Unidade II - Teoria Da Probabilidade

Probabilidade e Estatística

Prof. Jefferson Heráclito

Curso de Engenharia Civil

Unidade II

Teoria das Probabilidades

Introdução

Aleatoriedade

Experimento aleatório

Espaço amostral

Evento

Eventos mutuamente exclusivos

Probabilidade

Teoria das Probabilidades - Sumário

Teoremas fundamentais

Probabilidades finitas dos espaços amostrais finitos

Teoria da contagem

Espaços amostrais finitos equiprováveis

Probabilidade condicional

Teorema do produto

Independência estatística

Teorema de Bayes

Introdução

Aleatoriedade

Espaço amostral

Evento

Probabilidade

2.1 Introdução

A estatística tem por objetivo obter, organizar e analisar dados

estatísticos, a fim de descrevê-los e explicá-los, além de

determinar possíveis correlações e nexos causais.

A estatística se utiliza das teorias probabilísticas para explicar a

freqüência da ocorrência de eventos, tanto em estudos

observacionais quanto experimentais.

Em outras palavras, a estatística procura modelar a aleatoriedade

e a incerteza de forma a estimar ou possibilitar a previsão de

fenômenos futuros, conforme o caso.

Estudo dos fenômenos de observação: deve-se distinguir

o próprio fenômeno e o modelo matemático que melhor o

explique, se determinístico ou probabilístico.

Modelo determinístico:

• Adotado para explicar fenômenos submissos às leis

sistemáticas.

• Baseia-se, portanto, num encadeamento em que a

relação causa-efeito pressupõe nexos definidos em

forma unívoca e imutável.

2.1 Introdução

Modelo probabilístico:

• Adotado para explicar os fenômenos aleatórios, que

são aqueles cujos resultados, mesmo em condições

normais de experimentação, variam de uma

observação para outra, dificultando dessa maneira a

previsão de um resultado futuro.

• Portanto, esses fenômenos são insubmissos às leis

sistemáticas, pois são regidos ou influenciados pelo

acaso.

2.1 Introdução

A estatística estuda os fenômenos aleatórios e o modelo

matemático será o cálculo das probabilidades.

Diante de um acontecimento aleatório é possível, às

vezes, atribuir-lhe uma lei ou distribuição de

probabilidade.

2.1 Introdução

Introdução

Aleatoriedade

Espaço amostral

Evento

Probabilidade

2.2 Aleatoriedade

Aleatoriedade ou acontecimento aleatório pode ser explicado

considerando-se as seguintes afirmações:

a- Se x + 8 = 3x – 4, então x = 6;

b- A próxima carta retirada de um baralho será um ás.

• A afirmação a pode ser confirmada ou negada de forma

conclusiva, utilizando-se elementos da matemática; é

uma afirmação categórica (verdadeira ou falsa).

• Na afirmativa b, entretanto, somente pode ser afirmado

que o fato é possível, mas que é possível, também, a

saída de qualquer uma das 52 cartas do baralho.

No segundo caso somente a realização do experimento

permitirá estabelecer se a afirmação é falsa ou verdadeira;

trata-se de um acontecimento aleatório

Em geral, os acontecimentos aleatórios se caracterizam por

admitirem dois ou mais resultados possíveis, e não se tem

elementos de juízo suficientes para predizer qual deles

ocorrerá em um determinado experimento.

2.2 Aleatoriedade

Introdução

Aleatoriedade

Espaços amostral

Evento

Probabilidade

Definição:

• Um experimento que pode fornecer diferentes resultados,

muito embora seja repetido toda vez da mesma maneira, é

chamado de um Experimento Aleatório. (Montgomery e

Runger, 2013).

2.3 Experimento Aleatório

Características:

Para que um experimento seja considerado aleatório é

necessário que apresente as seguintes características:

1. Cada experimento poderá ser repetido indefinidamente

sob as mesmas condições;

2. Não se conhece, a priori, um particular valor do

experimento; entretanto, pode-se descrever todos os

possíveis resultados (as possibilidades);

Características:

3. Quando o experimento for repetido um grande número

de vezes, surgirá uma regularidade na apresentação dos

resultados, ou seja, ocorrerá uma estabilização da

fração freqüência relativa:

onde: n é o número de repetições, e

r é o número de sucessos de um particular

resultado estabelecido antes da realização do

experimento.

Exemplos:

• Jogar um dado e observar o número mostrado na face

superior.

• Jogar uma moeda um certo número de vezes e observar o

número de coroas obtidas.

• Contar o número de peças defeituosas da produção diária

da máquina “A”.

Introdução

Aleatoriedade

Espaço amostral

Evento

Probabilidade

2.4 Espaço Amostral

Definição:

• Para cada experimento aleatório E, define-se espaço

amostral S como o conjunto de todos os possíveis

resultados desse experimento (Fonseca e Martins, 1996).

• O conjunto de todos os resultados possíveis de um

experimento aleatório é chamado de espaço amostral do

experimento. O espaço amostral é denotado por S.

(Montgomery e Runger, 2013).

- Exemplos:

i. E: medir espessura de um barra de ferro galvanizada.

S = R+ ={x | x > 0}

ii. E: medir espessura de um barra de ferro galvanizada.

S = {x | 10 < x < 11}

iii. E: medir espessura de um barra de ferro galvanizada.

S = {baixa,média, alta}

iv. E: medir espessura de um barra de ferro galvanizada.

S = {sim, não}

- Exemplos:

a) E: jogar um dado e observar o número na face superior.

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

b) E: lançar duas moedas e observar o resultado.

S = {(c, c), (c, k), (k, c), (k, k)}, onde c- cara e k- coroa.

c) E: Fabricar um lâmpada, colocá-la em um suporte,

acendê-la e registrar o tempo de funcionamento até

fundir o filamento:

S = {t : t ≥ 0}

- Exemplos:

d) E: Registrar a temperatura continuamente durante um

período de 24 horas em uma determinada localidade; as

temperaturas mínima e máxima são registradas:

S = {(x, y) : x ≤ y}, onde x é a temperatura mínima e y a

máxima

e) E: Admitir que a temperatura mínima nessa localidade não

poderá ser menor que um certo valor (m) e a temperatura

máxima não poderá ser superior a um certo valor (M).

S = {(x, y) : m ≤ x ≤ y ≤ M}

Diagrama em forma de árvore:

Exercício 01:

Cada mensagem em um sistema digital de comunicação

será classificada dependendo de ela ser recebida dentro de

um tempo específico pelo projeto do sistema. Se três

mensagens forem classificadas, aplique o diagrama em

forma de árvore para representar o espaço amostral de

resultados possíveis.

Exercício 02:

Uma construtora fornece imóveis com alguns opcionais.

Cada imóvel é encomendado:

com ou sem garagem;

com ou sem ar-condicionado;

com uma das três escolhas de esquadrias;

com uma das quatro cores existentes.

Se o espaço amostral consistir no conjunto de todos os

tipos possíveis de imóveis, qual será o número de

resultados no espaço amostral?

Introdução

Aleatoriedade

Espaço amostral

Evento

Probabilidade

2.5 Evento

Definição:

• É um conjunto de resultados do experimento.

• Em analogia com os conjuntos, é um subconjunto de S.

Observação:

- Em particular, o espaço amostral, S, e o conjunto vazio,

, são eventos.

- S é dito o evento certo e o evento impossível.

- Exemplo 1:

E: lançar o dado e observar o número da face superior.

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Eventos:

A: ocorrer número par: A = {2, 4, 6}

B: ocorrer número impar: B = {1, 3, 5}

C: ocorrer número múltiplo de 2 e 3: C = {6}.

2.5 Evento

- Exemplo 2:

E: jogar três moedas e observar o resultado.

S = {(c, c, c), (c, c, k), (k, c, c), (c, k, c),

(k, k, k), (k, k, c), (c, k, k), (k, c, k)}

Eventos:

A: ocorrer pelo menos duas caras:

A = {(c, c, k), (k, c, c), (c, k, c), (c, c, c)}

B: ocorrer somente coroa: B = {(k, k, k)}.

2.5 Evento

• Observações:

- Sendo S um espaço amostral finito com n elementos, pode-

se verificar que o número total de eventos extraídos de S é

dado por 2n;

- No exemplo 1 (lançamento do dado), o número total de

eventos é 26 = 64.

2.5 Evento

• Observações:

- A partir do uso das operações com conjuntos, novos

eventos podem ser formados:

a) é o evento que ocorre se A ocorre ou B ocorre ou

ambos ocorrem;

b) é o evento que ocorre se A e B ocorrem

simultaneamente;

c) ou A’ é o evento que ocorre se A não ocorre.

2.5 Evento

- Exemplo:

E: lançar um dado e observar o resultado.

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

A = ocorrer número múltiplo de 2: A = {2, 4, 6}

B = ocorrer número múltiplo de 3: B = {3, 6}

= {2, 3, 4, 6}

= {1, 3, 5}

= {1, 2, 3, 4, 5}

2.5 Evento

Introdução

Aleatoriedade

Espaço amostral

Evento

Probabilidade

2.6 Eventos Mutuamente exclusivos

Dois eventos A e B são denominados mutuamente

exclusivos se os mesmos não puderem ocorrer

simultaneamente, ou seja, BA

• Exemplo: E: lançar um dado e observar o resultado.

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

A = ocorre número par – A = {2, 4, 6}

B = ocorrer número ímpar – B = {1, 3, 5}

logo, A e B são mutuamente exclusivos, pois a

ocorrência de um número que seja par e ímpar não

pode ser verificada como decorrência do mesmo evento.

Introdução

Aleatoriedade

Espaço amostral

Evento

Probabilidade

2.7 Probabilidade

Definição:

- Dado um experimento aleatório E, sendo S o seu espaço

amostral, a probabilidade de um evento A ocorrer, P(A), é

uma função definida em S que associa a cada evento um

número real, satisfazendo os seguintes axiomas:

(i) 0 ≤ P(A) ≤ 1;

(ii) P(S) = 1;

(iii) Se A e B forem eventos mutuamente exclusivos

, então )B(P)A(P)BA(P BA

Teoria da contagem

Teorema do produto

Teorema de Bayes

2.8 Teoremas Fundamentais

• T1: Se é o conjunto vazio, então .

• Demonstração:

- Seja A um evento qualquer, A e são disjuntos, pois

- De (iii), temos que ;

- Como , então ou

- Logo .

)()()( PAPAP

AA )(P)A(P)A(P

)A(P)A(P)(P

• T2: Se Ā é o complemento do evento A, então P(Ā) = 1 – P(A).

• Demonstração:

- Do diagrama, pode-se escrever .

- Como (são mutuamente exclusivos),

- De (ii) 1 = P(A) + P(Ā),

- Logo P(Ā) = 1 – P(A).

)A(P)A(P)AA(P

)A(P)A(P)S(P

• T3: Se , então P(A) ≤ P(B).

• Demonstração:

- Do diagrama, pode-se escrever que .

- Como (são mutuamente exclusivos),

P(B) – P(A) ≥ 0, (de i), tem-se que

P(A) ≤ P(B).

)BA(AB

)BA(P)A(P)B(P

)A(P)B(P)BA(P

• T4: (Teorema da soma) Se A e B são dois eventos quaisquer,

então .

• Demonstração:

a) Se A e B são mutuamente exclusivos , recai-se no

axioma (iii);

)BA(P)B(P)A(P)BA(P

• Demonstração:

b) Se A e B não são mutuamente exclusivos , tem-se:

- Os eventos A e são mutuamente exclusivos;

logo, pelo axioma (iii)

- Mas , B é a união dos eventos mutuamente exclusivos

- Logo,

)BA(P)A(P)BA(P)]BA(A[P

)AB( )AB(

).BA(P)BA(P)B(P A

• Demonstração:

- Substituindo o valor de

na expressão anterior, tem-se:

)BA(P)B(P)A(P)BA(P

)BA(P)B(P)BA(P

Teoremas Fundamentais

Teoria da contagem

Teorema do produto

Teorema de Bayes

• Seja S um espaço amostral finito S = {a1, a2, ..., an}.

• Considere-se o evento formado por um resultado simples

A = {ai}.

• A cada evento simples {ai} associa-se um número pi

denominado probabilidade de {ai}, que satisfaz as condições:

a) pi ≥ 0, i = 1, 2, ..., n

b) p1 + p2 + ...+ pn = 1

• A probabilidade de cada evento composto (mais de um

elemento) é definida, então, pela soma das probabilidades dos

pontos de A.

2.9 Probabilidades Finitas dos S Finitos

• Exemplo: Três cavalos A, B e C estão em uma corrida. Se A

tem duas vezes mais probabilidades de ganhar de B, e B tem

duas vezes mais probabilidade de ganhar de C. a) Quais são as

probabilidades de cada um dos cavalos ganhar? b) Qual seria a

probabilidade de B ou C ganhar?

• Solução:

P(C) = p;

P(B) = 2.P(C) = 2p;

P(A) = 2.P(B) = 4p

Como P(A) + P(B) + P(C) = 1, então

4p + 2p + p = 1, de onde se obtém p = 1/7.

• Solução (continuação):

• a) P(A) = 4/7; P(B) = 2/7 e P(C) = 1/7.

Do axioma (iii):

= 2/7 + 1/7 = 3/7.

)C(P)B(P)CB(P

Teoria da contagem

Teorema do produto

Teorema de Bayes

• A Teoria da Contagem é utilizada quando a determinação de

resultados que compreende o espaço amostral (ou um evento)

se torna mais difícil.

• O diagrama em forma de árvore pode ser substituído pela

equação abaixo quando se objetiva encontrar o número total

de um espaço amostral:

𝑛1 𝑥 𝑛2 𝑥 …𝑥 𝑛𝑘

2.9.1 Teoria da Contagem

• Outro cálculo útil é o número de sequências ordenadas dos

elementos de um conjunto, conhecida como permutação.

• Exemplo: Em um conjunto S={a, b, c} as prováveis

permutações de S seriam: abc, acb, bac, cab e cba.

• O número de permutações de subconjuntos de r elementos

selecionados de um conjunto de n elementos diferentes é:

𝑃𝑛,𝑟 = 𝑛 𝑥 𝑛 − 1 𝑥 𝑛 − 2 𝑥 …𝑥 𝑛 − 𝑟 + 1 =𝑛!

𝑛 − 𝑟 !

• Exemplo: Um canteiro de obra tem oito localizações

diferentes para armazenamento de material. Se quatro

materiais diferentes chegaram à obra, quantas possibilidades

de armazenamento são possíveis?

𝑃8,4 = 8 𝑥 7 𝑥 6 𝑥 5 =8!

𝑃8,4 = 1680 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑎𝑟𝑚𝑎𝑧𝑒𝑛𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜.

• Podemos contar o número de subconjuntos de r elementos que

pode ser selecionado a partir de um conjunto de n elementos,

porém não importando a ordem. A resolução desse problema é

chamada combinação.

𝐶𝑛,𝑟 =𝑛!

𝑟! 𝑛 − 𝑟 !

• Exemplo: Um canteiro de obra tem oito localizações para

armazenamento de material. Se quatro materiais idênticos

chegaram à obra, quantas possibilidades de armazenamento

são possíveis?

𝐶8,4 =8!

4! 8 − 4 !=

8 𝑥 7 𝑥 6 𝑥 5 𝑥 4!

4 𝑥 3 𝑥 2 𝑥 1 𝑥 4!=

24= 70

Teoria da contagem

Teorema do produto

Teorema de Bayes

• O espaço amostral chama-se equiprovável quando à cada ponto

amostral desse espaço está associada a mesma probabilidade.

• Portanto, se S contém n pontos, então a probabilidade de cada

ponto será igual a 1/n.

• Se um evento A contém r pontos, então:

2.10 Espaços Amostrais Finitos Equiprováveis

1.r)A(P

• Freqüentemente, este método de avaliar a probabilidade é

enunciado da seguinte forma:

)casosdetotalºn(NTC

)favoráveiscasosdeºn(NCF)A(P

ocorreSamostralespaçooqueemvezesdeºn

ocorrerpodeAeventooqueemvezesdeºn)A(P

• Exemplo 1: Numa escolha aleatória de uma carta de baralho

com 52 cartas, qual a probabilidade de sair um rei? e uma carta

de copas?

• Solução: Seja A = {a carta é um rei} e B = {A carta é de copas}

cartasdetotalºn

copasdecartasdeºn)B(P

cartasdetotalºn

reisdeºn)A(P

• Na maioria dos casos, utiliza-se os conhecimentos de análise

combinatória (Teoria de Contagem) para se obter o número

de casos favoráveis e o número total de casos.

• Exemplo 2: De um lote de doze peças onde quatro são

defeituosas, retira-se duas peças. Calcular a probabilidade:

a) de ambas serem defeituosas;

b) de ambas não serem defeituosas;

c) de pelo menos uma ser defeituosa.

• Soluções:

a) A = {ambas são defeituosas}

NCF)A(P,Logo

vezes66!10.1.2

!10.11.12

)!212(!2

!12CocorrerpodeS

vezes6!2.1.2

!2.3.4

)!24(!2

!4CocorrerpodeA

• Soluções:

b) B = {ambas não são defeituosas}

NCF)B(P,Logo

vezes66!10.1.2

!10.11.12

)!212(!2

!12CocorrerpodeS

vezes28!6.1.2

!6.7.8

)!28(!2

!8CocorrerpodeB

• Soluções:

c) C = {pelo menos uma é defeituosa}

141)B(P1)C(P

BCouBdeocomplementoéC

Teorema do produto

Teorema de Bayes

• Considere o experimento aleatório E: lançar um dado e

observar o resultado, e o evento A = {sair o nº 3}. Então

P(A) = 1/6.

• Considere agora o evento B = {sair um nº ímpar} = {1, 3,5},

então P(B) = 1/2.

• A probabilidade de ocorrer o evento A condicionada à

ocorrência do evento B, representada por P(A/B), será

P(A/B) = 1/3.

2.11 Probabilidade Condicional

• Com a informação da ocorrência do novo evento, reduz-se o

espaço amostral. No exemplo dado, S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} foi

reduzido para S* = {1, 3, 5}, e é neste espaço reduzido que a

probabilidade do novo evento é avaliada.

• Definição: Se A e B são dois eventos, a probabilidade do

evento A ocorrer quando o evento B tiver ocorrido é

denominada probabilidade condicionada, P(A/B), dada por:

.ocorreujápois,0)B(P,)B(P

)BA(P)B/A(P

• Para o exemplo apresentado, tem-se:

)BA(P)B/A(P

• No caso de aplicações mais complexas, é mais prático se

utilizar a seguinte fórmula:

)B(NCF

)BA(NCF

NTC)B(NCF

NTC)BA(NCF

)BA(P)B/A(P

• Exemplo: No experimento do lançamento de dois dados,

considere os eventos: A = {(x1,x2)|(x1 + x2) = 10} e

B = {(x1,x2)| x1 > x2}, onde x1 é o resultado do dado 1 e x2 o

resultado do dado 2. Avalie P(A), P(B) e P(B/A).

• Soluções:S = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), A = {(6,4), (5,5), (4,6)}

(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), B = {(2,1), (3,1), (4,1), (5,1),

(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (6,1), (3,2), (4,2), (5,2),

(4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (6,2), (4,3), (5,3), (6,3),

(5,1), (5,2), (5,3). (5,4), (5,5), (5,6), (5,4), (6,4), (6,5)}

(6,1). (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)} A ∩ B = {(6,4)}

• Soluções:

)A(NCF

)BA(NCF)A/B(P

)B(NCF

)BA(NCF)B/A(P

)B(NCF)B(P

)A(NCF)A(P

Teorema do produto

Teorema de Bayes

• O Teorema do Produto pode ser enunciado a partir da

definição de probabilidade condicional, como:

“A probabilidade da ocorrência simultânea de dois eventos,

A e B, do mesmo espaço amostral, é igual ao produto da

probabilidade de um deles ocorrer pela probabilidade

condicional do outro em relação ao primeiro”.

• Assim:

2.12 Teorema do Produto

)A/B(P).A(P)BA(P)A(P

)BA(P)A/B(P

)B/A(P).B(P)BA(P)B(P

)BA(P)B/A(P

• Exemplo: Em um lote de peças contendo doze unidades

onde quatro são defeituosas, duas são retiradas, uma após a

outra, sem reposição. Qual a probabilidade de que ambas

não sejam defeituosas?

• Solução: A = { a primeira peça retirada é boa}

B = {a segunda peça retirada é boa}

8)B/A(P).B(P)BA(P

2.12 Teorema do Produto

Teorema do produto

Teorema de Bayes

• Definição: Um evento A é considerado independente de um

outro evento, B, se a probabilidade de A é igual a probabilidade

de A condicionada a B, ou

2.13 Independência Estatística

)B/A(P)A(P

)A/B(P)B(P

Se A é independente de B, então B é independente de A;

- Do teorema do produto, pode-se afirmar que, se A e B são

independentes, então:

)B(P).A(P)BA(P

- Dados n eventos A1, A2, ..., An, diz-se que eles são

independentes se o forem 2 a 2; 3 a 3, ..., n a n, isto é:

)A(P).A(P...).A(P).A(P).A(P)A...AA(P

)A(P).A(P).A(P)AAA(P

...;);A(P).A(P).A(P)AAA(P

)A(P).A(P)AA(P...;);A(P).A(P)AA(P

n1n321n21

n1n2nn1n2n

321321

n1nn1n2121

• Exemplo 1: Uma caixa contém doze peças, sendo quatro

defeituosas; retira-se duas peças, uma após a outra, com

reposição. Calcular a probabilidade de ambas não possuírem

defeitos?

• Solução: A = {a primeira peça não possui defeito}

B = {a segunda peça não possui defeito}

- Como a primeira peça foi reposta, B não é condicionado por

A, ou seja, A e B são independentes; logo:

8)B(P).A(P)BA(P

• Exemplo 2: Sendo S = {1, 2, 3, 4} um espaço amostral

equiprovável, e A = {1, 2}, B = {1, 3} e C = {1, 4} eventos de

S, verificar se estes eventos são independentes.

• Solução: S = {1, 2, 3, 4};

A = {1, 2}; B = {1, 3}; C = {1, 4};

}1{CBA

};1{CB};1{CA};1{BA

1)C(P).A(P)CA(P

:olog;4

1)CA(P;

2)C(P;

1)A(P:CeAPara

1)B(P).A(P)BA(P

:olog;4

1)BA(P;

2)B(P;

2)A(P:BeAPara

1)C(P).B(P).A(P

1)CBA(P

1)CBA(P;

1)C(P;

1)B(P;

1)A(P:CeB,APara

1)C(P).B(P)CB(P

:olog;4

1)CB(P;

1)C(P;

1)B(P:CeBPara

- Portanto, os eventos A, B e C não são independentes.

Teorema do produto

Teorema de Bayes

• Sejam A1, A2, A3, ..., An, n eventos mutuamente exclusivos,

tais que .

Sejam P(Ai) as probabilidades conhecidas dos vários eventos,

e B um evento qualquer de S, tal que são conhecidas todas as

probabilidades condicionais P(B/Ai).

Então, para cada i, tem-se:

que é o Teorema de Bayes.

SA...AAA n321

)A/B(P).A(P...)A/B(P).A(P)A/B(P).A(P

)A/B(P).A(P)B/A(P

nn2211

2.14 Teorema de Bayes

• Exemplo: Tem-se três urnas (u1, u2, u3), cada uma contendo

bolas pretas, brancas e vermelhas, nas quantidades mostradas

no quadro abaixo. De uma urna escolhida ao acaso retira-se

uma bola também ao acaso, verificando-se que a mesma é

branca. Qual a probabilidade da bola escolhida ter vindo da

urna 2? e da urna 3?

Cores / Urnas u1 u2 u3

P (preta)

B (branca)

V (vermelha)

Solução:

uBPuBPuBP

uPuPuP

Cores / Urnas u1 u2 u3

P (preta)

B (branca)

V (vermelha)

)/().()/().()/().(

)/().()/(

332211

uBPuPuBPuPuBPuP

uBPuPBuP

8)/(1)/()/()/(

BuPBuPBuPBuP

Unidade II - Teoria Da Probabilidade

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Unidade IV – Probabilidade 4.1 Conceitos fundamentais e propriedades (probabilidade condicional, independência de eventos e teorema de Bayes). 4.2 Variáveis.

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