UNIVERSIDADE DE CUIABÁ

SISTEMA

TEORIA DOS CONJUNTOS

Prof. Marcus Vinicius

UNIVERSIDADE DE CUIABÁ

SISTEMAS DE INFORMAÇÃO

TEORIA DOS CONJUNTOS

Cuiabá-MT

2011

Prof. Marcus Vinicius

S DE INFORMAÇÃO

TEORIA DOS CONJUNTOS

2

Prof. Marcus Vinicius

TEORIA DOS CONJUNTOS Símbolos

pertence existe

não pertence não existe

está contido para todo (ou qualquer que seja)

não está contido conjunto vazio

contém ℕ conjunto dos números naturais

não contém ℤ conjunto dos números inteiros

/ tal que ℚ conjunto dos números racionais

implica que Ir conjunto dos números irracionais

se, e somente se ℝ conjunto dos números reais

Pertinência. a ∈ A → lê-se: a pertence a A a ∉ B → Lê-se: a não pertence a B

Exemplo: Dado o conjunto A={0,1,2,3,4,...}, temos: 3 A∈ e 3− ∈A .

Representação:

Um conjunto pode ser representado entre chaves de duas maneiras: por extenso , enumerando elemento por elemento ou abreviadamente , destacando uma propriedade comum apenas aos seus elementos. Exemplo: Os elementos do conjunto A são os divisores positivos de 24. A representação entre chaves pode ser feita: Por extenso: A={1,2,3,4,6,8,12,24} ou

Abreviadamente: A={x / x é divisor positivo de 24}

Diagrama de Venn.

É a representação de um conjunto com auxílio de uma linha fechada e não entrelaçada e seus pontos interiores. Exemplo: seja o conjunto A dos números primos menores que 30.

A

2 3 5

11 7 13 29

17 19 23

3

Prof. Marcus Vinicius

Igualdade entre conjuntos.

Dois conjuntos são iguais quando possuem os mesmos elementos.

A = B → Lê-se A é igual a B

Exemplo: Dados os conjuntos: A={1,3,5} e B={x / x é impar, positivo, menor que 7} Logo, A = B

Desigualdade entre conjuntos.

Dois conjuntos são diferentes quando existe pelos menos um elemento que pertence a um dos conjuntos e não pertence ao outro. A ≠ B → Lê-se A é diferente de B

Ex: Dados os conjuntos: A={9,11,13,...} e B={x / x é impar, positivo, maior ou igual 7} Portanto, A ≠ B

Inclusão – Subconjuntos. Um conjunto A está contido em um conjunto B quando cada elemento de A, também pertence a B. Neste caso dizemos que A é subconjunto de B.

A ⊂ B → Lê-se: A está contido em B. Exemplo: Dados os conjuntos A={1,3,5} e B={0,1,2,3,4,5},

Temos: {1,3,5}⊂ {0,1,2,3,4,5} ou A B⊂ .

A negação da inclusão é representada por:

A ⊄ B → Lê-se: A não está contido em B.

Exemplo: Dados os conjuntos A={0,2,4} e B={1,2,3,4,5}

Temos: {0,2,4} ⊂ {1,2,3,4,5} ou A ⊂ B , pois 0 ∈ A e 0 ∈ B. Dizer que “A contém B” equivale a dizer “B está contido em A”. A ⊃ B → Lê-se: A contém B. Exemplo: Dados os conjuntos A={-1,0,1,2,3} e B={-1,1,3}, Temos: {-1,0,1,2,3}⊃ {-1,1,3} ou A B⊃ .

( )( )A B x x A x B⊂ ⇔ ∀ ∈ ⇒ ∈

4

Prof. Marcus Vinicius

Dizer que “A não contém B” é o mesmo que dizer “B não está contido em A”.

A ⊃ B → Lê-se: A não contém B. Exemplo: Dados os conjuntos A={-5,-3,-1} e B={-5,-4,-3,-2,-1},

Temos: {-5,-3,-1} ⊃ {-5,-4,-3,-2,-1} ou A ⊃ B .

• Todo o conjunto A é subconjunto dele próprio, ou seja ; • O conjunto vazio, por convenção, é subconjunto de qualquer conjunto,

ou seja ∅ ⊂ A

Conceitos de conjuntos Conjunto vazio. É um conjunto que não possui elementos. O conjunto vazio é representado por { } ou ∅∅∅∅. Diferença de Conjuntos.

Dados os conjuntos A e B, define-se como diferença entre A e B (nesta ordem) ao conjunto representado por A – B , formado por todos os elementos pertencentes a A, mas que não pertencem a B, ou seja:

Exemplo: Dados os conjuntos A={-4,-3,-2,-1,0} e B={-2,-1,0,1}, Temos:

A – B = {-4,-3}. Complementar entre conjuntos. O conjunto complementar de B em relação a A é dado por:

B

AC = A – B

B

AC → Lê-se: complementar de B em relação a A.

Exemplo: Dados os conjuntos A = { -4,-3,-2,-1,0} e B = { -2,-1,0}, temos:

B

AC = A – B = { -4,-3 }

5

Prof. Marcus Vinicius

União de Conjuntos.

Dados os conjuntos A e B, define-se como união dos conjuntos A e B ao conjunto representado por A ∪∪∪∪ B, formado por todos os elementos pertencentes a A ou B, ou

Seja:

Exemplo: Dados os conjuntos A={-3,-2,-1,0} e B={-1,0,1}, Temos: A U B ={-3,-2,-1,0,1}. Intersecção de Conjuntos . Dados os conjuntos A e B, define-se como intersecção dos conjuntos A e B ao conjunto representado por A ∩ B, formado por todos os elementos pertencentes a A e B, simultaneamente, ou seja:

Exemplo: Dados os conjuntos A={-3,-2,-1,0} e B={-1,0,1,2,3,4}, Temos: A ∩ B = {-1,0}.

6

Prof. Marcus Vinicius

Conjuntos Numéricos

i) Conjunto dos Números Naturais ( IN ).

IN ={0,1,2,3,4,5,6,7,8,...}

IN*={1,2,3,4,5,6,7,8,...}=IN – {0}

No conjunto dos números naturais são definidas duas operações fundamentais a adição e multiplicação. Já a subtração entre dois números naturais nem sempre é um número natural. Por exemplo, a equação x + 4 = 3 não tem solução em IN, pois x = 3 – 4 não pertence ao conjunto IN.

Daí a necessidade de ampliar o conjunto IN, introduzindo os números negativos.

ii) Conjunto dos números Inteiros ( ℤ ).

ℤ= {... , -3 , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , 3 , ...}

Subconjunto de ℤ :

ℤ *={..., -3,-2,-1,1,2,3,...}=ℤ –{0}(conjunto dos números inteiros não nulos )

ℤ+= {0,1,2,3,...}, ( conjunto dos números inteiros não negativos )

ℤ *+ = {1,2,3,...}, ( conjunto dos números inteiros positivos )

ℤ− = {..., -3,-2,-1,0}, ( conjunto dos números inteiros não positivos )

ℤ *− = {..., -3,-2,-1}, ( conjunto dos números inteiros negativos )

No conjunto ℤ são definidas também as operações de adição,

multiplicação e subtração.

Já a divisão de dois números inteiros nem sempre resulta um número inteiro. Por exemplo, a equação 2x = 7 não tem solução em ℤ , pois x = – 7/2 não pertence a ℤ . De um modo geral, não é possível resolver, em ℤ , nenhuma equação da forma ax = b , com a≠ 0 e com b não sendo múltiplo de a. Daí a necessidade de ampliar o conjunto ℤ , introduzindo as frações não aparentes.

7

Prof. Marcus Vinicius

iii) Conjunto dos números Racionais (ℚ ).

Quando acrescentamos as frações não aparentes positivas e negativas aos números inteiros, obtemos os números racionais.

{ / * }a

x x a e bb

= = ⇔ ∈ ∈ℚ ℤ ℤ .

Observação:

• A restrição b≠ 0 é necessária, pois a

b representa a divisão de a por

b e isso só tem significado quando b≠ 0;

• O nome racional surgiu porque a

b pode ser visto como uma razão

entre os inteiros a e b; • A letra ℚ é a primeira letra da palavra quociente de a por b.

Subconjunto de ℚ

ℚ *= ℚ - {0}= conjunto do números racionais não nulos

ℚ+= conjunto dos números racionais não negativos

ℚ *+ = conjunto dos números racionais positivos

ℚ− = conjunto dos números racionais não positivos

ℚ *− = conjunto dos números racionais negativos

Agora, nos racionais (ℚ ), as quatros operações fundamentais são possíveis, menos a divisão por zero.

iv) Conjunto dos números Irracionais

Consideremos por exemplo os números 2 e 3 , e vamos determinar a sua representação decimal:

• 2 = 1,44142135...

• 3 = 1,7320508... Observamos, então, que existem decimais infinitas não periódicas, as quais damos o nome de números irracionais que não podem ser escritos na forma a/b. Observação: O número irracional mais famoso é o número π , que se obtém dividindo o comprimento C de qualquer circunferência pelo seu respectivo diâmetro, e que apresentamos abaixo, com suas 50 primeiras casas decimais:

π = 3,141592653589793238846264338327950288419716939937510...

8

Prof. Marcus Vinicius

v) Conjunto dos números Reais (ℝ )

A reunião do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais nos dá um novo conjunto numérico denominado conjunto dos números reais.

I= =ℝ ℚ∪ {x / x é número racional ou x é número irracional} Com o conjunto ℝ , a reta numérica fica totalmente preenchida, ou seja:

• a cada ponto da reta corresponde um único número real; • Reciprocamente, a cada número real corresponde um único ponto

da reta.

Subconjunto de ℝ ( além de , ,ℕ ℤ ℚ e II ): IR*= IR – {0}= conjunto dos números reais não nulos. IR+= conjunto dos números reais não negativos. IR *

+= conjunto dos números reais positivos.

IR −= conjunto dos números reais não positivos. IR *

− = conjunto dos números reais negativos.

⊂ ⊂ ⊂ℕ ℤ ℚ ℝ e Ir ⊂ ℝ

rI =ℚ∪ ℝ

9

Prof. Marcus Vinicius

EXERCÍCIOS CONJUNTOS NUMÉRICOS

1) Utilizando os símbolos ∈ ou ∈ , relacione os elementos com os conjuntos

A = { 1 , 3 , 5 , 7 , ...} e B = { -1 , -3 , -5 , -7 , ...} . a) 3 ____ A b) 5 ____ B c) -1 ____ A d) 7 ____ A e) 9 ____ A f) – 11 ____ B g) – 13 ____ A i) – 8 ____ B 2) Represente abreviadamente e por extenso, o conjunto A dado que: a) Os elementos de A são múltiplos negativos de 3. b) Os elementos de A são números não-negativos cuja escrita termina em 0 ou 5, na ordem das unidades simples.

3)Utilizando os símbolos ⊂ ou ⊂ , relacione os conjuntos A = { 0,-1,-3,-5},

B = { -3,-5} e C={ 0,-1}. a) A____B b)B____A c) A____C d) C____A

4) Utilizando os símbolos ⊂ ou ⊂ , relacione os conjuntos

A = {x/x é um estado físico da matéria}, B = {sólido, líquido} e C={líquido e gasoso}. a) A____B b) B____A c)A____C d)C____A 5) Dados os conjuntos A={0,1,2,3,4,5}, B={0,2,4} e C={1,3,5}, determine os seguintes conjuntos: a) AU B = b) A U C = c) B U C= d) A ∩ B= e) A ∩ C = f) B ∩ C= 6) Dados os conjuntos A = {-2,-1,0,1,2}, B={0,1,2} e C={0,-1,-2}, obter os conjuntos: a) A – B= b) A – C= c) B – A= c) C – A= 7) O conjunto A tem 20 elementos; A ∩ B tem 12 elementos e A U B tem 60 elementos. O número de elementos do conjunto B é: a) 28 b) 36 c) 40 d) 48 e) 52

10

Prof. Marcus Vinicius

8) Se A e B são dois conjuntos não-vazios tais que: A U B = { 1,2,3,4,5,6,7,8}, A – B ={ 1,3,6,7} e B – A ={ 4,8} então , A ∩ B é o conjunto: a) Ø b) { 1 , 4} c) { 2 , 5} d) {6,7,8} e){1,3,4,6,7,8} 9) Determinar o valor das expressões:

a) (2 + √2 )² e) ( 3 + 2 )² + ( 3 − 2 )²

b) ( 3√5 − 2√3 ).( 3√5 + 2√3 ) f) 3 216 + 4 81 − 3 125

c) 3 27 − 81 + 1 g) 1,44

d) ( 5 2− )² h) 2,16

10) Represente os seguintes conjuntos por extensão de seus elementos:

a) A = { }/ 4x x∈ ≤ℕ

b) B = { }/1 6x x∈ < <ℕ

c) C = { }*/ 3 1x x∈ − ≤ ≤ℤ

11) Racionalize os denominadores das frações:

a) 3

2 b)

2 3

2 3

+−

c) 4

2

d) 1

3 2+ e)

6

1 5− f)

7 2

7 2

+−

12) Calcule os valores racionais de:

a) 3 1

4 6+ b)

2 1 1

5 6 2− + c)

2 1 1

5 4 10⋅ −

d) 3 1 2

6 4 5− + e)

5 3 6

2 4 7⋅ ⋅ f)

3 76

4 5+

13) Encontre a fração geratriz, das dízimas abaixo: a) 1,32 b) 0,77777... c) 0,24242424... d) 2,13566666... e) 23,43333... f) 9,14255555... g) 13,24 h) 5,042131313... i) 37,50322222...