1

SEQÜÊNCIAS E SÉRIES

1. CÁLCULO SOMATÓRIO

Consideremos a seguinte soma indicada : 0 + 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + ... + 100. Podemos observar que cada parcela é um número par e portanto pode ser representada pela forma 2n, neste caso, com n

variando de 0 a 50. Esta soma pode ser representada abreviadamente por: ∑=

50

0n

n.2 , que se lê: “somatório de 2n

com n variando de 0 a 50”. A letra grega ∑ que é o esse maiúsculo grego (sigma) é denominada sinal de

somatório e é usada para indicar uma soma de várias parcelas.

Seja {a1, a2, a3, ..., an} um conjunto de n números reais, o símbolo ∑=

n

1iia representa a sua soma, isto

é, ∑=

n

1iia = a1 + a2 + a3 + ... + a n.

Em ∑=

n

1iia a letra i é denominada índice do somatório (em seu lugar, pode figurar qualquer outra

letra) e s valores 1 e n, neste caso, são denominados, respectivamente, limites inferior e superior . E1)Desenvolva os seguintes somatórios:

1) ∑=

−5

1x

2 )xx( 2) ∑∞

=

−2j

j j.)1( 3) ∑=

5

0nna!n

E2)Escreva sob a forma de somatório as seguintes expressões:

1) 1 – 3 + 5 – 7 + ... 2)5

2446

32

21

1 ++++ 3) 11.9

10...

6.45

5.34

4.23

3.12

+++++

E3)Calcule o valor de:

1) ∑=

−5

0n

n !n.)1( 2) ∑∑==

−

5

0i

2

25

0i

ii

1.1. NÚMERO DE PARCELAS DO SOMATÓRIO

Se na1papan

piia ++++

=

=∑ L , então ∑=

n

piia tem ( n – p + 1 ) parcelas.

E4) Destaque a parcela central e a décima parcela de ∑=

−100

0n

n n3.)1( .

1.2. PROPRIEDADES DO SOMATÓRIO 1. Somatório de uma constante

Sejam ai = k, com i = p,...,n.

k)1pn(kkkaaaak n1pp

n

pii

n

pi

+−=+++=+++== +==∑∑ LL ⇒ ∑

=

+−=n

pi

k).1pn(k

2

2. Somatório do produto de uma constante por uma variável Sejam ka i, com i = p,...,n.

∑∑=

++=

=+++=+++=n

piin1ppn1pp

n

pii ak)aaa(kkakakaka LL ⇒ ∑∑

==

=n

pii

n

pii akka

3. Somatório de uma soma algébrica

Sejam ai ± bi, com i = p,...,n.

)bbb()aaa()ba()ba()ba()ba( n1ppn1ppnn1p1ppp

n

piii +++±+++=±++±+±=± ++++

=∑ LLL

∑∑==

±=n

pii

n

pii ba ⇒ ∑∑∑

===

±=±n

pii

n

pii

n

piii ba)ba(

4. Separação do último termo

n

1n

pii

n

pii aaa += ∑∑

−

==

5. Separação do primeiro termo

∑∑+=

+=

=

n

1piiapa

n

piia

6. Avanço dos limites

j)jn(j1)jp(j)jp()jj(n)jj(1p)jj(pn1pp

n

pii aaa)aaaaaaa −+−++−+−+−++−++

=

+++=+++=+++=∑ LLL ∑+

+=−=

jn

jpijia

∑∑+

+=−

=

=jn

jpiji

n

pii aa

E5) Complete a tabela abaixo: i xi yi xi

2 yi2 xi

2yi xiyi 1 1 2 2 1 3 3 2 2 4 3 4 5 4 1 6 0 5 ∑

E6) Com os valores da tabela acima e o uso das propriedades do somatório, calcule:

3

1) ∑=

+−6

1iii )4y3x2( 2) ∑∑

==

−

5

1i

2i

25

1ii xx 3) )yx()yx( ii

6

2iii +−∑

=

4) 10x5

2i

2i +∑

=

5) ∑=

−6

1i

2ii )yx( 6) ∑

=

+5

1i

2i )3y(

7) ∑=

−−5

2i1ii )xx( 8) ∑

=+

3

0i2iy

1.3. SOMATÓRIO DUPLO

Seja a matriz A =

mn3m2m1m

n2232221

n1131211

xxxx

xxxxxxxx

LMMMM

LL

. As somas dos elementos de cada uma das linhas de A

são:

∑∑∑===

n

1jmj

n

1jj2

n

1jj1 x,,x,x L .

Por outro lado, a soma de todos os elementos da matriz A é:

∑∑∑∑∑∑= =====

=+++=+++n

1j

m

1iijmjj2

n

1jj1

n

1jmj

n

1jj2

n

1jj1 x)xxx(xxx LL .

Observações:

a) ∑∑∑∑= == =

=m

qi

n

pjij

n

pj

m

qiij xx . b) ∑∑

= =

n

pj

m

qiijx tem (n – p + 1)(m – q + 1) parcelas.

E7) Desenvolva os seguintes somatórios:

1) ∑∑= =

−3

1x

4

2y

)10xy( 2) ∑∑= =

+5

2x

3

2y

2)yx( 3) ∑∑= =

3

2x

4

1y

yx 4) ∑∑= =

−3

1i

4

2jij )xy(

E8) Calcule o valor de:

1) ∑∑= =

−3

1x

2

1y

)5xy( 2) ∑∑= =

−3

1i

4

2j

)jx( 3) ∑∑= =

5

2x

3

2y

2z 4) ∑∑= =

+4

2x

3

2y

2)1x(

E9) Escrever sob a forma de somatório as expressões:

1) 23 + 24 + 25 + 33 + 34 +35 2) 54

44

53

43

52

42

51

41

+++++++

E10) Encontre uma fórmula (em função de n) para cada um dos somatórios abaixo:

1) ∑∑=

+

=

n2

1i

1i

0j

n 2) ∑∑= =

+n

1i

n

1j

)ji( 3) ∑∑= =

+n

1i

n

1j

)in( 4) ∑∑= =

n

1i

i

3j

i

1.4. RESPOSTAS E1) 1) 0 + 2 + 6 + 12 + 20 2) 2 – 3 + 4 – 5 + ... 3) a0 + a1 + 2a2 + 6a3 + 24a4 + 120a5

E2) 1) ∑∞

=

+−0i

i )1i2.()1( 2) ∑= +

4

0i 1i!i

3) ∑= +

+9

1i )2i(i1i

E3) 1) – 100 2)170 E4) a50 =150 e a10 = -27

4

E6) 1) –5 2) 90 3) –25 4) 40 5) 40 6) 151 7) 3 8) 10 E7) 1) –8 – 7 – 6 – 6 – 4 – 2 – 4 – 1 + 2 2) 16 + 25 + 25 + 36 + 36 + 49 + 49 + 64 3) 2 + 4 + 8 + 16 + 3 + 9 + 27 + 81 4) (y2 – x1) + (y3 – x1) + (y4 – x1) + (y2 – x2) + (y3 – x2) + (y4 – x2)+ (y2 – x3) + (y3 – x3) + (y4 – x3) E8) 1) –12 2) 9x – 27 3) 8z2 4) 100

E9) 1) ∑∑= =

3

2i

5

3j

ji 2) ∑∑= =

4

1i

5

4j ji

E10) 1) )5n2(n 2 + 2) n2 (n + 1) 3)2

)1n3(n 2 + 4)

6)5n2)(1n(n −+

2. SEQÜÊNCIAS INFINITAS 2.1. DEFINIÇÃO

Uma seqüência infinita é uma lista de números numa certa ordem, a1, a2, a3,...,an,..., onde a1 é o 1o termo, a2 é o 2o termo, ..., an é o n-ésimo termo ou termo geral. Notação: {a1, a2, a3,...,an,...} ou {an}. Devemos observar, também, que uma seqüência é uma função definida sobre o conjunto dos números naturais:

nan

:f

→ℜ→ℵ

.

Exemplos de seqüências:

a) an = 1n1n

+−

é o termo geral da seqüência 0, ,...53

,42

,31

b) A seqüência dos números primos: {2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,...}. c) an = 2n é o termo geral da seqüência 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, ... Podemos observar que esta seqüência, como muitas outras, pode ser definida através de uma fórmula de recorrência:

>==

− 0nse,a2a1a

1nn

0 .

d) A seqüência de Fibonacci é definida por a1 = 1, a2 = 1 e an+1 = an + an-1, para n 2≥ . Os termos da seqüência de Fibonacci são 1, 1, 2, 3, 5, 8,...

E1) Encontre a seqüência que é a solução das seguintes relações de recorrência:

a)

>+==

− 1nse,1a2a1a

1nn

1 . b)

>==

− 0nse,naa1a

1nn

0 .

2.2. LIMITE DE UMA SEQÜÊNCIA

Dizemos que a seqüência {an} converge para um número real L, ou que tem por limite L, quando .Lalim n

n=

∞→ Em outras palavras, an estará próximo de L para n suficientemente grande. Se n

nalim

∞→ não existe,

dizemos que a seqüência {an} não converge (diverge). Existem diversos teoremas que ajudam na determinação da convergência ou divergência de seqüências, sendo que fica como sugestão ao aluno interessado procurar por eles na bibliografia indicada. Por outro lado, muitos limites de seqüências podem ser estudados como limites ao infinito de funções.

Exemplos:

a) Os termos da seqüência

+1nn

são: ,...54

,43

,32

,21

5

Representação gráfica da seqüência : an 1 0,9 Observa-se que: se n cresce sem limites, an cresce aproximando-se de 1, isto é,

=

=

+∞→∞→ 1n

nlimlimn

nn

a 1 0,5

Neste caso, dizemos que a seqüência converge para 1. 0,1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n

b) Os termos da seqüência { }∞=− 2n2n são: 0, 1, 2 , 3 , 2, 5 ,...

Representação gráfica da seqüência : an 3 Observa-se que: se n cresce sem limites, an também cresce sem limites, isto é, 2

=−=∞→∞→

2na limlimn

nn

∞

1 Neste caso, dizemos que a seqüência diverge. n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

c) 53

n15n

53lim

nn5

n5n3lim

2

n23

3

n=

+

+=

+

+∞→∞→

, onde dividimos numerador e denominador por n3.

d) ( )

1)0cos(1

xcoslim

xxsen

limn

1n

1senlim

n1

sennlim0x0xnn

=====→→∞→∞→

, onde utilizamos o Teste de L’Hopital.

E2) Determine, se existir, o limite das seqüências abaixo:

a)

+

−2

2

n23

n47. b)

+

+−

1n

)1n3)(1n2(3

c)

+ )1nln(n 2

d)

+

n

n1

1

e)

+−

− 1n2n

1n2n 22

f)

n)ncos(

g)

+−

1nn)1( n

h) ( ){ }n1.01+

2.3. RESPOSTAS

E1) a) 12a nn −= . b) !na n = .

E2) a) – 2. b) 0. c) diverge. d) e. e) 1/2. f) 0. g) 0. h) 1.

6

3. PRINCÍPIO DA INDUÇÃO FINITA (PIF) 3.1. O TEOREMA E1) Verifique se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa, justificando tua resposta.

“Para n ∈N, p(n) = n2 + n + 41 sempre dá um número primo.” É relativamente simples demonstrar que a afirmação acima é falsa. Para tanto, basta apresentar um exemplo de número natural (dito contra-exemplo) onde esta afirmação falha. Por outro lado, mostrar que ela é verdadeira, seria uma tarefa muito trabalhosa, se não impossível, pois teríamos que verifica-la para todos (infinitos) números naturais. Porém, graças ao Princípio da Indução Finita (também conhecido como Indução Matemática), enunciado a seguir, podemos demonstrar, de uma forma razoavelmente simples, que uma afirmação P(n) é verdadeira para qualquer número natural n.

Uma proposição P(n) é verdadeira para todo natural n 0n≥ se, e somente se: i) P(n) é verdadeira para n = n0; ii) Se P(k) é verdadeira para um certo k natural então P(k+1) também é verdadeira.

Exemplo:

Use o PIF para mostrar que ∑=

+=++++=

n

1i 2)1n(n

n321i L .

Solução: Vamos mostrar que∑=

+=

n

1i 2)1n(n

i .

i) Para n = 1, os dois lados da igualdade assumem o valor 1, logo P(1) é verdadeira;

ii) Vamos supor que P(k) é verdadeira, isto é, que ∑=

+=

k

1i 2)1k(k

i é verdadeira. Agora devemos mostrar que

P(k+1) também é verdadeira, isto é, que ∑+

=

+++=

1k

1i 2]1)1k)[(1k(

i também é verdadeira.

Da propriedade 4, seção 1.2, ∑∑=

+

=

++=k

1i

1k

1i

)1k(ii . (1)

Da hipótese, ∑=

+=

k

1i 2)1k(k

i . (2)

Substituindo a expressão (2) em (1), obtemos:

2]1)1k)[(1k(

2)2k)(1k(

2)1k(2)1k(k

)1k(2

)1k(ki

1k

1i

+++=

++=

+++=++

+=∑

+

=

.

Logo, por indução matemática, mostramos que a expressão ∑=

+=

n

1i 2)1n(n

i é verdadeira para n .1≥

E2) Use o PIF para mostrar que:

1) r1

araarararaar

n1n2

n

1i

1i

−−

=++++= −

=

−∑ L , para r≠ 1

2) ∑=

++=++++=

n

1i

22

6)1n2)(1n(n

n941i L

7

3) ∑=

+=++++=

n

1i

2233

4)1n(n

n2781i L

4) ( ) ( )∑=

=−++++=−n

1i

2n1n25311i2 L

E3) Encontre uma fórmula (em função de n) para cada um dos somatórios abaixo:

1) ∑=

−n

1i

2)1i( 2) ∑=

+n

1i

)2i(n 3) ∑=

+n

1i

)1i(ni 4) ∑=

n

0i

i2 5) ∑+

=

3n

1i

ni

E4) Use o PIF para demonstrar as fórmulas obtidas nos exercícios E10 (da seção 1.3), E1 (da seção 2.1) e E3 acima. 3.2. RESPOSTAS E1) p(40) = 1681 não é primo, pois é divisível por 41.

E3) 1)6

)1n3n2(n 2 +− 2)

2)5n(n 2 +

3)3

)2n)(1n(n 2 ++ 4) 2n+1 – 1 5)

2)4n)(3n(n ++

4. SÉRIES NUMÉRICAS 4.1. DEFINIÇÃO

Se {an} é uma seqüência infinita, então uma expressão ...a...aaa n211n

n ++++=∑∞

= é chamada série

numérica infinita de termo geral an. Se somarmos apenas os N primeiros termos desta série, teremos o que

chamamos de soma parcial ∑=

=N

1nnN aS .

Exemplos de séries:

a) 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 é uma seqüência finita e 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 = ∑=

8

1nn2 é uma série

finita de termo geral an = 2n.

b) 1, 2, 6, 24, 120,... é uma seqüência infinita e 1 + 2 + 6 + 24 + 120 + ... =∑∞

=1n!n é uma série infinita de termo

geral an = n!.

c) A série harmônica ∑∞

=

=+++++1n n

1...

n1

...31

21

1 cujo termo geral é an = n1

.

4.2. SOMA DE UMA SÉRIE

Dizemos que o número real S é a soma da série ∑∞

=1nna , ou que a série ∑

∞

=1nna converge para S, se e

somente se, SSlim nn

=∞→

(o limite da seqüência das somas parciais S1, S2, S3,...,Sn é S). Neste caso, escrevemos

S = ∑∞

=1nna . Quando n

nSlim

∞→ não existe, dizemos que a série ∑

∞

=1nna diverge. A divergência pode ocorrer porque

Sn torna-se infinita ou Sn oscila quando n ∞→ .

8

Exemplos:

a) ...n...321n1n

+++++=∑∞

=

Soma parciais: S1 = 1, S2 = 3, S3 = 6, S4 = 10, S5 = 15, ..., Sn=2

)1n(n +

Representação gráfica da seqüência {Sn}

=+

=∞→∞→ 2

)1n(nS limlim

nnn ∞ Sn

15 Portanto, a seqüência das somas parciais diverge. 10

Dizemos, neste caso, que a série ∑∞

=1n

n diverge. 5

0 1 2 3 4 5 n

b) ...)1(...111)1( n

1n

n +−++−+−=∑ −∞

=

Soma parciais: S1 = -1, S2 = 0 , S3 = -1, S4 = 0, S5 = -1, Sn=−

parénse,0imparénse,1

⇒ Sn oscila

Representação gráfica da seqüência {Sn} Sn .existenãoSnlim

n ∞→

Portanto, a seqüência das somas parciais diverge. 0 n

Dizemos, neste caso, que a série ∑∞

=

−1n

n)1( diverge.

c) ...2

1...

81

41

21

2

1n

1nn

+++++=∑∞

=

Soma parciais: S1 =21

, S2 = 43

, S3 = 87 , S4 =

1615 , ..., Sn= n

n

2

12 −

Representação gráfica da seqüência {Sn} Sn

=∞→

nn

Slim 12

11lim

2

12lim

nnn

n

n=

−=

−∞→∞→

1

Portanto, a seqüência das somas parciais converge para 1. 0,5

Dizemos, neste caso, que a série ∑∞

=1nn2

1 converge para 1.

0 1 2 3 4 5 6 n

4.3. SÉRIES GEOMÉTRICAS

Uma série geométrica é uma série da forma a + ar + ar2 +ar3 + ...+arn-1 + ... = ∑∞

=

−

1n

1nar com a ≠ 0.

Da seção 3.1, exercício E2 - 1, a n-ésima soma parcial da série geométrica é

9

Sn= a + ar + ar2 + ar3 + ... + arn-1 = r1

)r1(a n

−−

, r ≠ 1.

Se | r | < 1 , 0rlim n

n=

∞→, e assim

r1a

r1)r1(a

limn

n −=

−−

∞→.

Se | r | > 1, n

nrlim

∞→não existe, e assim

r1)r1(a

limn

n −−

∞→ não existe.

Se r = 1, então Sn = na e portanto, nn

Slim∞→

não existe.

Se r = -1, então Sn oscila e portanto, nn

Slim∞→

não existe.

A série geométrica converg e se | r | < 1 e sua soma é S = r1

a−

.

A série geométrica diverge se | r | ≥ 1.

E1) Determine se a série é convergente ou divergente, se convergente encontre a soma.

1) ...81

41

21

1 ++++ 2) ...827

49

23

1 ++++ 3) ∑ −∞

=

+

1n

1n)1(

E2) Determine a série infinita que tem a seguinte seqüência de somas parciais:

1){Sn} =

+ 1nn4

2){Sn} =

+1n3n2

3){Sn} =

+1nn 2

4){Sn} = { }n2

E3) Expresse a dizima periódica 0,222... como uma fração comum. 4.4. PROPRIEDADES DAS SÉRIES

a) Se ∑∞

=1nna converge e c é um número real, então ∑

∞

=1nnca também converge e ∑

∞

=1nnca = c ∑

∞

=1nna .

Exemplo: ∑∞

=1n n25

é convergente. Justifique.

b) Se ∑∞

=1nna e ∑

∞

=1nnb convergem , então ∑ ±

∞

=1nnn )ba( também converge e ∑ ±

∞

=1nnn )ba( = ∑

∞

=1nna ± ∑

∞

=1nnb .

Exemplo: )3

1

2

1(

1nnn∑ −

∞

=é convergente. Justifique.

c) Se ∑∞

=1nna converge e ∑

∞

=1nnb diverge, então ∑ ±

∞

=1nnn )ba( diverge.

Exemplo: )23

1(

1n

nn∑ +

∞

=é divergente. Justifique.

Observação: Se ∑∞

=1nna diverge e ∑

∞

=1nnb diverge, então ∑ ±

∞

=1nnn )ba( pode convergir ou divergir.

d) Se ∑∞

=1nna converge, então 0alim n

n=

∞→.

Justificativa: Se ∑∞

=1nna converge, n

nSlim

∞→= S e 1n

nSlim −

∞→= S. Como Sn= a1 + a2 + ... + an-1 + an, an = Sn – Sn-

Logo, nn

alim∞→

= nn

Slim∞→

- 1nn

Slim −∞→

= S – S = 0

E4) Verifique se a série converge, em caso afirmativo, determine a sua soma:

10

1) ∑∞

=1n n21

2)∑∞

=1n

1 3) ∑+

∞

=1n )1n(n1

(série telescópica)

Para muitas séries é difícil ou praticamente impossível encontrar uma fórmula simples para Sn. Em

tais casos, são usados alguns testes que não nos fornecem a soma S da série; dizem-nos apenas se a soma existe. Isto é suficiente na maioria das aplicações porq ue, sabendo que a soma existe, podemos aproximar o seu valor com um grau arbitrário de precisão, bastando somar um número suficiente de termos da série. 4.5. TESTE DA DIVERGÊNCIA

Se 0alim nn

≠∞→

, então a série infinita ∑∞

=1nna diverge.

Observação: O 0alim n

n=

∞→ não garante a convergência da série.

E5) Prove que as séries seguintes são divergentes:

1) ∑+∞

=1n 2

2

n

1n 2) ∑ −

∞

=

+

1n

1n)1.(2 3) ...1n2

n...

73

52

31

++

++++

4.6. TESTE DA INTEGRAL

Sejam ∑∞

=1nna uma série de termos positivos e f uma função continua, tal que f(n) = an , para todo n.

Então ∑∞

=1nna converge ⇔ ∫

∞

1dx)x(f converge.

E6) Determine se a série dada é convergente ou divergente.

1) ∑∞

=1n n1

2) ∑∞

=1n2n

1 3) ∑

∞

=1n n

1 4) ∑

∞

=

−

1n

ne 5) ∑∞

=1n nlnn

1 6) ∑

∞

=

−

1n

nne

4.7. SÉRIE-P

Uma série do tipo ∑∞

=1npn

1 é denominada série- p. Esta série converge se p > 1 e diverge se p ≤ 1.

Justificativa: Para p = 1, a série -p torna-se∑∞

=1n n1

, chamada série harmônica. Diverge (exercício E6 - 1).

Se p ≠ 1, )1b(limp1

11p

xlimdxxlim

x

dx p1

b

b

1

1p

b1

b

1

p

bp−

−=

+−== −

∞→

+−

∞→

∞−

∞→∫ ∫ .

Para p > 1, p1

1)1

b

1(lim

p11

)1b(limp1

11pb

p1

b −=−

−=−

− −∞→

−

∞→. Logo a série p converge.

Para 0 < p < 1, ∞=−−

−

∞→)1b(lim

p11 p1

b. Logo a série p diverge.

Para p < 0, ∞=== −

∞→∞→∞→

p

npnnnnlim

n

1limalim . Logo, a série p diverge.

11

Para p = 0, a série-p torna-se ∑∞

=1n

1 que é uma série divergente.

Portanto, a série-p é convergente somente quando p > 1. 4.8. TESTE DA COMPARAÇÃO POR LIMITE

Sejam ∑∞

=1nna e ∑

∞

=1nnb séries de termos positivos. Se ,c

ba

limn

n

n=

∞→onde c é um número positivo,

então ambas as séries convergem ou ambas as séries divergem. E7) Determine se a série dada é convergente ou divergente.

1) ∑∞

= +1nn31

1 2) ∑

∞

= +1n2 2n

1 3) ∑

∞

= −1n 1n2

2 4) ∑

∞

= ++1n24 2nn

1

5) ∑∞

= +1n2 1n

n 6) ∑∞

=

+

1n3n

1n

4.9. SÉRIES ALTERNADAS - TESTE DE LEIBNIZ

Uma série alternada é uma série da forma ∑ −∑ −∞

=

∞

=

+

1nn

n

1nn

1n a)1(oua)1( com an > 0.

Em uma série alternada, se an ≥ an+1 e 0alim nn

=∞→

, então a série converge.

E8) Determine se as séries alternadas convergem ou divergem.

1) ∑ −∞

=

+

1n

1n)1( 2) ∑−∞

=1n

n

n)1(

3) 3n4

n2)1(

1n

1n

−∑ −∞

=

−

4) )1n(n

2n)1(

1n

n

++

∑ −∞

= 5)

3n4

n2)1(

21n

1n

−∑ −∞

=

−

O conceito a seguir permite que utilizemos testes para séries de termos positivos para determinar a

convergência de outros tipos de séries.

4.10. CONVERGÊNCIA ABSOLUTA E CONVERGÊNCIA CONDICIONAL

a) Se ∑∞

=1nn |a| =|a1| + |a2| + |a3| +...+|an| +... converge, dizemos que a série ∑

∞

=1nna é absolutamente

convergente .

b) Se ∑∞

=1nna converge e |a|

1nn∑

∞

=

diverge, dizemos que ∑∞

=1nna converge condicionalmente .

E9) Determine se a série dada é absolutamente convergente.

1) ∑−∞

=

+

1n 2

1n

n

)1( 2) ∑

−∞

=

+

1n

1n

n

)1( 3) ∑

−∞

= −

+

1n 1n

1n

2

)1( 4) ∑

∞

=1n

n3

5) ∑∞

=

+−

1n

1n

n)1(

6) ∑∞

=

+−

1n2

n

n

)1n()1(

12

Observações:

a)Se ∑∞

=1nna é uma série de termos positivos, então |an | = an, portanto a convergência absoluta coincide

com a convergência.

b) Se uma série infinita ∑∞

=1nna é absolutamente convergente, então ∑

∞

=1nna é convergente.

4.11. TESTE DA RAZÃO

Seja ∑∞

=1nna uma série infinita com an ≠ 0, para todo n.

a) Se n

1n

n aa

lim+

∞→ < 1, então ∑

∞

=1nna converge absolutamente.

b) Se n

1n

n aa

lim +

∞→ > 1 ou

n

1n

n aa

lim +

∞→ = ∞ , então ∑

∞

=1nna diverge.

c) Se n

1n

n aa

lim+

∞→ = 1, então nenhuma conclusão quanto à convergência pode ser tirada do teste.

E10) Determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente:

1) ∑∞

=1n !n1 2) ∑

∞

=1n2n

1 3) ∑

∞

=

+−1n

21n

n

!n)1( 4) ∑

∞

=1nn2

!n

5) ∑∞

=

+−

1n

1n

n)1(

6) ∑ −∞

=1n

nn

!n3

)1( 7) ∑∞

=1n2

n

n

3 8) ∑

∞

=

+

−−

1n

1n

1n2n

)1(

Observação: O teste da razão é mais adequado quando an contém potências e produtos e não funciona na série-p.

4.12. RESPOSTAS

E1) 1) Conv. S = 2 2) Div. 3) Div.

E2) 1) L++++51

31

32

2 2) L++++651

351

141

21

3) L++++2019

1211

65

21

4) 2 + 2 + 4 + 8 + 16 + ..

E3) 92

E4) 1) Conv. S = 1 2) Div. 3) Conv. S = 1

E6) 1) Div. 2) Conv. 3)Div. 4) Conv. 5) Div. 6) Conv. E7) 1) Conv. 2) Conv. 3)Div. 4) Conv. 5) Conv. 6) Conv. E8) 1) Div. 2) Conv. 3)Div. 4) Conv. 5) Conv. E9) 1) Conv. Abs. 2) Conv. Cond. 3) Conv. Abs. 4) Div. 5) Conv. Cond. 6) Conv. Cond. E10) 1) Conv. 2) Conv. 3) Div. 4) Div. 5) Conv. Cond. 6) Conv. Abs. 7) Div. 8) Div.

5. SÉRIES DE POTÊNCIAS 5.1. DEFINIÇÃO

Série de potências de x centrada em c é uma série infinita da forma ∑∞

=

−0n

nn )cx(b = b0 + b1(x-c) +

b2(x-c)2 + b3(x-c)3 + ... + bn(x-c)n + ...

13

Quando em uma série de potências a variável for substituída por um número, a série resultante é numérica e pode c onvergir ou não. 5.2. INTERVALO DE CONVERGÊNCIA

Para cada série de potências ∑∞

=

−0n

nn )cx(b , exatamente uma das seguintes afirmações é verdadeira:

a) A série converge somente quando x = c. b) A série converge absolutamente para todo x real. c) Existe um número real positivo R, tal que a série é absolutamente convergente se |x – c| < R e é

divergente se |x – c| > R. Neste caso, R é chamado raio de convergência da série e (c – R, c+ R) é dito o intervalo de convergência da série. Procedimento para encontrar o intervalo de convergência de uma série de potências.

1. Aplicar o teste da razão. 2. Resolver a inequação resultante. 3. Analisar os extremos individualmente.

E1) Determine os intervalos de convergência das séries:

1) ∑∞

=1n

n

nx

2) ∑+∞

=0nn3

2n(x-2)n 3) ∑

∞

=0n

n

!nx

4) ∑−∞

=1n

nn

!n)x10(10

5) ∑∞

=0n

nnx 6) ∑ +∞

=0n

n)1x(!n 7) ∑∞

=0n

nx 8) ∑∞

=1n

n

n

x

5.3. FUNÇÕES DEFINIDAS POR SÉRIES DE POTÊNCIAS

Uma série de potências de x pode ser encarada como uma função de variável x, f(x) =∑∞

=

−0n

nn )cx(b ,

onde o domínio de f é o conjunto dos valores de x que tornam a série convergente. Cálculos numéricos utilizando série de potências são a base para a construção de calculadoras.

Cálculos algébricos, diferenciação e integração podem ser realizados com o uso de séries. O mesmo acontece com as funções trigonométricas, trigonométricas inversas, logarítmicas e hiperbólicas. E2) Ache uma função f representada pela série de potências 1 + x + x2 + x3 + ... + xn + ... E3) Considere o exercício E2 e calcule o valor aproximado de f(1/10)

a) usando os dois primeiros termos da série. b) usando os três primeiros termos da série. c) usando os quatro primeiros termos da série. d) usando os cinco primeiros termos da série.

E4) Calcule o valor de f(1/10) usando a lei. E5) Comparando os valores encontrados em E3 e E4, o que se pode concluir ? E6) Considere o exercício E2 e calcule o valor aproximado de f(2)

a) usando os dois primeiros termos da série. b) usando os três primeiros termos da série. c) usando os quatro primeiros termos da série.

E7) Calcule o valor de f(2) usando a lei. E8) Comparando os valores encontrados em E6 e E7, o que se pode concluir ? E9) Considere o exercício E2 e obtenha uma representação em série de potências para

1)g1(x) =x1

1+

2) g2(x) =x1

1−

− 3) g3(x) = 2x1

1

−

5.4. DERIVAÇÃO E INTEGRAÇÃO DE SÉRIES DE POTÊNCIAS

14

Se f(x) = ∑∞

=

−0n

nn )cx(b está definida no intervalo (c – R, c + R) para algum R > 0, então:

a) f é derivável e f’(x) = ∑∞

=

−−1n

1nn )cx(nb = ∑

∞

=+ −+

0n

n1n )cx(b)1n( , para todo x ∈ (c – R, c + R).

b) f é integrável e ∫x

0dt)t(f = ∑

∞

=

+

+−

0n

1nn

1n)cx(b

, para todo x ∈ (c – R, c + R).

E10) Seja f(x) = x1

1−

= ∑∞

=0n

nx , determine:

1) f ’(x) e a série que representa f ’(x). 2) ∫ dx)x(f e a série que representa ∫ dx)x(f .

3) ∫2/1

0 dx)x(f e a série que representa ∫2/1

0 dx)x(f .

5.5. SÉRIES DE TAYLOR

Se f é uma função que admite uma representação em séries de potências f(x) = ∑∞

=

−0n

nn )cx(b , quem

serão os coeficientes bn? f(x) = b0 + b1(x-c) + b2(x-c)2 + b3(x-c)3 + b4(x-c)4 + ... + bn(x-c)n + ... ⇒ f(c) = b0

f ’(x) = b1 + 2b2(x-c) + 3b3(x-c )2 + 4b4(x-c )3 + ... + nbn(x-c)n-1 + ... ⇒ f ’(c) = b1 = 1!b1 e b1 =!1

)c('f

f ’’(x) = 2b2 + 3.2b 3(x-c) + 4.3b4(x-c )2 + ... + n(n-1)bn(x-c)n-2 + ... ⇒ f ’’(c) = 2b2 = 2!b2 e b2 =!2

)c(''f

f ’’’(x) = 3.2b3 + 4.3.2b4(x-c) + ... + n(n-1)(n-2)bn(x-c)n-3 + ... ⇒ f ’’’(c) = 3.2b3= 3!b3 e b 3 =!3

)c('''f

f (IV)(x) = 4.3.2b4 + ... + n(n-1)(n-2)(n-3)bn(x-c)n-4 + ... ⇒ f (IV)(c) = 4.3.2b4 = 4!b4 e b4 =!4

)c(f )IV(

Logo b0 = f(c) e bn = !n

)c(f )n(

para n ≥ 1 e portanto f(x) = f(c) + ∑ −∞

=1n

n)n(

)cx(!n

)c(f que é denominada Série

de Taylor para f de centro em c, para todo x pertencente ao intervalo de convergência.

Se c = 0, a série de Taylor assume a forma

f(x) = f(0) + f ’(0) x + 2x2!(0)''f

+ 3x3!

(0)'''f+ ... + n

)n(

x!n

)0(f+ ...

que é denominada Série de MacLaurin para f. E11) Encontre a série de Taylor de centro em c = 1 para:

1) f(x) = ln x 2) f(x) = ex 3) f(x) =x1

E12) No exercício anterior, para que valores de x a série encontrada representa a função f ? E13) Encontre a série de Taylor de centro em c = 0 para:

1) f(x) = ln(1+ x) 2) f(x) = e x 3) f(x) = 2xe 4) f(x) = e-2x

5) f(x) = sen x 6) f(x) = sen 2x 7) f(x) = cos x 8) f(x) = 1x

1−

15

Se truncamos a Série de Taylor para um dado N natural, ou seja, consideramos o somatório PN(x) =

∑=

−+N

1n

n)n(

)cx(!n

)c(f)c(f , obtemos o chamado Polinômio de Taylor de grau N de f no ponto c. É provado

que PN(x) é uma aproximação para f(x), cujo erro diminui quanto menor for a distância entre x e c e e quanto maior for o valor N. E14) Se f(x) = ln(x), determine o Polinômio de Taylor para N = 3 e c = 1. Utilize este polinômio para aproximar o valor de f(1.1), apresentando o erro cometido. E15) Aproxime cos(61o) através do polinômio de Taylor de cos(x) com N = 2 e c = π/3. 5.6. RESPOSTAS

E1) 1) [-1,1) 2) (-1,5) 3) ℜ 4) ℜ 5) (-1,1) 6) {-1} 7) (-1,1) 8) [ -1,1)

E2) f(x) =x1

1−

, (-1,1) E3) a) 1,1 b) 1,11 c) 1,111 d) 1,1111

E4) 1,111... E6) a) 3 b) 7 c) 15 E7) –1

E9) 1) n

0n

n x)1(∑∞

=

− , | x | < 1 2) n

0n

x∑∞

=

− , | x | < 1 3) n2

0n

x∑∞

=

, | x | < 1

E10) 1) f ’(x) =2)x1(

1

−, 1n

1n

xn −∞

=∑ 2) –ln (1 – x ), ∑

∞

=1n

n

nx

3) -ln21

, L++++641

241

81

21

E11) 1) ∑∞

=

− −−

1n

n1n

n)1x()1(

2) ∑∞

=

−

0n

n

!n)1x.(e

3) n

0n

n )1x()1( −−∑∞

=

E12) 1) (0,2] 2) ℜ 3) (0,2)

E13) 1) ∑∞

=

+−

1n

n1n

nx)1(

2) ∑∞

=0n

n

!nx

3) ∑∞

=0n

n2

!nx

4) ∑∞

=

−

0n

nn

!nx.)2(

5) ∑∞

=

−+

−−

1n

1n21n

)!1n2(x)1(

6) ∑∞

=

−+

−−

1n

1n21n

)!1n2()x2()1(

7) ∑∞

=

−

0n

n2n

)!n2(x.)1(

8) n

0n

x∑∞

=

−

E14) 3

)1x(2

)1x()1x()xln(

32 −+

−−−≈ ; ln(1.1) ≈ 0.0953; Erro ≈ 0.0000102. E15) cos(61o) ≈ 0.48481.

6. BIBLIOGRAFIA ANTON, Howard. Cálculo: um novo horizonte. 6.ed. Porto Alegre: Bookman, 2000.

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LEITHOLD, Louis. O cálculo com geometria analítica. 2.ed. São Paulo: Harper & Row do Brasil, 1982.

MOREIRA, Francisco Leal, Cálculo II – Sistemas de Informação, Material Didático, FAMAT/PUCRS, 2004.

SHENK, Al. Cálculo e geometria analítica. 2.ed. Rio de Janeiro: Campus, 1985.

SILVA, Jaime Carvalho e. Princípios de análise matemática aplicada. Alfragide: McGraw -Hill de Portugal, 1994.

SIMMONS, George F. Cálculo com geometria analítica. São Paulo: McGraw-Hill, 1987.

SWOKOWSKI, Earl William. Cálculo com geometria analítica. 2.ed. São Paulo: Makron Books, 1994.