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Cônicas: Hipérbole

GET 003 – Geometria Analítica e Álgebra Linear

Prof. Kátia Dionísio de Oliveira - FAMAT / UFU

Maio - 2012

Cônicas: Hipérbole

Definição: é o lugar geométrico dos pontos do plano cujo valor

absoluto da diferença das distâncias aos pontos F1 e F2 e uma

constante positiva menor do que a distância entre os pontos F1

a F2.

Hipérbole: Propriedade

É a curva plana formada pelo módulo da diferença das

distâncias de cada um de seus pontos P aos pontos fixos F1 e

F2 . Assim é que temos por definição:

1 2

1 2

( , ) ( , ) 2

2

d d P F d P F a a c

d PF PF a

Hipérbole: Elementos

Focos

Distância Focal

1 2A A eixo real ou eixo transverso

1 2B B eixo não transverso ou eixo conjugado

c a excentricidade da hipérbole

Centro

Hipérbole: Equação

“Se P1 é um ponto da hipérbole,

existem os pontos P2, P3 e P4,

tais que: P2 é o simétrico de P,

em relação à reta horizontal, P3

é o simétrico de P, em relação à

reta vertical, P4 é o simétrico de

P, em relação ao ponto C”.

Hipérbole: Equação Reduzida da hipérbole do centro na origem

Seja P(x, y) um ponto qualquer de uma hipérbole e sejam

F1(c,0) e F2(-c,0) os seus focos. Sendo 2a o valor constante

com c > a, como vimos acima, podemos escrever:

1 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2

0 0 2

0 2 0

d PF PF a

x c y x c y a

x c y a x c y


2 22 2 2 2

2 2 2 2 2 22

2 22 2 2 2 2

2 22

2 22

22 2 22

22 2 2 4 2 2

2 2 2 4 2 2

0 2 0

4 4 0

2 4 4 0 2

4 4 4 0

4( ) 4 0

( ) 0

2

2 2

x c y a x c y

x c y a a x c y x c y

x xc c a a x c y x xc c

xc a a x c y

xc a a x c y

xc a a x c y

x c xca a a x c y

x c xca a a x xc 2 2c y

2 2 2c b a


2 2

2 21

x y

a b

1 Caso: O eixo da Hipérbole está no eixo das abscissas


2 2

2 21

y x

a b

2 Caso: O eixo da Hipérbole está no eixo das ordenadas

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