Post on 17-Jun-2020
1- Gravitação Física II
Prof. Roberto Claudino Ferreira
Universidade Estadual do
Sudoeste da Bahia
Departamento de Ciências Exatas e
Naturais
2
ÍNDICE
1) - Introdução;
2) - Força Gravitacional;
3) - Aceleração Gravitacional;
4) - Energia Potencial Gravitacional;
5) - Velocidade de Escape;
6) - Leis de Kepler;
7) - Satélites Órbitas e Energias;
8) - Gravitação de Einstein;
9) - Conclusão.
Prof. Roberto Claudino
3
OBJETIVO GERAL
Alcançar um entendimento das leis de
Kepler e da lei da Gravitação Universal
assim como suas aplicações práticas,
através de abordagens históricas,
conceituais e demonstrações matemáticas.
Prof. Roberto Claudino
Ptolomeu. II d.C.
Geocentrismo
Obra: Almagesto.
Idade Média.
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1 - Gravitação Universal – Um breve histórico
Geocentrismo
Grécia antiga
4000 a. C.
Copérnico. XVI d.C. Heliocentrismo
Obra: De revolutionibus orbium coelestium.
Idade Média.
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1 - Gravitação Universal – Um breve histórico
Isaac Newton. XVII d.C.
60 RT
7
A lei do quadrado inverso
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1 - Gravitação Universal
RT
²60
1
3600
1
8
A lei da Gravitação explica questões do
tipo: Se a Terra atrai a Lua, então porque a
Lua não cai na Terra? ou porque a Terra não
cai no Sol?
• Newton descreve a Força que explica estas
questões, com as premissas:
1.Massa atrai massa;
2.Quanto mais afastados os corpos, menor é
essa força;
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1 - Gravitação Universal
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1- Lei da Gravitação Universal
Dois Corpos atraem-se com forças
proporcionais a suas massas e
inversamente proporcionais ao quadrado da
distância entre seus centros.
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²
²1067,6 11
kg
mNG
Constante Gravitacional
(1)
Embora a lei da gravitação se aplique estritamente a partículas, podemos aplicá-la a
objetos reais desde que os tamanhos destes objetos sejam pequenos em comparação
com suas distâncias.
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1º Problema: Considere um anel fino
homogêneo de Massa M e raio externo R como
na figura abaixo. Qual é a atração gravitacional
que o anel exerce sobre uma partícula de
massa m localizada no eixo central do anel a
uma distância x do centro do anel?
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1.1 A Lei da Gravitação para corpos de
tamanhos muito distintos
Exemplo: A Terra e a maçã.
Newton resolveu o problema da atração entre a
Terra e a maçã provando o teorema conhecido
como o teorema das cascas.
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Uma casca esférica uniforme de
matéria atrai uma partícula que se
encontra fora da casca como se toda
a massa da casca estivesse
concentrada no seu centro.
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1.2 - A Gravitação no Interior da Terra
Uma casca uniforme de matéria não
exerce força gravitacional resultante sobre
uma partícula localizada no seu interior.
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2º Problema: Dado a figura abaixo, onde m1=
6,0kg, m2=m3 = 4,0kg; com a = 2,0 cm. Qual é
a força gravitacional resultante F que as outras
partículas exercem sobre a partícula 1?
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1
2
3
a
2a
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Força Peso e Força Gravitacional são iguais?
A resposta é:
Mas são bem próximas. Isso Por que:
1. A massa da Terra não está uniformemente
distribuída;
2. A Terra não é uma esfera;
3. A Terra está girando.
3º Problema: Desprezando as duas primeiras
situações. Prove que a rotação da Terra faz com que
o peso medido em um caixote na superfície da Terra
seja menor que a Força Gravitacional sobre ele.
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2 - Força Peso e Força Gravitacional
Não.
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4º Problema: Mostre a diferença entre (g e ag).
Usem , , t = 24horas em
segundos e o raio médio da Terra é . Percebam que a diferença é de 0,034 m/s².
Por este fato podemos considerar que, para um corpo
de massa m próximo à superfície da Terra:
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t
rad 2
mx 61038,6
gP FF
2.
r
GMmam g
2.
r
mGMam g
2r
GMag
m = Massa do corpo pequeno.
M = Massa da Terra.
G = Constante Gravitacional.
ag = Aceleração da gravidade.
r = Distância entre o corpo e o centro
da Terra.
Percebam que (ag) não depende da
massa do corpo.
(2)
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5º Problema: Mostrem a partir da equação para
a aceleração da gravidade que seu valor na
superfície da Terra é aproximadamente
9,83 m/s². Considere:
Raio da Terra = .
Massa da Terra = .
6º Problema: Calculem a aceleração da
gravidade em um ponto onde orbita o ônibus
espacial. A altura em relação à superfície da
Terra é: 400 km.
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mx 61038,6
kgx 2410974,5
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É dado pela fórmula:
(U) tende a zero quando (r) tende ao infinito.
Em distâncias finitas a energia é negativa.
Demonstração da equação (3).
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r
GMmU
3 - Energia Potencial Gravitacional (3)
M
P
r
F
dr
R
R
rdrFW
)(
Pelo conceito de Trabalho:
cos)()( drrFrdrF
(4)
(5)
O ângulo entre F e dr é 180º.
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Como o cos de 180º = -1. E a força Fr é a força
gravitacional,Temos:
Substituindo (6) em (4):
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(6)
R
drr
GMmW2
1
drr
GMmrdrF
²)(
(7)
(8)
R
GMm
r
GMmdr
rGMmW
RR
2
1
WUU
(9)
R
GMmWU (10)
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Deduzimos a força em (m) partindo da energia
potencial. Sendo:
Subst. (3) em (11):
O sinal negativo indica que a força está
direcionado para dentro do corpo.
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dr
dUrF )(
4 - Energia Potencial e a Força
r
GMm
dr
drF )(
2r
GMmF
(12)
(13)
(11)
Força Gravitacional de Newton
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É a velocidade mínima necessária para que
um corpo escape completamente do planeta.
Levando em consideração a conservação
da energia temos que:
7º Problema: A partir da equação (13), prove que
a velocidade de escape fica:
Onde (M) é a massa do planeta e (R) é o
raio.
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5 - Velocidade de Escape
UKUK 11 (13)
R
GMv
2 (14)
1.ª LEI DE KEPLER
(LEI DAS ÓRBITAS)
“As órbitas dos planetas em torno do Sol são
elipses nas quais ele ocupa um dos focos.”
Numa elipse existem dois focos e a soma das
distâncias aos focos é constante.
6 – Leis de Kepler
Foco
Foco
a b
c d
a + b = c + d
ELIPSE
2.ª LEI DE KEPLER
(LEI DAS ÁREAS)
“A área descrita pelo raio vetor de um planeta
(linha imaginária que liga o planeta ao Sol) é
diretamente proporcional ao tempo gasto
para descrevê-la.”
Velocidade Areolar velocidade com que as áreas
são descritas. Afélio
A1 A2
Cada planeta mantém sua velocidade areolar constante ao longo de sua
órbita elíptica. Logo:
2
2
1
1
t
A
t
A
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21 áreaAáreaA
A lei das áreas fica
Prove partido da segunda lei de Kepler que
o momento angular do planeta se conserva.
Prof. Roberto Claudino 34
2 2dA 1 d 1
r r wdt 2 dt 2
2L rp rmv rmwr mr w
dA L
dt 2m
A lei das áreas fica
Se a variação da área
em relação ao tempo é
constante então, pela
expressão acima o
momento angular é
constante. Se conserva.
Afélio
Afélio ponto de maior afastamento
entre o planeta e o Sol
Periélio
Periélio ponto de maior proximidade
entre o planeta e o Sol
A1 A2
Com isso, tem-se que a velocidade no periélio
é maior que no afélio.
3.ª LEI DE KEPLER
(LEI DOS PERÍODOS)
“O quadrado do período da revolução de
um planeta em torno do Sol é diretamente
proporcional ao cubo do raio médio de sua
elipse orbital.”
Raio Médio média aritmética entre as
distâncias máxima e mínima do planeta ao Sol.
32 KRT
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T = Período de translação dos planetas.
R = Raio médio das órbitas planetárias.
K = Constante que depende apenas da
massa (M) do corpo central em torno do qual
o planeta gira.
Para orbitas elíptica, substitui-se (R) por (a).
8º Problema: Como se escreve a expressão
entre as orbitas da Terra e de Venus? OBS:
Considere as orbitas circulares.
32 KRT
VenusTerra R
T
R
T
³
²
³
²
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T = Período de translação dos planetas.
R = Raio médio das órbitas planetárias.
K = Constante que depende apenas da
massa (M) do corpo central em torno do qual
o planeta gira.
9º Problema: A partir da 3º lei de Kepler
associada ao conceito da gravitação. Prove
que a constante K vale onde M = Massa
do Sol.
Reescreva a lei dos períodos.
32 KRT
GM
24
Planeta T
(dias terrestres)
R
(km)
T2/R3
Mercúrio 88 5,8 x 107
4,0 x 10-20
Vênus 224,7 1,08 x 108
Terra 365,3 1,5 x 108
Marte 687 2,3 x 108
Júpiter 4343,5 7,8 x 108
Saturno 10767,5 1,44 x 109
Urano 30660 2,9 x 109
Netuno 60152 4,5 x 109
Plutão 90666 6,0 x 109
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10º Problema: Estrelas se movem lentamente.
Porém. Porque S2 dá uma volta em torno de
SargitáriusA em 15,2 anos? Qual a (M) de SgrA? Considere (R=a)
a = 5,5 dias luz
Que equivale a
mx 141042,1
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Para determinar a energia cinética de um
satélite em órbita circular, partimos da 2ª lei de
Newton para a força centrípeta e ac= v²/r.
Levando em consideração que a conservação
da energia é:
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7 - Satélites: Órbitas e Energias
UKE
amF .
(15)
cg amF .
r
vm
r
GMm 2
2. (16)
Sabemos que: 2
2mvK
2.vmr
GMm
então: Kmv 22 (17)
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Substituindo (17) em (16):
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r
GMmK
2
1
2
UK
(18)
UKE
r
GMm
r
GMmE
2
(19)
Substituindo (19) e (21) em :
Kr
GMm2
r
GMmU
(20)
-U
(21)
UU
E 2
ou KE (22)
a
GMmE
2Para orbitas elíptica:
(23)
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11º Problema:
Pretende-se lançar um satélite artificial que irá descrever uma órbita circular a 1,6 x 10³ km de altura. Sabendo que o raio e a massa da Terra são RT= 6,4 x10³ km e M= , determine a velocidade de translação que deve ser impressa ao satélite, naquela altura, para obter-se a órbita desejada. Dado a constante Gravitacional:
kgx 2410974,5
²
²1067,6 11
kg
mNG
Obs: Não é velocidade de escape,
é a velocidade escalar do satélite.
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Einstein e a Gravitação
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Newton - Einstein
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Conclusão
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Embora a força gravitacional ainda não esteja totalmente compreendida, o ponto de partida para o nosso entendimento é a lei a gravitação de Isaac Newton. A gravidade de fato existe, nós podemos senti-la. Mas fica o questionamento? Devemos atribuir a gravitação à curvatura do espaço-tempo devido a presença de massa ou a uma força entre massas? Ou devemos atribuí-la à ação de um tipo de partícula elementar chamado gráviton?