Teoria Dos Conjtos s.i 2011
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UNIVERSIDADE DE CUIABÁ
SISTEMA
TEORIA DOS CONJUNTOS
Prof. Marcus Vinicius
UNIVERSIDADE DE CUIABÁ
SISTEMAS DE INFORMAÇÃO
TEORIA DOS CONJUNTOS
Cuiabá-MT
2011
Prof. Marcus Vinicius
S DE INFORMAÇÃO
TEORIA DOS CONJUNTOS
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TEORIA DOS CONJUNTOS Símbolos
pertence existe
não pertence não existe
está contido para todo (ou qualquer que seja)
não está contido conjunto vazio
contém ℕ conjunto dos números naturais
não contém ℤ conjunto dos números inteiros
/ tal que ℚ conjunto dos números racionais
implica que Ir conjunto dos números irracionais
se, e somente se ℝ conjunto dos números reais
Pertinência. a ∈ A → lê-se: a pertence a A a ∉ B → Lê-se: a não pertence a B
Exemplo: Dado o conjunto A={0,1,2,3,4,...}, temos: 3 A∈ e 3− ∈A .
Representação:
Um conjunto pode ser representado entre chaves de duas maneiras: por extenso , enumerando elemento por elemento ou abreviadamente , destacando uma propriedade comum apenas aos seus elementos. Exemplo: Os elementos do conjunto A são os divisores positivos de 24. A representação entre chaves pode ser feita: Por extenso: A={1,2,3,4,6,8,12,24} ou
Abreviadamente: A={x / x é divisor positivo de 24}
Diagrama de Venn.
É a representação de um conjunto com auxílio de uma linha fechada e não entrelaçada e seus pontos interiores. Exemplo: seja o conjunto A dos números primos menores que 30.
A
2 3 5
11 7 13 29
17 19 23
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Igualdade entre conjuntos.
Dois conjuntos são iguais quando possuem os mesmos elementos.
A = B → Lê-se A é igual a B
Exemplo: Dados os conjuntos: A={1,3,5} e B={x / x é impar, positivo, menor que 7} Logo, A = B
Desigualdade entre conjuntos.
Dois conjuntos são diferentes quando existe pelos menos um elemento que pertence a um dos conjuntos e não pertence ao outro. A ≠ B → Lê-se A é diferente de B
Ex: Dados os conjuntos: A={9,11,13,...} e B={x / x é impar, positivo, maior ou igual 7} Portanto, A ≠ B
Inclusão – Subconjuntos. Um conjunto A está contido em um conjunto B quando cada elemento de A, também pertence a B. Neste caso dizemos que A é subconjunto de B.
A ⊂ B → Lê-se: A está contido em B. Exemplo: Dados os conjuntos A={1,3,5} e B={0,1,2,3,4,5},
Temos: {1,3,5}⊂ {0,1,2,3,4,5} ou A B⊂ .
A negação da inclusão é representada por:
A ⊄ B → Lê-se: A não está contido em B.
Exemplo: Dados os conjuntos A={0,2,4} e B={1,2,3,4,5}
Temos: {0,2,4} ⊂ {1,2,3,4,5} ou A ⊂ B , pois 0 ∈ A e 0 ∈ B. Dizer que “A contém B” equivale a dizer “B está contido em A”. A ⊃ B → Lê-se: A contém B. Exemplo: Dados os conjuntos A={-1,0,1,2,3} e B={-1,1,3}, Temos: {-1,0,1,2,3}⊃ {-1,1,3} ou A B⊃ .
( )( )A B x x A x B⊂ ⇔ ∀ ∈ ⇒ ∈
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Dizer que “A não contém B” é o mesmo que dizer “B não está contido em A”.
A ⊃ B → Lê-se: A não contém B. Exemplo: Dados os conjuntos A={-5,-3,-1} e B={-5,-4,-3,-2,-1},
Temos: {-5,-3,-1} ⊃ {-5,-4,-3,-2,-1} ou A ⊃ B .
• Todo o conjunto A é subconjunto dele próprio, ou seja ; • O conjunto vazio, por convenção, é subconjunto de qualquer conjunto,
ou seja ∅ ⊂ A
Conceitos de conjuntos Conjunto vazio. É um conjunto que não possui elementos. O conjunto vazio é representado por { } ou ∅∅∅∅. Diferença de Conjuntos.
Dados os conjuntos A e B, define-se como diferença entre A e B (nesta ordem) ao conjunto representado por A – B , formado por todos os elementos pertencentes a A, mas que não pertencem a B, ou seja:
Exemplo: Dados os conjuntos A={-4,-3,-2,-1,0} e B={-2,-1,0,1}, Temos:
A – B = {-4,-3}. Complementar entre conjuntos. O conjunto complementar de B em relação a A é dado por:
B
AC = A – B
B
AC → Lê-se: complementar de B em relação a A.
Exemplo: Dados os conjuntos A = { -4,-3,-2,-1,0} e B = { -2,-1,0}, temos:
B
AC = A – B = { -4,-3 }
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União de Conjuntos.
Dados os conjuntos A e B, define-se como união dos conjuntos A e B ao conjunto representado por A ∪∪∪∪ B, formado por todos os elementos pertencentes a A ou B, ou
Seja:
Exemplo: Dados os conjuntos A={-3,-2,-1,0} e B={-1,0,1}, Temos: A U B ={-3,-2,-1,0,1}. Intersecção de Conjuntos . Dados os conjuntos A e B, define-se como intersecção dos conjuntos A e B ao conjunto representado por A ∩ B, formado por todos os elementos pertencentes a A e B, simultaneamente, ou seja:
Exemplo: Dados os conjuntos A={-3,-2,-1,0} e B={-1,0,1,2,3,4}, Temos: A ∩ B = {-1,0}.
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Conjuntos Numéricos
i) Conjunto dos Números Naturais ( IN ).
IN ={0,1,2,3,4,5,6,7,8,...}
IN*={1,2,3,4,5,6,7,8,...}=IN – {0}
No conjunto dos números naturais são definidas duas operações fundamentais a adição e multiplicação. Já a subtração entre dois números naturais nem sempre é um número natural. Por exemplo, a equação x + 4 = 3 não tem solução em IN, pois x = 3 – 4 não pertence ao conjunto IN.
Daí a necessidade de ampliar o conjunto IN, introduzindo os números negativos.
ii) Conjunto dos números Inteiros ( ℤ ).
ℤ= {... , -3 , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , 3 , ...}
Subconjunto de ℤ :
ℤ *={..., -3,-2,-1,1,2,3,...}=ℤ –{0}(conjunto dos números inteiros não nulos )
ℤ+= {0,1,2,3,...}, ( conjunto dos números inteiros não negativos )
ℤ *+ = {1,2,3,...}, ( conjunto dos números inteiros positivos )
ℤ− = {..., -3,-2,-1,0}, ( conjunto dos números inteiros não positivos )
ℤ *− = {..., -3,-2,-1}, ( conjunto dos números inteiros negativos )
No conjunto ℤ são definidas também as operações de adição,
multiplicação e subtração.
Já a divisão de dois números inteiros nem sempre resulta um número inteiro. Por exemplo, a equação 2x = 7 não tem solução em ℤ , pois x = – 7/2 não pertence a ℤ . De um modo geral, não é possível resolver, em ℤ , nenhuma equação da forma ax = b , com a≠ 0 e com b não sendo múltiplo de a. Daí a necessidade de ampliar o conjunto ℤ , introduzindo as frações não aparentes.
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iii) Conjunto dos números Racionais (ℚ ).
Quando acrescentamos as frações não aparentes positivas e negativas aos números inteiros, obtemos os números racionais.
{ / * }a
x x a e bb
= = ⇔ ∈ ∈ℚ ℤ ℤ .
Observação:
• A restrição b≠ 0 é necessária, pois a
b representa a divisão de a por
b e isso só tem significado quando b≠ 0;
• O nome racional surgiu porque a
b pode ser visto como uma razão
entre os inteiros a e b; • A letra ℚ é a primeira letra da palavra quociente de a por b.
Subconjunto de ℚ
ℚ *= ℚ - {0}= conjunto do números racionais não nulos
ℚ+= conjunto dos números racionais não negativos
ℚ *+ = conjunto dos números racionais positivos
ℚ− = conjunto dos números racionais não positivos
ℚ *− = conjunto dos números racionais negativos
Agora, nos racionais (ℚ ), as quatros operações fundamentais são possíveis, menos a divisão por zero.
iv) Conjunto dos números Irracionais
Consideremos por exemplo os números 2 e 3 , e vamos determinar a sua representação decimal:
• 2 = 1,44142135...
• 3 = 1,7320508... Observamos, então, que existem decimais infinitas não periódicas, as quais damos o nome de números irracionais que não podem ser escritos na forma a/b. Observação: O número irracional mais famoso é o número π , que se obtém dividindo o comprimento C de qualquer circunferência pelo seu respectivo diâmetro, e que apresentamos abaixo, com suas 50 primeiras casas decimais:
π = 3,141592653589793238846264338327950288419716939937510...
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v) Conjunto dos números Reais (ℝ )
A reunião do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais nos dá um novo conjunto numérico denominado conjunto dos números reais.
I= =ℝ ℚ∪ {x / x é número racional ou x é número irracional} Com o conjunto ℝ , a reta numérica fica totalmente preenchida, ou seja:
• a cada ponto da reta corresponde um único número real; • Reciprocamente, a cada número real corresponde um único ponto
da reta.
Subconjunto de ℝ ( além de , ,ℕ ℤ ℚ e II ): IR*= IR – {0}= conjunto dos números reais não nulos. IR+= conjunto dos números reais não negativos. IR *
+= conjunto dos números reais positivos.
IR −= conjunto dos números reais não positivos. IR *
− = conjunto dos números reais negativos.
⊂ ⊂ ⊂ℕ ℤ ℚ ℝ e Ir ⊂ ℝ
rI =ℚ∪ ℝ
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EXERCÍCIOS CONJUNTOS NUMÉRICOS
1) Utilizando os símbolos ∈ ou ∈ , relacione os elementos com os conjuntos
A = { 1 , 3 , 5 , 7 , ...} e B = { -1 , -3 , -5 , -7 , ...} . a) 3 ____ A b) 5 ____ B c) -1 ____ A d) 7 ____ A e) 9 ____ A f) – 11 ____ B g) – 13 ____ A i) – 8 ____ B 2) Represente abreviadamente e por extenso, o conjunto A dado que: a) Os elementos de A são múltiplos negativos de 3. b) Os elementos de A são números não-negativos cuja escrita termina em 0 ou 5, na ordem das unidades simples.
3)Utilizando os símbolos ⊂ ou ⊂ , relacione os conjuntos A = { 0,-1,-3,-5},
B = { -3,-5} e C={ 0,-1}. a) A____B b)B____A c) A____C d) C____A
4) Utilizando os símbolos ⊂ ou ⊂ , relacione os conjuntos
A = {x/x é um estado físico da matéria}, B = {sólido, líquido} e C={líquido e gasoso}. a) A____B b) B____A c)A____C d)C____A 5) Dados os conjuntos A={0,1,2,3,4,5}, B={0,2,4} e C={1,3,5}, determine os seguintes conjuntos: a) AU B = b) A U C = c) B U C= d) A ∩ B= e) A ∩ C = f) B ∩ C= 6) Dados os conjuntos A = {-2,-1,0,1,2}, B={0,1,2} e C={0,-1,-2}, obter os conjuntos: a) A – B= b) A – C= c) B – A= c) C – A= 7) O conjunto A tem 20 elementos; A ∩ B tem 12 elementos e A U B tem 60 elementos. O número de elementos do conjunto B é: a) 28 b) 36 c) 40 d) 48 e) 52
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8) Se A e B são dois conjuntos não-vazios tais que: A U B = { 1,2,3,4,5,6,7,8}, A – B ={ 1,3,6,7} e B – A ={ 4,8} então , A ∩ B é o conjunto: a) Ø b) { 1 , 4} c) { 2 , 5} d) {6,7,8} e){1,3,4,6,7,8} 9) Determinar o valor das expressões:
a) (2 + √2 )² e) ( 3 + 2 )² + ( 3 − 2 )²
b) ( 3√5 − 2√3 ).( 3√5 + 2√3 ) f) 3 216 + 4 81 − 3 125
c) 3 27 − 81 + 1 g) 1,44
d) ( 5 2− )² h) 2,16
10) Represente os seguintes conjuntos por extensão de seus elementos:
a) A = { }/ 4x x∈ ≤ℕ
b) B = { }/1 6x x∈ < <ℕ
c) C = { }*/ 3 1x x∈ − ≤ ≤ℤ
11) Racionalize os denominadores das frações:
a) 3
2 b)
2 3
2 3
+−
c) 4
2
d) 1
3 2+ e)
6
1 5− f)
7 2
7 2
+−
12) Calcule os valores racionais de:
a) 3 1
4 6+ b)
2 1 1
5 6 2− + c)
2 1 1
5 4 10⋅ −
d) 3 1 2
6 4 5− + e)
5 3 6
2 4 7⋅ ⋅ f)
3 76
4 5+
13) Encontre a fração geratriz, das dízimas abaixo: a) 1,32 b) 0,77777... c) 0,24242424... d) 2,13566666... e) 23,43333... f) 9,14255555... g) 13,24 h) 5,042131313... i) 37,50322222...