Post on 23-Nov-2018
VetoresDefinição e operações de vetores
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Introdução
! Até agora consideramos um par ordenado de números reais(x,y) representando um ponto em um sistema de coordenadas de um plano geométrico.
! Outra representação importante consiste em tomar os pares ordenados como vetores no plano.
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Vetores
! O conceito de vetor surgiu na Mecânica com o engenheiro flamengo Simon Stevin - o "Arquimedes holandês".
! Em 1586 apresentou , o problema da composição de forças( Estática e hidrostática) e enunciou uma regra empírica para se achar a soma de 2 forças aplicadas num mesmo ponto.
! Tal regra, a conhecemos hoje como regra do paralelogramo.
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Vetores
! A sistematização da teoria vetorial ocorreu no século XIX com os trabalhos do irlandês William Hamilton (notavelmente precoce: aos 5 anos lia grego, latim e hebraico), do alemão Hermann Grassmann e do físico norte-americano Josiah Gibbs.
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! O vetor num plano 2D é um par ordenado de números reais que são chamados de componentes do vetor
! Neste contexto os números reais são denominados de escalares
! Graficamente o vetor é representado pelo segmento orientado de O para P , denotado pelo símbolo:
! Podemos também representar o vetor por uma letra minúscula, encimada por uma seta
Vetor
OP
! "!!
O
P
!v
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Modulo! É o número não
negativo que indica o comprimento do vetor.
! Modulo também é a distancia entre suas extremidades dada pela formula:
V
|v|=4
V
AB! "!!
= (x1! x2)2+ (y1! y2)
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! A direção de um vetor é medido entre o eixo x e o segmento do vetor, no sentido anti-horário
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Vetor Nulo
! É o vetor de direção e sentido arbitrários, e módulo igual a 0
! vetor nulo tem coordenadas (0, 0, 0) e sua representação gráfica é a origem do sistema de coordenadas.
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Vetor Unitário
! É o vetor de modulo igual a 1
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Vetor Oposto
! Dado um vetor AB seu vetor oposto é o vetor BA e se indica -AB
! O vetor oposto de v é indicado por -v
V
V
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Multiplicação de um vetor por um escalar
! seja k um escalar e v um vetor, o produto do vetor pelo número escalar real k é representado por: kv
! Neste contexto podemos ter dois casos para a multiplicação do vetor pelo escalar
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Multiplicação de um vetor por um escalar
! k>0
! Nesse caso o vetor v e kv são equiversos
k=2
2!v
!v
! k<0
! Nesse caso o vetor v e kv são contraversosk= -2
2!v
!v
-
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Propriedades da multiplicação de escalares por vetores
I. Propriedade associativa
m(n!v)=n(m
!v)=(mn)
!v
II. Propriedade distributiva em relação a adição de escalares
(m+n)!v=m!v+n!v
III. Propriedade distribuitva em relação a adição de vetores
m(!v+!w)=m
!v+m!w
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Soma de vetores
! Soma de vetores v=(x1,y1) e w=(x2,y2) é um terceiro vetor chamado de vetor resultante
! O vetor resultante corresponde ao somatório das coordenadas , isto é:
! v+w=(x1+x2 , y1+y2)
W
V
V+W
Graficamente temos
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Soma de vetores
! Graficamente, o vetor soma é o segmento orientado que fecha a poligonal, tendo por origem,a origem do primeiro vetor e por extremidade, a extremidade do último vetor.
! !Então: Graficamente temos
W
V
V+W
W
V
V+W
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Subtração de vetores
! Do mesmo modo a diferença entre vetores é dada pela diferença dos pares ordenados:
! v=(x1,y1)
! w=(x2,y2)
! v-w =(x1-x2 , y1 -y2)
W
V
V-W
Graficamente temos
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Subtração de vetores! Graficamente, a diferença de dois vetores u e v é
obtida fazendo-se com que u e v tenham a mesma origem.
! A diferença de vetores não é comutativa: u - v ! v - u.
W
V
V-W
Graficamente temos
W
V
W-V
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Exercício 1
! Dados os vetores u, v e w obter graficamente
a)u+w
b)u-w
c) v+w
d)v-w
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Exercício 1a)u+w b)u-w
c)v+w d)v-w
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Exercício 2! Considere os pontos P=(22,320) , Q=(24,327) e
R=(25,319.78) indicando três diferentes quantidades de superfosfato simples aplicado a um experimento.
! A- Efetue as operações a seguir , justificando seus significados
a)!P +!Q +!R
b)!Q !!P
c)3!P e -
!P
d) |!P |,|!Q |,|
!R |
e) | PQ" !""
|19
Projeção escalar
! Dado dois vetores u e v , não nulos, a projeção escalar é dada pela formula: PrUv =| u | cosø
U
V
ø
|u| cosø
U
V
ø
|u| cosø
Note que a projeção pode ser positiva ou negativa dependendo do valor de cosø
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Exercício 3! Considerando um triângulo com coordenadas
A=(0,0) , B=(3,4) , C=(5,2) , encontre a projeção de u=AB , sobre v=AC e use o resultado para calcular a área do triângulo.
0
A
B
C
38º
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Exercício 3
! Como os ângulos entre os vetores é de 38º, tem-se:
PrUv =| AB | cos38º= (32! 0
2) + (2
2! 0
2) * cos38º
PrUv = 5cos38º= 3.94
0
A
B
C
38º
3.94! Para calcular a área precisamos determinar a altura do triângulo, usamos a seguinte formula:
sen38º=h
AB...h = sen38º*AB = 0.615 *5 = 3.075
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Exercício 3
! Pela formula a área do triângulo:
0
A
B
C
38º
3.94
At =base*altura
2=| AC | *h
2=
(52! 0
2) + (2
2! 0
2) * 3.075
2
At =7 * 3.075
2= 10.7625
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Produto escalar
! O produto escalar de w=(x1,y1) por v=(x2,y2) , é denotado por w.v define-se por:
! w.v=x1.x2+y1.y2
0
V
W
Y2
Y1
X2 X1
øß
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Produto escalar! Sendo:
! x1=|w|cosø
! x2=|v|cosß
! y1=|w|senø
! y2=|v|senß
! A partir da formula:
! w.v=x1.x2+y1.y2
! w.v=|w|cosø.|v|cosß+|w|senø.|v|senß
0
V
W
Y2
Y1
X2 X1
øß
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Produto escalar! Simplificando temos:
! w.v=|w|.|v|(cosø.cosß+senø.senß)
! w.v=|w|.|v|cos(ø-ß)
! considerando que "=(ø-ß) seja o angulo entre w e v , temos a seguinte definição0
V
W
Y2
Y1
X2 X1
øß
O produto escalar de dois vetores é o produto de seus módulos pelo coseno do ângulo que eles formam.
w.v =|w | . | v | .cos!
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Exercício 4
! sendo w=(3,4) e v=(4,1) , calcule w.v e ache o angulo que separa os dois vetoresw.v = x1.x2 + y1.y2 = 3* 4 + 4 *1 = 16
usando a formula w.v =|w | . | v | .cos! e igualando ao resultado
previamente obtido temos:
|w | . | v | .cos! =16
cos! =16
|w | . | v |
=16
(32! 0
2) + (4
2! 0
2) * (4
2! 0
2) + (1
2! 0
2)
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Exercício 4cos! =
16
|w | . | v |
=16
(32! 0
2) + (4
2! 0
2) * (4
2! 0
2) + (1
2! 0
2)
cos! =16
7 *5=16
35= 0.4571
! = arcocos0.4571 = 62.79º
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