FFI0132 - Vibraes e OndasProf: Philippe W. Courteille

Monitor: Rafael Lima: rafael.bruno.lima@usp.brLista de exerccios 1

1. Um bloco de massa M est conectado por uma mola de massa desprezvel e constanteelstica k, inicialmente relaxada. O sistema desliza sobre uma superfcie horizontalsem atrito. Ento um deslocamento x aplicado ao sistema, retirando-o de seuequilbrio (desconsidere o comprimento natural da mola). Use as condies iniciaisx(0) = x0 e x(0) = v0.

a) Escreva e resolva a equao diferencial do sistema, encontrando a posio damassa M em funo do tempo t, ou seja, x(t) a partir da posio de equilbrio.A resoluo deve ser feita passo a passo. Dica: Como x(t) deve ser uma soluoreal, use a propriedade 2Re[z] = z + z.

b) Faa a conexo entre as duas solues possveis x(t) = A cos(0t+ ) e x(t) =B1 cos(0t) + B2 sin(0t). Como as constantes A, , B1 e B2 se relacionamentre elas e com as condies iniciais.

c) Escreva a energia total do sistema, ou seja, a energia cintica e potencial emostre que a mesma constante em funo do tempo.

2. Uma partcula de massa M est suspensa por uma mola de constante elstica k ecomprimento natural l0, cuja massa desprezvel. A partcula solta em repouso,com a mola relaxada. Tomando o eixo de Oz orientado verticalmente para baixo,com origem no teto, calcule a posio z(t) da partcula.

3. Considere um cilindro preso por duas molas que roda sem deslizar como mostraabaixo. Calcule a freqncia para pequenas oscilaes do sistema. Dado que omomento de inrcia I =MR2/2.

4. Uma bola de massa M cai de uma altura h sobre o prato de uma balana de molae fica grudado. A constante da mola k e as massas da mola e prato podem serdesprezveis.

a) Qual a amplitude de oscilao do prato?

b) Qual a energia total de oscilao?

5. Considere um sistema composto por dois pndulos de massa M e comprimento L,acoplados por uma mola de constante elastica k, conforme a figura abaixo.

a) Encontre as equaes diferenciais para os ngulos 1 e 2.

b) Definindo as coordenadas normais de vibrao como = 1 2 e = 1 + 2,encontre as equaes diferenciais para e . Dica: some e subtraia as equaesencontradas no item (a).

c) Quais so as frequncias angulares dos modos normais de vibrao?

6. Uma bolinha de massa M e raio r rola sem deslizar sobre uma calha cilndrica deraio R r com a condio de 1. Mostre que o movimento harmnico simplese calcule a frequncia algular 0.