Teoria Moderna de Portfolios um ponto de vista matemático · segundo portfolio com um perﬁl de...

TÓPICOS ABORDADOS NESTA AULAINTRODUÇÃO

GAMBLING WITH THE DEVILMATEMATICAMENTE...

SEM RISCOSNA PRÁTICA

TEORIA MODERNA DE PORTFOLIOS

UM PONTO DE VISTA MATEMÁTICO

Prof. Alexandre Lymberopoulos

Instituto de Matemática e EstatísticaUniversidade de São Paulo

PROF. ALEXANDRE LYMBEROPOULOS TEORIA MODERNA DE PORTFOLIOS UM PONTO DE VISTA MATEMÁTICO

1 INTRODUÇÃO

2 RISCO E RETORNOUm pouco de Estatística

3 MODELAGEM MATEMÁTICA DO PROBLEMA

4 INVESTIMENTOS DE RISCO ZERO

5 ESTATÍSTICA E ÁLGEBRA LINEAR

OBJETIVOS

A idéia é modelar como um investidor racional diversificaria seusinvestimentos para otimizar seu portfolio.

E também como precificar um investimento de alto risco.Este modelo trata o retorno de um investimento como umavariável aleatória e um portfolio como uma combinação linearconvexa de um número dado de investimentos e é, então, umavariável aleatória.Portanto possui esperança e variância.O risco, neste modelo, é o desvio padrão desta variávelaleatória.

OBJETIVOS

A idéia é modelar como um investidor racional diversificaria seusinvestimentos para otimizar seu portfolio.E também como precificar um investimento de alto risco.

Este modelo trata o retorno de um investimento como umavariável aleatória e um portfolio como uma combinação linearconvexa de um número dado de investimentos e é, então, umavariável aleatória.Portanto possui esperança e variância.O risco, neste modelo, é o desvio padrão desta variávelaleatória.

OBJETIVOS

A idéia é modelar como um investidor racional diversificaria seusinvestimentos para otimizar seu portfolio.E também como precificar um investimento de alto risco.Este modelo trata o retorno de um investimento como umavariável aleatória e um portfolio como uma combinação linearconvexa de um número dado de investimentos e é, então, umavariável aleatória.

Portanto possui esperança e variância.O risco, neste modelo, é o desvio padrão desta variávelaleatória.

OBJETIVOS

A idéia é modelar como um investidor racional diversificaria seusinvestimentos para otimizar seu portfolio.E também como precificar um investimento de alto risco.Este modelo trata o retorno de um investimento como umavariável aleatória e um portfolio como uma combinação linearconvexa de um número dado de investimentos e é, então, umavariável aleatória.Portanto possui esperança e variância.

O risco, neste modelo, é o desvio padrão desta variávelaleatória.

OBJETIVOS

A idéia é modelar como um investidor racional diversificaria seusinvestimentos para otimizar seu portfolio.E também como precificar um investimento de alto risco.Este modelo trata o retorno de um investimento como umavariável aleatória e um portfolio como uma combinação linearconvexa de um número dado de investimentos e é, então, umavariável aleatória.Portanto possui esperança e variância.O risco, neste modelo, é o desvio padrão desta variávelaleatória.

RECORDAR É VIVER

O PERFIL DO INVESTIDOR

O modelo assume que o investidor é averso à riscos.

Mas ele também quer um bom retorno, e, para tanto, precisaassumir algum risco (que gere uma expectativa alta de um bomretorno, obviamente).Um investidor racional não investe num portfolio se existir umsegundo portfolio com um perfil de risco-retorno mais favorávelàs suas expectativas.O modelo usa um dado histórico, a volatilidade, como umamedida para o risco.O modelo assume que o investidor é indiferente a outrasinformações (isso nem sempre é verdade).O retorno do portfolio é a combinação linear convexa dosretornos de cada investimento do portfolio.A volatilidade do portfolio é uma função que depende dacorrelação dos investimentos nele e é não linear nos “pesos”.

RECORDAR É VIVER

O modelo assume que o investidor é averso à riscos.Mas ele também quer um bom retorno, e, para tanto, precisaassumir algum risco (que gere uma expectativa alta de um bomretorno, obviamente).

Um investidor racional não investe num portfolio se existir umsegundo portfolio com um perfil de risco-retorno mais favorávelàs suas expectativas.O modelo usa um dado histórico, a volatilidade, como umamedida para o risco.O modelo assume que o investidor é indiferente a outrasinformações (isso nem sempre é verdade).O retorno do portfolio é a combinação linear convexa dosretornos de cada investimento do portfolio.A volatilidade do portfolio é uma função que depende dacorrelação dos investimentos nele e é não linear nos “pesos”.

RECORDAR É VIVER

O modelo assume que o investidor é averso à riscos.Mas ele também quer um bom retorno, e, para tanto, precisaassumir algum risco (que gere uma expectativa alta de um bomretorno, obviamente).Um investidor racional não investe num portfolio se existir umsegundo portfolio com um perfil de risco-retorno mais favorávelàs suas expectativas.

O modelo usa um dado histórico, a volatilidade, como umamedida para o risco.O modelo assume que o investidor é indiferente a outrasinformações (isso nem sempre é verdade).O retorno do portfolio é a combinação linear convexa dosretornos de cada investimento do portfolio.A volatilidade do portfolio é uma função que depende dacorrelação dos investimentos nele e é não linear nos “pesos”.

RECORDAR É VIVER

O modelo assume que o investidor é averso à riscos.Mas ele também quer um bom retorno, e, para tanto, precisaassumir algum risco (que gere uma expectativa alta de um bomretorno, obviamente).Um investidor racional não investe num portfolio se existir umsegundo portfolio com um perfil de risco-retorno mais favorávelàs suas expectativas.O modelo usa um dado histórico, a volatilidade, como umamedida para o risco.

O modelo assume que o investidor é indiferente a outrasinformações (isso nem sempre é verdade).O retorno do portfolio é a combinação linear convexa dosretornos de cada investimento do portfolio.A volatilidade do portfolio é uma função que depende dacorrelação dos investimentos nele e é não linear nos “pesos”.

RECORDAR É VIVER

O modelo assume que o investidor é averso à riscos.Mas ele também quer um bom retorno, e, para tanto, precisaassumir algum risco (que gere uma expectativa alta de um bomretorno, obviamente).Um investidor racional não investe num portfolio se existir umsegundo portfolio com um perfil de risco-retorno mais favorávelàs suas expectativas.O modelo usa um dado histórico, a volatilidade, como umamedida para o risco.O modelo assume que o investidor é indiferente a outrasinformações (isso nem sempre é verdade).

O retorno do portfolio é a combinação linear convexa dosretornos de cada investimento do portfolio.A volatilidade do portfolio é uma função que depende dacorrelação dos investimentos nele e é não linear nos “pesos”.

RECORDAR É VIVER

O modelo assume que o investidor é averso à riscos.Mas ele também quer um bom retorno, e, para tanto, precisaassumir algum risco (que gere uma expectativa alta de um bomretorno, obviamente).Um investidor racional não investe num portfolio se existir umsegundo portfolio com um perfil de risco-retorno mais favorávelàs suas expectativas.O modelo usa um dado histórico, a volatilidade, como umamedida para o risco.O modelo assume que o investidor é indiferente a outrasinformações (isso nem sempre é verdade).O retorno do portfolio é a combinação linear convexa dosretornos de cada investimento do portfolio.

A volatilidade do portfolio é uma função que depende dacorrelação dos investimentos nele e é não linear nos “pesos”.

RECORDAR É VIVER

O modelo assume que o investidor é averso à riscos.Mas ele também quer um bom retorno, e, para tanto, precisaassumir algum risco (que gere uma expectativa alta de um bomretorno, obviamente).Um investidor racional não investe num portfolio se existir umsegundo portfolio com um perfil de risco-retorno mais favorávelàs suas expectativas.O modelo usa um dado histórico, a volatilidade, como umamedida para o risco.O modelo assume que o investidor é indiferente a outrasinformações (isso nem sempre é verdade).O retorno do portfolio é a combinação linear convexa dosretornos de cada investimento do portfolio.A volatilidade do portfolio é uma função que depende dacorrelação dos investimentos nele e é não linear nos “pesos”.

RECORDAR É VIVER

“RECORDAÇÃO” DE ALGUNS CONCEITOS

Espaço de Probabilidades: é uma tripla (Ω,F ,P), onde

Ω é um conjunto qualquer, chamado espaço amostral. Paranossos propósitos podemos assumit Ω = R;F é uma σ-álgebra de Ω, ou seja, uma coleção de subconjuntos deΩ satisfazendo

1 Ω ∈ F ;2 Se E ⊂ Ω então E ∈ F ⇐⇒ Ec ∈ F ;3 F é fechado por união enumerável de elementos em F ;

Os elementos de F são chamados eventos;P é uma medida (de probabilidade) em (Ω,F), ou seja,P : F → [0, 1] é uma função satisfazendo

1 P(∅) = 0 e P(Ω) = 1;2 Se E1,E2, . . . são eventos disjuntos (Ei ∩ Ej = ∅) então

P(∑∞

i=1 Ei)

=∑∞

i=1 P(Ei )

Variável aleatória: se (Ω,F ,P) é um espaço de probabilidadeentão uma variável aleatória é uma função X : Ω→ R integrávelem todo elemento de F .

RECORDAR É VIVER

Espaço de Probabilidades: é uma tripla (Ω,F ,P), ondeΩ é um conjunto qualquer, chamado espaço amostral. Paranossos propósitos podemos assumit Ω = R;

F é uma σ-álgebra de Ω, ou seja, uma coleção de subconjuntos deΩ satisfazendo

P(∑∞

i=1 Ei)

=∑∞

i=1 P(Ei )

RECORDAR É VIVER

Espaço de Probabilidades: é uma tripla (Ω,F ,P), ondeΩ é um conjunto qualquer, chamado espaço amostral. Paranossos propósitos podemos assumit Ω = R;F é uma σ-álgebra de Ω, ou seja, uma coleção de subconjuntos deΩ satisfazendo

P(∑∞

i=1 Ei)

=∑∞

i=1 P(Ei )

RECORDAR É VIVER

1 Ω ∈ F ;

2 Se E ⊂ Ω então E ∈ F ⇐⇒ Ec ∈ F ;3 F é fechado por união enumerável de elementos em F ;

P(∑∞

i=1 Ei)

=∑∞

i=1 P(Ei )

RECORDAR É VIVER

1 Ω ∈ F ;2 Se E ⊂ Ω então E ∈ F ⇐⇒ Ec ∈ F ;

3 F é fechado por união enumerável de elementos em F ;

P(∑∞

i=1 Ei)

=∑∞

i=1 P(Ei )

RECORDAR É VIVER

P(∑∞

i=1 Ei)

=∑∞

i=1 P(Ei )

RECORDAR É VIVER

Os elementos de F são chamados eventos;

P é uma medida (de probabilidade) em (Ω,F), ou seja,P : F → [0, 1] é uma função satisfazendo

P(∑∞

i=1 Ei)

=∑∞

i=1 P(Ei )

RECORDAR É VIVER

P(∑∞

i=1 Ei)

=∑∞

i=1 P(Ei )

RECORDAR É VIVER

1 P(∅) = 0 e P(Ω) = 1;

2 Se E1,E2, . . . são eventos disjuntos (Ei ∩ Ej = ∅) entãoP(∑∞

i=1 Ei)

=∑∞

i=1 P(Ei )

RECORDAR É VIVER

P(∑∞

i=1 Ei)

=∑∞

i=1 P(Ei )

RECORDAR É VIVER

P(∑∞

i=1 Ei)

=∑∞

i=1 P(Ei )

RECORDAR É VIVER

Esperança: se X é uma variável aleatória em (Ω,F ,P) entãoseu valor esperado ou esperança é

µX = E(X ) =

Nem sempre existe µX (ver distribuição de Cauchy).Se X é discreta com eventos xi ,1 ≤ i ≤ n e probabilidade p(xi )então

E(X ) =∑

xip(xi ).

Se X é contínua com densidade de probabilidade f (x) então

E(X ) =

∫ ∞−∞

xf (x)dx .

RECORDAR É VIVER

µX = E(X ) =

Nem sempre existe µX (ver distribuição de Cauchy).

Se X é discreta com eventos xi ,1 ≤ i ≤ n e probabilidade p(xi )então

E(X ) =∑

xip(xi ).

E(X ) =

∫ ∞−∞

xf (x)dx .

RECORDAR É VIVER

µX = E(X ) =

E(X ) =∑

xip(xi ).

E(X ) =

∫ ∞−∞

xf (x)dx .

RECORDAR É VIVER

µX = E(X ) =

E(X ) =∑

xip(xi ).

E(X ) =

∫ ∞−∞

xf (x)dx .

RECORDAR É VIVER

Variância: se X é uma variável aleatória em (Ω,F ,P) comesperança µ então sua variânçia é

Var(X ) = E[(X − µX )2].

Nem sempre existe Var(X ) (ver distribuição de Cauchy).Se X é variável aleatória discreta com cada evento xi ,1 ≤ i ≤ ntendo probabilidade p(xi ) então

Var(X ) =∑

p(xi )(xi − µ)2.

Se X é variável aleatória contínua com densidade deprobabilidade f (x) então

Var(X ) =

∫ ∞−∞

(x − µ)2f (x)dx .

RECORDAR É VIVER

Var(X ) = E[(X − µX )2].

Nem sempre existe Var(X ) (ver distribuição de Cauchy).

Se X é variável aleatória discreta com cada evento xi ,1 ≤ i ≤ ntendo probabilidade p(xi ) então

Var(X ) =∑

p(xi )(xi − µ)2.

Var(X ) =

∫ ∞−∞

(x − µ)2f (x)dx .

RECORDAR É VIVER

Var(X ) = E[(X − µX )2].

Var(X ) =∑

p(xi )(xi − µ)2.

Var(X ) =

∫ ∞−∞

(x − µ)2f (x)dx .

RECORDAR É VIVER

Var(X ) = E[(X − µX )2].

Var(X ) =∑

p(xi )(xi − µ)2.

Var(X ) =

∫ ∞−∞

(x − µ)2f (x)dx .

RECORDAR É VIVER

Covariância: se X e Y são duas variáveis aleatórias em(Ω,F ,P) com esperanças µ e ν, respectivamente, então acovariância de X e Y é

Cov(X ,Y ) = E[(X − µ)(Y − ν)

Usando somente as definições vemos que

Cov(X ,Y ) = E[(X − µ)(Y − ν)

[XY − Yµ− Xν + µν

]= E(XY )− µν

Cov(X ,Y ) mede o quanto uma variação de X influencia avariação de Y .Se X e Y são independentes então E(XY ) = E(X )E(Y ) eportanto Cov(X ,Y ) = 0. Além disso, Cov(X ,Y ) = Cov(Y ,X ).

A correlação de X e Y é dada por ρX ,Y =Cov(X ,Y )√

Var(X )Var(Y ).

RECORDAR É VIVER

Cov(X ,Y ) = E[(X − µ)(Y − ν)

]= E(XY )− µν

Var(X )Var(Y ).

RECORDAR É VIVER

Cov(X ,Y ) = E[(X − µ)(Y − ν)

]= E(XY )− µν

Cov(X ,Y ) mede o quanto uma variação de X influencia avariação de Y .

Se X e Y são independentes então E(XY ) = E(X )E(Y ) eportanto Cov(X ,Y ) = 0. Além disso, Cov(X ,Y ) = Cov(Y ,X ).

Var(X )Var(Y ).

RECORDAR É VIVER

Cov(X ,Y ) = E[(X − µ)(Y − ν)

]= E(XY )− µν

Var(X )Var(Y ).

RECORDAR É VIVER

Cov(X ,Y ) = E[(X − µ)(Y − ν)

]= E(XY )− µν

Var(X )Var(Y ).

A MATEMÁTICA

Sejam R1, . . . ,Rn os retornos de n investimentos diponíveis nomercado e w = (w1, . . . ,wn)T os percentuais do capital total quese deseja investir em cada um dos investimentos.

O retorno de um tal investimento é

R =n∑

wiRi (1)

R é variável aleatória pois, por hipótese, cada Ri o é, e

µR := E(R) = E

n∑i=1

wiE(Ri ) =n∑

wiµi (2)

σ2R := Var(R) =

n∑i,j=1

wiwjcov(Ri ,Rj ) =n∑

wT Cw , (3)

onde C é a matriz de covariâncias de Ri e Rj .

A MATEMÁTICA

Sejam R1, . . . ,Rn os retornos de n investimentos diponíveis nomercado e w = (w1, . . . ,wn)T os percentuais do capital total quese deseja investir em cada um dos investimentos.O retorno de um tal investimento é

R =n∑

wiRi (1)

µR := E(R) = E

n∑i=1

wiE(Ri ) =n∑

wiµi (2)

σ2R := Var(R) =

n∑i,j=1

wT Cw , (3)

onde C é a matriz de covariâncias de Ri e Rj .

A MATEMÁTICA

Sejam R1, . . . ,Rn os retornos de n investimentos diponíveis nomercado e w = (w1, . . . ,wn)T os percentuais do capital total quese deseja investir em cada um dos investimentos.O retorno de um tal investimento é

R =n∑

wiRi (1)

µR := E(R) = E

n∑i=1

wiE(Ri ) =n∑

wiµi (2)

σ2R := Var(R) =

n∑i,j=1

wT Cw , (3)

onde C é a matriz de covariâncias de Ri e Rj .PROF. ALEXANDRE LYMBEROPOULOS TEORIA MODERNA DE PORTFOLIOS UM PONTO DE VISTA MATEMÁTICO

A MATEMÁTICA

O risco de R é σR =√

Var(R).

Os vetores atingíveis ou viáveis são aqueles tais que∑

wi = 1(os percentuais de investimento devem somar 100%).O problema então resume-se a encontrar um vetor depercentuais de investimentos, w , que minimize o risco σR paraum dado retorno fixado µ0 = µ(w), ou seja, procuramos umvetor atingível w que minimize σ(w) para um dado valor de µ(w).O espaço dos vetores atingíveis é um hiperplano em Rn equeremos encontrar um ponto desse hiperplano que minimiza afunção quadrática σ(w).Da equação (3) vemos que σ(w) pode ser pensada como o“comprimento” de w relativo ao produto interno dado pela matrizC na base canônica.

A MATEMÁTICA

Var(R).Os vetores atingíveis ou viáveis são aqueles tais que

∑wi = 1

(os percentuais de investimento devem somar 100%).

O problema então resume-se a encontrar um vetor depercentuais de investimentos, w , que minimize o risco σR paraum dado retorno fixado µ0 = µ(w), ou seja, procuramos umvetor atingível w que minimize σ(w) para um dado valor de µ(w).O espaço dos vetores atingíveis é um hiperplano em Rn equeremos encontrar um ponto desse hiperplano que minimiza afunção quadrática σ(w).Da equação (3) vemos que σ(w) pode ser pensada como o“comprimento” de w relativo ao produto interno dado pela matrizC na base canônica.

A MATEMÁTICA

∑wi = 1

(os percentuais de investimento devem somar 100%).O problema então resume-se a encontrar um vetor depercentuais de investimentos, w , que minimize o risco σR paraum dado retorno fixado µ0 = µ(w), ou seja, procuramos umvetor atingível w que minimize σ(w) para um dado valor de µ(w).

O espaço dos vetores atingíveis é um hiperplano em Rn equeremos encontrar um ponto desse hiperplano que minimiza afunção quadrática σ(w).Da equação (3) vemos que σ(w) pode ser pensada como o“comprimento” de w relativo ao produto interno dado pela matrizC na base canônica.

A MATEMÁTICA

∑wi = 1

(os percentuais de investimento devem somar 100%).O problema então resume-se a encontrar um vetor depercentuais de investimentos, w , que minimize o risco σR paraum dado retorno fixado µ0 = µ(w), ou seja, procuramos umvetor atingível w que minimize σ(w) para um dado valor de µ(w).O espaço dos vetores atingíveis é um hiperplano em Rn equeremos encontrar um ponto desse hiperplano que minimiza afunção quadrática σ(w).

Da equação (3) vemos que σ(w) pode ser pensada como o“comprimento” de w relativo ao produto interno dado pela matrizC na base canônica.

A MATEMÁTICA

∑wi = 1

(os percentuais de investimento devem somar 100%).O problema então resume-se a encontrar um vetor depercentuais de investimentos, w , que minimize o risco σR paraum dado retorno fixado µ0 = µ(w), ou seja, procuramos umvetor atingível w que minimize σ(w) para um dado valor de µ(w).O espaço dos vetores atingíveis é um hiperplano em Rn equeremos encontrar um ponto desse hiperplano que minimiza afunção quadrática σ(w).Da equação (3) vemos que σ(w) pode ser pensada como o“comprimento” de w relativo ao produto interno dado pela matrizC na base canônica.

A MATEMÁTICA

Este é um problema típico de multiplicadores de Lagrange, que éestudado em Cálculo II (MAT-2454).

O sistema de Lagrange é∇σ(w) = λ∇µ(w)

µ(w) =∑

wi = 1 , (4)

onde σ e µ são funções de Rn a valores reais.

TEOREMA

Se w é uma solução do sistema (4) então existem a,b, c ∈ R tais que

σ(µ) =√

aµ2 + bµ+ c. (5)

A MATEMÁTICA

Este é um problema típico de multiplicadores de Lagrange, que éestudado em Cálculo II (MAT-2454).O sistema de Lagrange é

∇σ(w) = λ∇µ(w)µ(w) =

∑wi = 1 , (4)

TEOREMA

σ(µ) =√

aµ2 + bµ+ c. (5)

A MATEMÁTICA

Este é um problema típico de multiplicadores de Lagrange, que éestudado em Cálculo II (MAT-2454).O sistema de Lagrange é

∇σ(w) = λ∇µ(w)µ(w) =

∑wi = 1 , (4)

TEOREMA

σ(µ) =√

aµ2 + bµ+ c. (5)

A MATEMÁTICA

A curva descrita pela equação (5) é chamada “Markowitz Bullet”

FIGURA : Markowitz Bullet

Para cada retorno fixado µ0, o risco mínimo é dado por σ tal que(σ, µ0) esteja sobre a curva.Ou ainda, para cada risco fixado σ0, o retorno máximo é obtido,µ é dado pelo ponto (σ0, µ) (parte superior da curva).

A MATEMÁTICA

Para cada retorno fixado µ0, o risco mínimo é dado por σ tal que(σ, µ0) esteja sobre a curva.

Ou ainda, para cada risco fixado σ0, o retorno máximo é obtido,µ é dado pelo ponto (σ0, µ) (parte superior da curva).

A MATEMÁTICA

Para cada retorno fixado µ0, o risco mínimo é dado por σ tal que(σ, µ0) esteja sobre a curva.Ou ainda, para cada risco fixado σ0, o retorno máximo é obtido,µ é dado pelo ponto (σ0, µ) (parte superior da curva).

O PORTFOLIO E INVESTIMENTOS SEM RISCO

Um investimento livre de risco é tipicamente um investimentocom garantias, como uma poupança ou papéis de curto prazo deum país confiável.

Sua correlação com os demais investimentos é nula, uma vezque seu risco (ou seja, a variância) é zero.Por este motivo, como veremos adiante, não só seu retorno(esperança), mas também seu risco (variância) são lineares emfunção do percentual investido.Por este motivo, no plano risco × retorno, o gráfico de uminvestimento livre de riscos é uma reta.Esta reta começa quando temos o total do capital aplicado semriscos e vai caminhando pelo portfolio até o ponto onde temostodo o capital aplicado no portfolio com risco. Veja a figura 1.

Um investimento livre de risco é tipicamente um investimentocom garantias, como uma poupança ou papéis de curto prazo deum país confiável.Sua correlação com os demais investimentos é nula, uma vezque seu risco (ou seja, a variância) é zero.

Por este motivo, como veremos adiante, não só seu retorno(esperança), mas também seu risco (variância) são lineares emfunção do percentual investido.Por este motivo, no plano risco × retorno, o gráfico de uminvestimento livre de riscos é uma reta.Esta reta começa quando temos o total do capital aplicado semriscos e vai caminhando pelo portfolio até o ponto onde temostodo o capital aplicado no portfolio com risco. Veja a figura 1.

Um investimento livre de risco é tipicamente um investimentocom garantias, como uma poupança ou papéis de curto prazo deum país confiável.Sua correlação com os demais investimentos é nula, uma vezque seu risco (ou seja, a variância) é zero.Por este motivo, como veremos adiante, não só seu retorno(esperança), mas também seu risco (variância) são lineares emfunção do percentual investido.

Por este motivo, no plano risco × retorno, o gráfico de uminvestimento livre de riscos é uma reta.Esta reta começa quando temos o total do capital aplicado semriscos e vai caminhando pelo portfolio até o ponto onde temostodo o capital aplicado no portfolio com risco. Veja a figura 1.

Um investimento livre de risco é tipicamente um investimentocom garantias, como uma poupança ou papéis de curto prazo deum país confiável.Sua correlação com os demais investimentos é nula, uma vezque seu risco (ou seja, a variância) é zero.Por este motivo, como veremos adiante, não só seu retorno(esperança), mas também seu risco (variância) são lineares emfunção do percentual investido.Por este motivo, no plano risco × retorno, o gráfico de uminvestimento livre de riscos é uma reta.

Esta reta começa quando temos o total do capital aplicado semriscos e vai caminhando pelo portfolio até o ponto onde temostodo o capital aplicado no portfolio com risco. Veja a figura 1.

Um investimento livre de risco é tipicamente um investimentocom garantias, como uma poupança ou papéis de curto prazo deum país confiável.Sua correlação com os demais investimentos é nula, uma vezque seu risco (ou seja, a variância) é zero.Por este motivo, como veremos adiante, não só seu retorno(esperança), mas também seu risco (variância) são lineares emfunção do percentual investido.Por este motivo, no plano risco × retorno, o gráfico de uminvestimento livre de riscos é uma reta.Esta reta começa quando temos o total do capital aplicado semriscos e vai caminhando pelo portfolio até o ponto onde temostodo o capital aplicado no portfolio com risco. Veja a figura 1.

MAIS UM POUCO DE MATEMÁTICA

Queremos combinar o investimento livre de riscos com oportfolio com risco.

Se Rrf é o retorno desse investimento e R é o retorno doportfolio de risco temos

R = (1− t)Rrf + tR, (6)

onde t é o percentual do capital que desejamos investir noportfolio de risco.Assim,

µR = (1− t)E(Rrf ) + tE(R) (7)

σ2R = t2σ2

R + 2t(1− t)σ2Rσ

+ (1− t)2σ2Rrf

= t2σ2R (8)

Queremos combinar o investimento livre de riscos com oportfolio com risco.Se Rrf é o retorno desse investimento e R é o retorno doportfolio de risco temos

R = (1− t)Rrf + tR, (6)

onde t é o percentual do capital que desejamos investir noportfolio de risco.

Assim,

µR = (1− t)E(Rrf ) + tE(R) (7)

σ2R = t2σ2

R + 2t(1− t)σ2Rσ

+ (1− t)2σ2Rrf

= t2σ2R (8)

Queremos combinar o investimento livre de riscos com oportfolio com risco.Se Rrf é o retorno desse investimento e R é o retorno doportfolio de risco temos

R = (1− t)Rrf + tR, (6)

onde t é o percentual do capital que desejamos investir noportfolio de risco.Assim,

µR = (1− t)E(Rrf ) + tE(R) (7)

σ2R = t2σ2

R + 2t(1− t)σ2Rσ

+ (1− t)2σ2Rrf

= t2σ2R (8)

Logo, σR =√σ2

R= tσR e, das equações (7) e (8), temos

µR = µrf +

(µR − µrf

)σR , (9)

que dá uma relação afim entre µR e σR .

A melhor escolha para um portfolio combinando investimentoscom e sem riscos está sobre esta reta, pois assim podemosobter, para um mesmo risco fixado, retornos maiores queusando somente o portfolio com risco (estamos acima dafronteira de eficiência nesse caso).Se explicitamos as constantes a,b e c em (5) podemos mostrarque essa reta é exatamente a tangente à curva de Markowitzque passa pelo ponto (0, µrf ), onde lembramos que µrf é amédia da variável aleatória Rrf . Ver figura 1.

Logo, σR =√σ2

µR = µrf +

(µR − µrf

)σR , (9)

que dá uma relação afim entre µR e σR .A melhor escolha para um portfolio combinando investimentoscom e sem riscos está sobre esta reta, pois assim podemosobter, para um mesmo risco fixado, retornos maiores queusando somente o portfolio com risco (estamos acima dafronteira de eficiência nesse caso).

Se explicitamos as constantes a,b e c em (5) podemos mostrarque essa reta é exatamente a tangente à curva de Markowitzque passa pelo ponto (0, µrf ), onde lembramos que µrf é amédia da variável aleatória Rrf . Ver figura 1.

Logo, σR =√σ2

µR = µrf +

(µR − µrf

)σR , (9)

que dá uma relação afim entre µR e σR .A melhor escolha para um portfolio combinando investimentoscom e sem riscos está sobre esta reta, pois assim podemosobter, para um mesmo risco fixado, retornos maiores queusando somente o portfolio com risco (estamos acima dafronteira de eficiência nesse caso).Se explicitamos as constantes a,b e c em (5) podemos mostrarque essa reta é exatamente a tangente à curva de Markowitzque passa pelo ponto (0, µrf ), onde lembramos que µrf é amédia da variável aleatória Rrf . Ver figura 1.

COMO CONSTRUIR A MATRIZ DE COVARIÂNCIAS?

Numa situação prática não conhecemos os verdadeiros valoresde retorno e risco de cada investimento.

Eles devem ser estimados a partir de dados concretos domercado.Se temos n opções de investimento, R1, . . . ,Rn, umapossibilidade é olhar para o passado recente.Observando os valores de retorno de cada Ri nos últimos m diaspodemos construir vetores A1, . . . ,An ∈ Rm com os m valoresobservados de Ri no vetor Ai .Com esses vetores formamos uma matriz m × n, A = [A1 · · ·An].Em seguida construimos a matriz C = AT A que contém em cadaposição i , j o número 〈Ai ,Aj〉, que representa um tipo de ânguloentre os vetores envolvido e portanto o quanto cada um deles édependente dos outros.

Numa situação prática não conhecemos os verdadeiros valoresde retorno e risco de cada investimento.Eles devem ser estimados a partir de dados concretos domercado.

Se temos n opções de investimento, R1, . . . ,Rn, umapossibilidade é olhar para o passado recente.Observando os valores de retorno de cada Ri nos últimos m diaspodemos construir vetores A1, . . . ,An ∈ Rm com os m valoresobservados de Ri no vetor Ai .Com esses vetores formamos uma matriz m × n, A = [A1 · · ·An].Em seguida construimos a matriz C = AT A que contém em cadaposição i , j o número 〈Ai ,Aj〉, que representa um tipo de ânguloentre os vetores envolvido e portanto o quanto cada um deles édependente dos outros.

Numa situação prática não conhecemos os verdadeiros valoresde retorno e risco de cada investimento.Eles devem ser estimados a partir de dados concretos domercado.Se temos n opções de investimento, R1, . . . ,Rn, umapossibilidade é olhar para o passado recente.

Observando os valores de retorno de cada Ri nos últimos m diaspodemos construir vetores A1, . . . ,An ∈ Rm com os m valoresobservados de Ri no vetor Ai .Com esses vetores formamos uma matriz m × n, A = [A1 · · ·An].Em seguida construimos a matriz C = AT A que contém em cadaposição i , j o número 〈Ai ,Aj〉, que representa um tipo de ânguloentre os vetores envolvido e portanto o quanto cada um deles édependente dos outros.

Numa situação prática não conhecemos os verdadeiros valoresde retorno e risco de cada investimento.Eles devem ser estimados a partir de dados concretos domercado.Se temos n opções de investimento, R1, . . . ,Rn, umapossibilidade é olhar para o passado recente.Observando os valores de retorno de cada Ri nos últimos m diaspodemos construir vetores A1, . . . ,An ∈ Rm com os m valoresobservados de Ri no vetor Ai .

Com esses vetores formamos uma matriz m × n, A = [A1 · · ·An].Em seguida construimos a matriz C = AT A que contém em cadaposição i , j o número 〈Ai ,Aj〉, que representa um tipo de ânguloentre os vetores envolvido e portanto o quanto cada um deles édependente dos outros.

Numa situação prática não conhecemos os verdadeiros valoresde retorno e risco de cada investimento.Eles devem ser estimados a partir de dados concretos domercado.Se temos n opções de investimento, R1, . . . ,Rn, umapossibilidade é olhar para o passado recente.Observando os valores de retorno de cada Ri nos últimos m diaspodemos construir vetores A1, . . . ,An ∈ Rm com os m valoresobservados de Ri no vetor Ai .Com esses vetores formamos uma matriz m × n, A = [A1 · · ·An].

Em seguida construimos a matriz C = AT A que contém em cadaposição i , j o número 〈Ai ,Aj〉, que representa um tipo de ânguloentre os vetores envolvido e portanto o quanto cada um deles édependente dos outros.

Numa situação prática não conhecemos os verdadeiros valoresde retorno e risco de cada investimento.Eles devem ser estimados a partir de dados concretos domercado.Se temos n opções de investimento, R1, . . . ,Rn, umapossibilidade é olhar para o passado recente.Observando os valores de retorno de cada Ri nos últimos m diaspodemos construir vetores A1, . . . ,An ∈ Rm com os m valoresobservados de Ri no vetor Ai .Com esses vetores formamos uma matriz m × n, A = [A1 · · ·An].Em seguida construimos a matriz C = AT A que contém em cadaposição i , j o número 〈Ai ,Aj〉, que representa um tipo de ânguloentre os vetores envolvido e portanto o quanto cada um deles édependente dos outros.

Essa matriz C pode funcionar como matriz de covariâncias parao portfolio considerado.

Ela é simétrica e positiva definida como toda matriz decovariâncias (e de um produto interno) devem ser.Isto garante que C tem todos os autovalores positivos.E?Como C é simétrica, ela tem uma base ortonormal deautovalores.E?Os autovetores associados aos maiores autovaloresrepresentam as combinações lineares dos investimentosRi ,1 ≤ n ≤ n de maior risco.

Essa matriz C pode funcionar como matriz de covariâncias parao portfolio considerado.Ela é simétrica e positiva definida como toda matriz decovariâncias (e de um produto interno) devem ser.

Isto garante que C tem todos os autovalores positivos.E?Como C é simétrica, ela tem uma base ortonormal deautovalores.E?Os autovetores associados aos maiores autovaloresrepresentam as combinações lineares dos investimentosRi ,1 ≤ n ≤ n de maior risco.

Essa matriz C pode funcionar como matriz de covariâncias parao portfolio considerado.Ela é simétrica e positiva definida como toda matriz decovariâncias (e de um produto interno) devem ser.Isto garante que C tem todos os autovalores positivos.

E?Como C é simétrica, ela tem uma base ortonormal deautovalores.E?Os autovetores associados aos maiores autovaloresrepresentam as combinações lineares dos investimentosRi ,1 ≤ n ≤ n de maior risco.

Essa matriz C pode funcionar como matriz de covariâncias parao portfolio considerado.Ela é simétrica e positiva definida como toda matriz decovariâncias (e de um produto interno) devem ser.Isto garante que C tem todos os autovalores positivos.E?

Como C é simétrica, ela tem uma base ortonormal deautovalores.E?Os autovetores associados aos maiores autovaloresrepresentam as combinações lineares dos investimentosRi ,1 ≤ n ≤ n de maior risco.

Essa matriz C pode funcionar como matriz de covariâncias parao portfolio considerado.Ela é simétrica e positiva definida como toda matriz decovariâncias (e de um produto interno) devem ser.Isto garante que C tem todos os autovalores positivos.E?Como C é simétrica, ela tem uma base ortonormal deautovalores.

E?Os autovetores associados aos maiores autovaloresrepresentam as combinações lineares dos investimentosRi ,1 ≤ n ≤ n de maior risco.

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Os autovetores associados aos maiores autovaloresrepresentam as combinações lineares dos investimentosRi ,1 ≤ n ≤ n de maior risco.

Essa matriz C pode funcionar como matriz de covariâncias parao portfolio considerado.Ela é simétrica e positiva definida como toda matriz decovariâncias (e de um produto interno) devem ser.Isto garante que C tem todos os autovalores positivos.E?Como C é simétrica, ela tem uma base ortonormal deautovalores.E?Os autovetores associados aos maiores autovaloresrepresentam as combinações lineares dos investimentosRi ,1 ≤ n ≤ n de maior risco.

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