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TriangulosRelacao Seno
Cosseno e TangenteSecante, Cossecante e Cotangente
Relacao Fundamental e IdentidadesAngulos Especiais
Exercıcios
Trigonometria no Triangulo Retangulo
Prof. Marcio [email protected]
Universidade Estadual Vale do AcarauCentro de Ciencias Exatas e TecnologiaCurso de Licenciatura em Matematica
Disciplina: Matematica Basica II - 2016.2
22 de fevereiro de 2017
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TriangulosRelacao Seno
Cosseno e TangenteSecante, Cossecante e Cotangente
Relacao Fundamental e IdentidadesAngulos Especiais
Exercıcios
Sumario
1 Triangulos
2 Relacao Seno
3 Cosseno e Tangente
4 Secante, Cossecante e Cotangente
5 Relacao Fundamental e Identidades
6 Angulos Especiais
7 Exercıcios
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Relacao Fundamental e IdentidadesAngulos Especiais
Exercıcios
Sumario
1 Triangulos
2 Relacao Seno
3 Cosseno e Tangente
4 Secante, Cossecante e Cotangente
5 Relacao Fundamental e Identidades
6 Angulos Especiais
7 Exercıcios
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Definicao
Um triangulo e a figura formada por tres pontos nao colineares eas geodesicas que os ligam na superfıcie em questao.
No plano, as geodesicas sao as retas.A,B,C sao os vertices.a, b, c sao os lados.A, B, C sao os angulos internos. 4 / 53
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Soma dos Angulos Internos
A soma dos angulos internos de um triangulo plano, e sempre iguala um angulo raso (ou 1800).
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Soma dos Angulos Internos
De fato, trace por um dos vertices, uma reta paralela ao ladooposto.
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Soma dos Angulos Internos
Prolongue os lados que formam o angulo desse vertice. Issodetermina os angulos 1, 2 e 3.
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Exercıcios
Soma dos Angulos Internos
Note que os angulos C e 2 sao opostos pelo vertice, portanto,sao iguais!Como o segmento AB e paralelo a reta que passa em C ,segue que os angulos A e 3 sao iguais.Pelo mesmo motivo, os angulos B e 1 sao iguais.
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Exercıcios
Soma dos Angulos Internos
Juntos, os angulos 1, 2 e 3 formam um angulo raso.
Portanto, A + B + C e um angulo raso, ou seja,A + B + C = 1800
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Triangulo Retangulo
Quando um dos angulos internos e um angulo reto, temos umTriangulo Retangulo.
O lado oposto ao angulo reto e chamado HIPOTENUSA1.Os lados adjacentes ao angulo reto, sao chamadosCATETOS2.
1Do grego, ’contrario a’.2Do grego, ’que cai perpendicular’.
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Sumario
1 Triangulos
2 Relacao Seno
3 Cosseno e Tangente
4 Secante, Cossecante e Cotangente
5 Relacao Fundamental e Identidades
6 Angulos Especiais
7 Exercıcios
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Exercıcios
Relacoes Trigonometricas
Considere um angulo agudo α e os segmentos paralelos A1B1,A2B2, A3B3...
Os triangulos retangulos A1OB1, A2OB2, A3OB3,... saosemelhantes.Isto e,
A1B1
OA1=
A2B2
OA2=
A3B3
OA3= ...
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Relacoes Trigonometricas
Desta forma, dado um triangulo retangulo com angulos internosfixados existe uma relacao entre os seus lados que nao depende damedida dos lados.
Essa relacao sera chamada seno do angulo α.
Notacao: senα =AB
OAou senα =
cateto oposto
hipotenusa13 / 53
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Aplicacao
Calculo do Raio da Terra: no alto de um farol a beira-mar, porexemplo, podemos estimar o raio da Terra...
A altura h do farol (torre) e conhecida.
O angulo A formado pela torre e a linha devisao do observador em direcao ao horizonte,pode ser medida. Portanto, podemosdeterminar senA.
Usando a relacao seno no trianguloretangulo OAT , temos:
senA =OT
OA=
R
R + h=⇒ R =
h.senA
1− senA14 / 53
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Relacoes Trigonometricas
Assim como no caso da relacao seno, a semelhanca entre ostriangulos abaixo nos da outras duas relacoes que tambem naodependem da medida dos lados:
OB1
OA1=
OB2
OA2=
OB3
OA3= ...
A1B1
OB1=
A2B2
OB2=
A3B3
OB3= ...
Essas relacoes sao, respectivamente, cosseno e tangente:
cosα =OB
OAou cosα =
cateto adjacente
hipotenusa
tgα =AB
OBou tgα =
cateto oposto
cateto adjacente16 / 53
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Exercıcios
RELACAO TANGENTE
IMPORTANTE: Num triangulo retangulo, o valor da tangente deum de seus angulos pode ser obtida a partir do seno e do cossenodeste angulo.
tgB =b
a
=
(b
c
)(a
c
)=
senB
cos B
Portanto, tgB =senB
cos B 17 / 53
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Como um triangulo tem tres lados, e possıvel obter seis razoesenvolvendo seus lados. Ja usamos e “batizamos”tres dessas razoes(seno, cosseno e tangente). Agora, vejamos as outras tres
sec A =c
b=
1
cos A
cossecA =c
a=
1
senA
cotgA =b
a=
1
tgA
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Sumario
1 Triangulos
2 Relacao Seno
3 Cosseno e Tangente
4 Secante, Cossecante e Cotangente
5 Relacao Fundamental e Identidades
6 Angulos Especiais
7 Exercıcios
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Exercıcios
Considerando um triangulo retangulo e um de seus angulos,digamos, A, temos:
sen2A + cos2 A =(a
c
)2+
(b
c
)2
=a2 + b2
c2
Pelo Teorema de Pitagoras, a2 + b2 = c2. Portanto,
sen2A + cos2 A = 1 ← RELACAO FUNDAMENTAL
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Proposicao
Se A e B sao angulos complementares, entao senA = cos B,
senB = cos A e tgA = 1/tgB
senA =a
c= cos B
senB =b
c= cos A
tgA =a
b=
1b
a
=1
tgB
Proposicao
Se A e B sao angulos complementares, entao sec A = cossecB,
sec B = cossecA e cotgA = 1/cotgB
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Exercıcios
Proposicao
Se α e um angulo no intervalo (00, 450), entao
sen2α = 2.senα. cosα
Se x e um angulo no intervalo (00, 900), entao
senx
2=
√1− cos x
2
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Demonstracao (parte 1): Considere um triangulo isosceles ondeos lados congruentes medem 1.
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Tracando a bissetriz pelo angulo no vertice O, determinamos oponto medio do lado BC , o ponto A.
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Exercıcios
Vamos chamar de α a medida dos angulos BOA e AOC , que saocongruentes.
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Exercıcios
Agora, tracemos a altura relativa ao lado OC . Isso determina oponto D e BD e uma altura para o triangulo.
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Exercıcios
Desta forma, podemos calcular a area do triangulo BOC de duasmaneiras:
OA.BC
2=
BD.OC
2
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OA.BC
2=
BD.OC
2(*)
OA
OB= cosα =⇒ OA = cosα
BA
OB= senα =⇒ BA = senα =⇒ BC =
2.senαBD
OB= sen2α =⇒ BD = sen2α
Substituindo em (*), temos
cosα.2.senα
2=
sen2α.1
2
sen2α = 2. cosα.senα
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Demonstracao (parte 2): Se x e um angulo no intervalo(00, 900), entao
senx
2=
√1− cos x
2
Vamos considerar o angulo β no vertice C do triangulo BOC .30 / 53
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OD + DC = 1 (*)
OD
OB= cos 2α =⇒ OD = cos 2α
DC
BC= cosβ =⇒ DC = BC . cosβ
BC = 2BA,BA
OB= senα =⇒ BC = 2.senα
Substituindo em (*), temos
cos 2α + BC . cosβ = 1
cos 2α + 2.senα.senα = 1
2.sen2α = 1− cos 2α
senα =
√1− cos 2α
2ou sen
x
2=
√1− cos x
2
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Sumario
1 Triangulos
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3 Cosseno e Tangente
4 Secante, Cossecante e Cotangente
5 Relacao Fundamental e Identidades
6 Angulos Especiais
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Angulos Especiais: 300 e 600
Considere um triangulo equilatero de lado 1. A bissetriz do angulono vertice em A, coincide com altura relativa ao lado BC e oponto medio deste mesmo lado.
Pelo Teorema de Pitagoras:
AC 2 = AD2 + DC 2
Isto e, 1 = AD2 +1
4
Portanto, AD =
√3
2
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Angulos Especiais: 300 e 600
Sendo AC = 1, AD =
√3
2e DC =
1
2, temos:
sen300 =DC
AC=
1
2
cos 300 =AD
AC=
√3
2
tg300 =1/2√3/2
=
√3
3
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Exercıcios
Angulos Especiais: 300 e 600
Ademais, sendo 300 e 600 angulos complementares, temos:
cos 600 = sen300 =1
2
sen600 = cos 300 =
√3
2
tg600 =1
tg300=
1√3
3
=√
3
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Angulos Especiais: 450
Considere um triangulo retangulo isosceles com catetos medindo 1.
Pelo Teorema de Pitagoras:
BC 2 = AB2 + AC 2
Isto e, BC 2 = 12 + 12 = 2
Portanto, BC =√
2
sen450 =AC
BC=
1√2
=
√2
2
cos 450 =
√2
2
tg450 =AC
AB= 1
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A Famosa tabela
Angulo Seno Cosseno Tangente
300 1
2
√3
2
√3
3
450
√2
2
√2
21
600
√3
2
1
2
√3
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Angulos Especiais: 180
Considere um triangulo isosceles cujos lados congruentes medem 1e que 360 e o angulo formado por tais lados. Obviamente osdemais angulos internos sao ambos iguais a 720. Seja x o terceirolado.
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Seja CD a bissetriz do angulo C .
Veja que os triangulos ABC eCDB sao semelhantes!
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Seja CD a bissetriz do angulo C .
Veja que os triangulos ABC eCDB sao semelhantes!
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Seja CD a bissetriz do angulo C .
Veja que os triangulos ABC eCDB sao semelhantes!
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Seja CD a bissetriz do angulo C .
Veja que os triangulos ABC eCDB sao semelhantes!
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Seja CD a bissetriz do angulo C .
Veja que os triangulos ABC eCDB sao semelhantes!
Daı,AC
CB=
CB
DB
isto e,1
x=
x
1− x
ou x2 + x − 1 = 0
Logo, CB = x =
√5− 1
2
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Exercıcios
Voltando ao triangulo inicial, a bissetriz do angulo A coincide coma altura relativa ao lado BC e tambem determina o ponto mediodeste lado.
sen180 =x/2
1=
√5− 1
4cos2 180 + sen2180 = 1 =⇒cos 180 =
√1− sen2180
isto e, cos 180 =
√10 + 2
√5
4
tg180 =sen180
cos 180=
√5− 1√
10 + 2√
5
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Portanto,
Angulo Seno Cosseno Tangente
180
√5− 1
4
√10 + 2
√5
4
√5− 1√
10 + 2√
5
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3 Cosseno e Tangente
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6 Angulos Especiais
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Exercıcios
Exercıcios
Exercıcio: Encontre as relacoes trigonometricas para os angulosde 90, 150, 360 e 720.
Use o fato de que:
sen2α = 2senα. cosα
senα
2=
√1− cosα
2
sen2α + cos2 α = 1
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Exercıcios
Exercıcio 01: Resolva o triangulo abaixo
A = 900 − 560 = 340
sen560 =b
15=⇒
b = sen560.15 ∼= 0, 83.15 = 12, 45
cos 560 =a
15=⇒
a = cos 560.15 ∼= 0, 56.15 = 8, 4
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Exercıcios
Exercıcio 02: Um atirador aponta a sua arma para uma pessoaque esta amarrada em uma parede a 500 metros de distancia. Nahora do disparo, houve um desvio para a direita de apenas 10.
Supondo que o atirador so podera realizar um unico disparo,quais as chances do prisioneiro?
Havera um desvio de aproximadamente 8, 7m. O prisioneironao morrera por isso.
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Exercıcios
Exercıcio 03: Resolva o seguinte triangulo:
senA =19.67
37.21∼= 0, 53
A = sen−1(0, 53) = arcsen(0, 53) = 320
B = 900 − 320 = 580
cos A =b
c=⇒ b = (cos 320)× (37.21)
=⇒ b ∼= (0.85)× (37.21) = 31.63
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Exercıcios
Exercıcio 04: Um piloto dentro de um carro de corrida tem umavisao bastante limitada...
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Exercıcios
Exercıcio 04: Suponha que a linha de visao horizontal do piloto do
carro 19 coincide com o ponto mais alto da traseira do carro 2. O ponto
mais baixo da traseira do carro 2 pode ser visto pelo piloto do carro 19
sob um angulo de depressao igual a 180. A distancia do ponto mais baixo
ao ponto mais alto da traseira do carro 2 e de 85cm. Sabendo que a
distancia entre a cabeca do piloto e a dianteira (ambos do carro 19) e de
1,5m, calcule a distancia que ha entre os dois carros (2 e 19).
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Exercıcios
A figura abaixo mostra uma interpretacao geometrica para oproblema
tg180 =0.85
x + 1.5=⇒ 0.32× (x + 1.5) = 0.85
=⇒ 0.32x = 0.37
=⇒ x ∼= 1.16m
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