VibracoesOndas - Lista
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FFI0132 - Vibrações e Ondas Prof: Philippe W. Courteille Monitor: Rafael Lima: [email protected] Lista de exercícios 1 1. Um bloco de massa M está conectado por uma mola de massa desprezível e constante elástica k, inicialmente relaxada. O sistema desliza sobre uma superfície horizontal sem atrito. Então um deslocamento x é aplicado ao sistema, retirando-o de seu equilíbrio (desconsidere o comprimento natural da mola). Use as condições iniciais x(0) = x 0 e ˙ x(0) = v 0 . a) Escreva e resolva a equação diferencial do sistema, encontrando a posição da massa M em função do tempo t, ou seja, x(t) a partir da posição de equilíbrio. A resolução deve ser feita passo a passo. Dica: Como x(t) deve ser uma solução real, use a propriedade 2Re[z ]= z + z * . b) Faça a conexão entre as duas soluções possíveis x(t)= A cos(ω 0 t + φ) e x(t)= B 1 cos(ω 0 t)+ B 2 sin(ω 0 t). Como as constantes A, φ, B 1 e B 2 se relacionam entre elas e com as condições iniciais. c) Escreva a energia total do sistema, ou seja, a energia cinética e potencial e mostre que a mesma é constante em função do tempo. 2. Uma partícula de massa M está suspensa por uma mola de constante elástica k e comprimento natural l 0 , cuja massa é desprezível. A partícula é solta em repouso, com a mola relaxada. Tomando o eixo de Oz orientado verticalmente para baixo, com origem no teto, calcule a posição z (t) da partícula. 3. Considere um cilindro preso por duas molas que roda sem deslizar como mostra abaixo. Calcule a freqüência para pequenas oscilações do sistema. Dado que o momento de inércia é I = MR 2 /2.
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Lista da Disciplina V.O.
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FFI0132 - Vibraes e OndasProf: Philippe W. Courteille
Monitor: Rafael Lima: [email protected] de exerccios 1
1. Um bloco de massa M est conectado por uma mola de massa desprezvel e constanteelstica k, inicialmente relaxada. O sistema desliza sobre uma superfcie horizontalsem atrito. Ento um deslocamento x aplicado ao sistema, retirando-o de seuequilbrio (desconsidere o comprimento natural da mola). Use as condies iniciaisx(0) = x0 e x(0) = v0.
a) Escreva e resolva a equao diferencial do sistema, encontrando a posio damassa M em funo do tempo t, ou seja, x(t) a partir da posio de equilbrio.A resoluo deve ser feita passo a passo. Dica: Como x(t) deve ser uma soluoreal, use a propriedade 2Re[z] = z + z.
b) Faa a conexo entre as duas solues possveis x(t) = A cos(0t+ ) e x(t) =B1 cos(0t) + B2 sin(0t). Como as constantes A, , B1 e B2 se relacionamentre elas e com as condies iniciais.
c) Escreva a energia total do sistema, ou seja, a energia cintica e potencial emostre que a mesma constante em funo do tempo.
2. Uma partcula de massa M est suspensa por uma mola de constante elstica k ecomprimento natural l0, cuja massa desprezvel. A partcula solta em repouso,com a mola relaxada. Tomando o eixo de Oz orientado verticalmente para baixo,com origem no teto, calcule a posio z(t) da partcula.
3. Considere um cilindro preso por duas molas que roda sem deslizar como mostraabaixo. Calcule a freqncia para pequenas oscilaes do sistema. Dado que omomento de inrcia I =MR2/2.
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4. Uma bola de massa M cai de uma altura h sobre o prato de uma balana de molae fica grudado. A constante da mola k e as massas da mola e prato podem serdesprezveis.
a) Qual a amplitude de oscilao do prato?
b) Qual a energia total de oscilao?
5. Considere um sistema composto por dois pndulos de massa M e comprimento L,acoplados por uma mola de constante elastica k, conforme a figura abaixo.
a) Encontre as equaes diferenciais para os ngulos 1 e 2.
b) Definindo as coordenadas normais de vibrao como = 1 2 e = 1 + 2,encontre as equaes diferenciais para e . Dica: some e subtraia as equaesencontradas no item (a).
c) Quais so as frequncias angulares dos modos normais de vibrao?
6. Uma bolinha de massa M e raio r rola sem deslizar sobre uma calha cilndrica deraio R r com a condio de 1. Mostre que o movimento harmnico simplese calcule a frequncia algular 0.
