01 Libro Aritmética Pag 3-30

8/16/2019 01 Libro Aritmética Pag 3-30

1/28

El Proyecto Editorial de los Colegios de la Corporación Pamer se evidencia en lostextos que apoyan el aprendizaje de nuestros estudiantes.

El texto que tienes en tus manos es el resultado del esuerzo de los trabajadoresde la Editorial y de los docentes de los Colegios Pamer; tienen como unciónprincipal despertar el interés por aprender en nuestros estudiantes. Asimismo,buscan articular el trabajo pedagógico en el salón de clases y motivar nuevos

aprendizajes uera de él.

Los Textos Pamer son el resultado de más de 25 años de trabajo en equipo denuestra Corporación que, a través de su Editorial y el trabajo de los proesores delos dierentes colegios, orece un servicio educativo de alta exigencia académica,con la cual se busca la ormación de personas con una sólida personalidad ycon un comportamiento ético. Plantean, asimismo, una propuesta integral ypersonalizada, de tal modo que a través de múltiples experiencias académicas,ormativas, deportivas, culturales y sociales, nuestros estudiantes se descubran a símismos, se valoren, se relacionen con los demás y asuman los valores universalespara insertarse de manera activa en la sociedad y sean capaces de mejorarla. Porello, si podemos propiciar la curiosidad y el interés por aprender en nuestros

estudiantes, habremos logrado nuestro objetivo: ormar mejores estudiantes,mejores personas.

Juan Carlos DianderasGerente de Colegios de la Corporación Educativa Pamer

Presentación

Libro aritmética.indb 3 15/09/2014 02:08:50 p.m.


2/28

5.° AñoÍNDICE

ARITMÉTICA ● Promedio ............................................................... 7 ● Mezcla .................................................................... 10

●

Porcentajes ............................................................ 13 ● Interés .................................................................... 16 ● Descuento ............................................................. 18 ● Estadística ............................................................. 21 ● Estadística II ......................................................... 25 ● Repaso ................................................................... 29

ÁLGEBRA ● Función inversa .................................................... 33 ● Programación lineal I .......................................... 36 ● Programación lineal II ........................................ 39 ● Matrices I .............................................................. 43 ● Matrices II ............................................................. 47 ● Determinantes ...................................................... 51 ● Matriz inversa ....................................................... 54 ● Repaso ................................................................... 57

GEOMETRÍA ● Prisma y tronco de prisma .................................. 61 ● Pirámide, cono y tronco de cono ....................... 72 ● Tronco de pirámide y esera ............................... 75 ● Figuras de revolución y teorema de Pappus ..... 79 ● Geometría analítica ............................................. 83 ● Circunerencia y parábola ................................... 87 ● La elipse ................................................................. 91

● Repaso ................................................................... 96

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO ● Psicotécnico ..........................................................101 ● Operaciones matemáticas arbitrarias ................105 ● Área de regiones sombreadas .............................108 ● Orden de inormación .........................................113 ● Cronometría .........................................................117 ● Ángulo ormado por las manecillas de un reloj119 ● Suficiencia de datos..............................................122 ● Repaso ...................................................................125

TRIGONOMETRÍA ● Resolución de triángulos oblicuángulos I (Senos yproyecciones) ........................................................129

● Resolución de triángulos oblicuángulos II(Cosenos y Tangentes) ........................................ 132

● Ecuación trigonométrica ....................................135

●

Solución general de una ecuacióntrigonométrica ...................................................... 137 ● Funciones inversas I ............................................139 ● Funciones inversas II ...........................................141 ● Funciones trigonométricas(seno y coseno) ..................................................... 143

● Repaso ...................................................................146

FÍSICA ● Electrodinámica ...................................................151 ● Circuitos eléctricos ..............................................155 ● Magnetismo ..........................................................160 ● Fuerza magnética .................................................165 ● Inducción electromágnética ...............................169 ● Ondas electromágnéticas ....................................175 ● Física moderna .....................................................182 ● Repaso ...................................................................188

QUÍMICA ● Electroquímica .....................................................193 ● Química orgánica (Propiedades del átomode carbono) ........................................................... 196

● Hidrocarburos ......................................................202 ● Hidrocarburos cíclicos y compuestos aromáticos ....................................... 209

● Compuestos oxigenados I(Alcoholes-Aldehidos-Cetonas) ........................ 216

● Compuestos oxigenados II(Ácidos carboxílicos - Éteres - Ésteres) ............. 222

● Compuestos nitrogenados ..................................227 ● Repaso ...................................................................231

BIOLOGÍA ● Sistema circulatorio comparado ........................237 ● Sistema excretor comparado ..............................243 ● Sistema reproductor ............................................250 ● Sistema endocrino ...............................................259

● Sistema nervioso ..................................................267 ● Sistema sensorial ..................................................275 ● Ecología .................................................................283 ● Repaso ...................................................................289



3/28

Aritmética



4/28



5/28

1

7 15.° AÑO ARITMÉTICA

Promedio

Si se tienen dos o más cantidades, no todas igualesentonces el promedio de un valor de tendencia centralsiempre se encuentra entre la mayor y la menor de lascantidades.

Menor cantidad < promedio < mayor cantidad

Se tiene a1; a

2; a

3; ...; a

n; «n» cantidades.

Promedio aritmético = Media aritmética = Promedio

PA =Suma de cantidades

N.º de cantidades

PA =a

1 + a

2 + a

3 + ... + a

n

n

Promedio geométrico = Media geométrica

PG =N.º de cantidades

Producto de cantidades

PG =n

a1 × a

2 × a

3 ... × a

n

Promedio armónico = Media armónica

PH =N.º de cantidades

Suma de las inversas de las cantidades

PH =n

1a

1

+1a

2

+ ... +1a

n

Promedio ponderado

Notas Peso

n1

P1

n2

P2

n3

P3

nn

Pn

PropiedadesA. ma > mg > mh

B. Para dos cantidades (a y b) solamente:

ma =

a + b2 mg = a × b

mh =2ab

a + b

C. Para tres cantidades (a, b y c) solamente:

ma =

a+b+c3 mg = abc

mh =3abc

ab+ac+bc

D. Para dos cantidades (a y b) solamente:

ma×mh=mg2

E. Para dos cantidades (a y b) solamente:

4(a–b)2 = ma2 × mg2

Pp =

n1P

1 + n

2P

2+... + n

nP

n

P1 + P

2 + P

3 + ... + P

n

Advertencia pre

Recuerda el tema de promedio esevaluado en los exámenes de admisión de

las dierentes universidades.



6/28

PROMEDIO

5.° AÑO8ARITMÉTICA1

Trabajando en clase

Integral

1. Si A = M.A.(3,33,333)

; B = Media geométrica de 2; 4 y

8; C = M.H.(45,30,15)

; calcula A + B + C.

2. Si la media aritmética de dos números es 8 y la

media armónica de los mismos es 2, calcula el

producto de dichos números.

3. Calcula el valor de «x», si el promedio geométrico

de los números 5x; 52x y 53x es 625.

PUCP

4. El promedio geométrico de los números 2; 4; 8;16; ...; 2n es 32. Calcula «n».Resolución:

2×4×8×16×...×2n = 32n

21×23×23×24×...×2n = 32n

21+2+3+4+...+n = 32n

2n

n(n+1)

2 = 32

2n+1

2 = 25

Igualando exponentes

n + 1

2 = 5

n + 1 = 10

n = 9

5. El promedio geométrico de los números 3; 9; 27;81; ...; 3n es 729. Calcula «n».

6. Las calificaciones del alumno Pedro en el curso de

aritmética son 12; 9 y 15 y los pesos respectivos de

dichas notas son 4; 5 y 3. Calcula el promedio.

7. La media armónica de 20 números es 12 y la de

otros 30 números es 15, calcula la media armóni-

ca de los 50 números.

UNMSM

8. El promedio geométrico de 4 números enteros ydierentes es 3 3. Calcula el promedio aritméticode dichos números.Resolución:

Piden: x = a+b+c+d4

a⋅b⋅c⋅d4

= 3 3

Elevando la potencia 4

( a⋅b⋅c⋅d4

)4 = (3 3)4

a ⋅ b ⋅ c ⋅ d = 34

. 32

a⋅b⋅c⋅d = 36

Acomodando los actores a⋅b⋅c⋅d = 3⋅32⋅33

a⋅b⋅c⋅d = 1 × 3 × 32 × 33

Reconociendo valores a = 1; b = 3; c = 9; d = 27

Finalmente x = 1+3+9+7

4

x =

20

4 x = 5

9. El promedio geométrico de 4 números enteros ydierentes es 5 5. Calcula el promedio aritméticode dichos números.

10. Si la media aritmética de 53 números es 300 y lamedia aritmética de otros 47 números es 100, cal-cula la media aritmética de los 100.

11. La media aritmética de 40 números es 74. Si sequitan 4 de ellos, que tienen media aritmética 20,¿en cuánto aumenta la media aritmética de losrestantes?

UNI

12. Para la producción de camisas para exportaciónse distribuyó la conección entre 3 empresas encantidades proporcionales a 6, 12 y 4. Si dichasempresas producen 500, 600 y 1000 camisas dia-rias respectivamente, la producción media pordía es:



7/28

PROMEDIO


Resolución: C

1; C

2; C

3: Sean las cantidades distribuidas.

PMD: Sea la producción media diaria.

C

16 =C

212 =C

34 = k

Simplificando C1

3 = C2

6 = C3

2 = k

C1 = 3k; C

2 = 6k; C

3 = 2k

El tiempo que demora cada empresa estará dadopor:

Nro. días = Cantidad a realizarProducción diaria

t1 = C1

500 ⇒ t1 =

3k 500

t2 = C2600 ⇒ t2 = 6k 600

t3 = C3

1000 ⇒ t1 =

2k 1000

Finalmente: PDM = Producción total

Total de días

PDM = C1 + C2 + C3t

1 + t

2 + t

3

Reemplazando valores:

PDM =

3k + 6k + 2k 3k

500 +6k

600 +2k

1000

Resolviendo:

PDM = 611.1

13. Un aeroplano que vuela alrededor de un circui-to que tiene orma cuadrada emplea velocidadesconstantes en cada lado; si dichas velocidades es-tán en relación con los números 1; 2; 3 y 4, res-pectivamente, y la velocidad media del aeroplanoen su recorrido total es de 192 km/h. Calcula eltercer lado en km/h.

14. Si a cada uno de los lados de «a» cuadrados igua-les se les disminuye en dos centímetros la sumade sus áreas disminuye en 20a cm2. Calcula elpromedio de los perímetros de los «a» cuadrados.



8/28

2


Mezcla

Conceptualmente hablando, se denomina mezclaa la unión íntima de varias sustancias; aunquecomercialmente se puede afirmar que mezcla esel procedimiento que tiene por finalidad reunirartículos o sustancias de una misma especie, tratandode obtener de varios precios dierentes, uno en comúnpara ellos.

Comúnmente se presentan dos casos conocidos en laregla de la mezcla.I. Primer paso Consiste en determinar el precio medio de la

mezcla, conociendo los precios unitarios (calida-des) y las proporciones (cantidades) de cada unode los ingredientes

Ejemplo: ¿Cuál es el precio de la mezcla que resulta de

combinar 36 kg de té a 15 nuevos soles el kg con22 kg de té a 12 nuevos soles el kg y con 42 kg deté a 30 nuevos soles el kg?

Resolución:

Cantidad(kg)

Preciounitario

(S/.)

Costo parcial(S/.)

362242

100 kg

151230

540 26412602064

Si 100 kg cuestan S/.2064 soles

1 kg costará:

2064

100 = S/.20,64 En general: Cantidades: C

1; C

2; ...; C

n

Precios unitarios: P1; P

2; ...; P

n

P =C

1 × P

1 + C

2 × P

2 + ... + C

n × P

n

C1 + C

2 + ... + C

n

Es decir: P =Costo total

Cantidad total

II. Segundo caso Consiste en hallar las cantidades de cada ingre-

diente, conociendo el precio medio, los preciosunitarios y la cantidad total.

Ejemplo: Se mezcla un vino de 43 nuevos soles el litro, con

otro de 27 nuevos soles el litro, resultando en total128 litros o 32 nuevos soles el litro. ¿Qué cantidad se tomó de cada uno?

Resolución: «a» litros de S/.43 por dato: a + b = 128 «b» litros de S/.27

Se sabe que: P =C

1 × P

1 + C

2 × P

2

C1 + C

2

Reemplazamos:

32 =a × 43 + b × 27

a + b

32a + 32b = 43a + 27b → 5b = 11a

Por lo tanto:

a + b = 128 → a + 11a5

= 128 → 16a5

= 128

a = 40 litros; b = 88 litros

Método del aspa

Cantidada

b

Precio unitario42

27

Relación

↓32 – 27 = 5

43 – 32 = 11

→

→32

Se cumple:ab

= 511

→ a+ba

= 5+115

→ 128a

= 165

Finalmente:a = 40 litros; b = 88 litros



9/28

MEZCLA


Integral

1. Se mezclan 15 kilos de caé de S/.20 el kg con 30kilos de otro tipo de caé de S/.20 el kg. ¿Cuál seráel precio medio de la mezcla?

2. Se mezclan 25 litros de alcohol de 20º con 35 li-tros de 40º y 40 litros 60º. ¿Cuál será el grado me-dio de la mezcla?

3. ¿Cuántos litros de alcohol al 80% se deben aña-dir a 30 litros de alcohol al 60% para obtener unamezcla de alcohol al 75%?

PUCP

4. Se quieren obtener 60 kg de azúcar de S/.1,5 elkilo mezclando cantidades convenientes de S/.1,8el kilo y de S/.1,3 el kilo, ¿qué cantidades se debeusar de cada uno?Resolución:

Kilos PrecioAB

1,81,3

60 1,5

A + B = 60 Multiplicando la columna de los precios por 10.

Kilos Precio

AB

1813

60 15

Trabajando en clase

Mezclas alcohólicasLa pureza o concentración de un alcohol se mideen grados que equivalen al porcentaje del alcohol

presente en la mezcla, siendo el resto otra sustancia,generalmente agua.Por ejemplo:

Un alcohol de 90º, significa que el 90% es alcoholy el resto otra sustancia diluyente, generalmenteagua.

Una mezcla alcohólica de 75º, significa que el75% es alcohol puro (al igual que el anterior caso)y el resto agua.

Una mezcla de alcohol puro, tendrá 100º.Se tiene dierentes volúmenes de alcohol.(V

1; V

2; V

3; ...), con dierentes grados de pureza

(g1 g2; g3; ...), el grado de pureza de la mezcla sedeterminará de la siguiente manera:

gM

=(V

1×g

1)+ (V

2×g

2)+ (V

2×g

2)+...+ (V

2×g

2)

V1 + V

2 + V

3 + ... + V

n

Nota:El agua tiene grado de alcohol igual a cero.

18A + 13B = 60(15) 18A + 13B = 900 5A + 13A + 13B = 900 5A + 13(A + B) = 900

Reemplazando 5A + 13(60) = 900 5A + 780 = 900 5A = 120 A = 24 ⇒ B = 36

5. Se quieren obtener 70 kg de azúcar de S/.2,6 elkilo mezclando cantidades convenientes de S/.2,2el kilo y de S/.3,2 el kilo, ¿qué cantidades se debeusar de cada uno?

6. Un comerciante mezcla dos tipos de rijoles, delprimero se tiene 20 kg a S/.7 el kg y del segundo,30 kg a S/.3 el kg. ¿A qué precio debe venderse el

kg de la mezcla para ganar el 20%?

7. Se mezcla 3 ingredientes en cantidades que estánen la relación de 1; 4 y 5 y cuyos precios por kiloson S/.15; S/.20 y S/.13 respectivamente. ¿Cuál esel costo de 25 kg de esta mezcla?

UNMSM

8. Si el Sr. Pizarro vierte en un recipiente 20 litros dealcohol de 82º; 30 litros de alcohol puro y 15 litrosde agua, ¿cuál será el grado de la mezcla?



10/28

MEZCLA


Resolución:

Litros Grado

203015

45100

0

65 x

Simplificando la columna de los litros entre 5

Litros Grado

463

45100

0

13 x

4(45) + 6(100) + 3(0) = 13x 180 + 600 = 13x 780 = 13x 60 = x

9. Si Mario vierte en un recipiente 30 litros de alco-

hol de 50º; 20 litros de alcohol puro y 50 litros de

agua, ¿cuál será el grado de la mezcla?

10. Se tienen dos mezclas alcohólicas, una de 80 litrosal 30% de alcohol y otra de 20 litros al 40%. Se

intercambian «a» litros de tal orma que cada una

contiene b% de alcohol. Calcula a + b.

11. Se mezcla alcohol de 45º; alcohol de 60º y alcohol

de 90º en la proporción de 2; 3 y «x». Calcula «x»

si se sabe que la mezcla es del mismo grado que

uno de los tres ingredientes.

UNI

12. Se mezcla 1 litro de alcohol de 8º; 2 litros de al-cohol de 12º; 3 litros de alcohol de 16º; 4 litros

de alcohol de 20º; 5 litros de alcohol de 24º y asísucesivamente hasta lo máximo posible. Calculael grado medio resultante.Resolución:

Litros Grado

12345..

.

812162024..

.100

x

1×8 + 2×12 + 3×16 + 4×20 +...+ 24×100=300x

4(1×2 + 2×3 + 3×4 + 4×5 + ... + 24×25) = 300x

424 × 25 × 26

3 = 300x

Resolviendo: x = 69.333...

13. Se mezcla 1 litro de alcohol de 10º; 2 litros de al-cohol de 15º; 3 litros de alcohol de 20º; 4 litrosde alcohol de 25º; 5 litros de alcohol de 30º y asísucesivamente hasta lo máximo posible. Calculael grado medio resultante.

14. Se tiene dos mezclas alcohólicas de 50% y 80%.De la primera se toma los dos quintos y se mez-cla con la mitad de la segunda, obteniéndose unamezcla de 60%. ¿Cuál será el grado del alcoholque resulta de mezclar los contenidos restantes?



11/28

3


Porcentajes

Tanto por cientoSe denomina tanto por ciento al número de partesque se consideran de las 100 partes iguales en que hasido dividida una cantidad.En general:

a por ciento de N = a% de N =a

100

⋅ N

Ejemplo:

30% de 600 =30

100 600 = 180

20% del 40% del 80% de 5000 =

20

100 ⋅

40100

⋅ 80

100 ⋅ 5000 = 320

Parte de un total como tanto por cientoEn general¿Qué tanto por ciento de a es b?

↓ ↓ total parte

ParteTotal

⋅ 100% = ba

⋅ 100%

Ejemplo:¿Qué tanto por ciento de 60 es 15?

1560

⋅ 100% = 25%

Operaciones con porcentajesImportanteToda cantidad representa el 100% de la misma.

N = 100%N

Ejemplo: 32%N + 48%N = 80%N A + 25%A = 125%A x – 30%x = 70%x 40%B + 2B – 70%B = 170%B

Aplicaciones del tanto por cientoA. Descuentos sucesivos Para dos descuentos de a% y b%.

D(único)

= (a + b)– a×b100

Ejemplo: Descuento único de 20% y 30%

D(único)

= (20 + 30) –20 ⋅ 30

100

= 50 – 6 = 44%

B. Aumentos sucesivos Para dos aumentos de a% y b%.

A(único)

= (a + b)+ a×b100

Ejemplo: Aumento único de 20% y 30%

A(único)

= (20 + 30) +20 ⋅ 30

100

= 50 + 6 = 56%

C. Aplicaciones comerciales Elementos

a. Precio de costo (Pc): Es lo que el comercianteinvierte.

b. Precio de venta (Pv): Es lo que el cliente paga.

c. Precio ijado (P): Es el valor inicial que ob-tiene el comerciante.d. Ganancia (G): Es la dierencia que se obtiene

cuando la venta es mayor que el costo.e. Pérdida (P): Es la dierencia que se obtiene

cuando la venta es menor que el costo.. Descuento (D): Es la rebaja que se obtiene al

comprar una mercadería.

En general Si hay ganancia

Pv = Pc + G Si hay pérdida

Pv = Pc – P



12/28

PORCENTAJES


Integral

1. Si el 40% del 50% de un número es 800. ¿Cuál esel 10% del 20% de dicho número?

2. Si el largo de un rectángulo aumenta en 20% ysu ancho disminuye en 30%. ¿En qué porcentaje

varía su área?

3. Un artículo que costó S/.4000 se vendió con unaganancia del 20%. Calcula el precio de venta.

PUCP

4. Si 360 disminuye en su 25%, ¿cuál es la nuevacantidad?Resolución:

375

1004

⋅ 360 =3

41

⋅ 36090

= 270

5. Si 800 disminuye en su 30%, ¿cuál es la nuevacantidad?

6. Si A es el 150% de B ¿qué tanto por ciento de B esA + B?

7. ¿Qué porcentaje del precio de venta se gana siel precio de costo es S/.360 y el precio de ventaS/.400?

Trabajando en clase

Nota: Generalmente las ganancias o pérdidasse representan como un tanto por ciento delprecio de costo.

Si hay descuento: P v = P

F – D

Nota: Generalmente el descuento se represen-ta como un tanto por ciento del precio ijado.

Sea:G

B: Ganancia bruta G

N: Ganancia neta

Se cumple:

P v = P

c + G

B

GB = G

N + Gastos

UNMSM

8. Una empresa de inormática emplea a 800 perso-nas. De ellas, el 42% son varones y el 50% de los

varones tiene más de 30 años. ¿Cuántos varonesde esta empresa son mayores de 30 años?Resolución:

800 ⋅42

100 ⋅

50100

= 168

mayores de 30 años

varones

∴ hay 168 varones mayores de 30 años.

9. Una ábrica de embutidos emplea a 600 personas.

De ellos, el 40% son varones y el 30% de estos

son solteros. ¿Cuántos varones casados hay en la

ábrica?

10. Un artículo se vende en S/.360 ganándose el 20%

del costo. Si por eecto de la inflación el costo ha

aumentado en 10%, ¿cuál debe ser el precio del

artículo para seguir ganando el mismo porcentaje?

11. En una granja, el 30% de los animales son pollos;

el 45% son patos y el resto gallinas. Si se venden

la mitad de los pollos, 4/9 de los patos y 3/5 de

las gallinas. ¿Qué porcentaje del nuevo total son

patos?



13/28

PORCENTAJES


UNI

12. Un comerciante compró corbatas a S/.80 cada unay las vendió con una ganancia neta de S/.510. La

venta le ocasionó un gasto del 15% de la gananciabruta. Si por todo obtuvo S/.3800, ¿cuántas cor-batas compró?Resolución:

Sean «n» corbatas compradas:

Gneta

+ gastos = Gbruta

⇒ GB = 600

510 + 15%GB = 6B

Pc + G = Pv ↓ 80⋅n + 600 = 3800 → n = 40

13. Un comerciante compró camisas a S/.120 cadauna y las vendió con una ganancia neta de S/.800.La venta le ocasionó un gasto del 20% de la ga-

nancia bruta. Si por todo obtuvo S/.4600, ¿cuán-tas camisas compró?

14. Un número disminuido sucesivamente en dosporcentajes iguales a n%, para luego aumentarloen 30% del valor alcanzado, resultando finalmen-te un aumento porcentual de 5,3%. Calcula «n».



14/28

4


Interés

DefiniciónEs un procedimiento aritmético que nos permite

obtener la ganancia (interés) generada a partir de

cierta suma de dinero bajo ciertas condiciones

financieras o comerciales.

ElementosA. Capital (C) Es la suma de dinero o bien material que se va a

prestar, depositar o alquilar por un determinado

periodo de tiempo.

B. Tiempo (T) Es el periodo durante el cual se va a ceder o impo-

ner el capital.

C. Tasa de interés (%) Nos indica qué tanto por ciento del capital se vaa generar al cabo de cierto periodo de tiempo ya

especificado.

Equivalencias1. Comerciales de tiempo

1 mes comercial < > 30 días1 año comercial < > 360 días

2. Tasas, ejemplos:

5% mensual 60% anual

2% bimestral 12% anual 3% semestral 6% anual 6% trimestral 24% anual 4% cuatrimestral 12% anual

D. Interés (I) Es la ganancia, beneficio o utilidad que produce

o genera el capital al cabo de cierto tiempo y bajociertas condiciones previamente establecidas.

E. Monto (M) Es el acumulado de capital con el interés generado.

M = C + I

Interés simpleEs cuando el interés o ganancia que genera el capital

de préstamo no se acumula al capital sino hasta elfinal de todo el proceso de préstamo.

Se calcula:

I = C×r%×T

Para T = años

I = C×r×T100

Para T = meses

I =C×r×T1200

Para T = días

I = C×r×T36 000

Advertencia pre

No olvides que el tiempo y la tasa deinterés deben estar expresados en la

misma unidad temporal.



15/28

INTERÉS


Integral

1. Calcula el interés producido por S/.5000 impues-to durante 3 años al 20%.

2. ¿En cuánto se convertirán S/.8000 al 25% anualen 9 meses?

3. ¿Al cabo de cuánto tiempo un capital sujeto al60% se cuadruplicará?

PUCP

4. ¿Qué interés producirá un capital de S/.5400 pres-tado al 18% anual durante 3 años y 4 meses?Resolución:

I =

C×r×T1200

I = 5400⋅18⋅401200

I = S/.3240

5. ¿Qué interés producirá un capital de S/.8500 pres-tados al 15% anual durante 4 años 2 meses?

6. Los 2/5 de un capital han sido impuesto al 30% yel resto al 40% si el interés tota anual de S/.3600,calcula el capital.

7. Se prestó un capital por 1 año y el monto ueS/.5500; si se hubiera prestado por 2 años, el mon-to sería S/.6000, ¿cuál ue la tasa?

UNMSM

8. Lopez Meneses impone los 3/8 de su capital al5% y el resto al 8%, resultando en total un interésanual de S/.1100. ¿Qué cantidad ue impuesta al5%?Resolución:

Sea el capital: 8k

3k ⋅5⋅11000

+5k ⋅8⋅11000

= 1100

15k 100

+40k 100

= 1100 → k = 2000

Nos piden 3k → 3(2000) = S/.6000

Trabajando en clase

9. El Sr. Torres impone los 4/7 de su capital al 4% y

el resto al 5% y resulta un interés anual de S/.9300.

¿Qué cantidad ue impuesta al 4%?

10. ¿A qué tasa de interés la suma de S/.20 000 llegará

a un monto de S/.28 000 colocada a interés simple

de 1 año y 4 meses?

11. El monto de un capital durante 1 año y 3 meses

es S/.2250 y durante 2 años y 9 meses es S/.2790.Calcula la tasa de interés anual.

UNI

12. Determina el tiempo al que ue impuesto un capi-tal a una tasa de 60%, sabiendo que el capital, in-terés y monto más capital orman una proporcióngeométrica continua, donde la media proporcio-nal es el interés.Resolución:

C

I = I

M+C Aplicando propiedad

C + II

= I+M+CM+C

⇒ MI

= 2MM+C

M + C = 2I ↓ C + I + C = 2I 2C = I

∴ C = C⋅60⋅x1200

→ x = 40 meses

13. Determina el tiempo al que ue impuesto un capi-

tal a una tasa de 30%, sabiendo que el capital, in-

terés y monto más capital orman una proporción

geométrica continua, donde la media proporcio-

nal es el interés.

14. Durante cuánto tiempo estuvo depositado un ca-

pital al 12% anual si los intereses producidos al-

canzan al 48% del capital?



16/28

5


Descuento

Elementos1. Letra de cambio o pagaré Es un documento comercial, en el que una perso-

na (deudor) se compromete a pagarle a otra per-sona (acreedor) un dinero en una determinadaecha (echa de vencimiento).

2. Descuento (D) Es la rebaja que se le hace a la letra de cambio,

cuando es pagado con anticipación a su venci-miento.

3. Valor nominal (Vn) Es la cantidad de dinero que está escrita y especi-

ficada en la letra de cambio, el deudor debe pagaresta cantidad en la echa de vencimiento.

4. Valor actual (Va) Llamado también valor eectivo, es el valor que

toma la letra de cambio al momento de ser cance-lada.

5. Tiempo de descuento (T) Es el periodo desde el momento en que se cancela

la deuda hasta la echa de vencimiento.

Va Va

Dt

r%

letra decambio

Tenemos: D = Vn – Va

Clases de descuento1. Descuento comercial (Dc) Llamado también descuento extremo o abusi-

vo, es el que se calcula respecto al valor nominal(Vn).

Vac Vn

Dcr%

t

Dc = V

n – V

ac

Fórmulas:

DC =Vn ⋅ r ⋅ t

100 para T: años

DC =Vn ⋅ r ⋅ t

1200 para T: meses

D

C = Vn ⋅ r ⋅ t

36 000 para T: días

2. Descuento racional (DR) Llamado también descuento interno o matemáti-

co, se calcula respecto al valor actual (Va).

VaR

Vn

DR

r%

t

DR = V

n – V

aR

Fórmulas:

DR =V

aR ⋅ r ⋅ t

100 para T: años

DR =V

aR ⋅ r ⋅ t

1200 para T: meses



17/28

DESCUENTO


Integral

1. Calcula el descuento que se le debe hacer a unaletra de S/.7200 al 4% si altan 5 meses para su

vencimiento.

2. Calcula el descuento racional si su valor actual ra-cional es S/.27 000 al 20%, si altan 8 días para su

vencimiento.

3. Calcula el valor nominal de una letra, sabiendoque si se descontara en este momento, los des-cuentos comercial y racional serían de 500 y 460soles.

PUCP

4. Se firmó una letra de S/.7500, si esta letra se can-celara 6 meses antes de su vencimiento al 9% se-mestral de descuento, ¿cuál sería su valor actual?Resolución:

7500 ⋅ 9 ⋅ 2 ⋅ 6

1200DC = = S/.675

D = Vn – Va

675 = 7500 – Va ∴Va = S/.6825

5. Se firmó una letra de S/.12 000 si esta letra secancelara 3 meses antes de su vencimiento al 5%cuatrimestral de descuento, ¿cuál sería su valoractual?

Trabajando en clase

6. Se firmó una letra por S/.6000, si esta letra secancelara 5 meses antes de su vencimiento al 4%mensual de descuento racional. ¿Cuánto sería su

valor actual racional?

7. ¿Cuántos días antes de su vencimiento ha sidodescontada una letra de S/.4000 que al 4% se hareducido a S/.3982?

UNMSM

8. La dierencia entre el descuento comercial y ra-cional de una letra de S/.270 es de S/.3. ¿Cuál es eldescuento racional?Resolución:

Datos

Vn = 270

DC – D

R = 3 Vn =

270 =

DC

⋅ DR

DC – D

R

DC

⋅ DR

3

810 = DC ⋅ DR

↓ ↓ 30 27

DR = S/.27

9. La dierencia entre el descuento comercial y ra-

cional de una letra de S/.100 es S/.5, ¿cuál es el

descuento racional?

10. Calcula el valor nominal de un pagaré por el cualse recibe S/.5174, descontada al 6% por 30 días.

DR =V

aR ⋅ r ⋅ t

36 000 para T: días

PropiedadesRelaciona los descuentos para una sola letra decambio.

Vn > Va Dc ⇒ DR Vac < VaR VaR – Vac = Dc – DR

DC – D

R =

DR⋅ r ⋅ T

100

Vn =

DC

⋅ DR

Dc –DR ⇒ Importante

DR =

Vn⋅ r ⋅ T

100+r⋅t



18/28

DESCUENTO


11. En un pagaré el descuento comercial y el valor ac-tual comercial están en la relación de 1 a 3. ¿Quéporcentaje del valor nominal es el descuento co-

mercial?

UNI

12. El valor actual comercial de una letra es 24 vecesel descuento comercial. Si altan 2 meses para su

vencimiento, determina la tasa bimestral de des-cuento.Resolución:

Vac

= 24k Vn=25k T = 2 meses

DC

=k

∴ DC =Vn ⋅ r ⋅ t

1200 ⇒ k = 25k ⋅ x ⋅ 2

1200

x = 24% anual = 4% bim.

13. El valor actual comercial de una letra es 19 veces

el descuento comercial. Si altan 3 meses para su vencimiento, determina la tasa semestral de des-cuento.

14. El valor actual racional excede al valor actual

comercial de una letra en S/.24. Calcula el valor

nominal de dicha letra, si el producto de los des-

cuentos es S/.34 560.



19/28

6


Estadística

DefiniciónEs la ciencia que nos proporciona un conjunto demétodos y procedimientos para la recolección,clasificación, análisis e interpretación de datos paratomar decisiones.

ClasificaciónA. Estadística descriptiva Se encarga de describir en orma clara y adecuada

los datos que se manejan.

B. Estadística inerencial Llamada también deductiva. Tiene por objeto de-

ducir leyes de comportamiento de una poblacióna partir del estudio de una muestra.

Población y muestraPoblación

Es un conjunto de individuos, objetos u observacionesque poseen al menos una característica común.

MuestraEs una parte o subconjunto representativo de lapoblación.

Variable estadísticaEs una característica de la población y puede tomardierentes valores. Se clasifican en:A. Cualitativa Son variables cuyos valores son cualidades que

representa la población.

Ejemplo: La variable proesión puede adoptar lasmodalidades: ingeniero, abogado, médico, etc.

B. Cuantitativa Son variables que se obtuvieron como resultado

de mediciones o conteos.a) Discreta: la variable toma solo valores enteros. Ejemplo: El número de miembros de una a-

milia.b) Continua: la variable puede tomar cualquier

valor comprendido entre otros dos. Ejemplo: Una persona puede pasar entre

70 kg y 7 kg.

Distribución de frecuenciasA. Frecuencia absoluta (fi) Es el número de veces que aparece un valor de la

variable estadística, se cumple:

1 +

2 +

3 + ... +

k = n

B. Frecuencia absoluta acumulada (Fc) Es la acumulación sucesiva de las recuencias ab-solutas simples, o sea:Fi =

1 +

2 +

3 + .. +

i

C. Frecuencia relativa (hi) Es el cociente de cada recuencia absoluta entre el

número total de datos.

hi = in

; h1 + h

2 + h

3 + ... + h

x = 1

D. Frecuencia relativa acumulada (Hi) Es la acumulación sucesiva de las recuencias re-

lativas o sea:

Hi = h1 + h

2 + h

3 + ... + h

k ; Hi =

Fin

Ejemplo: Del siguiente cuadro:

n.º dehijos

n.º deam (fi)

Fi hi Hi hi%

2 5 5 0,25 0,25 25%

3 6 11 0,30 0,55 30%

4 3 14 0,15 0,70 15%

5 2 16 0,10 0,80 10%

6 4 20 0,20 1 20%

n=20

hi =in

⇒ h1 = 520

= 0,25



20/28

ESTADÍSTICA


Integral

EnunciadoSe tienen las notas de 16 alumnos en una examen dequímica: 12; 14; 12; 08; 10; 12; 15; 13; 14; 12; 13; 17;12; 09; 10 y 15

1. ¿Cuál es la moda?

2. Calcula la media.

3. Si el proesor Sarmiento decide aprobar a losalumnos cuya nota sea mayor o igual a la media,¿cuántos aprueban?

PUCP

4. El siguiente gráfico registra inormación sobre laspreerencias de 16 200 aficionados al útbol:

Trabajando en clase

Gráficos o diagramasa. Histograma (I vs o h)

5

6

43

2

2 3 4 5 6 n.º hijos

b. Diagrama escalonado: Las recuencias absolutaso relativas pero acumuladas.

c. Gráfico circular: Llamado también de sectores ode pastel.

Total = 100% = 360º

Medidas de tendencia centrala) Media aritmética Llamada también media o promedio aritmético.

Para «n» datos no clasiicados.MA = x =

x1+x

2+x

3+...+x

n

n

b) Mediana (Me) Es aquel valor que separa en 2 grupos de igual

cantidad de datos. Para datos no clasiicados, se ordena los datos

en orma creciente y luego: si la cantidad dedatos es impar, la Me será el dato central o sila cantidad es par la Me será el promedio delos dos datos centrales.

c) Moda (Mo) Es el valor que se representa con mayor recuen-cia en un grupo de datos.

Para datos no clasiicados, se considera el va-lor más repetitivo, que pueden ser uno o más

valores.

SC100º AL

150º

U

¿Cuántos se maniestaron hinchas de la U?Resolución:

Total: = 16 200 = 100% = 360º Pero: U = 360º – (100º + 150º) = 110º

360º 16 200

110º x

⇒ x = 110º×16 200360º

∴ x = 4950



21/28

ESTADÍSTICA


5. El siguiente gráfico registra inormación sobre laspreerencias de 900 aficionados al útbol.

Barcelona140º

RealMadrid

120º

IntiGas

¿Cuántos se maniestaron hinchas de Inti Gas?

6. Dada la distribución de recuencia de las edadesde cierta cantidad de alumnos, calcula la recuen-cia relativa de los alumnos que tienen 22 años.

Edades Nº de alumnos

25 4

26 6

27 3

28 7

7. Del problema anterior, calcula:

F2 + 3 + h3 + H2

UNMSM

8. Según el siguiente cuadro, calcula la Mo, Me y x.

Edades N.º de alumnos

20 12

21 8

22 16

23 14

Resolución: La moda es el dato con mayor recuencia

Mo = 28 años

La mediada es el dato central de un grupo de

datos ordenados:

∴ Me = 26 + 272

= 26,5

La media es el promedio aritmético ∴ x = 4(25)+6(26)+3(27)+7(28)

4+6+3+7 = 26,65

9. Según el siguiente cuadro, calcula la Mo, Me y x.

Edades N.º de alumnos

14 315 4

16 7

17 6

10. Se ha encuestado a 20 jóvenes con respecto a las

edades que tienen:12121417

14151412

17121515

12121514

14121712

Realizando la tabla de recuencia tenemos:

Edadn.º de alumnos

()F h H

12

14

15

17

Total 20

Completa el cuadro y responde: ¿Qué porcentaje del total de encuestados tiene

por lo menos 14 años?

11. Del problema anterior (10), calcula

2 + F

3 + h

1 + H

2

UNI

12. Dado el siguiente cuadro incompleto de las tablasde distribución de recuencia de un grupo de 50personas:

Estado civil F h H

Soltero 15

Casado 28

Viudo 0,80

Divorciado

¿Qué porcentaje representan los viudos?Resolución:

Del dato n = 50, además H4 = 1

∴ h4 = 1 – 0,80 = 0,20



22/28

ESTADÍSTICA


⇒

4

h4

= n ⇒ 4 = 0,20 × 50 = 10

también F1 = 15 ⇒ 2 = 28 – 15 = 13

entonces 1 + 2 + 3 + 4 = n 15 + 13 + 3 + 10 = 50 3 = 12

∴ h3 =

3

n ⇒ h

3 = 12

50 = 0,24 = h

3% = 24%

13. Dado el siguiente cuadro incompleto de las tablasde distribución de recuencias de un grupo de100 personas.

Ocupación F h H

Ingenieros 24Abogados 42

Médicos 0,75

Químicos

14. Completa la siguiente tabla de recuencias:

N.º de

hijos

N.º de amilias

()

F h H h%

0 8

1 15

2 12

3 24

4 15

5 26

n =

¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son correctas?

I. F2 + h5 + H3 = 23,75

II. Por lo menos el 65% de las amilias tiene 3

hijos.

III. A lo más el 60% de las amilias tiene 4 hijos.



23/28

7


Estadística II

Tabla de frecuencias de una variable continua(agrupación en intervalos)Es aquella tabla en la que los datos originales seclasifican en intervalos de clase. La razón de laagrupación por intervalos de clase es el gran númerode datos.Ejemplo:En una posta médica de Lima, se observa que enel presente mes se ha atendido un grupo de 1200personas de las cuales hemos recopilado una muestrade 20 edades, las cuales mostramos a continuación:10; 12; 09; 02; 15; 17; 18; 20; 22; 25; 25; 26; 27; 27; 32;27; 42; 38; 33 y 34

a. Rango o recorrido (R) Es la dierencia entre el mayor (x

máx.) y el menor

(xmín.

) de los datos de la variable. Del ejemplo: el rango es R = 42 –2 = 40

b. Número de intervalos de clase (k) Es el número de categorías o intervalos en que se

va a dividir la inormación.

Regla de Sturgesk = 1 + 3,322 Logn

(n: número de datos)Del ejemplo: k = 1 + 3,322 Log20 = 5,32si k = 5,32, se recomienda tomar 5 intervalos o un

valor cercano que podría ser 4 o 6.

c. Amplitud o ancho de clase (w) Es la dierencia entre el límite superior e inerior

de cada intervalo. Del ejemplo: la amplitud de cada clase será:

w =R k ⇒ w =

405

= 8

o sea: I1 = [02 – 10〉; 10 – 02 = 8

d. Marca de clase (x1)

Es el punto medio de cada intervalo:

xi=

(Límite inerior) + (Límite superior)2

Del ejemplo: x1 =

2+102

= 6

e. Las recuencias absolutas y relativas Se siguen los mismos procedimientos del tema

anterior.

Por lo tanto, resumiendo los datos en una tabla:

Edades Xi fi Fi hi Hi

[02 – 10〉 6 2 2 0,10 0,10

[10 – 18〉 14 4 6 0,20 0,30

[18 – 26〉 22 5 11 0,25 0,55

[26 – 34〉 30 6 17 0,30 0,85

[34 – 42〉 38 3 20 0,15 1

n=20 1,00

Observación: H = n ⇒ h1 =

2

20 = 0,10

Medidas de tendencia central(Para datos agrupados)

a. Media (x)

x1⋅

1 + x

2⋅

2 + ... + x

n⋅

n

nx =

b. Mediana (Me)

Me = Lme

+

n2

– Fme–1

me × w

Donde:L

me: Límite inerior de la clase mediana

w: Número total de datos F

me–1: Frecuencia absoluta de la clase mediana



24/28

ESTADÍSTICA II


Integral

EnunciadoSe muestra la siguiente tabla de distribución de los

trabajadores de acuerdo con los años de servicio enuna empresa:

Año deservicio

Números depersonas

F h

[0; 5〉 10 a p

[5; 10〉 5 b q

[10; 15〉 20 c r

[15; 20〉 15 50 s

1. Calcula el valor de a + b + c.

Trabajando en clase

c. Moda (Mo)

Mo = Lmo

+d

1

d1 + d2 × w

Donde:

Lmo

: Límite inerior de la clase modal w: Ancho de la clase modal d

1: Dierencia entre la recuencia de la clase mo-

dal y de la clase anterior d2: Dierencia entre la recuencia de la clase mo-

dal y de la clase posterior

2. Calcula p + q + r.

3. ¿Qué porcentaje de los trabajadores tiene 10 omás años de servicio?

PUCP

4. En la siguiente tabla de distribución de recuen-cias:

Ii Xi fi

[5 – 15 〉 10 6

[15 – 25〉 20 4

[25 – 35〉 30 3

[35 – 45〉 40 7

Calcula x.

Ejemplo:Dada la siguiente tabla de distribución de recuencias. Calcula x, Me, Mo.

Edades Xi Fi

[6 – 10〉 8 6 6

[10 – 14〉 12 7 13

[14 – 18〉 16 8 21

[18 – 22〉 20 4 25[22 – 26〉 24 12 37

[26 – 30〉 28 13 40

Para ubicar MePara ubicar Me

me–1

d1=12–4=8

Para ubicar Mo

Lme

Lmod

2=12–3=9

w = 4

a) x =8⋅6+12⋅7+16⋅8+20⋅4+24⋅12+28⋅3

40 = 17,8

b) Me = 14 +

402

– 13

8 × 4 = 14 + 3,5 = 17,5

c) Mo = 22 +8

8 + 9 × 4 = 22 + 1,88 = 23,88

∴ x = 17,8 Me = 17,5 Mo = 23,88



25/28

ESTADÍSTICA II


Resolución:

x = 6×10+4×20+3×30+7×4020

= 25,5

∴ x = 25,5

5. En la siguiente tabla de distribución de recuencias:

Ii Xi fi

[15 – 25 〉 20 8

[25 – 35〉 30 3

[35 – 45〉 40 4

[45 – 55〉 50 5

Calcula x

6. El gráfico muestra los ingresos y egresos de unacompañía durante cuatro años consecutivos:

Millones de S/.

500450400350300250200150100

01997 1998 1999 2000 Año

ingresosegresos

¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verda-deras?II. La ganancia obtenida en 1999 es la misma

que la obtenida en 2000. ( )II. Los egresos aumentaron porcentualmente de

1999 a 2000 en un 100%. ( )III. Los ingresos decrecieron porcentualmente de

1998 en un 66,7%. ( )

7. El siguiente cuadro muestra los ingresos sema-nales de un grupo de trabajadores de la empresaSantiago Export S.A.

Salarios fi Fi hi Hi

[300 – 350〉 24

[350 – 400〉 0,34

[400 – 450〉 30

[450 – 500〉 0.12

[500 – 550〉 n = 100

Determina el valor de: 5 + F3 + h2 + H4

UNMSM

8. La siguiente tabla corresponde a la distribucióndel número de pacientes atendidos en enero de1998 por 75 puestos de salud en la sierra. Las an-churas de clase son iguales.

IiMarca declase (Xi)

# de puestosfi

Fi hi

[20; a 〉 30 0,04

[ ; 〉 12

[ ; 〉 15

[ ; 〉 21

[ ; 〉 12

[ ; 〉 9

[ ; 〉 Total n = 75

Completa y calcula: x4 + 2 + F6 + h5

Resolución:

20 + a2

= 30 → a = 40; 1 = n ⋅ h1

1 = 75(0,04) = 3

También F2 = F1 + 2

12 = 3 + 2 → 2 = 9

Luego: x4 = 80 + 1002

= 90

F3 = 12 + 15 = 27

F4 = 27 + 21 = 48

F5 = 48 + 12 = 60

F6 = 60 + 9 = 69

h5 = 1275

= 0,16

∴ 90 + 9 + 69 + 0,16 = 168,16

9. La siguiente tabla corresponde a la distribuciónde número de pacientes atendidos en marzo de1999 por 80 puestos de salud en la selva. Las an-churas de clase son iguales.

Completa y calcula:



26/28

ESTADÍSTICA II


IiMarca declase (Xi)

# de puestosfi

Fi hi

[10 ; c 〉 30 0,15

[ ; 〉 18

[ ; 〉 16

[ ; 〉 20

[ ; 〉 12

[ ; 〉 4

[ ; 150〉 Total n = 80

X5 + 7 + h4 + F6

10. De la siguiente tabla de distribución calcula F2 +

w (w: ancho de la clase común).

Clases X fi Fi hi Hi

[10 – 〉 0,1

[ – 〉

[ – 〉 0,3

[ – 〉 25 0,8

[ – 60〉 30

11. Construye una tabla de distribución de recuen-

cia con 5 intervalos de clase de ancho común, te-

niendo en cuenta: 1 = 15 = 5 h2 = h4 h5 = 0,15 H3 = 0,73 X3 = 63 = x2 + 30 Determina x.

UNI

12. Dada la siguiente distribución de recuencias, cal-cula la mediana.

Ii fi Fi

[10; 20 〉 10

[20; 30〉 12

[30; 40〉 8

[40; 50〉 20

Resolución:

Me = Li + w n2

– Fi – 1

fi

Completando el cuadro:

Ii fi Fi

[10; 20 〉 10 10

[20; 30〉 12 22

[30; 40〉 8 30

[40; 50〉 20 50

w

Li

Fi–1

fi

10

Me = 30 + 10502

– 22

8 = 3 3 , 7 5

13. Dada la siguiente distribución de recuencias, cal-cula la mediana.

Ii fi Fi

[20; 30〉 24

[30; 40〉 36

[40; 50〉 15[50; 60〉 25

14. En el siguiente diagrama escalonado:

Fi

20

19

15

9

12

10 16 22 28 34 40 Ii

Calcula: X3 + 2 + F4 + h2.



27/28

8


Repaso

1. Si el promedio de 20 números es 325 y de otros 30números es 675 ¿Cuál es el promedio de todos losnúmeros?a) 535 d) 605b) 259 e) 370c) 460

2. El promedio aritmético de 2 números es 30 y supromedio geométrico es 15 ¿Cuál será el prome-dio armónico de los números?a) 10 d) 15,2b) 7,5 e) 16,8c) 13,4

3. Juanita mezcla «a» libros de vino de S/. 8.00 con«b» litros de vino de S/.12.00 si en total obtuvo100 litros de vino de S/. 9.00 ¿Cuánto es la di-erencia entre las cantidades de vino que uso decada calidad?

a) 60 d) 35b) 25 e) 55c) 50

4. Si se tiene 40 litros de una mezcla que contiene 20litros de alcohol puro y se mezcla con 10 litros dealcohol de 78° se obtiene una mezcla cuyo gradoserá.a) 40,5 d) 55,6b) 50 e) 75c) 60,4

5. ¿Cuánto vale el 20% del 40% de «a». Si el 40% del35% de 1650 es «a»?a) 30,14 d) 18,6b) 25,89 e) 23,1c) 18,5

6. En la tienda de Marcelino un equipo se vende enS/. 1325 ganando el 25%. Si por motivos de la infla-ción el precio de costo del equipo aumenta en 10%.¿Cuál debe ser el nuevo precio de venta del equipopara que la tiene siga con la misma ganancia?

a) 1500,5b) 1625c) 1457,5d) 1595e) 1635,5

7. ¿Cuál es la tasa de interés semestral a la cual sedebe imponer un capital para que en 5 años estese triplique?a) 20%b) 40%c) 35%d) 25%e) 10%

8. Si la cuarta parte de un capital se coloca al 20% yel resto al 25% durante 4 años se obtiene un inte-rés total de S/3600 ¿a cuánto asciende el capitalcolocado al 25%?

a) S/. 2000b) S/. 4000c) S/. 3500d) S/. 2500e) S/. 6000

9. ¿Cuál es el valor nominal de un pagare que alser descontado al 20%, 15 días antes de su ven-cimiento se le brinda un descuento de S/. 450 aldueño de dicha letra?a) 72 000b) 45 000

c) 54 000d) 81 000e) 36 000

10. ¿Cuál es la dierencia de descuentos que sure unpagare de S/. 5000, 15 y 24 días antes de su venci-miento a una tasa común del 30%?a) S/. 30b) S/. 25c) S/. 18d) S/. 36e) S/. 42



28/28

REPASO

11. Hallar «a + b + c + d» si se tiene la siguiente tablade distribución de recuencias:

Equipos de utbol f Fj hjFc Barcelona a 0,45

Arsenal 100

Real Madrid b c

Juventus 250 d

total 1000

a) 1425 d) 1400,25b) 1200,40 e) 1300,25c) 1540

12. ¿Del siguiente pictograma calcula cual es el mon-to de su sueldo que destina James a vivienda y re-creación si su sueldo asciende a S/. 7 636?

60%20%

54%

5%

Víveres

Vivienda

Ropa

Recreación

a) S/. 1500b) S/. 3025c) S/. 4250d) S/. 6300e) S/. 1909

1. A

2. B

3. C

4. D

5. E

6. C

7. A

8. E

9. C

10. B

11. D

12. E

Claves

Bibliografía

1. Exámenes de admisión UNI, UNMSM, PUPC, 20132. www. Matemática 1.com

3. FARFÁN, Óscar: Aritmética, Lima, San Marcos, 2006

01 Libro Aritmética Pag 3-30

Documents

Transcript of 01 Libro Aritmética Pag 3-30