TRIGONOMETRIATRIGONOMETRIAFUNÇÕES FUNÇÕES

TRIGONOMÉTRICASTRIGONOMÉTRICAS

med(CÔP) = med (AÔP) = med (AP) = Aplicando a definição de seno de um ângulo agudo:

Seno de um arco

De modo geral, para m e n reais pertencentes ao intervalo [–1, 1]:

O seno do ângulo é a ordenada de P no eixo .O eixo , das ordenadas, é também chamado eixo dos senos.

Para todo arco AP do ciclo trigonométrico, com P(m, n), med(AP) = rad, ℝ e 0 2, temos sen = n.

Para determinar o seno dos arcos dos demais quadrantes, devemos considerar a simetria do ponto P, com P QI, e de seus simétricos em relação ao eixo das abscissas, à origem O e ao eixo das ordenadas.

Simetria no estudo do seno

Nas figuras a seguir, observe o seno de alguns arcos do 1º quadrante e o seno de seus simétricos em relação aos eixos ou à origem O.

Exemplo

∎

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Simetria no estudo do seno

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Exemplo

Simetria no estudo do seno

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Simetria no estudo do senoExemplo

Observação

Os valores do seno dos arcos 0, , , , , , e 2 são chamados de valores notáveis.

Simetria no estudo do senoExemplo

Para , em radiano, no 1o quadrante:

Redução ao 1o quadrante

Vamos determinar o seno de e o seno de seus simétricos em relação aos eixos e à origem O.

Exemplo

Redução ao 1o quadrante

No ciclo trigonométrico, para todo ℝ, com 0 2, temos:

Variação do senoObservação

–1 sen 1

ExemploDeterminar os valores reais de k para que se tenha sen x – 6 = 3k.

Resolução:sen x = 3k – 6 → como – 1 ≤ sen x ≤ 1, então – 1 ≤ 3k – 6 ≤ 1 → → – 1 + 6 ≤ 3k ≤ 1 + 6 → 5 ≤ 3k ≤ 7 → 5/3 ≤ m ≤ 7/3

1. Colocar em ordem crescente os valores de:

Resolução

Exemplo

O arco de localiza-se no 1o quadrante:Logo:Sabemos que: e

(valores extremos para o seno)

Como ;, então:

Cosseno de um arco

Aplicando a definição de cosseno de um ângulo agudo:

De modo geral, para m e n reais pertencentes ao intervalo [–1, 1]:

O cosseno do ângulo é a abscissa de P no eixo .O eixo , das abscissas, é também chamado eixodos cossenos.

Cosseno de um arco

Para todo arco AP do ciclo trigonométrico, com P(m, n), med(AP) = , ℝ e 0 2, temos cos = m.

Para determinar o cosseno dos arcos dos demais quadrantes, devemos considerar a simetria do ponto P, com P QI, e de seus simétricos em relação ao eixo das abscissas, à origem O e ao eixo das ordenadas.

Simetria no estudo do cosseno

Observe, nas figuras a seguir, o cosseno de alguns arcos do 1o quadrante e o cosseno de seus simétricos em relação aos eixos ou à origem O.

Exemplo

Simetria no estudo do cosseno

cos = cos =

cos = sen = –

∎

∎

Exemplo

Simetria no estudo do cosseno

∎

∎

Observação

Os valores do cosseno dos arcos 0, e 2 são chamados de valores

notáveis.

Exemplo

Simetria no estudo do cosseno

Para a, em radiano, no 1o quadrante: cos (2 – ) = cos cos ( – ) = –cos cos ( + ) = –cos

Redução ao 1o quadrante

Vamos calcular o cosseno de e o cosseno de seus simétricos em relação aos eixos e à origem O.

Exemplo11 6

Redução ao 1o quadrante

–1 ≤ cos ≤ 1

ObservaçãoNo ciclo trigonométrico, para todo ∈ ℝ, 0 ≤ ≤ 2, temos:

Variação do cosseno

ExemploDeterminar os valores reais de m para que se tenha cos x – 2m = 4.

Resolução:cos x = 4 + 2m → como – 1 ≤ cos x ≤ 1, então – 1 ≤ 4 + 2m ≤ 1 → → – 1 – 4 ≤ 2m ≤ 1 – 4 → – 5 ≤ 2m ≤ – 3 → – 5/2 ≤ m ≤ – 3/2

Função seno

Considerando a projeção ortogonal de P no eixo vertical, a ordenada do ponto P é o seno do arco de medida x.

A função seno é a função f: ℝ → ℝ que associa cada número real x a um único sen x, ou seja, f(x) = sen x.

Logo:

O gráfico da função seno

Vamos construir o gráfico da função f(x) = sen x com base em uma tabela de valores para x tal que x ∈ [0, 2]. 

x 0 2

sen x 0 1 0 –1 0 

O gráfico da função seno

A curva obtida no intervalo [0, 2] repete-se para x > 2 e x < 0.

Características da função seno

É periódica, de período 2 (cada ciclo se completa em um intervalo de 2). 

É limitada, ou seja, seus valores estão no intervalo [–1, 1]; seu conjunto imagem é Im = [–1, 1]. 

É crescente nos intervalos etc. e decrescente nos

intervalos etc. 

Características da função senoÉ positiva para x nos intervalos ]0, [, ]2, 3[ etc. e

negativa para x nos intervalos ]–, 0[, ], 2[, ]3, 4[ etc. 

Tem amplitude (metade da diferença entre as ordenadas máxima e mínima dos pontos do gráfico) igual a 1.

Função cosseno

Considerando a projeção ortogonal de P no eixo horizontal, a abscissa do ponto P é o cosseno do arco de medida x.

A função cosseno é a função f: ℝ → ℝ que associa cada número real x a um único cos x, ou seja, f(x) = cos x.

Logo:

x 0 2

cos x 1 0 –1 0 1

O gráfico da função cossenoVamos construir o gráfico da função f(x) = cos x com base em uma tabela de valores para x tal que x ∈ [0, 2]. 

O gráfico da função cosseno

A curva obtida no intervalo [0, 2] repete-se para x > 2 e x < 0.

Características da função cossenoÉ periódica, de período 2 (cada ciclo se completa em um intervalo de

2). 

É limitada, ou seja, seus valores estão no intervalo [–1, 1], o que significa que seu conjunto imagem é Im = [–1, 1].

É crescente nos intervalos [–, 0], [, 2] etc. e decrescente nos intervalos [0, ], [2, 3] etc.

É positiva nos intervalos etc. e

negativa nos intervalos etc.

Características da função cossenoTem amplitude igual a 1.

O gráfico da função cosseno forma uma “onda’’ semelhante à do gráfico da função seno, com deslocamento de rad para a esquerda.

Função tangenteVamos considerar o ponto T da intersecção entre a reta OP e a reta tangente à circunferência pelo ponto A(1, 0).A ordenada do ponto T é a tangente do arco de medida x.Logo:

A função tangente é a função f: , que associa cada número real x (com exceção dos valores côngruos a e ) a um único valor tg x, ou seja, f(x) = tg x.

Características da função tangenteA função tangente é periódica, de período . 

A função tangente não é limitada, ou seja, seu conjunto imagem é Im =]–∞, +∞[ ou ℝ. 

A função tangente é crescente nos intervalos onde k ∈ ℤ. 

A função tangente assume valores positivos para x nos intervalos etc. e valores negativos para x nos intervalos etc.

ResoluçãoDe acordo com a restrição do domínio para a função tangente, temos:

Logo:

1. Determinar o domínio da função .

EXEMPLO

DOMÍNIO – IMAGEM - PERÍODO

Nas funções do tipo f(x) = a + b.sen cx e g(x) = a + b.cos cx temos que:

EXEMPLO

1. Determinar domínio, imagem e período de f(x) = 2 ∙ cos .

Resolução:a = 0, b = 2 e c = 1

2. Obter domínio, imagem e período de f(x) = –4 + 4 ∙ sen 3x. Resolução:a = – 4, b = 4 e c = 3

3. Ciência. Em uma cidade litorânea, a altura h da maré (em metro), em função do tempo, é dada pela expressão h(t) = 2 + 0,5 ∙ cosna qual t é o tempo, medido em hora, a partir da meia-noite (t = 0 representa meia-noite). Determinar a altura máxima e a alturamínima da maré e de quanto em quanto tempo a maré faz um ciclocompleto.