Este livro trata fundamentalmente do comportamento de circuitoselétricos em corrente alternada, cujos dispositivos básicos são: resistor,indutor e capacitor.

A resolução de circuitos elétricos consiste basicamente no cálculode correntes, tensões e potências.

Para tanto, necessitamos de instrumentos matemáticos quetomem. possível a melhor compreensão deste assunto.

Sendo assim, primeiramente estudaremos a teoria do númerocomplexo, que será o instrumento matemático vital para a resolução decircuitos em corrente alternada e, em seguida, estudaremos o diagramafasorial, que será importante para a análise e visualização dos fenômenoselétricos em corrente alternada.

o conceito de número complexo ou número imaginário foiintroduzido com o intuito de se poder representar raízes quadradas denúmeros negativos, cujos resultados não fazem parte do conjunto dosnúmeros reais.

Números Complexos 1

Exemplos:

I ..pi ; .J7j ; .J-I0

Consideremos a seguinte definição:

Denomina-se unidade imaginária o número j, tal que:

Desta forma, é possível representar a raiz quadrada de um númeronegativo através do número imaginário da seguinte forma:

h=Jr;.=jJ;.

Exemplos:

1) ..pi =Jr4 = jJ4 = j2

2) .J7j =~ =jJ9 =j3

3) .J-I0 = ~j2 . 10 = jM

Da definição de unidade imaginária, j2 = -1, pode-se deduzirtambém que:

. j3 = j2.j =(-I).j =-j

. j4 =j2.j2 =(-1).(-1) =1

. j5 = j2.j2.j = (-I).(-I).j =j

. j6 = l.j2 .j2= (-1).(-1).(-1)= -1

. e assim por diante.

2

Um número complexo possui três fonnas diferentes de representação:

. Fonna Cartesiana

. Fonna Polar

. Fonna Trigonométrica

Cada uma destas formas 'pode ser utilizada dependendo dasoperações matemáticas envolvidas nos cálculos, como será visto maisadiante.

Forma Cartesiana

Genericamente, todo número complexo z pode ser representadona forma cartesiana por:

Onde: . a e b são números reais

. j representa a unidade imaginária

O plano cartesiano utilizado para representar um númerocomplexo z é fonnado por um eixo real (abcissa), onde se localiza aquantidade a, e um eixo imaginário (ordenada), onde se localiza aquantidade b, como mostra a figura 1.1.

EixoImaginário

(1m)

b

z(a,b)IIII

Eixo Real (R)a

Figura 1.1 - Plano Cartesiano para Números Complexos

Números Complexos 3

Exemplos:

Representar os números complexos a seguir no plano cartesiano:

. Zl =4+j4 . zs=-5

. z2=7 (não tem parte imaginária) . z6=-4-j3

. z3=j3 (não tem parte real) . z7=-j4

. z4=-3+j2 . zg=4-j3

No plano cartesiano, estes números ficam representados daseguinte forma:

Zs

1m

4 'Zt

3 zJ :

z 2 :

I II 1 II ~

-4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 6 7 -Ri -1 iI II -2 II I

3 4Z6 Zs

-4 Z7

-7 -6 -5

Forma Polar

Seja o número complexo z = a + jb representado no planocartesiano, como mostra a figura 1.2.

1m

a RO

Figura 1.2 -Forma Polar do Número Complexo

4

Na forma polar, o segmento de reta oz = Z representao módulodo número complexoz e <I>(letragrega fi)representa o argumento (ânguloou fase) de z, tomando-se como referência a parte positivado eixo real.

Assim, a forma polar de se representar um número complexoé a seguinte:

OBSERVAÇÕES:. De uma forma geral, um número complexo genérico é

representado por uma letra minúscula (z), sendo o seumóduIo representado por uma letra maiúscula (Z),salvoalgumas exceções. Isto ocorre porque, como será vistomais adiante, os números complexos servem para

. representar grandezas que variam em função do tempo,sendo esta a representação usual. Nas exceções, comotambém será visto mais adiante, tanto o número complexoquanto seu módulosão representados por letrasmaiúsculas.

Alguns autores representam o número complexo desta

forma: Z=Z~

.

Conversão entre Graus e Radianos

o ângulo <I>pode ser dado em graus (O)ou em radianos (rd).A conversão de uma unidade para outra é feita por uma simples regra de

três, tomando-se como referência que 1trd corresponde a 180°.

Exemplos:

Converter 45° para radianos e 1t/6 rd para graus.

1t ~ 180°

<I>(rd)~ 45°

1t ~ 180

1t/ 6 ~ <1>(°)

45 . 1t - 1trd<I>= 180 - 4

(1t/6) . 180 = 30°<1>= 1t

Números Complexos 5

Transformação da Forma Cartesiana para Polar

Para a transformação da forma cartesiana para a polar, valemas expressões:

Dependendo do quadrante em que está localizadoo segmento oz ,o cálculodo ângulo cI>precisa ser corrigidopara que o seu valortenha comoreferência sempre a parte positiva do eixo real.

Exemplos:

1) Segmento oz no 2Q quadrante:

2cI>'= arctg- = 340

3

Logo:

cI>= 180-cI>' = 180-34 = 1460

1m

z

R-3

-L-

8

l'

2) Segmento oz no 3Q quadrante:

2<1>'= arctg- = 3403

Logo:

<I>= 180+<1>'= 180+34 = 2140 ou

<I>= <1>'-180 = 34 -180 = -14601m

R

z

- 23) Segmento oz no 4Qquadrante <1>'= arctg- = 3403

Logo:

<I>= 360 - <1>'= 360 - 34 = 3260 ou

<I>= -<1>'= -3401m

3 R

z

Números Complexos 7

Sabendo-se as expressões do módulo e da fase de um númerocomplexo, e orientando-se pelo plano cartesiano para a devida correçãoda fase, pode-se fazer a transformação da forma cartesiana para apoIar.

Exemplos:

Transformar os números complexos a seguir, da forma cartesianapara a polar, representando-os no plano cartesiano:

a) Z1 = 4 + j4 1m

4

21 = .J42 +42 =4../24

<1>1 =arctg- =45°4

:. Z1= 4../2 145° o 4 R

b) Z2= 7 (não tem parte imaginária)

22 =7

<1>2= 0°

:. Z2= 7 ~

1m

c) Z3 =j3 (não tem parte real) O

23 =3

<1>3= 90°

:. Z3= 3 I 90°

Poderíamos representar,

também, por: z3 =3 I - 270°-J-

8

Z2 .R.7

Imt Z33

1\3.RO

R

26 = ~(-4)2 + (-3)2 = 5

<1>6 = arctg ~ ==370

logo, <1>6= 180+ 37 = 2170

:.26 = 5 12170 Z6

g) 27 = -j41m

o

27 =4

<1>7 = 2700 ou <1>7= -900

:. 27 = 4 12700 ou 27 = 4 1-900

Rcil7

~

-4. Z7

w

Números Complexos 9

1-

d) 24 = -3+ j21m

24 = (-3)2 + 22 = J13== 3,62

<1>4 = arctg3 ==340Z4

logo, <1>4= 180 - 34 = 1460

:.24 = 3,6 11460

i10'

R-3

e) 25 = -51m

25 =5

<1>5 = 1800:. 25 = 5 11800 Z5 Z5 .. I ' R

-5

f) 26 = -4 - j3

l'

h) Z8 =4-j31m

o 4

RZ8 = J42 +(-3)2 = 5

<1>8= arctg ~ ==37°

logo, <1>8= 360 - 37 = 323°

:. z8 = 5 1323° ou z8 = 5

Zg

1-37°

Transformação da Forma Polar para Cartesiana

Da figura 1.3, obtêm-se, por trigonometria, as expressões de a e b:

Figura1.3 -Forma Trigonométrica do Número Complexo

Estas expressões podem ser utilizadas para a transformação daforma polar para a cartesiana.

Portanto, um número complexo pode também ser representadona forma trigonométrica, como segue:

10

a =Z.cos<l> e b = Z.sen<l>

1m

b_m.-7:'Z.sencjl

O, Z.coscjl a R

Exemplos:

Transformar os números complexos a seguir,da forma polar paraa cartesianà, representando-os no plano cartesiano:

a) 21 =10 I 60°

a = 10.cos600= 10 . 0,5 = 5

b = 10.sen600= 10 . 0,866 = 8,66

:.21 = 5 + j8,66

1m

o R

b) 22 = 20 1120°

a = 20.cos120° = 20.(-0,5) = -10b = 20.sen 120°= 20 . 0,866 = 17,32

:.22 =-10+j17,32

1m

R

c) 23 = 50 1-30°1m

43,40O1"""- J I. -30" I RI

-25~-__5~_~Z:3

1m

O R

a = 50.cos(-300) = 50 . 0,866 = 43,30

b = 50.sen(-300) = 50.(-0,5) = -25

:. 23 = 43,30 - j25

d) 24 = 100 1180°

-t-

a = 100. cos180° = 100.(-1) = -100

b = 100.sen1800= 100.(0) = O-100

:.24 = -100 z,-- 100

Números Complexos 11

1m l'

e) Z5 = 6 I - 90°

a = 6.cos(-900) = 6.(0) = Ob = 6.sen(-900) = 6.(-1) =-6

:.z5 =-j6

f) Z6= 20 I 240°

a = 20.cos2400= 20.(-0,5) = -10b = 20.sen2400= 20.(-0,866) = -17,32

:. Z6= -10 - j17,32 -~oIIII

!/20JI---f -1732~ '

R

g) Z7 =30 I 45°1m

a = 30.cos45°= 30 . 0,707 = 21,21

b = 30.sen45°= 30 . 0,707 = 21,21

:. Z7 = 21,21 + j21,21

21,21 i- -- - - - -;fZ,

21;21 Ro

12

o....R

-90"r

6

-6. Zs

1m

As quatro operações matemáticas básicaspodem ser realizadascom números complexos de forma bastante simples, conforme veremos aseguir.

Soma e Subtração

Para somar ou subtrair dois números complexos, utiliza-se aforma cartesiana, somando-se ou subtraindo-se as partes real e imagináriacorrespondentes.

Assim, considerando-se os seguintes números complexos genéricos:

ZI = aI + jb1 e Z2 =a2 + jb2

as operações soma zl + z2 e subtração zl -z2 podem ser realizadasconforme segue:

Exemplos:

Considere os seguintes números complexos:

ZI =10+ jl0

Obter:

Z2 =5+ j4 Z3 = -5+ j15 Z4= -10 - j20

a) ZI +z2 = (10 +5)+ j(10 +4) = 15 + j14

b) Z3 + Z4 = [-5 + (-10)] + j[15 + (-20)] =-15 - j5

zl +z4 =[10+(-10)]+j[10+(-20)]=-jl0c)-L-

Números Complexos 13

l'

d) Z2 +Z3 = [5+(-5)]+ j(4+15) = j19

e) Zl - Z2 = (10 - 5) + j[10 - 4) = 5 + j6

f) Z2-Zl = (5-10)+ j[4-10) = -5- j6

Z3- Z4 = [-5 - (-10)J + j[15 - (-20)J =5 + j35g)

h) Z4 - z3 =[-10 - (-5)] + j(-20 -15) = -5 - j35

Z2 -Z3 = [5- (-5)] + j(4-15) = 10 - jlli)

j) Z3- z2 = (-5 - 5) + j(15- 4) = -10 + jll

Multiplicação e Divisão

Para multiplicar ou dividir dois números complexos, utiliza-sea forma polar da seguinte maneira:

Multiplicação: Multiplicam-se os módulos e somam-se osargumentos (ângulos).

Divisão: Dividem-se os módulos e subtraem-se os argumentos(ângulos).

Assim, considerando-se os seguintes números complexos genéricos:

Zl =21 ~ Z2 =22l...!Le

as operações multiplicação zl.z2 e divisão z/z2 podem ser realizadasconforme segue:

14

Exemplos:

Considere os seguintes números complexos:

ZI = 4 + j4 = 4J21 45° Z2 = 5 + j8,66 = 10 1 60°

Z3 =-j4=41-9oo=4 1270° z4 =-5+j8,66 =10 1120°

Obter:

a) zl,z2 = 4J21 45° . 10 I 60° =>

zl,z2 = 4J2 . 10 145°+60° = 56,6 1105°

b) z2.z3=loI6O° .41-900 =10.41600-900 =40 1-300

ou

z2.z3 = 10 1600 . 4 I 2700 = 10 . 41 600+2700 = 40 13300

c) Z3'Z4= 4 1-900 . 10 11200 = 4. 10 1 -900+1200 = 40 1300

d) zl.z4 = 4J2 145° . 10 1120° = 40J2 1165°

4J2 145° = 4J2 145°-60° = 0,4J2 1-15°e) ZIIz2 = 10 160° 10

- 10~ =~ 1600-45°=1,25J21135°f) z2 1 z3 - 4J2145° 4J2

4J21 45° = 4J2 145°-(-90°)=J2 1135°g) zl/z3=~ 4

4 ~ - ~ 1-90°-60° = 0,4 1-150°h) z3 1 z2 = 10 160° - 10

-t-

Números Complexos 15

É possível, também, realizar as operações de multiplicação e divisãousando a forma cartesiana, porém o processo é um pouco mais trabalhoso.

Multiplicação: Aplica-se a propriedade distributiva e somam-seas partes reais e imaginárias resultantes.

Exemplo:

Usando a forma cartesiana, realizar a operação zl.z2' conformeo item (a) do exemplo anterior, e comparar os resultados:

ZI.Z2 =(4 + j4).(5 + j8,66) ~

zl.z2 =(4.5) + (4.j8,66) + (j4.5) + (j4.j8,66) ~

zl.z2 = 20 + j34,64 + j20 + j234,64 ~

zl.z2 = 20 + j54,64-34,64 = -14,64+ j54,64

Convertendo o resultado para a forma polar, tem-se:

21.22 = ~(-14,64)2 +(54,64)2 = 56,6

"', - 54,64 - 75°'t' - arctg1464 =,logo, cp= 180 - 75 = 105° e, portanto, zl.z2 = 56,6 1105°

Para realizar a operação de divisão entre dois números complexosna forma cartesiana, é necessário utilizar o conceito de conjugado.

18

1-

i) 10 1120° = 10 1120°-60° = 1 160°z4 /z2 = 10 160° 10

10 1120° = 10 1120°-(-90°)= 2,51 210°j)z4 /z3 = 4 1-90° 4

Conjugado de um Número Complexo

Dado um número complexo genérico z = a + jb ou z =I~_j), oseu conjugado z* é definido como:

bt' ~zIIII

RIaIII

-b+- - - - - - - z*

Figura 1.4 - Conjugado de um Número Complexo

A multiplicação de um número complexo pelo seu conjugado tema qualidade de eliminar a parte imaginária do mesmo, pois:

z.z* = (a + jb).(a - jb) = a2 + b2 (resultado somente com parte real)

Desta forma, a divisão entre dois números complexos na formacartesiana pode ser realizada como segue:

Divisão: Acha-se o conjugado (z*) do denominador, multiplica-

o pelo numerador e pelo denominador, e realizam-se, em seguida, asoperações necessárias para simplificar o resultado.

Exemplo:

Usando a forma cartesiana, realizar a operação z4/z2' conformeo item (i) do exemplo visto anteriormente, e comparar os resultados:

z / z = (-5 + j8,66).(5 - j8,66) = -25 + j43,3 + j43,3 + 75 ~4 2 (5 + j8,66).(5 - j8,66) 52 + 8,662

/ = 50+ j86,6 = 0,5+ jO,866 = 1 1600z4 z2 100

Números Complexos 17

Representação dos Números Complexos

1.1 - Converter os números complexos a seguir, para a formapolar:

1.2 - Converter os números complexos a seguir, para a formacartesiana:

Operações com Números Complexos

1.3 - Dados os números complexos 21' 22' 23 e 24' efetuar asseguintes operações, deixando as respostas na formacartesiana:

18

a) 21 =20 - jl0 e) 25 =5

b) 22 =10 + j15 f) 26 = -15

c) 23 = -50 + j30 g) 27 = j25

d) 24 = -6 - j12 h) 28 =-j9

a) 21 =50 I 30° e) 25 = 45 1- 90°

b) 22 = 100 1150° f) 26 = 220

c) 23 = 10 1- 30° g) 27 =3,56I 45°

d) 24 = 251 90° h) 28 = 67 1180°

ZI =40 - jl00 Z2 =50 I 30° Z3 =5 + j8,66 Z4= -20 - j40

1.4 - Efetuar as operações dos itens (g), (h), (i)e m do ExercícioProposto 1.3 usando a forma cartesiana.

Números Complexos 19

a) ZI +z2 f) Z3 - Z4

b) zl +z4 g) z

c) Z2 +z4 h) z1,z3

d) zl -z2 i) z4 / zl

e) z2 -z3 j) ZI,(z2 +z3)z4

20