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Transferência de Calor e Massa
1. Introdução
Neste tópico apresenta-se uma breve descrição, importância e alguns exemplos de
aplicações de transferência de calor e massa, bem como das equações básicas que governam
estes processos.
1.1 Importância de Transferência de Calor (Energia) e Massa
A Civilização Moderna depende fortemente de como ela manuseia e usa sua energia,
energia esta suprida através de recursos naturais, nem sempre fáceis de serem explorados.
O uso de energia pode ser identificado como trabalho, potência e calor, mas na
realidade o trabalho e potência que são usados finalmente degeneram em calor. Calor é a troca
de energia entre objetos (sistemas) “quentes” e “frios” e a troca ocorre espontaneamente do
“quente” para o “frio”
(Transferência) de Calor é a ciência que explica e prediz quão rápida ocorre a troca de
energia como calor. É a ciência que integra as várias ferramentas analíticas e empíricas
provendo um fórum, um corpo de conhecimento, para projetistas, construtores, operadores,
gerentes e pesquisadores de forma mais acurada estudar calor como uma troca de energia.
A preocupação com energia, sua conservação ou economia pela sociedade requer
numa extensão importante a compreensão dos conceitos de transferência de calor e
transferência de massa.
Alguns casos de aplicação de transferência de calor:
- isolamento (por fibra de vidro) de tetos e paredes de edifícios para manter determinadas
condições climáticas;
- quantificação da perda de energia através de janelas modernas e isoladas para manter o
ambiente confortável tanto no inverno quanto no verão;
- projeto e operação de geradores de vapor (caldeiras) ou ebulidores requer a compreensão
da transferência de calor que ocorre da queima (combustão) de carvão, gás ou óleo para a
água nos tubos;
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- projeto e construção de um radiador (convector) para um motor de automóvel para mantê-
lo “frio” quando em operação envolve transferência de calor e massa;
- dissipação de calor em linhas de potência elétrica devido à resistência elétrica;
- proteção de cabos elétricos contra fogo e altas temperaturas;
- manutenção de temperaturas adequadas em circuitos de computadores e outros sistemas;
- condicionamento de ar para conforto térmico;
- processos sanitários, manuseio de lixo, esterilização;
- manuseio e processamento de alimentos.
Transferência de massa é o estudo do movimento de massa de um local para outro
através do uso de dispositivos mecânicos ou naturalmente devido a diferença de densidade. A
diferença de densidade provoca difusão (transporte microscópico) de massa (uma espécie
penetra em outra) ou convecção natural (transporte macroscópico) de massa. Os dispositivos
mecânicos (bombas, ventiladores e compressores) provocam difusão e convecção forçada de
massa. Exemplos onde ocorre transferência de massa:
- processos químicos;
- poluição do ar;
- combustão;
- processos criogênicos (baixas temperaturas) tais com produção de N2, H2 e O2 líquidos,
gelo seco (CO2 líquido)
1.2 Conceitos
1.2.1 Sistema Físico
Um sistema físico pode ser considerado com sendo constituído de um sistema material
(subsistema 1) mais um campo de radiação (subsistema 2). O sistema material, geralmente,
considerado como meio contínuo, é composto a nível elementar de moléculas (incluindo íons
e átomos), de elétrons e de partículas fictícias tais como fônons (quanta de energia vibracional
num sólido), etc.
Um meio pode ser considerado como contínuo quando o menor elemento de volume
ainda contém de 1015 a 1020 moléculas. Sob determinadas condições físicas, tais elementos
podem ser caracterizados estatisticamente por propriedades físicas macroscópicas médias
sobre todas as moléculas que eles contêm (massa média, velocidade, pressão ou temperatura).
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O campo de radiação eletromagnética é caracterizado em escala macroscópica pela
definição em cada ponto r do espaço e para cada direção Δ de uma quantidade νI ′ , a
intensidade monocromática relacionada com a freqüência ν . O campo de radiação resulta da
distribuição de fótons (quanta de energia particular de Bose-Einstein que em repouso possuem
massa nula) cada caracterizado pela freqüência ν , momentum p e spin s. Um quanta tem
energia νhe = , onde 346 6256 10h , x Js−= é a constante de Planck.
1.2.2 Equilíbrio Termodinâmico
Em termodinâmica, o conceito de equilíbrio termodinâmico perfeito envolve equilíbrio
térmico (T uniforme), equilíbrio mecânico (P uniforme) e equilíbrio químico (potencial
químico μ uniforme) e é utilizado para equacionamento dos problemas. O equilíbrio térmico
significa que o sistema material é isotérmico a temperatura T; o campo de radiação tem uma
distribuição uniforme dependente apenas de T; o campo de radiação e sistema material estão
na mesma temperatura. Entretanto, para ocorrer transferência de calor, os sistemas devem
estar em não equilíbrio térmico.
1.2.3 Equilíbrio Termodinâmico Local
O não equilíbrio térmico causa a transferência de calor devido colisões entre
moléculas ou entre moléculas e uma parede; interações moléculas/fótons (absorção, emissão
espontânea, emissão estimulada); interações entre fônons, entre fônons e elétrons, elétrons e
fótons, outras interações. Como as leis da termodinâmica são utilizadas para equacionar
problemas de transferência, tem-se que lançar mão do conceito de equilíbrio termodinâmico
local (LTE).
A hipótese de equilíbrio termodinâmico local permite definir variáveis físicas
T( r ,t ), P( r ,t ), ( r ,t )μ , etc. em qualquer instante de tempo e para cada ponto r . Sob esta
hipótese, pode-se assumir que durante um intervalo dt e em um elemento de volume
arbitrariamente pequeno (mas macroscópico, contínuo) o sistema material está localmente
infinitamente próximo a um estado de equilíbrio, descrito por propriedades intensivas e
extensivas.
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Em LTE adotado para estudo de problemas de transferência de calor o sistema físico é
o local dos seguintes processos macroscópicos irreversíveis com os quais um fluxo está
associado:
- relativo a um elemento de matéria, o efeito cumulativo em escala macroscópica do
transporte de várias quantidades físicas (carga elétrica, no de moléculas de um dado tipo,
energia) por partículas (moléculas, elétrons, fônons, etc.) traduz para fluxos por difusão:
condução elétrica, difusão de uma espécie em outra, condução térmica;
- simultaneamente associado com cada transferência macroscópica por um movimento
global de parte do sistema material estão associados fluxos macroscópicos de carga
elétrica, energia, etc. Estes são chamados fenômenos convectivos: convecção elétrica,
convecção térmica, etc.;
- interações entre moléculas do sistema material e os fótons do campo de radiação, quando
eles não estão em equilíbrio térmico resulta num fluxo macroscópico de energia na forma
de radiação.
1.2.4 Meio Contínuo
Em teoria cinética dos gases o conceito de meio contínuo é apresentado através da
seguinte definição de temperatura:
∑=
=N
s
sB
mvTNk
1
2
223 (1.1)
na qual N é o no de átomos idênticos de massa m cada em equilíbrio térmico num elemento de
volume dV ( 2015 1010 −≈N ) o meio é considerado contínuo; KJxkB /1038054,1 23−= é a
constante de Boltzmann e sv é velocidade de um átomo em relação a dV.
1.3 Modos Principais de Transferência de Energia
Os modos principais de transferência de energia na forma de calor são condução,
convecção e radiação. A condução térmica ocorre através de um elemento material no qual
existe um gradiente de temperatura. Ela representa o efeito global do transporte de energia por
portadores elementares (moléculas, fônons: partícula fictícia que representa quanta de energia
vibracional de um sólido, elétrons, etc.).
Em fluidos os portadores elementares (moléculas, átomos, íons, etc.) são
caracterizados por energia de translação, possivelmente vibração e rotação, energia eletrônica.
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Em sólidos os átomos são arranjados em uma estrutura cristalina mais ou menos
perfeita. Os vetores de energia são fônons (quanta de vibração da estrutura cristalina) e talvez
elétrons livres (condução elétrica e térmica).
Em radiação, energia é permanentemente trocada entre um sistema material e um
campo de radiação pelos seguintes processos:
- emissão espontânea de radiação que consiste na conversão de energia térmica (energia de
vibração ou rotação, energia eletrônica, energia de fônons, etc. para uma energia radiativa
(de fótons);
- absorção de radiação pela conversão inversa de energia radiativa para energia térmica.
Sob o ponto de vista de radiação, pode-se definir três tipos de meio:
- meio transparente como aquele que não emite, não absorve, não reflete ou difunde, mas
transmite toda radiação incidente qualquer que seja sua direção e freqüência;
- meio opaco que não transmite qualquer radiação incidente (Ii) que pode ser absorvida (Ia)
ou refletida (Ir). O meio opaco também pode emitir a radiação (Ie);
- meio semitransparente que reflete, absorve ou difunde a radiação incidente, ou a transmite
em distâncias finitas.
Figura 1.1 Radiação em meios transparente e opaco
Os modos de transferência de energia por condução e radiação são objeto de estudo
deste curso de TCMI. O modo de transferência de energia por convecção será objeto de
estudo do curso TCMII e será abordado ao longo daquela disciplina.
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1.4 Objetivos e Convenções
O objetivo principal é determinar para qualquer sistema em LTE, a evolução do campo
de temperatura ),( trT e o fluxo de energia (para todas as formas de energia) que é necessário
para controlar um processo. Um processo será em regime transiente (RT) se as quantidades
físicas A (escalares, vetores, tensores) dependem do tempo, isto é,
0),(≠
∂∂
ttrA (1.2)
Para processos em regime permanente (RP), não há variação das grandezas físicas com o
tempo. Ou seja,
0),(=
∂∂
ttrA (1.3)
Define-se fluxo de energia como a potência Φd (em Watts) atravessando um
elemento de superfície dS , cuja normal é n e cujo vetor densidade de fluxo é q [W/m2].
Numericamente,
dSnqd •=Φ (1.4)
Define-se a densidade de fluxo [W/m2] como
nqq •=′′ (1.5)
ou
dSdq Φ
=′′ (1.6)
Figura 1.2 Vetor densidade de fluxo através de um elemento dS com normal n .
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1.4.1 Lei de Fourier da Condução
Nos processos de condução térmica, define-se o vetor densidade de fluxo condutivo,
pela Lei de Fourier, como
Tkq cd ∇−= (1.7)
na qual k é denominada condutividade térmica do material que pode depender da temperatura
e da direção espacial (caso em que k é um tensor e Tkq cd ∇•−= ). O sinal negativo na Lei
de Fourier é requerido pela 2a Lei da Termodinâmica. O fluxo condutivo pode, então, ser
calculado na forma
nTknTknqq cd
∂∂
−=•∇−=•=′′ (1.8)
para q ′′ no sentido da normal ao contorno.
Compare a Lei de Fourier com as lei de Ohm e lei de Fick de difusão. A Lei de Ohm
estabelece que o vetor densidade de corrente j é dado na forma:
elVEj ∇−== σσ (1.9)
na qual E é o campo elétrico, σ é a condutividade elétrica e elV é o potencial elétrico. Já a
Lei de Fick de difusão de massa, estabelece que a taxa de difusão αj de uma espécie α numa
espécie β é definida pela equação
ααβα CDj ∇−= (1.10)
na qual αβD é a difusividade de α em β e αC é a concentração molar definida por
nn
MC α
αρ
= (1.11)
onde ρ é a massa específica da mistura e M é o peso molecular da mistura.
1.4.2 Fluxo Conduto-Convectivo – Condução e Convecção Combinadas numa Parede
Considere um fluido a temperatura fT escoando paralelo a uma parede mantida a uma
temperatura sT diferente da temperatura do fluido, Figura 1.3. Na interface do lado sólido o
fluxo por condução será
w
ss
cds y
Tkq
∂∂
−= (1.12)
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Figura 1.3 Escoamento sobre uma parede
O fluxo condutivo do lado do fluido pode ser definido como
w
ff
cdf y
Tkq
∂
∂−= (1.13)
de modo que se tem a igualdade dos fluxos, ou seja,
w
ff
w
ss y
Tk
yT
k∂
∂−=
∂∂
− (1.14)
Para o fluxo condutivo do lado do fluido, o problema é determinar o gradiente de
temperatura na parede y
T f
∂
∂ que depende da convecção. Este fluxo deveria chamar fluxo
conduto-convectivo ccq (mas é erroneamente chamado de fluxo convectivo).
1.4.3 Coeficiente de Transferência de Calor Convectiva
Considere o escoamento de um fluido com velocidade )(rV e temperatura )(rT num
canal de altura l , cuja parede inferior ( 0y = ) está a 1T e a parede superior ( 1y = ) está a 2T .
Suponha que a distribuição de temperatura em função de y seja como ilustrado na Figura 1.4
O fluxo conduto-convectivo na parede inferior pode ser definido como
)( 11
00 m
mf
y
ffy
cc TThTT
ky
Tkq −=
−−=
∂
∂−=
== ξ
(1.15)
na qual ),( escoamentodonaturezafluidodoespropriedadfunçãoh = e é denominado de
coeficiente de transferência de calor por convecção. Generalizando pode-se calcular o fluxo
conduto-convectivo por
cwcc TThq −= (1.16)
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na qual wT é a temperatura na parede e cT é uma temperatura característica do fluido. A
ordem de grandeza do coeficiente de transferência de calor é apresentada na Tabela 1.1.
Figura 1.4 Temperatura de um fluido num canal em função de y.
Tabela 1.1. Valores de h para determinados escoamentos
Tipo Fluido h [Wm-2K-1]
Convecção natural
gás 5-30
água 100-1000
Convecção forçada
gás 10-300
água 300-12000
óleo 50-1700
metal líquido 6000-110000
Mudança de fase
ebulição (água) 3000-60000
condensação (água) 5000-110000
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O fluxo conduto-convectivo será denominado pela sigla convencional, qqcc ′′= ou
simplesmente q (este último símbolo em T.C. é equivalente a Q ). Desta forma
fw TTqh−′′
= , para fw TT > (1.17)
ou
0=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−−
=yfw y
TTT
kh (1.18)
h é uma propriedade do escoamento; k é a condutividade térmica do fluido; wT é a
temperatura em 0=y que coincide com a interface entre o fluido e o outro meio (por
exemplo, um parede sólida); fT é uma temperatura característica da corrente de fluido longe
da parede; 0=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
yyT é o gradiente de temperatura do lado do fluido na interface.
1.4.4 Radiação - Transferência de calor entre superfícies negras
Considere o problema de determinar a taxa líquida de transferência de calor
( )1 2q W− entre duas superfícies negras isotérmicas ( )1 1,A T e ( )2 2,A T mostradas na Figura 1.5.
Um corpo negro é aquele que emite uma intensidade de radiação de acordo com a lei
( )5 4 4 4
2 22 30
215b
k T TI T n nc hπ σ
π π= = (1.19)
na qual 5 4
2 30
215
kc hπσ = (1.20)
é a constante de Stefan-Boltzmann e seu valor em unidades SI é 8 2 45,67 10 W/(m K )xσ −= ⋅ .
h e k são, respectivamente, as constantes de Planck e de Boltzmann, 0c é a velocidade da luz
no vácuo, T é a temperatura absoluta e ν é a freqüência de propagação da onda.
Esta análise pode ser feita nos seguintes passos:
1. A fração da radiação emitida pelo elemento de área 1dA e interceptada (absorvida
totalmente) pelo elemento de área 2dA ;
2. A fração da radiação emitida pelo elemento de área 2dA e interceptada (absorvida
totalmente) pelo elemento de área 1dA ;
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3. A taxa de transferência líquida de 1dA para 2dA , isto é, a diferença entre as respostas
da parte 1. e 2. e finalmente,
4. A taxa de transferência líquida de 1A para 2A , que é entre as duas áreas finitas
isotérmicas.
Figura 1.5 – Parâmetros geométricos para cálculo do fator de forma
Se r é a distância entre os elementos de áreas 1dA e 2dA , então o ângulo sólido
através do qual 2dA é visto por um observador estacionado em 1dA é igual a 22 2cos /dA rφ .
Note que 2 2cosdA φ é a dimensão de 2dA após ele ter sido projetado na direção da linha
1 2dA dA− .
Viajando de 1dA na direção de 2dA (e para todo o resto do espaço) tem-se a
intensidade total de radiação de corpo negro ( ),1 1b bI I T= . O tamanho da área emitente que é
normal à direção r é a área “ 1dA projetada”, 1 1cosdA φ . Portanto, a resposta ao item 1. é:
1 2
2 2,1 1 1 2
coscosdA dA bdAq I dA
rφφ→ = (1.21)
A seta usada no subscrito 1 2dA dA→ é para lembrar que 1 2dA dAq → representa a
transferência de energia unidirecional por unidade de tempo, neste caso, de 1dA (emissor) para
2dA (alvo). Analogamente, a resposta ao item 2. será:
18
2 1
1 1,1 2 2 2
coscosdA dA bdAq I dA
rφφ→ = (1.22)
O terceiro passo consiste simplesmente de subtrair a Eq. (1.22) da Eq. (1.21) para
calcular a transferência de calor líquida de 1dA para 2dA :
( )1 2 1 2 2 1
1 2,1 ,2 1 22
cos cosdA dA dA dA dA dA b bq q q I I dA dA
rφ φ
− → →= − = − (1.23)
Usando a equação (1.19) para as intensidades de radiação de corpo negro, com 1n = , a Eq.
(1.23) pode ser reescrita como
( )1 2
4 4 1 21 2 1 22
cos cosdA dAq T T dA dA
rφ φσπ− = − (1.24)
Para se calcular ( )1 2q W− deve-se somar as contribuições de todos os elementos de
área de 1A e 2A , ou seja,
( )1 2
4 4 1 21 2 1 2 1 22
cos cosA A
q T T dA dAr
φ φσπ− = − ∫ ∫ (1.25)
No lado esquerdo da Eq. (1.25) o subscrito 1-2 estabelece que a taxa de transferência
( )1 2q W− deixa a superfície 1A e entra (cruza) a superfície 2A .
A unidade da integral dupla na Eq. (1.25) é metro quadrado ( )2m . É conveniente
definir um fator adimensional formado pela razão da integral dupla por 1A , denominado de
fator de forma geométrico baseado em 1A :
1 2
1 212 1 22
1
1 cos cosA A
F dA dAA r
φ φπ
= ∫ ∫ (1.26)
A equação (1.25) pode, então, ser reescrita como
( )4 41 2 1 2 1 12q T T A Fσ− = − (1.27)
O fator de forma é puramente geométrico, pois depende apenas de dimensões,
orientações e posições relativas das duas superfícies.
Alternativamente poderia se definir
1 2
1 221 1 22
2
1 cos cosA A
F dA dAA r
φ φπ
= ∫ ∫ (1.28)
de modo que ( )1 2q W− fica na forma
( )4 41 2 1 2 2 21q T T A Fσ− = − (1.29)
19
Assim para se calcular ( )1 2q W− deve-se calcular ou 12F ou 21F . Ao se integrar a Eq. (1.21)
obtém-se o resultado
1 2
41 21 2 ,1 1 2 1 1 122
cos cosb A A
q I dA dA T A Frφ φ σ→ = =∫ ∫ (1.30)
Se 1b,E representa o fluxo emissivo total ou poder emissivo total da superfície 1, este fluxo é
da forma 4
,1 1bE Tσ= (1.31)
Portanto, pode-se demonstrar que 4
1 1 ,1 1bT A E Aσ = (1.32)
que é o número de watts de radiação de corpo negro emitida pela superfície 1A em todas as
direções que os pontos de 1A podem “olhar”. Apenas uma porção de ,1 1bE A é interceptada e
absorvida por 2A ( porque, em geral, 1A pode ser cercada por outras superfícies além de 2A );
aquela porção é 1 2q → ou ,1 1 12bE A F . Em conclusão, o significado físico do fator de forma é:
1 2 1 212
,1 1 1
radiaçao deixando e sendo interceptada por radiaçao deixando em todas as direçoesb
q A AFq A A
→= = (1.33)
A razão formulada na Eq. (1.33) sugere que o fator de forma está no intervalo entre 0 e
1. Livros textos de transferência de calor apresentam gráficos e tabelas de fatores de forma
para várias configurações. Vide Bejan (1993) Cap. 10, por exemplo.
1.5 Medições de temperatura usando termopares: (Prática 1)
Nesta parte do curso será realizado um experimento de medições de temperatura
através de termopares. O experimento consiste na confecção, aferição e fixação de
termopares, bem como o manuseio de milivoltímetros e registradores potenciómetricos.
Temperatura é um conceito intuitivo de quente e frio. Existem várias maneiras de
medir temperatura, por exemplo, baseando-se na variação de pressão, variação de volume,
resistência elétrica, coeficientes de expansão, etc., uma vez que todos estes efeitos são
relacionados com a temperatura através da estrutura molecular da matéria. Eles mudam com a
temperatura e estas mudanças podem ser usadas para medir temperatura. Os termômetros de
gás baseiam-se no efeito de variação da pressão para medir a temperatura através da equação
de estado de gases ideais. Medida de temperatura por efeito mecânico baseia-se na dilatação
20
de um material, como por exemplo, a dilatação de mercúrio em um tubo de vidro graduado. O
efeito bi metálico baseia-se na colagem de duas fitas de metais de diferentes coeficientes de
expansão que se deformam de forma diferente sob o efeito da temperatura. Efeito elétrico é
uma maneira conveniente de medir porque o sinal elétrico pode ser facilmente detectado,
amplificado, ou usado para propósitos de controle.
O método elétrico mais comum de se medir temperatura usa termopares. Quando dois
metais diferentes são unidos por uma de suas extremidades, Figura 1.6, aparece entre as
extremidades livres uma força eletromotriz (emf – electromotive force) que será função da
temperatura da junção. Este fenômeno é chamado efeito Seebeck. Se os dois materiais são
conectados a um circuito externo de tal maneira que origina uma corrente, a emf pode ser
alterada levemente devido ao fenômeno chamado efeito Peltier. Além do mais, se um
gradiente de temperatura existe ao longo de um ou ambos os materiais, a emf da junção sofre
uma alteração adicional chamada de efeito Thomsom. Existem, portanto, três emf’s presentes
no circuito: o efeito Seebeck causado pela junção de materiais não similares; o efeito Peltier
causado pelo efeito de escoamento de corrente elétrica no circuito; e o efeito Thomson, que
resulta de gradiente de temperatura nos materiais. A emf de Seebeck é a mais importante visto
que ela depende da temperatura da junção. Se a emf gerada da junção de dois materiais
diferentes é cuidadosamente medida como uma função da temperatura, então tal junção pode
ser utilizada para medida de temperatura.
Figura 1.6 Junção de dois metais não similares indicando efeito termoelétrico.
Duas regras estão disponíveis para análise de circuitos termoelétricos:
1) Se um terceiro metal é conectado no circuito como mostrado na Figura 1.7, a emf
líquida não é afetada se ambas as conexões estiverem na mesma temperatura. Isto
pode ser provado com ajuda da segunda lei da termodinâmica e é conhecido como lei
de metais intermediários.
2) Considere o arranjo da Figura 1.8. Os circuitos simples de termopares são construídos
dos mesmos materiais mas operam entre diferentes limites de temperaturas. O circuito
21
na Figura 1.8a desenvolve uma emf de valor E1 entre as temperaturas T1 e T2; o
circuito na Figura 1.8b desenvolve uma emf de valor E2 entre as temperaturas T2 e T3 .
A lei das temperaturas intermediárias estabelece que este mesmo circuito desenvolve
uma emf E3= E1 + E2 quando operando entre as temperaturas T1 e T3, como mostrado
na Figura 2.8c.
Figura 1.7 Influência de um terceiro metal no circuito termoelétrico; lei de metais
intermediários.
Figura 2.8 Circuitos ilustrando a lei de temperaturas intermediárias.
Os circuitos termopares devem envolver pelo menos duas junções. Se a temperatura de
uma junção é conhecida, então, a temperatura da outra junção pode ser facilmente calculada
usando as propriedades termoelétricas dos materiais. A temperatura conhecida é chamada de
temperatura de referência. Um arranjo comum para estabelecer a temperatura de referência é
banho de gelo como mostrado na Figura 1.9. Uma mistura de gelo e ar saturado de água
destilada à pressão atmosférica produz uma temperatura de 0 oC. Quando a mistura é mantida
numa garrafa térmica, ela pode ser mantida por longos períodos. Ambos os fios do termopar
podem ser mantidos à temperatura de referência como mostrado na Figura 1.9a ou apenas um
fio pode ser mantido na temperatura de referência como mostra a Figura 1.9b. O arranjo da
Figura 1.9a seria necessário se os conectores no medidor de voltagem estiverem à diferentes
temperaturas, enquanto a conexão na Figura 1.9b seria satisfatório se os conectores estiverem
na mesma temperatura. Para ser efetivo o sistema na Figura 1.9a deve ser de mesmo material.
22
Figura 1.9 Métodos convencionais para estabelecer temperatura de referência em circuito
termopar. Termopar ferro-constantan ilustrado.
É comum expressar a emf do efeito termoelétrico em termos do potencial gerado com
a junção de referência a 0 oC. Tabelas de termopares padrões têm sido elaboradas com base
nisso e um sumário das características de saída dos termopares mais comuns é apresentado na
Tabela 1.2, na qual também está indicado o tipo de termopar: T, E, J, K, S. Estes dados são
mostrados graficamente na Figura 1.10, juntamente com o comportamento de alguns dos mais
exóticos materiais.
Tabela 1.2 - Emf térmica em milivolts absolutos para combinações de termopares comumente
usados (Junção de referência a 0oC) Temperatura Cobre
Constantan1
(T)
Cromel2
Constantan
(E)
Ferro
Constantan
(J)
Cromel
Alumel3
(K)
Platina
Platina-10%Ródio
(S)
oF oC
-300 -184,4 -5,341 -8,404 -7,519 -5,632
-250 -156,7 -4,745 -7,438 -6,637 -5,005
-200 -128,9 -4,419 -6,471 -5,760 -4,381
-150 -101,1 -3,365 -5,223 -4,623 -3,538
-100 -73,3 -2,581 -3,976 -3,492 -2,699
1 Liga de 60% Cu – 40% Al 2 Liga de 90% Ni – 10% Al 3 Liga de 95% Ni-2%Mn-2%Al-1%Si
23
-50 -45,6 -1,626 -2,501 -2,186 -1,693
0 -17,8 -0,674 -1,026 -0,885 -0,692 -0,092
50 10 0,422 0,626 0,526 0,412 0,064
100 37,8 1,518 2,281 1,942 1,520 0,221
150 65,6 2,743 4,075 3,423 2,667 0,408
200 93,3 3,967 5,869 4,906 3,819 0,597
250 121,1 5,307 7,788 6,425 4,952 0,807
300 148,9 6,647 9,708 7,947 6,092 1,020
350 176,7 8,085 11,728 9,483 7,200 1,247
400 204,4 9,523 13,748 11,023 8,314 1,478
450 232,2 11,046 15,844 12,564 9,435 1,718
500 260,0 12,572 17,942 14,108 10,560 1,962
600 315,6 15,834 22,287 17,178 12,865 2,472
700 371,1 19,095 26,637 20,253 15,178 2,985
800 426,7 31,108 23,338 17,532 3,524
1000 537,8 40,056 29,515 22,251 4,609
1200 648,9 48,927 26,911 5,769
1500 815,6 62,240 33,913 7,514
1700 926,7 38,287 8,776
2000 1093,3 44,856 10,675
2500 1371,1 54,845 14,018
3000 1648,9 17,347
A voltagem de saída de um circuito termopar simples é usualmente escrita na forma
2 31 12 3
E AT BT CT= + + (1.34)
na qual T é a temperatura em graus Celsius e E é baseada na temperatura de junção de 0 oC.
As constantes A, B e C são dependentes do material do termopar.
A sensibilidade ou coeficiente de Seebeck, ou potência termoelétrica, de um termopar
é definida por
2dES A BT CTdT
= = + + (1.35)
24
A Tabela 1.3 contém valores do coeficiente de Seebeck (sensibilidade) de vários materiais
versus platina.
Figura 1.10 Relações emf temperatura para materiais termopares, eletrodo positivo listado
primeiro.
A Figura 1.11 ilustra um termopar com duas junções de referência para os dois
materiais. Neste circuito termopar pode-se demonstra que a relação entre a força eletromotriz
a temperatura é da forma da Eq. (1.36):
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
Ref . Tip Ref . Gageout lead A B LeadGage Ref Tip Ref
Tip Ref .A BRef Tip
TipA BRef
dT dT dT dTE S T dx S T dx S T dx S T dxdx dx dx dx
S T dT S T dT
S T S T dT
= + + +
= +
⎡ ⎤= −⎣ ⎦
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫
(1.36)
25
Figura 1.11 – Circuito termopar
Tabela 1.3 – Sensibilidade de termo elementos feitos de materiais listados contra platina, 1oV Cμ − (Junção de referência mantida a 0oC)
Bismuto -72 Prata 6,5
Constantan -35 Cobre 6,5
Níquel -15 Ouro 6,5
Patássio -9 Tungstênio 7,5
Sódio -2 Cádmio 7,5
Platina 0 Ferro 18,5
Mercúrio 0,6 Nicromo 25
Carbono 3 Antimônio 47
Alumínio 3,5 Germânio 300
Chumbo 4 Silício 440
Tântalo 4,5 Telúrio 500
Ródio 6 Selênio 900
Se os coeficientes de Seebeck forem aproximadamente constates com a temperatura, a
Eq.(1.36) pode ser integrada resultando
( )( )out A B Tip RefE S S T T= − − ou outTip Ref
A B
VT TS S
= +−
(1.37)
Para cálculos computacionais, fórmulas polinomiais, por exemplo, de nona ordem
podem ser usadas na forma
26
2 90 1 2 9T a a E a E a E= + + + + ou (1.38)
( )( )( )( )( )( )( )0 1 2 3 4 5 6 7 8 9T a E a a a a a a a a a E E E E E E E E⎛ ⎞= + + + + + + + + +⎜ ⎟⎝ ⎠
(1.39)
na qual T é a temperatura em oC; E é a voltagem do termopar em volts referente a junção a 0 oC e a são os coeficientes do polinômio dados na Tabela 1.4 para várias combinações de
termopares.
Tabela 1.4 - Coeficientes de polinômios para Eq. (1.39) para várias combinações termopares
padrões. Tipo E Tipo J Tipo K Tipo R Tipo S Tipo T
Cromel(+)
Contantan(-)
Ferro(+)
Constantan(-)
Cromel(+)
Ni-5%(-)
(Al-Si)
Pt-13%-Rh(+)
Platina(-)
Pt-10%-Rh(+)
Platina(-)
Cobre(+)
Constantan(-)
100oC a 1000 oC
± 0,5 oC
Nona ordem
0oC a 1000 oC
± 0,1 oC
Quinta ordem
0oC a 1370 oC
± 0,7 oC
Oitava ordem
0oC a 1000 oC
± 0,5 oC
Oitava ordem
0oC a 1750 oC
± 1oC
Nona ordem
-160oC a 400 oC
± 0,5 oC
Sétima ordem
a0 0,104967248 -0,048868252 0,226584602 0,263632971 0,927763167 0,100860910
a1 17189,45282 19873,14503 24152,10900 179075,491 169526,5150 25727,94369
a2 -282639,0850 -218614,5353 67233,4248 -48840341,37 -31568363,94 -767345,8295
a3 12695339,5 11569199,78 2210340,682 1,90002E+10 8990730663 78025595,81
a4 -448703084,6 -264917531,4 -860963914,9 -4,82704E+12 -1,63565E+12 -9247486589
a5 1,10866E+10 2018441314 4,83506E+10 7,62091E+14 1,88027E+14 6,97666E+11
a6 -1,76807E+11 -1,18452E+12 -7,20026E+16 -1,37241E+1? -2,66192E+13
a7 1,71842E+12 1,38690E+13 3,71496E+18 6,17501E+17 3,94078E+14
a8 -9,19278E+12 -6,33708E+13 -8,03104E+19 -1,56105E+19
a9 2,06132E+13 1,69535E+20