1

2.3- DIAGRAMAS DE BLOCOS E DE FLUXO DE SINAL.

FRMULA DE MASON

DIAGRAMA DE BLOCOS DB

Os sistemas de controle, geralmente, so constitudos por vrios componentes ou

partes interligadas. Para mostrar estas interconexes e tambm destacar os

pontos de entrada e de sada dos sinais considerados, usa-se um tipo de diagrama

denominado diagrama de blocos. Estes diagramas so compostos por trs

componentes:

a) BLOCO FUNCIONAL: indica a operao matemtica que age sobre o

sinal de entrada para produzir o sinal de sada. importante observar que

o bloco funcional orientado, o que significa que o sentido do fluxo de

sinais bem definido.

BLOCO

FUNCIONAL

F(s)

C(s)R(s)

Figura 2.11

b) SOMADOR: detector de erro ou ponto de adio: produz como sinal de

sada a soma algbrica dos sinais de entrada.

+R(s) C(s) = R(s) + B(s)

B(s)+

Figura 2.12

c) PONTO DE JUNO ou de ramificao: o ponto onde um sinal

captado para ser levado a outro ponto do diagrama de blocos.

X(s)

PONTO DE JUNO

Figura 2.13

2

TERMINOLOGIA BSICA

Considere o diagrama ilustrativo abaixo:

CONTROLADOR

Gc(s)

PLANTA

G(s)

DISPOSITIVOS

DIVERSOS

H(s)

+R(s) E(s)

B(s)

C(s)

Figura 2.14

1) PLANTA OU PROCESSO: o objeto fsico a ser controlado.

Exemplos: caldeira, motor, nvel de um lquido em um reservatrio, etc.

2) REALIMENTAO: a ao do sinal de sada sobre o sinal de entrada

ou de referncia para gerar o sinal de erro ou de comando. A

realimentao pode ser positiva ou negativa. A realimentao negativa

usada para estabelecer a diferena entre o sinal de referncia e o sinal de

sada, ou seja, gerar um sinal de erro que ir atuar sobre o sistema visando

a atingir os objetivos desejados. A realimentao positiva ocorrer em

casos especiais e ser vista em outro ponto do programa.

+R(s)

B(s)

+

C(s)

REALIMENTAO

Figura 2.15

3) SISTEMA DE MALHA FECHADA: um sistema com realimentao.

Neste tipo de sistema o sinal de sada comparado com o sinal de entrada

para gerar o sinal de comando.

Exemplo: refrigerador.

+R(s)

B(s)

+G(s)

H(s)

C(s)

E(s)

Figura 2.16

3

4) SISTEMA DE MALHA ABERTA: aquele em que o sinal de sada no

interfere no sinal de comando. Isto quer dizer que o sinal de sada no

medido nem realimentado para comparao com o sinal de entrada.

Exemplos: lavadora de roupas, sinal de trnsito de tempo fixo.

F(s)R(s) C(s)

Figura 2.17

5) SERVOMECANISMO: um sistema de controle de malha fechada no

qual a sada uma posio mecnica, velocidade ou acelerao.

CONSTRUO DE DIAGRAMAS DE BLOCOS

Algumas vezes deseja-se construir um diagrama de blocos a partir de um sistema

ou um conjunto de equaes. Como ilustrao considere o circuito eltrico RLC

srie abaixo:

e

RL

C

i0e

Figura 2.18

De maneira resumida as etapas para construo de um DB, so :

a) escrever as equaes que descrevem o comportamento dinmico do

sistema;

b) aplicar a Transformada de Laplace a estas equaes;

c) desenhar o DB correspondente a cada uma delas;

d) unir os diversos diagramas obtidos em um nico diagrama que ser DB

desejado.

Para este circuito iremos considerar a entrada como sendo a fonte de tenso, e

como sada, a tenso no capacitor. Nesta situao temos:

a) Equaes que descrevem o comportamento do circuito (modelo

matemtico).

4

i) 0di

e Ri L e 0dt

ii) t

0

0

1e idt

C

b) Transformada de Laplace das equaes acima:

i) 0E s R.I s sL.I s E s 0 ii) 01

E I ssC

0E s E sI s

R sL

c) Diagrama de blocos da equao i) :

Figura 2.19

Diagrama de blocos da equao ii)

1

sCI(s) 0E s

Figura 2.20

d) Unindo os diagramas de blocos teremos:

+E(s)

-

1

R sL

1

sC 0E s

Figura 2.21

O diagrama de blocos acima ento o diagrama de blocos do circuito eltrico.

Observe que o sinal de entrada est esquerda e o sinal de sada direita do DB.

+E(s)

-

1

R sLI(s)

0E s

5

REDUO OU SIMPLIFICAO DE UM DIAGRAMA DE BLOCOS

O que ser mostrado a seguir que um diagrama de blocos mais complexo, ou

seja, com um nmero maior de laos pode ser simplificado ou reorganizado pela

combinao de dois ou mais blocos em um s. Isto ser feito sob regras que no

alterem a dinmica do sistema original. Veremos que medida que o diagrama vai

sendo simplificado, o nmero de blocos funcionais vai diminuindo e a

complexidade das funes de transferncia vai aumentando devido ao

aparecimento de novos plos e zeros.

REGRAS PARA REDUO DE UM DIAGRAMA DE BLOCOS

1) Alterao da ordem das parcelas, reduo de somadores ou

desmembramento:

Figura 2.22 a

Figura 2.22 b

2) Blocos em Cascata

Figura 2.23

3) Blocos em Paralelo

Figura 2.24

+ +A

B

A - B

C

A - B +C

-+ +

A

B

A+C

C

A-B +C

-

+

B

-

C

AA - B +C

+ +A

B

A - B

C

A - B +C

-

G1 G2A.G1 A.G1G2A

G1G2A

A.G1G2

G1

G2

A+

AG1 + AG2AG1

AG2

G1 + G2A AG1 + AG2

6

4) Mover um bloco para depois de um somador

Figura 2.25

5) Mover um bloco para antes de um somador

Figura 2.26

6) Mover um bloco para depois de um ponto de juno

Figura 2.27

7) Mover um bloco para antes de um ponto de juno

Figura 2.28

G +-

A AG

B

AG - B GA

+-

1

G

B

AG

B

AG - B

B

G

G+-

A

B

AG - BGA - B G

G

A

B

AG

BG

+-

AG - BG

A AGG

AG

AG

G

AG

AG

AG

AG

A

GA AG

1

G

A

AG

7

8) Forma Cannica de um sistema com realimentao: eliminao do lao

de realimentao.

Considere o diagrama de blocos abaixo que denominado de forma cannica de

um DB:

+R(s)

B(s)

+G(s)

H(s)

C(s)

E(s)

Figura 2.29

Para este diagrama definimos :

a) ( )G S funo de transferncia de canal ou ramo direto

b) ( )H S funo de transferncia de realimentao

c) )()( SHSG funo de transferncia de malha aberta - FTMA

Observe que : )()()(

)(SHSG

SE

SB

d) )()(1

)(

)(

)()(

SHSG

SG

SR

SCSF

funo de transferncia de malha

fechada ou global - FTMF.

Vejamos como foi obtida a FTMF : do diagrama de blocos temos :

( ) ( ) ( )E S R S B S

( ) ( ) ( )B S H S C S

( ) ( ) ( )C S G S E S

Substituindo em , temos :

( ) ( )[ ( ) ( )]C S G S R S B S

Substituindo em , temos :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )C S G S R S G S H S C S

ou ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )C S G S H S C S G S R S

ou ( )[1 ( ) ( )] ( ) ( )C S G S H S G S R S

8

Sendo assim chegamos ( ) ( )

( ) :( ) 1 ( ) ( )

C S G SF S

R S G S H S

;

( Obs. : significa igual por definio ).

PROPRIEDADE : Todo diagrama de blocos de um sistema monovarivel pode

ser reduzido a um nico bloco funcional. Veja o exemplo a seguir:

Exemplo 2.9 Reduzir o DB abaixo a um nico bloco funcional e determinar a

funo de transferncia do sistema:

+-

+ G1 +-

G2 G3R

H1

H2

C

Figura 2.30 a

Soluo: a) movendo o bloco 1G para depois do somador temos :

+-

+ G1+-

G2 G3R

H1

C

2

1

H

G

Figura 2.30 b

b) eliminando o lao : 1G 2G 1H , temos :

+-

+-

G3

R C

2

1

H

G

1 2

1 2 1

G G

1 G G H

9

Figura 2.30 c

c) eliminando o lao superior temos :

+-

RC

1 2 3

1 2 1 2 3 2

G G G

1 G G H G G H

Figura 2.30 d

d) eliminando o lao resultante obtemos finalmente :

RC

1 2 3

1 2 1 2 3 2 1 2 3

G G G

1 G G H G G H G G G

Figura 2.30 e

SISTEMAS MULTIVARIVEIS

As regras para reduo de diagrama de blocos podem ser tambm, em alguns

casos, aplicadas em sistemas multivariveis para simplificar o diagrama original.

importante observar que em um sistema multivarivel lidamos com matrizes de

transferncia e, portanto no possvel reduzir o DB a um nico bloco funcional.

Veja os exemplos que seguem.

Exemplo 2.10 Dado o DB abaixo, determine a matriz de transferncia.

G1(s)R(s)

+-

+

H(s)

G2(s)

D(s)

C

Figura 2.31

10

Exemplo 2.11 Dado o DB abaixo, determine a matriz de transferncia.

+-

R1(s)G1(s) +

C1(s)

+-

R2(s)G2(s) G3(s)

C2(s)

Figura 2.32

DIAGRAMA DE FLUXO DE SINAL DFS

DIAGRAMA DE FLUXO DE SINAL DFS

O diagrama de blocos de um sistema um tipo de modelo matemtico

amplamente usado no estudo dos sistemas de controle. Entretanto quando lidamos

com sistemas com vrios laos ou seja muitas interconexes, a aplicao das

regras para simplificao do diagrama pode acabar se transformando em um

trabalho complexo. Uma forma alternativa para lidarmos com diagramas de

blocos mais complexos usar o denominado diagrama de fluxo de sinal DFS.

Este tipo de diagrama mais simples e mais adequado ao uso de uma frmula, (

frmula de Mason ), que permite determinar a funo de transferncia de um

sistema sem usar as regras de reduo de DB j vistas.

Um Diagrama de fluxo de Sinal DFS, ento um DB simplificado e

basicamente constitudo por :

a) N : a representao grfica de uma varivel ou sinal ; b) RAMO : a representao grfica de uma operao, s vezes denominada

de transmitncia. O ramo liga dois ns e orientado. A transmitncia

corresponde funo de transferncia de um bloco funcional.

PRINCIPAIS DEFINIES :

1) Caminho ou percurso uma trajetria constituda por ramos e percorrida nos sentidos indicado;

2) N de entrada aquele que s possui ramos de sada ou eferentes; 3) N de sada aquele que s possui ramos de chegada ou aferentes; 4) N misto aquele que possui ramos de entrada e de sada; 5) Caminho direto uma trajetria que liga um n de entrada a um n de

sada e no cruza nenhum n mais de uma vez;

6) Ganho de um caminho o produto das transmitncias ao longo do mesmo;

11

7) Lao um caminho que termina no mesmo n em que comeou e no cruza nenhum n mais de uma vez

8) Laos que no se tocam ou disjuntos so os que no tem nenhum n em comum.

EXEMPLO de um diagrama de fluxo de sinal:

1 2 3 4 5 6 7

8

2 1

-1

3

S

1

S

1

S

1

1

1

S 2

1

S

-2

2

1

S

)(SU

)(1 SY

)(2 SY

No diagrama de fluxo de sinal acima temos :

Ns : 1, 2 e 3 um caminho;

Ns : 3, 4, 5 e 2 tambm um caminho;

Ns : 4, 5, 2, 3 tambm um caminho;

N 1: um n de entrada, ( um ramo eferente);

Ns 7 e 8 : so ns de sada, ( um ramo aferente);

Ns : 2, 3, 4, 5 e 6 so ns mistos, ( ramos eferentes e aferentes);

Ns : 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 um caminho direto entre o n 1, (entrada) e o n 7,

(sada).

O ganho deste caminho : )2)(1(

22

SSS

G ;

Ns : 1, 2, 6 e 7 um outro caminho direto entre o n 1, (entrada) e o n 7,

(sada);

O ganho deste caminho : S

G6

;

Ns : 1, 2, 3 e 8 um caminho direto entre o n 1, (entrada) e o n 8, (sada);

12

O ganho deste caminho : )2)(1(

2

SSG ;

Ns 2, 3 e 2 : formam um lao, (lao 1);

Ns 4, 5 e 4 : formam um lao, (lao 2);

Ns 2, 3, 4, 5 e 2 : formam um lao, (lao 3);

Lao 1 e lao 2 : laos que no se tocam, (laos disjuntos);

Lao 1 e lao 3 : tm os ns 2 e 3 como ns comuns;

Lao 2 e lao 3 : tm os ns 4 e 5 como ns comuns;

FRMULA DE MASON ( S. J. Mason ) :

A frmula de ganho de Mason tem como objetivo calcular a funo de

transferncia, )(SF , entre um n de entrada e um n de sada em um diagrama de

fluxo de sinal. Sendo assim, para sistemas multivariveis, ser aplicada m x r

vezes onde m o nmero de entradas e r o de sadas.

1

1)(

i

iiPSF onde:

fedcba LLLLLL1

aL - soma dos ganhos dos diferentes laos do diagrama.

cbLL - soma dos produtos dos ganhos de todas as possveis combinaes de laos que no se tocam, considerados dois a dois.

fed LLL - soma dos produtos dos ganhos de todas as possveis combinaes de laos que no se tocam, considerados trs a

trs. ( E assim sucessivamente ).

iP - ganho do i-simo caminho direto.

i - o i-simo cofator de . obtido anulando-se na expresso de

, as parcelas que tm como fator ou fatores, os laos que

tocam o i-simo caminho direto.

F S( ) - a funo de transferncia considerada

- o determinante do sistema

- o nmero de caminhos diretos do diagrama

13

ROTEIRO PARA APLICAO DA FRMULA DE MASON

1) Considere um n de entrada e um de sada. Identifique os caminhos diretos e calcule os respectivos ganhos.

2) Identifique os laos do diagrama e calcule os respectivos ganhos;

3) Calcule aL , cbLL , fed LLL , ...; 4) Calcule .

5) Para cada caminho direto, calcule os respectivos cofatores ,,, 21

6) Calcule )(SF para o ns de entrada e sada considerados :

1

1)(

i

iiPSF

7) Se o sistema for multivarivel determine as demais funes de

transferncia e escreva a matriz de transferncia )(SG .

NOTA : Os itens 2, 3 e 4 so calculados uma nica vez se o sistema for

multivarivel.

CONSTRUO DE UM DFS A PARTIR DE UM DB.

Para construir um diagrama de fluxo de sinal a partir de um diagrama de

blocos observe que :

1) a entrada e a sada de um bloco funcional transformam-se em ns; 2) o bloco funcional transforma-se em um ramo; 3) somadores e pontos de juno transformam-se em ns mistos

EXEMPLOS : para cada sistema abaixo pede-se construir o correspondente

diagrama de fluxo de sinal e usando a frmula de Mason determine a funo de

transferncia :

Exemplo 2.12

+-

U(s)G1(s) +

Y(s)

G2(s)-

Figura 2.35 a

Soluo : o diagrama de fluxo de sinal correspondente :

G1(s)

-1

1 1 G2(s)

-1

U(s)1

Y(s)

Figura 2.35 b

14

Aplicando a frmula de Mason, teremos :

1 1 2

1 1

2 2

P G s .G s

L G s

L G s

a 1 2 1 2

b c 1 2

L L L G s G s

L .L G s .G s

a b c 1 2 1 21 L L .L 1 L L L .L

1 2 1 21 G s G s G s .G s

1 1

1 2

i i 1 1

i 1 1 2 1 2

1.G s .G s .11 1F s P .P

1 G s G s G s .G s logo :

1 2

1 2 1 2

G s .G sF s

1 G s G s G s .G s

Exemplo 2.13

+-

U(s)G1(s) +

Y(s)

G2(s)-

Figura 2.36 a

Soluo : o diagrama de fluxo de sinal correspondente :

G1(s)

-1

1 G2(s)

-1

U(s)1

Y(s)

Figura 2.36 b

15

Aplicando a frmula de Mason, teremos :

1 1 2

1 1

2 2

P G s .G s

L G s

L G s

a 1 2 1 2 b cL L L G s G s ; L .L no existe

a 1 2 1 21 L 1 L L 1 G s G s

1 1

1 2

i i 1 1

i 1 1 2

1.G s .G s .11 1F s P .P

1 G s G s logo :

1 2

1 2

G s .G sF s

1 G s G s

Exemplo 2.14 sistema multivarivel :

H1

G1

G3

G2

+

+-U(s)

Y1(s)

Y2(s)

Figura 2.37 a

Soluo : o diagrama de fluxo de sinal correspondente :

1 G1 G2 Y1(s)

-H1

U(s)

G3 1

1

Y2(s)

Figura 2.37 b

16

Observe que este sistema tem 1 entrada e 2 sadas como indicado abaixo :

u

m = 1

y

r = 2

Figura 2.38

A frmula de Mason ser ento aplicada 2 vezes :

11

r x m 2 x 121

F sG s G s : G s

F s

Utilizando a Frmula de Mason :

I. Clculo de 11F s :

1

11

Y sF s

U s

1) 1 1 2P G .G

2) 1 1 1L G .H

3) a 1 1 2L L G s G s

b cL .L ; etc no existem

4) a 1 1 11 L 1 L 1 G .H

5) 1 1

6)

1 211 i i 1 2i 1 1 1 1 1

1 1 G .GF s P .G .G

1 G .H 1 G .H ; logo :

1 211

1 1

G .GF s

1 G .H

17

II. Clculo de 21F s :

2

21

Y sF s

U s

1) 1 1P G 2 3P G

2) ( j calculado ) : 1 1 1L G .H

3) ( j calculado ) : a 1 1 1L L G .H

4) ( j calculado ) : a 1 1 11 L 1 L 1 G .H

5) 1 1 2 1 11 G .H

6)

2

21 i i 1 1 2 2

i 1

1 1F s P P P

21 1 3 1 1

1 1

1F s G .1 G . 1 G .H

1 G .H ; logo :

1 3 1 3 121

1 1

G G G .G .HF s

1 G .H

Sendo assim, temos:

1 2

1 1

1 3 1 3 1

1 1

G .G

1 G .HG s

G G G .G .H

1 G .H

OBSERVAO: Y s G s .H s

1 1 2

2 1 3 1 3 11 1

Y s G .G1. .U s

Y s G G G .G .H1 G .H

Por simplificao no DB temos:

18

G3

G2

+

U(s)Y1(s)

Y2(s)

1

1 1

G

1 G H

Figura 2.39

Vemos facilmente que :

1 211

1 1

G .GF s

1 G .H

1 3 1 3 1121 3

1 1 1 1

G G G .G .HGF s G

1 G .H 1 G .H

O que confirma os resultados obtidos via Mason.