DISCIPLINA: Investigação Operacional

ANO LECTIVO 201012011

Exame Final

27 de Junho de 2011 duração: 2h30'Dep. 'Econ. (jestfúJ e 'Enz!' Industrial

1. Foram propostos à empresa P&G cinco projectos para um horizonte temporal de 3 anos. Os projectos

(30) diferem nos custos anuais e também no lucro estimado. Esses valores apresentam-se na tabela

seguinte (em milhões de Euros). A P&G dispõe de um capital de 25 milhões de Euros or ano e tem---como objectivo uma selecção admissível dos projectos (para os três anos) que maximize o lucro

estimado. Note que os projectos\n"2 e n03 são mutuamente exclusivos le que o projecto nOSsó poderá

ser seleccionado se for seleccionado pelo menos um dos ro·ectos nOI ou n03.

Projecto n° ®\-''f-O

I Ano 1 2 3 4 5Capital disponível

1 5 4 3 7 8 25

Capital necessário 2 1 7 9 4 6 25- - -----3 8 10 2 1 10 25 - -j

1

Lucro estimado 20 40 20 15 30 1/ I / / 1,,/ /1/ ':I- v

Ú"\'&-V'<'I ~ \"L3""

Ajude a P&G a tomar uma decisão, apresentando uma formulação, em Programação Linear

Inteira (PU), que modele esta situação.

2. Considere o modelo seguinte, de Programação Linear (PL), referente a um plano de produção

(60) horário de quatro produtos (PI, P2, P3 e P4) que tem como objectivo a maximização do lucro total

obtido, que advém da respectiva venda:

(E/hora)

(P)

2XI+ X2+ 2X3+ X4 S 50 (componentestipo A - disponibilidadede material)

2XI+ 2X2+ 4X3+ 2X4 S 80 (componentestipo B - disponibilidadede material)

x, + X2+ X3+ X4 2:: 30 (unidades/hora- nível de produção)

s.a:

= O (unidades/hora- restrição tecnológica)

e em que para o horizonte temporal considerado, as variáveis principais representam:

Xf número de unidades do produto Pj a manufacturar, com j= l , 2, 3, 4.

v.s.f.f.

A utilização do método SIMPLEXfornece o seguinte quadro óptimo:

Cj 4 2 5 2 O O O °CB V.B. Xl X2 X3 X4 SI S2 s3 W4 sol.--",",,,O SI ° ° O ° -1 -0,75 fO,5 - 0,5 5

5 X3 ° O 1 O ° 0,5 -1 ° 102 X4 ° 1 ° 1 O - 0,75( •. 2,5 - 0,5 15

--0,25 \-0,5/4 Xl 1 ° ° O O 0,5 5

<c:>Z· 4 2 5 2 O 2 2 1 100J

"-~ Cj - Zj \ ° ® ° O [) - 2 -2 - 1

em que s., S2e S3são as variáveis de folga introduzidas na la. 2a e 3" restrição, respectivamente; W4

representa a variável artificial introduzida na 4" restrição.

Nota: considere as alíneas independentes.

a) Formule o problema dual (D) do modelo de P.L. apresentado (P). Tendo em conta o conhecimento

da solução do modelo (P) e com base na teoria da dualidade resolva o problema dual (D). Justifique

a sua resposta apresentando todo o processo de resolução.

b) Mostre, justificando, que a solução óptima apresentada para o problema P (plano de produção) não

é única. Determine uma solução óptima alternativa. Justifique a sua resposta apresentando todo o

processo de resolução.

c) Suponha que a Direcção da empresa pretende obter informações que lhe permitam alguma

flexibilidade na gestão deste plano de produção. Assim, apresente os intervalos de variação, que não

envol vam alteração da estrutura da solução óptima já encontrada, para os seguintes parâmetros:

i) lucro unitário dos produtos PI, P2 e P4;

ii) disponibilidade de material do tipo A;

iii) nível de produção imposto.

Justifique a sua resposta apresentando todo o processo de resolução.

TarefaTI T2 T3 T4 T5

FI G) 4 5 4 6

F2 4 5 2 0) 6

F3 5 2 6 5 GJFuncionário F4 6 7 7 10 8

F5 4 5 (3) 5 6

F6 7 (3) 4 8 4--...--

3. A empresa P&G tem 6 funcionários (FI, F2, F3, F4, F5 e F6) e 5 tarefas (TI, T2, TI, T4 e T5) para

(40) serem executadas. A tabela de custos (em €) de execução de cada tarefa por cada funcionário

apresenta-se a seguir:

•

Utilizando um algoritmo de P.L. apresente a afectação óptima os 6 funcioaãrios

sabendo que se pretende minimizar o custo total e que a cada funcionário só pode ser

tarefa. Justifique a solução apresentando todo o processo de resolução.

Arco (i.j) Capacidade

(E,B) 20(E, C) 15(E,F) 10(E,G) 15(E,H) 20(F,G) 15(F,H) 40(G,F) 15(G,H) 25

(70) 4. Considere uma rede orientada de 8 vértices, cuja disposição se representa, de forma aproximada, na

figura seguinte. A tabela apresenta a capacidade máxima do arco que une cada par de értices:

Arco (iJ) Capacidade

(A,B) 40(A,D) 40(B,C) 30(B,D) 10(B,E) 20(C,E) 15(C,F) 20(D,B) 10(D,E) 10(D,G) 15

@

o ®

o

®

a) Utilizando a informação da tabela e a representação da localização dos vértices represente

graficamente a rede (i.e. desenhe as ligações entre os vértices, incluindo o valor da capacidade

máxima de cada arco).

b) Suponha que se pretende determinar o fluxo máximo entre o vértice A e o vértice H.

i) Formule o problema em Programação Linear Inteira.

ii) Utilizando o algoritmo de Ford-Fulkerson determine o fluxo máximo que se pode enviar do

vértice A para o vértice H. Justifique a sua resposta, apresentando todo o processo de resolução

Fim do Exame

v.s.f.f.