáveis pela sustentação de toda estrutura e suporte para

movimentação. A Figura 18 esquematiza as partes de uma bobina.

Figura 18 – Partes de uma bobina

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Neste estudo, somente o diâmetro do tambor foi considerado crítico para a

alocação das bobinas, pois está diretamente relacionado à restrição do raio de

curvatura mínimo do duto. O diâmetro do flange e a largura do transverso, por suas

vezes, estão associados ao comprimento do duto e não apresentam nenhuma

restrição para a extensa maioria dos casos.

4.4 EXEMPLO ILUSTRATIVO

Para ilustrar o problema tratado neste trabalho foi proposto um exemplo

completo do processo de alocação de bobinas. Neste exemplo, o objetivo é alocar

de forma ótima, isto é, com a movimentação mínima, quatro bobinas, sendo duas

com tambor de 14 ft e duas com tambor de 20 ft, para produção de três dutos

fictícios compostos, cada um, por três camadas. As atividades para a fabricação de

cada camada dos dutos e o seu escalonamento em máquinas já foram

estabelecidas conforme o plano de produção mostrado na Tabela 14.

Tabela 14 – Exemplo de plano de produção

Duto Atividade Diâmetro

mínimo (ft) Início (UT)

Fim (UT)

Workcenter Máquina Local

Duto 1 AT1 14 1 3 Carcaça Carcaça 1 1

Duto 1 AT2 20 4 6 Armadora Armadora1 3

Duto 1 AT3 14 7 9 Extrusora Extrusora 1 4

Duto 1 R - 11 14 Respool Respool I 5

Duto 2 AT1 14 8 10 Carcaça Carcaça 1 1

Duto 2 AT2 20 11 13 Armadora Armadora1 2

Duto 2 AT3 20 15 17 Extrusora Extrusora 1 4

Duto 2 R - 18 20 Respool Respool I 5

Duto 3 AT1 14 2 4 Carcaça Carcaça 2 1

Duto 3 AT2 14 5 7 Espiraladora Espiraladora 1 3

Duto 3 AT3 14 15 17 Extrusora Extrusora 2 4

Duto 3 R - 18 20 Respool Respool 2 5

A Tabela 15 apresenta a matriz de distância entre os cinco locais

considerados neste exemplo, que correspondem aos quatro workcenters de

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produção e ao respool. A distância é obtida considerando o percurso de

movimentação de uma bobina vazia da entrada de um workcenter à saída de outro

workcenter. A distância de um workcenter para ele mesmo não é nula, pois o

deslocamento entre sua entrada e a saída não pode ser desconsiderado.

Tabela 15 – Distâncias (metros) entre locais do exemplo

Entrada|Saída 1 2 3 4 5

1 85 20 70 90 80

2 130 85 115 20 55

3 120 75 80 75 25

4 165 130 150 90 105

5 115 80 100 75 0

A Tabela 16 mostra os instantes e locais de liberação de cada bobina.

Tabela 16 – Instantes e locais de liberação das bobinas do exemplo

Bobina Diâmetro

(ft) Instante de

liberação (UT) Local de liberação

Bobina 1 14 0 5

Bobina 2 14 0 5

Bobina 3 20 1 5

Bobina 4 20 1 5

Neste trabalho é proposto o conceito de uso de uma bobina. Um uso

corresponde a um par de atividades consecutivas do mesmo duto. Um uso possui

um instante e um local de início, que são, respectivamente, o instante e o local da

sua primeira atividade. De forma análoga, um uso apresenta um instante e local de

fim, que são, respectivamente, o local e o fim de sua segunda atividade. O uso

também possui um diâmetro mínimo, que é o diâmetro mínimo de sua primeira

atividade. A Tabela 17 apresenta os dados dos 9 usos definidos pelas 12 atividades

do exemplo.

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Tabela 17 – Usos definidos pelo plano de produção do exemplo

Uso Duto Primeira atividade

Segunda atividade

Diâmetro mínimo (ft)

Início do uso

(UT)

Fim do uso (UT)

Local de início

Local de fim

Uso 1 Duto 1 AT1 AT2 14 1 6 1 3

Uso 2 Duto 1 AT2 AT3 20 4 9 3 4

Uso 3 Duto 3 AT1 AT2 14 2 7 1 3

Uso 4 Duto 3 AT2 AT3 14 5 17 3 4

Uso 5 Duto 1 AT3 R 14 7 14 4 5

Uso 6 Duto 2 AT1 AT2 14 8 13 1 2

Uso 7 Duto 2 AT2 AT3 20 11 17 2 4

Uso 8 Duto 2 AT3 R 20 15 20 4 5

Uso 9 Duto 3 AT3 R 14 15 20 4 5

No alto da Figura 19 é possível observar um diagrama de Gantt do plano de

produção definido na Tabela 17. Na parte de baixo da mesma figura, há um

diagrama de Gantt para os usos correspondentes. Os usos são identificados por

números diferentes e estão relacionados a um duto e a duas atividades. Assim, por

exemplo, o Uso 4 refere-se ao Duto 3 e às suas Atividades 2 e 3, que correspondem

à execução das máquinas Espiraladora 1 e Extrusora 2.

As bobinas devem ser alocadas aos usos. Essa alocação significa que a

bobina alocada será colocada vazia na saída da máquina que executa a primeira

atividade, depois essa bobina cheia, isto é, com o duto em produção, será

movimentada para a entrada da máquina que executa a segunda atividade. Ao final

da segunda atividade a bobina estará novamente vazia e pronta para ser

movimentada para o seu próximo uso. A movimentação das bobinas cheias já é

fixada pelo plano de produção, e, portanto, não tem como ser otimizada nessa etapa

do planejamento. Entretanto, a alocação afeta diretamente a movimentação de

bobinas vazias.

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Figura 19 – Diagramas de Gantt do plano de produção e dos seus usos

Duto 1

Duto 2

Duto 3

Uso 3-D3 AT1/AT2 (14) Uso 9-D3 AT3/R (14)

Uso 4-D3 AT2/AT3 (14)

Diagrama de Usos

Plano de Produção

Uso 1-D1 AT1/AT2 (14) Uso 5-D1 AT3/R (14)

Uso 2-D1 AT2/AT3 (20)

Uso 6-D2 AT1/AT2 (14) Uso 8-D2 AT3/R (20)

Tempo 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

D1-AT1 (14) D1-AT2 (20) D1-AT3 (14) D1-R

D2-AT1 (14) D2-AT2 (20)

Uso 7-D2 AT2/AT3 (20)

D2-AT3 (20) D2-R

D3-AT1 (14) D3-AT2 (14) D3-AT3 (14) D3-R

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As Tabelas 18 e 19 mostram a solução do problema, uma alocação das

bobinas de 14 ft e 20 ft aos usos e a correspondente movimentação de bobinas

vazias. Essa solução assume que deve ser respeitado um intervalo mínimo de um

período entre duas alocações consecutivas de uma bobina, tempo para que sua

movimentação possa ser realizada.

Tabela 18 – Alocação das bobinas na solução do exemplo

Uso Bobina

Uso 1 Bobina 1

Uso 2 Bobina 3

Uso 3 Bobina 4

Uso 4 Bobina 2

Uso 5 Bobina 1

Uso 6 Bobina 4

Uso 7 Bobina 3

Uso 8 Bobina 4

Uso 9 Bobina 1

Tabela 19 – Movimentação das bobinas vazias na solução do exemplo

Bobina Diâmetro

(ft) Uso inicial Uso final

Local de entrada

Local de saída

Distância (m)

Bobina 1 14 Local de

Liberação Uso 1 5 1 115

Bobina 1 14 Uso 1 Uso 5 3 4 75

Bobina 1 14 Uso 5 Uso 9 5 4 75

Bobina 2 14 Local de

Liberação Uso 4 5 3 100

Bobina 3 20 Local de

Liberação Uso 2 5 3 100

Bobina 3 20 Uso 2 Uso 7 4 2 130

Bobina 4 20 Local de

Liberação Uso 3 5 1 115

Bobina 4 20 Uso 3 Uso 6 3 1 120

Bobina 4 20 Uso 6 Uso 8 2 4 20

Total 850 (m)

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Considere, por exemplo, a Bobina 1. Essa bobina é liberada no respool

(Local 5) no instante 0. Ela é transportada vazia até a saída do workcenter Carcaça

(Local 1), percorrendo uma distância de 115 metros. Entre os instantes 1 e 3, a

bobina recebe a camada mais interna do Duto 1. A bobina, contendo essa camada

totalmente fabricada, será transportada para a entrada do workcenter Armadora

(Local 3). No instante 4 a bobina começa a alimentar a máquina que fabrica a

camada intermediária do Duto 1, ficando totalmente esvaziada no instante 6. A

bobina é transportada, percorrendo 75 metros, para a saída do workcenter Extrusora

(Local 4), onde, entre os instantes 7 e 9, receberá o Duto 1 já completo, com todas

as suas três camadas. A bobina será levada para o respool, onde, entre os instantes

11 e 14, o Duto 1 será transferido para uma bobina externa, que será enviada ao

cliente. A Bobina 1 em seguida será levada para a Extrusora, percorrendo 75

metros e receberá o Duto 3 da máquina que fabrica sua última camada. A bobina em

seguida retorna para o respool, onde estará disponível ao final do horizonte de

planejamento.

4.5 MODELO MATEMÁTICO

Seja 𝐿 o conjunto de locais na fábrica. Dado um par de locais 𝑖, 𝑗 ∈ 𝐿, 𝑑𝑖𝑗

denota a distância entre eles. Seja U o conjunto de usos de bobina, defina 𝑛 = |𝑈|.

Para cada uso 𝑢 ∈ 𝑈, 𝑠(𝑢), 𝑠𝑙(𝑢), 𝑒(𝑢) e 𝑒𝑙(𝑢) denotam seu instante de início, local

de início, instante final e local final, respectivamente. Seja 𝐾 o conjunto de tamanhos

do diâmetro do tambor das bobinas, defina 𝑚 = |𝐾|. Para cada tamanho 𝑘 ∈ 𝐾,

𝑈𝑘 ⊆ 𝑈 denota o conjunto de usos que são compatíveis com bobinas de tamanho k

ou maiores. Para cada tamanho 𝑘 ∈ 𝐾, seja 𝑅𝑘 o conjunto de liberações de bobinas

de tamanho k. Para cada 𝑟 ∈ 𝑅𝑘, seja 𝑒(𝑟) o instante de liberação, 𝑒𝑙(𝑟) o local de

liberação e 𝑏𝑘(𝑟) o número de bobinas liberadas. Ressalta-se que é possível ter

duas ou mais liberações simultâneas de bobinas de mesmo tamanho, se elas

acontecerem em diferentes locais. Os instantes de liberação podem ser

compreendidos como usos especiais, em que somente o instante final e o local final

são definidos e que 𝑏𝑘(𝑟) bobinas são pré-alocadas. Por fim, o parâmetro 𝛼

representa o tempo mínimo entre duas alocações consecutivas de uma bobina para

usos.

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Para cada tamanho 𝑘 ∈ 𝐾, define-se um grafo direcionado 𝐺𝑘 = (𝑉𝑘, 𝐴𝑘) com

o conjunto de vértices 𝑉𝑘 = 𝑈𝑘⋃𝑅𝑘⋃{𝑡}, onde t é um uso artificial que representa o

final da sequência de alocações de todas as bobinas. O conjunto de arcos 𝐴𝑘 é dado

por 𝐴𝑘1 ⋃𝐴𝑘

2⋃𝐴𝑘3 , onde 𝐴𝑘

1 = {(𝑟, 𝑢)|𝑟 ∈ 𝑅𝑘, 𝑢 ∈ 𝑈𝑘, 𝑠(𝑢) ≥ 𝑒(𝑟) + 𝛼}, 𝐴𝑘2 = {(𝑢, 𝑣)|𝑢 ∈

𝑈𝑘, 𝑣 ∈ 𝑈𝑘, 𝑠(𝑣) ≥ 𝑒(𝑢) + 𝛼} e 𝐴𝑘3 = {(𝑢, 𝑡)|𝑢 ∈ 𝑈𝑘⋃ 𝑅𝑘}. Para cada 𝑘 ∈ 𝐾, defina

𝛿𝑘−(𝑢) ⊆ 𝐴𝑘 como o conjunto de arcos de 𝐺𝑘 entrando no vértice 𝑢 ∈ 𝑉𝑘.

Analogamente, 𝛿𝑘+(𝑢) denota o conjunto de arcos que deixa 𝑢. Para cada 𝑘 ∈ 𝐾 e

todo (𝑢, 𝑣) ∈ 𝐴𝑘, defina uma variável binária 𝑥𝑢𝑣𝑘 que indica se uma bobina de

tamanho k é alocada a 𝑢 e em seguida é alocada para 𝑣.

O custo 𝑐𝑢𝑣𝑘 de uma variável 𝑥𝑢𝑣𝑘 corresponde ao custo de movimentação

de uma bobina vazia de tamanho 𝑘 de 𝑒𝑙(𝑢) até 𝑠𝑙(𝑣). Se 𝑣 = 𝑡, o custo é definido

como zero, uma vez que as bobinas não são de fato transferidas para o uso final

artificial; caso contrário, o custo pode ser proporcional a 𝑑𝑒𝑙(𝑢),𝑠𝑙(𝑣). No entanto, caso

o usuário do modelo também esteja interessado em minimizar o número de bobinas

utilizadas, custos fixos 𝑀𝑘 devem ser adicionados aos custos das variáveis

referentes aos arcos em 𝐴𝑘1 . Se os custos fixos forem relativamente altos em

comparação aos custos de movimentação, o modelo é capaz de encontrar soluções

com a quantidade mínima possível de bobinas.

A formulação pode ser observada a seguir:

𝑀𝑖𝑛 ∑ ∑ 𝑐𝑢𝑣𝑘𝑥𝑢𝑣𝑘

(𝑢,𝑣)∈𝐴𝑘𝑘∈𝐾

(58)

sujeito a

∑ 𝑥𝑣𝑢𝑘

(𝑣,𝑢)∈𝛿𝑘−(𝑢)

− ∑ 𝑥𝑢𝑣𝑘

(𝑢,𝑣)∈𝛿𝑘+(𝑢)

= 0 ∀𝑘 ∈ 𝐾, ∀𝑢 ∈ 𝑈𝑘 (59)

− ∑ 𝑥𝑟𝑢𝑘

(𝑟,𝑢)∈𝛿𝑘+(𝑟)

= −𝑏𝑘(𝑟) ∀𝑘 ∈ 𝐾, ∀𝑟 ∈ 𝑅𝑘 (60)

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∑ ∑ 𝑥𝑣𝑢𝑘

(𝑣,𝑢)∈𝛿𝑘−(𝑢)

= 1

𝑘∈𝐾

∀𝑢 ∈ 𝑈 (61)

𝑥𝑢𝑣𝑘 ≥ 0 𝑒 é 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑎 ∀𝑘 ∈ 𝐾, ∀(𝑢, 𝑣) ∈ 𝐴𝑘 (62)

A função objetivo está definida em (58) e consiste em minimizar o custo

associado à movimentação de bobinas vazias devido às sequências de alocação

para cada uma delas. As Equações (59) são restrições de conservação de fluxo, que

garantem que, para cada diâmetro de bobina e para cada uso, deve haver o mesmo

número de usos antecessores, que pode ser uma liberação, e de usos sucessores,

que pode ser t. As Equações (60) garantem que as alocações sejam compatíveis

com o número de bobinas de diâmetro k liberadas em cada instante. As Equações

(61) garantem que exatamente uma bobina compatível deve ser alocada para cada

uso. As Restrições (62) definem que todas as variáveis 𝑥𝑢𝑣𝑘 são não negativas e

inteiras. Em função das Equações (61), as únicas variáveis que possivelmente

podem assumir valores superiores a 1 são aquelas em que 𝑢 ∈ 𝑅𝑘 e 𝑣 = 𝑡, isto é, as

variáveis que indicam quantas bobinas de cada liberação não serão usadas na

solução. A seguinte equação:

∑ ∑ 𝑥𝑢𝑡𝑘

(𝑢,𝑡)∈𝛿𝑘−(𝑡)

= ∑ ∑ 𝑏𝑘

𝑟∈𝑅𝑘𝑘∈𝐾

(𝑟),

𝑘∈𝐾

(63)

decorre de (59-60) e, portanto, não precisa ser incluída no modelo. De

qualquer forma, ela significa que o fluxo de todas as bobinas termina no vértice t.

A Figura 20 apresenta os grafos dos usos das bobinas de 14 ft e 20 ft para o

exemplo ilustrativo da Seção 4.4. No grafo de usos de bobinas de 14 ft, a bobina que

sai do Uso 1 no instante 6, tem a possibilidade de ser realocada a seguir para os

Usos 5, 6 e 9 ou seguir direto para t (o que significa que ela não vai mais ser usada).

Já no grafo de usos de bobinas de 20 ft, a mesma bobina que sai do Uso 1 tem a

possibilidade de ser realocada, além dos outros usos mencionados no caso anterior,

para os Usos 7 ou 8. Na parte de baixo da mesma figura, mostra-se um grafo com

os arcos que possuem valor 1 na solução do modelo. Esses arcos correspondem à

solução ótima mostrada nas Tabelas 18 e 19.

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Figura 20 – Grafos de usos e a solução para o exemplo dado

Uso 3-D3 AT1/AT2 (14) Uso 9-D3 AT3/R (14)

Uso 4-D3 AT2/AT3 (14)

Grafo da Solução

Uso 2-D1 AT2/AT3 (20)

Uso 6-D2 AT1/AT2 (14) Uso 8-D2 AT3/R (20)

Uso 7-D2 AT2/AT3 (20)

Uso 3-D3 AT1/AT2 (14) Uso 9-D3 AT3/R (14)

Uso 4-D3 AT2/AT3 (14)

Grafo de Usos de Bobinas de 20 ft

Uso 1-D1 AT1/AT2 (14) Uso 5-D1 AT3/R (14)

Uso 2-D1 AT2/AT3 (20)

Uso 6-D2 AT1/AT2 (14) Uso 8-D2 AT3/R (20)

Uso 7-D2 AT2/AT3 (20)

Uso 9-D3 AT3/R (14)

Uso 4-D3 AT2/AT3 (14)

Grafo de Usos de Bobinas de 14 ft

Uso 1-D1 AT1/AT2 (14) Uso 5-D1 AT3/R (14)

Uso 6-D2 AT1/AT2 (14)

Uso 1-D1 AT1/AT2 (14) Uso 5-D1 AT3/R (14)

Tempo 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

Liberação 1 t

Liberação 2 t

t

Liberação 1

Liberação 2

Uso 1-D1 AT1/AT2 (14) Uso 5-D1 AT3/R (14)

Uso 4-D3 AT2/AT3 (14)

Uso 3-D3 AT1/AT2 (14) Uso 9-D3 AT3/R (14)

Uso 6-D2 AT1/AT2 (14)

Uso 1-D1 AT1/AT2 (14)

Uso 2-D1 AT2/AT3 (20)

Uso 5-D1 AT3/R (14)

Uso 7-D2 AT2/AT3 (20)

Uso 4-D3 AT2/AT3 (14)

Uso 3-D3 AT1/AT2 (14) Uso 9-D3 AT3/R (14)

Uso 8-D2 AT3/R (20)Uso 6-D2 AT1/AT2 (14)

Uso 1-D1 AT1/AT2 (14)

Uso 2-D1 AT2/AT3 (20)

Uso 5-D1 AT3/R (14)

Uso 7-D2 AT2/AT3 (20)

Uso 4-D3 AT2/AT3 (14)

Uso 3-D3 AT1/AT2 (14) Uso 9-D3 AT3/R (14)

Uso 8-D2 AT3/R (20)Uso 6-D2 AT1/AT2 (14)

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Teorema 1. Para o caso de um único tamanho, ou seja, |𝐾|=1, a relaxação

linear de (58-62) corresponde a um problema de fluxo em rede de custo mínimo e,

portanto, pode ser resolvido em tempo polinomial e sempre tem solução ótima

inteira.

Prova. Para o caso de um único tamanho, as Equações (59-61) e (63)

podem ser simplificadas para:

∑ 𝑥𝑣𝑢

(𝑣,𝑢)∈𝛿−(𝑢)

− ∑ 𝑥𝑢𝑣

(𝑢,𝑣)∈𝛿+(𝑢)

= 0 ∀𝑢 ∈ 𝑈 (64)

− ∑ 𝑥𝑟𝑢

(𝑟,𝑢)∈𝛿+(𝑟)

= −𝑏(𝑟) ∀𝑟 ∈ 𝑅 (65)

∑ 𝑥𝑣𝑢

(𝑣,𝑢)∈𝛿−(𝑢)

= 1 ∀𝑢 ∈ 𝑈 (66)

∑ 𝑥𝑢𝑡

(𝑢,𝑡)∈𝛿𝑘−(𝑡)

= ∑ 𝑏(𝑟)

𝑟∈𝑅

(67)

Subtraindo as Equações (66) das correspondentes Equações (64), obtém-se:

− ∑ 𝑥𝑢𝑣

(𝑢,𝑣)∈𝛿+(𝑢)

= −1 ∀𝑢 ∈ 𝑈 (68)

As Equações (65-68) definem um fluxo em rede em um grafo com

2|𝑈|+|𝑅|+1 nós, onde cada vértice 𝑢 ∈ 𝑈 é dividido em um nó de entrada com

demanda de 1 unidade (Equações (66)) e um nó de saída com oferta de 1 unidade

(Equações (68)). Logo, pela propriedade da integralidade de fluxo, conforme

apresentado por Ahuja, Magnanti e Orlin (1993), sempre existe uma solução ótima

em que todas as variáveis são inteiras. ∎

Para o caso em que existem vários tamanhos (|𝐾|>1), o modelo proposto

corresponde a um fluxo em rede multi-commodity inteiro. Apesar desse problema em

geral ser NP-difícil, em muitos casos práticos o valor de relaxação costuma ser muito

forte, muito próximo ou até mesmo igual ao valor da solução ótima inteira. Isso

permite que problemas de grande porte sejam resolvidos de forma eficiente. Como

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exemplo, tem-se o modelo de alocação ótima de vagões em ferrovias proposto por

Fukasawa et al. (2002).

4.6 IMPLEMENTAÇÃO E ESTUDO DE CASO

O estudo de caso de aplicação do modelo utilizou dados reais vindos de

uma fábrica de dutos localizada no Estado do Rio de Janeiro e levantados por Dos

Santos (2017). O plano de produção compreende todas as 684 atividades que

devem ser executadas para a produção de 77 dutos, correspondendo a toda carteira

de projetos do primeiro semestre de 2017. Esse plano de produção gera 607 usos

com início, fim, duração, local inicial, local final e diâmetro mínimo da bobina

conforme detalhado na Tabela 21 do Apêndice.

A fábrica possui quatro workcenters de produção e o workcenter de respool,

tendo um total de 10 máquinas. Na Tabela 22, também encontrada no Apêndice, é

possível encontrar a matriz de correspondência das distâncias entre as 10

máquinas. Para maior precisão no cálculo das distâncias, cada máquina individual

foi considerada como um local, dessa forma, a matriz de distâncias possui dimensão

10 x 10. A fábrica possui um total de 73 bobinas disponíveis para utilização no

processo produtivo, sendo essas distribuídas em cinco diâmetros: 14 ft, 16 ft, 17 ft,

19 ft e 22 ft. A Tabela 20 apresenta a quantidade de bobinas e instantes de liberação

por diâmetro.

Tabela 20 – Quantidade de bobinas e total de instantes de liberação por diâmetro

Diâmetro Quantidade de

bobinas Total de instantes

de liberação

14 43 16

16 11 6

17 7 2

19 1 2

22 1 1

O plano de produção considera um horizonte de 180 dias. Entretanto, alguns

usos começam até o 180º dia e podem se estender além desse horizonte, chegando

ao 249º dia.

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O CPLEX demorou 733,59 segundos para encontrar a solução ótima do

modelo, que tinha 744.643 variáveis e 3.517 restrições. Essa solução respeita o

intervalo mínimo para movimentação de um dia entre duas alocações consecutivas

de uma bobina. O valor da função objetivo foi de 23.792 metros e representa a

distância total mínima de movimentação de bobinas vazias para cumprir o plano de

produção. É interessante notar que a solução da relaxação linear foi fracionária, mas

com exatamente o mesmo valor da solução inteira ótima. Foram explorados 19 nós

de branch-and-bound para encontrar essa solução inteira. O resultado confirma a

força de modelos de programação inteira baseados em fluxos em rede multi-

commodity.

O semestre do estudo teve um aumento de produção de 10% em relação ao

semestre anterior. É notável que o modelo tenha conseguido encontrar uma solução

viável usando as mesmas 73 bobinas já existentes. Dada a grande dificuldade

encontrada para fazer manualmente a alocação de bobinas para o semestre

anterior, os planejadores haviam estimado que seria necessário adquirir com

urgência 7 novas bobinas. Entretanto, o modelo também verificou que todas as 73

bobinas disponíveis se tornaram indispensáveis, desse modo, a remoção de

qualquer uma delas tornava o plano de produção inviável. Com isso, recomenda-se

a aquisição de somente mais uma bobina, para backup, como forma de lidar com

imprevistos. Assim, estima-se que a aplicação do método proposto permita

economizar um capital de aproximadamente US$ 3 milhões, que seria o custo de

aquisição de seis bobinas adicionais.

A Tabela 23, no Apêndice, apresenta a solução do estudo de caso para a

alocação das bobinas aos usos. As Figuras 21 e 22 representam o Gráfico de Gantt

correspondente à solução ótima do problema. Os usos são identificados pela letra

inicial U e os instantes de liberação pela letra R. Cada linha significa uma bobina

diferente e é identificada por três colunas D, S, ID. A coluna D descreve o diâmetro

da bobina, a coluna S apresenta um código sequencial para o diâmetro e a coluna

ID fornece um código inequívoco para cada bobina. Por exemplo, a quinta linha da

Figura 22 mostra o sequenciamento de uma bobina de diâmetro 16 ft, que é a quinta

de 11 bobinas de 16 ft e tem código inequívoco de 48. Essa bobina é alocada aos

Usos 28, 123, 136, 262, 385, 467 e 608 e está em operação entres os dias 11 e 145.

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Figura 21 – Diagrama de Gantt dos usos alocados com bobinas de 14 ft

D S ID

14 1 1

14 2 2

14 3 3

14 4 4 U 284

14 5 5

14 6 6

14 7 7

14 8 8

14 9 9

14 10 10

14 11 11

14 12 12

14 13 13

14 14 14

14 15 15

14 16 16

14 17 17

14 18 18

14 19 19

14 20 20

14 21 21

14 22 22

14 23 23

14 24 24

14 25 25

14 26 26

14 27 27

14 28 28

14 29 29

14 30 30 R 30

14 31 31 R 31

14 32 32 R 32

14 33 33 R 33

14 34 34 R 34 U 473

14 35 35 R 35

14 36 36 R 36

14 37 37 R 37

14 38 38 R 38

14 39 39 R 39

14 40 40 R 40

14 41 41 R 41

14 42 42 R 42 U 61

14 43 43 R 43 U 313

U 400 U 464 U 504 U 516 U 545

U 529

U 44 U 126 U 210 U 303 U 322 U 352 U 418

U 32 U 70 U 171 U 204 U 295 U 307 U 413 U 466 U 486 U 503

U 411 U 484 U 525 U 547 U 557 U 595

U 518

U 30 U 161 U 244 U 296

U 199 U 310 U 323

U 8 U 95 U 106 U 173 U 288 U 311 U 368 U 393 U 451 U 483 U 520

U 569

U 26 U 96

U 93 U 224 U 238 U 246 U 278 U 319 U 374 U 450

U 551

U 9 U 127 U 231 U 302

U 213 U 281 U 357 U 412 U 433 U 517 U 540 U 550

U 201 U 243 U 369 U 421 U 455 U 497 U 511

U 533 U 606

U 165 U 432 U 478 U 514

U 17 U 133 U 270 U 349

U 190 U 329

U 607

U 86 U 150 U 245

U 92 U 176 U 197 U 291 U 402 U 424

U 69 U 108 U 120 U 236

U 167 U 265 U 340 U 405 U 425 U 465 U 500

U 118 U 142 U 158 U 316

U 444 U 495

U 113 U 177 U 261

U 87 U 115 U 175 U 422 U 488

U 90 U 137 U 151 U 187 U 273 U 283 U 568

U 200 U 318

U 59 U 144 U 174 U 242 U 255 U 383 U 429

U 581

U 178 U 333 U 342 U 355 U 371 U 446 U 470 U 507

U 152 U 268 U 286 U 327

U 259 U 589

U 68

U 36 U 84 U 301 U 358 U 443 U 476 U 494

U 522 U 544 U 566

U 62 U 83 U 139 U 218 U 346 U 389 U 458 U 539

U 166 U 230 U 253 U 282 U 297 U 381 U 463 U 498

U 23 U 156 U 196 U 289

U 10 U 129 U 159 U 404 U 480 U 509

U 52 U 67 U 202 U 233

U 398

U 140 U 162 U 169 U 237 U 248

U 1 U 66

U 4 U 109 U 146 U 214 U 341 U 456 U 515 U 527

U 3 U 21 U 110 U 186 U 324 U 335

U 570

U 5

U 153 U 254 U 604

U 27 U 56 U 192 U 439 U 454

U 419 U 487

U 16 U 39 U 170 U 258 U 343

U 18

U 12 U 148 U 239 U 287 U 306 U 334 U 359 U 372

R 27

R 4

R 5

R 2

R 3

R 1

R 16

R 13

R 14

R 12

R 10

R 11

R 8

R 9

R 6

R 7

R 22

R 23

R 24

R 25

R 26

R 28

R 29

R 19

R 20

R 21

R 17

R 18

R 15

U 25

U 98

U 35

U 14 U 75

U 101 U 149

U 89 U 154 U 164

U 31 U 112 U 217 U 309 U 356

10080604020 200180

U 597

U 592

U 330 U 380 U 403 U 469 U 524 U 531 U 579

U 336 U 573

U 107 U 147 U 168 U 256

220 240160140120

U 580

U 546

U 528

U 554

U 586

U 582

U 513

U 596

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Figura 22 – Diagrama de Gantt dos usos alocados com bobinas de 16 ft, 17 ft, 19 ft e 22 ft

D S ID

16 1 44

16 2 45

16 3 46 U 226

16 4 47 U 219 U 449

16 5 48 U 123

16 6 49

16 7 50

16 8 51 U 571

16 9 52

16 10 53

16 11 54

17 1 55

17 2 56

17 3 57

17 4 58

17 5 59

17 6 60

17 7 61

19 1 62

19 2 63 U 317U 325

19 3 64 U 593

19 4 65

19 5 66

19 6 67

19 7 68

19 8 69 U 345

19 9 70

19 10 71

19 11 72 U 222 U 565

22 1 73

U 556

R 71 U 160 U 179 U 249 U 263 U 390 U 426 U 479 U 499 U 535

U 80 U 103 U 163 U 279 U 293 U 367 U 394 U 407 U 431

R 67 U 85 U 119 U 266 U 379 U 392 U 445 U 477 U 510

R 65 U 135 U 195 U 234 U 247 U 351 U 370 U 384 U 441

U 591

R 63 U 143 U 207 U 221 U 337 U 365 U 434 U 447 U 493 U 523

U 235 U 339 U 350 U 364 U 391 U 423 U 489 U 505 U 548

U 272 U 292 U 331 U 395 U 457 U 475 U 496

R 58 U 183 U 414 U 472 U 501

R 56 U 104 U 211 U 251 U 298 U 338 U 386 U 485 U 526

R 53 U 105 U 181 U 194 U 294 U 320 U 373 U 397 U 492

U 590

R 52 U 81 U 91 U 125 U 209 U 227 U 328 U 362 U 420 U 512

R 51 U 78 U 117 U 216 U 257 U 271 U 305 U 377

U 584

U 55 U 76 U 116 U 193 U 212 U 228 U 366 U 406 U 459 U 491 U 521 U 567 U 577

R 49 U 188 U 198 U 215 U 314 U 348 U 416

U 417

U 537

U 442 U 453 U 481 U 552 U 575

U 360 U 388 U 436 U 462

R 48 U 136 U 262 U 385 U 467

U 128 U 155 U 180 U 264

U 72 U 100 U 111 U 134 U 225

R 54 U 79 U 124 U 229 U 564

R 55 U 308 U 344 U 401 U 440 U 562 U 574 U 588

U 277 U 290 U 304 U 376 U 410 U 430 U 519

U 102 U 274 U 561

U 363 U 428

U 553 U 594

R 62 U 172 U 191 U 206

U 603

U 82 U 132 U 138 U 269 U 280 U 396 U 435 U 474 U 549 U 578 U 602

R 61 U 122 U 182 U 267

U 437 U 468 U 543 U 572 U 587

U 559

U 605

U 461 U 471 U 490 U 558

U 438 U 452 U 532 U 555 U 563

U 408 U 482 U 502 U 542 U 585 U 599

U 448 U 534

U 347 U 375 U 399

R 68 U 205

R 72 U 97 U 131 U 232 U 252 U 361 U 378

R 69 U 141 U 189 U 300 U 321 U 332 U 353 U 387 U 415

U 220 U 354 U 382

R 64

R 70

R 73 U 88 U 99 U 184 U 203 U 240

R 66 U 157 U 250 U 276 U 299 U 326

R 57 U 114 U 130 U 260

R 59

R 60

U 94 U 121 U 223

100 120 140 160 180

R 45

R 46

R 47

R 50

U 530 U 541

U 312 U 536 U 601

U 275 U 285 U 315 U 409 U 460 U 538

U 145 U 185 U 208 U 241

20 40 60 80

R 44

U 598

200 220 240

U 560

U 583

U 576

U 600

U 506

U 427 U 508

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92

5 CONCLUSÃO E TRABALHOS FUTUROS

Ao longo da Seção 2.2, referente à fundamentação teórica do job shop,

foram identificadas e analisadas as melhores formulações de PI utilizadas para

resolução do problema de sequenciamento de job shop com função objetivo de

minimizar o makespan. No Capítulo 3, duas dessas formulações foram adaptadas ao

caso em que a função objetivo é minimizar o atraso total ponderado.

Após adaptação dos modelos, foram implementadas melhorias com o

objetivo de diminuir o tempo e o esforço computacional na resolução das diferentes

instâncias propostas na metodologia. O foco das melhorias foi o modelo baseado na

formulação com variáveis indexadas no tempo e a estratégia definida para aumentar

a eficiência da nova formulação foi a introdução de restrições como fluxos em rede.

Para comparação do novo modelo, foram realizados testes com três formulações de

referência, o modelo disjuntivo adaptado, o modelo de Kondili adaptado e o modelo

de Kondili adaptado e revisado. Este último teve a inclusão da restrição de

precedência como fluxo em rede.

O novo modelo mostrou-se competitivo para instâncias médias, como a de

10 tarefas e 10 máquinas e com intervalos de processamento das tarefas nas

máquinas entre 1 e 5 UT. Nessas condições, o novo modelo e o modelo de Kondili

adaptado e revisado conseguiram encontrar uma solução ótima muito mais rápido

do que o modelo disjuntivo adaptado.

A introdução de restrições modeladas como fluxos em rede nas formulações

com variáveis indexadas no tempo conferiu um expressivo aumento de desempenho

na resolução das instâncias em comparação ao modelo de Kondili adaptado. Para

algumas instâncias, houve quase 95% de redução do tempo médio para encontrar

uma solução ótima.

Quando se aumenta o intervalo de tempo de processamento das tarefas

pelas máquinas para entre 1 e 10 UT, o novo modelo perde competitividade. Uma

causa para isso seria o aumento das variáveis de decisão em função do tempo total

(H) definido para o problema. Dessa forma, o novo modelo é eficiente em

determinadas condições, sendo capaz de superar as adaptações das melhores

formulações encontradas na literatura.

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93

O Capítulo 4 apresentou o modelo proposto para resolução do problema de

alocação de bobinas utilizadas para armazenamento e transporte de dutos flexíveis

ao longo de seu processo de fabricação. Este modelo foi testado em um caso real e

foi capaz de encontrar uma solução ótima da instância analisada.

Os resultados encontrados aplicando-se o método proposto mostram

potencial para uma significativa redução do número de bobinas necessárias no

processo produtivo. No estudo de caso desta dissertação, o problema de alocação

foi resolvido para uma situação em que o plano de produção era 10% maior que o

semestre anterior e a solução ótima encontrada indicava o mesmo número de

bobinas. Isso evidencia a contribuição do modelo no aumento da taxa de uso das

bobinas e na redução do tempo ocioso deste tipo de equipamento.

Com uma melhor utilização dos equipamentos, o investimento que ficaria

imobilizado na compra das bobinas pode ser direcionado para outra finalidade.

Acredita-se que a redução da movimentação das bobinas vazias também contribua

para a redução de custos e para que se tenha um ambiente fabril menos

congestionado. Como em todo processo de automatização de planejamento, o uso

do modelo também gera ganhos gerenciais ao diminuir o tempo gasto neste

processo. Na empresa do estudo de caso, a alocação manual de bobinas era um

processo laborioso que consumia muitas horas de mão de obra especializada.

Como desenvolvimento de trabalhos futuros, o novo modelo proposto para

resolver o problema de sequenciamento de job shop e minimização do atraso total

ponderado pode ser testado com outras funções objetivo a fim de obter uma

avaliação diferente sobre seu desempenho. A tentativa de otimização de outro

indicador pode gerar resultados superiores aos encontrados para o caso do atraso

total ponderado. Outro desafio é a introdução de novas restrições que reduzam

ainda mais os gaps de integralidade antes e depois dos cortes, o que poderia gerar

diminuição do tempo de resolução das instâncias. Por fim, as formulações com

variáveis indexadas no tempo podem ser complementadas com um método capaz

de retornar um horizonte de tempo que permita que a solução ótima seja

encontrada, mas que não seja tão grande a ponto de gerar variáveis de decisão em

excesso e tornar o tempo de resolução inviável.

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Algumas extensões simples e imediatas do modelo proposto para resolução

do problema de alocações de bobinas seriam:

Considerar também restrições de comprimento dos dutos na alocação

de bobinas. Para tal, seria necessário apenas dividir as bobinas em

mais categorias, levando-se em conta não apenas o diâmetro do seu

tambor, mas também o diâmetro do flange e a largura do transverso.

Isso não foi realizado neste trabalho, uma vez que a questão do

comprimento não era relevante no estudo de caso realizado;

Tornar os custos de movimentações de bobinas vazias dependentes

do tamanho das bobinas, não apenas da distância percorrida. Além

disso, o modelo pode incorporar custos de movimentação de bobinas

cheias que dependam do tamanho da bobina alocada. Ou seja,

apesar da distância de movimentação de uma bobina cheia já estar

fixada no plano de produção, pode ser mais econômico alocar para

essa movimentação bobinas compatíveis menores.

Como um trabalho futuro complexo, seria interessante pesquisar formas de

incorporar o problema da alocação de bobinas dentro do processo de elaboração

dos planos de produção.

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98

7 APÊNDICES

Tabela 21 – Dados dos usos considerados no trabalho

Fonte: Adaptado de Dos Santos (2017)

Uso Início do uso (UT)

Fim do uso (UT)

Duração (Dias)

Local de início

Local de fim

Diâmetro mínimo da bobina

(Polegadas)

1 2 20 19 6 8 14

2 2 16 15 5 7 14

3 2 5 4 8 4 14

4 2 34 33 4 10 14

5 2 29 28 7 8 14

6 2 28 27 2 5 14

7 3 6 4 5 5 19

8 3 13 11 1 5 14

9 3 35 33 4 10 14

10 3 22 20 6 8 14

11 4 6 3 8 4 14

12 4 40 37 4 10 14

13 5 19 15 5 7 19

14 5 15 11 1 5 14

15 5 7 3 8 4 14

16 5 12 8 3 5 14

17 6 40 35 4 10 14

18 6 25 20 6 8 14

19 6 23 18 7 8 14

20 7 9 3 8 4 14

21 7 30 24 5 7 14

22 7 23 17 2 5 14

23 7 41 35 4 10 14

24 9 11 3 8 4 14

25 9 41 33 4 9 14

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26 10 30 21 7 8 14

27 10 16 7 1 5 14

28 11 35 25 3 5 14

29 11 13 3 8 4 14

30 11 47 37 4 9 14

31 12 32 21 7 8 14

32 12 18 7 1 5 14

33 12 33 22 5 7 14

34 12 14 3 8 4 14

35 12 48 37 4 10 14

36 13 25 13 2 5 14

37 13 14 2 5 5 19

38 14 34 21 7 8 14

39 14 48 35 4 10 14

40 14 16 3 8 4 14

41 14 22 9 5 7 19

42 15 16 2 5 5 19

43 16 23 8 5 7 19

44 16 37 22 1 5 14

45 16 18 3 8 4 14

46 16 54 39 4 9 14

47 17 18 2 5 5 19

48 17 24 8 5 7 19

49 17 43 27 7 8 19

50 17 19 3 8 4 14

51 17 54 38 4 9 14

52 17 21 5 2 5 14

53 18 41 24 7 8 19

54 19 19 1 5 5 19

55 19 20 2 8 4 14

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100

56 19 54 36 4 10 14

57 19 26 8 5 7 19

58 20 40 21 7 8 19

59 20 34 15 2 5 14

60 20 22 3 5 5 19

61 21 21 1 4 4 14

62 21 23 3 8 4 14

63 21 47 27 7 8 19

64 21 87 67 4 10 14

65 22 28 7 5 7 19

66 23 29 7 2 5 14

67 23 55 33 4 10 14

68 23 25 3 8 4 14

69 23 33 11 1 5 14

70 23 50 28 5 7 14

71 23 45 23 7 8 19

72 24 31 8 1 5 14

73 24 48 25 7 8 19

74 24 27 4 8 4 14

75 24 60 37 4 9 14

76 24 36 13 5 7 14

77 25 44 20 7 8 19

78 25 36 12 2 5 14

79 26 38 13 5 7 14

80 26 32 7 8 4 14

81 26 28 3 4 4 14

82 27 39 13 7 8 19

83 27 41 15 5 7 14

84 28 92 65 4 9 14

85 28 36 9 8 4 14

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101

86 29 44 16 5 7 14

87 29 35 7 7 8 14

88 30 31 2 8 4 14

89 30 45 16 2 5 14

90 30 40 11 1 4 14

91 30 36 7 5 6 14

92 31 51 21 8 4 14

93 31 61 31 4 9 14

94 31 37 7 7 8 14

95 32 33 2 4 4 14

96 32 62 31 6 8 14

97 32 37 6 5 6 14

98 33 49 17 1 4 14

99 33 52 20 8 4 14

100 33 35 3 4 4 14

101 33 44 12 2 5 14

102 34 59 26 7 8 14

103 34 46 13 5 7 14

104 34 61 28 4 10 14

105 35 53 19 8 4 14

106 35 46 12 5 7 14

107 35 41 7 1 4 14

108 36 37 2 4 4 14

109 36 43 8 5 6 14

110 36 54 19 8 4 14

111 37 40 4 5 6 14

112 37 61 25 6 8 14

113 37 50 14 7 8 14

114 37 39 3 4 4 14

115 38 47 10 2 5 14

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102

116 38 55 18 8 4 16

117 38 62 25 4 10 14

118 38 43 6 1 4 14

119 38 68 31 5 7 14

120 39 64 26 5 7 14

121 39 64 26 6 8 14

122 39 52 14 7 8 14

123 40 40 1 4 4 14

124 40 66 27 5 7 14

125 40 61 22 8 4 16

126 41 61 21 4 7 14

127 41 66 26 6 8 14

128 41 45 5 1 4 14

129 41 46 6 2 5 14

130 41 71 31 5 7 14

131 41 62 22 8 4 16

132 41 42 2 4 4 14

133 42 56 15 7 8 14

134 42 63 22 8 4 16

135 42 52 11 4 7 14

136 43 74 32 5 7 14

137 43 44 2 4 4 14

138 44 77 34 5 7 14

139 44 61 18 8 4 14

140 44 47 4 1 4 14

141 44 55 12 4 7 14

142 45 46 2 5 6 14

143 45 53 9 2 5 14

144 45 46 2 4 4 14

145 45 54 10 7 8 14

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103

146 45 61 17 8 4 14

147 45 48 4 5 6 14

148 45 68 24 6 8 14

149 46 58 13 4 7 14

150 46 69 24 8 4 14

151 46 51 6 5 6 14

152 46 81 36 1 5 14

153 47 59 13 7 8 14

154 47 48 2 4 4 14

155 47 52 6 5 6 14

156 47 57 11 7 8 14

157 47 69 23 6 8 14

158 48 70 23 8 4 14

159 48 113 66 4 6 14

160 48 52 5 2 5 14

161 49 71 23 6 8 14

162 49 50 2 4 4 14

163 49 74 26 8 4 14

164 50 115 66 4 6 14

165 51 124 74 7 8 14

166 51 67 17 4 10 14

167 51 79 29 1 5 14

168 51 75 25 8 4 14

169 52 67 16 4 10 14

170 52 73 22 6 8 14

171 53 54 2 5 6 14

172 53 56 4 2 5 14

173 53 76 24 8 4 14

174 53 67 15 4 10 14

175 53 122 70 7 8 14

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104

176 53 57 5 5 6 14

177 53 75 23 6 8 14

178 54 99 46 1 5 14

179 54 68 15 4 10 14

180 55 79 25 8 4 14

181 55 57 3 4 6 16

182 55 77 23 6 8 14

183 56 120 65 7 8 14

184 56 57 2 5 5 14

185 56 60 5 2 5 14

186 57 97 41 5 7 14

187 57 83 27 8 4 14

188 57 59 3 6 4 16

189 58 84 27 8 4 14

190 58 98 41 1 5 14

191 58 60 3 4 4 16

192 59 128 70 7 8 14

193 60 61 2 4 9 16

194 60 86 27 8 4 14

195 60 61 2 5 5 14

196 60 88 29 2 5 14

197 60 86 27 8 4 14

198 61 63 3 4 6 14

199 61 94 34 5 7 14

200 61 96 36 1 5 14

201 62 70 9 7 5 14

202 62 65 4 6 4 14

203 62 64 3 4 6 14

204 62 90 29 8 4 14

205 62 65 4 6 4 14

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105

206 62 64 3 4 6 16

207 62 65 4 4 6 16

208 62 66 5 6 4 16

209 63 65 3 4 6 16

210 63 92 30 8 4 14

211 64 68 5 6 4 16

212 64 67 4 6 4 16

213 64 83 20 2 5 14

214 64 100 37 4 9 14

215 65 94 30 8 4 14

216 65 71 7 7 5 14

217 66 94 29 1 5 14

218 66 100 35 4 10 14

219 66 66 1 4 4 16

220 67 103 37 4 10 16

221 67 96 30 8 4 14

222 67 67 1 4 4 16

223 67 85 19 2 5 14

224 67 69 3 7 5 14

225 68 104 37 4 9 16

226 68 68 1 4 4 16

227 69 98 30 8 4 14

228 69 107 39 4 10 16

229 69 162 94 5 8 14

230 69 73 5 7 5 14

231 69 92 24 1 5 14

232 69 72 4 4 6 14

233 70 163 94 5 8 14

234 70 72 3 4 6 14

235 70 100 31 8 4 14

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106

236 71 165 95 5 8 14

237 71 73 3 6 4 14

238 71 72 2 6 4 14

239 72 87 16 2 5 14

240 72 101 30 8 4 14

241 72 167 96 5 8 14

242 72 75 4 7 5 14

243 73 107 35 4 10 14

244 73 90 18 1 5 14

245 73 111 39 4 10 14

246 74 75 2 4 10 14

247 74 103 30 8 4 14

248 75 169 95 5 8 14

249 75 78 4 7 5 14

250 75 82 8 2 4 14

251 75 78 4 4 9 14

252 76 105 30 8 4 14

253 76 78 3 4 4 14

254 76 169 94 1 5 14

255 77 112 36 4 9 14

256 78 170 93 5 8 14

257 79 81 3 4 4 14

258 79 102 24 2 5 14

259 79 168 90 1 5 14

260 79 80 2 5 5 14

261 80 167 88 1 5 14

262 80 109 30 5 6 14

263 80 114 35 4 9 14

264 81 82 2 5 5 14

265 82 99 18 4 7 14

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107

266 82 111 30 5 6 14

267 82 159 78 1 5 14

268 83 85 3 4 10 14

269 83 84 2 5 5 14

270 83 104 22 2 5 14

271 84 92 9 5 7 14

272 84 86 3 4 10 14

273 85 86 2 5 5 14

274 85 161 77 1 5 14

275 85 86 2 4 10 14

276 86 88 3 5 7 14

277 87 88 2 4 4 14

278 87 95 9 7 8 14

279 87 88 2 5 5 14

280 87 115 29 4 9 14

281 88 106 19 2 5 14

282 88 90 3 5 6 14

283 88 163 76 1 5 14

284 89 89 1 5 5 14

285 89 93 5 6 8 14

286 89 97 9 7 8 14

287 89 92 4 4 4 14

288 89 93 5 5 6 14

289 90 151 62 1 5 14

290 90 91 2 5 5 14

291 91 117 27 4 9 14

292 91 99 9 6 8 14

293 91 108 18 2 5 14

294 91 95 5 5 6 14

295 92 93 2 5 5 14

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108

296 93 118 26 4 10 14

297 93 111 19 8 4 14

298 93 101 9 7 8 14

299 93 97 5 5 6 14

300 93 96 4 4 4 14

301 94 104 11 6 8 14

302 94 153 60 1 5 14

303 94 95 2 5 5 14

304 94 110 17 2 5 16

305 94 110 17 8 4 14

306 95 100 6 5 6 14

307 95 120 26 4 9 14

308 95 102 8 7 8 14

309 96 106 11 6 8 14

310 96 97 2 5 5 14

311 96 108 13 8 4 14

312 96 155 60 1 5 14

313 97 97 1 4 4 14

314 97 102 6 5 6 14

315 97 113 17 2 5 16

316 97 153 57 4 9 14

317 98 98 1 5 5 14

318 98 129 32 7 8 14

319 98 108 11 6 8 14

320 98 109 12 8 4 14

321 98 99 2 4 4 14

322 99 104 6 5 6 14

323 99 156 58 4 9 14

324 99 100 2 5 5 14

325 100 100 1 4 4 14

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109

326 100 107 8 8 4 14

327 100 157 58 1 5 14

328 100 107 8 5 6 14

329 101 157 57 4 9 14

330 101 110 10 6 8 14

331 101 115 15 2 5 16

332 101 103 3 5 5 14

333 101 102 2 4 4 14

334 102 106 5 8 4 14

335 102 157 56 4 9 14

336 102 165 64 1 5 14

337 103 107 5 5 7 14

338 103 111 9 6 8 14

339 103 104 2 4 4 14

340 103 118 16 8 4 14

341 104 131 28 7 8 14

342 104 105 2 5 5 14

343 104 159 56 4 9 14

344 104 117 14 2 5 16

345 105 105 1 4 4 14

346 105 113 9 6 8 14

347 105 109 5 5 7 14

348 105 119 15 8 4 14

349 106 162 57 4 9 14

350 106 107 2 5 5 14

351 106 108 3 4 6 14

352 107 120 14 8 4 14

353 107 113 7 5 7 14

354 107 112 6 6 4 14

355 107 109 3 4 6 14

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110

356 108 115 8 6 8 14

357 108 120 13 7 5 14

358 108 129 22 2 5 14

359 108 109 2 5 5 14

360 108 113 6 6 4 14

361 108 110 3 4 6 14

362 109 121 13 8 4 14

363 109 111 3 4 6 14

364 109 114 6 6 4 14

365 109 115 7 5 7 14

366 110 117 8 6 8 14

367 110 115 6 6 4 14

368 110 113 4 4 6 14

369 110 121 12 7 5 14

370 110 112 3 5 5 19

371 111 122 12 8 4 14

372 111 116 6 6 4 14

373 111 114 4 4 6 14

374 111 131 21 2 5 14

375 111 116 6 5 7 19

376 112 119 8 6 8 14

377 112 121 10 4 9 14

378 112 128 17 8 4 14

379 113 114 2 5 5 19

380 113 117 5 6 4 14

381 113 123 11 4 9 14

382 114 119 6 5 7 19

383 114 122 9 7 5 14

384 114 124 11 4 9 14

385 114 129 16 8 4 14

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111

386 114 126 13 6 8 14

387 115 116 2 5 5 19

388 115 125 11 4 9 14

389 115 132 18 2 5 14

390 116 124 9 7 5 19

391 116 121 6 5 7 19

392 116 128 13 4 9 14

393 116 130 15 8 4 14

394 117 118 2 5 5 19

395 117 130 14 4 9 14

396 117 125 9 7 5 19

397 118 142 25 8 4 14

398 118 120 3 4 6 14

399 118 122 5 5 7 19

400 118 134 17 2 5 14

401 119 121 3 4 6 14

402 119 123 5 6 4 14

403 119 133 15 5 8 14

404 120 139 20 8 4 14

405 120 121 2 4 6 14

406 120 124 5 6 4 14

407 120 126 7 7 5 19

408 121 135 15 5 8 14

409 121 122 2 4 6 14

410 121 125 5 6 4 14

411 121 140 20 8 4 14

412 122 123 2 4 6 14

413 122 126 5 6 4 14

414 122 136 15 2 5 14

415 122 128 7 7 5 19

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112

416 122 137 16 5 8 14

417 123 127 5 6 4 14

418 123 131 9 4 9 14

419 123 141 19 8 4 14

420 123 139 17 5 8 16

421 124 131 8 4 9 14

422 124 138 15 2 5 14

423 125 141 17 5 8 16

424 125 134 10 4 9 14

425 125 135 11 8 4 14

426 126 136 11 4 9 14

427 126 143 18 5 8 16

428 127 134 8 8 4 14

429 127 137 11 4 9 14

430 127 144 18 5 8 16

431 128 130 3 4 6 14

432 128 139 12 2 5 14

433 129 148 20 8 4 14

434 129 130 2 5 5 19

435 129 131 3 4 6 14

436 129 131 3 6 4 14

437 130 133 4 5 7 19

438 130 132 3 4 6 14

439 130 132 3 6 4 14

440 130 161 32 8 4 14

441 131 146 16 7 8 19

442 131 132 2 5 5 14

443 131 138 8 4 9 14

444 131 141 11 2 5 14

445 131 133 3 6 4 14

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113

446 132 136 5 5 7 14

447 132 141 10 4 9 14

448 132 152 21 8 4 14

449 133 133 1 5 5 14

450 133 143 11 4 9 14

451 133 138 6 5 7 14

452 134 154 21 8 4 14

453 134 136 3 4 6 14

454 134 135 2 5 5 14

455 134 143 10 7 5 14

456 135 149 15 2 4 14

457 135 137 3 6 4 14

458 135 137 3 4 6 14

459 135 142 8 5 7 14

460 136 155 20 8 4 14

461 136 137 2 5 5 14

462 136 138 3 6 4 14

463 137 144 8 7 5 14

464 137 144 8 4 9 14

465 137 143 7 5 7 14

466 138 139 2 5 5 14

467 138 144 7 4 9 14

468 138 156 19 8 4 16

469 138 150 13 2 4 14

470 139 145 7 5 7 14

471 139 142 4 4 6 14

472 139 145 7 7 5 14

473 140 140 1 5 5 14

474 140 157 18 8 4 16

475 140 142 3 4 6 14

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114

476 140 143 4 6 4 14

477 140 148 9 5 7 14

478 141 143 3 4 6 14

479 141 144 4 6 4 14

480 141 142 2 5 5 14

481 142 159 18 8 4 16

482 142 145 4 6 4 14

483 142 144 3 4 6 14

484 142 149 8 5 7 14

485 142 151 10 2 4 14

486 143 147 5 7 5 14

487 143 148 6 5 8 14

488 143 147 5 4 9 14

489 143 147 5 6 4 14

490 144 160 17 8 4 16

491 144 150 7 5 8 14

492 144 149 6 4 9 14

493 144 148 5 7 5 14

494 145 152 8 5 8 14

495 145 150 6 4 9 14

496 145 177 33 8 4 16

497 146 149 4 7 5 14

498 146 151 6 4 9 14

499 146 154 9 5 8 14

500 147 179 33 8 4 14

501 148 163 16 4 9 14

502 148 156 9 5 8 14

503 149 152 4 4 6 14

504 149 150 2 7 5 14

505 149 158 10 5 8 14

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115

506 149 240 92 2 5 14

507 149 180 32 8 4 14

508 150 172 23 6 8 14

509 150 156 7 4 6 14

510 150 160 11 5 8 14

511 151 158 8 4 6 14

512 151 193 43 1 5 14

513 151 241 91 2 5 14

514 151 181 31 8 4 14

515 151 152 2 5 5 14

516 152 156 5 4 6 14

517 152 155 4 5 7 14

518 153 174 22 6 8 14

519 153 194 42 1 5 14

520 153 182 30 8 4 14

521 153 163 11 6 4 14

522 153 156 4 4 6 14

523 153 177 25 7 8 14

524 153 154 2 5 5 14

525 154 157 4 5 7 14

526 155 157 3 4 6 14

527 155 164 10 6 4 14

528 155 242 88 2 5 14

529 155 183 29 8 4 14

530 155 156 2 5 5 14

531 156 166 11 6 4 14

532 156 158 3 4 6 16

533 156 179 24 7 8 14

534 156 159 4 5 7 14

535 157 195 39 1 5 14

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116

536 157 176 20 6 8 14

537 157 168 12 6 4 16

538 157 160 4 4 6 16

539 157 184 28 8 4 14

540 157 158 2 5 5 14

541 158 181 24 7 8 14

542 158 169 12 6 4 16

543 158 162 5 4 6 16

544 158 162 5 5 7 14

545 159 185 27 8 4 14

546 159 243 85 1 5 14

547 159 160 2 5 5 14

548 160 171 12 6 4 16

549 160 163 4 4 6 16

550 160 182 23 7 8 14

551 160 163 4 5 7 14

552 161 163 3 4 6 14

553 161 172 12 6 4 16

554 161 203 43 8 4 14

555 161 162 2 5 5 14

556 162 165 4 5 7 14

557 162 174 13 6 4 14

558 162 164 3 4 9 14

559 163 244 82 2 5 14

560 163 204 42 8 4 14

561 163 184 22 7 8 14

562 163 164 2 5 5 14

563 164 166 3 4 9 14

564 164 186 23 7 8 14

565 164 164 1 8 4 14

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117

566 164 167 4 5 7 14

567 165 166 2 5 5 14

568 165 169 5 4 9 14

569 166 187 22 7 8 14

570 166 168 3 5 6 14

571 166 166 1 8 4 14

572 167 168 2 5 5 14

573 167 189 23 6 8 14

574 167 169 3 4 4 16

575 168 171 4 5 6 14

576 168 208 41 8 4 14

577 169 171 3 4 9 16

578 169 172 4 5 6 14

579 169 175 7 5 6 14

580 169 246 78 1 5 14

581 169 191 23 6 8 14

582 170 209 40 8 4 14

583 170 245 76 2 5 14

584 170 172 3 4 9 16

585 171 175 5 8 4 14

586 172 245 74 2 5 14

587 172 192 21 6 8 14

588 172 174 3 4 9 16

589 173 194 22 6 8 14

590 173 196 24 8 4 14

591 173 176 4 4 9 14

592 173 200 28 2 4 14

593 175 175 1 8 4 14

594 175 176 2 4 4 14

595 176 178 3 4 10 14

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118

596 177 201 25 2 4 14

597 177 212 36 8 4 14

598 177 248 72 1 5 14

599 177 178 2 4 6 16

600 178 219 42 8 4 14

601 178 186 9 6 4 16

602 178 181 4 4 6 14

603 180 187 8 6 4 14

604 180 183 4 4 6 14

605 180 218 39 8 4 14

606 181 188 8 6 4 14

607 181 184 4 4 6 14

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Tabela 22 – Matriz distância entre máquinas

Fonte: Adaptado de Dos Santos (2017)

Carcaça 1 Carcaça 2 Carcaça 3 Extrusora 1 Extrusora 2 Espiraladora 1 Espiraladora 2 Armadora Respool 1 Respool 2

Carcaça 1 0 8,0 8,0 168,5 39,0 200,5 211,0 28,5 280,0 295,0

Carcaça 2 8,0 0 16,0 160,5 31,0 192,5 203,0 20,5 272,0 287,0

Carcaça 3 8,0 16,0 0 176,5 47,0 208,5 219,0 36,5 288,0 303,0

Extrusora 1 168,5 160,5 176,5 119 10,5 151,0 161,5 21,5 230,5 245,5

Extrusora 2 39,0 31,0 47,0 10,5 140 21,5 32,0 150,5 146,0 161,0

Espiraladora 1 200,5 192,5 208,5 151,0 21,5 183 198,0 17,5 167,5 182,5

Espiraladora 1 211,0 203,0 219,0 161,5 32,0 198,0 204 28,5 178,0 193,0

Armadora 28,5 20,5 36,5 21,5 150,5 17,5 28,5 159 250,5 265,5

Respool 1 280,0 272,0 288,0 230,5 146,0 167,5 178,0 250,5 0 15,0

Respool 2 295,0 287,0 303,0 245,5 161,0 182,5 193,0 265,5 15,0 0

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Tabela 23 – Solução ótima da alocação de bobinas aos usos

Uso Bobina Tamanho da

bobina (Polegadas)

Ordem do Uso

Instante de liberação

(Dias)

1 30 14 1 1

2 50 16 1 17

3 31 14 1 1

4 32 14 1 1

5 33 14 1 1

6 56 17 1 23

7 64 19 1 25

8 34 14 1 1

9 24 14 1 2

10 25 14 1 2

11 65 19 1 25

12 35 14 1 1

13 73 22 1 27

14 21 14 1 3

15 66 19 1 25

16 36 14 1 1

17 19 14 1 4

18 37 14 1 1

19 51 16 1 17

20 67 19 1 25

21 31 14 2 1

22 52 16 1 17

23 22 14 1 3

24 68 19 1 25

25 38 14 1 1

26 26 14 1 2

27 39 14 1 1

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121

28 48 16 1 18

29 69 19 1 25

30 40 14 1 1

31 41 14 1 1

32 42 14 1 1

33 53 16 1 17

34 70 19 1 25

35 18 14 1 5

36 17 14 1 6

37 68 19 2 25

38 57 17 1 23

39 36 14 2 1

40 71 19 1 25

41 72 19 1 25

42 69 19 2 25

43 66 19 2 25

44 43 14 1 1

45 62 19 1 26

46 58 17 1 23

47 65 19 2 25

48 70 19 2 25

49 63 19 1 26

50 54 16 1 17

51 49 16 1 18

52 27 14 1 2

53 69 19 3 25

54 71 19 2 25

55 50 16 2 17

56 39 14 2 1

57 67 19 2 25

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122

58 65 19 3 25

59 10 14 1 11

60 62 19 2 26

61 42 14 2 1

62 23 14 1 3

63 68 19 3 25

64 55 17 1 24

65 73 22 2 27

66 30 14 2 1

67 27 14 2 2

68 15 14 1 8

69 11 14 1 10

70 42 14 3 1

71 71 19 3 25

72 47 16 1 19

73 62 19 3 26

74 72 19 2 25

75 21 14 2 3

76 50 16 3 17

77 66 19 3 25

78 51 16 2 17

79 54 16 2 17

80 70 19 3 25

81 52 16 2 17

82 64 19 2 25

83 23 14 2 3

84 17 14 2 6

85 67 19 3 25

86 15 14 2 8

87 5 14 1 13

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123

88 73 22 3 27

89 37 14 2 1

90 6 14 1 13

91 52 16 3 17

92 16 14 1 7

93 30 14 3 1

94 59 17 1 23

95 34 14 2 1

96 26 14 2 2

97 72 19 3 25

98 28 14 1 2

99 73 22 4 27

100 47 16 2 19

101 33 14 2 1

102 60 17 1 23

103 70 19 4 25

104 56 17 2 23

105 53 16 2 17

106 34 14 3 1

107 3 14 1 15

108 11 14 2 10

109 32 14 2 1

110 31 14 3 1

111 47 16 3 19

112 41 14 2 1

113 8 14 1 12

114 57 17 2 23

115 5 14 2 13

116 50 16 4 17

117 51 16 3 17

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124

118 4 14 1 14

119 67 19 4 25

120 11 14 3 10

121 59 17 2 23

122 61 17 1 23

123 48 16 2 18

124 54 16 3 17

125 52 16 4 17

126 43 14 2 1

127 24 14 2 2

128 45 16 1 21

129 25 14 2 2

130 57 17 3 23

131 72 19 4 25

132 64 19 3 25

133 19 14 2 4

134 47 16 4 19

135 65 19 4 25

136 48 16 3 18

137 6 14 2 13

138 64 19 4 25

139 23 14 3 3

140 29 14 1 2

141 69 19 4 25

142 4 14 2 14

143 63 19 2 26

144 10 14 2 11

145 46 16 1 20

146 32 14 3 1

147 3 14 2 15

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125

148 35 14 2 1

149 33 14 3 1

150 15 14 3 8

151 6 14 3 13

152 13 14 1 9

153 38 14 2 1

154 37 14 3 1

155 45 16 2 21

156 22 14 2 3

157 66 19 4 25

158 4 14 3 14

159 25 14 3 2

160 71 19 4 25

161 40 14 2 1

162 29 14 2 2

163 70 19 5 25

164 37 14 4 1

165 18 14 2 5

166 28 14 2 2

167 12 14 1 10

168 3 14 3 15

169 29 14 3 2

170 36 14 3 1

171 42 14 4 1

172 62 19 4 26

173 34 14 4 1

174 10 14 3 11

175 5 14 3 13

176 16 14 2 7

177 8 14 2 12

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126

178 9 14 1 12

179 71 19 5 25

180 45 16 3 21

181 53 16 3 17

182 61 17 2 23

183 58 17 2 23

184 73 22 5 27

185 46 16 2 20

186 31 14 4 1

187 6 14 4 13

188 49 16 2 18

189 69 19 5 25

190 20 14 1 4

191 62 19 5 26

192 39 14 3 1

193 50 16 5 17

194 53 16 4 17

195 65 19 5 25

196 22 14 3 3

197 16 14 3 7

198 49 16 3 18

199 33 14 4 1

200 7 14 1 13

201 21 14 3 3

202 27 14 3 2

203 73 22 6 27

204 42 14 5 1

205 68 19 4 25

206 62 19 6 26

207 63 19 3 26

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127

208 46 16 3 20

209 52 16 5 17

210 43 14 3 1

211 56 17 3 23

212 50 16 6 17

213 26 14 3 2

214 32 14 4 1

215 49 16 4 18

216 51 16 4 17

217 41 14 3 1

218 23 14 4 3

219 47 16 5 19

220 68 19 5 25

221 63 19 4 26

222 72 19 5 25

223 59 17 3 23

224 30 14 4 1

225 47 16 6 19

226 46 16 4 20

227 52 16 6 17

228 50 16 7 17

229 54 16 4 17

230 28 14 3 2

231 24 14 3 2

232 72 19 6 25

233 27 14 4 2

234 65 19 6 25

235 62 19 7 26

236 11 14 4 10

237 29 14 4 2

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128

238 30 14 5 1

239 35 14 3 1

240 73 22 7 27

241 46 16 5 20

242 10 14 4 11

243 21 14 4 3

244 40 14 3 1

245 15 14 4 8

246 30 14 6 1

247 65 19 7 25

248 29 14 5 2

249 71 19 6 25

250 66 19 5 25

251 56 17 4 23

252 72 19 7 25

253 28 14 4 2

254 38 14 3 1

255 10 14 5 11

256 3 14 4 15

257 51 16 5 17

258 36 14 4 1

259 14 14 1 9

260 57 17 4 23

261 8 14 3 12

262 48 16 4 18

263 71 19 7 25

264 45 16 4 21

265 12 14 2 10

266 67 19 5 25

267 61 17 3 23

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129

268 13 14 2 9

269 64 19 5 25

270 19 14 3 4

271 51 16 6 17

272 57 17 5 23

273 6 14 5 13

274 60 17 2 23

275 45 16 5 21

276 66 19 6 25

277 59 17 4 23

278 30 14 7 1

279 70 19 6 25

280 64 19 6 25

281 26 14 4 2

282 28 14 5 2

283 6 14 6 13

284 4 14 4 14

285 45 16 6 21

286 13 14 3 9

287 35 14 4 1

288 34 14 5 1

289 22 14 4 3

290 59 17 5 23

291 16 14 4 7

292 57 17 6 23

293 70 19 7 25

294 53 16 5 17

295 42 14 6 1

296 40 14 4 1

297 28 14 6 2

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130

298 56 17 5 23

299 66 19 7 25

300 69 19 6 25

301 17 14 3 6

302 24 14 4 2

303 43 14 4 1

304 59 17 6 23

305 51 16 7 17

306 35 14 5 1

307 42 14 7 1

308 55 17 2 24

309 41 14 4 1

310 33 14 5 1

311 34 14 6 1

312 44 16 1 22

313 43 14 5 1

314 49 16 5 18

315 45 16 7 21

316 4 14 5 14

317 63 19 5 26

318 7 14 2 13

319 30 14 8 1

320 53 16 6 17

321 69 19 7 25

322 43 14 6 1

323 33 14 6 1

324 31 14 5 1

325 63 19 6 26

326 66 19 8 25

327 13 14 4 9

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131

328 52 16 7 17

329 20 14 2 4

330 1 14 1 16

331 57 17 7 23

332 69 19 8 25

333 9 14 2 12

334 35 14 6 1

335 31 14 6 1

336 2 14 1 16

337 63 19 7 26

338 56 17 6 23

339 62 19 8 26

340 12 14 3 10

341 32 14 5 1

342 9 14 3 12

343 36 14 5 1

344 55 17 3 24

345 69 19 9 25

346 23 14 5 3

347 73 22 8 27

348 49 16 6 18

349 19 14 4 4

350 62 19 9 26

351 65 19 8 25

352 43 14 7 1

353 69 19 10 25

354 68 19 6 25

355 9 14 4 12

356 41 14 5 1

357 26 14 5 2

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132

358 17 14 4 6

359 35 14 7 1

360 47 16 7 19

361 72 19 8 25

362 52 16 8 17

363 66 19 9 25

364 62 19 10 26

365 63 19 8 26

366 50 16 8 17

367 70 19 8 25

368 34 14 7 1

369 21 14 5 3

370 65 19 9 25

371 9 14 5 12

372 35 14 8 1

373 53 16 7 17

374 30 14 9 1

375 73 22 9 27

376 59 17 7 23

377 51 16 8 17

378 72 19 9 25

379 67 19 6 25

380 1 14 2 16

381 28 14 7 2

382 68 19 7 25

383 10 14 6 11

384 65 19 10 25

385 48 16 5 18

386 56 17 7 23

387 69 19 11 25

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133

388 47 16 8 19

389 23 14 6 3

390 71 19 8 25

391 62 19 11 26

392 67 19 7 25

393 34 14 8 1

394 70 19 9 25

395 57 17 8 23

396 64 19 7 25

397 53 16 8 17

398 35 14 9 1

399 73 22 10 27

400 41 14 6 1

401 55 17 4 24

402 16 14 5 7

403 1 14 3 16

404 25 14 4 2

405 12 14 4 10

406 50 16 9 17

407 70 19 10 25

408 68 19 8 25

409 45 16 8 21

410 59 17 8 23

411 37 14 5 1

412 26 14 6 2

413 42 14 8 1

414 58 17 3 23

415 69 19 12 25

416 49 16 7 18

417 51 16 9 17

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134

418 43 14 8 1

419 35 14 10 1

420 52 16 9 17

421 21 14 6 3

422 5 14 4 13

423 62 19 12 26

424 16 14 6 7

425 12 14 5 10

426 71 19 9 25

427 73 22 11 27

428 66 19 10 25

429 10 14 7 11

430 59 17 9 23

431 70 19 11 25

432 18 14 3 5

433 26 14 7 2

434 63 19 9 26

435 64 19 8 25

436 47 16 9 19

437 72 19 10 25

438 69 19 13 25

439 39 14 4 1

440 55 17 5 24

441 65 19 11 25

442 51 16 10 17

443 17 14 5 6

444 7 14 3 13

445 67 19 8 25

446 9 14 6 12

447 63 19 10 26

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135

448 70 19 12 25

449 47 16 10 19

450 30 14 10 1

451 34 14 9 1

452 69 19 14 25

453 51 16 11 17

454 39 14 5 1

455 21 14 7 3

456 32 14 6 1

457 57 17 9 23

458 23 14 7 3

459 50 16 10 17

460 45 16 9 21

461 66 19 11 25

462 47 16 11 19

463 28 14 8 2

464 41 14 7 1

465 12 14 6 10

466 42 14 9 1

467 48 16 6 18

468 72 19 11 25

469 1 14 4 16

470 9 14 7 12

471 66 19 12 25

472 58 17 4 23

473 34 14 10 1

474 64 19 9 25

475 57 17 10 23

476 17 14 6 6

477 67 19 9 25

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478 18 14 4 5

479 71 19 10 25

480 25 14 5 2

481 51 16 12 17

482 68 19 9 25

483 34 14 11 1

484 37 14 6 1

485 56 17 8 23

486 42 14 10 1

487 35 14 11 1

488 5 14 5 13

489 62 19 13 26

490 66 19 13 25

491 50 16 11 17

492 53 16 9 17

493 63 19 11 26

494 17 14 7 6

495 7 14 4 13

496 57 17 11 23

497 21 14 8 3

498 28 14 9 2

499 71 19 11 25

500 12 14 7 10

501 58 17 5 23

502 68 19 10 25

503 42 14 11 1

504 41 14 8 1

505 62 19 14 26

506 65 19 12 25

507 9 14 8 12

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508 73 22 12 27

509 25 14 6 2

510 67 19 10 25

511 21 14 9 3

512 52 16 10 17

513 35 14 12 1

514 18 14 5 5

515 32 14 7 1

516 41 14 9 1

517 26 14 8 2

518 39 14 6 1

519 59 17 10 23

520 34 14 12 1

521 50 16 12 17

522 22 14 5 3

523 63 19 12 26

524 1 14 5 16

525 37 14 7 1

526 56 17 9 23

527 32 14 8 1

528 17 14 8 6

529 42 14 12 1

530 47 16 12 19

531 1 14 6 16

532 69 19 15 25

533 24 14 5 2

534 70 19 13 25

535 71 19 12 25

536 44 16 2 22

537 49 16 8 18

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538 45 16 10 21

539 23 14 8 3

540 26 14 9 2

541 47 16 13 19

542 68 19 11 25

543 72 19 12 25

544 22 14 6 3

545 41 14 10 1

546 13 14 5 9

547 37 14 8 1

548 62 19 15 26

549 64 19 10 25

550 26 14 10 2

551 25 14 7 2

552 51 16 13 17

553 61 17 4 23

554 21 14 10 3

555 69 19 16 25

556 70 19 14 25

557 37 14 9 1

558 66 19 14 25

559 67 19 11 25

560 45 16 11 21

561 60 17 3 23

562 55 17 6 24

563 69 19 17 25

564 54 16 5 17

565 72 19 13 25

566 22 14 7 3

567 50 16 13 17

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568 6 14 7 13

569 27 14 5 2

570 32 14 9 1

571 51 16 14 17

572 72 19 14 25

573 2 14 2 16

574 55 17 7 24

575 51 16 15 17

576 56 17 10 23

577 50 16 14 17

578 64 19 11 25

579 1 14 7 16

580 11 14 5 10

581 8 14 4 12

582 32 14 10 1

583 46 16 6 20

584 49 16 9 18

585 68 19 12 25

586 29 14 6 2

587 72 19 15 25

588 55 17 8 24

589 14 14 2 9

590 51 16 16 17

591 62 19 16 26

592 3 14 5 15

593 64 19 12 25

594 61 17 5 23

595 37 14 10 1

596 39 14 7 1

597 1 14 8 16

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598 73 22 13 27

599 68 19 13 25

600 61 17 6 23

601 44 16 3 22

602 64 19 13 25

603 63 19 13 26

604 38 14 4 1

605 68 19 14 25

606 24 14 6 2

607 12 14 8 10