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01) Abaixo, quatro das infinitas etapas da construção do fractal denominado Curva de Koch. Se a área do triângulo destacado inicialmente vale A e cada novo triângulo tem lado igual a 1/3 do lado do(s) triângulo(s) da etapa anterior, calcule a área obtida se o fractal for construído indefinidamente.
1a A A 9AS
4 51 q 51 99
Um triângulo de área A.
Área = 1 x A = A
4 novos triângulos de área .
Área =
A9
A + 4 A9
16 novos triângulos de área .
Área =
A81
A + 4 A A
169 81
Logo, a área desejada é dada por A + 4A 16A
...9 81
49
49
PG com razão 49
Para figuras semelhantes, se a proporção entre os lados for k, a proporção entre as áreas é k².
02) Qual a probabilidade de no lançamento de quatro moedas obtermos exatamente duas coroas e duas caras?
Número de casosque interessam
Número totalde casos
P = CARA COROA1
P =P =2
PCOROA.PCOROA.PCARA.PCARA
1 1 1 1 12 2 2 2 16
É preciso considerar que podem aparecer duas coroas e duas caras em ordens diferentes, além desta!
4! 246
2! 2! 2 2
Anagramas com 4 “letras”, sendo duas duplas repetidas.
1 3
616 8
P
Tente entender o que acontece em um caso específico.
CAU-TE-LA!
E qual a probabilidade de nesse lançamento obtermos pelo menos uma cara?
NÃO INTERESSA:
PCOROA.PCOROA.PCOROA.PCOROA
1 1 1 1 12 2 2 2 16
Logo, 1 15
116 16
P
100%
Tente resolver o caso contrário
03) Se |z| = e , sendo z um número complexo, calcule a área do triângulo de vértices nos afixos de z4 e z8 e na origem do plano complexo.
4 2 30z
4 2 cos30 30z i sen
cosnnz z n i sen n
88 4 2 cos 8 30 8 30 4 cos240 240z i sen i sen
44 4 2 cos 4 30 4 30 2 cos120 120z i sen i sen
FORMA TRIGONOMÉTRICA DE UM NÚMERO COMPLEXO
cosz z i sen
Elevar omódulo
Multiplicar oargumento
8 4 cos240 240z i sen 4 2 cos120 120z i sen
z4 (2; 120º)
z8 (4; 240º)
4
2
120º
2a b sen
A
4 2 1202
2 28
23
3
senA
A
04) Qual é o valor máximo da a função no intervalo
2f x = senx + cos x ?0, 2
1 senx 1
1 cosx 1
O valor máximo de sen x e cos x é 1.Com isso, o valor máximo da função é
2 21 1 2 4
sen x = 1 x2
Porém, para tal valor de x temos que cos x = 0. Assim, é impossível que sen x e cos x sejam simultaneamente iguais a 1.
(0, 1)
Como , o produto proposto pode ser
desenvolvido para
2f x = senx + cos x
2 2f x = sen x +2 senx cos x + cos x
2sen x 2+cos x = 1
Relação Fundamental da Trigonometria
2 senx cos x = sen2x
Logo, a função pode ser reescrita como
f x = 1+ sen2x
f x = 1+ sen2x
g(x) = sen 2 xPeríodo
2P
2
Imagem [-1, 1]
2
O gráfico de f(x) = 1 + sen 2x é obtido a partir de uma translação de 1 unidade do gráfico de g(x) no sentido vertical, para cima. Tem o mesmo período que g(x) e sua imagem passa de [-1, 1] para [0, 2].
Logo, o valor máximo de f(x) é 2.
1
-1
2
2
05) Para que valores inteiros de k a inequação x² - kx + 5 > 1 para qualquer valor de x?
Duas raízesreais e distintas
Δ > 0Uma raizreal dupla
Δ = 0Duas raízes
complexas conjugadas
Δ < 0
Observe que quando Δ < 0f(x) é sempre positiva ou sempre negativa.
x² - kx + 5 > 1
x² - kx + 4 > 0
Ou seja, x² - kx + 4 é positiva para qualquer
valor de x.
D< 0 b² - 4ac < 0
k² - 16 < 0
+
++
++ +
++
k² - 16 < 0
k² < 16k < 4
XInequação de 2º grau? Resolver graficamente!
k² - 16 < 0
Parábola voltadapara cima
4 e -4 são suas raízes
4-4
+
-
+
-4 < k < 4 k pode valer -3, -2, -1, 0, 1, 2 ou 3
Receosos???? Inseguros????
OMG OMG OMG????
ENTÃO IMAGINA QUEM NÃO FEZ
POBRES CONCORRENTES!
COLE AQUI!
COLE AQUI!
COLE AQUI!
COLE AQUI!
BOA PROVA!2013 É NA UFRGS
(E NO MUNDO!)