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Transições de Fase e Fenômenos CríticosPG – 2º Semestre de 2007
Ementa:1. Fenomenologia de transições de fase.2. Modelos magnéticos simples.3. Universalidade e scaling.4. Métodos de aproximação. 5. Teoria de escala de tamanhos finitos.6. Invariância conforme.7. Sistemas desordenados.8. Transições de fase quânticas.
Instituto de Física, UFRJ
última atualização: 16/8/2007
Modelos magnéticos simples
• A origem da “interação magnética”• Modelo de Heisenberg isotrópico • Modelo de Heisenberg anisotrópico• Modelo de Ising• Modelo de Heisenberg planar• Modelo XY• Dimensionalidade da rede magnética• Simetria discreta vs. simetria contínua• O modelo de Potts• Universalidade: modelos de pseudo-spin
“Interação magnética” responsável pelo ordenamento magnético: troca (exchange) = repulsão coulombiana + princípio de Pauli Spins paralelos elétrons mais
afastados diminui atração dos núcleos menor energia de ligação
Spins anti-paralelos elétrons mais próximos aumenta atração dos núcleos maior energia de ligação
21 SS JE
acoplamento de troca: depende do recobrimento dos orbitais atômicos
Molécula de H2
Ene
rgia
(R
y)
Separação intermolecular (a0)
A origem da “interação magnética”
exchange direto
superexchange: mediada por átomos não magnéticos
exchange indireto em metais: mediada por elétrons de condução
A origem da “interação magnética”
Modelo de Heisenberg isotrópico
• Spins-S localizados em sítios de uma rede regular: Si magnetismo
de isolantes• A interação entre pares de spin é isotrópica (no “espaço de spins”:
• Alcance da interação: Jij decai com |i j| implicações para dimensionalidade efetiva da rede
jji
iijJH SS ,
Modelo de Heisenberg isotrópico
• Com J > 0, o estado fundamental corresponde a ferromagnetismo saturado;• Estados excitados: ondas de spin (deslocamentos transversais compartilhados por todos os sítios) spin de cada sítio não está em um estado bem definido
• Fontes de anisotropia de spin: campo cristalino ou campo dipolar que atuam nos momentos magnéticos
Exemplo: Dy3+ L = 5, S = 5/2, J = 15/2• sem campo cristalino, o estado fundamental é o multipleto 2H15/2 degenerescência 16• com campo cristalino uniaxial (< acoplamento spin-órbita) quebra degenerescência em oito dubletes • Para Dy3Al5O12 (DAG), Tc 2.5K << E/kB ~ 80K a baixas temperaturas o spin tem apenas dois estados, os de anisotropia máxima spin ½ efetivo• J|| ~ 100 J • melhor descrito por anisotropia single-ion
15/2
13/2
1/2
80K
Modelo de Heisenberg anisotrópico
zD
S
i
zij
jiiij SDJH
direção na projeçãomaior a favorece 0
:1/2) se apenas (efetivo anisotropyion -single
2
,
SS
Exemplo: Co2+ [L = 3, S = 3/2] em CoCs3Cl5.• campo cristalino mais forte que acoplamento spin-órbita contribuição orbital para momento magnético é quenched• componente axial do campo cristalino quebra degenerescência 4 do estado fundamental • Tc 0.52K << E/kB ~ 10K a baixas temperaturas o spin tem apenas dois estados, de anisotropia máxima spin ½ efetivo• J|| ~ 10 J • melhor descrito por anisotropia Ising
Modelo de Ising
zj
ji
ziij SSJH
,• Na base de autoestados de Si
z , |S1 S2Sn, com Si = S, (S 1), +S cada spin mantém sua individualidade pode-se substituir o operador por seu autovalor na Hamiltoniana
No que diz respeito a classes de universalidade, diferença entre Heisenberg anisotrópico e Ising é imaterial; discrepâncias com relação a grandezas não-universais serão comentadas posteriormente.
Modelo de Heisenberg planar
Exemplo: CsNiF3.• sem exchange: campo cristalino singleto (menor energia) e dubleto• com exchange ~ gap singleto-dubleto mistura 3 estados spin efetivo S = 1• + anisotropia single-ion favorecendo alinhamento num “plano fácil”
2
,
i
zij
jiiij SDJH SS
anisotropia single-ion (só se S > ½) com D < 0: favorece o alinhamento das componentes planares
Modelo XY
É o limite extremo de anisotropia planar:• spins confinados a um plano
yj
yi
xj
xi
jiij SSSSJH
,
Planar XY
Para grandezas universais, diferença entre planar e XY é imaterial
Dimensionalidade da rede magnética
• Anisotropia espacial possível (p.ex., materiais estruturados em
camadas) determina a dimensionalidade da rede magnética: Jij pode depender da direção de i j:
A distância entre átomos magnéticos entre planos distintos é bem maior que a distância quando estão no mesmo plano J|| << J d = 2
YBa2Cu3O7- (YBCO) Bi-2212
Cu
O
Ca
Sr
Bi
Dimensionalidade da rede magnética
d = 1
Simetria discreta vs. simetria contínua
Generalização do modelo de Ising: o modelo de Potts
modelo de Ising FM: dois estados possíveis para o spin num sítioenergia de interação:
J se dois spins vizinhos num mesmo estado (paralelos) +J se dois spins vizinhos em estados diferentes (paralelos)N.B.: o importante é que há um E 0 separando estes estados, e não de quanto é a separação simetria discreta: {S } {S }
Questão [tese de doutorado proposta por C Domb a seu estudante RB Potts (tese de doutorado, Oxford, 1951)]: como generalizar Ising para q estados, preservando a simetria discreta?
Imagine vetores clássicos em cada sítio de uma rede que podem apontar em qq uma de q direções:
q = 2 q = 3 q = 4
q
JE
i
ij ji
,,2,1
Revisão: FY Wu (1982)
Modelo de Potts de 3 estados em 3 dimensões
NdAl2 PrAl2, e DyAl2 são ferromagnetos com simetria cúbica: na ausência de campo magnético H, a magnetização aponta em uma das dirções cristalinas [100], [010], ou [001].A aplicação de um campo magnético na direção [111] estabiliza qualquer uma das direções igualmente.
O sistema sofre uma transição de primeira ordem – descontinuidade na magnetização – em Hc (T)
B Barbara et al., JPC 11, L183(1978)
Modelo de Potts de 3 estados em 2 dimensões
Gases nobres (He, Kr,...) adsorvidos na superfície de grafite; eles ocupam os centros dos hexágonos
Berker et al., PRB 17, 3650 (1978)
Para cobertura (i.e., fração de sítios ocupados) 1/3, os átomos de Kr preferem ocupar uma das 3 sub-redes q = 3
Efeitos da dimensionalidadeModelo de Ising
Bk
JSzS )1(
3
2 :re temperatucritical field-Mean
d=3: séries; d=2: exato (Onsager); d=1: exato (Ising)
MF falha até mesmo em 3D:• Tc superestimada• descontinuidade, ao invés de divergência• ausência da cauda de altas temperaturas
Flutuações mais importantes quando d :• Tc descresce• Tc 0 em d =1
http://www.cs.adelaide.edu.au/~paulc/physics/spinmodels.html
Paul Coddington, University of Adelaide, paulc@cs.adelaide.edu.au
Referências [RMP=Rev Mod Phys; PRX=Phys Rev X;]
LJ de Jongh and AR Miedema, Adv Phys 23, 1 (1974)LP Kadanoff et al., RMP 39, 395 (1967)HE Stanley, Introduction to Phase Transitions and Critical Phenomena, (Oxford), 1967FY Wu, RMP 54, 235 (1982); 55, 315 (1983) (E).JM Yeomans, Statistical Mechanics of Phase Transitions, (Oxford), 1992.