0571Hidrodinamica_EscoamentoSuperficieLivre

5. HIDRODINÂMICA

5.7. ESCOAMENTO COM SUPERFÍCIE LIVRE

~ LEITO FIXO ~

Unidade Curricular: HidráulicaDocente: Prof. Dr. H. Mata‐LimaUniversidade da Madeira, 2010

Escoamento com Superfície Livre: Generalidades

O Escoamento com Superfície Livre pode ocorrer em:• canais de leito fixo: um exemplo típico são os canais em betão;• canais de leito móvel: canais naturais (e.g. rios, ribeiras); canais de terra ou de enrocamento construídos pelo Homem.

Exemplos de Leito Fixo: Exemplos de Leito Móvel:

5‐2Copyright © by H. Mata‐Lima, PhD. Univ. Madeira ‐ http://dme.uma.pt/hlima

Tipos de Escoamentos:O presente slide e os dois seguintes apresentam uma breve revisão da hidrocinemática, para depois se apresentar a classificação dos escoamentos em canais abertos.

Escoamento com Superfície Livre: Classificação


ESCOAMENTO

Permanente(escoamento em regime estacionário)

Variável (não permanente)

Uniforme (Secção uniforme, profundidade

e velocidade constantes)

Variado(Acelerado ou retardado)

Gradualmente

Rapidamente

2010 Copyright©H. Mata‐Lima, PhD. Univ. Madeira‐http://dme.uma.pt/hlima

Revisão de Hidrocinemática: tipos de escoamento

Tipo Descrição ExemploEscoamento Permanente Os valores das grandezas

que o caracterizam (e.g. velocidade, caudal, pressão), em cada ponto, não variam com o tempo.

Esc. Permanente uniforme Além das características, em cada ponto, não variarem no tempo, são ainda constantes em cada instante de ponto para ponto numa região especificada.

Esc. Permanente ‘não uniforme’ (ou variado)

As características, em cada ponto, não variam no tempo, mas variam, num mesmo instante, de ponto para ponto numa região especificada.

Escoamento com caudal constante num canal convergente (i.e. que afunila).

5‐4

2010 Copyright©H. Mata‐Lima, PhD. Univ. Madeira‐http://dme.uma.pt/hlima

Tipo Descrição ExemploEscoamento Variável Ocorre quando os valores das

grandezas que o caracterizam (e.g. velocidade, caudal, altura), em cada ponto, variam com o decorrer do tempo.

Escoamento Variável uniforme

Apesar das características, em cada ponto, variarem no tempo, são constantes em cada instante de ponto para ponto numa região especificada.

Escoamento a velocidade elevada, com aumento ou diminuição contínua de caudal, num canal rectilíneo de secção recta constante.

Escoamento Variável não uniforme

As características, em cada ponto, variam no tempo, sendo também variável, num mesmo instante, de ponto para ponto numa região especificada.

Escoamento com aumento ou diminuição contínua de caudal num canal convergente.

Revisão de Hidrocinemática: tipos de escoamento

5‐5

Classificação dos Escoamentos:No caso de escoamentos com superfície livre também se usa o número de Reynolds (razão entre forças de inércia e forças da viscosidade) para classificar o escoamento em laminar ou turbulento.Nesse contexto o número de Reynolds é definido pela seguinte equação:

, com Rh = A/P

onde: Rh é o raio hidráulico; A a área de secção transversal do escoamento; e P o perímetro molhado.Escoamentos Laminares: Re < 2000


Perfil de velocidade: esc. laminar Perfil de velocidade: esc. turbulento

Escoamento Turbulento: Re ≥ 2000


νhURRe 4

=

Classificação dos Escoamentos LENTOS e RÁPIDOS:Para classificar os escoamentos em Lentos e Rápidos usa‐se um parâmetro conhecido como o número de Froude (Fr) (razão entre forças de inércia e forças da gravidade).A equação que traduz o número de Froude Fr é a seguinte:

, com hm = A/T

onde: hm é a altura média do escoamento; A a área de secção transversal; e Ta largura da superfície livre do escoamento.

•Escoamento Lento: Fr < 1

•Escoamento crítico: Fr = 1

•Escoamento Rápido: Fr > 1



mr gh

UF = h

Tipos de Escoamentos em Canais Abertos:Podem ocorrer escoamentos uniforme, não uniforme, permanente ou variável (não permanente).



mr gh

UF =Figura removida por razões do protecção dos direitos do autor.

Figura – Tipos de escoamentos em canais abertos (Massey, 2002: 610).

Modelação Matemática do Escoamento: sup. livre


Regime Permanente Regime VariávelEquação que representa o teorema de Bernoulli para escoamentos permanentes gradualmente variados com caudal constante e superfície livre:

JsenxH

−=∂∂ θ g

UcoshH2

2

αθ +=

Figura – Variáveis do escoamento com superfície livre gradualmente variado.

onde: H – energia espefífica do escoamento (m); x –coordenada espacial segundo o eixo do canal (m); Ѳ– ângulo do eixo do canal com a horizontal (º); J –perda de carga unitária do escoamento (); h –altura do escoamento (m); α coeficiente de Coriolis (); e g – aceleação da gravidade (m/s2).

As equações de SaintVenant, 1871, aplicamse a escoamentos variáveis (com trajectórias quaserectilíneas) em canais prismáticos de leito fixo, secção transversal simples (não composta) e sem contribuições de caudais laterais (Chaudry, 1979; Almeida, 1983):

• Equação da continuidade (ou da Conserv. Massa)

• Equação da dinâmica (ou da Conserv. Quant. Mov.)

0=∂∂

+∂∂

xQ

tA

( ) ( ) 0=−+∂∂

+∂

∂+

∂∂ iJgA

xhgA

xUQ

tQ

onde: Q – caudal (m3/s); A – área da secção transversal do escoamento (m2); U – velocidade média do escoamento (m/s); h – altura do escoamento (m); J –perda de carga unitária do escoamento (); i – declive do rasto (soleira, leito, fundo) do canal; dx e dt – são respectivamente as derivadas parciais referentes às variáveis espaço e tempo.

Linha de energia

Δz

hi+1cosѲhicosѲ

ΔE=JL

hi+1hi

gU i

2

2

gU i

2

21+

ѲΔxi i+1

Superfície livre

Bases para Estudo de Escoamentos em CanaisOs slides seguintes referemse ao estudo das características básicas do escoamento. Mais adiante voltará a tratarse da modelação dos escoamentos gradualmente variados.

Dimensionamento de Canais PrismáticosUm canal prismático é todo aquele que apresenta a secção e rugosidade constante ao longo de todo o seu percurso.

As secções mais comuns são as seguintes: (i) rectangular; (ii) trapezoidal; (iii) triangular; e (iv) semi‐circular.

O método mais usado em aplicações correntes de hidráulica de canais é o de ManningStrickler em que o caudal de dimensionamento é expresso pela equação:

2132 //h JKARQ = n

K 1=com

onde: A é a área de secção transversal que varia em função da geometria do canal; J é a perda de carga unitária (mc.a./m) que, para regime uniforme, éigual ao declive do canal; b a largura do canal; e q o caudal específico.

Nota: quando o regime é uniforme o J = i. O i é o declive do leito do canal (i = tgѲ).


bQq =Caudal específico é

2006 Docente: H. Mata-Lima, PhD.Univ. Madeira

Estudo de Escoamento em Canais de Leito Fixo

Geometria das secções transversais mais comunsÁrea (A) Perímetro (P) Largura do topo (T)

ou

( ) yb'zz2y2

++ ( )22 'z1z1yb ++++ ( )y'zzb ++

5‐11

Estudo de Escoamento em Canais de Leito FixoConservação da Energia no Escoamento com Superfície Livre

quando α = 1,0


1

21

11

2

22 +→+

++ +++=++ ii

ii

iii

i Hg

Uzpg

Uzp Δγγ g

Ug

U22

22

=α

gUhE2

2

+=xJg

Uhzg

Uhz iii

iii Δ+++=++ +

++ 22

21

11

2

lento

rápido

Canal de secção simples Canal de secção composta

Isotáquicas

Conservação da Energia no Escoamento com Superfície Livre

Variação da energia específica do escoamento

Vista em planta

Corte longitudinal



q1 < q2 < q3h = E

h = E

ExJg

Uzhg

Uzh iii

iii ΔΔ ++++=++ +

++ 22

21

11

2

gUhE2

2

+=

Nota:

Se existir, num troço (ou trecho) do canal, uma elevação do leito (e.g. existência de uma soleira) ou uma diminuição de largura,pode ocorrer escoamento crítico. Outra situação pode ser, por exemplo, a mudança do declive (de fraco para forte).

ΔE – quando se pretende incluir as perdas localizadas.

Estudo de Escoamento em Canais de Leito FixoSÍNTESE DE EQUAÇÕES ÚTEIS:


3

2

gqhc =

53 /

u ibnQh ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= 2

22

22 gAQh

gUhE +=+=cc hE

23

=

3

22

gATQ

ghU

ghUF

mmr ===

Legenda:

‐ Equações válidas apenas para secção rectangular.

bQq =

1

21

11

2

22 +→+

++ +++=++ ii

ii

iii

i Hg

Uzpg

Uzp Δγγ

2132 //h JKARQ =

νhURRe 4

=

JRfgU h

8=2

8

i

ihii U

JgRf =

Secção de maior “eficiência” hidráulica



Para um dado caudal (Q), n (ou ks) e geometria, a secção transversal ‘eficiente’ transporta o caudal numa área mínima (isto implica maior velocidade do escoamento) para a alturauniforme (normal do escoamento). Tal conceito é usado no dimensionamento de canais de leito fixo. De entre as secções possíveis, a mais eficiente é a secção semi‐circular.

Figura – Exemplos de secções ‘eficientes’ (adaptada de Chanson, 1999).


Exemplo de Aplicação 1Área (A) Perímetro (P) Largura do topo (T)

Considere que um canal rectangular de betão (K = 75 m1/3/s) com 2 m de largura e declive de rasto (ou declive do fundo) igual a 0,002 transporta um caudal de 10 m3/s.

Calcule as características do escoamento, a saber: a altura normal/uniforme (ou profundidade normal/uniforme) do escoamento (hu = 1,96m); a energia específica do escoamento (En = 2,29 m); o número de Reynolds (Re = 6,63E+6); e o número de Froude (Fr) (Fr = 0,58). De acordo com valores obtidos classifique o escoamento. Indique também o ângulo entre o fundo do canal e o plano horizontal (θ = 0,11º).

Sabendo que o escoamento crítico corresponde ao Fr = 1, determine as condições do escoamento crítico (hc = 1,37 m; Ac = 2,73 m2; Ec = 2,05 m ).

Por outro lado, a curva de vazão corresponde à relação entre o caudal e a altura do escoamento no canal. Construa a curva de vazão para este canal.

Folga (Fo) em metros5‐16Copyright © by H. Mata‐Lima, PhD.

Univ. Madeira ‐ http://dme.uma.pt/hlima

gU,Fo 2

15202

+=

Fo


Exercício de aplicação 2Considere um canal trapezoidal onde a altura do escoamento é: h = 1,5 m.

A largura do canal é de 4 m e as margens são simétrica com declive 2H:1V.

O declive do canal é i = 0,00046. O canal é em betão com a rugosidade absoluta equivalente de ks = 1,5 mm (videQUINTELA, 2005: 141).

Considerando que a altura supracitada é a altura uniforme do escoamento. Determine o caudal, a velocidade média do escoamento, o nº de Reynolds e de Froude, a energia específica e a potência.

Calcule as condições do escoamento supramencionados usando os dois métodos mais divulgados: (i) Manning; e (ii) DarcyWeisbach.

Se já resolveu o exercício anterior, diga o que pode alterar para que, mantendo a secção transversal do canal, o escoamento tenha Fr = 5 (escoamento muito rápido).



Condições do escoamento crítico

01.Fr =

Exercício de aplicação 3

Determinação da altura crítica num canal trapezoidal associado à um descarregador.

Sendo o Q = 21 m3/s, determine a altura crítica do escoamento na crista do descarregador (secção de montante do canal inclinado) onde a água entra num canal de secção trapezoidal.


013

2

.gA

TQ=

TA

gQ 32

=

Resolução:

01.ghU

m

=

Dados:z = 2

b = 6,0 m


Condições do escoamento crítico 013

2

.gA

TQ=

TA

gQ 32

=01.Fr =Exercício de aplicação 4

Considere que o escoamento atravessa um colector de secção circular (D = 2,0 m) com o caudal de 6,0 m3/s. Determine a altura crítica do escoamento e a razão entre a hc e o diâmetro do colector.

Escoamento crítico:TA

gQ 32

=

( )θθ senDA −=8

2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

2θDsenT

( )5

32

3

673

22

82

m,sen

sen

TA

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=θ

θθPor iteração: θ = 200,97º

Área, A = 1,93 m2; Largura do topo, T = 1,97 m

m,hcosDh c 1712

12

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

θ 590 ,Dhc =Razão da profundidade,

D

52

673 m,g

Q=

h


Canal de secção transversal composta

Método de Manning (considera o coeficiente de rugosidade K = 1/n)

Método de DarcyWeisbach (considera o factor de resistência f)


i

n

i

n

i UAQQ ∑∑==

==1111

21321 //hi JR

nU =

i

ihi P

AR =

ihii

i JRfgU 8

= ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−≅

D,klog

fs

71321

i

ihi P

AR =i

n

i

n

i UAQQ ∑∑==

==1111


26

61/skn = onde: ks é o coeficiente

de rugosidade absoluta.

ks1

n1 ks2

n3 ks3

n3 ks4 ; n4

ks5

n5

ks6

n6

A2A1

A3 A4A5 A6

2

8

i

ihii U

JgRf = Resistência de Darcy‐Weisbach pra canais

Escoamento em Canais

Características dos materiais dos canais K (m 1/3 s ‐1) n (m ‐1/3 s)

Paredes muito lisas em : argamassa de cimento e areia muito lisa; tábuas aplainadas; chapa metálica sem soldadura saliente.

90 a 100 0,01 a 0,011

Argamassa alisada 85 0,011

Paredes lisas em: reboco ordinário, tábuas com juntas mal cuidadas, grés 80 0,0125

Paredes lisas em: betão liso, canais de betão com juntas frequentes, asfalto liso 75 0,013

Paredes lisas em : alvenaria ordinária, terra muitíssimo regular 70 0,014


Características dos cursos de água n (m ‐1/3 s)

Canais revestidos de betão 0,015 a 0,018

Canais revestidos de alvenaria e pedra 0,013 a 0,014

Canais sem revestimento (leito de cascalho fino) 0,025 a 0,033

Cursos de água naturais 0,028 a 0,033

Canal de secção transversal compostaExemplo de Aplicação 5

Considere um canal se secção composta, de declive i = 0,0015, e determine o caudal total que se escoa no canal.

Qual é o máximo caudal que pode ser transportado no canal sem ocupar o leito de cheia?Resolução:

1º O primeiro passo consiste em simplificar a geometria da secção transversal

3211

QQQQQn

iitotal ++==∑

=



n = 0.011

n = 0.011

Exemplo de Aplicação 6

Resolução:




Resolução:




Determine a largura do estreitamento necessária para ocorrer o escoamento crítico no canal.

Resolução:



Nota:

Se existir, num troço (ou trecho) do canal, uma elevação do leito (e.g. existência de uma soleira) ou uma diminuição de largura (vide Fig. ao lado), pode ocorrer escoamento crítico. Outra situação pode ser, por exemplo, a mudança do declive (de fraco para forte).




Nota:

Se existir, num troço (ou trecho) do canal, uma elevação do leito (e.g. existência de uma soleira, ou elevação ilustrada na Figura anterior) ou uma diminuição de largura, pode ocorrer escoamento crítico. Outra situação pode ser, por exemplo, a mudança do declive (de fraco para forte).



Escoamento Permanente Gradualmente Variado com Q constante

O escoamento permanente gradualmente variado com caudal (Q) constante é conhecido como REGOLFO.

ESCOAMENTO

Permanente(escoamento em regime estacionário)

Variável (não permanente)

Uniforme (Secção uniforme, profundidade

e velocidade constantes)

Variado(Acelerado ou retardado)

Gradualmente

RapidamenteΔz

hi+1cosѲhicosѲ

ΔE=JL

hi+1hi

gU i

2

2

gU i

2

21+

ѲΔxi i+1

Superfície livre




O escoamento permanente gradualmente variados com caudal (Q) constante é conhecido como REGOLFO.

gUcoshH2

2

αθ +=com

sendo

dxdA

gAQ

dxdh

xH

3

2

−=∂∂

Por conseguinte, como i = tgѲ ≈ senѲ, então

JsenxH

−=∂∂ θ

Quando os declives dos canais não são acentuados (≤ 10‐3) pode admitir‐se que cosѲ ≈ 1 e tendo em conta que o Q é constante ao longo do canal (∂Q/∂x=0) a equação é reescrita como

quando o canal é prismático →dxdhT

dxdA

=

JigA

TQdxdh

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− 3

2

1

T – largura de topo ou largura da sup. Livre do escoamento.

3

2

1gA

TQJi

dxdh

−

−=

2

32 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= /

hKARQJ

Finalmente

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

3

2

3422

2

1gA

TQRAK

Qi

dxdh /

h

21 rFJi

dxdh

−−

=ou




Comentários sobre a Equação de Regolfo em canais prismáticos:

sendo

3

2

1gA

TQJi

dxdh

−

−= 2

32 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= /

hKARQJ

Eq. explícita

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

3

2

3422

2

1gA

TQRAK

Qi

dxdh /

h

21 rFJi

dxdh

−−

=ou

Interpretações relevantes:

• para hmuito elevado Fr →0, J →0: dh/dx = i = dz/dx

(nessa situação a superfície livre tende a ser horizontal)

• quando h →hu, J →i : dh/dx →0

(o h aproxima‐se assimptoticamente de hu)

• quando h →hu, Fr →1 : (1 – Fr) →0 : dh/dx →∞

(h aproxima‐se de hc quando a inclinação é elevada)




Análise gráfica dos perfís de superfície livre (i.e. curvas de Regolfo:

21 rFJi

dxdh

−−

=Interpretações relevantes:

• para hmuito elevado Fr →0, J →0: dh/dx = i = dz/dx(nota: nessa situação a superfície livre tende a ser horizontal)

• quando h →hu, J →i : dh/dx →0 (nota: o h aproxima‐se assimptoticamente de hu)

• quando h →hu, Fr →1 : (1 – Fr) →0 : dh/dx →∞ (h aproxima‐se de hc quando a inclinação éelevada)

DECLIVE FRACO: i < ic ; hu > hc | DECLIVE FORTE: i > ic; hu < hc

DECLIVE CRÍTICO: i = ic ; hu = hc




Exemplo de CURVA DE REGOLFO referente à passagem de declive FRACO para FORTE:

21 rFJi

dxdh

−−

=

2

32 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= /

hccc RKA

Qi

Esc. uniforme lentoEsc. uniforme lento




Exemplo de CURVA DE REGOLFO referente à passagem de declive FORTE para FRACO:

21 rFJi

dxdh

−−

=

2

32 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= /

hccc RKA

Qi

O regime rápido écomandado por montante e o regime lento é comandado por jusante (vide Quintela, 2005: 286‐288).

Ressalto Hidráulico

(zona de dissipação da energia na transição do regime rápido para lento)

Esc. uniforme rápido Esc. uniforme lento




CARACTERIZAÇÃO QUANTITATIVA DO RESSALTO HIDRÁULICO:

( )21

312

2

2

2

1 422 hhhh

gUh

gUhHR

−=+−+=Δ[ ]181

21 2

11

2 −+= rFhh

Ressalto Hidráulico

(zona de dissipação da energia ‐ ΔHR ‐ na transição do regime rápido para lento)

Figura – Ressaltos hidráulicos em canais rectangulares (videMassey, 2002: 643).

Sobre ressalto hidráulico consulte Quintela (2005: 303), Massey (2002: 641‐677) e Chaudhry (1993).

⎪⎩

⎪⎨⎧

<<

<<⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

=13F5 para 6

16 F2 para 1220

160

r12

r11

1

h

FtanhhLr

R

Chaudhry (1993) refere que o melhor ressalto ocorre quando 4,5 <Fr1<9,0.


Resolução: 5‐34Copyright © by H. Mata‐Lima, PhD. Univ. Madeira ‐ http://dme.uma.pt/hlima


[ ]1821 2

22

1 −= rFhh

mr gh

UF =

E1 E2


Considere um canal de betão (n = 0,013 m‐1/3s) conforme representado na figura. O canal possui secção rectangular (largura b = 3,0 m) e escoa um caudal de 5 m3/s que provém de uma represa cuja cota da superfície livre situa‐se a 67m. Desprezando a perda de energia entre a represa e a soleira do canal, obtenha o perfil da superfície livre (curvas de regolfo) e indique os valores da altura do escoamento em diferentes secções. Resolução:




Resolução:



Dados:

Q = 5 m3/s

b = 3,0 m

n = 0,013 m‐1/3s




Aplicando o método de diferenças finitas explícito com trecho de cálculo (Δx) constante pode obter‐se a propagação do escoamento (i.e. variação da altura do escoamento) ao longo de um canal prismático com caudal constante (videChow, 1979; Almeida, 1983; French, 1986; Chanson, 1999).

O cálculo da curva de Regolfo (i.e. propagação do escoamento ao longo do canal) requer a integração numérica da equação obtida:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

3

2

3422

2

1gA

TQRAK

Qi

dxdh /

h

Linha de energia

Superfície livre

Δz

hi+1cosѲhicosѲ

ΔE=JL

hi+1hi

gUi

2

2

gUi

2

21+

ѲΔxi i+1

?hh ii =−+1




⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

3

2

3422

2

1gA

TQRAK

Qi

dxdh /

h

Linha de energia

Superfície livre

Δz

hi+1cosѲhicosѲ

ΔE=JL

hi+1hi

gUi

2

2

gUi

2

21+

ѲΔxi i+1

x

AT

AT

gQ.

RARAKQ.i

hhh

i

i

i

i

/ii

/ii

ii ΔΔ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

=−=

+

+

+++

331

12

342341

21

2

2

1

501

1150

O cálculo da curva de Regolfo (i.e. propagação do escoamento ao longo do canal) requer a integração numérica da equação obtida:

( ) ( )x

FF

JJihhh

riri

ii

ii ΔΔ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−=−=

+

+

+

21

222

1

1

1




⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

3

2

3422

2

1gA

TQRAK

Qi

dxdh /

h

a montante do canal, se manifestam os efeitos de uma perturbação ao escoamento (e.g. instalação de um descarregador ou outra estrutura hidráulica);

• Importa conhecer a variação da altura e velocidade dos escoamento ao longo do canal. O cálculo da altura da água permite determinar, em diferentes pontos, a secção transversal do escoamento, a velocidade e a curva de regolfo (i.e. perfil da superfície livre do escoamento);

APLICAÇÃO/ UTILIDADE DA EQ. DE REGOLFO:

• Em muitas situações práticas existe interesse em determinar antecipadamente as alturas do escoamento em certos troços do canal;

• Existem situações em que importa conhecer até que distância,

21 rFJi

dxdh

−−

=Nota: no caso de regime permanente uniforme, como o declive de rasto do canal (i) é igual ao declive da linha de energia (J), a altura do escoamento permanece constante ao longo de todo o canal (dh/dx = 0).


Curvas de Regolfo com Caudal Constante

O Escoamento Gradualmente Variado resulta geralmente das mudanças na geometria do canal: i) alteração do declive; ii) mudança na forma da secçao recta; iii) ocorrência obstrução. Pode ainda resultar da mudança nas forças de corte nos contornos.

Podem ocorrer tanto o escoamento lento como rápido, sendo que a passagem de um para outro ocorre de forma abrupta (ver curvas de regolfo).

Para Escoamento Lento (videMassey, 2002: 667):• quando acontece o abaixamento do perfil da superfície livre, próximo de uma queda vertical (e.g. na extremidade de um canal –Fig. B) a curva de regolfo é designada por Regolfo de Abaixamento.

• quando a profundidade aumenta no sentido do escoamento, a montante de uma obstrução (ver Fig. A), o perfil da superfície livre do líquido é designada por Regolfo de Elevação.

Fig. AFig. B

dU/dx > 0dU/dx < 0


Curvas de Regolfo com Caudal ConstanteExemplos de curvas de regolfo para esoamentos não uniformes (Massey, 2002: 676).

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

3

2

3422

2

1gATQ

RAKQi

dxdh /

h

21 rFJi

dxdh

−−

=



Exemplos de curvas de regolfo para esoamentos não uniformes (Massey, 2002: 676).Os slides seguintes apresentam os vários tipos de escoamento não uniforme.



Como se viu nos slides anteriores, a curva de regolfo (perfil da superfície livre do escoamento) varia em função de muitos factores dos quais se destacam (videMassey, 2002: 674‐677):

• controlo do escoamento por descarregadores ou outras obstruções;

• mudanças do declive do leito.

Figura removida por razões do protecção dos direitos do autor



Exercício 12

Considere um canal rectangular em que a largura (b) é 4,0 m, declive (i) é 0,0015, o caudal (Q) igual é 9,0 m3/s e n = 0,014 m‐1/3s. Existe um descarregador na extremidade de jusante do canal, conforme indica a Figura. A altura do escoamento na secção do descarregador (hsb) é de 2,5 m.

Questões:

(a)A que distância, a montante, o descarregador provocará influência no escoamento (backwater) susceptível de causar uma redução da velocidade da ordem dos 20%?

(b) Classifique a curva de regolfo (perfil da superfície livre).

2,5 m



Escoamento VariávelEm função das características do escoameto variável a modelar, os diversos termos da equação da dinâmica adquirem importância relativa (Almeida, 1983):

( ) ( ) 0=−+∂∂

+∂

∂+

∂∂ iJgA

xhgA

xUQ

tQ

D + C + B + A = 0

QUADRO 1‐ Modelos hidráulicos em função dos termos da equação da dinâmica considerados.

Designação do modelo Termos da equaçãoA B C D

Dinâmico completo Sim Sim Sim SimDifusão com inércia convectiva

Sim Sim Sim Não

Difusão sem inércia convectiva

Sim Sim Não Não

Cinemático Sim Não Não Não

QUADRO 1‐ Modelos hidráulicos em função dos termos da equação da dinâmica considerados.

Nota: nas situações em que ocorrem variações acentuadas de Q ou anulação rápida de Qpode ocorrer a formação de ondas de frentes abrupta que se propagam ao longo do canal. Nessa situação, deve‐se considerar o modelo dinâmico completo.

Referências Bibliográficas

Massey, B. (2002). Mecânica dos Fluídos. Fundação Calouste Gulbenkian, Lisboa.

Pinheiro, A.N. (1989). Canais de Derivação de Pequenos Aproveitamentos Hidroeléctricos. Dimensionamento Hidráulico e Simulação de Escoamentos Transitórios. Dissertação de Mestrado, IST, Lisboa.

Almeida, A.B. (1983). Introdução ao Estudo dos Escoamentos Variáveis em Superfície Livre (modelação matemática). Curso de Mestrado em Hidráulica e Recursos Hídricos, IST, Lisboa.

Chaudhry, M.H. (1993). Applied hydraulic transients. Van Nostrand Reinhold, NY.

Chow, V.T. (1981). Open Channel Hydraulics. McGraw‐Hill, Tokyo.

French, R.H. (1986). Open Channel Hydraulics. McGraw‐Hill, NY.


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