04. Coeficiente de Restituição

8/13/2019 04. Coeficiente de Restituição

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BC1707: Métodos Experimentais em Engenharia UFABC Resolução Lista 04 (Marcos) v1.0

Fernando Freitas Alves [email protected] 19/01/14 – pág. 1/11

1. Considereafigura1,bemcomoas relaçõesapresentadasentretempos,alturasevelocidadesparaencontrara

coeficientederestituição( ).

ℎℎ ΔΔ

Figura 1 Arranjoexperimentalparaavaliaçãodocoeficientederestituição.

Pede-se:

a) Proponhaumprocedimentoparaestimarovalorde ,combasenamediçãodasalturasℎeℎ.b) Indiquequaissãoasgrandezasdeinfluêncianoprocedimentoproposto.

c) Calculeocoeficientedesensibilidadedeℎnaestimativadocoeficientederestituição.

çã

a) Existem diversas formas de se mensurar a altura que a bola atinge para cada intervalo de colisão. O mais

simples seria medir com uma régua ou qualquer outro instrumento com escala espacial diretamente o

instante em que a bola se mantém parada no ar (quando a velocidade se torna nula devido a aceleração da

gravidade impulsionar a bola para baixo enquanto ela tenta subir com a energia cinética do impacto).

Porém, esse método é pouco exato, visto que é ineficaz mensurar a altura nesse instante quando o mesmo

acontece em frações de segundo, gerando baixa precisão.

Outro método mais eficaz seria gravar com um câmera, de resolução e taxa de captura suficientemente

elevadas, o experimento para se mensurar a altura com o tempo que for necessário para a obtenção.

Outro método também eficaz seria utilizar um feixe de luz (geralmente infravermelho) com um aparato que

simule um interferômetro de Michelson para mensurar a distância sem influenciar substancialmente na

energia do processo.

Em todos os procedimentos propostos, a bola deve efetuar um movimento puramente retilíneo e

perpendicular com a base horizontal. Para isso, como é relativamente difícil obter uma superfície

eficientemente lisa tanto quanto guiar a bola nessa única direção sem perder energia, se torna necessário

utilizar um guia vazado (como um cano PVC) que caiba exatamente a bola em seu interior e que esteja

alinhado perpendicularmente com a superfície.

mailto:[email protected]






b) Em todos os procedimentos propostos, fatores como temperatura ambiente, gradientes de temperatura,

movimento angular e linear da bola, perdas de energia devido aos choques com a parede do tubo guia,

atrito com tais paredes, com a superfície e com o ar, estabilidade no fluxo de ar do local e da vibração dos

corpos envolvidos e troca de energia devido a luminescência das luzes envolvidas no processo são

grandezas de influência que não são consideradas na conta e que podem ser desconsideradas para se obter

uma boa aproximação do coeficiente de restituição.

c) Utilizando a propagação de erro, temos que o coeficiente de sensibilidade de ℎ é dado por:

1 ℎ

⇒ 1

12

1ℎℎ

⇒ 1 12 ℎ ⇒ 2

RELEMENBRANDO

: ± +

± +

+ ⏟.. . ⏟.. .

+ ⏟.. .







2. Aconfiguraçãoapresentadanafigura2foiutilizadaparadeterminaçãoexperimentaldocoeficientederestituição

paradois sistemas:pedra-vidro (bola degudecolide com superfíciedepedra) emadeira-vidro (boladegude

colidecom superfíciedemadeira). Soltando-seabolaemqueda livrede umaaltura de0,5 , foi realizadaa

mediçãodetempoentredoisimpactosconsecutivos,medianteacapturadosinaldeacústicopelomicrofonede

eletreto,suaamplificaçãoeapresentaçãonateladeumosciloscópio.

Apartirda coletado tempodecorridoentreimpactossubsequentes, foramtraçadasascurvasapresentadasna figura3eospontosexperimentaisforamdispostosnatabela1.

Pede-se:

a) Determineovalordocoeficientederestituiçãoparacadaumdossistemas.

b) Avalie as fontes de incerteza associadas à determinação do coeficiente de restituiçãopelo procedimento

descrito.

Considereasrelações:

2 Δ − 2

,

onde:alturadocilindro,:gravidade,Δ:tempoentredoisimpactose:coeficientederestituição.

Figura 2 Montagemexperimentalparadeterminaçãodocoeficientederestituição.

Figura 3 Resultadosobtidosnamediçãoentreosintervalosentreimpactos:Δ.







Tabela 1. Resultadosobtidosnamediçãoentreosintervalosentreimpactos:Δ. Pedra/vidro Madeira/vidro

Colisão( ) Δ( ) Δ( )1 0,52 0,40

2

0,45

0,27

3 0,38 0,18 4 0,34 0,12 5 0,28 0,10 6 0,24 0,8 çã Para se determinar o valor do coeficiente de restituição com os dados coletados, deve-se utilizar uma

mudança de variável a partir das equações descritas, visto que a dependência de Δ por não é retilínea.

Essa mudança é demonstrada por:

Δ 2

⇒ Δ2

⇒ ln Δ2 l n

⇒

Perceba que agora, a variável depende linearmente de . Logo, encontrando a constante de

proporcionalidade usando os dados da tabela, podemos encontrar , pois:

l n ⇒

± ±

A incerteza da variável Y pode ser estimada pela seguinte propagação de erro:

± + Δ

⇒ ± 2

Δ Δ

2

+ 2

Δ 1

2

⇒ ± + Δ

Assumindo que a incerteza das medidas Δ feitas no osciloscópio é de ±0,01 s, a altura adquirida por

uma régua de incerteza de ±0,0005 m, o valor da aceleração da gravidade como exatos 9,81 m/s e estimando

o valor e a incerteza de :

2 2 × 0,5 m9,81 m/s ≈319,3 ms

± ± 2 · ≈ ± 319,3 ms2 · 0,0005 m0,5 m ≈ ±0,2 ms







podemos reescrever a tabela com os dados de para cada ponto, corrigindo o valor de Δ e Δ para a

superfície de madeira de acordo com o valor do gráfico e expandindo os valores com os outros pontos do

gráfico:

Pedra/vidro Madeira/vidro

Colisão( ) Δ( ) Δ( ) 1 0,52 ± 0,01 0,2 ± 0,5 0,40 ± 0,01 0,5 ± 0,5 2 0,45 ± 0,01 0,3 ± 0,5 0,28 ± 0,01 0,8 ± 0,5 3 0,38 ± 0,01 0,5 ± 0,5 0,18 ± 0,01 1,3 ± 0,5 4 0,34 ± 0,01 0,6 ± 0,5 0,12 ± 0,01 1,7 ± 0,5 5 0,28 ± 0,01 0,8 ± 0,5 0,10 ± 0,01 1,9 ± 0,5 6 0,24 ± 0,01 1,0 ± 0,5 0,07 ± 0,01 2,2 ± 0,5 7 0,20 ± 0,01 1,2 ± 0,5 0,06 ± 0,01 2,4 ± 0,5 8 0,17 ± 0,01 1,3 ± 0,5 0,04 ± 0,01 2,8 ± 0,6 9 0,16 ± 0,01 1,4 ± 0,5 0,03 ± 0,01 3,1 ± 0,6

10

0,14 ± 0,01

1,5 ± 0,5

0,02 ± 0,01

3,5 ± 0,7

11

0,13 ± 0,01 1,6 ± 0,5 12 0,10 ± 0,01 1,9 ± 0,5

obtemos as seguintes curvas:

onde suas constantes de proporcionalidades levam aos seguintes valores de coeficientes de restituição com um

fator

1 , 9 6 para obter um intervalo de predição de

95% de probabilidade:

−, 1±0,004·1,96 0,864±0,007 −, 1±0,012·1,96 0 , 7 3 ± 0 , 0 2







3. Emtrêsexperimentosdiferentes,deixou-secairumabolaping-pongdeumaalturaiguala0,785 emuma

superfíciedegranito.Ossinaisacústicosgeradoscomosimpactosdabolaforamconvertidosempulsoselétricos

atravésdeummicrofoneeregistradosnoosciloscópio,comorealizadoemsaladeaula.Paracadaexperimento

foiobtido,pormétodosdiferentes,umvalordocoeficientederestituiçãodabola.

Experimento 1: CoeficientederestituiçãoDeixou-se abola bater sucessivamentenasuperfície,gerandoo sinaldafigura4.Emseguida,mediram-se os

diversosintervalosentrequedasconsecutivas,gerando-seográficodafigura5.

a) Considerando o resultado da interpolação exponencial dos resultados obtidos na figura ( ),determineovalormaisprovávelparaocoeficientederestituição .Lembre-sedequeotempoquedefineo

intervaloédadoporΔ 2.Paraapresentarcorretamenteonúmerodealgarismos,adotequeaincertezapadrãodestemétodoéde3%.

Figura 4 Resultadoobtidonoosciloscópio.

Figura 5 Resultadodotratamentodosdados.

Experimento 2: CoeficientederestituiçãoFoimedido5vezesointervalodetempoentreoinstantedoprimeiroimpactoedosegundo.Atabela2contém

osresultadosobtidos.

Tabela 2 Resultadosobtidosemcincomediçõesdointervaloentreoprimeiroeosegundoimpactodabolasobre

asuperfície.

Medida Intervalodetempo(

)

1 0,723 2 0,722 3 0,715 4 0,719 5 0,716 b) Determineo coeficientederestituição( )maisprovávelapartirdos resultadosapresentadosnatabela2.

Lembre-sequeotempodequedadabolaapartirdorepousopodesercalculadocomo:

2

adote 9,80 /edesprezeasgrandezasdeinfluêncialigadasa.







Estimeaincertezapadrãoapartirdatabela2euse-aparaindicarovalordecomonúmerocorretode

algarismossignificativos.

Experimento 3: coeficientederestituiçãoOgráficodafigura6foiregistradoparaseobterointervalodetempoentreoprimeiroeosegundoimpactoda

bola,comorealizadoemsaladeaula.

Figura 6 Gráficocompicosdetensãocorrespondentesaoprimeiroeosegundoimpactodabolanasuperfície.

c) Determineocoeficientederestituição( )apartirda figura6.Lembre-sequeo tempodequedadabola

podesercalculadocomo

2

e adote 9,8 /.Para indicaro valorde com onúmero corretodealgarismos,considereque a

incertezapadrãodestemétodoéde3%.

d) Osresultadosobtidosatravésdosexperimentos1,2e3sãocompatíveis?Justifique,utilizandooconceitode

erronormalizado.

e) Paraqual(is)dosexperimentosaalturadaquedadabolaéumagrandezademaiorinfluêncianoresultado

obtidoparaocoeficientederestituição?

çãa) Por um lado, temos pela interpolação que:

onde as variáveis representam: Δ

Podemos então encontrar a seguinte relação linear:

ln Δ

Por outro lado, pela equação teórica: Δ 2







temos a seguinte relação linear:

ln Δ2 l n

Comparando ambas as expressões lineares, concluímos que:

l n ⇒ Logo, utilizando a incerteza padrão enunciada de 3%, o valor do coeficiente de restituição do experimento

1 é dado por: −,1±0,03 ≈0,80±0,03

b) Podemos estimar a incerteza do valor de através da seguinte propagação de erro:

±

⇒ ± 12 2

⇒ ± 12 ⇒ ± 2 ·

⇒ ± · 0,032

Logo, o valor de

é dado por:

2 1 ± 0,032 2 × 0,785 m9 , 8 0 m s⁄ 1±0,015 ≈ 0,400±0,006 s

Por outro lado, o valor de é dado pela média dos dados da tabela:

Δ 1 ∑ Δ

= 0,723 + 0,722 + 0,715 + 0,719 + 0,7165 s 0,719 s

e sua incerteza estimada pelo desvio padrão dos mesmos:

± 1 1 ∑(Δ Δ)= ± 0,7230,719 + 0,7220,719 + 0,7150,719 + 0,7190,719 + 0,7160,7195 1 s ±0,004 s

Assim, podemos calcular o coeficiente de restituição que depende desses valores encontrados:

Δ 2

Δ2







e estimar sua incerteza pela seguinte propagação:

± Δ +

⇒ ± 12 + Δ2

⇒ ± Δ +

⇒ ± Δ +

Logo, concluímos que o valor do coeficiente pelo experimento 2 é dado por:

Δ2 1 ± Δ + 0,719 s2 × 0,400 s 1 ± 0,004 s0,719 s + 0,006 s0,400 s ≈ 0 , 9 0 ± 0 , 0 1

c) Utilizando a mesma análise do item b, temos que o valor do coeficiente pelo experimento 3, utilizando o

intervalo de tempo Δ 0,8 s 0,1 s 0,7 s dado pelo gráfico e o erro padrão do enunciado de 3%, é

dado por:

Δ

2 [1±0,03] 0,7 s2 × 0,400 s 1±0,03 ≈0,88±0,03

d) Utilizando o conceito de erro normalizado:

| |√ +

onde é a incerteza expandida da medida (neste caso, considerando um fator 1 , 9 6 para obter um

intervalo de predição de 95% de probabilidade), para comparar cada par de coeficiente de restituição para

cada experimento, temos os seguintes valores:

1,61 0,96 0,32

Podemos perceber que entre os valores do primeiro com o terceiro e do segundo com o terceiro

experimento resultaram em um erro normalizado menor que 1, o que implica que são valores

confiantemente compatíveis entre cada método respectivo. Por outro lado, a comparação entre os valores







do primeiro e o segundo experimento resultou um erro normalizado entre 1 e 2. Logo, podemos dizer que

ambos os valores são pouco comparáveis, no entanto, atribuindo incertezas padrões maiores esses valores

se tornam mais compatíveis.

e) O experimento que é mais afetado pela altura da queda é aquele que possui uma relação maior entre o

seu coeficiente de sensibilidade e o da altura.

No entanto, para o experimento 1, temos que:

1 1

onde é desconhecido, visto que não foi mencionado a análise de interpolação utilizada no gráfico deste

experimento. Logo, não podemos presumir a relação entre o coeficiente de sensibilidade do coeficiente de

restituição pela altura da queda.

Por outro lado, para os experimentos 2 e 3, temos:

1 Δ +

⇒ 1

12

+ Δ

2

⇒ 1 Δ +

⇒ Δ +

⇒ +

tal que:

1 ⇒ 1 12 2 ⇒ 1 12

⇒ 12

·

⇒ 12







Logo:

14 +

⇒ ∝12

Assim, conclui-se que os experimentos 2 e 3 são igualmente afetados pela altura da queda.



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