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Universidade Federal do Recôncavo da Bahia Curso: Licenciatura em Física / Matemática Componente: Cálculo Vetorial e Integral Prof. Álvaro Fernandes Serafim Aluno(a): ______________________________________

“Uma grande descoberta envolve a solução de um grande problema, mas há uma semente de descoberta na solução de qualquer

problema. Seu problema pode ser modesto, porém, se ele desafiar a sua curiosidade e fizer funcionar a sua capacidade inventiva, e

caso você o resolva sozinho, então você poderá experimentar a tensão e o prazer do triunfo da descoberta”. (George Polya)

1. Calcule ( )

R

f x, y dA∫∫ , onde:

a) ( ) ( ){ } e e xy 2f x, y x e R x, y / 1 x 3 0 y 1= ⋅ = ∈ℜ ≤ ≤ ≤ ≤ .

b) ( ) ( ) ( ){ } e e 2f x, y x cos xy R x, y / 0 x 2 0 y 2= ⋅ = ∈ℜ ≤ ≤ ≤ ≤ π .

2. Esboce a região de integração e calcule as seguintes integrais duplas:

a) ( )

1 2x

0 x2x 4 y dydx+∫ ∫ c) ( )

21 1 y

0 0x dxdy

−

∫ ∫ e) ( )

2

1 x

0 x2xy dydx∫ ∫

b) ( )( )

e 1

1 ln xx dydx∫ ∫ d) ( )

2

2

1 4 x

1 1 xx dydx

−

− −∫ ∫ f) ( )

1 x 2 2

1 1x 2y dydx

− −−∫ ∫

3. Apenas inverta a ordem de integração adequadamente:

a) ( )

4 y 2

0 0f x, y dxdy∫ ∫ b) ( )

2

3

1 x

0 xf x, y dydx∫ ∫ c) ( )

x2 e

1 0f x, y dydx∫ ∫ d) ( )

1 3x

0 2xf x, y dydx∫ ∫

4. Resolva as questões abaixo:

a) Calcule ( )

R

8 x y dA− −∫∫ , onde R é a região delimitada por y x y= =2 4 e .

b) Calcule ( )

R

y ln xdA

x

∫∫ , onde R é a região retangular ( ){ } e 2x, y / 1 x 2 1 y 1∈ℜ ≤ ≤ − ≤ ≤ .

c) Calcule ( )

R

x y dA+∫∫ , onde R é a região hachurada na figura 1.

d) Calcule

21 1 x

0 ye dxdy∫ ∫ . Observe a região hachurada na figura 2.

e) Calcule

R

x dA∫∫ , onde R é a região hachurada na figura 3.

Figura 1. Figura 2. Figura 3.

LLiissttaa ccoommpplleemmeennttaarr ddee eexxeerrccíícciiooss -- NNºº 11

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5. Sejam ( ) ( )yqxp e funções contínuas. Se R é a região retangular ( ){ } e 2x, y / a x b c y d∈ℜ ≤ ≤ ≤ ≤ ,

mostre que:

( ) ( ) ( ) ( )

b d

R a cp x q y dxdy p x dx q y dy⋅ = ⋅∫∫ ∫ ∫ .

6. Use o resultado do exercício (5) para calcular ( ) ( )

Rsen x sen y dxdy⋅∫∫ , onde R é a região retangular

( ){ } e 2R x, y / 0 x 2 0 y 2= ∈ℜ ≤ ≤ π ≤ ≤ π .

Integrais duplas em coordenadas polares

7. Calcule ( )

22 2

Rx y dxdy+∫∫ , onde R é a região hachurada na figura 4.

8. Calcule ( )

3 2R 2 2

dxdy

1 x y+ +∫∫ , onde R é a região hachurada na figura 5.

9. Calcule

2 2

Rx y dxdy+∫∫ , onde R é a região delimitada por x y2 2 1+ = e x y2 2 9+ = .

10. Calcule ( ) R

8 x y dxdy− −∫∫ , sendo R delimitada por x y2 2 1+ = . Interprete geometricamente.

11. Calcule:

a) ( )

2 2

R ln x y dxdy+∫∫ , sendo R o anel delimitado por x y x y2 2 2 216 25+ = + = e .

b) ( )

2 22 x y

R e dxdy

+

∫∫ , sendo R a região circular 4yx 22 ≤+ .

12. Calcule:

a) ( )

24 4 y y 2 2

0 0x y dxdy

−+∫ ∫ .

b)

2 2a a x 2 2

0 0x y dydx

−+∫ ∫ , considere a uma constante real positiva.

13. Calcule R

dxdy∫∫ sendo R a região hachurada na figura 6.

Figura 4. Figura 5. Figura 6.

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Cálculo de volumes Sabemos que, para ( ) 0y,xf ≥ , a integral

( ) R

V f x, y dA= ∫∫

nos dá o volume do sólido delimitado superiormente pelo gráfico de ( )y,xfz = , inferiormente pela região R

(projeção de ( )y,xfz = sobre o plano xy) e lateralmente pelo cilindro vertical cuja base é o contorno de R.

14. Calcule o volume do sólido acima do plano xy delimitado pelo parabolóide z x y= − −4 2 22 2 . Esboce o sólido.

15. Calcule o volume do sólido acima do plano xy delimitado lateralmente pelo cilindro 1yx 22 =+ e

superiormente pelo parabolóide 22 yxz += . Esboce o sólido. 16. Prove, usando integral dupla, que o volume do tetraedro da figura 7 é dado por a3/6. 17. Calcule o volume do tetraedro da figura 8, sabendo-se que ele está limitado no primeiro octante pelo plano de

equação z x y

3 2 11+ + = .

18. Calcule o volume do sólido no primeiro octante delimitado pelo plano 2yz =+ e pelo cilindro vertical que

contorna a região plana delimitada por 2xy = e 2yx = . Veja o sólido na figura 9.

Figura 7. Figura 8. Figura 9.

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19. Mostre, usando integral dupla, que:

a) O volume de um cilindro circular reto de altura h e raio de base a é dado por V a h= π 2 .

b) O volume de um cone circular reto de raio de base a e altura h é dado por 3haV 2π= . Use a equação do

cone ( ) 2 2z h a x y= ⋅ + . Esboce o cone.

Obs. O volume do cone é igual a um terço do volume do cilindro de mesma altura e raio de base. 20. Calcule o volume do sólido delimitado pelas superfícies abaixo. Esboce-os.

a) inferiormente por 0z = , lateralmente por 1yx 22 =+ e superiormente por ( )22 yx4z +−= .

b) inferiormente pelo plano xy, lateralmente por 4yx 22 =+ e superiormente por 8zy =+ .

c) inferiormente por 0z = , lateralmente por 16yx 22 =+ e superiormente por x10z += . Cálculo de áreas

Se na expressão ( ) R

f x, y dA∫∫ fazemos ( ) 1y,xf = , obtemos R

dA∫∫ que nos dá a área da

região de integração R:

• Se R é uma região do tipo I, então ( ) ( )( )

( )

2

1

b g x

a g xÁrea R 1 dydx= ∫ ∫ .

• Se R é uma região do tipo II, então ( ) ( )( )

( )

2

1

d h y

c h yÁrea R 1 dxdy= ∫ ∫ .

21. Calcule, usando integral dupla, a área da região R delimitada pelas curvas abaixo. Esboce os gráficos:

a) y x y x y= = − + =3 2 0, e . b) y e y x xx= = =−1 0, e .

c) x y x y= + = − +2 1 3 e . d) ( ) 1yxlny;0, yyx;0, xxy 23 ==≥−=≤= e

( ) ( ) R

Área R 1 dA= ∫∫

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22. Calcule a área da região hachurada na figura 10. 23. Determine uma expressão de integral dupla, com limites de integração, que calcula corretamente o valor da área sombreada da figura 11. Obs.: Os valores das coordenadas dos pontos A e B foram aproximados.

Figura 10. Figura 11. Aplicações Físicas Para os problemas abaixo, pesquise as fórmulas num livro de Cálculo. 24. Uma lâmina tem a forma do triângulo de vértices (-1, 0), (1, 1), e (1,-1). Determinar a massa e o centro de massa da lâmina se:

a) sua densidade de massa é constante; b) sua densidade de massa no ponto P(x, y) é proporcional à distância desse ponto à reta x = - 2.

25. Uma lâmina plana tem a forma da região delimitada pelas curvas 2 1y x= + e 3y x= + . Sua densidade de massa no ponto P(x, y) é proporcional à distância desse ponto ao eixo dos x. Calcular:

a) a massa da lâmina; b) o centro de massa; c) o momento de inércia em relação ao eixo dos x.

26. Uma lâmina tem a forma da região plana R delimitada pelas curvas 2x y= e x 4= . Sua densidade de

massa é constante e igual a ( ) 215 64ρ x, y Kg m= . Determine o momento de inércia da lâmina em relação ao

eixo x.

27. Calcule a massa da chapa da figura, considerando a densidade da chapa igual a ( ) 2mKgx x,yρ = .

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Respostas: 1. a) e3-e-2. b) 4/π.

2. a) 8/3. b) (e2-3)/4. c) 1/3. d) 0. e) 1/6. f) -1/2.

3. a) ( )

2 4

0 2xf x, y dydx∫ ∫ . b) ( )

31 y

0 yf x, y dxdy∫ ∫ . c) ( ) ( )

2e 2 e 2

0 1 e ln yf x, y dxdy f x, y dxdy+∫ ∫ ∫ ∫ .

d) ( ) ( )

2 y 2 3 1

0 y 3 2 y 3f x, y dxdy f x, y dxdy+∫ ∫ ∫ ∫ .

4. a) 896/15. b) 0. c) 2. d) (e -1)/2. e) 5/6.

6. 1.

7. 32π/3.

8. ( ) ( )22 1 1 1 a π − +

9. 52π/3.

10. 8π. (Volume do tronco de um cilindro reto de raio de base 1 e limitado superiormente pelo plano de equação yx8z −−= ).

11. a) π[25ln(25) - 16ln(16) - 9]. b) ( )( )1e2 8 −π .

12. a) 12π. b) πa3/6.

13. 27π/8.

14. 4π u.v.

15. π/2 u.v.

17. 1 u.v.

18. 31/60 u.v.

20. a) 7π/2 u.v. b) 32π u.v. c) 160π u.v.

21. a) 3/4 u.a. b) (e -2)/(2e) u.a. c) 9/2 u.a. d) ( ) 43,31213ee 1 ≅+− − u.a.

22. 146/9 u.a.

23. ( ) ( )

Área

2 2

x

0 9 x 1,1 9 x

1,6 x 1 0 e1 dydx 1 dydx

− −

− − += +∫ ∫ ∫ ∫ . Existem outras respostas.

24. a) 2k e (1/3, 0) . b) 14k/3 e (3/7, 0) .

25) a) 11,7k. b) (35/52, 529/182) . c) 3033/28.

26) 2 Kg.m2.

27) 0,75 Kg.