Post on 07-Aug-2020
UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL
CARLOS ANDRES MILLAN PARAMO
ABORDAGEM METAHEURÍSTICA PARA OTIMIZAÇÃO ESTRUTURAL
TESE
CURITIBA
2020
CARLOS ANDRES MILLAN PARAMO
ABORDAGEM METAHEURÍSTICA PARA OTIMIZAÇÃO ESTRUTURAL
Tese apresentada como requisito parcial à obtenção
do título de Doutor em Engenharia Civil, do
Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil, do
Departamento Acadêmico de Construção Civil, da
Universidade Tecnológica Federal do Paraná
(UTFPR).
Área de concentração: Construção Civil
Linha de pesquisa: Materiais, Estruturas e Geotecnia
Orientador: Prof. João Elias Abdalla Filho, Ph.D.
CURITIBA
2020
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação
___________________________________________________________________________________
Millan Paramo, Carlos Andres
Abordagem metaheurística para otimização estrutural [recurso
eletrônico] / Carlos Andres Millan Paramo. -- 2020.
1 arquivo texto (126 f.): PDF; 5,38 MB.
Modo de acesso: World Wide Web.
Título extraído da tela de título (visualizado em 18 mar. 2020).
Texto em português com resumo em inglês.
Tese (Doutorado) - Universidade Tecnológica Federal do Paraná.
Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil, Curitiba, 2020
Bibliografia: p. 118-126.
1. Engenharia civil - Teses. 2. Otimização estrutural. 3.
Algoritmos heurísticos. 4. Espaços topológicos. I. Abdala Filho, João
Elias, orient. II. Universidade Tecnológica Federal do Paraná -
Programa de Pós-graduação em Engenharia Civil, inst. III. Título.
CDD: Ed. 23 -- 624
Biblioteca Ecoville da UTFPR, Câmpus Curitiba Bibliotecária: Lucia Ferreira Littiere – CRB 9/1271
Aluna de Biblioteconomia: Josiane Mangueira
Ministério da Educação Universidade Tecnológica Federal do Paraná Diretoria de Pesquisa e Pós-Graduação
TERMO DE APROVAÇÃO DE TESE Nº13
A Tese de Doutorado intitulada: ABORDAGEM METAHEURÍSTICA PARA OTIMIZAÇÃO
ESTRUTURAL, defendida em sessão pública pelo Candidato Carlos Andres Millan Paramo, no dia
11 de março de 2020, foi julgada para a obtenção do título de Doutor em Engenharia Civil, área de
concentração: Construção Civil, linha de pesquisa: Materiais, Estruturas E Geotecnia, e aprovada em
sua forma final, pelo Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil.
BANCA EXAMINADORA:
Prof. Dr. João Elias Abdalla Filho- Presidente - UTFPR
Prof. Dr. Jucélio Tomás Pereira - UFPR
Profª. Drª. Viviana Cocco Mariani - PUCPR
Prof. Dr. Leandro Dos Santos Coelho - PUCPR
Prof. Dr. Wellington Mazer - UTFPR
A via original deste documento encontra-se arquivada na Secretaria do Programa, contendo a
assinatura da Coordenação após a entrega da versão corrigida do trabalho.
Curitiba, 11 de março de 2020.
A Deus
À minha esposa Carmen Meliza
Às minhas filhas Carla e Sofia
Aos meus pais Euriel e Irma
AGRADECIMENTOS
A Deus, por me permitir alcançar este ponto e ter me dado saúde para alcançar meus objetivos.
À minha filha Carla e minha esposa Carmen Meliza pelo apoio, compreensão, carinho e
inspiração.
À Organização dos Estados Americanos (OEA) e ao Grupo Coimbra de Universidades
Brasileiras (GCUB) por ter sido escolhido como uns dos beneficiários da bolsa de estudo do
Edital OEA GCUB 2015.
À Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) e ao Programa de Pós-graduação em
Engenharia Civil (PPGEC) pela oportunidade.
À Universidad de Sucre pelo apoio neste tempo de estudo.
A meu Orientador, o Prof. João Elias Abdalla Filho, pela confiança e ajuda durante o
desenvolvimento desta pesquisa.
Por fim, aos membros da Banca de Defesa: Profa. Viviana Cocco Mariani, Prof. Jucélio Tomás
Pereira, Prof. Leandro dos Santos Coelho e Prof. Wellington Mazer. Agradeço muito pelas
correções, comentários e sugestões.
RESUMO
MILLAN PARAMO, Carlos Andres. Abordagem metaheurística para otimização
estrutural. 2020. 126 f. Tese (Doutorado em Engenharia Civil) ‒ Programa de Pós-Graduação
em Engenharia Civil, Universidade Tecnológica Federal do Paraná. Curitiba, Brasil, 2020.
A otimização estrutural visa projetar estruturas sob certas restrições para alcançar um melhor
comportamento. No entanto, minimizar o peso das estruturas pode ser considerado um
problema complicado de resolver devido à satisfação das restrições de projeto. Em geral, estas
restrições são não lineares, não convexas e implícitas em relação às variáveis do projeto.
Portanto, isso tem dificultado o uso de otimizadores baseados em gradientes. Sob tais
circunstâncias, as metaheurísticas de otimização podem servir como alternativas adequadas
devido à capacidade de encontrar mínimos globais em espaços modais e multidimensionais.
Embora várias metaheurísticas de otimização tenham sido desenvolvidas nas últimas décadas,
a maioria delas é baseada de população e passa por muitas etapas com diversos parâmetros que
dificultam o projeto. Além disso, existem os mesmos procedimentos nas metaheurísticas
recentes, que as tornam semelhantes. Por outro lado, de acordo com o teorema No Free Lunch
no campo da otimização, não há algoritmo para resolver todos os problemas de otimização. Isso
indica que um novo algoritmo adaptado tem potencial para resolver um grupo de problemas
(por exemplo, projeto de estruturas) melhor do que os algoritmos atuais. Ao contrário de outros
estudos, este trabalho visa implementar e adaptar um algoritmo de solução única denominado
Algoritmo Simulated Annealing Modificado (ASAM) para resolver problemas de otimização
estrutural. Para validar o algoritmo são analisados problemas de referências encontrados na
literatura e os resultados são comparados com os obtidos por meio de várias metaheurísticas
existentes. Estes problemas são: (i) otimização dimensional de treliças com restrições de
tensões e deslocamentos; (ii) otimização dimensional e de forma de treliças com restrições em
frequências naturais; e (iii) otimização topológica de modelos no estado plano de tensões que
representam problemas de viga empregando elementos finitos desenvolvidos na Notação Strain
Gradient. Adicionalmente, é proposta uma versão aprimorada do ASAM para resolver
problemas de otimização estrutural. Nos dois primeiros conjuntos de problemas os resultados
numéricos indicaram que o ASAM produz resultados competitivos, em comparação com as
outras metaheurísticas de otimização, em termos de projeto ótimo, número de iterações e desvio
padrão dos dados. Nos problemas de otimização topológica, os resultados demonstraram que
os problemas otimizados com elementos corregidos e o ASAM convergiram ao valor ótimo em
menor tempo.
Palavras-chaves: Otimização dimensional, otimização de forma, otimização topológica,
Algoritmo Simulated Annealing Modificado.
ABSTRACT
MILLAN PARAMO, Carlos Andres. Metaheuristic approach for structural optimization.
2020. 126 p. Doctoral Thesis (Ph.D. in Civil Engineering) ‒ Postgraduate Program in Civil
Engineering, Federal University of Technology- Paraná. Curitiba, Brazil, 2020.
Structural optimization aims to design structures under certain constraints to achieve better
behavior. However, minimize the weight of structures can be considered as a difficult problem
to solve because it makes design constraints difficult to satisfy. These constraints are non-linear,
non-convex and implied with respect to the variables of design. Therefore, this has led to
difficulty in the use of gradient-based optimizers. Under such circumstances, the metaheuristic
algorithms can serve as appropriate alternatives due to the ability to search global minima in
modal and multidimensional spaces. Although several metaheuristics have been developed in
the last decades, most of them are population-based, undergo many steps along with several
parameters that make them hard to code. In addition, there are same procedures in recent
metaheuristics which make them similar. On the other hand, according to the No Free Lunch
Theorem in the field of optimization, there is no algorithm to solve all optimization problems.
This indicates that a new adapted algorithm has potential to solve a group of problems (e.g.
structures design) better than the current algorithms. Contrary to previous studies, this work
aims to implement and adapt a single-solution algorithm called Modified Simulated Annealing
Algorithm (MSAA) to solve problem of structural optimization. To validate the algorithm,
benchmark problems found in the literature are analyzed and the results are compared with
previous results obtained through various existing metaheuristics. These problems are: (i) size
optimization of truss structures with stresses and displacements constraints; (ii) size and shape
optimization of truss structures with natural frequency constraints; and (iii) topological
optimization of plane stress state models representing beam problems using finite elements
developed in Strain Gradient Notation. Additionally, an improved version of MSAA is
proposed to solve structural optimization problems. In the first two sets of problems, numerical
results indicated that MSAA produces competitive results, compared to the other optimization
metaheuristics, in terms of optimal design, number of iterations, and standard deviation of the
data. In topological optimization problems, the results showed that optimized problems with
corrected elements and MSAA converged to the optimal value in less time.
Keywords: Size optimization, shape optimization, topological optimization, Modified
Simulated Annealing Algorithm.
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 ‒ Tipos de otimização estrutural: (a) dimensional, (b) de forma e (c) topológica. .... 22
Figura 2 ‒ Exploração no espaço de busca (Schwefel Function) ............................................. 27
Figura 3 ‒ Passo de busca ......................................................................................................... 28
Figura 4 ‒ Diagrama de fluxo ASAM ...................................................................................... 30
Figura 5 ‒ Treliça plana de 10 barras ....................................................................................... 34
Figura 6 ‒ Curva de convergência para a treliça plana de 10 barras com variáveis contínuas.
(a) Caso 1, (b) Caso 2 ............................................................................................................... 38
Figura 7 ‒ Valores de restrição de deslocamentos e tensões determinados no projeto ótimo
obtido pelo ASAM na treliça de 10 barras com variáveis contínuas (Caso 1). (a) Valores de
restrição de deslocamento, (b) Valores de restrição de tensão ................................................. 39
Figura 8 ‒ Valores de restrição de deslocamentos e tensões determinados no projeto ótimo
obtido pelo ASAM na treliça de 10 barras com variáveis contínuas (Caso 2). (a) Valores de
restrição de deslocamento, (b) Valores de restrição de tensão ................................................. 40
Figura 9 ‒ Curva de convergência para a treliça plana de 10 barras com variáveis discretas .. 43
Figura 10 ‒ Valores de restrição de deslocamentos e tensões determinados no projeto ótimo
obtido pelo ASAM na treliça de 10 barras com variáveis discretas. (a) Valores de restrição de
deslocamento, (b) Valores de restrição de tensão..................................................................... 44
Figura 11 ‒ Treliça plana de 52 barras ..................................................................................... 45
Figura 12 ‒ Curva de convergência para a treliça plana de 52 barras ...................................... 48
Figura 13 ‒ Valores de restrição de tensões determinados no projeto ótimo obtido pelo ASAM
na treliça de 52 barras ............................................................................................................... 48
Figura 14 ‒ Treliça plana de 200 barras ................................................................................... 50
Figura 15 ‒ Curva de convergência para a treliça plana de 200 barras .................................... 53
Figura 16 ‒ Valores de restrição de tensões determinados no projeto ótimo obtido pelo ASAM
na treliça de 200 barras ............................................................................................................. 53
Figura 17 ‒ Treliça espacial de 25 barras ................................................................................. 54
Figura 18 ‒ Curva de convergência para a treliça espacial de 25 barras com variáveis
contínuas ................................................................................................................................... 58
Figura 19 ‒ Curva de convergência para a treliça espacial de 25 barras com variáveis discretas
.................................................................................................................................................. 58
Figura 20 ‒ Valores de restrição de deslocamentos e tensões determinados no projeto ótimo
obtido pelo ASAM na treliça de 25 barras com variáveis contínuas. (a) Valores de restrição de
deslocamento, (b) Valores de restrição de tensão..................................................................... 59
Figura 21 ‒ Valores de restrição de deslocamentos e tensões determinados no projeto ótimo
obtido pelo ASAM na treliça de 25 barras com variáveis discretas. (a) Valores de restrição de
deslocamento, (b) Valores de restrição de tensão..................................................................... 60
Figura 22 ‒ Treliça espacial de 72 barras ................................................................................. 61
Figura 23 ‒ Curva de convergência para a treliça espacial de 72 barras com varieis contínuas
.................................................................................................................................................. 65
Figura 24 ‒ Curva de convergência para a treliça espacial de 72 barras com varieis discretas 65
Figura 25 ‒ Valores de restrição de deslocamentos e tensões determinados no projeto ótimo
obtido pelo ASAM na treliça de 72 barras com variáveis contínuas. (a) Valores de restrição de
deslocamento, (b) Valores de restrição de tensão..................................................................... 66
Figura 26 ‒ Valores de restrição de deslocamentos e tensões determinados no projeto ótimo
obtido pelo ASAM na treliça de 72 barras com variáveis discretas. (a) Valores de restrição de
deslocamento, (b) Valores de restrição de tensão..................................................................... 67
Figura 27 ‒ Treliça plana de 10 barras ..................................................................................... 72
Figura 28 ‒ Curva de convergência para a treliça plana de 10 barras ...................................... 73
Figura 29 ‒ Treliça plana de 200 barras ................................................................................... 75
Figura 30 ‒ Curva de convergência para a treliça plana de 200 barras .................................... 77
Figura 31 ‒ Treliça espacial de 72 barras ................................................................................. 78
Figura 32 ‒ Curva de convergência para a treliça espacial de 72 barras .................................. 80
Figura 33. Treliça espacial de 120 barras ................................................................................. 81
Figura 34 ‒ Curva de convergência para a treliça espacial de 120 barras ................................ 83
Figura 35 ‒ Treliça plana de 37 barras ..................................................................................... 84
Figura 36 ‒ Curva de convergência para a treliça plana de 37 barras ...................................... 85
Figura 37 ‒ Treliça espacial de 52 barras ................................................................................. 86
Figura 38 ‒ Curva de convergência para a treliça espacial de 52 barras .................................. 87
Figura 39 ‒ Curva de convergência para a treliça plana de 10 barras ...................................... 93
Figura 40 ‒ Curva de convergência para a treliça plana de 200 barras .................................... 95
Figura 41 ‒ Curva de convergência para a treliça espacial de 72 barras .................................. 97
Figura 42 ‒ Curva de convergência para a treliça espacial de 120 barras ................................ 99
Figura 43 ‒ Viga biapoiada .................................................................................................... 108
Figura 44 ‒ Viga em balanço .................................................................................................. 111
Figura 45 ‒ Viga em balanço com duas cargas ...................................................................... 113
LISTA DE TABELAS
Tabela 1 ‒ A lista dos principais trabalhos na OD com restrições de tensões e deslocamentos
.................................................................................................................................................. 32
Tabela 2 ‒ Resultados de otimização obtidos para a treliça plana de 10 barras com variáveis
contínuas (Caso 1) .................................................................................................................... 36
Tabela 3 ‒ Resultados de otimização obtidos para a treliça plana de 10 barras com variáveis
contínuas (Caso 2) .................................................................................................................... 37
Tabela 4 ‒ Resultados de otimização obtidos para a treliça plana de 10 barras com variáveis
discretas .................................................................................................................................... 42
Tabela 5 ‒ Lista de áreas transversais disponíveis do código AISC ........................................ 46
Tabela 6 ‒ Resultados de otimização obtidos para a treliça plana de 52 barras ....................... 47
Tabela 7 ‒ Variáveis de projeto no problema da treliça plana de 200 barras. .......................... 51
Tabela 8 ‒ Resultados de otimização obtidos para a treliça plana de 200 barras ..................... 52
Tabela 9 ‒ Condições de carregamento para a treliça espacial de 25 barras (variáveis
contínuas). ................................................................................................................................ 54
Tabela 10 ‒ Tensões admissíveis nos grupos de elementos para a treliça espacial de 25 barras
.................................................................................................................................................. 55
Tabela 11 ‒ Resultados de otimização obtidos para a treliça espacial de 25 barras com
variáveis contínuas ................................................................................................................... 56
Tabela 12 ‒ Condição de carregamento para a treliça espacial de 25 barras (variáveis
discretas) ................................................................................................................................... 57
Tabela 13 ‒ Resultados de otimização obtidos para a treliça espacial de 25 barras com
variáveis discretas ..................................................................................................................... 57
Tabela 14 ‒ Condições de carregamento para a treliça espacial de 72 barras .......................... 62
Tabela 15 ‒ Resultados de otimização obtidos para a treliça espacial de 72 barras com
variáveis contínuas ................................................................................................................... 63
Tabela 16 ‒ Resultados de otimização obtidos para a treliça espacial de 72 barras com
variáveis discretas. .................................................................................................................... 64
Tabela 17 ‒ A lista dos principais trabalhos na otimização dimensional e de forma de treliças
com frequências naturais .......................................................................................................... 69
Tabela 18 ‒ Propriedades do material, limites de área de seção transversal e restrições de
frequência para diferentes problemas ....................................................................................... 71
Tabela 19 ‒ Resultados de otimização obtidos para a treliça plana de 10 barras. .................... 73
Tabela 20 ‒ Resultados de otimização obtidos para a treliça plana de 200 barras ................... 76
Tabela 21 ‒ Resultados de otimização obtidos para a treliça espacial de 72 barras ................. 79
Tabela 22 ‒ Resultados de otimização obtidos para a treliça espacial de 120 barras ............... 82
Tabela 23 ‒ Resultados de otimização obtidos para a treliça plana de 37 barras ..................... 84
Tabela 24 ‒ Resultados de otimização obtidos para a treliça espacial de 52 barras. ................ 87
Tabela 25 ‒ Resultados de otimização obtidos para a treliça plana de 10 barras. .................... 92
Tabela 26 ‒ Resultados de otimização obtidos para a treliça plana de 200 barras ................... 94
Tabela 27 ‒ Resultados de otimização obtidos para a treliça espacial de 72 barras ................. 96
Tabela 28 ‒ Resultados de otimização obtidos para a treliça espacial de 120 barras ............... 98
Tabela 29 ‒ Comparação de resultados obtidos para a viga biapoiada .................................. 110
Tabela 30 ‒ Comparação de resultados obtidos para a viga em balanço ............................... 112
Tabela 31 ‒ Comparação de resultados obtidos para a viga em balanço com duas cargas .... 114
LISTA DE SÍMBOLOS E ABREVIATURAS
ASAM Algoritmo Simulated Annealing Modificado
ASAM-M Algoritmo Simulated Annealing Modificado Melhorado
CO Critério de otimalidade
DP Desvio padrão
MHs Metaheurísticas
NI Número de iterações
NSG Notação Strain Gradient
OD Otimização dimensional
OE Otimização estrutural
OF Otimização de forma
OT Otimização topológica
OTE Otimização topológica estrutural
RAM Random-access memory
SA Simulated Annealing
SLP Programação linear sequencial
SQP Programacao quadrática sequencial
WWO Water Wave Optimization
tp Tamanho da população
Tinicial Temperatura inicial
Tfinal Temperatura final
npmax Número de perturbações na mesma temperatura
L Comprimento do elemento
δ Deslocamento nos nós
σ Tensões do elemento
ρ Densidade do material
d Vetor dos deslocamentos nodais
f Frequência natural da estrutura
c Energia de deformação
fv Fração de volume
E Modulo de elasticidade
K Matriz de rigidez
u, v Deslocamento nas direções X e Y
U Energia de deformação
ν Coeficiente de Poisson
ε Vetor de deformações elásticas
C Matriz constitutiva
Ω Volume do elemento
Ф Matriz de transformação entre coordenadas nodais e coordenadas Strain
Gradient
ε, Vetor gradiente de deformação
T Matriz de transformação entre gradientes de deformações e deformações
elásticas
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO .............................................................................................................. 16
1.1 OBJETIVOS .............................................................................................................. 18
1.1.1 Objetivo Geral .................................................................................................... 18
1.1.2 Objetivos Específicos ......................................................................................... 18
1.2 MOTIVAÇÃO ........................................................................................................... 18
1.3 ESCOPO DO TRABALHO ....................................................................................... 19
1.4 ESTRUTURA DO TRABALHO .............................................................................. 19
1.5 TRABALHOS PRODUZIDOS PELA PESQUISA .................................................. 19
2 OTIMIZAÇÃO ESTRUTURAL ................................................................................... 21
3 ALGORITMO SIMULATED ANNEALING MODIFICADO (ASAM) .................... 25
3.1 EXPLORAÇÃO PRELIMINAR ............................................................................... 27
3.2 PASSO DE BUSCA .................................................................................................. 28
3.3 PROBABILIDADE DE ACEITAÇÃO ..................................................................... 28
4 ALGORITMO SIMULATED ANNEALING MODIFICADO PARA PROJETO
ÓTIMO DE TRELIÇAS COM RESTRIÇÕES DE TENSÕES E DESLOCAMENTOS31
4.1 INTRODUÇÃO ......................................................................................................... 31
4.2 FORMULAÇÃO DO PROBLEMA DE OTIMIZAÇÃO ......................................... 32
4.3 PROBLEMAS E DISCUSSÕES ............................................................................... 33
4.3.1 Treliça plana de 10 barras ................................................................................... 34
4.3.2 Treliça plana de 52 barras ................................................................................... 45
4.3.3 Treliça plana de 200 barras ................................................................................. 49
4.3.4 Treliça espacial de 25 barras .............................................................................. 54
4.3.5 Treliça espacial de 72 barras .............................................................................. 61
5 OTIMIZAÇÃO DIMENSIONAL E DE FORMA DE TRELIÇAS COM
RESTRIÇÕES DE FREQUÊNCIA NATURAIS USANDO O ALGORITMO
SIMULATED ANNEALING MODIFICADO ...................................................................... 68
5.1 INTRODUÇÃO ......................................................................................................... 68
5.2 FORMULAÇÃO DO PROBLEMA DE OTIMIZAÇÃO ESTRUTURAL .............. 69
5.3 PROBLEMAS E DISCUSSÕES ............................................................................... 70
5.3.1 Treliça plana de 10 barras ................................................................................... 71
5.3.2 Treliça plana de 200 barras ................................................................................. 73
5.3.3 Treliça espacial de 72 barras .............................................................................. 77
5.3.4 Treliça espacial de 120 barras ............................................................................ 80
5.3.5 Treliça plana de 37 barras ................................................................................... 83
5.3.6 Treliça espacial de 52 barras .............................................................................. 85
6 EXPORTANDO CONCEITOS DE OTIMIZAÇÃO DE ONDAS DE ÁGUA PARA
O ALGORITMO SIMULATED ANNEALING MODIFICADO PARA OTIMIZAÇÃO
DIMENSIONAL DE TRELIÇAS COM RESTRIÇÕES DE FREQUÊNCIA NATURAIS
88
6.1 INTRODUÇÃO ......................................................................................................... 88
6.2 MELHORIA NO ASAM ........................................................................................... 89
6.3 FORMULAÇÃO DO PROBLEMA DE OTIMIZAÇÃO ESTRUTURAL .............. 90
6.4 PROBLEMAS E DISCUSSÕES ............................................................................... 91
6.4.1 Treliça plana de 10 barras ................................................................................... 91
6.4.2 Treliça plana de 200 barras ................................................................................. 93
6.4.3 Treliça espacial de 72 barras .............................................................................. 95
6.4.4 Treliça espacial de 120 barras ............................................................................ 97
7 OTIMIZAÇÃO TOPOLÓGICA DE ESTRUTURAS CONTÍNUAS
EMPREGANDO ALGORITMO SIMULATED ANNEALING MODIFICADO E
ELEMENTOS FINITOS NA NOTAÇÃO STRAIN GRADIENT .................................... 100
7.1 INTRODUÇÃO ....................................................................................................... 100
7.2 FORMULAÇÃO DO PROBLEMA DE OT ........................................................... 103
7.3 DESENVOLVIMENTO DA NOTAÇÃO STRAIN GRADIENT (NSG) ................ 103
7.4 PROBLEMAS E DISCUSSÕES ............................................................................. 107
7.4.1 Viga biapoiada .................................................................................................. 108
7.4.2 Viga em balanço ............................................................................................... 111
7.4.3 Viga em balanço com duas cargas .................................................................... 112
8 CONCLUSÕES, CONTRIBUIÇÕES E TRABALHOS FUTUROS ....................... 115
8.1 CONCLUSÕES ....................................................................................................... 115
8.2 CONTRIBUIÇÕES ................................................................................................. 116
8.3 TRABALHOS FUTUROS ...................................................................................... 116
REFERÊNCIAS ................................................................................................................... 118
16
1 INTRODUÇÃO
A ação de fazer o melhor ou mais efetivo uso de uma situação ou recurso é chamada de
otimização. A importância da otimização está aumentando permanentemente no mundo atual
devido às limitações de recursos disponíveis e ao aumento da população humana. Os
engenheiros sempre se esforçam para projetar sistemas estruturais eficientes, que devem ser tão
econômicos quanto possível, porém fortes o suficiente para suportar os requisitos funcionais
mais exigentes que surgem durante sua vida útil. A abordagem tradicional de projeto estrutural
de tentativa e erro não é suficiente para alcançar projetos que satisfaçam os critérios econômicos
e de segurança simultaneamente. A otimização oferece uma técnica para resolver esse tipo de
problema.
O termo "otimização" refere-se ao estudo de problemas nos quais se busca minimizar ou
maximizar uma função escolhendo sistematicamente os valores das variáveis dentro de um
conjunto permitido. Por um lado, uma quantidade de pesquisas foi conduzida nessa área de
conhecimento, na esperança de desenvolver algoritmos de otimização eficazes e eficientes. Por
outro lado, a aplicação dos algoritmos existentes a projetos reais tem sido o foco de muitos
estudos.
Os problemas de otimização são estudados em diferentes campos e as características do
problema precisam ser identificadas para obter uma solução ótima. Essas características são as
seguintes: os parâmetros do problema, que podem ser contínuos ou discretos; as funções
objetivo e as restrições do problema. No final, um otimizador adequado deve ser escolhido e
empregado para resolver o problema.
A Otimização Estrutural (OE) visa projetar estruturas sob certas restrições para alcançar
um melhor comportamento (HARE; NUTINI; TESFAMARIAM, 2013). Devido aos seus
benefícios, este campo recebeu considerável atenção de muitos engenheiros e pesquisadores
durante as últimas décadas.
No passado, as técnicas de otimização mais usadas eram os algoritmos baseados em
gradientes que utilizavam informações de gradiente para explorar o espaço de busca próximo à
solução inicial. Em geral, os métodos baseados em gradiente convergem mais rapidamente em
comparação com abordagens estocásticas. No entanto, a aquisição de informação de gradiente
pode ser dispendiosa ou mesmo impossível de obter. Além disso, um bom ponto de partida é
essencial para uma execução bem-sucedida desses métodos. Em muitos problemas de
otimização, devem ser levadas em consideração regiões não viáveis, limites estabelecidos e
17
funções não convexas. Como resultado, esses problemas de otimização não convexa não podem
ser resolvidos facilmente por esses métodos. Várias abordagens típicas destas técnicas podem
ser listadas como: critério de otimalidade (CO) (KHOT et al., 1979; KO; WANG, 1991),
programação linear sequencial (SLP) (LAMBERTI; PAPPALETTERE, 2000, 2004),
programação quadrática sequencial (SQP) (SPELLUCCI, 1998) e método de força (KAVEH;
KALATJARI, 2003; SEDAGHATI, 2005), dentre outras.
Por outro lado, outros tipos de métodos de otimização, conhecidos como metaheurísticas
(MHs), não sofrem as restrições acima mencionadas. As MHs são métodos de busca e
otimização muito adequadas e eficazes para encontrar a solução de problemas de otimização
combinatória. Não requerem a informação de gradiente ou a convexidade da função objetivo e
restrições, e usam regras de transição probabilísticas, não regras determinísticas. Em vez disso,
baseiam-se em estratégias de busca estocástica que as tornam eficazes e versáteis para combater
a explosão combinatória das possibilidades. As propriedades fundamentais dos algoritmos MHs
são que eles imitam certas estratégias tomadas da natureza, cultura social, biologia ou leis da
física que direcionam o processo de busca. Seu objetivo é explorar com eficiência o espaço de
busca usando esses mecanismos de controle, a fim de encontrar soluções quase ótimas, se não
o ótimo global. Os algoritmos MHs são técnicas aproximadas, e não há prova matemática de
que a solução ótima obtida é a global. No entanto, não são específicos de um dado problema e
provaram ser muito eficientes e robustos na obtenção de soluções de problemas práticos de
otimização do projeto de engenharia com variáveis de projeto contínuas e/ou discretas (YANG;
KOZIEL, 2011). Os trabalhos apresentados por de Boussaïd et al. (2013), Mahdavi et al. (2015),
Salcedo-Sanz (2016) e Dokeroglu et al. (2019) fornecem uma revisão detalhada das principais
metaheurísticas descritas na literatura.
Os métodos MHs são geralmente considerados como algoritmos iterativos, em que cada
iteração envolve a busca por uma nova solução que pode ser melhor do que a melhor solução
encontrada anteriormente. Depois de um tempo razoável quando o algoritmo é finalizado, a
solução que ele fornece é a melhor que foi encontrada durante todas as iterações. Neste processo
de geração iterativo, a metaheurística combina inteligentemente conceitos diferentes para
explorar (busca global ‒ exploration) e intensificar (busca local ‒ exploitation) o espaço de
busca. A diversificação (exploração) assegura, geralmente por randomização, uma exploração
eficiente do espaço de busca, enquanto que a intensificação visa identificar a melhor solução e
selecionar durante o processo uma sucessão de melhores soluções (CHENG et al., 2016).
18
Em geral, os problemas de OE são não lineares com uma geometria complexa do domínio
factível, conformada pelas restrições do projeto. Além disso, o número de variáveis de projeto,
o tamanho do espaço de busca e o número de restrições são fatores que influenciam no tempo
que os projetistas precisam para encontrar estruturas otimizadas (LI; MA, 2015). Por isto os
métodos MHs se apresentam como opções promissoras para solucionar o problema de OE,
como mostrado neste trabalho.
1.1 OBJETIVOS
1.1.1 Objetivo Geral
O objetivo geral desta tese é validar e aprimorar a metaheurística Algoritmo Simulated
Annealing Modificado (ASAM) na resolução de problemas de otimização estrutural.
1.1.2 Objetivos Específicos
• Analisar problemas de otimização dimensional de treliças (minimização de peso)
sujeitas a restrições de tensões e deslocamentos.
• Analisar problemas de otimização dimensional e de forma de treliças (minimização de
peso) sujeitas a restrições de múltiplas frequências naturais.
• Analisar problemas de otimização topológica de estruturas planas em forma de viga
empregando elementos finitos desenvolvidos no campo da Notação Strain Gradient.
1.2 MOTIVAÇÃO
Os projetos de engenharia têm a crescente necessidade de otimização com o objetivo de
obter um melhor comportamento de um dado sistema. Por outro lado, em geral, esse tipo de
problemas apresenta espaços de busca multidimensionais e elevado número de restrições, sendo
necessária uma poderosa ferramenta de otimização. Por tais razões, uma das motivações deste
trabalho está em aplicar o ASAM, para resolver problemas de OE.
Com relação aos problemas de otimização topológica, esta tese introduz, pela primeira
vez, o uso de elementos finitos desenvolvidos na Notação Strain Gradient (NSG) para resolver
esse tipo de problemas. A NSG, uma notação fisicamente interpretável, permite corrigir os erros
de modelagem que contaminam as expressões polinomiais causando cisalhamento parasítico.
Por fim, de acordo com o teorema No Free Lunch (WOLPERT; MACREADY, 1997),
pode-se afirmar que não é possível desenvolver uma estratégia geral para resolver diferentes
19
tipos de problemas de maneira igualmente eficiente. Por outro lado, a literatura carece de
métodos eficientes para melhorar a velocidade de convergência e a explotação dos algoritmos
(TEJANI et al., 2018). Nesse contexto, surge a necessidade de desenvolver novos algoritmo de
otimização. Isso motivou a propor uma versão melhorada do ASAM. O algoritmo acopla
conceitos da metaheurística Water Wave Optimization e é aplicado na resolução de problemas
de OE.
1.3 ESCOPO DO TRABALHO
Os algoritmos implementados neste trabalho podem ser usados para otimizar estruturas
com diferentes restrições. As estruturas treliçadas analisadas neste trabalho foram tomadas da
literatura e são chamadas de problemas de referência. Nos problemas de otimização topológica,
as análises foram feitas com elementos finitos retangulares planos no regime elástico. A
validação dos algoritmos é realizada por meio do confronto com dados encontrados na
literatura.
1.4 ESTRUTURA DO TRABALHO
Esta tese está baseada nos artigos que foram publicados a partir dos resultados obtidos
nesta pesquisa. O trabalho está dividido em 8 capítulos, incluindo a presente introdução. O
Capítulo 2 faz uma breve introdução à Otimização Estrutural. O Capítulo 3 apresenta as
formulações da metaheurística usada neste trabalho. No Capítulo 4 é apresentada a
implementação e validação do ASAM para resolver problemas de otimização dimensional em
treliças com restrições de tensões e deslocamentos. O Capítulo 5 apresenta a implementação e
validação do ASAM na resolução de problemas de otimização dimensional e de forma de
treliças com restrições de frequências naturais. No Capítulo 6 é proposto o aprimoramento do
ASAM e a sua aplicação na resolução de problemas de otimização de treliças com restrições de
frequências naturais. No Capítulo 7 é apresentada a aplicação do ASAM para resolver
problemas de otimização topológica empregando elementos finitos desenvolvidos na Notação
Strain Gradient. O Capítulo 8 apresenta as conclusões, contribuições e trabalhos futuros.
1.5 TRABALHOS PRODUZIDOS PELA PESQUISA
• MILLAN-PARAMO, Carlos; ABDALLA FILHO. João Elias, Exporting water wave
optimization concepts to modified simulated annealing algorithm for size optimization
20
of truss structures with natural frequency constraints, Engineering with Computers
(2019).
• MILLAN-PARAMO, Carlos; ABDALLA FILHO, João Elias. Size and shape
optimization of truss structures with natural frequency constraints using modified
simulated annealing algorithm, Arabian Journal for Science and Engineering (2019).
• MILLAN-PARAMO, Carlos; ABDALLA FILHO, João Elias. Modified simulated
annealing algorithm for optimal design of steel structures, Revista Internacional de
Métodos Numéricos para Cálculo y Diseño en Ingeniería. Vol. 35, (1), (2019).
• MILLAN-PARAMO, Carlos; ABDALLA FILHO, João Elias. Topology optimization
of continuum structures using Modified Simulated Annealing Algorithm and finite
elements developed in Strain Gradient Notation. (em elaboração)
21
2 OTIMIZAÇÃO ESTRUTURAL
A OE ganhou importância quando Schmit (1960) combinou pela primeira vez a análise
de elementos finitos com métodos de otimização numérica não linear para criar o que ele
chamou de Síntese Estrutural (Structural Synthesis). Este novo ramo da engenharia estrutural
formula o problema do projeto estrutural como um problema de tomada de decisão. A tomada
de decisão é um processo cognitivo em que se tenta selecionar a melhor ação entre várias
alternativas. A pesquisa operacional é uma disciplina pós-Segunda Guerra Mundial que faz
uso de modelagem matemática, simulação, análise estatística e otimização matemática para
determinar as soluções de problemas de tomada de decisão.
Os problemas de tomada de decisão podem ser modelados de forma a minimizar ou
maximizar uma função objetivo que representa a qualidade da solução sob determinadas
limitações. As variáveis de decisão representam a quantidade de um recurso a ser usado ou
o nível de alguma atividade. Existem sempre certas limitações, as quais são chamadas de
restrições, que se devem satisfazer quando se obtém a solução de um problema de tomada de
decisão. A solução ideal de um problema de tomada de decisão identifica os melhores valores
das variáveis de decisão, de modo que a função objetivo no problema de tomada de decisão
atinja seu valor extremo e as restrições do problema sejam todas satisfeitas.
A aplicação dos métodos operacionais ao projeto estrutural causou o surgimento da
OE. Na OE os problemas podem ser classificados dependendo da natureza das variáveis do
projeto (Figura 1):
• Otimização Dimensional (OD), onde as variáveis de busca são definidas como
parâmetros dimensionais do domínio, como por exemplo áreas de seções transversais,
densidades, dentre outros.
• Otimização de Forma (OF), onde as variáveis do projeto influenciam na geometria
do domínio, como por exemplo coordenadas nodais.
• Otimização Topológica (OT), onde o objetivo é retirar material de regiões
subutilizadas de um dado domínio cheio, de modo a aumentar a eficiência do modelo
resultante.
22
Figura 1 ‒ Tipos de otimização estrutural: (a) dimensional, (b) de forma e (c) topológica.
(a)
(b)
(c)
Fonte: Bendsøe e Sigmund (2004)
Na prática, normalmente os projetistas usam o método de tentativa e erro para encontrar
as seções necessárias para os membros das estruturas. Particularmente, se a estrutura é
estaticamente indeterminada, o projetista tem que selecionar arbitrariamente as propriedades
da seção transversal dos membros para que a resposta da estrutura possa ser determinada
através da análise estrutural. Isso se deve ao fato de que os métodos disponíveis para análise
estrutural necessitam de dados para as propriedades de seção transversal de seus membros.
Esta não é uma tarefa fácil, particularmente para aqueles que são inexperientes no projeto de
estruturas.
Outra dificuldade surge quando é necessário atribuir as seções transversais a partir de
um conjunto discreto de seções disponíveis no mercado. Existem muitas combinações de
seções disponíveis, cada uma das quais pode ser atribuída a um grupo de membros da
estrutura. Pode ser possível eliminar algumas das combinações usando a experiência prática
e a intuição do projetista. No entanto, essa redução será bastante pequena e o grande número
restante de combinações exigirá um grande tempo de computação para determinar a
combinação ideal de seções. Deve ser lembrado que para estruturas de grande escala, o
número de grupos de membros aumenta ainda mais, o que significa que o número total de
testes é tão grande que nenhum projetista tem tempo para avaliar todas essas combinações
possíveis. Em geral, o que é realizado é que, após alguns testes, é adotada a combinação que
fornece um projeto viável de acordo com as disposições do código de projeto. É evidente que
essa combinação geralmente não é o projeto mais conveniente, desde o ponto de vista ótimo.
23
Portanto, a aparência da OE foi bem recebida pelos projetistas de estruturas porque permite
formular o processo de projeto como um problema de tomada de decisão e obter uma solução
ótima.
Tradicionalmente, vários métodos matemáticos, tais como programação linear, não
linear e dinâmica, foram desenvolvidos para resolver problemas de otimização estrutural
(SAKA; GEEM, 2013). No entanto, esses métodos representam uma abordagem limitada e
nenhum método é completamente eficiente e robusto para todos os tipos de problemas de
otimização. Além disso, esses métodos tornam-se ineficientes ao procurar o projeto ótimo de
estruturas grandes devido à grande quantidade de cálculos de gradiente necessários.
Geralmente, essas técnicas buscam uma solução na vizinhança do ponto de partida. Se houver
mais de um ótimo local no problema, o resultado dependerá da seleção do ponto inicial e a
solução não corresponderá necessariamente ao ótimo global. Além disso, quando a função
objetivo e as restrições têm picos múltiplos ou pronunciados, a busca por gradientes se torna
difícil e instável. Uma revisão de artigos publicados que faz uso de técnicas de programação
matemática na literatura de otimização estrutural revela que estes só poderiam tratar
pequenas estruturas (SAKA; GEEM, 2013).
As desvantagens computacionais dos métodos matemáticos (isto é, derivadas
complexas, sensibilidade a valores iniciais e a grande quantidade de memória de enumeração
requerida) forçaram os pesquisadores a confiar nos algoritmos MHs graças à capacidade que
eles têm de explorar eficientemente o espaço de busca para encontrar soluções ótimas ou
quase ótimas.
Embora várias MHs tenham sido desenvolvidas nas últimas décadas, a maioria delas
são baseadas em populações, passam por várias etapas e apresentam diversos parâmetros que
as tornam difíceis de entender e codificar. Além disso, existem os mesmos procedimentos
nas MHs recentes que as tornam semelhantes. Portanto, os pesquisadores geralmente ficam
confusos ao selecionar uma metaheurística e não conseguem encontrar nenhuma
superioridade. Por esse motivo, os pesquisadores ainda usam os algoritmos antigos em vez
dos recentes. Por outro lado, de acordo com o teorema No Free Lunch (NFL) (TEJANI et al.,
2018) no campo da otimização, não há algoritmo para resolver todos os problemas de
24
otimização. Isso indica que um novo algoritmo adaptado tem potencial para resolver um
grupo de problemas (por exemplo, projeto de estruturas) melhor do que os algoritmos atuais.
Ao contrário dos trabalhos anteriores, este estudo tem como objetivo implementar e
adaptar um algoritmo de solução única chamado de Algoritmo Simulated Annealing
Modificado (ASAM), recentemente proposto por Millán et al. (2014), para resolver
problemas de OE. Além disso, este estudo propõe um algoritmo para melhorar a velocidade
de convergência do ASAM e sua aplicação na resolução de problemas de OE. No Capítulo
3, o ASAM será explicado em detalhe junto com os parâmetros que o controlam.
25
3 ALGORITMO SIMULATED ANNEALING MODIFICADO (ASAM)
Antes de resumir as características do ASAM, o funcionamento do Simulated
Annealing (SA) (KIRKPATRICK et al., 1983) é brevemente descrito. Os conceitos básicos
de SA são originários do processo de resfriamento de metais fundidos através do
recozimento. Um recozimento ocorre quando um metal é aquecido a um estado líquido com
uma temperatura alta e depois é resfriado lentamente. Em alta temperatura, os átomos no
metal fundido são distribuídos aleatoriamente em um estado quase líquido e podem se mover
livremente um em relação ao outro, mas, à medida que a temperatura é reduzida
gradualmente, o movimento dos átomos é restrito e ficam dispostos em um estado de baixa
energia, formando um cristal. O estado de energia dos cristais formados depende da taxa de
resfriamento. Se a temperatura for reduzida rapidamente, o estado cristalino pode não ser
alcançado e, em vez disso, o sistema pode terminar em um estado policristalino, que pode ter
um estado de energia mais alto que o estado cristalino. Portanto, para alcançar o estado
absoluto de energia máxima, a temperatura precisa ser reduzida a uma taxa lenta.
O algoritmo SA imita o processo de recozimento para encontrar o valor mínimo da
função em um problema de otimização. A função objetivo corresponde à função energia, que
deve ser minimizada por uma série de movimentos aprimorados. A programação de
resfriamento é simulada através do controle de um parâmetro semelhante à temperatura T
introduzido no conceito da função de distribuição de probabilidade Boltzmann.
Um algoritmo típico de SA é descrito a seguir. Um único estado vizinho da solução
atual S é gerado aleatoriamente em cada iteração. A diferença (Δf) entre a qualidade da nova
solução S' e a qualidade da solução atual S é calculada para avaliar a aceitação desta nova
solução S', por meio da equação (3.1):
∆f = f(S′) − f(S) (3.1)
Em um problema de minimização, se o valor de Δf for menor que 0, a nova solução S'
será aceita automaticamente e poderá substituir S. Caso contrário, a aceitação da nova
solução S' depende da probabilidade estabelecida pelo critério de Boltzmann
(KIRKPATRICK et al., 1983), que é calculada pela equação (3.2):
26
p = exp (−∆f
T). (3.2)
Para calcular a probabilidade, um parâmetro chamado Temperatura (T) é usado. Como
a temperatura diminui à medida que o processo avança, há uma probabilidade maior de
aceitar novas soluções nas etapas iniciais. Essa probabilidade diminui ao longo do processo
e, finalmente, atinge um ponto (quando a temperatura está próxima de 0), na qual apenas os
movimentos que melhoram a função objetivo são aceitos. O pseudocódigo do SA é o
seguinte:
Definir a temperatura inicial (Tinicial)
Definir a temperatura final (Tfinal)
Definir o número máximo de perturbações na mesma temperatura
(npmax)
Gerar Solução Inicial (S) escolhida aleatoriamente
T=Tinicial
Enquanto (T>Tfinal) // Ciclo de temperatura
Para np=1 a npmax // Ciclo de Metropolis
Gerar S' escolhido aleatoriamente
Obter diferença (Δf) entre S' e S
Se (Δf<0) então
Aceitar S'
Senão
Probabilidade de Boltzmann, p=exp(-Δf/T)
Se (P> random (0, 1)),
Aceitar S'
fim se
fim se
terminar para
Diminuir T pela função de resfriamento Tk+1=Tk·α
terminar enquanto
Mostrar melhor solução (Sbest)
Quando existem funções altamente modais e não-convexas, a geração dos estados
(aleatoriamente) gera tempos de busca mais longos e um alto custo computacional para o
algoritmo. Além disso, a probabilidade de aceitação de uma solução pior está em um
intervalo entre 0 e 1, o que faz com que nas temperaturas iniciais o algoritmo aceite muitas
soluções de menor qualidade, aumentando o risco de ficar preso em um ótimo local e que o
algoritmo apresente uma taxa de convergência lenta.
27
Portanto, o ASAM proposto por Millán et al. (2014) apresenta três modificações que
permitem que o algoritmo tenha um equilíbrio entre exploração (diversificação) e explotação
(intensificação). Primeiro, uma exploração preliminar é realizada para gerar o estado inicial.
Logo, a transição do estado inicial para o estado vizinho é feita por um passo de busca.
Finalmente, o intervalo de probabilidade de aceitar uma solução pior é reduzido.
3.1 EXPLORAÇÃO PRELIMINAR
Nesta fase, o algoritmo executa uma varredura em todo o espaço de busca (Figura 2) e
é dado pela seguinte matriz:
XPxN = IPxNXmin + randPxN(Xmax − Xmin), (3.3)
onde, P é o número de pontos (estados) desejados no espaço de busca; N é o número de
dimensões (variáveis) do problema; I é uma matriz unitária de tamanho PxN; Xmin é o limite
inferior do problema; Xmax é o limite superior do problema e randPxN é uma matriz PxN de
números gerados com distribuição uniforme no intervalo [0, 1].
Figura 2 ‒ Exploração no espaço de busca (Schwefel Function)
Fonte: Autor
Para iniciar o processo de otimização com ASAM, todos os pontos gerados com a
equação (3.3) são avaliados na função objetivo do problema e aquele com o valor mais baixo
(no caso de procurar o valor mínimo da função) é escolhido como ponto inicial da busca.
28
3.2 PASSO DE BUSCA
A partir do ponto inicial determinado na etapa anterior, um passo de busca é gerado
para determinar o estado do vizinho. Este passo depende de um raio de ação (R) que diminui
gradualmente à medida que a temperatura do sistema diminui (Figura 3). Isto significa que
quando o algoritmo está a uma determinada temperatura, com o raio de ação definido pela
equação (3.4) para essa temperatura, a transição do ponto inicial para o novo ponto (passo de
busca) é feita adicionando ao ponto inicial números aleatórios que estão entre [-R, R]. Isso
permite que o algoritmo realize uma varredura global em altas temperaturas e uma varredura
local em baixas temperaturas, fornecendo um equilíbrio entre a diversificação e a
intensificação.
Ri+1 = Ri ∙ α, (3.4)
onde Ri é o raio inicial do ciclo e α é o coeficiente de redução do raio.
Figura 3 ‒ Passo de busca
Fonte: Autor
3.3 PROBABILIDADE DE ACEITAÇÃO
Neste algoritmo, a probabilidade de aceitação de uma solução pior (estado) é dada pela
equação (3.5):
X2
X1
Ri
Ri+1
29
P =1
1 + exp (∆fT ). (3.5)
Esta probabilidade está em um intervalo entre 0 e ½, o que permite que o algoritmo tenha um
intervalo mais baixo de aceitação de soluções piores.
Estas 3 modificações têm como objetivo melhorar a exploração inicial, permitir um
equilíbrio entre a exploração inicial e final, e controlar a convergência na fase final da busca.
Em resumo, o algoritmo ASAM tem 4 parâmetros que devem ser definidos: tamanho da
população para a exploração preliminar; temperatura inicial (Tinicial); temperatura final (Tfinal)
e número de perturbações na mesma temperatura (npmax). O pseudocódigo do ASAM é o
seguinte e a Figura 4 mostra o diagrama de fluxo:
Definir a temperatura inicial (Tinicial)
Definir a temperatura final (Tfinal)
Definir o número máximo de perturbações na mesma temperatura (npmax)
Gerar Solução Inicial (S) por equação (3.3)
T=Tinicial
Enquanto (T>Tfinal) // Ciclo de temperatura
Para np=1 a npmax // Ciclo de Metropolis
Gerar S' escolhido por equação (3.4)
Obter diferença (Δf) entre S' e S
Se (Δf<0) então
Aceitar S'
Senão
Probabilidade de Boltzmann, p=1/(1+(exp(Δf/T)) equação (3.5)
Se (P> random (0, 1)),
Aceitar S'
fim se
fim se
terminar para
Diminuir T pela função de resfriamento Tk+1=Tk·α
terminar enquanto
Mostrar melhor solução (Sbest)
30
Figura 4 ‒ Diagrama de fluxo ASAM
Inicio
Definir parâmetros do ASAM
tp; npmax; Tinicial ; Tfinal
Gerar solução inicial S ‒ Eq. (3.3)
Gerar nova solução S’ ‒ Eq. (3.4)
S’ < S
=1
1+ ∆ ‒ Eq. (3.5)
Gerar r entre [0,1) aleatoriamente
com distribuição uniforme
S = S’
r < P
np = npmax
Diminuir a Temperatura
T < Tfinal
Fim
Sim
Sim
Não
Não
NãoSim
Não
Sim
Fonte: Autor
31
4 ALGORITMO SIMULATED ANNEALING MODIFICADO PARA PROJETO
ÓTIMO DE TRELIÇAS COM RESTRIÇÕES DE TENSÕES E
DESLOCAMENTOS
4.1 INTRODUÇÃO
A OE visa projetar estruturas sob certas restrições para obter um melhor
comportamento. Devido a seus benefícios, esse campo recebeu atenção considerável de
muitos pesquisadores nas últimas décadas.
Um grande número de técnicas de otimização foi proposto e aplicado com sucesso. Em
geral, essas técnicas podem ser categorizadas em dois principais grupos a: (i) métodos
baseados em gradiente e (ii) métodos não baseados em gradiente. Várias abordagens típicas
do primeiro grupo podem ser listadas como critério de otimalidade (CO) (KHOT et al., 1979),
programação linear sequencial (SLP) (LAMBERTI; PAPPALETTERE, 2000), programação
quadrática sequencial (SQP) (SEDAGHATI, 2005) e método de força (FARSHI; ALINIA-
ZIAZI, 2010). Embora a taxa de convergência dessas abordagens seja bastante rápida, um
requisito de análises de sensibilidade das funções objetivo e restrições é sempre necessário.
Seu desempenho em análises matemáticas é caro e complexo, até impossível em muitos
casos. Além disso, as soluções obtidas geralmente ficam presas nas regiões locais, pois a
capacidade de busca se concentra apenas nas informações derivadas fornecidas nas análises
de sensibilidade. Para superar as limitações acima, métodos não baseados em gradiente no
segundo grupo, também conhecidos como abordagens MHs, foram desenvolvidos.
As primeiras MHs de otimização usadas na OD de treliça e ainda são amplamente
utilizados foram os Algoritmos Genéticos (AG) com os trabalhos de Rajeev e
Krishnamoorthy (1992) e Adeli e Cheng (1993) e SA com os trabalhos de Balling (1991) e
Bennage e Dhingra (1995). Na Tabela 1 estão listados os trabalhos mais relevantes da
literatura em que MHs são utilizadas para resolver este tipo de problemas e que tem relação
direta com o contexto deste capítulo. Em todos estes trabalhos, a principal tarefa é encontrar
uma seção transversal ótima dos elementos, minimizando o peso da estrutura.
32
Tabela 1 ‒ A lista dos principais trabalhos na OD com restrições de tensões e deslocamentos
Autor Método
Schutte e Groenwold (2003) –
Perez e Behdinan (2007) Particle Swarm Optimization (PSO)
Camp e Bichon (2004) Ant Colony Optimization (ACO)
Lee e Geem (2004) Harmony Search (HS)
Camp (2007) Big Bang–Big Crunch (BB–BC)
Sabour et al. (2011) Imperialist competitive ant colony algorithm (ICACO)
Sonmez (2011a) – Sonmez
(2011b) Artificial Bee Colony (ABC)
Degertekin (2012) Efficient Harmony Search (EHS) - Self Adaptive Harmony Search
Algorithm (SAHS)
Sadollah et al. (2012) Mine Blast Algorithm (MBA)
Degertekin e Hayalioglu (2013) Teaching-Learning-Based Optimization (TLBO)
Camp e Farshchin (2014) Modified Teaching-Learning-Based Optimization (MTLBO)
Bekdaş et al. (2015) Flower Pollination Algorithm (FPA)
Kaveh e Bakhshpoori (2016a) –
Kaveh e Bakhshpoori (2016b) Water Evaporation Optimization (WEO)
Cheng e Prayogo (2014) Symbiotic Organisms Search (SOS)
Kaveh e Mahdavi (2014a) –
Kaveh e Mahdavi (2014b) Colliding Bodies Optimization (CBO)
Hasançebi e Azad (2015) Adaptive Dimensional Search (ADS)
Gholizadeh e Poorhoseini
(2015) Dolphin echolocation (DE)
Kaveh et al. (2015) Improved Magnetic Charged System Search (IMCSS)
Ho-Huu et al. (2016) Adaptive elitist Differential Evolution (aeDE)
Moez et al. (2016) Natural Forest Regeneration Algorithm (NFR)
Cheng et al. (2016) Hybrid Harmony Search (HHS)
Maheri e Talezadeh (2017) Enhanced Imperialist Competitive Algorithm (EICA)
Do e Lee (2017) Modified Symbiotic Organisms Search (mSOS)
Degertekin et al. (2017) Heat Transfer Search Algorithm (HTS)
Vezvari et al. (2018) Numbers Cup Optimization (NCO)
Jalili e Hosseinzadeh (2018) Hybrid Biogeography-Based Optimization (BBO-DE)
Le et al. (2019) Firefly Algorithm (FA)
Degertekin et al. (2019) Discrete advanced Jaya algorithm (DAJA)
Fonte: Autor
Neste capítulo, o ASAM é proposto, pela primeira vez, para resolver o problema de
OD de treliças com restrições de tensões e deslocamentos. Para mostrar a validade do
algoritmo, cinco problemas de otimização de treliça de referência (benchmark problems) são
considerados. Os resultados numéricos são comparados com os encontrados por outras
metaheurísticas da literatura especializada.
4.2 FORMULAÇÃO DO PROBLEMA DE OTIMIZAÇÃO
O objetivo é minimizar o peso da estrutura enquanto satisfaz algumas limitações de
tensões e deslocamentos. A formulação matemática desses problemas pode ser expressa da
seguinte maneira:
33
Minimizar: W(A) =∑AjLjρj
n
j=1
Sujeito a: {δmin ≤ δj ≤ δmax , j = 1,2, …m
σmin ≤ σj ≤ σmax , j = 1,2, … n
(4.1)
onde Aj é a área da seção transversal do elemento j; Lj é o comprimento do elemento j; ρj é
a densidade do material do elemento j; W(A) é o peso total da treliça; n é o número total de
elementos. O vetor A representa o vetor da seção transversal do elemento que pode ser
selecionado de um conjunto de variáveis discretas ou contínuas. δj é o deslocamento do nó j,
m é o número de nós; σj é a tensão (tração/compressão) que ocorre no elemento j. Os
subíndices “min” e “max” são os valores mínimo e máximo que as restrições podem atingir.
4.3 PROBLEMAS E DISCUSSÕES
Nesta seção, cinco problemas de referência de otimização de treliças são usados para
investigar o desempenho do ASAM. As propriedades do material, os limites das variáveis de
projeto e as restrições estruturais de cada problema são apresentados em cada descrição do
problema. O sistema de unidades utilizado é o mesmo da formulação original do problema,
para evitar erros de arredondamento durante as comparações. Cem execuções independentes
do algoritmo foram feitas para cada problema. Os resultados estatísticos são apresentados em
termos do melhor peso, peso médio, desvio padrão (DP) e número de iterações (NI); e são
comparados com as soluções de outros métodos para demonstrar a eficiência da presente
abordagem. O algoritmo e a análise das estruturas pelo método da rigidez direta são
codificados no programa Matlab e executados usando um sistema Intel Core i7-3630QM de
2,4 GHz com 8 GB de RAM.
Para todos os exemplos, o tamanho da população (exploração preliminar), a
temperatura inicial (Tinicial) e a temperatura final (Tfinal) são definidos como 200, 1 e 1x10-3,
respectivamente. A análise de sensibilidade do ASAM sobre esses parâmetros são
investigadas em Millan-Paramo (2018) e Millan et al. (2014). De acordo com Millan-Paramo
(2018), o número máximo de perturbações (npmax) na mesma temperatura pode ser escolhido
na faixa de 100 a 300. Neste estudo, o ASAM é usado considerando npmax como 230 para as
treliças de 10, 52, 25 e 72 barras e 300 para a treliça de 200 barras. Esses números de
34
perturbações foram obtidos neste trabalho após várias tentativas para encontrar um equilíbrio
entre precisão e custo computacional para cada um dos problemas. O processo iterativo é
finalizado quando o algoritmo atinge a temperatura final. O NI máximo é obtido
multiplicando os ciclos de temperatura pelo npmax. Todos os projetos obtidos pelo ASAM são
viáveis.
4.3.1 Treliça plana de 10 barras
A treliça plana de 10 barras (Figura 5) é um problema comum no campo da otimização
estrutural, sendo muito usado para verificar a eficiência de um novo algoritmo de otimização
proposto (KAVEH et al. 2015). Existem 10 variáveis de projeto neste exemplo e podem ser
selecionadas de 0,1 a 35,0 pol2. A densidade do material é de 0,1 lb/pol3 e o módulo de
elasticidade é de 10000 ksi. Os deslocamentos dos nós livres não devem exceder ±2 pol nas
direções vertical e horizontal. Além disso, as tensões admissíveis, tanto de tração como de
compressão, não devem exceder 25 ksi. Neste problema dois casos de carregamento são
considerados: Caso 1: P1=100 kips e P2=0; Caso 2: P1=150 kips e P2=50 kips.
Figura 5 ‒ Treliça plana de 10 barras
Fonte: Degertekin (2012)
As Tabelas 2 e 3 apresentam uma comparação com os resultados de estudos anteriores
para o Caso 1 e Caso 2, respectivamente. No Caso 1 (Tabela 2), os resultados mostram que
35
o peso do projeto ótimo obtido com ASAM (5060,87 lb) é menor do que outros métodos
(5062,39 lb para EHS, 5061,42 para SAHS, 5086,90 para MCSS, 5064,60 para IMCSS,
5063,58 para NFR e 5065,99 lb para NCO). Além disso, o ASAM requer menos NI que o
HS, EHS, TLBO, MCSS, IMCSS, NFR e NCO (7130 para ASAM, 20000 iterações para HS,
9791 para EHS 16872 para TLBO, 8875 para MCSS, 8475 para IMCSS, 62950 para NFR e
8400 para NCO) para convergir à solução ótima. Em termos de estabilidade da solução, o
ASAM é mais estável que EHS, SAHS e TLBO com o menor DP (0,11 lb para ASAM, 1,98
lb para EHS, 0,71 lb para SAHS e 0,79 lb para TLBO).
No Caso 2 (Tabela 3), o peso obtido por ASAM foi de 4677,05 lb sendo apenas
superado pelo HS com um peso de 4668,81 lb. No entanto, ASAM precisou de menos NI
para conseguir o ótimo. (7130 iterações para ASAM e 15000 para iterações HS). A
velocidade de convergência do IMCSS e do NCO é mais rápida do que a do ASAM (6625
análises para IMCSS e 6510 para NCO), porém o ASAM tem um valor de DP de 0,95 lb, o
que mostra a estabilidade do algoritmo. A Figura 6 apresenta as curvas de convergência dos
melhores projetos alcançados com ASAM para cada caso. Os valores de deslocamento e
tensão obtidos pelo ASAM satisfazem todas as restrições permitidas, como mostram as
Figuras 7 e 8.
36
Tabela 2 ‒ Resultados de otimização obtidos para a treliça plana de 10 barras com variáveis contínuas (Caso 1)
Variáveis
(pol2)
Lee e Geem
(2004) Degertekin (2012)
Degertekin e
Hayalioglu
(2013)
Kaveh et al. (2015) Moez et al.
(2016)
Vezvari et
al. (2018) ASAM
HS EHS SAHS TLBO MCSS IMCSS NFR NCO
1 A1 30,150 30,208 30,394 30,429 29,577 30,026 30,6206 31,1567 30,451
2 A2 0,102 0,100 0,100 0,100 0,114 0,100 0,1058 0,1004 0,1000
3 A₃ 22,710 22,698 23,098 23,244 23,806 23,628 23,1368 22,3469 23,236
4 A4 15,270 15,275 15,491 15,368 15,888 15,973 15,3435 14,9622 15,262
5 A5 0,102 0,100 0,100 0,100 0,114 0,100 0,1017 0,1011 0,1000
6 A6 0,544 0,529 0,529 0,575 0,100 0,517 0,5517 0,4386 0,552
7 A7 7,541 7,558 7,488 7,440 8,605 7,457 7,5205 7,6323 7,452
8 A8 21,560 21,559 21,189 20,967 21,682 21,437 21,0745 21,6152 21,044
9 A9 21,450 21,491 21,342 21,533 20,303 20,744 21,3645 21,2733 21,522
10 A10 0,100 0,100 0,100 0,100 0,112 0,100 0,1 0,1 0,100
Peso (lb) 5057,88 5062,39 5061,42 5060,96 5086,90 5064,60 5063,58 5065,99 5060,87
Média (lb) – 5063,73 5061,95 5062,08 – – – – 5060,99
DP (lb) – 1,98 0,71 0,79 – – – – 0,11
NI 20000 9791 7081 16872 8875 8475 62950 8400 7130
Nota: 1 pol2=6,452 cm2; 1lb=4,45N.
Fonte: Autor
37
Tabela 3 ‒ Resultados de otimização obtidos para a treliça plana de 10 barras com variáveis contínuas (Caso 2)
Variáveis
(pol2)
Lee e Geem
(2004) Degertekin (2012)
Degertekin e
Hayalioglu
(2013)
Kaveh et al. (2015) Moez et al.
(2016)
Vezvari et
al. (2018) ASAM
HS EHS SAHS TLBO MCSS IMCSS NFR NCO
1 A1 23,25 23,589 23,525 23,524 22,863 23,299 23,33621 24,0446 23,493
2 A2 0,102 0,100 0,100 0,100 0,120 0,100 0,1 0,1026 0,100
3 A₃ 25,73 25,422 25,429 25,441 25,719 25,682 25,7048 25,5745 25,080
4 A4 14,51 14,488 14,488 14,479 15,312 14,510 14,5081 13,8881 14,312
5 A5 0,1 0,100 0,100 0,100 0,101 0,100 0,1 0,1030 0,100
6 A6 1,977 1,975 1,992 1,995 1,968 1,969 1,9698 1,9771 1,970
7 A7 12,21 12,362 12,352 12,334 12,310 12,149 12,2653 12,3192 12,434
8 A8 12,61 12,682 12,698 12,689 12,934 12,360 12,6900 12,6078 12,881
9 A9 20,36 20,322 20,341 20,354 19,906 20,869 20,3477 20,4504 20,450
10 A10 0,1 0,100 0,100 0,100 0,100 0,100 0,1 0,1012 0,100
Peso (lb) 4668,81 4679,02 4678,84 4678,31 4686,47 4679,15 4677,43 4680,23 4677,05
Média (lb) – 4681,61 4680,08 4680,12 – – – – 4680,33
DP (lb) – 2,51 1,89 1,02 – – – – 0,95
NI 15000 11402 7267 14857 7350 6625 108100 6510 7130
Nota: 1 pol2=6,452 cm2; 1lb=4,45N.
Fonte: Autor
38
Figura 6 ‒ Curva de convergência para a treliça plana de 10 barras com variáveis contínuas. (a) Caso 1,
(b) Caso 2
(a) Caso 1
(b) Caso 2
Fonte: Autor
5050
5070
5090
5110
0 5 10 15 20 25 30 35
Peso
(lb
)
Ciclos de temperatura
4676
4678
4680
4682
4684
4686
4688
4690
4692
0 5 10 15 20 25 30 35
Peso
(lb
)
Ciclos de temperatura
39
Figura 7 ‒ Valores de restrição de deslocamentos e tensões determinados no projeto ótimo obtido pelo
ASAM na treliça de 10 barras com variáveis contínuas (Caso 1). (a) Valores de restrição de
deslocamento, (b) Valores de restrição de tensão
(a) Valores de restrição de deslocamento
(b) Valores de restrição de tensão
Fonte: Autor
-3
-2
-1
0
1
2
3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Desloca
mento
(pol)
Número do nó
Deslocamento permitido
Deslocamento ótimo
-30
-20
-10
0
10
20
30
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Tensã
o (
ksi)
Número do elemento
Tensão permitida
Tensão ótima
40
Figura 8 ‒ Valores de restrição de deslocamentos e tensões determinados no projeto ótimo obtido pelo
ASAM na treliça de 10 barras com variáveis contínuas (Caso 2). (a) Valores de restrição de
deslocamento, (b) Valores de restrição de tensão
(a) Valores de restrição de deslocamento
(b) Valores de restrição de tensão
Fonte: Autor
-3
-2
-1
0
1
2
3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Desloca
mento
(pol)
Número do nó
Deslocamento permitido
Deslocamento ótimo
-30
-20
-10
0
10
20
30
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Tensã
o(k
si)
Número do elemento
Tensão permitida
Tensão ótima
41
Esta mesma treliça também tem sido otimizada usando variáveis discretas e com o
estado de carregamento do Caso 1. As variáveis discretas são selecionadas do conjunto
A=[1,62 - 1,80 - 1,99 - 2,13 - 2,38 - 2,62 - 2,63 - 2,88 - 2,93 - 3,09 - 3,13 - 3,38 - 3,47 - 3,55
- 3,63 - 3,84 - 3,87 - 3,88 - 4,18 - 4,22 - 4,49 - 4,59 - 4,80 - 4,97 - 5,12 - 5,74 - 7,22 - 7,97 -
11,50 - 13,50 - 13,90 - 14,20 - 15,50 - 16,00 - 16,90 - 18,80 - 19,90 - 22,00 - 22,90 - 26,50 -
30,00 - 33,50] in2.
Os melhores resultados do ASAM são comparados com os obtidos com outros
algoritmos e resumidos na Tabela 4. A partir desta tabela, pode ser visto que o peso ótimo
adquirido pelo ASAM (5490,74 lb) concorda bem com aqueles obtidos pelo TLBO, HHS,
aeDE, mSOS, FA, EF e EFA, enquanto o ASAM resulta em uma solução melhor que o
algoritmo MBA (5507,75 lb).
Considerando o NI, ASAM é mais eficaz que outros métodos (7280 para o mSOS, 7860
para o FA, 7980 para o EM e 7130 para ASAM). Embora a convergência do MBA, TLBO,
HHS, aeDE e EFA seja mais rápida que a do ASAM (3600 iterações para o MBA, 5183 para
TLBO, 3533 para o HHS, 2380 para o aeDE e 2050 para o EFA), o ASAM é mais estável
que estes algoritmos com um menor DP (1,32 lb para ASAM, 11,38 lb para MBA, 20,33 para
TLBO, 10,46 lb para HHS, 20,78 lb para aeDE e 18,37 para EFA).
A Figura 9 mostra a curva de convergência do melhor resultado obtido pelo ASAM
para este problema. Os valores de deslocamento e tensão obtidos pelo ASAM satisfazem
todas as restrições permitidas, como mostra a Figura 10.
42
Tabela 4 ‒ Resultados de otimização obtidos para a treliça plana de 10 barras com variáveis discretas
Variáveis
(pol2)
Sadollah et
al. (2012)
Camp e
Farshchin (2014)
Cheng et
al. (2016)
Ho-Huu et
al. (2016a)
Do e Lee
(2017) Le et al. (2019)
ASAM
MBA TLBO HHS aeDE mSOS FA EF EFA
1 A1 30 33,50 33,50 33,5 33,5 33,5 33,5 33,5 33,5
2 A2 1,62 1,62 1,62 1,62 1,62 1,62 1,62 1,62 1,62
3 A₃ 22,9 22,90 22,90 22,9 22,9 22,9 22,9 22,9 22,9
4 A4 16,9 14,20 14,20 14,2 14,2 14,2 14,2 14,2 14,2
5 A5 1,62 1,62 1,62 1,62 1,62 1,62 1,62 1,62 1,62
6 A6 1,62 1,62 1,62 1,62 1,62 1,62 1,62 1,62 1,62
7 A7 7,97 22,90 7,97 7,97 7,97 7,97 7,97 7,97 7,97
8 A8 22,9 7,97 22,90 22,9 22,9 22,9 22,9 22,9 22,9
9 A9 22,9 1,62 22,00 22,0 22,0 22,0 22,0 22,0 22,0
10 A10 1,62 22,00 1,62 1,62 1,62 1,62 1,62 1,62 1,62
Peso (lb) 5507,75 5490,74 5490,74 5490,74 5490,74 5490,74 5490,74 5490,74 5490,74
Média (lb) 5527,30 5503,21 5493,89 5502,62 5490,74 5536,94 5542,72 5528,23 5490,87
DP (lb) 11,38 20,33 10,46 20,78 0,00 34,03 52,38 18,37 1,32
NI 3600 5183 3533 2380 7280 7860 7980 2050 7130
Nota: 1 pol2=6,452 cm2; 1lb=4,45N.
Fonte: Autor
43
Figura 9 ‒ Curva de convergência para a treliça plana de 10 barras com variáveis discretas
Fonte: Autor
5450
5500
5550
5600
5650
5700
5750
5800
5850
0 5 10 15 20 25 30 35
Peso
(lb
)
Ciclos de temperatura
44
Figura 10 ‒ Valores de restrição de deslocamentos e tensões determinados no projeto ótimo obtido pelo
ASAM na treliça de 10 barras com variáveis discretas. (a) Valores de restrição de deslocamento, (b)
Valores de restrição de tensão
(a) Valores de restrição de deslocamento
(b) Valores de restrição de tensão
Fonte: Autor
-3
-2
-1
0
1
2
3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Desloca
mento
(pol)
Número do nó
Deslocamento permitido
Deslocamento ótimo
-30
-20
-10
0
10
20
30
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Tensã
o (
ksi)
Número do elemento
Tensão permitida
Tensão ótima
45
4.3.2 Treliça plana de 52 barras
Neste problema, todos os membros da estrutura da treliça, como mostrado na Figura
11, estão divididos em 12 grupos correspondentes a 12 variáveis de projeto, como segue: (1)
A1-A4, (2) A5-A10, (3) A11-A13, (4) A14-A17, (5) A18-A23, (6) A24-A26, (7) A27-A30, (8) A31-
A36, (9) A37-A39, (10) A40-A43, (11) A44-A49 e (12) A50-A52. O módulo de elasticidade e a
densidade do material são 2,07x105 MPa e 7860 kg/m3, respectivamente. A tensão permitida
nas barras é de ± 180 MPa. Esta estrutura é submetida às cargas de Px=100 kN e Py=200 kN
conforme identificado na Figura 11. As variáveis de projeto discretas são selecionadas do
código do ASIC, como mostrado na Tabela 5.
Figura 11 ‒ Treliça plana de 52 barras
Fonte: Le et al. (2019)
46
Tabela 5 ‒ Lista de áreas transversais disponíveis do código AISC
No, pol2 mm2 No, pol2 mm2 No, pol2 mm2 No, pol2 mm2
1 0,111 71,613 17 1,563 1008,385 33 3,840 2477,414 49 11,500 7419,340
2 0,141 90,968 18 1,620 1045,159 34 3,870 2496,769 50 13,500 8709,660
3 0,196 126,451 19 1,800 1161,288 35 3,880 2503,221 51 13,900 8967,724
4 0,250 161,290 20 1,990 1283,868 36 4,180 2696,769 52 14,200 9161,272
5 0,307 198,064 21 2,130 1374,191 37 4,220 2722,575 53 15,500 9999,980
6 0,391 252,258 22 2,380 1535,481 38 4,490 2896,768 54 16,000 10322,560
7 0,442 285,161 23 2,620 1690,319 39 4,590 2961,284 55 16,900 10903,204
8 0,563 363,225 24 2,630 1696,771 40 4,800 3096,768 56 18,800 12128,008
9 0,602 388,386 25 2,880 1858,061 41 4,970 3206,445 57 19,900 12,838,684
10 0,766 494,193 26 2,930 1890,319 42 5,120 3303,219 58 22,000 14193,520
11 0,785 506,451 27 3,090 1993,544 43 5,740 3703,218 59 22,900 14774,164
12 0,994 641,289 28 3,130 2019,351 44 7,220 4658,055 60 24,500 15806,420
13 1,000 645,160 29 3,380 2180,641 45 7,970 5141,925 61 26,500 17096,740
14 1,228 792,256 30 3,470 2238,705 46 8,530 5503,215 62 28,000 18064,480
15 1,266 816,773 31 3,550 2290,318 47 9,300 5999,988 63 30,000 19354,800
16 1,457 939,998 32 3,630 2341,931 48 10,850 6999,986 64 33,500 21612,860
Fonte: Le et al. (2019)
A comparação dos resultados ótimos para este exemplo é fornecida na Tabela 6. Nesta
tabela, pode-se perceber que o peso estrutural ótimo obtido pelo ASAM (1902,605 kg) é o
mesmo com aqueles de outros métodos, como MBA, WCA, IMBA, HHS, aeDE e EFA. O
melhor peso é 1899,654 kg, que é encontrado pelo mSOS; no entanto, este resultado viola
ligeiramente a restrição de tensão em algumas barras.
Como visto, a velocidade de convergência (NI) do MBA, WCA, aeDE e o EFA é mais
rápida do que a do ASAM (7130 para ASAM, 5450 para o MBA, 7100 para WCA, 4750,
3720 para o aeDE e 2710 para o EFA), mas o ASAM é sempre mais estável que que estes
com um melhor valor do DP (1,71 kg para ASAM, 4,09 kg para MBA, 7.09 kg para WCA,
6,68 kg para aeDE e 3,05 kg para EFA).
Os algoritmos IMBS e HHS têm uma velocidade de convergência mais rápida e maior
estabilidade do que o ASAM, no entanto, deve ser destacada a capacidade do algoritmo para
resolver este problema que apresenta múltiplos ótimos locais. A Figura 12 mostra a curva de
convergência do melhor resultado obtido pelo ASAM para este problema. Os valores de
tensões obtidos pelo ASAM satisfazem todas as restrições permitidas, como mostra a Figura
13.
47
Tabela 6 ‒ Resultados de otimização obtidos para a treliça plana de 52 barras
Variáveis
(mm2)
Sadollah et
al. (2012) Sadollah et al. (2015)
Cheng et al.
(2016)
Ho-Huu et
al. (2016a)
Do e Lee
(2017)
Le et al.
(2019) ASAM
MBA WCA IMBA HHS aeDE mSOS EFA
1 A1-A4 4658,06 4658,055 4658,055 4658,055 4658,055 4658,06 4658,055 4658,055
2 A5-A10 1161,29 1161,288 1161,288 1161,288 1161,288 1161,29 1161,288 1161,288
3 A11-A13 494,193 494,193 494,193 494,193 494,193 494,193 494,193 494,193
4 A14-A17 3303,22 3303,219 3303,219 3303,219 3303,219 3303,22 3303,219 3303,219
5 A24-A26 940,00 939,998 939,998 939,998 939,998 940,00 939,998 939,998
6 A24-A26 494,193 494,193 494,193 494,193 494,193 506,451 494,193 494,193
7 A27-A30 2283,71 2238,705 2238,705 2238,705 2238,705 2283,71 2238,705 2238,705
8 A31-A36 1008,39 1008,385 1008,385 1008,385 1008,385 1008,39 1008,385 1008,385
9 A37-A39 494,193 494,193 494,193 494,193 494,193 388,386 494,193 494,193
10 A40-A43 1283,87 1283,868 1283,868 1283,868 1283,868 1283,87 1283,868 1283,868
11 A44-A49 1161,29 1161,288 1161,288 1161,288 1161,288 1161,29 1161,288 1161,288
12 A50-A52 494,193 494,193 494,193 494,193 494,193 506,451 494,193 494,193
Peso (kg) 1902,605 1902,605 1902,605 1902,605 1902,605 1899,654 1902,605 1902,605
Média (kg) 1906,076 1909,856 1903,076 1904,587 1906,735 1901,003 1904,775 1903,48
DP (kg) 4.09 7,09 1,13 1,31 6,68 1,56 3,05 1,71
NI 5450 7100 4750 4523 3720 7950 2710 7130
Fonte: Autor
48
Figura 12 ‒ Curva de convergência para a treliça plana de 52 barras
Fonte: Autor
Figura 13 ‒ Valores de restrição de tensões determinados no projeto ótimo obtido pelo ASAM na treliça
de 52 barras
Fonte: Autor
1800
2300
2800
3300
3800
0 5 10 15 20 25 30 35
Peso
(kg)
Ciclos de temperatura
-200
-170
-140
-110
-80
-50
-20
10
40
70
100
130
160
190
1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52
Tensã
o(M
Pa)
Número do elemento
Tensão permitida
Tensão ótima
49
4.3.3 Treliça plana de 200 barras
Na Figura 14 é apresentada a treliça que consiste em 200 barras. A densidade do
material é de 0,283 lb/pol3 e o módulo de elasticidade é de 30 ksi. As tensões em todos os
membros da treliça não podem exceder ±10 ksi. Esta estrutura está sujeita a três condições
de carga, como segue: (1) 1 kip no eixo X positivo nos nós 1, 6, 15, 20, 29, 43, 48 57, 62 e
71; (2) 10 kips no eixo Y negativo nos nós 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 14, 15, 16, 17, 18, 19,
20, 22, 24, 26, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 36, 38, 40, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 50, 52, 54, 56,
58, 59, 60, 61, 62, 64, 66, 68, 70, 71, 72, 73, 74 e 75, e (3) casos 1 e 2 ao mesmo tempo.
Os 200 membros estruturais desta estrutura espacial são categorizados em 29 grupos
descritos na Tabela 7. Valores discretos de áreas transversais foram selecionados a partir do
seguinte conjunto: D = [0,1 - 0,347 - 0,44 - 0,539 - 0,954 - 1,081 - 1,174 - 1,333 - 1,488 -
1,764 - 2,142 - 2,697 - 2,8 - 3,131 - 3,565 - 3,813 - 4,805 - 5,952 - 6,572 - 7,192 - 8,525 - 9,3
- 10,85 - 13,33 - 14,29 - 17,17 - 19,18 - 23,68 - 28,08 - 33,7] (in2).
A Tabela 8 compara os resultados obtidos pelo ASAM e outros métodos de otimização.
Pode-se observar que o resultado obtido pelo ASAM (27540,79 lb) é menor que outros
métodos (27901,58 para DE, 27858,50 para aeDE, 27544,19 para SOS, 27544,19 para mSOS
e 28250,57 para FA). Além disso, o ASAM requer menos NI do que o DE, SOS, mSOS e
FA (9300 para ASAM, 41475 para o DE, 12325 para aeDE, 300000 para SOS, 20700 para
mSOS e 20220 para FA). Observe que o ASAM ainda é mais estável do que o HHS, aeDE,
FA e EFA com o menor desvio padrão (1149,91 lb para HHS, 481,59 lb para aeDE, 1150,25
lb para FA, 749,08 lb para EFA e 462,36 para ASAM). Os algoritmos HHS e EFA
apresentam melhores projetos do que o ASAM (27163,59 lb para HHS e 27421,94 lb para
EFA) mas o ASAM é mais estável que estes algoritmos. Neste problema, o algoritmo DAJA
foi o otimizador mais eficiente com um peso de projeto ótimo de 27282, 57 lb e DP de 282,88
lb. A Figura 15 mostra a curva de convergência do melhor resultado obtido pelo ASAM para
este problema. Os valores de tensões obtidos pelo ASAM satisfazem todas as restrições
permitidas, como mostra a Figura 16.
50
Figura 14 ‒ Treliça plana de 200 barras
Fonte: Le et al. (2019)
51
Tabela 7 ‒ Variáveis de projeto no problema da treliça plana de 200 barras.
Variáveis Número de membros da treliça
A1 1, 2, 3, 4
A2 5, 8, 11, 14, 17
A3 19, 20, 21, 22, 23, 24
A4 18, 25, 56, 63, 94, 101, 132, 139, 170, 177
A5 26, 29, 32, 35, 38
A6 6, 7, 9, 10, 12, 13, 15, 16, 27, 28, 30, 31, 33, 34, 36, 37
A7 39, 40, 41, 42
A8 43, 46, 49, 52, 55
A9 57, 58, 59, 60, 61, 62
A10 64, 67, 70, 73, 76
A11 44, 45, 47, 48, 50, 51, 53, 54, 65, 66, 68, 69, 71, 72, 74, 75
A12 77, 78, 79, 80
A13 81, 84, 87, 90, 93
A14 95, 96, 97, 98, 99, 100
A15 102, 105, 108, 111, 114
A16 82, 83, 85, 86, 88, 89, 91 92, 103, 104, 106, 107, 109, 110, 112, 113
A17 115, 116, 117, 118
A18 119, 122, 125, 128, 131
A19 133, 134, 135, 136, 137, 138
A20 140, 143, 146, 149, 152
A21 120, 121, 123, 124, 129, 127, 129, 130, 141, 142, 144, 145, 147, 148, 150, 151
A22 153, 154, 155, 156
A23 157, 160, 163, 166, 169
A24 171, 172, 173, 174, 175, 176
A25 178, 181, 184, 187, 190
A26 158, 159, 161, 162, 164, 165, 167, 168, 179, 180, 182, 183, 185, 186, 188, 189
A27 191, 192, 193, 194
A28 195, 197, 198, 200
A29 196, 199
Fonte: Le et al. (2019)
52
Tabela 8 ‒ Resultados de otimização obtidos para a treliça plana de 200 barras
Variáveis
(pol2)
Cheng et
al. (2016) Ho-Huu et al. (2016a) Do e Lee (2017)
Degertekin et
al. (2019) Le et al. (2019)
ASAM
HHS DE aeDE SOS mSOS DAJA FA EFA
1 A1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1
2 A2 0,954 0,954 0,954 0,954 0,954 0,954 0,954 0,954 0,954
3 A3 0,1 0,347 0,347 0,1 0,1 0,347 0,954 0,347 0,1
4 A4 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1
5 A5 2,142 2,142 2,142 2,142 2,142 2,142 2,142 2,142 2,142
6 A6 0,347 0,539 0,347 0,347 0,347 0,347 0,44 0,347 0,347
7 A7 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1
8 A8 3,131 3,565 3,131 3,131 3,131 3,131 3,565 3,131 3,131
9 A9 0,1 0,347 0,347 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1
10 A10 4,805 4,805 4,805 4,805 4,805 4,805 4,805 4,805 4,805
11 A11 0,44 0,539 0,539 0,44 0,44 0,44 0,44 0,44 0,44
12 A12 0,347 0,1 0,347 0,1 0,1 0,347 0,1 0,347 0,1
13 A13 5,952 5,952 5,952 5,952 5,952 5,952 5,952 5,952 5,952
14 A14 0,347 0,347 0,1 0,1 0,1 0,1 0,954 0,347 0,1
15 A15 6,572 6,572 6,572 6,572 6,572 6,572 7,192 6,572 6,572
16 A16 0,954 0,954 0,954 0,954 0,954 0,954 0,954 0,954 0,954
17 A17 0,347 0,347 0,44 0,347 0,347 0,1 0,1 0,347 0,347
18 A18 8,525 8,525 8,525 8,525 8,525 8,525 8,525 8,525 8,525
19 A19 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,539 0,1 0,1 0,1
20 A20 9,3 9,3 9,3 9,3 9,3 9,3 10,85 9,3 9,3
21 A21 1,081 0,954 0,954 0,954 0,954 0,954 0,954 0,954 0,954
22 A22 0,347 1,333 1,081 1,174 1,174 0,1 0,954 1,333 1,174
23 A23 13,33 13,33 13,33 13,33 13,33 13,33 13,33 13,33 13,33
24 A24 0,954 0,347 0,539 0,44 0,44 0,1 0,954 0,347 0,44
25 A25 13,33 13,33 14,29 13,33 13,33 13,33 13,33 13,33 13,33
26 A26 1,764 2,142 2,142 2,142 2,142 0,954 2,142 2,142 2,142
27 A27 3,813 3,813 3,813 3,813 3,813 5,952 3,565 3,813 3,813
28 A28 8,525 8,525 8,525 8,525 8,525 10,85 8,525 8,525 8,525
29 A29 17,17 17,17 17,17 17,17 17,17 14,29 17,17 17,17 17,17
Peso (lb) 27163,59 27901,58 27858,50 27544,19 27544,19 27282,57 28250,57 27421,94 27540,79
Média (lb) 28159,59 28470,11 28425,87 27768,29 27629,82 27878,27 29871,91 28434,60 28422,49
DP (lb) 1149,91 457,47 481,59 297,12 90,25 282,88 1150,24 749,08 462,36
NI 5000 41475 12325 300000 20700 4693 20220 6110 9300
Fonte: Autor
53
Figura 15 ‒ Curva de convergência para a treliça plana de 200 barras
Fonte: Autor
Figura 16 ‒ Valores de restrição de tensões determinados no projeto ótimo obtido pelo ASAM na treliça
de 200 barras
Fonte: Autor
20000
40000
60000
80000
100000
120000
140000
160000
180000
0 5 10 15 20 25 30 35
Peso
(lb
)
Ciclos de temperatura
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
1 21 41 61 81 101 121 141 161 181
Tensã
o(k
si)
Número do elemento
Tensão permitida
Tensão ótima C1
Tensão ótima C2
Tensão ótima C3
54
4.3.4 Treliça espacial de 25 barras
A Figura 17 mostra a geometria da estrutura a ser analisada. O intervalo das áreas de
seção transversal é de 0,01 a 3,4 pol2, A densidade do material é de 0,1 lb/pol3 e o módulo
de elasticidade é de 10000 ksi. A estrutura está sujeita às duas condições de carga
independentes listadas na Tabela 9.
Os deslocamentos dos nós livres não devem exceder ±0,35 pol em todas as direções.
Por causa da simetria estrutural, as barras são divididas em oito grupos e os valores de tensão
permitidos para todos os grupos estão listados na Tabela 10.
Figura 17 ‒ Treliça espacial de 25 barras
Fonte: Degertekin et al. (2017)
Tabela 9 ‒ Condições de carregamento para a treliça espacial de 25 barras (variáveis contínuas).
Condição 1 (kips) Condição 2 (kips)
Nó Fx Fy Fz Fx Fy Fz
1 0,0 20,0 -5,0 1,0 10,0 -5,0
2 0,0 -20,0 -5,0 0,0 10,0 -5,0
3 0,0 0,0 0,0 0,5 0,0 0,0
6 0,0 0,0 0,0 0,5 0,0 0,0
Fonte: Degertekin et al. (2017)
55
Tabela 10 ‒ Tensões admissíveis nos grupos de elementos para a treliça espacial de 25 barras
Variáveis (pol2) Compressão admissível (ksi) Tensão admissível (ksi) A1 35,092 40,0 A2-A5 11,590 40,0 A6-A9 17,305 40,0 A10-A11 35,092 40,0 A12-A13 35,092 40,0 A14-A17 6,759 40,0 A18-A21 6,959 40,0 A22-A25 11,082 40,0
Fonte: Degertekin et al. (2017)
Os resultados obtidos pelo ASAM e outras metaheurísticas de otimização são
comparados na Tabela 11. ASAM encontrou um projeto ótimo com um peso de 545,18 lb
semelhante aos fornecidos na literatura. No entanto, o NI requeridos pelo ASAM para obter
a solução ótima é o menor entre os algoritmos metaheurísticos comparados neste estudo
(300000 para ABC-AP, 10391 para EHS, 9051 para SAHS, 15318 para TLBO, 13326 para
HPSSO, 19750 para WEO, 7653 para HTS, 13600 para BBO-DE e 7130 para ASAM). O DP
obtido com ASAM mostra que é mais estável em comparação com os outros algoritmos
metaheurísticos. WEO e BBO-DE alcançaram um DP menor do que o ASAM (0,08 e 0,36
lb versus 0,41 lb), mas com um custo computacional consideravelmente maior (19750 e
13600 NI versus 7130 NI). Por outro lado, este problema também foi resolvido na literatura
utilizando variáveis discretas. As variáveis são selecionadas do conjunto A={0,1‒0,2‒0,3‒
0,4‒0,5‒0,6‒0,7‒0,8‒0,9‒1,0‒1,1‒1,2‒1,3‒1,4‒1,5‒1,6‒1,7‒1,8‒1,9‒2,0‒2,1‒2,2‒2,3‒2,4‒
2,6‒2,8‒3,0‒3,2‒3,4} pol2. As cargas aplicadas à estrutura estão listadas na Tabela 12. As
tensões admissíveis de tração e compressão são de ± 40 ksi. A comparação entre os resultados
obtidos pelo ASAM e outros algoritmos está resumida na Tabela 13. O peso ótimo adquirido
pelo ASAM concorda bem com os dos outros com um valor de 484,5 lb. Da tabela, pode ser
visto que o ASAM requer apenas 7130 NI para obter a solução ótima, enquanto o HPSO e
SOS requerem 25000 e 78300 NI, respectivamente. Além disso, o ASAM é mais estável que
o aeDE e o HHS com um melhor valor de desvio padrão (0,18 lb para ASAM, 0,27 para
aeDE e 0,37 para HHS). O melhor DP para este problema foi o obtido com a metaheurística
DAJA (0,0 lb) e além disso, precisou de 511 NI para convergir ao ótimo. As Figuras 18 e 19
mostram a curva de convergência do melhor resultado obtido pelo ASAM para cada
problema. As Figuras 20 e 21 mostram que nenhuma restrição de deslocamento e tensão dada
pelo ASAM é violada.
56
Tabela 11 ‒ Resultados de otimização obtidos para a treliça espacial de 25 barras com variáveis contínuas
Variáveis
(pol2)
Sonmez
(2011b) Degertekin (2012)
Degertekin
e Hayalioglu
(2013)
Kaveh et al.
(2014)
Kaveh e
Bakhshpoori
(2016b)
Degertekin
et al. (2017)
Jalili e
Hosseinzadeh
(2018) ASAM
ABC EHS SAHS TLBO HPSSO WEO HTS BBO-DE
1 A1 0,011 0,010 0,010 0,0100 0,0100 0,0100 0,0100 0,0101 0.0100
2 A2-A5 1,979 1,995 2,074 2,0712 1,9907 1,9184 2,0702 2,0256 1.9381
3 A6-A9 3,003 2,980 2,961 2,9570 2,9881 3,0023 2,97003 3,0560 2.9989
4 A10-A11 0,010 0,010 0,010 0,0100 0,0100 0,0100 0,0100 0,0100 0.0100
5 A12-A13 0,010 0,010 0,010 0,0100 0,0100 0,0100 0,0100 0,0100 0.0100
6 A14-A17 0,690 0,696 0,691 0,6891 0,6824 0,6827 0,6707 0,6839 0.6844
7 A18-A21 1,679 1,679 1,617 1,6209 1,6764 1,6778 1,6171 1,6126 1.6778
8 A22-A25 2,652 2,652 2,674 2,6768 2,6656 2,6612 2,6981 2,6602 2.6600
Peso (lb) 545,19 545,49 545,12 545,09 545,16 545,16 545,13 545,09 545,17
Média (lb) – 546,52 545,94 545,41 545,55 545,22 545,17 545,34 545,41
DP (lb) – 1,05 0,91 0,42 0,43 0,08 0,476 0,36 0,41
NI 300000 10391 9051 15318 13326 19750 7653 13600 7130
Nota: 1 pol2=6,452 cm2; 1lb=4,45N.
Fonte: Autor
57
Tabela 12 ‒ Condição de carregamento para a treliça espacial de 25 barras (variáveis discretas)
Cargas (kips)
Nó Fx Fy Fz
1 1,0 -10,0 -10,0
2 0,0 -10,0 -10,0
3 0,5 0,0 0,0
6 0,6 0,0 0,0
Fonte: Do e Lee (2017)
Tabela 13 ‒ Resultados de otimização obtidos para a treliça espacial de 25 barras com variáveis discretas
Variáveis
(pol2)
Li et al.
(2009)
Sadollah et
al. (2012)
Camp e
Farshchin
(2014)
Ho-Huu et
al. (2016a)
Cheng et al.
(2016) Do e Lee (2017)
Degertekin
et al. (2019) ASAM
HPSO MBA TLBO aeDE HHS SOS mSOS DAJA
1 A1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0.1
2 A2-A5 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0.3
3 A6-A9 3,4 3,4 3,4 3,4 3,4 3,4 3,4 3,4 3.4
4 A10-A11 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0.1
5 A12-A13 2,1 2,1 2,1 2,1 2,1 2,1 2,1 2,1 2.1
6 A14-A17 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1.0
7 A18-A21 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0.5
8 A22-A25 3,4 3,4 3,4 3,4 3,4 3,4 3,4 3,4 3.4
Peso (lb) 484,85 484,85 484,85 484,85 484,85 484,85 484,85 484,85 484,85
Média (lb) – 484,89 484,91 485,01 484,95 484,87 484,86 484,85 484,51
DP (lb) – 0,07 0,17 0,27 0,37 0,06 0,04 0,0 0,08
NI 25000 2150 4910 1440 5000 78300 4200 511 7130
Nota: 1 pol2=6,452 cm2; 1lb=4,45N.
Fonte: Autor
58
Figura 18 ‒ Curva de convergência para a treliça espacial de 25 barras com variáveis contínuas
Fonte: Autor
Figura 19 ‒ Curva de convergência para a treliça espacial de 25 barras com variáveis discretas
Fonte: Autor
540
545
550
555
560
565
570
575
580
0 5 10 15 20 25 30 35
Peso
(lb
)
Ciclos de temperatura
480
485
490
495
500
505
510
0 5 10 15 20 25 30 35
Peso
(lb
)
Ciclos de temperatura
59
Figura 20 ‒ Valores de restrição de deslocamentos e tensões determinados no projeto ótimo obtido pelo
ASAM na treliça de 25 barras com variáveis contínuas. (a) Valores de restrição de deslocamento, (b)
Valores de restrição de tensão
(a) Valores de restrição de deslocamento
(b) Valores de restrição de tensão
Fonte: Autor
-0,5
0,0
0,5
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29
Desloca
mento
(pol)
Número do nó
Deslocamento permitido
Deslocamento ótimo C1
Deslocamento ótimo C2
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
50
1 5 9 13 17 21 25
Tensã
o (
ksi)
Número do elemento
Tensão permitida
Tensão ótima C1
Tensão ótima C2
60
Figura 21 ‒ Valores de restrição de deslocamentos e tensões determinados no projeto ótimo obtido pelo
ASAM na treliça de 25 barras com variáveis discretas. (a) Valores de restrição de deslocamento, (b)
Valores de restrição de tensão
(a) Valores de restrição de deslocamento
(b) Valores de restrição de tensão
Fonte: Autor
-0,5
0,0
0,5
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29
Desloca
mento
(pol)
Número do nó
Deslocamento permitido
Deslocamento ótimo
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
50
1 5 9 13 17 21 25
Tensã
o(k
si)
Número do elemento
Tensão permitida
Tensão ótima
61
4.3.5 Treliça espacial de 72 barras
Este problema, mostrado na Figura 22 também foi resolvido usando variáveis contínuas
e discretas. Para o caso de variáveis contínuas, o módulo de elasticidades é de 10000 ksi e a
densidade do material dos membros da treliça é igual a 0,1 lb/pol3. Os membros da treliça
são classificados em 16 grupos de elementos por causa da simetria estrutural: (1) A1-A4, (2)
A5-A12, (3) A13-A16, (4) A17-A18, (5) A19-A22, (6) A23-A30, (7) A31-A34, (8) A35-A36, (9) A37-
A40, (10) A41-A48, (11) A49-A52, (12) A53-A54, (13) A55-A58, (14) A59-A66, (15) A67-A70, (16)
A71-A72.
A estrutura está sujeita às duas condições de carga independentes listadas na Tabela
14. Os membros da estrutura estão sujeitos à limitação de tensão de ± 25 ksi. Além disso, os
deslocamentos nodais de todos os nós livres são limitados a ± 0,25 pol. Os valores máximo
e mínimo permitidos para as áreas de seção transversal são de 0,1 e 3,4 pol2, respectivamente.
Figura 22 ‒ Treliça espacial de 72 barras
Fonte: Jalili e Hosseinzadeh (2018)
62
Tabela 14 ‒ Condições de carregamento para a treliça espacial de 72 barras
Condição 1 (kips) Condição 2 (kips)
Nó Fx Fy Fz Fx Fy Fz
17 5,0 5,0 -5,0 0,0 0,0 -5,0
18 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 -5,0
19 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 -5,0
20 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 -5,0
Fonte: Jalili e Hosseinzadeh (2018)
Os resultados de comparação do ASAM com os métodos de metaheurística existentes
são apresentados na Tabela 15. Pode-se observar que o melhor projeto obtido pelo ASAM
(379.69 lb) é semelhante aos algoritmos metaheurísticos considerados neste estudo. No
entanto, o ASAM requer menos NI para convergir ao ótimo (7130 NI para ASAM, 13200 NI
para HBB-BC, 15044 NI para EHS, 13742 NI para SAHS, 19778 NI para TLBO, 15600 NI
para CBO, 13166 NI para HTS e 11600 NI para BBO-DE). Ao examinar a Tabela 15 em
termos de resultados estatísticos, observa-se que os valores do peso médio e desvio padrão
obtidos pelo ASAM são menores que HBB-BC, EHS, SAHS, TLBO e HTS. Embora o
ASAM tenha um desvio padrão ligeiramente maior que o método CBO e o BBO-DE é mais
eficiente que estes em termos de esforço computacional.
Para o caso de variáveis discretas, as áreas transversais devem ser selecionadas a partir
do conjunto discreto disponível listado na Tabela 5. A Tabela 16 compara os resultados
obtidos pelo algoritmo ASAM e outros métodos de otimização. Pode-se observar que o
melhor resultado obtido pelo ASAM (389,33 lb) é o mesmo que o do WCA, MBBO, aeDE,
BBO-DE e EFA, mas menor que o do MBA (390,73 lb) e CBO (391,07 lb). Por outro lado,
a velocidade de convergência do CBO, WCA, aeDE, BBO-DE e EFA é mais rápida que a do
ASAM (7130 NI para ASAM, 4500 NI para CBO, 4600 NI para WCA, 4160 NI para aeDE,
5480 NI para BBO-DE e 2700 NI para EFA), mas o ASAM é mais estável que estes com um
melhor valor de DP (1,02 lb para ASAM, 24,8 lb para CBO, 1,43 lb para WCA, 1,16 lb para
aeDE, 1,43 lb para BBO-DE e 1,38 lb para EFA). Finalmente, observa-se que os valores do
peso médio e desvio padrão obtidos pelo ASAM são menores que os demais algoritmos
listados, o que mostra a robustez do algoritmo. As Figuras 23 e 24 mostram a curva de
convergência do melhor resultado obtido pelo ASAM para este problema com variáveis
contínuas e discretas. As Figuras 25 e 26 mostram que os projetos obtidos pelo ASAM não
violam as restrições em nenhum dos dois problemas.
63
Tabela 15 ‒ Resultados de otimização obtidos para a treliça espacial de 72 barras com variáveis contínuas
Variáveis
(pol2)
Kaveh e
Talatahari
(2009c)
Degertekin (2012)
Degertekin e
Hayalioglu
(2013)
Kaveh e
Mahdavi
(2014b)
Degertekin et
al. (2017)
Jalili e
Hosseinzadeh
(2018) ASAM
HBB-BC EHS SAHS TLBO CBO HTS BBO-DE
1 A1-A4 1,9042 1,967 1,860 1,9064 1,9028 1,9001 1,9018 1.8807
2 A5-A12 0,5162 0,510 0,521 0,5061 0,5180 0,5131 0,5114 0.5142
3 A13-A16 0,100 0,100 0,100 0,100 0,1001 0,1000 0,1000 0.1000
4 A17-A18 0,100 0,100 0,100 0,100 0,1003 0,1000 0,1001 0.1000
5 A19-A22 1,2582 1,293 1,293 1,2617 1,2787 1,2456 1,2766 1.2711
6 A23-A30 0,5035 0,511 0,511 0,5111 0,5074 0,5080 0,5129 0.5151
7 A31-A34 0,100 0,100 0,100 0,100 0,1003 0,1000 0,1000 0.1000
8 A35-A36 0,100 0,100 0,100 0,100 0,1003 0,1000 0,1001 0.1000
9 A37-A40 0,5178 0,499 0,499 0,5317 0,5240 0,5550 0,5178 0.5317
10 A41-A48 0,5214 0,501 0,501 0,5159 0,5150 0,5227 0,5174 0.5134
11 A49-A52 0,100 0,100 0,100 0,100 0,1002 0,1000 0,1000 0.1000
12 A53-A54 0,1007 0,100 0,100 0,100 0,1015 0,1000 0,1000 0.1000
13 A55-A58 0,1566 0,160 0,168 0,1562 0,1564 0,1566 0,1567 0.1565
14 A59-A66 0,5421 0,522 0,584 0,5493 0,5494 0,5407 0,5428 0.5429
15 A67-A70 0,4132 0,478 0,433 0,4097 0,4029 0,4084 0,4055 0.4081
16 A71-A72 0,5756 0,591 0,520 0,5698 0,5504 0,5669 0,5711 0.5733
Peso (lb) 379,66 381,00 380,62 379,63 379,69 379,73 379,63 379,69
Média (lb) 381,85 383,50 382,42 380,20 379,90 382,26 379,89 379,95
DP (lb) 1,20 1,92 1,38 0,41 0,08 1,94 0,18 0,22
NI 13200 15044 13742 19778 15600 13166 11600 7130
Nota: 1 pol2=6,452 cm2; 1lb=4,45N.
Fonte: Autor
64
Tabela 16 ‒ Resultados de otimização obtidos para a treliça espacial de 72 barras com variáveis discretas.
Variáveis
(pol2)
Sadollah et al.
(2012)
Kaveh e
Mahdavi
(2014a)
Sadollah et al.
(2015)
Jalili et al.
(2016)
Ho-Huu et al.
(2016a)
Jalili e
Hosseinzadeh
(2018)
Le et al.
(2019) ASAM
MBA CBO WCA MBBO aeDE BBO-DE EFA
1 A1-A4 0,196 1,620 1,990 1,990 1,990 1,990 1,990 1,990
2 A5-A12 0,563 0,563 0,442 0,563 0,563 0,563 0,442 0,442
3 A13-A16 0,442 0,111 0,111 0,111 0,111 0,111 0,111 0,111
4 A17-A18 0,602 0,111 0,111 0,111 0,111 0,111 0,111 0,111
5 A19-A22 0,442 1,457 1,228 1,228 1,228 1,228 1,228 1,228
6 A23-A30 0,442 0,442 0,563 0,563 0,442 0,442 0,563 0,563
7 A31-A34 0,111 0,111 0,111 0,111 0,111 0,111 0,111 0,111
8 A35-A36 0,111 0,111 0,111 0,111 0,111 0,111 0,111 0,111
9 A37-A40 1,266 0,602 0,563 0,563 0,563 0,563 0,563 0,563
10 A41-A48 0,563 0,563 0,563 0,442 0,563 0,563 0,563 0,563
11 A49-A52 0,111 0,111 0,111 0,111 0,111 0,111 0,111 0,111
12 A53-A54 0,111 0,111 0,111 0,111 0,111 0,111 0,111 0,111
13 A55-A58 1,800 0,196 0,196 0,196 0,196 0,196 0,196 0,196
14 A59-A66 0,602 0,602 0,563 0,563 0,563 0,563 0,563 0,563
15 A67-A70 0,111 0,391 0,391 0,391 0,391 0,391 0,391 0,391
16 A71-A72 0,111 0,563 0,563 0,563 0,563 0,563 0,563 0,563
Peso (lb) 390,73 391,07 389,33 389,33 389,33 389,33 389,33 389,33
Média (lb) 395,43 403,71 389,94 390,78 390,91 390,62 391,376 390,45
DP (lb) 3,04 24,8 1,43 1,61 1,16 1,43 1,38 1,02
NI 11600 4500 4600 9600 4160 5840 2700 7130
Nota: 1 pol2=6,452 cm2; 1lb=4,45N.
Fonte: Autor
65
Figura 23 ‒ Curva de convergência para a treliça espacial de 72 barras com varieis contínuas
Fonte: Autor
Figura 24 ‒ Curva de convergência para a treliça espacial de 72 barras com varieis discretas
Fonte: Autor
375
380
385
390
395
400
0 5 10 15 20 25 30 35
Peso
(lb
)
Ciclos de temperatura
388
390
392
394
396
398
400
402
404
0 5 10 15 20 25 30 35
Peso
(lb
)
Ciclos de temperatura
66
Figura 25 ‒ Valores de restrição de deslocamentos e tensões determinados no projeto ótimo obtido pelo
ASAM na treliça de 72 barras com variáveis contínuas. (a) Valores de restrição de deslocamento, (b)
Valores de restrição de tensão
(a) Valores de restrição de deslocamento
(b) Valores de restrição de tensão
Fonte: Autor
-0,3
-0,2
-0,1
0,0
0,1
0,2
0,3
1 11 21 31 41 51
Desloca
mento
(pol)
Número do nó
Deslocamento permitido
Deslocamento ótimo C1
Deslocamento ótimo C2
-30
-20
-10
0
10
20
30
1 8 15 22 29 36 43 50 57 64 71
Tensã
o (
ksi)
Número do elemento
Tensão permitida
Tensão ótima C1
Tensão ótima C2
67
Figura 26 ‒ Valores de restrição de deslocamentos e tensões determinados no projeto ótimo obtido pelo
ASAM na treliça de 72 barras com variáveis discretas. (a) Valores de restrição de deslocamento, (b)
Valores de restrição de tensão
(a) Valores de restrição de deslocamento
(b) Valores de restrição de tensão
Fonte: Autor
-0,3
-0,2
-0,1
0,0
0,1
0,2
0,3
1 11 21 31 41 51
Desloca
mento
(pol)
Número do nó
Deslocamento permitido
Deslocamento ótimo C1
Deslocamento ótimo C2
-30
-20
-10
0
10
20
30
1 8 15 22 29 36 43 50 57 64 71
Tensã
o (
ksi)
Número do elemento
Tensão permitida
Tensão ótima C1
Tensão ótima C2
68
5 OTIMIZAÇÃO DIMENSIONAL E DE FORMA DE TRELIÇAS COM
RESTRIÇÕES DE FREQUÊNCIA NATURAIS USANDO O ALGORITMO
SIMULATED ANNEALING MODIFICADO
5.1 INTRODUÇÃO
As frequências naturais e os modos de vibração de uma estrutura são parâmetros
dinâmicos importantes que devem ser controlados para manter o comportamento estrutural
desejado (GRANDHI, 1993; ZUO et al., 2011). Estes parâmetros dependem principalmente
das configurações de massa (ou peso) e rigidez da estrutura. Desta forma, o problema de
otimização estrutural com restrições de frequência surge como um problema de engenharia.
Otimizar o peso de estruturas com restrições de frequência pode ser considerado um
problema difícil de resolver, pelo fato de que a redução de peso gera conflito com as
restrições de frequência (TALBI, 2009). Além disso, estes tipos de problemas representam
espaços de busca não lineares e não convexos com vários ótimos locais e são conhecidos
como um problema de otimização desafiador (GRANDHI, 1993). Portanto, abordagens
determinísticas são difíceis e demoradas para serem aplicadas a esses problemas de
otimização. Além disso, um bom ponto de partida é vital para esses métodos obterem
resultados bem-sucedidos. Sob tais circunstâncias, as metaheurísticas de otimização podem
servir como alternativas apropriadas devido à capacidade de pesquisar mínimos globais em
espaços modais e multidimensionais.
A otimização dimensional é um tipo fundamental de otimização de treliça, em que o
objetivo final é obter as melhores seções de barra, enquanto a otimização de forma trabalha
para encontrar as melhores posições nodais dos nós predefinidos da estrutura. O primeiro a
resolver esse problema foi Bellagamba e Yang (1981) e, desde então, vários pesquisadores
vêm introduzindo diferentes algoritmos de otimização, porém essa área de pesquisa ainda
não foi totalmente investigada até o momento. A Tabela 17 lista os trabalhos mais
importantes que envolvem métodos de otimização (programação matemática e
metaheurísticas de otimização) para resolver esse tipo problema.
69
Tabela 17 ‒ A lista dos principais trabalhos na otimização dimensional e de forma de treliças com
frequências naturais
Autor Método
Lin et al. (1982) Bi-factor algorithm based on the Kuhn-Tucker criteria
Grandhi e Venkayya (1988)
Wang et al. (2004) Optimality Criterion (OC)
Sedaghati et al. (2002) Sequential Quadratic Programming (SQP)
Lingyun et al. (2005) Niche Hybrid Parallel Genetic Algorithm (NHPGA)
Wei et al. (2011) Parallel Genetic Algorithm (PGA)
Gomes (2011) Particle Swarm Optimization (PSO)
Kaveh e Zolghadr (2011) Charged System Search (CSS)
Miguel e Fadel Miguel (2012) Harmony Search (HS)
Firefly Algorithm (FA)
Kaveh e Zolghadr (2012) Hybridization of the Charged System Search and the Big Bang-Big
Crunch algorithms (CSS-BBC)
Kaveh e Zolghadr (2014) Democratic Particle Swarm Optimization (DPSO)
Khatibinia e Naseralavi (2014) Orthogonal Multi-Gravitational Search Algorithm (OMGSA)
Kaveh e Ilchi Ghazaan (2015) Hybridization of the Particle Swarm Optimization with an Aging
Leader and Challengers (ALC-PSO and HALC-PSO)
Gonçalves et al. (2015) Search group algorithm (SGA)
Farshchin et al. (2016) School-Based Optimization (SBO)
Kaveh e Zolghadr (2017a) Tug of War Optimization (TWO)
Kaveh e Zolghadr (2017b) Cyclical Parthenogenesis Algorithm (CPA)
Kaveh e Ilchi Ghazaan (2017) Vibrating Particles System (VPS)
Ho-Huu et al. (2018) Novel Differential Evolution (ReDE)
Tejani et al. (2018) - Tejani et
al.(2016a) - Kumar et al. (2019) Symbiotic Organisms Search (SOS)
Lieu et al. (2018) Adaptive Hybrid Evolutionary firefly Algorithm (AHEFA)
Fonte: Autor
Neste capítulo, o ASAM é proposto para resolver o problema de otimização
dimensional e de forma de treliças com restrições de frequências naturais. Para mostrar a
validade do algoritmo, seis problemas de otimização de treliça de referência (benchmark
problems) com restrições de frequência são considerados. Os resultados numéricos são
comprados com os encontrados por outras metaheurísticas da literatura especializada.
5.2 FORMULAÇÃO DO PROBLEMA DE OTIMIZAÇÃO ESTRUTURAL
O objetivo do problema de otimização estrutural é minimizar o peso da treliça,
alcançando as coordenadas nodais ótimas e as áreas transversais ótimas dos elementos,
satisfazendo algumas restrições de frequências naturais. Todos os seis problemas de exemplo
resolvidos neste trabalho foram resolvidos anteriormente por outros autores e, portanto, são
considerados problemas de referência. Em todos esses problemas, as massas adicionadas são
massas externas que não são parte intrínseca da estrutura a ser otimizada (por exemplo, uma
torre de transmissão teria os efeitos de cabos e acessórios representados como massas
70
adicionadas). Portanto, essas massas não são parte integrante do peso da estrutura e não são
incluídas na formulação. A formulação matemática para esse problema pode ser expressa por
Encontrar, X = {A, NC}, onde A = {A1, A2, . . . , An} e NC = {NC1, NC2, . . . , NCm}
(5.1)
Minimizar W(X) =∑ρiAiLi
n
i=1
Sujeito a
{
fq − fq
min ≥ 0
fr − frmax ≤ 0
Aimin ≤ Ai ≤ Ai
max
NCjmin ≤ NCj ≤ NCj
max
onde W(X) é o peso total da treliça minimizada; n é o número total de membros da estrutura;
ρi, Ai e Li representam a densidade do material, a área da seção transversal e o comprimento
do membro i, respectivamente; NCj são as coordenadas nodais (xj, yj, zj) do nó j; fq e fr são as
frequências naturais da estrutura, respectivamente e os subíndices “max” e “min” denotam
os limites máximos e mínimos permitidos, respectivamente.
5.3 PROBLEMAS E DISCUSSÕES
Nesta seção, seis exemplos numéricos mais usados, incluindo quatro sobre otimização
dimensional (treliça plana de 10 barras, treliça plana de 200 barras, treliça espacial de 72
barras e cúpula de 120 barras) e os demais sobre otimização dimensional e de forma ( treliça
plana de 37 barras e cúpula de 52 barras) são explorados para avaliar a viabilidade e validade
do ASAM. Os principais dados de entrada dos problemas são apresentados na Tabela 18.
Cem execuções do algoritmo são feitas para cada problema devido à natureza estocástica das
metaheurísticas de otimização.
Para todos os exemplos, o tamanho da população (exploração preliminar), a
temperatura inicial (Tinicial) e a temperatura final (Tfinal) são definidos como 200, 1 e 1x10-3,
respectivamente. A análise de sensibilidade do ASAM sobre esses parâmetros são
investigadas em Millan-Paramo (2018) e Millan et al. (2014). De acordo com Millan-Paramo
(2018), o número máximo de perturbações (npmax) na mesma temperatura pode ser escolhido
na faixa de 100 a 300. Neste estudo, o ASAM é usado considerando npmax como 230 para a
treliça plana de 10 barras, treliça espacial de 72 barras e treliça espacial de 52 barras; 200
para treliça planar de 200 barras; e 100 para a treliça espacial de 120 barras e a treliça plana
71
de 37 barras. Esses números de perturbações foram obtidos neste trabalho após várias
tentativas para encontrar um equilíbrio entre precisão e custo computacional para cada um
dos problemas. Se 300 perturbações fossem usadas em todos os problemas, bons resultados
seriam garantidos, no entanto, sempre com um alto custo computacional. O processo iterativo
é finalizado quando o algoritmo atinge a temperatura final. O NI máximo é obtido
multiplicando os ciclos de temperatura pelo npmax. Também é importante observar que todos
os projetos obtidos com ASAM são viáveis. O algoritmo é codificado no Matlab e o elemento
de barra linear de dois nós é utilizado para a análise. Os resultados estatísticos são
apresentados em termos do melhor peso, peso médio, desvio padrão (DP) e o número de
iterações (NI). Os resultados e discussões dos problemas são explicados nas seguintes seções.
Tabela 18 ‒ Propriedades do material, limites de área de seção transversal e restrições de frequência
para diferentes problemas
Problema
Módulo de
elasticidade
E (N/m2)
Densidade
do material
ρ (kg/m3)
Limites áreas
seção
transversal
(cm2)
Deslocamentos
permitidos nos
nós (m)
Restrições de
frequência
(Hz)
Treliça plana de 10
barras 6,98x1010 2770
0,645 ≤ Ai ≤
50 –
f1 ≥ 7
f2 ≥ 15
f3 ≥ 20
Treliça plana de
200 barras 2,1x1011 7860 0,1 ≤ Ai ≤ 30 –
f1 ≥ 5
f2 ≥ 10
f3 ≥ 15
Treliça espacial de
72 barras 6,98x1010 2770
0,645 ≤ Ai ≤
30 –
f1 = 4
f3 ≥ 6
Treliça espacial de
120 barras 2,1x1011 7971,81 1 ≤ Ai ≤ 129,3 –
f1 ≥ 9
f2 ≥ 11
Treliça plana de 37
barras 2,1x1011 7800 0,1 ≤ Ai ≤ 10 0.1≤y≤3
f1≥20
f2≥40
f3≥60
Treliça espacial de
52 barras 2,1x1011 7800 0,1 ≤ Ai ≤ 10
todos os nós livres
podem deslocar ±
2 m de maneira
simétrica
f1≤15.9155
f2≥28.6479
Fonte: Autor
5.3.1 Treliça plana de 10 barras
A Figura 27 mostra a geometria da treliça plana de 10 barras considerada como um
problema de referência no campo do projeto estrutural com múltiplas restrições de frequência
72
(KAVEH; ZOLGHADR, 2014). Os parâmetros de projeto são fornecidos na Tabela 18. Uma
massa concentrada de 454 kg é adicionada em cada um dos nós livres (nós 1-4) conforme
indicado na mesma figura.
A Tabela 19 mostra uma comparação dos resultados ótimos obtidos pelo ASAM com
diferentes abordagens. Pode-se ver que o peso ótimo alcançado pelo ASAM (532,04 kg) é
semelhante que o do DPSO (532,39 kg) e SBO (532,05 kg). Por outro lado, o ASAM requer
7130 NI que são inferiores à SBO (10000 NI), VPS (30000 NI) e ReDE (8300 NI). Embora
a velocidade de convergência do DPSO, ISOS e AHEFA seja mais rápida que a do ASAM
(6000 NI para DPSO, 4000 NI para ISOS e 5860 para AHEFA), o ASAM é mais estável que
estes métodos com o menor DP (0,01 kg para ASAM, 4,02 kg para DPSO, 3,48 kg para ISOS
e 1,92 para AHEFA). Os valores de frequências ótimos indicam a viabilidade do projeto
obtido. A Figura 28 mostra a curva de convergência do melhor resultado obtido pelo ASAM
para este problema.
Figura 27 ‒ Treliça plana de 10 barras
Fonte: Lieu et al. (2018)
73
Tabela 19 ‒ Resultados de otimização obtidos para a treliça plana de 10 barras.
Variáveis
(cm2)
Kaveh e
Zolghadr
(2014)
Farshchin et
al. (2016)
Kaveh e
Ilchi
Ghazaan
(2017)
Ho-Huu
et al.
(2018)
Tejani et
al.
(2018)
Lieu et
al. (2018) ASAM
DPSO SBO VPS ReDE ISOS AHEFA
1 A1 35,944 35,5994 35,1471 35,1565 35,2654 35,1714 32,9710
2 A2 15,53 14,9956 14,6668 14,7605 14,6803 14,7203 15,5925
3 A₃ 35,285 35,4806 35,6889 35,1187 34,4273 35,1074 32,8514
4 A4 15,385 14,7646 15,0929 14,7275 14,9605 14,6986 15,5942
5 A5 0,648 0,6450 0,645 0,6450 0,6450 0,6451 0,6454
6 A6 4,583 4,6305 4,6221 4,5558 4,5927 4,5593 4,6552
7 A7 23,61 24,3272 23,5552 23,7199 23,3417 23,7330 26,1179
8 A8 23,599 23,8528 24,468 23,6304 23,8236 23,6795 26,1350
9 A9 13,135 12,6797 12,7198 12,3827 12,8497 12,3987 11,9983
10 A10 12,357 12,6375 12,6845 12,4580 12,5321 12,4231 11,9339
Peso (kg) 532,39 532,05 530,77 524,45 524,73 524,45 532,04
f1 (Hz) 7,0000 7,0000 7,0000 7,0000 7,0001 7,0000 7,0000
f2 (Hz) 16,1870 16,1660 16,1599 16,1924 16,1703 16,1920 15,8458
f3 (Hz) 20,0000 20,0000 20,0000 20,0000 20,0024 20,0000 20,0000
Média (kg) 537,80 533,45 353,64 524,76 530,03 525,16 532,06
DP (kg) 4,02 2,20 2,55 1,11 3,48 1,92 0,01
NI 6000 10000 30000 8300 4000 5860 7130
Fonte: Autor
Figura 28 ‒ Curva de convergência para a treliça plana de 10 barras
Fonte: Autor
5.3.2 Treliça plana de 200 barras
A segunda treliça de referência, ilustrada na Figura 29, é considerada como um
problema dimensional em grande escala. A Tabela 18 lista as propriedades do material, as
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
0 5 10 15 20 25 30 35
Peso
(kg)
Ciclos de temperatura
74
restrições de frequência e os limites das variáveis do problema. Uma massa concentrada de
100 kg é adicionada a todos os nós superiores (nós 1 a 5). As barras são agrupadas em vinte
e nove grupos por meio da simetria da estrutura (Tabela 7).
A Tabela 20 lista os resultados do ASAM em comparação com outros projetos
publicados. O melhor peso obtido pelo ASAM é de 2157,28 kg que é menor que o dado pelo
CSS-BBBC (2298,61 kg), SOS (2180,32 kg), ISOS (2169,46 kg) e AHEFA (2160,74 kg), e
ligeiramente maior do que o HALC-PSO (2156,73 kg) e SBO (2156,51 kg).
Com relação à velocidade de convergência, o ASAM (6200 NI) é o primeiro entre os
algoritmos considerados. Observe que, embora os melhores pesos fornecidos pelo HALC-
PSO e SBO sejam menores que o do ASAM, o NI para o desempenho de convergência é
maior do que o do ASAM (13000 NI para HALC-PSO e 23000 NI para SBO). Do ponto de
vista estatístico, o ASAM é mais estável que o SOS e o ISOS com um menor DP (2,86 kg
para ASAM, 83,59 kg para SOS e 43,48 kg para ISOS).
As frequências naturais ótimas da treliça indicam que todas as restrições não são
violadas. O histórico de convergência do melhor peso obtido pelo ASAM para esta estrutura
é mostrado na Figura 30.
75
Figura 29 ‒ Treliça plana de 200 barras
Fonte: Lieu et al. (2018)
76
Tabela 20 ‒ Resultados de otimização obtidos para a treliça plana de 200 barras
Variáveis
(cm2)
Kaveh e
Zolghadr (2012)
Kaveh e Ilchi
Ghazaan (2015)
Farshchin et al.
(2016)
Tejani et al.
(2016a)
Tejani et
al. (2018)
Lieu et al.
(2018) ASAM
CSS-BBBC HALC-PSO SBO SOS ISOS AHEFA
1 A1 0,2934 0,3072 0,3040 0,4781 0,3072 0,2993 0,3034
2 A2 0,5561 0,4545 0,4478 0,4481 0,5075 0,4508 0,5177
3 A3 0,2952 0,1000 0,1000 0,1049 0,1001 0,1001 0,1000
4 A4 0,1970 0,1000 0,1000 0,1045 0,1000 0,1000 0,1000
5 A5 0,8340 0,5080 0,5075 0,4875 0,5893 0,5123 0,5699
6 A6 0,6455 0,8276 0,8219 0,9353 0,8328 0,8205 0,8187
7 A7 0,1770 0,1023 0,1003 0,1200 0,1431 0,1011 0,1000
8 A8 1,4796 1,4357 1,4240 1,3236 1,3600 1,4156 1,4361
9 A9 0,4497 0,1007 0,1001 0,1015 0,1039 0,1000 0,1000
10 A10 1,4556 1,5528 1,5929 1,4827 1,5114 1,5742 1,4599
11 A11 1,2238 1,1529 1,1597 1,1384 1,3568 1,1597 1,1381
12 A12 0,2739 0,1522 0,1275 0,1020 0,1024 0,1338 0,1205
13 A13 1,9174 2,9564 2,9765 2,9943 2,9024 2,9672 2,9032
14 A14 0,1170 0,1003 0,1001 0,1562 0,1000 0,1000 0,1006
15 A15 3,5535 3,2242 3,2456 3,4330 3,4120 3,2722 3,7168
16 A16 1,3360 1,5839 1,5818 1,6816 1,4819 1,5762 1,5246
17 A17 0,6289 0,2818 0,2566 0,1026 0,2587 0,2562 0,2056
18 A18 4,8335 5,0696 5,1118 5,0739 4,8291 5,0956 5,1494
19 A19 0,6062 0,1033 0,1001 0,1068 0,1499 0,1001 0,1021
20 A20 5,4393 5,4657 5,4337 6,0176 5,5090 5,4546 5,3291
21 A21 1,8435 2,0975 2,1016 2,0340 2,2221 2,0933 1,9882
22 A22 0,8955 0,6598 0,6794 0,6595 0,6113 0,6737 0,6782
23 A23 8,1759 7,6585 7,6581 6,9003 7,3398 7,6498 7,9359
24 A24 0,3209 0,1444 0,1006 0,2020 0,1559 0,1178 0,3222
25 A25 10,9800 8,0520 7,9468 6,8356 8,6301 8,0682 8,9235
26 A26 2,9489 2,7889 2,7835 2,6644 2,8245 2,8025 2,5618
27 A27 10,5243 10,4770 10,5277 12,1430 10,8563 10,5040 10,4026
28 A28 20,4271 21,3257 21,3027 22,2484 20,9142 21,2935 21,3538
29 A29 19,0983 10,5111 10,6207 8,9378 10,5305 10,7410 10,6476
Peso (kg) 2298,61 2156,73 2156,51 2180,32 2169,46 2160,74 2157,28
f1 (Hz) 5,010 5,000 5,000 5,0001 5,0000 5,0000 5,0000
f2 (Hz) 12,911 12,254 12,2141 13,4306 12,4477 12,1821 12,3405
f3 (Hz) 15,416 15,044 15,0192 15,2645 15,2332 15,0160 15,0001
Média (kg) – 2157,14 2156,79 2303,30 2244,64 2161,04 2161,74
DP (kg) – 0,24 0,21 83,59 43,48 0,18 2,96
NI – 13000 23000 10000 10000 11300 6200 Fonte: Autor
77
Figura 30 ‒ Curva de convergência para a treliça plana de 200 barras
Fonte: Autor
5.3.3 Treliça espacial de 72 barras
O terceiro exemplo tem como objetivo otimizar uma treliça espacial de 72 barras cuja
representação em geometria e elementos é representada na Figura 31. Este problema é
considerado como um problema dimensional em grande escala (TEJANI et al., 2018). A
Tabela 18 apresenta os parâmetros de projeto para este problema. Os elementos da treliça são
categorizados em dezesseis grupos de membros considerando a simetria estrutural (KAVEH;
ILCHI GHAZAAN, 2017). Uma massa concentrada de 2770 kg é adicionada a todos os nós
superiores (nós 1 a 4) como mostra a Figura 31.
Na Tabela 21 são fornecidos os resultados ótimos obtidos com ASAM e diferentes
algoritmos. O projeto ótimo alcançado pelo ASAM tem um peso de 324,97 kg que é menor
que os resultados relatados por CSS-BBBC (327,51 kg), DPSO (327,65 kg), SBO (327,55
kg), VPS (327,65 kg) e ISOS (325,01 kg) e 0,72 kg mais pesado que os relatados por ReDE
e AHEFA.
Em termos de velocidade de convergência, observa-se que o NI utilizados pelos
algoritmos DPSO, SBO, VPS, ReDE e AHEFA é significativamente maior quando
comparado ao ASAM (20000 NI para DPSO, 15000 NI para SOB, 30000 para VPS, 10840
NI para ReDE, 8860 NI para AHEFA e 7130 para ASAM). Por último, pode-se observar a
2100
2200
2300
2400
2500
2600
2700
0 5 10 15 20 25 30 35
Peso
(kg)
Ciclos de temperatura
78
partir dos resultados que o ASAM obtém melhor resultado em peso médio e DP que outras
metaheurísticas. Figura 32 mostra a curva de convergência do melhor resultado obtido pelo
ASAM para este problema.
Figura 31 ‒ Treliça espacial de 72 barras
Fonte: Lieu et al. (2018)
79
Tabela 21 ‒ Resultados de otimização obtidos para a treliça espacial de 72 barras
Variáveis
(cm2)
Kaveh e
Zolghadr
(2012)
Kaveh e
Zolghadr
(2014)
Farshchin et al.
(2016)
Kaveh e Ilchi
Ghazaan
(2017)
Ho-Huu et
al. (2018)
Tejani et al.
(2018)
Lieu et al.
(2018) ASAM
CSS-BBBC DPSO SOB VPS ReDE ISOS AHEFA
1 A1-A4 2,854 3,5498 3,4917 3,5017 3,5327 3,3563 3,5612 3,4927
2 A5-A12 8,301 7,8356 7,9414 7,9340 7,8303 7,8726 7,8736 7,8573
3 A13-A16 0,645 0,6450 0,6450 0,6450 0,6453 0,6450 0,6450 0,6450
4 A17-A18 0,645 0,6450 0,6450 0,6450 0,6459 0,6450 0,6451 0,6474
5 A19-A22 8,202 8,1183 8,1154 8,0215 8,0029 8,5798 7,9710 7,8897
6 A23-A30 7,043 8,1338 8,0533 7,9826 7,9135 7,6566 7,8928 8,0057
7 A31-A34 0,645 0,6450 0,6450 0,6450 0,6451 0,7417 0,6450 0,6450
8 A35-A36 0,645 0,6450 0,6450 0,6450 0,6451 0,6450 0,6451 0,6454
9 A37-A40 16,328 12,6231 12,8569 12,8175 12,7626 13,0864 12,5404 12,6034
10 A41-A48 8,299 8,0971 8,0425 8,1129 7,9657 8,0764 7,9639 7,9616
11 A49-A52 0,645 0,6450 0,6451 0,6450 0,6452 0,6450 0,6459 0,6451
12 A53-A54 0,645 0,6450 0,6450 0,6450 0,6450 0,6937 0,6462 0,6450
13 A55-A58 15,048 17,3908 17,2136 17,3362 16,9041 16,2517 17,1323 17,1604
14 A59-A66 8,268 8,0634 8,0804 8,1010 8,0434 8,1703 8,0216 8,0368
15 A67-A70 0,645 0,6450 0,6450 0,6450 0,6451 0,6450 0,6450 0,6450
16 A71-A72 0,645 0,6450 0,6450 0,6450 0,6473 0,6450 0,6451 0,6450
Peso (kg) 327,51 327,65 327,55 327,65 324,25 325,01 324,24 324,97
f1 (Hz) 4,0000 4,0000 4,0000 4,0000 4,0000 4,0000 4,0000 4,0000
f3 (Hz) 6,0040 6,0000 6,0000 6,0000 6,0001 6,0008 6,0000 6,0000
Média (kg) – 327,76 327,68 327,67 324,32 329,47 324,41 325,13
DP (kg) – 0,06 0,07 0,02 0,05 2,66 0,24 0,18
NI – 20000 15000 30000 10840 4000 8860 7130
Fonte: Autor
80
Figura 32 ‒ Curva de convergência para a treliça espacial de 72 barras
Fonte: Autor
5.3.4 Treliça espacial de 120 barras
A Figura 33 mostra o domo de 120 barras. Os membros são categorizados em sete
grupos por causa da simetria. As considerações de projeto estão tabuladas na Tabela 18. Os
nós livres têm as seguintes massas concentradas: 3000 kg no nó 1, 500 kg nos nós 2 a 13 e
100 kg nos demais nós livres.
A Tabela 22 apresenta os resultados obtidos usando o algoritmo proposto e outras
metaheurísticas. Pode ser visto que o melhor projeto do ASAM dá benefícios de peso de
338,95 kg, 183,09 kg, 182,57 kg, 181,35 kg e 2,67 kg em comparação com aqueles obtidos
pelos algoritmos CSS-BBBC, DPSO, HALC-PSO, VPS e ISOS respectivamente. Por outro
lado, o projeto do ASAM é 0,07 kg e 0,13 kg ligeiramente mais pesado quando comparado
aos algoritmos ReDE e AHEFA respectivamente.
Em relação à velocidade de convergência, o ASAM (3100 NI) ocupa o primeiro lugar
entre as metaheurísticas consideradas. Por último, pode-se observar a partir dos resultados
que o ASAM obtém melhor resultado em peso médio e DP que outras metaheurísticas, apenas
sendo superado pelos algoritmos ReDE e AHEFA. Finalmente, pode ser visto que nenhuma
das restrições de frequência é violada. A Figura 34 mostra a história de convergência do
melhor projeto obtida usando o ASAM.
322
324
326
328
330
332
334
336
338
340
0 5 10 15 20 25 30 35
Peso
(kg)
Ciclos de temperatura
81
Figura 33. Treliça espacial de 120 barras
Fonte: Lieu et al. (2018)
82
Tabela 22 ‒ Resultados de otimização obtidos para a treliça espacial de 120 barras
Variáveis
(cm2)
Kaveh e
Zolghadr
(2012)
Kaveh e
Zolghadr (2014)
Kaveh e Ilchi
Ghazaan
(2015)
Kaveh e Ilchi
Ghazaan
(2017)
Ho-Huu et
al. (2018)
Tejani et al.
(2018)
Lieu et al.
(2018) ASAM
CSS-BBBC DPSO HALC-PSO VPS ReDE ISOS AHEFA
1 A1 17,478 19,607 19,8905 19,6836 19,5131 19,6662 19,5094 20,0425
2 A2 49,076 41,290 40,4045 40,9581 40,3914 39,8539 40,3867 39,4775
3 A3 12,365 11,136 11,2057 11,3325 10,6066 10,6127 10,6033 13,6425
4 A4 21,979 21,025 21,3768 21,5387 21,1415 21,2901 21,1168 20,4928
5 A5 11,190 10,060 9,8669 9,8867 9,8057 9,7911 9,8221 9,0488
6 A6 12,590 12,758 12,7200 12,7116 11,7781 11,7899 11,7735 15,2658
7 A7 13,585 15,414 15,2236 14,9330 14,8163 14,7437 14,8405 12,9846
Peso (kg) 9046,34 8890,48 8889,96 8888,74 8707,32 8710,06 8707,26 8707,39
f1 (Hz) 9,000 9,0001 9,000 9,0000 9,0000 9,0001 9,0000 9,0000
f2 (Hz) 11,007 11,0007 11,000 11,0000 11,0000 10,9998 11,0000 11,0000
Média (kg) – 8895.99 8900,39 8896,04 8707,52 8728,56 8707,56 8709,96
DP (kg) – 4,26 6,38 6,65 0,15 14,23 0,25 3,43
NI – 6000 17000 30000 5080 4000 3560 3100
Fonte: Autor
83
Figura 34 ‒ Curva de convergência para a treliça espacial de 120 barras
Fonte: Autor
5.3.5 Treliça plana de 37 barras
A treliça de 37 barras, ponte simplesmente apoiada, é apresentada na Figura 35. Esse
problema considera a otimização simultânea dimensional e forma. Uma massa de 10 kg é
adicionada em cada nó inferior, como mostra a Figura 35. As barras inferiores tem área de
seção transversal fixa e pré-definida de 0,4 cm2 (Lieu et al., 2018). Os elementos restantes
estão categorizados em 14 grupos por meio da simetria da estrutura em relação ao plano
vertical médio (usando-se simetria ao longo do dos nós 10 e 11 centrais). Os nós superiores
podem se mover verticalmente, enquanto os nós inferiores são fixos. Portanto, esse problema
tem 14 variáveis de tamanho e 5 variáveis de forma.
A Tabela 23 apresenta uma comparação dos melhores resultados obtidos pelo ASAM
e outras metaheurísticas. Os resultados indicam que o ASAM obtém o melhor peso, sem
violação de restrições, como 359,91 kg. O benefício de peso é 17,29, 0,49, 0,02, 0,03 e 0,83
kg em comparação com PSO, DPSO, HALC-PSO, VPS e ISOS, respectivamente. O ASAM
é superado apenas pelos resultados de ReDE e AHEFA com 359,81 kg. Em relação à
velocidade de convergência, o ASAM ocupa o primeiro lugar entre as metaheurísticas
consideradas. O ASAM requer apenas 3100 NI para obter a solução ótima, enquanto PSO,
8600
8800
9000
9200
9400
9600
9800
10000
10200
0 5 10 15 20 25 30 35
Peso
(kg)
Ciclos de temperatura
84
DPSO, HALC-PSO, VPS, ReDE, ISOS e AHEFA precisam 12500, 6000, 10000, 30000,
13740, 13740, 4000 e 8640 NI, respectivamente.
A tabela também indica que o ASAM é mais estável que PSO, DPSO, HALC-PSO,
VPS, ReDE e ISOS com o menor DP (0,10 kg para MSAA, 4,26 kg para PSO, 1,68 kg para
DPSO, 0,24 kg para HALC-PSO, 0,22 kg para VPS, 0,15 kg para ReDE e 1,57 kg para ISOS).
A Figura 36 mostra a história de convergência para este problema.
Figura 35 ‒ Treliça plana de 37 barras
Fonte: Lieu et al. (2018)
Tabela 23 ‒ Resultados de otimização obtidos para a treliça plana de 37 barras
Variáveis
(cm2)
Gomes
(2011)
Kaveh e
Zolghadr
(2014)
Kaveh e
Ilchi
Ghazaan
(2015)
Kaveh e
Ilchi
Ghazaan
(2017)
Ho-Huu
et al.
(2018)
Tejani et
al.
(2018)
Lieu et al.
(2018) ASAM
PSO DPSO HALC-PSO VPS ReDE ISOS AHEFA
1 y3, y19 0,9637 0,9482 0,9750 0,9042 0,9533 0,9257 0,9589 0.9413
2 y5, y17 1,3978 1,3439 1,3577 1,2850 1,3414 1,3188 1,3450 1.3393
3 y7, y15 1,5929 1,5043 1,5520 1,5017 1,5319 1,4274 1,5355 1.5434
4 y9, y13 1,8812 1,6350 1,6920 1,6509 1,6528 1,5806 1,6668 1.6744
5 y11 2,0856 1,7182 1,7688 1,7277 1,7280 1,6548 1,7397 1.7571
6 A1, A27 2,6797 2,6208 2,9652 3,1306 2,9608 2,6549 2,8210 2.9344
7 A2, A26 1,1568 1,0397 1,0114 1,0023 1,0052 1,0383 1,0019 1.0256
8 A3, A24 2,3476 1,0464 1,0090 1,0001 1,0014 1,0000 1,0001 1.0095
9 A4, A25 1,7182 2,7163 2,4601 2,5883 2,5994 3,0083 2,5308 2.5838
10 A5, A23 1,2751 1,0252 1,2300 1,1119 1,1949 1,0024 1,2210 1.1569
11 A6, A21 1,4819 1,5081 1,2064 1,2599 1,2165 1,4499 1,2429 1.2548
12 A7, A22 4,6850 2,3750 2,4245 2,6743 2,4303 3,1724 2,4718 2.5104
13 A8, A20 1,1246 1,4498 1,4618 1,3961 1,3644 1,2661 1,4018 1.4626
14 A9, A18 2,1214 1,4499 1,4328 1,5036 1,5548 1,4659 1,5061 1.5245
15 A10, A27 3,8600 2,5327 2,5000 2,4441 2,5247 2,9013 2,5604 2.4586
16 A11, A15 2,9817 1,2358 1,2319 1,2977 1,1946 1,1537 1,2146 1.1888
17 A12, A15 1,2021 1,3528 1,3669 1,3619 1,3163 1,3465 1,3605 1.3765
18 A13, A16 1,2563 2,9144 2,2801 2,3500 2,4465 2,6850 2,3992 2.2341
19 A14 3,3276 1,0085 1,0011 1,0000 1,0003 1,0000 1,0000 1.0007
Peso (kg) 377,20 360,40 359,93 359,94 359,81 360,74 359,81 359,91
f1 (Hz) 20,0001 20,0194 20,0216 20,0002 20,0005 20,0119 20,0000 20,0051
f2 (Hz) 40,0003 40,0113 40,0098 40,0005 40,0004 40,0964 40,0001 40,0047
f3 (Hz) 60,0001 60,0082 60,0017 60,0000 60,0022 60,0066 60,0002 60,0078
Média (kg) 381,2 362,21 360,23 360,23 359,99 363,40 359,92 359,98
DP (kg) 4,26 1,68 0,24 0,22 0,15 1,57 0,09 0,10
NI 12500 6000 10000 30000 13740 4000 8640 3100
Fonte: Autor
85
Figura 36 ‒ Curva de convergência para a treliça plana de 37 barras
Fonte: Autor
5.3.6 Treliça espacial de 52 barras
A Figura 37 indica uma estrutura de treliça de cúpula de 52 barras. Os parâmetros de
projeto são fornecidos na Tabela 18. Essa estrutura é considerada para otimização simultânea
dimensional e forma. Uma massa de 50 kg é adicionada a todos os nós livres da estrutura. As
barras são agrupadas em oito grupos considerando a simetria em relação ao eixo z, enquanto
os nós livres podem se mover ± 2 m em cada direção do plano vertical para manter a cúpula
simétrica. Portanto existem 13 variáveis de projeto (8 dimensionais e 5 de forma).
A Tabela 24 compara os resultados do ASAM com outros métodos de otimização.
Pode-se observar que, o projeto produzido pelo ASAM (194,81 kg) é relativamente menor
que o de quase todos os outros algoritmos, mas um pouco pesado que o dos métodos ReDE
(193,20 kg) e AHEFA (193,20 kg). Em termos de velocidade de convergência, o ASAM
requer apenas 7130 NI que são menos do que o PSO (11270 NI), HALC-PSO (7500 NI),
ReDE (16200 NI) e AHEFA (12120 NI). Embora a velocidade de convergência do ISOS
(4000 NI) seja mais rápida que a do ASAM, o ASAM é mais estável que o ISOS com o
menor DP (2,12 kg para o ASAM e 8,74 kg para o ISOS). Em relação ao DS, o ASAM ocupa
o primeiro lugar entre as metaheurísticas consideradas. A Figura 38 mostra o histórico de
convergência do melhor projeto para este problema
350
370
390
410
430
0 5 10 15 20 25 30 35
Pse
o (
kg)
Ciclos de temperatura
86
Figura 37 ‒ Treliça espacial de 52 barras
Fonte: Lieu et al. (2018)
87
Tabela 24 ‒ Resultados de otimização obtidos para a treliça espacial de 52 barras.
Variáveis
(cm2)
Gomes
(2011)
Kaveh e
Zolghadr
(2012)
Kaveh e
Ilchi
Ghazaan
(2015)
Ho-Huu
et al.
(2018)
Tejani et
al.
(2018)
Lieu et al.
(2018) ASAM
PSO CSS-BBBC HALC-PSO ReDE ISOS AHEFA
1 ZA 5,5344 5,3310 5,9362 6,0188 6,1631 5,9953 5.9649
2 XB 2,0885 2,1340 2,2416 2,2976 2,4224 2,3062 2.3239
3 ZB 3,9283 3,7190 3,7309 3,7417 3,8086 3,7308 3.7003
4 XF 4,0255 3,9350 3,9630 3,9996 4,1080 4,0000 3.9636
5 ZF 2,4575 2,5000 2,5000 2,5001 2,5018 2,5000 2.5001
6 A1-A4 0,3696 1,0000 1,0001 1,0000 1,0074 1,0000 1.0001
7 A5-A8 4,1912 1,3056 1,1654 1,0852 1,0003 1,0832 1.1797
8 A9-A16 1,5123 1,4230 1,2323 1,1968 1,1982 1,2014 1.210
9 A17-A20 1,5620 1,3851 1,4323 1,4503 1,2787 1,4527 1.4799
10 A21-A28 1,9154 1,4226 1,3901 1,4216 1,4421 1,4212 1.3978
11 A29-A36 1,1315 1,0000 1,0001 1,0001 1,0000 1,0000 1.0229
12 A37-A44 1,8233 1,5562 1,6024 1,5614 1,4886 1,5570 1.6747
13 A45-A52 1,0904 1,4485 1,4131 1,3878 1,4990 1,3904 1.3033
Peso (kg) 228,38 197,31 194,85 193,20 194,75 193,20 194,81
f1 (Hz) 12,751 12,987 11,4339 11,6107 12,5459 11,6629 11,8993
f2 (Hz) 28,649 28,648 28,6480 28,6482 28,6518 28,6480 28,6479
Média (kg) 234,30 – 196,85 195,43 207,55 198,73 195,32
DP (kg) 5,22 – 2,38 3,86 8,74 4,41 2,12
NI 11270 – 7500 16200 4000 12120 7130
Fonte: Autor
Figura 38 ‒ Curva de convergência para a treliça espacial de 52 barras
Fonte: Autor
180
230
280
330
380
430
480
530
580
630
680
730
0 5 10 15 20 25 30 35
Peso
(kg)
Ciclos de temperatura
88
6 EXPORTANDO CONCEITOS DE OTIMIZAÇÃO DE ONDAS DE ÁGUA PARA
O ALGORITMO SIMULATED ANNEALING MODIFICADO PARA
OTIMIZAÇÃO DIMENSIONAL DE TRELIÇAS COM RESTRIÇÕES DE
FREQUÊNCIA NATURAIS
6.1 INTRODUÇÃO
De acordo com o teorema No Free Lunch no campo da otimização, não há algoritmo
para resolver todos os problemas de otimização (TEJANI et al., 2016b). Ainda, a literatura
carece de métodos eficientes para melhorar a velocidade de convergência e a explotação
(TEJANI et al., 2018) dos algoritmos. Isso motivou a melhorar o desempenho do Algoritmo
Simulated Annealing Modificado (ASAM) e adaptá-lo a problemas de projeto de estruturas.
Independentemente da aplicação bem-sucedida do ASAM, este algoritmo estima o
ótimo global de um determinado problema em duas fases: exploração preliminar e passo de
busca. Primeiramente, é realizada uma exploração preliminar para escolher o ponto de partida
da busca. Em segundo lugar, a transição do ponto inicial para o novo ponto é feita por um
passo de busca.
Na fase do passo de busca, a nova solução é gerada adicionando ao ponto inicial
números aleatórios que estão compreendidos dentro de um raio definido. Essa fase funciona
principalmente para melhorar as capacidades de explotação do processo de busca. A natureza
altamente heurística da fase leva a solução a saltar para regiões não visitadas (exploração) e
permite a busca local das regiões visitadas (explotação) também. No entanto, a capacidade
de explotação desta fase é consideravelmente baixa em comparação à capacidade
exploratória. Isso faz com que o algoritmo consuma um grande número de avaliações de
funções (NI) a baixas temperaturas afetando a velocidade de convergência.
Para superar esta desvantagem, investiga-se se os conceitos básicos subjacentes à
metaheurística Water Wave Optimization (WWO) (ZHENG, 2015) podem ser exportados
para melhorar o ASAM. Essa variação pretende permitir um bom equilíbrio entre explotação
e exploração durante o processo de otimização. Quatro problemas de referência de
otimização dimensional com restrições de frequência são explorados para a validade do
algoritmo proposto.
89
6.2 MELHORIA NO ASAM
A capacidade de equilibrar intensificação e diversificação durante o processo de
otimização determina a eficiência de um algoritmo metaheurístico específico. A
diversificação (exploração) garante, geralmente por randomização, que o algoritmo explora
o espaço de pesquisa com eficiência. A intensificação (explotação) visa identificar a melhor
solução e selecionar durante o processo uma sucessão de melhores soluções. Na fase da etapa
de busca do ASAM, a nova solução é gerada pela adição de números aleatórios definidos
dentro de um raio (Figura 3). Essa fase trabalha principalmente para melhorar os recursos de
explotação do processo de busca. Embora o ASAM tenha demonstrado sua capacidade de
encontrar regiões globais próximas em um prazo razoável, é necessário implementar novos
mecanismos para melhorar a fase de explotação e por conseguinte a velocidade de
convergência. Este trabalho propõe o ASAM-M como uma variante do algoritmo ASAM
para melhorar as capacidades de busca local do algoritmo ASAM e equilibrar os
componentes de intensificação e diversificação associados. O algoritmo proposto introduz
um conceito extraído da metaheurística WWO (ZHENG, 2015) para substituir a fase da etapa
de busca.
A WWO foi introduzida por Zheng (2015) e é inspirada em modelos de ondas de águas
superficiais. A WWO tem três fases importantes para encontrar soluções ótimas: fase de
propagação, ruptura e refração. Na fase de propagação, a onda é propagada para uma posição
aleatória. Se uma onda atinge uma profundidade mais baixa do mar (para minimização), ela
quebra em ondas solitárias que são formadas na fase de ruptura. Assim, a ruptura é usada
para a busca intensiva (explotação) nos espaços de soluções, produzindo ondas solitárias
aleatórias em torno da melhor posição atual. Enquanto na fase de refração, o algoritmo
explora o espaço de pesquisa para qualquer outra melhor solução e evita a inatividade da
busca. Como o interesse do trabalho é melhorar a explotação do ASAM, a fase de ruptura
usada na WWO é implementada no ASAM-M.
De acordo com Zheng (2015), quando uma onda se move para uma posição em que a
profundidade da água é inferior a um valor limite, a velocidade da crista da onda excede à
aceleração da onda. Consequentemente, a crista se torna cada vez mais íngreme e, finalmente,
a onda se quebra em um trem de ondas solitárias.
90
Na WWO, é realizada a operação de ruptura em uma onda x que encontra uma nova
melhor solução e realiza uma pesquisa local em torno de x para simular a quebra de ondas.
Em detalhes, é escolhido aleatoriamente k ondas (onde k é um número aleatório entre 1 e um
número predefinido kmax) e, em cada dimensão, gera uma onda solitária x’ como:
x′(d) = x(d) + N(0,1) ∙ βL(d), (6.1)
onde β é o coeficiente de ruptura; N(0,1) é um número aleatório gaussiano com média 0 e
desvio padrão 1 e L(d) é o comprimento da dimensão d do espaço de busca. De acordo com
Zheng (2015), recomenda-se definir β como 0,001-0,01 e kmax como min (12, D/2), onde D
é a dimensão do problema.
Este conceito é exportado para o ASAM. Assim, a fase do passo de busca do ASAM é
substituída pela fase de ruptura para melhorar a capacidade de convergência e estabelecer um
bom equilíbrio entre exploração e exploração.
6.3 FORMULAÇÃO DO PROBLEMA DE OTIMIZAÇÃO ESTRUTURAL
O objetivo do problema é encontrar as seções transversais da estrutura, para que seu
peso seja minimizado enquanto satisfaz algumas restrições nas frequências naturais. Cada
variável deve ser escolhida dentro de um intervalo permitido. A formulação matemática para
esse problema pode ser expressa da seguinte maneira:
Encontrar, X = {A}, onde A = {A1, A2, . . . , An}
(6.2)
Minimizar W(X) =∑ρiAiLi
n
i=1
Sujeito a {
fq − fqmin ≥ 0
fr − frmax ≤ 0
Aimin ≤ Ai ≤ Ai
max
onde W(A) é o peso total da treliça minimizada; n é o número total de membros da estrutura;
ρi, Ai e Li representam a densidade do material, a área da seção transversal e o comprimento
do membro i, respectivamente; fq e fr são as frequências naturais da estrutura,
respectivamente e os subíndices “max” e “min” denotam os limites máximos e mínimos
permitidos, respectivamente.
91
6.4 PROBLEMAS E DISCUSSÕES
Para avaliar a viabilidade e validade do ASAM-M, os seguintes problemas clássicos de
otimização dimensional de treliça (Figura 27, Figura 29, Figura 31 e Figura 33) são
otimizados e os resultados são comparados com resultados anteriores obtidos por várias
metaheurísticas existentes: (i) treliça plana de 10 barras; (ii) treliça espacial de 72 barras; (iii)
treliça espacial 120 barras e (iv) treliça plana de 200 barras. As considerações de projeto dos
problemas são fornecidas na Tabela 18.
Em todos os problemas, os parâmetros usados no ASAM-M são: (i) o tamanho da
população (exploração preliminar), temperatura inicial (Tinitial) e temperatura final (Tfinal) são
definidos como 200, 1, 1x10-3, respectivamente; (ii) de acordo com Zheng (2015), β e kmax
são definidos como 0,001 e min(12,D/2), respectivamente; (iii) de acordo com Millan-
Paramo (2018), o número máximo de perturbações (npmax) na mesma temperatura pode ser
escolhido na faixa de 100 a 300. As evidências coletadas na análise de sensibilidade levaram
a definir npmax como 200. Esses números de perturbações foram obtidos neste trabalho
examinando seu efeito para encontrar um equilíbrio entre precisão e custo computacional
para cada um dos problemas.
Os resultados estatísticos, obtidos para 100 corridas independentes, são apresentados
em termos de melhor peso, peso médio, desvio padrão (DP), número de iterações
correspondentes (NI) e respostas de frequência. O processo iterativo é finalizado quando o
algoritmo atinge a temperatura final. O NI máximo é obtido multiplicando os ciclos de
temperatura pelo npmax. O algoritmo proposto ASAM-M e a análise de elementos finitos são
codificados no programa Matlab e executados usando um sistema Intel Core i7-3630QM de
2,4 GHz com 8 GB de RAM. É importante ressaltar que todos os projetos apresentados por
ASAM-M são viáveis. Os resultados e discussões dos problemas são explicados nas seções
a seguir.
6.4.1 Treliça plana de 10 barras
Os resultados indicam (Tabela 25) que o ASAM-M (529,75 kg) atinge um projeto
ótimo com um peso menor que os algoritmos DPSO, SBO, VPS e ASAM, mas um projeto
ligeiramente mais pesado que o ReDE, ISOS e AHEFA. No entanto, o algoritmo proposto
92
requer menos NI do que o ReDE (6200 NI para ASAM-M e 8300 NI para ReDE) para chegar
à solução final. Pode-se observar que a velocidade de convergência do DPSO, ISOS e
AHEFA é mais rápida que a do ASAM-M (6000 NI para DPSO, 4000 NI para ISOS, 5860
para AHEFA); no entanto, o ASAM-M é mais estável do que o DPSO, ISOS e AHEFA
através do melhor valor de DP (0,11 kg para ASAM-M, 3,48 kg para ISOS, 1,92 kg para
AHEFA e 4,02 kg para DPSO). Finalmente, em relação ao DP, o ASAM-M ocupa o segundo
lugar entre as metaheurísticas consideradas, sendo superado apenas pelo ASAM (0,01 kg).
As frequências naturais ideais obtidas pelo ASAM-M mostram que nenhuma das restrições
de frequência é violada. A Figura 39 mostra a curva de convergência do melhor projeto
obtido com ASAM-M para este problema.
Tabela 25 ‒ Resultados de otimização obtidos para a treliça plana de 10 barras.
Variáveis
(cm2)
Kaveh e
Zolghadr
(2014)
Farshchin
et al.
(2016)
Kaveh e
Ilchi
Ghazaan
(2017)
Ho-Huu
et al.
(2018)
Tejani et
al.
(2018)
Lieu, Do e
Lee (2018) ASAM ASAM-M
DPSO SBO VPS ReDE ISOS AHEFA
1 A1 35,944 35,5994 35,1471 35,1565 35,2654 35,1714 32,9710 32,5584
2 A2 15,53 14,9956 14,6668 14,7605 14,6803 14,7203 15,5925 15,4787
3 A₃ 35,285 35,4806 35,6889 35,1187 34,4273 35,1074 32,8514 32,7556
4 A4 15,385 14,7646 15,0929 14,7275 14,9605 14,6986 15,5942 15,5750
5 A5 0,648 0,6450 0,645 0,6450 0,6450 0,6451 0,6454 0,6454
6 A6 4,583 4,6305 4,6221 4,5558 4,5927 4,5593 4,6552 4,6612
7 A7 23,61 24,3272 23,5552 23,7199 23,3417 23,7330 26,1179 26,1090
8 A8 23,599 23,8528 24,468 23,6304 23,8236 23,6795 26,1350 26,2576
9 A9 13,135 12,6797 12,7198 12,3827 12,8497 12,3987 11,9983 11,7470
10 A10 12,357 12,6375 12,6845 12,4580 12,5321 12,4231 11,9339 11,8823
Peso (kg) 532,39 532,05 530,77 524,45 524,73 524,45 532,04 529,75
f1 (Hz) 7,0000 7,0000 7,0000 7,0000 7,0001 7,0000 7,0000 7,0000
f2 (Hz) 16,1870 16,1660 16,1599 16,1924 16,1703 16,1920 15,8458 15,8235
f3 (Hz) 20,0000 20,0000 20,0000 20,0000 20,0024 20,0000 20,0000 20,0000
Média (kg) 537,80 533,45 353,64 524,76 530,03 525,16 532,06 530,11
DP (kg) 4,02 2,20 2,55 1,11 3,48 1,92 0,01 0,11
NI 6000 10000 30000 8300 4000 5860 7130 6200
Fonte: Autor
93
Figura 39 ‒ Curva de convergência para a treliça plana de 10 barras
Fonte: Autor
6.4.2 Treliça plana de 200 barras
A Tabela 26 fornece uma comparação dos melhores resultados obtidos pelo ASAM-M
e diferentes metaheurísticas. Pode-se observar que o peso do projeto obtido pelo ASAM-M
(2156,83 kg) é menor do que o dado pelo AHEFA (2160,74 kg), CSS-BBBC (2298,61 kg),
ISOS (2169,46 kg), SOS (2180,32 kg) e ASAM (2157,28 kg). O projeto do ASAM-M é um
pouco mais pesado do que o SBO (2156,51 kg) e o HALC-PSO (2156,73 kg), no entanto, a
velocidade de convergência do ASAM-M é mais rápida que esses algoritmos (6200 NI para
ASAM-M, 23000 NI para SBO e 13000 NI para HALC-PSO). Os resultados também indicam
que o ASAM-M é mais estável que o SOS, ISOS e ASAM com o menor DP (1,13 kg para
ASAM-M, 83,59 kg para SOS, 43,48 kg para ISOS e 2,96 para ASAM). Os valores de
frequências mostram que todas as restrições da treliça plana de 200 barras são atendidas pelo
ASAM. A Figura 40 mostra a curva de convergência do melhor resultado obtido pelo ASAM-
M para este problema.
528
530
532
534
536
538
540
0 5 10 15 20 25 30 35
Peso
(kg)
Ciclos de temperatura
94
Tabela 26 ‒ Resultados de otimização obtidos para a treliça plana de 200 barras
Variáveis
(cm2)
Kaveh e
Zolghadr (2012)
Kaveh e Ilchi
Ghazaan (2015)
Farshchin et al.
(2016)
Tejani et al.
(2016a)
Tejani et
al. (2018)
Lieu et al.
(2018) ASAM ASAM-M
CSS-BBBC HALC-PSO SBO SOS ISOS AHEFA
1 A1 0,2934 0,3072 0,3040 0,4781 0,3072 0,2993 0,3034 0,3181
2 A2 0,5561 0,4545 0,4478 0,4481 0,5075 0,4508 0,5177 0,4603
3 A3 0,2952 0,1000 0,1000 0,1049 0,1001 0,1001 0,1000 0,1000
4 A4 0,1970 0,1000 0,1000 0,1045 0,1000 0,1000 0,1000 0,1000
5 A5 0,8340 0,5080 0,5075 0,4875 0,5893 0,5123 0,5699 0,5271
6 A6 0,6455 0,8276 0,8219 0,9353 0,8328 0,8205 0,8187 0,8066
7 A7 0,1770 0,1023 0,1003 0,1200 0,1431 0,1011 0,1000 0,1009
8 A8 1,4796 1,4357 1,4240 1,3236 1,3600 1,4156 1,4361 1,5387
9 A9 0,4497 0,1007 0,1001 0,1015 0,1039 0,1000 0,1000 0,1001
10 A10 1,4556 1,5528 1,5929 1,4827 1,5114 1,5742 1,4599 1,6293
11 A11 1,2238 1,1529 1,1597 1,1384 1,3568 1,1597 1,1381 1,1467
12 A12 0,2739 0,1522 0,1275 0,1020 0,1024 0,1338 0,1205 0,1318
13 A13 1,9174 2,9564 2,9765 2,9943 2,9024 2,9672 2,9032 2,8387
14 A14 0,1170 0,1003 0,1001 0,1562 0,1000 0,1000 0,1006 0,1000
15 A15 3,5535 3,2242 3,2456 3,4330 3,4120 3,2722 3,7168 2,7781
16 A16 1,3360 1,5839 1,5818 1,6816 1,4819 1,5762 1,5246 1,5820
17 A17 0,6289 0,2818 0,2566 0,1026 0,2587 0,2562 0,2056 0,1409
18 A18 4,8335 5,0696 5,1118 5,0739 4,8291 5,0956 5,1494 5,7784
19 A19 0,6062 0,1033 0,1001 0,1068 0,1499 0,1001 0,1021 0,1015
20 A20 5,4393 5,4657 5,4337 6,0176 5,5090 5,4546 5,3291 4,8444
21 A21 1,8435 2,0975 2,1016 2,0340 2,2221 2,0933 1,9882 2,0156
22 A22 0,8955 0,6598 0,6794 0,6595 0,6113 0,6737 0,6782 0,4538
23 A23 8,1759 7,6585 7,6581 6,9003 7,3398 7,6498 7,9359 6,4039
24 A24 0,3209 0,1444 0,1006 0,2020 0,1559 0,1178 0,3222 0,6062
25 A25 10,9800 8,0520 7,9468 6,8356 8,6301 8,0682 8,9235 9,2760
26 A26 2,9489 2,7889 2,7835 2,6644 2,8245 2,8025 2,5618 2,8030
27 A27 10,5243 10,4770 10,5277 12,1430 10,8563 10,5040 10,4026 11,6835
28 A28 20,4271 21,3257 21,3027 22,2484 20,9142 21,2935 21,3538 21,2372
29 A29 19,0983 10,5111 10,6207 8,9378 10,5305 10,7410 10,6476 9,7778
Peso (kg) 2298,61 2156,73 2156,51 2180,32 2169,46 2160,74 2157,28 2156,83
f1 (Hz) 5,010 5,000 5,000 5,0001 5,0000 5,0000 5,0000 5,0000
f2 (Hz) 12,911 12,254 12,2141 13,4306 12,4477 12,1821 12,3405 12,3482
f3 (Hz) 15,416 15,044 15,0192 15,2645 15,2332 15,0160 15,0001 15,0028
Média (kg) – 2157,14 2156,79 2303,30 2244,64 2161,04 2161,74 2157,94
DP (kg) – 0,24 0,21 83,59 43,48 0,18 2,96 1,13
NI – 13000 23000 10000 10000 11300 6200 6200 Fonte: Autor
95
Figura 40 ‒ Curva de convergência para a treliça plana de 200 barras
Fonte: Autor
6.4.3 Treliça espacial de 72 barras
Os resultados ótimos obtidos pelo ASAM-M e outras MHs de otimização publicados
na literatura são apresentados na Tabela 27. Pode-se observar que o peso do projeto ótimo
obtido pelo algoritmo proposto (324,43 kg) é menor que os outros métodos (327,51 kg para
o CSS -BBBC, 327,65 kg para o DPSO, 327,55 kg para o SBO, 327,65 kg para o VPS, 325,01
kg para o ISOS e 324,97 kg para o ASAM). Além disso, o ASAM-M requer menos NI do
que o DPSO, SBO, VPS, ReDE, AHEFA e ASAM (6200 NI para ASAM-M, 20000 NI para
DPSO, 15000 NI para SOB, 30000 para VPS, 10840 NI para ReDE, 8860 NI para AHEFA
e 7130 para ASAM). O benefício do peso médio para o ASAM-M é 3,24, 3,16, 3,15, 4,95 e
0,61 kg, em comparação com os obtidos com DPSO, SBO, VPS, ISOS e ASAM,
respectivamente. Finalmente, o ASAM-M obtém um baixo DP (0,07 kg) que evidencia a
estabilidade do algoritmo proposto. As frequências naturais indicam a viabilidade do projeto
obtido pelo ASAM-M. A curva de convergência do melhor projeto do ASAM-M para este
problema é mostrada na Figura 41.
2100
2200
2300
2400
2500
2600
2700
2800
0 5 10 15 20 25 30 35
Peso
(kg)
Ciclos de temperatura
96
Tabela 27 ‒ Resultados de otimização obtidos para a treliça espacial de 72 barras
Variáveis
(cm2)
Kaveh e
Zolghadr
(2012)
Kaveh e
Zolghadr
(2014)
Farshchin et
al. (2016)
Kaveh e
Ilchi
Ghazaan
(2017)
Ho-Huu et
al. (2018)
Tejani et al.
(2018)
Lieu et al.
(2018) ASAM ASAM-M
CSS-BBBC DPSO SBO VPS ReDE ISOS AHEFA
1 A1-A4 2,854 3,5498 3,4917 3,5017 3,5327 3,3563 3,5612 3,4927 3,3524
2 A5-A12 8,301 7,8356 7,9414 7,9340 7,8303 7,8726 7,8736 7,8573 7,7448
3 A13-A16 0,645 0,6450 0,6450 0,6450 0,6453 0,6450 0,6450 0,6450 0,6450
4 A17-A18 0,645 0,6450 0,6450 0,6450 0,6459 0,6450 0,6451 0,6474 0,6450
5 A19-A22 8,202 8,1183 8,1154 8,0215 8,0029 8,5798 7,9710 7,8897 7,5541
6 A23-A30 7,043 8,1338 8,0533 7,9826 7,9135 7,6566 7,8928 8,0057 7,8746
7 A31-A34 0,645 0,6450 0,6450 0,6450 0,6451 0,7417 0,6450 0,6450 0,6450
8 A35-A36 0,645 0,6450 0,6450 0,6450 0,6451 0,6450 0,6451 0,6454 0,6450
9 A37-A40 16,328 12,6231 12,8569 12,8175 12,7626 13,0864 12,5404 12,6034 12,5877
10 A41-A48 8,299 8,0971 8,0425 8,1129 7,9657 8,0764 7,9639 7,9616 8,0790
11 A49-A52 0,645 0,6450 0,6451 0,6450 0,6452 0,6450 0,6459 0,6451 0,6450
12 A53-A54 0,645 0,6450 0,6450 0,6450 0,6450 0,6937 0,6462 0,6450 0,6450
13 A55-A58 15,048 17,3908 17,2136 17,3362 16,9041 16,2517 17,1323 17,1604 17,8079
14 A59-A66 8,268 8,0634 8,0804 8,1010 8,0434 8,1703 8,0216 8,0368 8,0575
15 A67-A70 0,645 0,6450 0,6450 0,6450 0,6451 0,6450 0,6450 0,6450 0,6450
16 A71-A72 0,645 0,6450 0,6450 0,6450 0,6473 0,6450 0,6451 0,6450 0,6486
Peso (kg) 327,51 327,65 327,55 327,65 324,25 325,01 324,24 324,97 324,43
f1 (Hz) 4,0000 4,0000 4,0000 4,0000 4,0000 4,0000 4,0000 4,0000 4,0000
f3 (Hz) 6,0040 6,0000 6,0000 6,0000 6,0001 6,0008 6,0000 6,0000 6,0000
Média (kg) – 327,76 327,68 327,67 324,32 329,47 324,41 325,13 324,52
DP (kg) – 0,06 0,07 0,02 0,05 2,66 0,24 0,18 0,07
NI – 20000 15000 30000 10840 4000 8860 7130 6200
Fonte: Autor
97
Figura 41 ‒ Curva de convergência para a treliça espacial de 72 barras
Fonte: Autor
6.4.4 Treliça espacial de 120 barras
A Tabela 28 compara os resultados do ASAM-M com outros métodos de otimização.
Como observado, o ASAM-M fornece o melhor resultado com 8707,01 kg, enquanto os
outros fornecem pesos maiores, como CSS-BBBC (9046,34 kg), DPSO (8890,48 kg), CBO
(8889,13 kg), HALC-PSO (8889,96 kg), VPS (8888,74 kg), ReDE (8707,32 kg), ISOS
(8710,06 kg) e ASAM (8707,39 kg). Além disso, o ASAM-M requer 6200 NI para convergir
a solução ótima, enquanto o HALC-PSO e VPS precisam 17000 e 30000 NI,
respectivamente. A partir dos pesos médios obtidos (8707,42 kg) e DP (0,08 kg) pelo método
proposto, pode-se observar que o ASAM-M é estável. O DP obtido com o ASAM-M ocupa
o primeiro lugar entre as metaheurísticas consideradas. A curva de convergência do melhor
projeto do ASAM-M para este problema é mostrada na Figura 42.
322
324
326
328
330
332
334
336
338
340
0 5 10 15 20 25 30 35
Peso
(kg)
Ciclos de temperatura
98
Tabela 28 ‒ Resultados de otimização obtidos para a treliça espacial de 120 barras
Variáveis
(cm2)
Kaveh e
Zolghadr
(2012)
Kaveh e
Zolghadr
(2014)
Kaveh e Ilchi
Ghazaan
(2015)
Kaveh e Ilchi
Ghazaan
(2017)
Ho-Huu et
al. (2018)
Tejani et al.
(2018)
Lieu et al.
(2018) ASAM ASAM-M
CSS-BBBC DPSO HALC-PSO VPS ReDE ISOS AHEFA
1 A1 17,478 19,607 19,8905 19,6836 19,5131 19,6662 19,5094 20,0425 19,6068
2 A2 49,076 41,290 40,4045 40,9581 40,3914 39,8539 40,3867 39,4775 40,5483
3 A3 12,365 11,136 11,2057 11,3325 10,6066 10,6127 10,6033 13,6425 13,4167
4 A4 21,979 21,025 21,3768 21,5387 21,1415 21,2901 21,1168 20,4928 20,2411
5 A5 11,190 10,060 9,8669 9,8867 9,8057 9,7911 9,8221 9,0488 9,1521
6 A6 12,590 12,758 12,7200 12,7116 11,7781 11,7899 11,7735 15,2658 15,8831
7 A7 13,585 15,414 15,2236 14,9330 14,8163 14,7437 14,8405 12,9846 12,9856
Peso (kg) 9046,34 8890,48 8889,96 8888,74 8707,32 8710,06 8707,26 8707,39 8707,01
f1 (Hz) 9,000 9,0001 9,000 9,0000 9,0000 9,0001 9,0000 9,0000 9,0000
f2 (Hz) 11,007 11,0007 11,000 11,0000 11,0000 10,9998 11,0000 11,0000 11,0000
Média (kg) – 8895.99 8900,39 8896,04 8707,52 8728,56 8707,56 8709,96 8707,42
DP (kg) – 4,26 6,38 6,65 0,15 14,23 0,25 3,43 0,08
NI – 6000 17000 30000 5080 4000 3560 3100 6200
Fonte: Autor
99
Figura 42 ‒ Curva de convergência para a treliça espacial de 120 barras
Fonte: Autor
8600
8800
9000
9200
9400
9600
9800
10000
10200
0 5 10 15 20 25 30 35
Peso
(kg)
Ciclos de temperatura
100
7 OTIMIZAÇÃO TOPOLÓGICA DE ESTRUTURAS CONTÍNUAS
EMPREGANDO ALGORITMO SIMULATED ANNEALING MODIFICADO E
ELEMENTOS FINITOS NA NOTAÇÃO STRAIN GRADIENT
7.1 INTRODUÇÃO
A Otimização Topológica Estrutural (OTE) de componentes estruturais busca obter a
localização e distribuição ótima do material em uma estrutura para certas condições de carga
e atendendo a uma determinada função objetivo (por exemplo, a minimização da energia de
deformação). A OT é um campo de pesquisa relativamente novo, mas em rápida expansão,
com interessantes implicações teóricas em matemática, mecânica, física e ciência da
computação, mas também importantes aplicações práticas pelas indústrias de manufatura (em
particular, automotiva e aeroespacial) e provavelmente terá um papel significativo nas micro
e nanotecnologias (ROZVANY, 2009).
Nas últimas décadas, a OTE para estruturas contínuas foi extensivamente explorada.
Vários métodos de otimização, como o método de homogeneização (Homeganization
method) (BENDSØE; KIKUCHI, 1988), o método de otimização estrutural evolutiva
(Evolutionary Structural Optimization ‒ ESO) (XIE; STEVEN, 1993) e o método SIMP
(Solid Isotropic Material with Penalization ‒ SIMP) (BENDSØE, 1989) foram
desenvolvidos.
No método de homogeneização, presume-se que o domínio estrutural seja totalmente
ocupado por um material compósito. O material é não homogêneo com uma microestrutura
ajustável que muda entre sólido e vazio no processo de otimização. Portanto, a fim de moldar
uma nova distribuição de material no domínio, o material será movido de uma parte do
domínio estrutural para o outro. Essa nova distribuição levará a uma distribuição de material
ótima que forneça o projeto ótimo de uma estrutura. Este método produziu resultados
promissores incentivando a investigação de novas técnicas e abordagens na otimização
estrutural e tem sido aplicado com sucesso na otimização de estruturas linearmente elásticas
(OLHOFF; BENDSØE; RASMUSSEN, 1991; SOTO; DÍAZ, 1993; SUZUKI; KIKUCHI,
1991). As vantagens gerais do método de homogeneização são sua base teórica precisa e
bom comportamento de convergência. No entanto, o uso das técnicas tradicionais de
101
computação (métodos determinísticos) como o CO e a programação matemática (PM)
dificultam atingir o ótimo global. Recentemente, as abordagens de homogeneização caíram
em desuso, dando lugar à abordagem SIMP para OT.
Com a análise de elementos finitos, o método ESO foi proposto inicialmente,
removendo gradualmente material ineficiente até que uma solução ótima desejada seja
alcançada. Uma versão estendida desse método é chamada de método ESO bidirecional
(BESO). O BESO permite que o material seja adicionado ao domínio do projeto (QUERIN
et al., 2000; YANG et al., 1999). Como as variáveis de projeto podem ser removidas durante
o processo de otimização, os parâmetros de ajuste devem ser otimizados. Os métodos do
ESO/BESO são métodos heurísticos que são usados para encontrar a melhor solução dentre
as muitas soluções geradas no processo de otimização (ROZVANY; QUERIN, 2002).
Aplicações recentes deste método no projeto de estruturas e materiais avançados são
resumidas no trabalho de Xia et al. (2018). Segundo Rozvany (2009), a desvantagem do ESO
é que é totalmente heurístico portanto não existe nenhuma prova rigorosa de que as
eliminações dos elementos, forneçam uma solução ótima. Além disso, o ESO geralmente
requer um número muito maior de iterações e pode produzir uma solução totalmente não
ótima.
O método SIMP é outro método de otimização de topologia amplamente utilizado.
Nesse método, o domínio de projeto é discretizado em elementos finitos e uma determinada
quantidade de material é uniformemente distribuída no domínio do projeto minimizando ou
maximizando a função objetivo. A densidade do material de cada elemento é tratada como a
variável de projeto. Isso pode variar continuamente de 0 (vazio) a 1 (sólido) para ausência de
material e presença de material. Enquanto isso, as características das densidades
intermediárias são artificialmente penalizadas na função objetivo. O principal benefício de
empregar a função de penalização é que apenas expressões para deformação de elementos e
energias cinéticas são necessárias para análise de sensibilidade. Além disso, qualquer pacote
comercial de elementos finitos pode ser utilizado diretamente em problemas de OT. Vários
trabalhos têm sido publicados empregando esta técnica. Por exemplo, Sigmund (2001), usou
o SIMP e o Critério de Otimalidade (CO) como otimizador para analisar vigas
bidimensionais. Suresh (2010), desenvolveu um procedimento baseado no SIMP e aplicando
102
a Eficiência de Pareto para gerar topologias ótimas para várias frações de volume de uma
maneira altamente eficiente. Challis (2010), implementou o método de Superfície de Nível
como otimizador para resolver problemas de OT em vigas. Andreassen et al. (2011),
continuou o trabalho clássico de Sigmund (2001) e empregou um filtro de densidade,
alcançando uma melhoria considerável na eficiência do algoritmo. Atualmente, o SIMP ainda
é usado como método base para desenvolver novas metodologias OT (AMIR; AAGE;
LAZAROV, 2014; ANSOLA LOYOLA et al., 2018; BRUGGI; DUYSINX, 2012; LIU et
al., 2018; TALISCHI et al., 2012; ZUO; SAITOU, 2017). Apesar das diversas aplicações do
método e de sua simplicidade e versatilidade (ZARGHAM et al., 2016), uma desvantagem
do SIMP é que não é possível garantir uma solução global ótima para problemas altamente
complexos e não convexos (ROZVANY, 2009) devido a que o problema de otimização é
resolvido através do método Critério de Otimalidade (CO). Além disso, o número de
iterações para convergir ao ótimo pode ser grande (HUANG; XIE, 2010; SIGMUND;
MAUTE, 2013).
A maioria dos problemas de OT são não convexos, ou seja, dentro do espaço de solução
existem muitos mínimos locais, o que leva a diferentes soluções ótimas para o mesmo
problema, o que abre o caminho para que as metaheurísticas de otimização sejam usadas para
sua solução. Além disso, é uma alternativa para melhorar a capacidade de convergência das
abordagens descritas acima. Neste capítulo, o problema de OT é resolvido com a metodologia
SIMP junto com o ASAM. Utilizar o ASAM como otimizador pretende garantir uma solução
global ótima para problemas complexos com uma velocidade de convergência rápida. Por
outro lado, o elemento finito (quadrilátero de quatro nós) utilizado na discretização dos
elementos estruturais, é desenvolvido no campo da Notação Strain Gradient (NSG) (DOW,
1999; DOW; ABDALLA, 1994), para que o analista possa interpretar fisicamente as
capacidades e deficiências de modelagem durante o processo de formulação (ABDALLA
FILHO et al., 2017). Portanto, o cisalhamento parasítico geralmente encontrado no elemento
é identificado como causado por termos espúrios que aparecem em expansões polinomiais
na distorção angular. Esses termos espúrios identificados são removidos a priori de modo
que o cisalhamento parasitário não afete a análise numérica. Nas seguintes seções o problema
de OT é formulado, o elemento quadrilátero de quatro nós é descrito na NSG e os problemas
e discussões são apresentados.
103
7.2 FORMULAÇÃO DO PROBLEMA DE OT
O objetivo do problema de otimização é encontrar a distribuição de material ótima, em
termos da minimização da função objetivo, com uma restrição na quantidade total de material
(ANDREASSEN et al., 2011). Neste trabalho a metodologia SIMP implementada por
Andreassen et al. (2011) é usada. O domínio de projeto é discretizado por elementos finitos
e a cada elemento e é atribuído uma densidade xe que determina o seu módulo de elasticidade
Ee:
Ee(xe) = Emin + xep(E0 − Emin), (7.1)
onde E0 é a rigidez do material, Emin é uma rigidez muito pequena atribuída a regiões vazias
para evitar que a matriz de rigidez se torne singular, e p é um fator de penalização introduzido
para garantir soluções preto e branco.
A formulação matemática do problema de otimização é a seguinte:
minimizar: c(x) = UTKU =∑Ee(xe)ueTk0ue
N
e=1
sujeito a: {V(x) V0 = fv KU = F0 ≤ x ≤ 1
(7.2)
onde o objetivo é minimizar a energia de deformação c; U e F são os vetores de deslocamentos
e forças globais, respetivamente; K é a matriz de rigidez global; ue é o vetor deslocamento
do elemento; k0 é a matriz de rigidez do elemento para um elemento com módulo de
elasticidade unitário; x é o vetor de variáveis de projeto (isto é, as densidades dos elementos);
N é o número de elementos usados para discretizar o domínio de projeto; V(x) e V0 são o
volume do material e o volume do domínio de projeto, respectivamente; e fv é a fração de
volume prescrita.
7.3 DESENVOLVIMENTO DA NOTAÇÃO STRAIN GRADIENT (NSG)
A NSG é uma notação fisicamente interpretável que relaciona explicitamente os
deslocamentos às quantidades cinemáticas do continuo (ABDALLA FILHO et al., 2017).
104
Tais quantidades cinemáticas são os movimentos de corpo rígido, deformações e a suas
derivadas, e são geralmente referidos como gradientes de deformação. As relações entre os
componentes de deslocamento e gradientes de deformação são obtidas por meio de um
procedimento algébrico no qual são determinados os conteúdos físicos dos coeficientes das
funções de aproximação. O procedimento é totalmente descrito e os resultados são tabulados
em Dow (1999). Outras referências relacionadas à NSG e suas aplicações são: Dow et al.
(1985), Dow e Byrd (1988), Dow e Byrd (1990), Dow e Abdalla Filho (1994), Abdalla Filho
e Dow (1994), Abdalla Filho et al. (2006), Abdalla Filho et al. (2008), Abdalla Filho et al.
(2016), Abdalla Filho et al. (2017), Abdalla Filho et al. (2020).
Devido ao caráter fisicamente interpretável da NSG, as características de modelagem
do elemento finito são evidenciadas desde os primeiros passos da formulação. Isso permite a
identificação de termos espúrios que causam o enrijecimento artificial inerentes às
formulações tradicionais. A NSG é descrita nesta seção através da formulação do quadrilátero
de quatro nós para a análise do estado plano. O campo de deslocamento para esse elemento
é
u(x, y) = a1 + a2x + a3y + a4xy (7.3)
v(x, y) = b1 + b2x + b3y + b4xy
Os dois termos de ordem zero, a1 e b1, podem ser avaliados imediatamente em termos
dos deslocamentos do corpo rígido, (urb)0 e (vrb)0. Isto é conseguido avaliando as equações
(7.3) na origem do elemento. Todos os termos, exceto os termos constantes principais, são
eliminados porque são funções de x e y. Quando esta substituição é feita e os deslocamentos
na origem são reconhecidos como os deslocamentos do corpo rígido, as constantes principais
dos polinômios de deslocamento são:
a1 = (urb)0 (7.4)
b1 = (vrb)0
Os termos de primeira ordem (lineares) são avaliados em função da rotação e dos três
componentes da deformação na origem. A rotação ao redor do eixo z é a relação rotação-
deslocamento da teoria da elasticidade do pequeno deslocamento:
105
rrb =1
2(∂v
∂x−∂u
∂y) (7.5)
Da mesma forma, as relações de deformação-deslocamento são
εx =∂u
∂x
(7.6) εy =∂v
∂y
γxy =∂u
∂y+∂v
∂x
Avaliando as equações (7.5) e (7.6) na origem resultam em:
(rrb)0 =1
2(b2 − a3)
(7.7) (εx)0 = a2
(εy)0= b3
(γxy)0= a3 + b2
Resolvendo (7.7) para os coeficientes, obtém-se:
a2 = (εx)0
(7.8)
a3 = (γxy
2− rrb)
0
b2 = (γxy
2+ rrb)
0
b3 = (εy)0
Calculando as derivadas εx,y e εy,x, denominadas gradiente de deformações, encontra-
se a4 e b4:
a4 = (εx,y)0
(7.9) b4 = (εy,x)0
As representações aproximadas de deslocamento para o elemento de quatro nós são:
106
u(x, y) = (urb)0 + (εx)0x + (γxy
2− rrb)
0y + (εx,y)0
xy
(7.10)
v(x, y) = (vrb)0 + (γxy
2+ rrb)
0x + (εy)0
y + (εy,x)0xy
Quando as aproximações de deslocamento para o elemento são substituídas nas
definições de deformação, as representações de deformação contidas neste elemento são
consideradas
εx = (εx)0 + (εx,y)0𝑦
(7.11) εy = (εy)0+ (εy,x)0
x
γxy = (γxy)0+ (εx,y)0
x+(εy,x)0y
O uso da NSG torna evidente que a representação da distorção angular γxy para este
elemento contém dois termos de deformação normal errôneos, (εx,y)0 e (εy,x)0
. O efeito
desse erro pode ser descrito da seguinte maneira. Quando a energia de deformação é
calculada, esses dois termos são transportados para o componente de distorção angular,
adicionando energia de deformação ao elemento, o que faz com que o elemento fique
excessivamente rígido (DOW; ABDALLA, 1994). Este erro de modelagem é conhecido
como de cisalhamento parasítico.
A equação (7.11) pode ser escrita em forma de matriz como:
{ε} = [T]{ε,}
(7.12)
{ε}T = {εx εy γxy}
{ε,}T= {(urb)0 (vrb)0 (𝑟rb)0 (εx)0 (ε𝑦)0 (γxy)0
(εx,y)0(εy,x)0}
[T] = [
0 0 0 1 0 0 y 00 0 0 0 1 0 0 x0 0 0 0 0 1 x y
]
Os termos espúrios estão contidos no componente de deformação de cisalhamento da
equação (7.12) pelos termos x e y que estão sublinhados. O cisalhamento parasitário pode ser
removido do elemento pela remoção desses dois termos.
107
O próximo passo é obter uma relação entre os deslocamentos nodais e a base SG que
governa as deformações do elemento
{d} = [Ф]{ε,}
(7.13)
{
u1v1u2v2u3v3u4v4}
=
[ 1 0 −y1 x1 0 y1 2 x1y1 0
0 1 x1 0 y1 x1 2 0 x1y11 0 −y2 x2 0 y2/2 x2y2 0
0 1 x2 0 y2 x2 2 0 x2y21 0 −y3 x3 0 y3/2 x3y3 0
0 1 x3 0 y3 x3 2 0 x3y31 0 −y4 x4 0 y4/2 x4y4 0
0 1 x4 0 y4 x4 2 0 x4y4]
{
(urb)0(vrb)0(rrb)0(εx)0(εy)0(γxy)0(εx,y)0(εy,x)0}
A energia de deformação na NSG é obtida através da expressão seguinte (DOW, 1999):
U =1
2{ε,}
T[∫ [T]T
Ω
[C][T]dΩ] {ε,}
(7.14)
U =1
2{ε,}
TU̅{ε,}
onde Ω é o volume do contínuo e C a matriz constitutiva do material.
Agora pode-se formar a expressão de energia de deformação em termos de
deslocamentos nodais
U =1
2{d}T[Ф]−TU̅[Ф]−1{d} (7.15)
A matriz de rigidez do elemento finito pode ser extraída da equação (7.15) de acordo
com o princípio da energia potencial mínima (DOW, 1999):
[K] = [Ф]−TU̅[Ф]−1 (7.16)
7.4 PROBLEMAS E DISCUSSÕES
Nesta seção, o elemento cuja formulação foi descrita na Seção 7.3 é aplicado na solução
de três problemas de referência de OT. Os problemas foram analisados por quatro
metodologias:
108
• Metodologia de Andreassen et al. (2011) que emprega o método SIMP, com o Critério
de Otimalidade como otimizador e elemento finito com termos espúrios (CO-CTE).
• Metodologia de Andreassen et al. (2011) que emprega o método SIMP, com o Critério
de Otimalidade como otimizador e elemento finito sem termos espúrios (CO-STE).
• Metodologia de Andreassen et al. (2011) que emprega o método SIMP, com o ASAM
como otimizador e elemento finito com termos espúrios (ASAM-CTE).
• Metodologia de Andreassen et al. (2011) que emprega o método SIMP, com o ASAM
como otimizador e elemento finito sem termos espúrios (ASAM-STE).
Para os 3 exemplos, foi considerando módulo de elasticidade unitário; coeficiente de
Poisson ν=0.3 e as forças aplicadas com valores unitários. Os parâmetros do ASAM para
todos os exemplos, o tamanho da população (exploração preliminar), a temperatura inicial
(Tinicial), a temperatura final (Tfinal) e número máximo de perturbações (npmax) são definidos
como 2, 1, 1x10-3 e 5, respectivamente Os resultados, enquanto a topologias (Top), energia
de deformação (c), número de iterações (NI) e tempo de execução (t) são apresentados nas
Tabelas 29, 30 e 31.
7.4.1 Viga biapoiada
O primeiro exemplo analisado é uma viga biapoiada (MBB beam). O domínio de
projeto e as condições de contorno da viga biapoiada estão representadas na Figura 43. A
carga é aplicada verticalmente no canto superior esquerdo e há condições de contorno
simétricas ao longo da borda esquerda e a estrutura é suportada horizontalmente no canto
inferior direito. A viga foi discretizada em três tipos de malha: 75x25, 150x50 e 300x100.
Neste problema foi adotada uma fração de volume prescrita de 0.5 (ANDREASSEN et al.,
2011), isto é, um volume final de 50% do volume inicial.
Figura 43 ‒ Viga biapoiada
Fonte: Andreassen et al. (2011)
109
A Tabela 29 mostra as topologias, valores de energia de deformação, números de
iterações e tempo de execução obtidos com as quatro metodologias. Em geral, pode ser visto
que as topologias e valores de energia de deformação obtidas por as quatro metodologias não
apresentam diferenças significativas. A grande diferencia encontra-se na velocidade de
convergência.
Comparando as metodologias que envolvem o CO como otimizador observa-se que os
resultados obtidos com os elementos finitos sem termos espúrios (CO-STE) converge mais
rápido do que os elementos com termos espúrios (CO-CTE). Por exemplo, no refino de malha
150x50 o CO-STE atinge o valor ótimo em 169 NI (30,9 s) enquanto CO-CTE precisa de
362 NI (67,3 s). O mesmo acontece com o refino de malha de 300x100.
Quando o problema é otimizado com ASAM as metodologias ASAM-CTE e ASAM-
STE não apresentam grandes diferenças nos valores de número de iterações e tempos de
execução. Por exemplo, para a malha 300x100, ASAM-CTE consegue o valor ótimo em 58
NI (38,7 s) e o ASAM-STE necessita 57 NI (37,7 s).
Quando os otimizadores são comparados observa-se que o ASAM converge mais
rápido do que o CO para todos os casos. Por exemplo, para a malha 300x100 o CO-STE
precisa de 329 NI (424,2 s) enquanto o ASAM-STE necessita 57 NI (37,7 s). O mesmo
acontece ao comparar CO-CTE e ASAM-CTE.
110
Tabela 29 ‒ Comparação de resultados obtidos para a viga biapoiada
CO-CTE CO-STE ASAM-CTE ASAM-STE M
alh
a 7
5x
25
Top
c 232,23 233,01 234,13 234,64
NI 169 107 79 80
t(s) 10,4 7,8 9,7 10,0
Ma
lha
15
0x
50
Top
c 235,73 236,78 240,83 240,76
NI 362 169 48 47
t(s) 67,3 30,9 9,9 9,8
Ma
lha
30
0x
10
0
Top
c 238,31 239,08 241,77 241,74
NI 625 329 58 57
t(s) 813,6 424,2 38,7 37,7
Fonte: Autor
111
7.4.2 Viga em balanço
A Figura 44 mostra o domínio de projeto e as condições de contorno para a viga em
balanço. A viga foi discretizada em três tipos de malha: 80x50, 160x100 e 320x200. O
problema foi otimizado com uma fração de volume prescrita de 0.4 (ANDREASSEN et al.,
2011).
Figura 44 ‒ Viga em balanço
Fonte: Andreassen et al. (2011)
A Tabela 30 mostra os valores de energia de deformação, números de iterações, tempo
de execução e topologias obtidos com as quatro metodologias. Como no exemplo anterior,
as topologias e valores de energia de deformação não apresentam grandes diferenças.
Comparando as metodologias que envolvem o CO como otimizador observa-se que os
resultados obtidos com CO-STE converge mais rápido do que o CO-CTE. Por exemplo, no
refino de malha 320x200 o CO-STE obtém o valor ótimo em 497 NI (982,3 s) enquanto CO-
CTE precisa de 872 NI (1421,4 s).
Quando o problema é otimizado com o ASAM a metodologia que elimina os termos
espúrios converge mais rapidamente do que a que contém termos espúrios. Por exemplo, para
a malha mais refinada, o ASAM-CTE consegue o valor ótimo em 57 NI (83,9 s) enquanto o
ASAM-STE precisa de 45 NI (68,7 s).
Em relação aos otimizadores observa-se novamente que o ASAM converge mais rápido
à solução ótima do que o CO em todos os problemas. Por exemplo, para a malha 160x100 o
CO-STE precisa de 318 NI (132,6 s) enquanto o ASAM-STE necessita 37 NI (13,6 s). O
mesmo acontece ao comparar o CO-CTE e o ASAM-CTE.
112
Tabela 30 ‒ Comparação de resultados obtidos para a viga em balanço
CO-CTE CO-STE ASAM-CTE ASAM-STE
Ma
lha
80
x5
0
Top
c 63,07 63,44 63,83 64,36
NI 202 165 76 63
t(s) 17,8 14,7 10,7 9,4
Ma
lha
16
0x
10
0
Top
c 64,76 65,17 65,51 66,27
NI 590 318 61 37
t(s) 235,1 132,6 21,7 13,6
Ma
lha
32
0x
20
0
Top
c 66,34 66,62 66,86 67,54
NI 872 497 57 45
t(s) 1421,4 982,3 83,9 68,7
Fonte: Autor
7.4.3 Viga em balanço com duas cargas
O terceiro problema analisado é a viga em balanço com duas cargas (Figura 45). A viga
foi discretizada em três tipos de malha: 50x50, 100x100 e 200x200. O problema foi
otimizado com uma fração de volume prescrita de 0.4 (ANDREASSEN et al., 2011).
113
Figura 45 ‒ Viga em balanço com duas cargas
Fonte: Andreassen et al. (2011)
A Tabela 31 apresenta os valores obtidos para este problema. Os resultados numéricos
indicam que a remoção dos termos espúrios tem pouca influência nos valores de energia de
deformação e topologias. No entanto, vale ressaltar que a remoção dos termos espúrios, leva
a que as metodologias convirjam mais rapidamente.
Das quatro metodologias estudadas, o ASAM-STE é a que obtém o ótimo no menor
tempo. Note-se que, à medida que o problema se torna mais refinado, essa metodologia
mostra sua grande capacidade de convergência (para a malha 200x200, 39 NI para ASAM-
STE, 57 NI para ASAM-CTE, 97 NI para CO-STE e 109 para CO-CTE).
Finalmente, pode-se concluir que a metodologia que envolve o algoritmo ASAM e os
elementos corrigidos (ASAM-STE) é a mais eficiente. Nos três problemas analisados neste
trabalho, sempre obteve a solução ideal com menos NI. Além disso, é evidenciada sua
capacidade de resolver problemas com malhas refinadas.
114
Tabela 31 ‒ Comparação de resultados obtidos para a viga em balanço com duas cargas
CO-CTE CO-STE ASAM-CTE ASAM-STE
Ma
lha
50
x5
0
Top
c 68,17 68,98 70,50 71,01
NI 71 47 25 24
t(s) 5,2 3,8 3,9 3,7
Ma
lha
10
0x
10
0
Top
c 71,37 72,06 72,22 73,31
NI 81 65 39 31
t(s) 18,2 15,3 10,1 8,3
Ma
lha
20
0x
20
0
Top
c 74,41 75,07 75,10 75,69
NI 109 97 57 39
t(s) 190,7 129,8 56,1 36,2
Fonte: Autor
115
8 CONCLUSÕES, CONTRIBUIÇÕES E TRABALHOS FUTUROS
8.1 CONCLUSÕES
Neste trabalho foi implementado o Algoritmo Simulated Annealing Modificado
(ASAM), um método de otimização metaheurístico desenvolvido recentemente, na resolução
de problemas de otimização estrutural. As principais vantagens desta metaheurística é sua
alta precisão e estabilidade e com poucos parâmetros para ajustar. O algoritmo apresentado
tem duas etapas importante (exploração preliminar e passo de busca) que permitem explorar
o espaço de busca de maneira eficiente e escapar de ótimos locais.
Os experimentos numéricos foram classificados em três conjuntos: (i) na primeira
parte, foi realizada a otimização dimensional (minimização do peso) de treliças planas e
espaciais sujeitas a restrições de tensões e deslocamentos; (ii) na segunda parte, otimização
dimensional e de forma (minimização do peso) de treliças planas e espaciais sujeitas a
restrições de múltiplas frequências naturais; e finalmente (iii) na terceira parte, otimização
topológica de estruturas planas empregando elementos finitos desenvolvidos no campo da
Notação Strain Gradient.
Nos dois primeiros conjuntos de problemas os resultados numéricos indicaram que, na
maioria dos casos, o ASAM produz resultados competitivos com alta precisão, confiabilidade
e menos números de iterações em comparação com as outras metaheurísticas apresentadas
na literatura especializada. Adicionalmente, os pesos médios e desvio padrão dos dados,
obtidos da análise estatística, comprovaram a robustez do algoritmo implementado neste
trabalho.
Nos problemas de otimização topológica, foram analisados problemas com elementos
finitos que contem erro e corregidos. Os resultados demonstraram que a remoção dos termos
espúrios não influenciam nas topologias e valores ótimos de energia de deformação. No
entanto, a grande diferença é notada no tempo de convergência. Quanto mais refinada a
malha, os problemas que foram resolvidos com elementos finitos corregidos e o ASAM como
otimizador (metodologia ASAM-STE), convergiram ao valor ótimo em menor tempo. Por
outro lado, nos problemas que foram otimizados com ASAM convergiram mais rápidos do
116
que os otimizados com CO. Isto indica a capacidade que tem o algoritmo implementado neste
trabalho para obter ótimos globais de maneira mais eficiente.
Por fim, nesta tese foi proposto um algoritmo chamado Algoritmo Simulated Annealing
Modificado Melhorado (ASAM-M) e introduzido na otimização dimensional de treliças com
restrições de frequências. O ASAM-M introduz um conceito tomado da metaheurística Water
Wave Optimization com o objeto de aprimorar a capacidade de explotação e a velocidade de
convergência do ASAM. Os resultados indicaram que, o ASAM-M sempre obtém um projeto
similar que o ASAM, mas com menor NI. Além disso, os resultados numéricos mostram a
capacidade desse algoritmo de produzir resultados competitivos em comparação com as
outras metaheurísticas de otimização apresentadas na literatura em termos de melhor peso,
DP e NI. Os dados obtidos sobre peso médio e DP comprovam a robustez do algoritmo
proposto.
8.2 CONTRIBUIÇÕES
A seguir estão descritas as contribuições originais resultantes dos estudos e simulações
numéricas realizadas neste trabalho:
• Implementação e validação do ASAM na resolução de problemas de otimização
estrutural.
• Formulação de elementos finitos desenvolvidos na NSG junto com o ASAM para
resolver problemas de otimização topológica.
• Desenvolvimento de um algoritmo (ASAM-M) para a otimização de treliças com
restrições de frequências naturais.
8.3 TRABALHOS FUTUROS
Como futuros trabalhos pretende-se:
• Aplicar o ASAM e o ASAM-M na otimização de outros problemas de engenharia
como a otimização de placas compostas, estruturas laminares e projetos baseados em
confiabilidade (LIEU et al., 2018; LIEU; LEE, 2017, 2019a, 2019b), onde o custo
computacional é sempre uma preocupação. Além disso, poderão ser implementadas
futuras aplicações em outras áreas de otimização.
117
• Realizar mais pesquisas para esclarecer a eficiência do ASAM na resolução de
problemas de otimização em larga escala.
• Nos problemas de OE de treliças, considerar características das seções transversais
como dimensões, para evitar diferenças significativas das barras que concorrem em
um mesmo nó.
• Implementar os algoritmos em problemas de otimização topológica em 3D
empregando elementos finitos desenvolvidos no campo da NSG.
• Implementar uma interface gráfica.
118
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