06-CalculoVectorial

ELECTROMAGNETISMO

ÄÄ Cálculo vectorial - 1

o Noção de campo escalar e de campo vectorial

• Os valores de algumas grandezas físicas variam com a posição no espaço, podendo essas grandezas ser expressas por uma função contínua das coordenadas espaciais.

• Toda a região onde uma grandeza física é assim definida diz-se um campo.

• Campo escalar

o Um campo diz-se escalar se a grandeza física que o define puder ser representada em cada ponto do espaço através de um valor escalar.

o Os campos escalares são normalmente representados através de uma série de linhas ou superfícies que unem pontos com o mesmo valor de campo.

o São exemplos de campos escalares a distribuição de temperatura numa sala e a distribuição do potencial eléctrico em torno de uma carga pontual.

• Campo vectorial

o Um campo diz-se vectorial se a grandeza física que o define tem uma magnitude e uma direcção sendo representada em cada ponto por um vector. A função que define este campo é uma função vectorial.

o São exemplos de campos vectoriais a distribuição da velocidade do vento numa dada zona e a distribuição do campo eléctrico em torno de uma carga pontual.

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o Integrais com funções vectoriais

§ Integral de linha de uma função escalar

∫CVdl

• V é uma função escalar e dl representa um incremento diferencial do comprimento e C é o caminho de integração.

∫2

1

P

PVdl integração efectuada do ponto P1 até ao ponto P2.

∫CVdl integração efectuada ao longo de um caminho fechado.

• Em coordenadas cartesianas podemos escrever:

( )[ ]∫ ∫ ++=C C zyx

dzadyadxazyxVVdl ,,

o Como os vectores de base unitários ax, ay e az são constantes tanto em magnitude como na direcção, estes podem ser colocados fora do sinal de integração.

( ) ( ) ( )∫∫∫∫ ++=CzCyCxC

dzzyxVadyzyxVadxzyxVaVdl ,,,,,,

o Os três integrais são integrais escalares normais e podem ser calculados para uma função V(x, y, z) sobre um caminho C.

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• Exemplo

• Calcule o integral ∫P

drr0

2 , onde 222 yxr += , desde o ponto de origem até ao ponto P(1, 1):

a) ao longo do caminho directo OP b) ao longo do caminho OP1P c) ao longo de OP2P

a) 3

22

3

2

0

32

0

2

0

2

rrr

Pa

radrradrr =

== ∫∫ (coordenadas polares)

( )3

2

3

2

2

2

2

2

3

2245sin45cos

3

22yxyx

o

y

o

xaaaaaa +=

+=+=

0

P1

P2

x

y

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• Exemplo

b) Ao longo de OP1P

( ) ( ) ( ) =+++=+= ∫∫∫∫ ==

2

1

1

1

22

0 0

22

0

22

0

2 P

P yx

P

xy

PPdxyxadyyxadryxdrr

( ) =

++

=++= ∫∫

1

0

31

0

31

0

21

0

2

331 x

xa

yadxxadyya xyxy

31

34

131

31

yxxy aaaa +=

++=

c) Ao longo de OP2P

( ) ( )34

31

11

0

2

0

1

0

222

yxy

P

x aadyxadxxadryx +=++=+ ∫∫ ∫

• O valor do integral depende do caminho de integração.

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§ Integral de linha de uma função vectorial

∫CldF.

• Representa o integral do campo vectorial F sobre o caminho de integração C, F.dl representa o produto interno de F e dl.

• Vamos considerar um caminho do ponto P1 até ao ponto P2 sobre um campo de força radial F que actua na direcção radial.

o Em qualquer ponto do caminho o valor de F.dl é dado por Fcosθθdl = FLdl onde FL é a componente de F sobre o caminho de integração.

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o A componente dr sobre a direcção r será dr=cosθθdl

FdrdlFdlFldF L === θcos.

o O produto de uma força F por uma distância dr representa um aumento incremental dW no trabalho feito pela força na deslocação do objecto na distância cosθθdl=dr.

dlFldFdW θcos. ==

o Se o caminho for dividido em segmentos paralelos e perpendiculares a F, as contribuições só ocorrem para os segmentos paralelos a F (θθ = 0o) não havendo realização de trabalho nos segmentos perpendiculares a F (θθ = 90o).

o Somando-se as contribuições dos segmentos paralelos a F obtemos o trabalho total W entre os dois extremos do caminho de integração.

∫= fim

início

P

PldFW .

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o Este integral de linha indica o trabalho realizado por F no objecto (energia fornecida ao objecto) deslocado sobre o caminho de integração.

o Para o caminho definido temos:

∫∫ == 2

1

2

1cos

r

r

r

rFdrdlFW θ

o Se considerarmos o caminho contrário de ρρ2 para P1 obtemos:

∫∫ −== 2

1

1

2

r

r

r

rFdrFdrW

o Para um campo vectorial como F, o integral de linha só depende do ponto inicial e do ponto final. Se integrarmos F sob um caminho fechado, o resultado será zero.

0. =∫CldF

o Um campo com estas características é chamado conservativo.

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§ Integral de superfície

• Suponhamos que temos água a fluir com um ritmo uniforme B litros por segundo por metro quadrado (l/sm2) através da área quadrada A.

• O fluxo de água através da superfície depende de três factores: B (ritmo e direcção do fluxo), da área e do ângulo que a área faz com B.

• Podemos definir o fluxo como:

( )slABAnB / .cosˆ. == θψ

)( área davalor

superfície àlar perpendicu unitáriovector ˆ

ˆ

2mA

n

AnA

===

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• Se o fluxo não for uniforme (B é função da posição) precisamos de calcular o fluxo dψψ através da

superfície ds:

( )slsdBdsnBd / .ˆ. ==ψ

dsnsd

ds

n

ˆsuperfície da orientação a e valor o indica quevector

superfície daescalar valor

superfície àlar perpendicu unitáriovector ˆ

==

==

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• Somando todas as contribuições obtemos o fluxo através da superfície A:

( )slsdBdsnBAáreaAárea

/ .ˆ.

∫∫∫∫ ==ψ

o A água que flui na direcção x tem um fluxo dado por Bx=3xy l/sm2. Calcular o fluxo de água definido por (0,0,0), (0,3,0), (0,0,2) e (0,3,2).

( )slyzyzdydzdydzBsdBz

z

Y

yáreax

área

/ 272

1

2

133.

3

0

2

2

0

22

0

3

0

=

==== ∫ ∫∫∫∫∫

=

=

=

=

ψ

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o Gradiente de um campo escalar

• Vamos considerar uma função escalar que depende das coordenadas espaciais V(u1, u2, u3) que poderá, por exemplo, representa a distribuição da temperatura num edifício.

• O valor de V depende da posição do ponto no espaço, mas poderá ser constante ao longo de algumas linhas ou superfícies.

• Na figura estão representadas duas superfícies onde o valor de V é constante e dV representa uma pequena variação de V.

o O ponto P1 encontra-se na superfície V1. O ponto P2 é o ponto correspondente na superfície V1+dV ao longo do vector normal à superfície dn.

o P3 é um ponto próximo de P2 ao longo de outra direcção dl≠≠dn.

o Para a mesma variação dV em V, a taxa de variação espacial dV/dl é maior ao longo de dn porque dn é a distância mais curta entre as duas superfícies.

o Como o valor de dV/dl depende da direcção de dl, dV/dl é uma derivada direccional.

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o Gradiente de um campo escalar

• Definimos o vector que representa o valor e a direcção da máxima variação espacial como o gradiente desse campo escalar.

dndV

aVn

ˆgrad ≡

33

3

22

2

11

1ˆˆˆ

uhV

auh

Va

uhV

aVuuu ∂

∂+

∂∂

+∂

∂=∇

• Em coordenadas cartesianas (u1, u2, u3)=(x, y, z) e h1=h2=h3=1.

zV

ayV

axV

aV zyx ∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇ ˆˆˆ ou Vz

ay

ax

aV zyx

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇ ˆˆˆ

• Definimos o operador ∇∇:

∂∂

+∂∂

+∂∂

≡∇z

ay

ax

a zyxˆˆˆ coordenadas cartesianas

∂∂

+∂∂

+∂∂

≡∇33

3

22

2

11

1ˆˆˆ

uha

uha

uha

uuu coordenadas ortogonais

VV ∇=grad

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o Divergência de um campo vectorial

• No estudo dos campos vectoriais é conveniente representar as variações através de linhas de fluxo. Estas linhas ou curvas indicam em cada ponto a direcção do campo vectorial. A magnitude do campo é indicada através da densidade ou comprimento dos vectores.

(a) o campo na região A é mais intenso do que na região B porque existe uma maior densidade de linhas na região A;

(b) campo radial cuja intensidade diminui à medida que nos afastamos de q;

(c) representa um campo uniforme.

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• O fluxo de um campo vectorial é análogo ao fluxo de um liquido incomprimível como a água. Para um volume com uma superfície fechada só haverá uma diferença entre o fluxo que entra e sai da superfície se esta contiver uma fonte de fluxo.

• A variação média do fluxo por unidade de volume é uma medida da intensidade da fonte de fluxo interna.

• A divergência de um campo vectorial é um escalar que indica o fluxo do campo por unidade de volume que sai através de uma superfície fechada infinitamente pequena que encerra um ponto.

V

sdAA S

V ∆≡ ∫

→∆

.limdiv

0

• Um resultado mais utilizável é:

z

A

y

A

x

AA zyx

∂∂

+∂

∂+

∂∂

=div coordenadas cartesianas

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• Sabendo que

∂∂

+∂∂

+∂∂

≡∇z

ay

ax

a zyxˆˆˆ e que

zzyyxxAaAaAaA ˆˆˆ ++= podemos escrever:

AA .div ∇=

• Em coordenadas ortogonais (u1, u2, u3) obtemos:

( ) ( ) ( )

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇321

3

231

2

132

1321

1. Ahh

uAhh

uAhh

uhhhA

• Teorema da divergência

o O valor da divergência dá-nos o valor do fluxo que é gerado num volume infinitesimal. O integral sobre um volume dá-nos o fluxo que é gerado dentro do volume.

o O integral de superfície sobre um volume delimitado por uma superfície fechada dá-nos a diferença entre o fluxo que sai e o fluxo que entra na superfície. Esta diferença é o fluxo que é gerado no interior do volume.

∫∫ =∇SV

sdAA ..

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o Rotacional de um campo vectorial

• Vimos que a saída de fluxo através de uma superfície fechada que delimita um volume indica a presença de uma fonte no seu interior. Esta fonte pode ser considerada como uma fonte de fluxo e o valor da divergência como uma medida da intensidade da fonte.

• Existe um outro tipo de fonte, chamada de fonte de vortex, que causa uma circulação do campo vectorial à sua volta.

• A circulação (média) de um campo vectorial sobre um caminho fechado é definido como o integral de linha sobre o caminho:

∫≡C

ldA.C contorno o sobre A de Circulação

• Se A for uma força que actua no objecto, a sua circulação representa o trabalho feito pela força na movimentação do objecto uma vez ao longo do contorno.

• Poderá existir circulação num campo vectorial A mesmo que a divergência de A seja nula (isto é, não existem fontes de fluxo).

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o Rotacional de um campo vectorial

• De modo a definirmos uma função pontual que indique a intensidade da fonte de vortex, devemos considerar C muito pequeno e orientado de tal modo que a circulação seja máxima.

[ ]∫∆=×∇=

→∆ CnsldAa

sAA .

1limrot

0

• O rotacional de um campo vectorial A é um vector cuja magnitude é a máxima circulação de A por unidade de área quando a área tende para zero e cuja direcção é a normal da área quando esta é orientada de modo a que a circulação seja máxima.

zyx

zyx

AAAzyx

aaa

AA∂∂

∂∂

∂∂

=×∇=

ˆˆˆ

rot Coordenadas cartesianas

332211

321

332211

321

ˆˆˆ1

rot

AhAhAhuuu

hahaha

hhhAA

uuu

∂∂

∂∂

∂∂

=×∇= Coordenadas ortogonais

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o Teorema de Stokes

o Identidades nulas

• Teorema de Stokes

o O integral de superfície do rotacional de um campo vectorial sobre uma superfície fechada é igual ao integral de linha sobre o contorno que define a superfície.

( ) ∫∫ =×∇CS

ldAsdA ..

• Identidades nulas

o Identidade I

( ) 0=∇×∇ V

§ O rotacional do gradiente de um campo escalar é nulo.

Ø Se um campo vectorial é irrotacional, este pode ser expresso como o gradiente de um campo escalar.

o Identidade II

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o Teorema de Stokes

o Identidades nulas

( ) 0. =×∇∇ A

§ A divergência do rotacional de um campo vectorial é zero.

Ø Se um campo vectorial não tem divergência, este pode ser exprimido como o rotacional de um outro campo vectorial.

Ø Os campos com divergência nula não têm fontes de fluxo. O fluxo que sai de qualquer superfície fechada é zero e as linhas de fluxo são fechadas.

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o Classificação de campos vectoriais

• Podemos classificar os campos vectoriais de acordo com a sua divergência e rotacional:

o Solenoidal e irrotacional

0. =∇ F 0=×∇ F

Campo electrostático numa região sem cargas.

o Solenoidal e rotacional

0. =∇ F 0≠×∇ F

Um campo magnético estático num condutor com corrente.

o Não solenoidal e irrotacional

0. ≠∇ F 0=×∇ F

Campo electrostático numa região com cargas.

o Não solenoidal e rotacional

0. ≠∇ F 0≠×∇ F

Campo eléctrico num meio com cargas com um campo magnético a variar no tempo.

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o Teorema de Helmholtz

• Um campo vectorial genérico terá uma divergência e um rotacional diferentes de zero e pode ser considerado como a soma de um campo solenoidal com um campo irrotacional.

• Um campo vectorial é determinado a menos de uma constante aditiva se a sua divergência e rotacional estão especificados em qualquer ponto.

• A divergência mede a intensidade de fontes de fluxo e o rotacional a intensidade de fontes de vortex.

• Quando as intensidades de ambas as fontes estão especificadas temos o campo vectorial especificado.

• Podemos decompor um campo vectorial genérico F numa parte irrotacional Fi e numa parte solenoidal Fs:

si FFF += com

=∇=×∇gF

F

i

i

.

0 e

=∇=×∇

0.s

s

F

GF

onde g e G são supostamente conhecidos, temos então:

gFF i =∇=∇ .. e GFF s =×∇=×∇

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o Teorema de Helmholtz

• O teorema de Helmholtz garante que F pode ser obtido a partir da integração de g e de G.

o Se Fi é irrotacional:

0=×∇ iF e ( ) 0=∇×∇ V (identidade I)

podemos definir uma função escalar V de modo que:

VFi ∇−=

o Se Fs é solenoidal:

0. =∇ sF e ( ) 0. =×∇∇ A (identidade II)

podemos definir uma função vectorial A de modo que:

AFs ×∇−=

o Um campo vectorial genérico pode ser escrito como a soma do gradiente de um campo escalar e o rotacional de um campo vectorial.

AVF ×∇+∇−=

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