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CE2 ESTABILIDADE DAS CONSTRUES IITema: Anlise Matricial de Estruturas

Tpico: Elemento de Trelia Plana

FORMULAO TRELIA PLANA

MODELO 01

Para a trelia hiperesttica, indicada na Figura 1a, determinar por Anlise Matricial de Estruturas:

a) o deslocamento vertical do ponto A e o deslocamento horizontal do ponto B;b) a fora reativa horizontal no apoio A e a fora reativa vertical no apoio B ;c) os esforos normais nas barras.

da So dados o mdulo de elasticidade do ao E= 205 GPa e seo transversal composta por um tubo

circular com dietro externo D= 20 mm e espessura da parede do tubo t=2 mm. So fornecidas as

matrizes de rigidez do elemento da trelia (Figura 1b). Unidades consistentes: N, mm, MPa (=N/mm2).

Figura 1aTrelia hiperesttica e matriz de rotao (global/local)

Barra AB

Dados:E=205x106 kN/m2;A=113,04x10-6m2;L= 3 m; (Unidades: kN, m, kN/m2=kPa)

Barra AC

Dados:E=205x106 kN/m2;A=113,04x10-6m2;L= 5,1 m; (Unidades: kN, m, kN/m2=kPa)

Barra BC

Dados:E=205x106 kN/m2;A=113,04x10-6m2;L= 2,7 m; (Unidades: kN, m, kN/m2=kPa)

Figura 1bMatrizes de rigidez dos elementos da trelia plana no sistema global

cossen

sencos

cossen

sencos

T

0000

00

00

ij


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MODELO 02

Para a trelia esquematizada na Figura 2a, cujas barras so formadas por cantoneiras duplas de ao

laminado do tipo L 102x76x9,5, determinar por Anlise Matricial de Estruturas:

a) o deslocamento vertical do ponto F;b) a fora normal na barra EF.

Dados: mdulo de elasticidade do ao estrutural E 205000 N/mm2, rea da seo transversal composta

A 3201,5 mm2. So fornecidos os deslocamentos nodais (Figura 2b) e as matrizes de rigidez dos

elementos de trelia plana no sistema global (Figura 2c). Unidades consistentes: N, mm, MPa (=N/mm2).

Figura 2aTrelia isosttica plana

Figura 2bGraus de liberdade e deslocamentos nodais da trelia isosttica plana (em mm)

R1 R2 U3 R3

U1 U2

U4 U5

U6 U7 U8 U9

__ __

__ __

__ __

__ __

__ __

A BC

D

E F

__ __

9

8

7

6

5

4

3

2

1

U

U

768,8U

829,1U

939,6U

060,2U

463,0U

660,1U

014,2U

831,0U

U


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Figura 2cMatrizes de rigidez dos elementos de trelia plana no sistema global


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MODELO 03

Para a estrutura treliada, esquematizada na Figura 3a, determinar por Anlise Matricial de Estruturas a

fora normal na barra BC, sabendo-se que U1=0,916 U2. So dados: modulo de elasticidade das barras de

aoE= 205000 MPa (=N/mm2), rea da seo transversal tubularA= 706,86 mm2. Tambm fornecida a

matriz de rigidez genrica do elemento de trelia plana no sistema global (Figura 3b). Unidadesconsistentes: N, mm, MPa (=N/mm2).


Figura 3bMatriz de rigidez genrica do elemento de trelia plana no sistema global

U2

4422

22

22

22

ij

coscos

coscoscoscos

coscos

coscoscoscos

xsensensensen

sensen

sensensensen

sensen

L

EA

K


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MODELO 04

Os deslocamentos da trelia isosttica plana, indicada na Figura 4a, so apresentados na Figura 4c, com

base na numerao dos graus de liberdade indicados na Figura 4b. A partir destas informaes,

determinar por Anlise Matricial de Estruturas:a) deslocamento horizontal do APOIO E (indicar o sentido);

b) reao vertical do APOIO A (indicar o sentido);c) fora normal da BARRA BH (trao ou compresso?).

Utilizar as unidades consistentes: kN (kilonewton), mm (milmetro) e GPa (gigapascal). Operar com 03(trs) casas decimais. fornecida a matriz de rigidez global de uma barra genrica ij dada por:

44

22

22

22

22

ij

sensen

cos

sensen

cos

sencoscossencoscos

sensencossensencos

sencoscossencoscos

x

EA

K


R1 R2

GRAU DELIBERDADE

U1U2U3U4U5U6

TRANSLAO(mm)2,070

14,680

MATERIAL:LIGA DE AOE=205 GPa

SEO TRANSVERSAL:TUBULAR

t=5 mmD=50 mm

20 kN

20 kN

20 kN

U1 U2 U3 U4 U5 U6

U7 R3

U8 U9 U10 U11

U12 U13

GRAU DELIBERDADE

U8U9

U10U11U12U13

TRANSLAO(mm)

2,89814,440

3,72714,680

4,55813,740

1,23913,740

2,89814,440

Tabela 1 Deslocamentos da trelia isosttica, propriedades geomtricas da seo transversal

Figura 4b Graus de liberdade da trelia isosttica plana

2 m

4 m 1 m 3 m 4 m1 m3 m

2 m20 kN

20 kN

20 kN

(B) (D)

(E)(A)

(F)

(H)

(G)

(C)-

Figura 4c Deslocamentos nodais da trelia isosttica plana

e propriedades fsicas e geomtricas das barras


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MODELO 05

Para a trelia esquematizada na Figura 5a, utilizando-se a Anlise Matricial de Estruturas foram obtidosos deslocamentos apresentados na Figura 5b. A partir destes dados, determinar por Anlise Matricial de

Estruturas:a. a reao horizontal do APOIO D (sentido);

b. a reao vertical do APOIO D (sentido);c. a fora normal da BARRA AB (trao ou compresso?).

Utilizar as unidades consistentes: kN (kilonewton), mm (milmetro) e GPa (gigapascal). Operar com 03(trs) casas decimais. A matriz de rigidez global de uma barra genrica ij dada por:

4422

22

22

22

ij

sensencossensencos

sencoscossencoscos

sensencossensencos

sencoscossencoscos

x

EA

K

Figura 3 Trelia de ao: geometria, dimenses, material e seo transversal

Figura 5b Graus de liberdade ativos (U) e impedidos (R) e deslocamentos

nodais obtidos por Anlise Matricial de Estruturas

3 m

3 m 3 m

30

kN

40 kN

60

kN

(A) (B) (C)X

(D) (E)

MATERIAL:LIGA DE AOE=200 GPa

SEO TRANSVERSAL:QUADRADA (MACIA)

30 mm30 mm

30

kN

40 kN60

kN

R1 U1

U2 U3 U4 U5

U6 R4

R2 R3

GRAU DELIBERDADE

U1

U2

U3

U4

U5

U6

Y

X

TRANSLAO(mm)

0,207

1,667

0,500

6,955

0,793

3,333


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MODELO 06

Os deslocamentos nodais, apresentados na tabela abaixo, referentes trelia hiperesttica esquematizada

na Figura 6a, foram obtidos por Anlise Matricial de Estruturas. A partir destes dados, pede-se os

esforos nas Barras DE e AE. Trabalhar com as unidades consistentes: kN (kilonewton), mm (milmetro)e GPa (gigapascal). Operar com 03 (trs) casas decimais. Dados: mdulo de elasticidade E= 200 GPa e

rea da seo transversal A= 100 mm2.Tambm fornecida a matriz de rigidez genrica do elemento de

trelia plana no sistema global (Figura 6b).

Tabela 1 Deslocamentos nodais da trelia hiperesttica

DESLOCAMENTO U1 U2 U4 U5 U6 U7

VALOR (mm) 3,214 1,432 5,639 0,2855 5,639 1,432

Figura 6a Trelia hiperesttica (a) esquema esttico; (b) graus de liberdade ativos e impedidos

4422

22

22

22

ij

coscos

coscoscoscos

coscos

coscoscoscos

xsensensensen

sensen

sensensensen

sensen

L

EA

K

Figura 6bMatriz de rigidez genrica do elemento de trelia plana no sistema global

R4 U8

R1 R2U1 U2

U3 R3

U4 U5

U6 U7

CBA

ED

F


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MODELO 07

Determinar, por Anlise Matricial de Estruturas, o deslocamento vertical do Ponto C e a reao horizontal

no Ponto A da estrutura simtrica formada pela associao de cabos, mostrada na Figura 7a. Dados:

mdulo de elasticidade do alumnio E= 70 GPa e seo transversal circular macia com dimetroD = 25,4 mm.So fornecidas as matrizes de rigidez dos elementos de cabo no sistema global (Figura 7b).

Figura 7a Estrutura de cabos

Barra ACE= 70000 N/mm2;A= 506,45 mm2;L= 4472,136 mm; (Unidades: N, mm, N/mm2=MPa)

ACK

Barra CB

E= 70000 N/mm2;A= 506,45 mm2;L= 4472,136 mm; (Unidades: N, mm, N/mm2=MPa)

CBK

Figura 7bMatrizes de rigidez dos elementos de cabo no sistema global

(A) (B)

(C )

100 kN

4 m

4 m

1585,43 -3170,87 -1585,43 3170,87

-3170,87 6341,76 3170,87 -6341,76

-1585,43 3170,87 1585,43 -3170,87

3170,87 -6341,76 -3170,87 6341,76

1585,43 3170,87 -1585,43 -3170,87

3170,87 6341,76 -3170,87 -6341,76

-1585,43 -3170,87 1585,43 3170,87

-3170,87 -6341,76 3170,87 6341,76

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