Prismas e Cilindros

Prismas e Cilindros

RelembrandoAntes de começar a aula de hoje, precisamos

rever alguns pontos de geometria plana eunidades de medidas:

Área do retângulo: Área do quadrado:

hbA . 2lA

Relembrando

Diagonal do quadrado: Área do triângulo:

2ld 2

.hbA

Relembrando

Triângulo Equilátero:

Altura

Área

2

3lh

4

3.2lA

Relembrando

Hexágono:Apótema:

Área:

2

3..3

4

3..6

22 llA

2

3la

Relembrando

Comprimento da circunferência

2.rA rc ..2

Área do círculo

Relembrando

Sendo o metro (m) a unidade de medida,

temos:

1 m = 10 dm = 100 cm1 m2 = 100 dm2 = 10000 cm2

1 m3 = 1000dm3 = 1000000 cm3

Observação: 1 dm3 = 1 litro

Prismas e Cilindros

Cilindros retos

Volume

Área lateral

Área da base

áreas

Cilindro equiláter

o

Caso particular

elementos

definição

Área total

Prismas retos

áreas

volume

Área da base

Área lateral

elementos

definição

Área total

PrismasPrisma é uma sólido geométrico delimitado

por faces planas, no qual as duas bases se

situam em planos paralelos.

Exemplos:

prismas

Duas bases paralelas

Limitado por faces planas

sólido

definição

PrismasPodemos classificar um prisma quanto ao

número de arestas da base.Triangular

Quadrangular

Pentagonal

Hexagonal

prismas

Base é um triângulo

triangulares

Nº de arestas da

base

classificação

Duas bases paralelas

Limitado por faces planas

sólido

definição

Base é um quadrilátero

quadrangulares

Base é um pentágono

pentagonal

Base é um hexágono

hexagonal

PrismasPodemos classificar um prisma quanto à

inclinação das arestas laterais.

Oblíquos: arestas laterais oblíquas às

bases.

Retos: arestas laterais

perpendiculares às bases.

prismas

Base é um triângulo

triangulares

Nº de arestas da

base

classificação

Duas bases paralelas

Limitado por faces planas

sólido

definição

Base é um quadrilátero

quadrangulares

Base é um pentágono

pentagonal

Base é um hexágono

hexagonal

retos

Arestas laterais

oblíquas à base

oblíquos

Inclinação das arestas laterais

definição

Arestas laterais perpendiculares à

base

PrismasOs elementos de um prisma reto são:

Prismas

Note que todas as

faces laterais dos

prismas retos são

retângulos

prismas

Base é um triângulo

triangulares

Nº de arestas da

base

classificação

Duas bases paralelas

Limitado por faces planas

sólido

definição

Base é um quadrilátero

quadrangulares

Base é um pentágono

pentagonal

Base é um hexágono

hexagonal

vértices

Lateral = altura

faces

elementos

retos

Arestas laterais

oblíquas à base

oblíquos

Inclinação das arestas laterais

definição

Arestas laterais perpendiculares à

base

base

lateralarestas

base

Paralelepípedos

Paralelepípedos são prismas quadrangulares,

cuja base é um paralelogramo. Quando as bases

são retângulos, chamamos de paralelepípedo

retângulo.

Paralelepípedos

Podemos calcular a diagonal do paralelepípedo

através do Teorema de Pitágoras ou pelafórmula:

222 cbaD

Paralelepípedos

Exemplo: Dado um paralelepípedo retângulo

de dimensões 5 cm, 4 cm e 3 cm. Calcule a

medida da sua diagonal.

41

2516

54

2

2

222

d

d

d

2550

419

3

2

2

222

DD

D

dD

Exemplo

Pelo Teorema de Pitágoras:

Exemplo

Pela Fórmula: 222 cbaD

2550

25169

543 222

DD

D

D

ParalelepípedosCaso particular: Cubo

O cubo é um paralelepípedo reto retângulo,

no qual todas as faces são quadrados, ou seja

todas as arestas apresentam a mesma medida. 3aD

ParalelepípedosExemplo: Calcule a diagonal de um cubo,

cujo perímetro de uma face é 24 cm.Se o perímetro da é 24cm,

então a aresta do cubo mede 24 : 4 = 6 cm

36

3

D

aD

Tente fazer sozinho

A aresta de um cubo mede 4 cm. De quantoscentímetros deve ser aumentada a medida dadiagonal desse cubo, de modo a obter-se umnovo cubo cuja aresta meça 6 cm.

Tente fazer sozinho

A aresta de um cubo mede 4 cm. De quantoscentímetros deve ser aumentada a medida dadiagonal desse cubo, de modo a obter-se umnovo cubo cuja aresta meça 6 cm.

Solução

3234363634 xxx

Áreas do Prisma Área da base: é a área do polígono queconstitui a base.

A) No prisma triangular.

4

3.

2

. 2lAou

hbA bb

Áreas do PrismaExemplo: Calcule a área da base de um

prisma triangular regular, sabendo que a altura

dotriângulo da base mede .

34

3164

38

4

3

8342

3

22

lA

ll

h

b

Áreas do Prisma

B) No prisma quadrangular.

hbAb . 2lAb

Áreas do Prisma

Exemplo: Uma piscina de fundo retangular de

1,80 m de profundidade, foi instalada em um

buraco cujo fundo tem dimensões a 3 m x 5 m.

Calcule a área da base da piscina.2155.3

.

cmA

hbA

b

b

Áreas do Prisma

C) No prisma hexagonal.

2

3.3 2lAb

Áreas do Prisma

Exemplo: Os senhores Balo Ofos pediram

uma pizza que veio em uma caixa de base

hexagonal, calcule á área da base da caixa,

sabendo que o lado do hexágono mede 12 cm.

22

2

32162

3.12.3

2

3.3

cmA

lA

b

b

Prismas retos

áreas

Área da base

Área do polígono da base

vértices

Lateral = altura

faces

elementos

definição

Arestas laterais perpendiculares à

base

base

lateralarestas

base

Áreas do Prisma Área lateral: é a soma das áreas das faceslaterais.

A) No prisma triangular

Como temos 3 faces laterais,

então . hbAl ..3

Áreas do PrismaExemplo: O monumento de uma praça no

norteda Croácia tem forma de um prisma

triangularregular de altura igual a 7m. Calcule a árealateral do monumento, sabendo que a área

dabase mede .

3 4

2

2

847.4.3

4344

3

mA

mll

A

l

b

Áreas do PrismaB) No prisma quadrangular

hbAl ..4bcacAl 22

Áreas do Prisma

Exemplo: Para reformar o móvel abaixo, um

designer colocará 2 portas e pintará todas

as faces laterais. Calcule toda superfícieque será pintada?

Áreas do Prisma

23

48,052,2

6,0.4,0.26,0.1,2.2

mA

A

A

l

l

l

Áreas do Prisma

C) No prisma hexagonal regular.

hbAl ..6

Áreas do Prisma Exemplo: Um instrumento de base hexagonalregular está sendo testado por uma banda dereagge. Sabendo que as bases desse prismadevem ser vermelhas. Calcule a área, em m2 aser pintada de amarelo e verde.

22 9,09000

30.50.6

..6

mcmA

A

hbA

l

l

l

Prismas retos

áreas

Área da base

Área do polígono da base

Área lateral Soma das áreas dos retângulos das faces laterais

vértices

Lateral = altura

faces

elementos

definição

Arestas laterais perpendiculares à

base

base

lateralarestas

base

Áreas do Prisma

Área total: é a área de toda a superfície

do prisma, portanto, é a soma das áreas das

bases com a área lateral.lbt AAA .2

Prismas retos

áreas

Área da base

Área do polígono da base

Área lateral Soma das áreas dos retângulos das faces laterais

vértices

Lateral = altura

faces

elementos

definição

Arestas laterais perpendiculares à

base

base

lateralarestas

base

Área total 2Ab + Al

Áreas do PrismaExemplo: Seja um prisma reto de 20 cm de

altura, cuja base é um triângulo retângulo com

catetos de 8 cm e 15 cm. Calcule a área total

do prisma.

Áreas do Prisma

17289

64225

815

2

2

222

xx

x

x

2920340160300120

20.1720.820.152

8.15.2

.2

cmA

A

AAA

t

t

lbt

Tente fazer sozinho

Calcule a medida do lado da base de um

prisma hexagonal regular, sabendo que a

sua área total é dm2 e que a suaaltura é igual ao apótema da base.

3216

Tente fazer sozinho

Calcule a medida do lado da base de um

prisma hexagonal regular, sabendo que a

sua área total é dm2 e que a suaaltura é igual ao apótema da base.

3216

Solução

dmll

ll

ll

l

hbl

AA

A

lb

t

6321636

32163333

32162

3..6

2

3.3.2

3216..62

3.3.2

3216.2

3216

2

22

2

2

Tente fazer sozinho(Fatec) A figura abaixo é um prisma reto,

cuja base é um triângulo equilátero de cmde lado e cuja altura mede 5 cm. Se M é oponto médio da aresta DF, calcule o seno doângulo .

210

EMB

Tente fazer sozinho(Fatec) A figura abaixo é um prisma reto,

cuja base é um triângulo equilátero de cmde lado e cuja altura mede 5 cm. Se M é oponto médio da aresta DF, calcule o seno doângulo .

210

EMB

Solução

65

2

3210

2

3

EM

EM

lEM

75

175

25150

565

2

2

222

BM

BM

BM

BM

7

7

75

5

xsen

xsen

Áreas do PrismaCaso particular: cubo

Como o cubo apresenta todas as faces com

a mesma área, então:

2.6 lAt

Áreas do Prisma

Exemplo: A diagonal de um cubo mede 12 cm.

Calcule a área total.34123 ll

2

2

2

288

346

.6

cmA

A

lA

t

t

t

Volume do PrismaO volume de todo prisma é o produto entre

a área da base e a altura.

hAV b .

Volume do PrismaExemplo: Determine o volume da piscina

ilustrada abaixo:

ldmV

cmhAV b

22502250

225000050.150.300.3

3

Volume do PrismaCaso particular: cubo

Como o cubo apresenta todas as arestas

com a mesma medida, então:

32.

.

aVaaV

hAV b

Volume do PrismaExemplo: Um tanque cúbico sem tampa serárevestido internamente com uma massaimpermeabilizante. Calcule o volume do

tanque,sabendo que a área da superfície a serrevestida é 125m2.

área revestida = área do cubo – tampa 125 = 6l2 – l2 125 = 5l2 l = 5 m

Logo, V = l3 = 53 = 125m3

Prismas retos

áreas

volume

Área da base

Área do polígono da base

Área lateral Soma das áreas dos retângulos das faces laterais

vértices

Lateral = altura

faces

elementos

definição

Arestas laterais perpendiculares à

base

base

lateralarestas

base

Área total 2Ab + Al

V = Ab . h

Tente fazer sozinho

(Faap-SP) Sabe-se que foram gastos 0,96m2 de material para se montar uma caixacúbica. O volume dessa caixa é:a) 64 dm3

b) 40 cm3

c) 96 dm3

d) 160 cm3

e) 55 dm3

Tente fazer sozinho

(Faap-SP) Sabe-se que foram gastos 0,96m2 de material para se montar uma caixacúbica. O volume dessa caixa é:a) 64 dm3

b) 40 cm3

c) 96 dm3

d) 160 cm3

e) 55 dm3

Solução

Letra A

3

3

3

3

64

064,0

4,0

dmV

mV

V

aV

ma

a

a

At

4,0

16,0

96,06

96,0

2

2

Tente fazer sozinho

(UFPI) A base de um prisma reto é umtriângulo retângulo cuja hipotenusa mede 5cm e um dos catetos mede 3 cm. Se amedida da altura desse prisma é 10 cm, seuvolume, em centímetros cúbicos, mede:

a) 60 b) 70 c) 80 d) 90 e) 100

Tente fazer sozinho

(UFPI) A base de um prisma reto é umtriângulo retângulo cuja hipotenusa mede 5cm e um dos catetos mede 3 cm. Se amedida da altura desse prisma é 10 cm, seuvolume, em centímetros cúbicos, mede:

a) 60 b) 70 c) 80 d) 90 e) 100

Solução

Letra A

416

925

35

2

2

222

xx

x

x

6010.2

4.3.

2

.. h

hbhAV b

Cilindros

Cilindros retos são sólidos de revolução,

obtidos através do giro de um retângulo.

Cilindros retos

Gerados pela rotação de um retângulo

sólidosdefiniçã

o

CilindrosOs elementos do cilindro reto são:

Cilindros retos

Geratriz = altura

baseelemento

s

Gerados pela rotação de um retângulo

sólidosdefiniçã

o

CilindrosCaso particular: cilindro equilátero.

O cilindro equilátero apresenta altura com

a mesma medida do diâmetro da base.

Cilindros retos h= 2r

Cilindro equiláter

o

Caso particular

Geratriz = altura

baseelemento

s

Gerados pela rotação de um retângulo

sólidosdefiniçã

o

Áreas do Cilindro

Área da base: é a área do círculo queconstitui a base.

2.rAb

Áreas do cilindro

Exemplo: Determine a área da base de

um cilindro cujo raio do círculo da basemede 4cm.

2

2

2

16

4.

.

cmA

A

rA

b

b

b

Cilindros retos

Área do círculo da baseÁrea da base

áreas

h= 2rCilindro

equilátero

Caso particular

Geratriz = altura

baseelemento

s

Gerados pela rotação de um retângulo

sólidosdefiniçã

o

Ab = πr2

Áreas do Cilindro Área lateral: é a área da superfície

lateralplanificada.

hrAl ...2

Áreas do CilindroExemplo: A base do ofurô, ilustrado abaixo

tem diâmetro igual a 0,8 m. Na fábrica onde é

construído, a base cilíndrica não é de madeira

e a altura padrão é de 0,7 m. Calcule, em cm2 a

área da superfície revestida de madeira.218684,17

70.40.14,3.2

...2

cmA

A

hrA

l

l

l

Cilindros retos

Área lateral

Área do círculo da baseÁrea da base

áreas

h= 2rCilindro

equilátero

Caso particular

Geratriz = altura

baseelemento

s

Gerados pela rotação de um retângulo

sólidosdefiniçã

o

Al = 2πrh

Ab = πr2

Áreas do Cilindro

Área total: é a área de toda a superfície

do prisma, portanto, é a soma das áreas das

bases com a área lateral.lbt AAA .2

Áreas do CilindroExemplo: Determine a área total de um

cilindro reto, cujo perímetro da base mede

10π cm, igual a medida da altura.cmrr 510..2

2150

25050

25025.2

.2

2

2

t

t

t

lbt

A

A

A

AAA

2

2

250

10.5..2

...2

25.

l

l

l

b

A

A

hrA

rA

Cilindros retos

Área lateral

Área do círculo da baseÁrea da base

áreas

h= 2rCilindro

equilátero

Caso particular

Geratriz = altura

baseelemento

s

Gerados pela rotação de um retângulo

sólidosdefiniçã

o

Al = 2πrh

Área total

Ab = πr2

At = 2Ab + Al

Tente fazer sozinho(UFAM) Uma lata de óleo tem 6 cm de

diâmetro na base e 18 cm de altura. Quantoscentímetros quadrados de material sãousados, aproximadamente, para fabricar essalata? (Considere π = 3,14)

a) 396 b) 126 c) 285

d) 436 e) 578

Tente fazer sozinho(UFAM) Uma lata de óleo tem 6 cm de

diâmetro na base e 18 cm de altura. Quantoscentímetros quadrados de material sãousados, aproximadamente, para fabricar essalata? (Considere π = 3,14)

a) 396 b) 126 c) 285

d) 436 e) 578

Solução

Letra A2

2

2

39664,395

14,3.126.126

.108.18

18.3..23..2

...2..2

2

1836

cmA

A

A

A

hrrA

AAA

cmhcmrcmd

t

t

t

t

t

lbt

e

Áreas do Cilindros

Caso particular: cilindro equilátero.

Como o cilindro equilátero apresenta altura

com a mesma medida do diâmetro da base,

então:

222 ..2..4

2..2

rrA

rrA

t

l

2

2

..6

..4

rA

rA

t

l

Áreas do Cilindros

Exemplo: Calcule a área lateral e a área

total de um cilindro reto equilátero, cujo

raio da base mede 5 cm.

1505..6..6

1005..4..422

22

rA

rA

t

l

Volume do Cilindro

O volume de todo cilindro é o produto entre

a área da base e a altura.

hAV b .

Volume do Cilindro Exemplo: Calcule o volume da piscina

abaixo, em litros, sabendo que é um cilindro reto,

odiâmetro mede 1m e a altura mede 50

cm.

litrosV

V

hAV b

125

5.5.

.2

dmcm

dmrdmm

550

5101

Volume do Cilindro

Caso particular: cilindro equilátero

Como o cilindro equilátero apresenta aaltura com a mesma medida do diâmetro

dabase, então:

32 ..2.2.

.

rVrrV

hAV b

Volume do Cilindro

Caso particular: cilindro equilátero

Exemplo: Um cilindro equilátero de volume

128π litros, tem diâmetro de quantoscentímetros?

cmdmrr

rr

hAV b

40464

2128..2128

.

3

33

Cilindros retos

V = Ab . h

Volume

Área lateral

Área do círculo da baseÁrea da base

áreas

h= 2rCilindro

equilátero

Caso particular

Geratriz = altura

baseelemento

s

Gerados pela rotação de um retângulo

sólidosdefiniçã

o

Al = 2πrh

Área total

Ab = πr2

At = 2Ab + Al

Tente fazer sozinho

(UFPI) Um reservatório com capacidade para6280 litros tem a forma de um cilindrocircular reto. Se o raio da base do reservatóriomede 1 metro, sua altura, também em metros,mede: (Considere π = 3,14)

a) 1 b) 1,4 c) 1,8 d) 2 e) 2,3

Tente fazer sozinho

(UFPI) Um reservatório com capacidade para6280 litros tem a forma de um cilindrocircular reto. Se o raio da base do reservatóriomede 1 metro, sua altura, também em metros,mede: (Considere π = 3,14)

a) 1 b) 1,4 c) 1,8 d) 2 e) 2,3

Solução

Letra D

mh

hm

hAV

mr

mdmlV

b

214,3

28,6

.1.14,3280,6

.

1

280,662806280

23

33

Tente fazer sozinho

(UFRN) Nove cubos de gelo, cada um comaresta igual a 3 cm, derretem dentro de umcopo cilíndrico vazio, com raio da basetambém igual a 3cm. Após o gelo derretercompletamente, a altura da água no coposerá de aproximadamente:

a) 8,5 cm b) 8,0 cm c) 7,5 cm d) 9,0 cm

Tente fazer sozinho

(UFRN) Nove cubos de gelo, cada um comaresta igual a 3 cm, derretem dentro de umcopo cilíndrico vazio, com raio da basetambém igual a 3cm. Após o gelo derretercompletamente, a altura da água no coposerá de aproximadamente:

a) 8,5 cm b) 8,0 cm c) 7,5 cm d) 9,0 cm

Solução

Letra Acmh

h

hrV

cmV

cmaV

cilindro

cilindro

cubo

5,859,814,3

27

.3.14,39.27

..

9.27

273

2

2

3

333

Tente fazer sozinho(UFMG) Um aquário cilíndrico, com 30 cm de

altura e área da base igual a 1200 cm2, estácom água até a metade da sua capacidade.Colocando-se pedras dentro desse aquário, demodo que fiquem totalmente submersas, onível da água sobe para 16,5 cm. O volume daspedras, em centímetros cúbicos, é:

a) 1200 b) 1500 c) 1800 d) 2100

Tente fazer sozinho(UFMG) Um aquário cilíndrico, com 30 cm de

altura e área da base igual a 1200 cm2, estácom água até a metade da sua capacidade.Colocando-se pedras dentro desse aquário, demodo que fiquem totalmente submersas, onível da água sobe para 16,5 cm. O volume daspedras, em centímetros cúbicos, é:

a) 1200 b) 1500 c) 1800 d) 2100

Solução

Letra C3

3

3

3

2

18001800019800

198005,16.1200

180002

36000

2

3600030.1200.

120030

cmV

cmV

cmV

cmhAV

cmAcmh

pedras

pedrascomaquário

aquário

baquário

b

e

Bibliografia

• http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/prisma/prisma.htm

• Matemática – Volume Único: Iezzi, Gelson; Dolce, Osvaldo; Degenszajn, David; Périgo, Roberto – Atual Editora – 4ª edição – 2007 – Páginas: 456 até 464.

• Figuras: google imagens