TriangulosRelacao Seno

Cosseno e TangenteSecante, Cossecante e Cotangente

Relacao Fundamental e IdentidadesAngulos Especiais

Exercıcios

Trigonometria no Triangulo Retangulo

Prof. Marcio Nascimentomarcio@matematicauva.org

Universidade Estadual Vale do AcarauCentro de Ciencias Exatas e TecnologiaCurso de Licenciatura em Matematica

Disciplina: Matematica Basica II - 2016.2

22 de fevereiro de 2017

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TriangulosRelacao Seno

Cosseno e TangenteSecante, Cossecante e Cotangente

Relacao Fundamental e IdentidadesAngulos Especiais

Exercıcios

Sumario

1 Triangulos

2 Relacao Seno

3 Cosseno e Tangente

4 Secante, Cossecante e Cotangente

5 Relacao Fundamental e Identidades

6 Angulos Especiais

7 Exercıcios

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Sumario

1 Triangulos

2 Relacao Seno

3 Cosseno e Tangente

4 Secante, Cossecante e Cotangente

5 Relacao Fundamental e Identidades

6 Angulos Especiais

7 Exercıcios

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Definicao

Um triangulo e a figura formada por tres pontos nao colineares eas geodesicas que os ligam na superfıcie em questao.

No plano, as geodesicas sao as retas.A,B,C sao os vertices.a, b, c sao os lados.A, B, C sao os angulos internos. 4 / 53

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Soma dos Angulos Internos

A soma dos angulos internos de um triangulo plano, e sempre iguala um angulo raso (ou 1800).

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Soma dos Angulos Internos

De fato, trace por um dos vertices, uma reta paralela ao ladooposto.

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Soma dos Angulos Internos

Prolongue os lados que formam o angulo desse vertice. Issodetermina os angulos 1, 2 e 3.

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Soma dos Angulos Internos

Note que os angulos C e 2 sao opostos pelo vertice, portanto,sao iguais!Como o segmento AB e paralelo a reta que passa em C ,segue que os angulos A e 3 sao iguais.Pelo mesmo motivo, os angulos B e 1 sao iguais.

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Soma dos Angulos Internos

Juntos, os angulos 1, 2 e 3 formam um angulo raso.

Portanto, A + B + C e um angulo raso, ou seja,A + B + C = 1800

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Triangulo Retangulo

Quando um dos angulos internos e um angulo reto, temos umTriangulo Retangulo.

O lado oposto ao angulo reto e chamado HIPOTENUSA1.Os lados adjacentes ao angulo reto, sao chamadosCATETOS2.

1Do grego, ’contrario a’.2Do grego, ’que cai perpendicular’.

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Sumario

1 Triangulos

2 Relacao Seno

3 Cosseno e Tangente

4 Secante, Cossecante e Cotangente

5 Relacao Fundamental e Identidades

6 Angulos Especiais

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Relacoes Trigonometricas

Considere um angulo agudo α e os segmentos paralelos A1B1,A2B2, A3B3...

Os triangulos retangulos A1OB1, A2OB2, A3OB3,... saosemelhantes.Isto e,

A1B1

OA1=

A2B2

OA2=

A3B3

OA3= ...

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Relacoes Trigonometricas

Desta forma, dado um triangulo retangulo com angulos internosfixados existe uma relacao entre os seus lados que nao depende damedida dos lados.

Essa relacao sera chamada seno do angulo α.

Notacao: senα =AB

OAou senα =

cateto oposto

hipotenusa13 / 53

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Aplicacao

Calculo do Raio da Terra: no alto de um farol a beira-mar, porexemplo, podemos estimar o raio da Terra...

A altura h do farol (torre) e conhecida.

O angulo A formado pela torre e a linha devisao do observador em direcao ao horizonte,pode ser medida. Portanto, podemosdeterminar senA.

Usando a relacao seno no trianguloretangulo OAT , temos:

senA =OT

OA=

R

R + h=⇒ R =

h.senA

1− senA14 / 53

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Sumario

1 Triangulos

2 Relacao Seno

3 Cosseno e Tangente

4 Secante, Cossecante e Cotangente

5 Relacao Fundamental e Identidades

6 Angulos Especiais

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Relacoes Trigonometricas

Assim como no caso da relacao seno, a semelhanca entre ostriangulos abaixo nos da outras duas relacoes que tambem naodependem da medida dos lados:

OB1

OA1=

OB2

OA2=

OB3

OA3= ...

A1B1

OB1=

A2B2

OB2=

A3B3

OB3= ...

Essas relacoes sao, respectivamente, cosseno e tangente:

cosα =OB

OAou cosα =

cateto adjacente

hipotenusa

tgα =AB

OBou tgα =

cateto oposto

cateto adjacente16 / 53

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RELACAO TANGENTE

IMPORTANTE: Num triangulo retangulo, o valor da tangente deum de seus angulos pode ser obtida a partir do seno e do cossenodeste angulo.

tgB =b

a

=

(b

c

)(a

c

)=

senB

cos B

Portanto, tgB =senB

cos B 17 / 53

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1 Triangulos

2 Relacao Seno

3 Cosseno e Tangente

4 Secante, Cossecante e Cotangente

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Como um triangulo tem tres lados, e possıvel obter seis razoesenvolvendo seus lados. Ja usamos e “batizamos”tres dessas razoes(seno, cosseno e tangente). Agora, vejamos as outras tres

sec A =c

b=

1

cos A

cossecA =c

a=

1

senA

cotgA =b

a=

1

tgA

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Sumario

1 Triangulos

2 Relacao Seno

3 Cosseno e Tangente

4 Secante, Cossecante e Cotangente

5 Relacao Fundamental e Identidades

6 Angulos Especiais

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Considerando um triangulo retangulo e um de seus angulos,digamos, A, temos:

sen2A + cos2 A =(a

c

)2+

(b

c

)2

=a2 + b2

c2

Pelo Teorema de Pitagoras, a2 + b2 = c2. Portanto,

sen2A + cos2 A = 1 ← RELACAO FUNDAMENTAL

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Proposicao

Se A e B sao angulos complementares, entao senA = cos B,

senB = cos A e tgA = 1/tgB

senA =a

c= cos B

senB =b

c= cos A

tgA =a

b=

1b

a

=1

tgB

Proposicao

Se A e B sao angulos complementares, entao sec A = cossecB,

sec B = cossecA e cotgA = 1/cotgB

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Proposicao

Se α e um angulo no intervalo (00, 450), entao

sen2α = 2.senα. cosα

Se x e um angulo no intervalo (00, 900), entao

senx

2=

√1− cos x

2

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Demonstracao (parte 1): Considere um triangulo isosceles ondeos lados congruentes medem 1.

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Tracando a bissetriz pelo angulo no vertice O, determinamos oponto medio do lado BC , o ponto A.

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Vamos chamar de α a medida dos angulos BOA e AOC , que saocongruentes.

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Agora, tracemos a altura relativa ao lado OC . Isso determina oponto D e BD e uma altura para o triangulo.

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Desta forma, podemos calcular a area do triangulo BOC de duasmaneiras:

OA.BC

2=

BD.OC

2

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OA.BC

2=

BD.OC

2(*)

OA

OB= cosα =⇒ OA = cosα

BA

OB= senα =⇒ BA = senα =⇒ BC =

2.senαBD

OB= sen2α =⇒ BD = sen2α

Substituindo em (*), temos

cosα.2.senα

2=

sen2α.1

2

sen2α = 2. cosα.senα

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Demonstracao (parte 2): Se x e um angulo no intervalo(00, 900), entao

senx

2=

√1− cos x

2

Vamos considerar o angulo β no vertice C do triangulo BOC .30 / 53

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OD + DC = 1 (*)

OD

OB= cos 2α =⇒ OD = cos 2α

DC

BC= cosβ =⇒ DC = BC . cosβ

BC = 2BA,BA

OB= senα =⇒ BC = 2.senα

Substituindo em (*), temos

cos 2α + BC . cosβ = 1

cos 2α + 2.senα.senα = 1

2.sen2α = 1− cos 2α

senα =

√1− cos 2α

2ou sen

x

2=

√1− cos x

2

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Sumario

1 Triangulos

2 Relacao Seno

3 Cosseno e Tangente

4 Secante, Cossecante e Cotangente

5 Relacao Fundamental e Identidades

6 Angulos Especiais

7 Exercıcios

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Angulos Especiais: 300 e 600

Considere um triangulo equilatero de lado 1. A bissetriz do angulono vertice em A, coincide com altura relativa ao lado BC e oponto medio deste mesmo lado.

Pelo Teorema de Pitagoras:

AC 2 = AD2 + DC 2

Isto e, 1 = AD2 +1

4

Portanto, AD =

√3

2

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Angulos Especiais: 300 e 600

Sendo AC = 1, AD =

√3

2e DC =

1

2, temos:

sen300 =DC

AC=

1

2

cos 300 =AD

AC=

√3

2

tg300 =1/2√3/2

=

√3

3

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Exercıcios

Angulos Especiais: 300 e 600

Ademais, sendo 300 e 600 angulos complementares, temos:

cos 600 = sen300 =1

2

sen600 = cos 300 =

√3

2

tg600 =1

tg300=

1√3

3

=√

3

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Angulos Especiais: 450

Considere um triangulo retangulo isosceles com catetos medindo 1.

Pelo Teorema de Pitagoras:

BC 2 = AB2 + AC 2

Isto e, BC 2 = 12 + 12 = 2

Portanto, BC =√

2

sen450 =AC

BC=

1√2

=

√2

2

cos 450 =

√2

2

tg450 =AC

AB= 1

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A Famosa tabela

Angulo Seno Cosseno Tangente

300 1

2

√3

2

√3

3

450

√2

2

√2

21

600

√3

2

1

2

√3

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Angulos Especiais: 180

Considere um triangulo isosceles cujos lados congruentes medem 1e que 360 e o angulo formado por tais lados. Obviamente osdemais angulos internos sao ambos iguais a 720. Seja x o terceirolado.

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Seja CD a bissetriz do angulo C .

Veja que os triangulos ABC eCDB sao semelhantes!

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Seja CD a bissetriz do angulo C .

Veja que os triangulos ABC eCDB sao semelhantes!

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Seja CD a bissetriz do angulo C .

Veja que os triangulos ABC eCDB sao semelhantes!

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Seja CD a bissetriz do angulo C .

Veja que os triangulos ABC eCDB sao semelhantes!

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Exercıcios

Seja CD a bissetriz do angulo C .

Veja que os triangulos ABC eCDB sao semelhantes!

Daı,AC

CB=

CB

DB

isto e,1

x=

x

1− x

ou x2 + x − 1 = 0

Logo, CB = x =

√5− 1

2

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Voltando ao triangulo inicial, a bissetriz do angulo A coincide coma altura relativa ao lado BC e tambem determina o ponto mediodeste lado.

sen180 =x/2

1=

√5− 1

4cos2 180 + sen2180 = 1 =⇒cos 180 =

√1− sen2180

isto e, cos 180 =

√10 + 2

√5

4

tg180 =sen180

cos 180=

√5− 1√

10 + 2√

5

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Exercıcios

Portanto,

Angulo Seno Cosseno Tangente

180

√5− 1

4

√10 + 2

√5

4

√5− 1√

10 + 2√

5

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Sumario

1 Triangulos

2 Relacao Seno

3 Cosseno e Tangente

4 Secante, Cossecante e Cotangente

5 Relacao Fundamental e Identidades

6 Angulos Especiais

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Exercıcios

Exercıcios

Exercıcio: Encontre as relacoes trigonometricas para os angulosde 90, 150, 360 e 720.

Use o fato de que:

sen2α = 2senα. cosα

senα

2=

√1− cosα

2

sen2α + cos2 α = 1

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Exercıcios

Exercıcio 01: Resolva o triangulo abaixo

A = 900 − 560 = 340

sen560 =b

15=⇒

b = sen560.15 ∼= 0, 83.15 = 12, 45

cos 560 =a

15=⇒

a = cos 560.15 ∼= 0, 56.15 = 8, 4

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Exercıcios

Exercıcio 02: Um atirador aponta a sua arma para uma pessoaque esta amarrada em uma parede a 500 metros de distancia. Nahora do disparo, houve um desvio para a direita de apenas 10.

Supondo que o atirador so podera realizar um unico disparo,quais as chances do prisioneiro?

Havera um desvio de aproximadamente 8, 7m. O prisioneironao morrera por isso.

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Exercıcios

Exercıcio 03: Resolva o seguinte triangulo:

senA =19.67

37.21∼= 0, 53

A = sen−1(0, 53) = arcsen(0, 53) = 320

B = 900 − 320 = 580

cos A =b

c=⇒ b = (cos 320)× (37.21)

=⇒ b ∼= (0.85)× (37.21) = 31.63

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Exercıcio 04: Um piloto dentro de um carro de corrida tem umavisao bastante limitada...

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Exercıcios

Exercıcio 04: Suponha que a linha de visao horizontal do piloto do

carro 19 coincide com o ponto mais alto da traseira do carro 2. O ponto

mais baixo da traseira do carro 2 pode ser visto pelo piloto do carro 19

sob um angulo de depressao igual a 180. A distancia do ponto mais baixo

ao ponto mais alto da traseira do carro 2 e de 85cm. Sabendo que a

distancia entre a cabeca do piloto e a dianteira (ambos do carro 19) e de

1,5m, calcule a distancia que ha entre os dois carros (2 e 19).

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Exercıcios

A figura abaixo mostra uma interpretacao geometrica para oproblema

tg180 =0.85

x + 1.5=⇒ 0.32× (x + 1.5) = 0.85

=⇒ 0.32x = 0.37

=⇒ x ∼= 1.16m

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