MATEMÁTICA

Editora Exato 7

OPERAÇÕES ALGÉBRICAS

1. EXPRESSÕES ALGÉBRICAS

Monômio ou Termo É a expressão algébrica mais sintética. É a ex-

pressão formada por produtos e quocientes somente. 23x y 3 42 x x⋅

2

5x

4y

824x− x

z− 4a

Um monômio tem sempre dois componentes: A parte numérica, chamada coeficiente, que é

seguida pelas letras. As letras de um termo recebem o nome de parte literal.

Dizemos que dois monômios ou temos são se-melhantes quando tiverem a mesma parte literal.

Exemplo: 3 42x y z é semelhante a 3 43x y z− .

Adição e Subtração de Monômios Só podemos somar dois monômios, se eles fo-

rem semelhantes. Caso contrário, a operação fica in-dicada.

Comumente a adição e subtração de Expres-sões algébricas é chamada de redução de termos se-melhantes:

A redução de dois termos semelhantes se faz conservando-se a parte literal e somando-se os coefi-cientes.

O último exemplo não satisfaz à condição. No-te que as partes literais são distintas. Multiplicação e Divisão de Monômios

Multiplicam-se (dividem-se) os coeficientes e multiplicam-se (dividem-se) as partes literais, obede-cendo às regras de potenciação.

Exemplo:

( ) ( )

( ) ( )

3 2 2 3 5

4 3 2 2 2

2xy 3x y 6x y

33x y z : 2x y x y z

2

=

=

Adição e Subtração de Polinômios Opera-se como na adição e subtração de mo-

nômios. Exemplo:

( ) ( )

( ) ( )

+ + + + + + + = + + +

+ + − + − + =

= + + − − + − =

= − − +

3 2 2 3 3 2

3 4 3

3 4 3

4 3

x x x 1 3x 8x x 4 9x 4x 2x 5

x 5x 2 2x 3x x 2

x 5x 2 2x 3x x 2

2x 2x 6x

Multiplicação de Polinômios Multiplica-se cada termo do primeiro por todos

os termos do outro e a seguir reduz-se os termos se-melhantes.

Exemplo:

3xy (2x + 4xy - 3y)=2

22(x - 3x + 2x + 1) (x + x + 1)=3

(a + b) (x + y) = ax + ay + bx + by

2. PRODUTOS NOTÁVEIS

Quadrado da soma ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

22 2

2

2 2 2

a b a b a b a 2ab b

a b c a b c a b c

a b c 2ab 2bc 2ac

+ = + + = + +

+ + = + + + + =

= + + + + +

Quadrado da diferença ( ) ( ) ( )

22 2a b a b a b a 2ab b− = − − = − +

Produto da soma pela diferença ( ) ( ) 2 2a b a b a b+ − = −

3. FATORAÇÃO DE EXPRESSÕES ALGÉ-

BRICAS

Fator comum Por certo, você se lembra de que

( )a b c ab ac+ = + . Pela propriedade simétrica, temos.

( )ab ac a b c+ = + .

Exemplo: 2 23x y 9xy+ =

O fator comum é: Evidenciando-o fica ( )2 23x y 9xy 3xy x 3y+ = + .

Agrupamento A expressão não admite um mesmo fator co-

mum a todos os seus termos, mas, agrupando-os, po-demos fatorar a expressão pelo caso anterior.

4. EQUAÇÃO DO 1º GRAU

É toda sentença aberta, redutível e equivalente a ax b 0+ = , com ∈a R * e b R∈ .

Exemplos: São equações do 1º grau as sentenças abertas

5x 12− e 3x x 31

2 2

+− = .

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Resolução:

Notando que bax b 0 ax b x

a+ = ⇔ = − ⇔ = − para

a 0≠ , concluímos que o conjunto-verdade da equa-

ção é bV

a

= −

.

Exercício resolvido:

( )3x x 3

1 2 3x x 3 42 4

76x x 3 4 5x 7 x

5

7V .

5

+− = ⇔ ⋅ − + = ⇔

− − = ⇔ = ⇔ = ⇔

=

5. SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU

Quando temos duas ou mais equações, em que a solução de uma equação deve satisfazer as outras equações, tem-se um sistema de equações. Existem vários processos de solução, porém estudaremos os dois mais importantes:

ADIÇÃO e SUBSTITUIÇÃO

Substituição Consiste em escolhermos uma das duas equa-

ções e isolarmos uma incógnita, substituindo-a na ou-tra equação: Adição

Consiste em adicionar os membros das equa-ções de forma que se anule uma das incógnitas. Caso não ocorra, devemos preparar as equações.

6. EQUAÇÃO DO 2º GRAU

É toda a sentença aberta, em x, redutível e e-quivalente a: 2ax bx c 0+ + = , com a ∈a R * , b R∈ e c R∈ . Resolução do caso geral

Utilizando “alguns artifícios”, Baskara verifi-cou que a equação 2ax bx c 0+ + = é equivalente à e-quação ( )

222ax b b 4ac+ = − .

De fato: 2ax bx c 0+ + = ⇔ 2ax bx c+ = − , multi-plicando ambos os membros desta última igualdade por 4a , obtém-se: 2ax bx c+ = − ⇔

2 24a x 4abx 4ac+ = − . Somando b2 aos dois membros da igualdade

assim obtida, resulta: 2 2 2 24a x 4abx b b 4ac+ + = − ⇔ ( )

222ax b b 4ac+ = − .

Assim, representando por ∆ o discriminante 2b 4ac− , tem solução em R.

a) 0∆ < ⇒ a equação não tem solução em R. b) 0 2ax b 2ax b∆ ≥ ⇒ + = ± ∆ ⇔ = − ± ∆ ⇔

bx

2a

− ± ∆⇔ = .

Portanto, sendo V o conjunto verdade em R, conclui-se que:

b b0 V ;

2a 2a

− + ∆ − − ∆ ∆ > ⇒ =

b0 V

2a

− ∆ = ⇒ =

0 V∆ < ⇒ = φ

Propriedades Se 0∆ ≥ e { }1 2

x ;x é conjunto verdade da equa-

ção 2ax bx x 0+ + = , com a 0≠ , então:

1 2

bS x x

a

−= + =

1 2

cP x x

a= ⋅ =

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1 Resolva a expressão algébrica a seguir: + =2 23x y 7x y

Resolução:

( )+ =2

2

3 7 x y

10x y

2 Resolva os seguintes agrupamentos:

a) ab + ax + bx + x 2

Resolução:

a(b + x) + x(b + x)=

(b + x) (a + x) b)

3 22x + 3x - 3x - 2x Resolução

2

3 22x + 3x - 3x - 2x

2x(x - 1) + 3x(x - 1)2x(x + 1) (x - 1) + 3x(x - 1) x(x - 1) [2(x + 1) + 3]

ou x(x - 1) [2x + 2 + 3] x(x - 1) (2x + 5)

3 Resolva o sistema a seguir: + =

+ =

x y 4

2x y 7

+ =

= −

x y 4

x 4 y

Substituindo na 2ª equação

( )

2x y 7

2 4 y y 7

8 2y y 7

8 y 7

y 1

+ =

− + =

− + =

− =

=

Então:

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x 4 y

x 4 1

x 3

= −

= −

=

4 Resolva:

+ =

x y 3

2x-y=3

Resolução: + = //

− =

x y 3 I

2x y 3 II

= ⇔ =

3x = 6

6x x 2

3

Volta em I: x y 3

2 y 3

y 3 2

y 1

+ =

+ =

= −

=

5 Resolver, em R, a equação 210x x 2 0+ − = . Resolução: Notando que ( )21 4 10 2 81∆ = − ⋅ ⋅ − = , temos:

1 81 1 9 1 9x x ou

2 10 20 20

1 9 8 10 2 1x x ou x V ;

20 20 20 5 2

− ± − ± − += = ⇔ =

⋅

− − = ⇔ = = − ⇔ =

6 Determinar a soma e o produto das raízes da e-quação

22x 7x 3 0− − =

Resolução: Lembrando que se 2 22x 7x 3 ax bx c− − = + + ,

temos a 2= , b 7= − e x 3= − . A soma das raízes é ( )7 7b 7

Sa 2 2

− −−= = = e o produto é c 3

Pa 2

−= = .

EXERCÍCIOS

1 Resolver as equações: a) 4x+6=5x+9 b) 2(x+3)=3x+7(x+4) c) 5(x+1)–2(x–3)=10–(2x+3)

2 O número 2 é raiz da equação: a) x + 4=7 b) x + 2=4 c) 2x – 1=0 d) x + 6=12 e) Nenhuma.

3 A raiz de 2x 2 x 31

2 2

− −− = é:

a) –5 b) +1 c) 7 d) 2 e) Nenhum.

4 Resolva:x y 2

x y 4

+ =

− =

a) x 3

b) x 1

c) x 1

d) x 2

=

= −

=

=

; y 1

; y 3

; y 4

; y 2

= −

= −

=

= −

e) nenhuma.

5 Resolva:x 3y 5

x 8y 0

− =

− =

a) x 8

b) x 8

c) x 8

d) x 8

= −

=

= −

=

; y 1

; y 1

; y 1

; y 1

= −

= −

=

=

e) Nenhuma.

6 O valor de x em:2x 3y 8

5x 2y 1

+ =

− =é:

a) 3 b) 2 c) 1 d) –1 e) Nenhuma.

7 A soma de dois números é 14, a diferença é 2. Quais são esses números? a) 9 e 5 b) 10 e 4 c) 8 e 6 d) 11 e 3

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8 Resolva: x2–4x+3=0 a) x́ 1

b) x́ 1

c) x́ 1

d) x́ 1

=

= −

=

= −

e x́ ´ 2

e x́ ´ 2

e x́ ´ 3

e x́ ´ 3

=

= −

=

= −

e) Nenhuma.

9 Resolva: x2–10x+25=0 a) =x́ 1 e x´´=25 b) =x́ 5 e x´´=-5 c) = =x́ x́ ´ 5 d) =x́ 2 e x´´=5 e) Nenhuma.

10 Na equação x2–10x+24=0, a soma e o produto das raízes valem, respectivamente: a) { }10;24−

b) { } 24;10

c) { } 10;24

d { } 10; 24−

e) Nenhuma.

11 As raízes de x2-2x-3=0, são: a) 3 e–1 b)–3 e 1 c) 1 e 3 d) –1 e –3 e) 2 e 3

12 O valor de m na equação x2–8x+m=0, de modo que essa equação não tenha raiz real: a) m=16 b) m<16 c) m>16 d) m<–16 e) Nenhuma.

13 Resolva: 16x2+3x–10=0 a) { }0;3

b) 30;16

c) { }4;1

d) { }1;4−

e) Nenhuma.

14 Resolva: x2+9x2–4x=7x] a) { }3,5

b) 100;11

c) 110;10

d) 113;10

e) Nenhuma.

15 Resolva: x 2 4+ = a) 14 b) 12 c) 0 d) 1 e) 2

16 Resolva: x 2= a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12

17 Resolva: x 2 2x+ = a) 2 b) 3 c) 4 d) 1 e) 0

18 Resolva: 3x 1 2x 1+ = + a) 1 d) –4 b) 0 e) 3 c) –1

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GABARITO

1 a) x=–3

b) 11

4−

c) 4

5

−

2 B

3 B

4 A

5 D

6 C

7 C

8 C

9 C

10 C

11 A

12 C

13 E

14 C

15 A

16 A

17 A

18 B