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VIBRAÇÕES MECÂNICAS
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SISTEMAS CONTÍNUOS: SOLUÇÕES
APROXIMADAS
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Sistemas contínuos: soluções aproximadas Introdução
Na prática, sistemas contínuos não admitem solução analítica devido à não -uniformidade
na distribuição de massa e rigidez.
Sistemas contínuos são então aproximados por sistemas discretos.
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Sistemas contínuos: soluções aproximadas Método de Rayleigh
A freqüência fundamental de vibração estimada para um sistema conservativo tem um valor
estacionário na vizinhança do modo fundamental.
}]{[}{
}]{[}{2
umu
ukuT
T
=ω
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Sistemas contínuos: soluções aproximadas Método de Rayleigh
Vibração axial de uma barra
)( )(0)0(
)()(
)( )(
2
LkUdx
dUxEAU
xUxmxd
xUdxEA
xd
d
Lx
−==
=
−
=
ω
)()(),(
),()(
),()(
2
2
tFxUtxu
t
txuxm
x
txuxEA
x
=∂
∂=
∂∂
∂∂
L
u(x,t)EA(x), m(x)
k
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Sistemas contínuos: soluções aproximadas Método de Rayleigh
)()(
)( )(
2 xUxm
xd
xUdxEA
xd
djj
j ω=
−
)()()(
)( )(
)(
0
2
0∫∫ =
−
L
jij
Lj
i dxxUxUxmdxxd
xUdxEA
xd
dxU ω
Vibração axial de uma barra
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Sistemas contínuos: soluções aproximadas Método de Rayleigh
Integração por partes
L
ji
Lji
Lj
i
L
jij
xd
xUdxUxEAdx
xd
xUd
xd
xUdxEA
dxxd
xUdxEA
xd
dxUdxxUxUxm
00
00
2
)( )()(
)(
)( )(
)( )(
)()()()(
−
=
−=
∫
∫∫ω
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Sistemas contínuos: soluções aproximadas Método de Rayleigh
Aplicação das condições de contorno
∫
∫+= L
ji
Lji
ji
j
dxxUxUxm
dxxd
xUd
xd
xUdxEALULkU
0
02
)()()(
)(
)(
)( )()(
ω
∫
∫+==
L
L
dxxUxUxm
dxxd
xUd
xd
xUdxEALkU
UR
0
0
2
2
)()()(
)(
)(
)( )(
)(ω
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Sistemas contínuos: soluções aproximadas Método de Rayleigh
Escolher funções teste U(x) de tal forma a obter uma estimativa de ω1.
∫
∫+==
L
L
dxxUxUxm
dxxd
xUd
xd
xUdxEALkU
UR
0
0
2
2
)()()(
)(
)(
)( )(
)(ω
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Sistemas contínuos: soluções aproximadas Método de Rayleigh
Pelo m étodo de Rayleigh obtém-se apenas uma aproximação muito imprecisa somente da freqüência fundamental.
Duas formas do quociente de Rayleigh:
1) funções teste U(x) escolhidas devem satisfazer somenteas condições de contorno geom étricas do sistema.
2) Uma vez que as condições de contorno não foram explicitamente impostas, as funções teste U(x)escolhidas devem satisfazer todas essas condições de contorno do sistema (geom étricas e naturais)
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Sistemas contínuos: soluções aproximadas Método de Rayleigh
∫
∫+=
L
L
dxxUxUxm
dxxd
xUd
xd
xUdxEALkU
UR
0
0
2
)()()(
)(
)(
)( )(
)(
∫
∫
−=
L
L
dxxUxUxm
dxxd
xUdxEA
xd
dxU
UR
0
0
)()()(
)(
)(
)(
)(
Forma 1
Forma 2
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Sistemas contínuos: soluções aproximadas Método de Rayleigh: exemplo
Primeira freqüência natural de uma barra não uniforme fixada em x = 0 e livre em x = L.
)2/(sin )(2
11
5
6)(
2
11
5
6)(
22
LxxUL
xEAxEA
L
xmxm π=
−=
−=
2
0
22
2
0
22
2
2 1504.3
)2/(sin 21
14
)2/( cos21
1
mL
EA
dxLxL
xmL
dxLxL
xEA
L
L
=
−
−=
∫
∫
π
ππω
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Sistemas contínuos: soluções aproximadas Método de Rayleigh -Ritz
Todas as freq üências naturais são pontos estacion ários do quociente de Rayleigh. Assim, extremização desse quociente deve levar às freq üências naturais.
Logo, para se resolver numericamente o problema de auto -valor pode-se: (i) trabalhar com fun ções teste e a equação diferencial ou (ii) trabalhar com fun ções teste e o quociente de Rayleigh.
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Sistemas contínuos: soluções aproximadas Método de Rayleigh -Ritz
Considere a forma 1 do quociente de Rayleigh e escreva uma solu ção aproximada do problema de auto -valor como sendo:
∑=
=n
iii xaxu
1
)()( φ
onde ai são coeficientes a serem determinados e φi(x) são fun ções teste que devem satisfazer somente as condições geom étricas.
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Sistemas contínuos: soluções aproximadas Método de Rayleigh -Ritz
Condição de estacionariedade
∑
∑
∑
∑
=
=
=
= ===n
ii
n
iii
n
ii
n
iii
T
T
c
c
c
c
umu
ukuuR
1
2
1
2
1
2
1
22
}]{[}{
}]{[}{})({
λω ∑=
=n
iii ucu
1
}{}{
2ii ωλ =
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Sistemas contínuos: soluções aproximadas Método de Rayleigh -Ritz
Assumir {u} ligeiramente diferente de {u}r
∑∑+=
−
=
++=n
riiirr
r
iii ucucucu
1
1
1
}{}{}{}{rii cc ε=
∑∑
∑∑
∑∑
∑∑
+=
−
=
+=
−
=
+=
−
=
+=
−
=
++
++=
++
++=
n
rii
r
ii
n
riiir
r
iii
n
ririr
r
iri
n
riirirr
r
iiri
ccc
ccc
uR
1
21
1
2
1
21
1
2
1
2221
1
22
1
2221
1
22
1
})({
εε
λελλε
εε
λελλε
pequeno εi
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Sistemas contínuos: soluções aproximadas Método de Rayleigh -Ritz
Expansão por série de Taylor em torno de εi = 0
∑∑∑
∑∑
=
+=
−
=
+=
−
= −+≈++
++=
n
iirirn
rii
r
ii
n
riiir
r
iii
uR1
2
1
21
1
2
1
21
1
2
)(
1
})({ ελλλεε
λελλε
Perturbações de primeira ordem em {u} levam a perturbações de segunda ordem em R({u})
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Sistemas contínuos: soluções aproximadas Método de Rayleigh -Ritz
Condição de estacionariedade
0...21
=∂∂==
∂∂=
∂∂
na
R
a
R
a
R
0
2=
∂∂−
∂∂
=∂∂
D
a
DN
a
ND
a
R rr
rD
NR=
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Sistemas contínuos: soluções aproximadas Método de Rayleigh -Ritz
Se Λ for o valor estacion ário do coeficiente de Rayleight então:
0=∂∂−
∂∂
rr a
DΛ
a
N
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Sistemas contínuos: soluções aproximadas Método de Rayleigh -Ritz
N e D são fun ções quadráticas e sim étricas em relação a u. Logo,
∑∑∑∑= == =
==n
i
n
jjiij
n
i
n
jjiij aamDaakN
1 11 1
jiijjiij mmkk ==
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Sistemas contínuos: soluções aproximadas Método de Rayleigh -Ritz
∑
∑∑∑∑∑
=
==== =
=∂∂
=+=
∂∂
+∂∂=
∂∂
n
jjrj
r
n
jjrj
n
iiir
n
jjrj
n
i
n
j r
jij
r
iij
r
ama
D
akakaka
aaa
a
ak
a
N
1
1111 1
2
2
}]{[ }]{[ amΛak =
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Sistemas contínuos: soluções aproximadas Método de Rayleigh -Ritz
Cálculo dos coeficientes kij e mij:
∫ ∑∑∫
=
===
L n
j
jj
n
i
ii
L
dxdx
xda
dx
xdaxEAdx
dx
xduxEAN
0 110
2 )(
)()(
)()(
φφ
∑∑ ∫= =
=n
i
n
j
Lji
ji dxdx
xd
dx
xdxEAaaN
1 1 0
)()()(
φφ
∫=L
jiij dx
dx
xd
dx
xdxEAk
0
)()()(
φφ∫=L
jiij dxxxxmm0
)()()( φφ
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Sistemas contínuos: soluções aproximadas Método de Rayleigh -Ritz
A solu ção de [k]{a}=Λ[m]{a} fornece nautovalores Λr e autovetores {a}r
Λr são aproximações dos autovalores reais do problema e {a}r fornecem aproximações para as autofun ções.
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Sistemas contínuos: soluções aproximadas Método de Rayleigh -Ritz
O método de Rayleigh -Ritz envolve solu ção de uma seq üência de problemas fazendo -se r =1,2,3,... até que uma determinada precisão seja atingida.
Os autovalores computados Λr são maiores que os autovalores reais λr
A qualidade das aproximações depende de r e da forma das fun ções teste escolhidas.
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Sistemas contínuos: soluções aproximadas Método de Rayleigh -Ritz
Considere a vibração axial de uma barra fina não uniforme fixada em x = 0 e livre em x = L e obtenha estimativas para os autovalores. A rigidez e a massa distribu ídas são:
−=
−=22
2
11
5
6)(
2
11
5
6)(
L
xmxm
L
xEAxEA
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Sistemas contínuos: soluções aproximadas Método de Rayleigh -Ritz
Utilizar as autofun ções para a barra uniforme:
L
xixi 2
)12(sin )(πφ −=
∫−−
−−−=L
ij dxL
xj
L
xi
L
x
L
j
L
iEAk
0
2
2
)12(cos
2
)12(cos
2
11
2
)12(
2
)12(
5
6 ππππ
∫−−
−=L
ij dxL
xj
L
xi
L
xmm
0
2
2
)12(sin
2
)12(sin
2
11
5
6 ππ
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Sistemas contínuos: soluções aproximadas Método de Rayleigh -Ritz
Para n = 1
)65(10
1)65(
402
2112
11 −=+= ππ
π mLmL
EAk
2 11
111 1504.3
mL
EA
m
kΛ ==
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Sistemas contínuos: soluções aproximadas Método de Rayleigh -Ritz
Para n = 2
−−
=
++
=3/255.7
5.765
10][
6452/27
2/2765
40][
2
2
22
2
ππ
πππ mL
mL
EAk
−
==
−==
9871.0
1598.0}{ 2840.23
0101.0
9999.0}{ 1482.3
22 2
12 1
amL
EAΛ
amL
EAΛ
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Sistemas contínuos: soluções aproximadas Método de Rayleigh -Ritz
Para n = 3
{ }
{ }
{ } 0.9913 0.1131- 0.0674}{ 9118 . 62
0.0275- 0.9866 0.1610-}{ 2532 . 23
0.0019 0.0105- 9999.0}{ 1480.3
32 3
22 2
12 1
==
==
==
T
T
T
amL
EAΛ
amL
EAΛ
amL
EAΛ
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Sistemas contínuos: soluções aproximadas Método de Rayleigh -Ritz
As aproximações se tornam melhores à medida que n cresce.
As autofun ções são obtidas através dos vetores {a}.
Como regra geral deve-se usar pelo menos duas vezes mais fun ções teste que o n úmero de autovalores a serem obtidos com precisão.
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Sistemas contínuos: soluções aproximadas Método de modos assumidos
Método que leva a resultados semelhantes ao método de Rayleigh -Ritz.
Solu ção através das equações de Lagrange.
Equação dinâmica obtida.
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Sistemas contínuos: soluções aproximadas Método de modos assumidos
Solu ção da forma:
∑=
=n
iii tqxtxu
1
)()(),( φ
Energia cin ética e potencial:
∑∑= =
=n
i
n
jjiij tqtqmtT
1 1
)()(2
1)( && ∑∑
= =
=n
i
n
jjiij tqtqktV
1 1
)()(2
1)(
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Sistemas contínuos: soluções aproximadas Método de modos assumidos
As condições de contorno naturais são levadas em conta nas expressões da energia cin ética e da energia potencial. Assim, as fun ções teste têm que satisfazer apenas as condições de contorno geom étricas.
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Sistemas contínuos: soluções aproximadas Método de modos assumidos
Equação de Lagrange para sistemas conservativos:
0 =∂∂+
∂∂−
∂∂
rrr q
V
q
T
q
T
dt
d&
0)()(11
=+∑∑==
n
jjrj
n
jjrj tqktqm && }0{)}(]{[)}(]{[ =+ tqktqm &&
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Sistemas contínuos: soluções aproximadas Método de modos assumidos
Solu ções síncronas:
) cos(}{)}({ φω −= tatq
}]{[ }]{[ amΛak =Mesmo resultado
obtido via Rayleigh -Ritz
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Sistemas contínuos: soluções aproximadas Método de modos assumidos
Resposta dinâmica para um sistema com forças não conservativas
rrrr
V
q
T
q
T
dt
d =∂∂+
∂∂−
∂∂
&
onde Qr são forças não conservativas.
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Sistemas contínuos: soluções aproximadas Método de modos assumidos
Trabalho virtual das forças não conservativas:
∑∑ ∑∫
∫ ∑∑
∫ ∑
== =
==
=
=
+
=
−+
=
−+=
n
rrr
n
rr
l
jjrj
L
r
L
r
n
rr
l
jjj
L l
jjj
tqtQtqxtFdxxtxf
dxtqxxxtFtxf
dxtxuxxtFtxfW
11 10
0 11
0 1
)()()()()()(),(
)()()()(),(
),()()(),(
δδφφ
δφδ
δδδ
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Sistemas contínuos: soluções aproximadas Método de modos assumidos
Equação dinâmica:
)}({)}(]{[)}(]{[ tQtqktqm =+&&
Métodos de solu ção:
Análise modal
Integração num érica direta (Wilson -θ, Newmark)