..""fI' UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA

UNIDADE DIFERENCIADA DE SOROCABAlIPERÓIa PROVA DE CÁLCULO lU - 27/09/05.

PROF. JOSÉ ARNALDO ROVEDA

NOME: qA5ARITO . MATRÍCULA:

OBS! Todas as Respostas devem ser JUSTIFICADAS.

Questão 1. (2 pontos) Determineo raio de convergênciada série abaixo. Em seguida, determineo intervalode convergênciaabsoluta,se existem pontos de convergênciacondicional, o intervalo de convergênciae ointervalode diverêngiada série.

00

~ IneSn)(x - e)n.n=l

Usa~ o -ksk dq ra wo lZ m módu 10t -tevrw5 :

Qy\-+, n+l~ (Y\+i)(x- e)

Q.., en+1-

e,Y1

k(V\) (x-e)VI

-Ix-e I

e~ (n-+~)

~ C\I\)

C~lcula~o o limite ~ na V1~ ()(J -kz. mO6 :

~s\ W\I Ix-e\ < 1e

< ) (~-e'<e <>-e<~-e<eç>O<JC-<2e.

Rtaio de. conver~~C\ :R.=e.

'tr) -k.ç-6ndoos ex-h-em06:

k I QMI } =:

(}14)00 k/Ã--et . u.. ;O Ix-el "}IV Q()

- -n400 °n y\tX) (n) L'I-f e 1\ o(} 1l-t1

'-el . k A Iz-el < i.-1 +>L

-e. 1'\oo e

Ya",d()

~ 00 n

. ~=o : z: ~(~) (o-e)"" =z (-1) ~(V\)V\::.' e Y\ ~=,

4 E.m lJr)lore~ ~\u-\-os. :

Y1~ I (-I)YI~(n) = t ~(n) .

Como Qn= ~(V\) e ~ k(~d = ()()I- O, -pe-ID 4eh-k. do Y\-~5imoV\~ qO'

o()

+ermO, -h2mos ~ue. Z ~(YI)e/ dr"Ve.t'8e.n1-e..\1-'

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~ Teshndo coV1d\CÀoro\mente.: Z (-1)'" .k(Y\) e4urna sén'e A\1-e1~)V\-1-

- c-j Un ==~(Y\).

tbs ~~~ cMe.rnodo~ de.1iW\OS -b- UY\~O <:140 n-,>oo, porém

~ Un = ~ k()\) = ctV.Y\~ pC 'f\~ 00

'. C\ ~xie C.\\-k-~ diV~,

Co V\C\usão :X=O e' um ~ de. diV~.

00 11, CiO

. X:o 2e '. z: k(~) (ze - e) = L ~(1'l) .V\=1. eV\ 1\ -:::'I

00

I

tiO

Co~ V\~I~(") =n~ ~(h) e.. eç-b série e~ dlver~<zn+e ("i de. x:::o))

cP Y\cJLl {'y)'\GS ~ue. x=-2 e e' U YY1 p-I-D de div0reêVlcia.. .

AS&( YY\ ~YY}()S : ~ IY11-. UJY1'I-Abro\u.-b : o < x < 2e ;

4 ?-\ps de.- CDrN. Covrlia oV\O.I: neto +eW1.

-lvrt, Cbnv~: o < ~ < 2e;

-- IvJ-. 1)\V~: x. ~ O ou x ~ 2 e.- .

Questão 2. (2,5 pontos) Encontre a sárie de MacLaurinpara a função.f(x) = x3e-x. Encontre os polinômiosde ordem2,3 e 4 que aproximamessa função.

I n',c\ C\\YY\e,n~ 00 mosc.,- f -x1 uV\cpo (X) =- e .

e.V1contror Q série de rJ\ac.LauriV\ partÀ/ a

r -xT (x) :::: ef' (x) ~ - e-x

r" (x

'\ x) ~ e-

f\\\ (x) -= - e-)(

>

+eo) = i

-F' (o) = - i

f\' (o):: 1-

fi"~ (0):= - i

(h)

. '. aVI= .Ç (o)1'\ '.

-=>

(V\) V\

. '. t (o) :::. (- i)~ ay\:= (- 1.)ri

Y\~

~S\ YY\ o séx." ~ ç( GO s~00 'Vl

Z (-1) JG~

1\~o 11.1.

Aeora... OO\'YlOSobter C\ ~e. parOl ~ çunçQO

YhU \-11'P\ia:lY\do x3 peb ~.t\e de e,-x

(I(j O()

f :3 -x 3 ~ ( )Y1 11-(x) = X- e = ~ . LJ ~ X == L

1\=0 n. '. n=0

r .3 -)(T (x) = x e ,

00

(-1)71 x'l1X3 := z: (-1)71 X».,.3 .'ri! Y\=D n~ .

?o\\~vn\OS de ord€-"'~ 2, .3 ,4 e 5.

\{(x):; .$.

?~(x)= x3 .

-;J 3 4'4 (x):= X - X .

~ )3 ~ S

r'S (x = X - X -+~ .Z '.

Questão 3. (2 pontos) Encontrea série de Taylorpara a funçãoj(x) = 3Xno P9ntoa = 1. Obtenhaos 4primeiros termos da série.

f ()()::: ?/.

. )(t (x) =: ~ . ~ ~

f("J == 3.

~,

f (1)= :). ~3

.ç" ()() =' :))(. (~ :3)2

.ç'" (x) =' ?:;x (~3i

"

( )2

t (1)=~. ~3

rll (1):= 3. (~ 3t(Y\) \ (

V\

t (1)=- 3. ~3).

'VI.. ~3( -1M3) (X-1) .

Y\ \.

~ pri mel'ros k-yn{Y:. do. ~i:

2. 2 3 3

~(X) '" 3 -\- 3. k3.(X-i) + 3. (~3) (X-i) + ~.(~3) (x-i) .2 \. ~ '.

(,,)(1) 3 (k:,) V\C\'" = --V)\

.. A sé.oe- é dach -por: Z)'\=-o

Questão 4. (3,5 pontos) Resolva os itens abaixo:a) (1,5 pontos) Obtenha a equação polar da curva (x + 3)2 + y2 = 9. Faça um esboço do gráfico.

b) (2 pontos) Obtenha o esboço da equação r = -3 sin(28). Qual o menor tamanho do intervalo de 8 paraproduzirmos o gráfico?

a) Relayão entre 05 coonieVlt:1das:

{

X = r~ e-

y :::: r &W\e-.

Ass(W\:

x2+y7.=t'z.

2 ~ 2 2\)(;- 3) -t Y ::: 9 ~ x + G x + 9 -I-Y =: 9

2 2

~ X t-Y -t6x=O.

ç:Q2evJo QÇ. subs-\;kt"cões I fe,wws:I",2 T 6.r OO'.\B=O :}

::j> V(V+6~&)=O ~ r=O QU.. r=-6~e-.

Como r =:O roa faz se..v\-\icID, -temos I r = - 6 ~e -)

~~: A curV<L (x+~);\ y2= 9 rz/ LJWlCltlrwnf COVY1C8N1ftv eNv1(-3,0)

e.- r a ,~() .3.

~~: ~

-~ ~

b) v~ a,M\\~ (i\~~YV\eAna~inH:ja\vy\lLnk:

.E\)(0 - ~: (- n. - (t) -bvn~ ~ ~iÇ~(lW- Q eIl~ :

- rl ~ - ~ ~ (- 2.f)) :::) - 1l::: 3 ~ (ze) ~ tt ~ - 3 ~ (zf) ') .

. ~'WMi-trloo ~VY\rda~o a{) e!)cO-~ .

(I-l-, i[+e) ~~ cle",.tAM difawr C\qooção ..onS€ML:

t\, :: - ~ ~(2(TL+9)) ~ Il=- -3 ~(21[ +2&) ~1.

=> tL '" - 3 [~f" ~(2e) + &wl(ze)" ccJ2.TC)] ~ tL =- 3 ~(2f)).

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Como o 8nX-BtO (/ Uwti-hico aos Z el)(OS f- ~ ()ri~, o ~~ -\iVlol!é:

refcL -bbe-b- de- m1rf,s, ptrbV)1O~

co~dui r 'rue- o 1Y\~l.o fnro prD-

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