Post on 19-Oct-2021
Teoria de Controle
Helio Voltolini
Conteúdo programático
• Introdução aos sistemas de controle;
• Modelagem matemática de sistemas dinâmicos;
• Resposta transitória de sistemas de controle;
• Estabilidade dos sistemas de controle;
• Método do lugar das raízes;• Método do lugar das raízes;
• Resposta em frequência;
• Análise e projeto por Nyquist;
• Controladores P, PI e PID;
• Análise de sistemas mediante variáveis de estado.
Introdução aos sistemas de controle
• O primeiro trabalho significativo em controle automático foi o de JamesWatt (1736-1819, nasceu na cidade Greenok na Escócia) que construiu, noséculo XVIII, um controlador centrífugo para o controle de velocidade deuma máquina a vapor.
Definições básicas
• Planta: Qualquer objeto físico a ser controlado (como um componentemecânico, um forno, um reator químico, etc)
• Processo: Toda operação a ser controlada. Ex: processos químicos,econômicos e biológicos.
• Sistema: É a combinação de componentes que agem em conjunto paraatingir um determinado objetivo. Ex: sistemas físicos, biológicos, etc.
• Controle com Retroação (Realimentação): Se refere a uma operação que,na presença de distúrbios, tende a reduzir a diferença entre o sinal desaída e o sinal de referência, e que opera com base nesta diferença.
Definições Básicas
• Variável controlada ou variável de processo (PV) - É a variável que se deseja controlar, ou seja, é a saída do processo.
• Variável de controle ou variável manipulada (MV) – é a variável que atua na entrada do processo, ou seja, é própria entrada do processo.
• SP – (Setpoint) – É o valor de referência definido na entrada do Sistema de Controle. Esse valor é usado para comparar com o valor medido e resulta no erro.
• Erro – É a diferença entre o valor de referência, ou setpoint, e a Variável Controlada (Erro = SP – PV). Esse valor é enviado ao elemento de controle.
Exemplo de Sistemas de Controle (identifique as
variáveis controladas e manipuladas de cada sistema)
• Máquina elétrica
• Usina Termoelétrica
• Circuito RC
Exemplo de Sistemas de Controle (identifique as
variáveis controladas e manipuladas de cada sistema)
• Sistema de aquecimento
Exemplos de Sistemas de Controle (identifique as
variáveis controladas e manipuladas de cada sistema)
Exemplos de Sistemas de Controle (identifique as
variáveis controladas e manipuladas de cada sistema)
• Sistema de controle de velocidade de um motor de combustão interna baseado no regulador de Watt
Exemplos de Sistemas de Controle (identifique as
variáveis controladas e manipuladas de cada sistema)
• Sistema de controle de robôs
Exemplos de Sistemas de Controle (identifique as
variáveis controladas e manipuladas de cada sistema)
• Sistema de controle de Temperatura
Exemplos de Sistemas de Controle (identifique as
variáveis controladas e manipuladas de cada sistema)
• Sistema de controle de Nível
Sistema em malha aberta.
• Sem realimentação;
• A entrada não é modificada de forma a seguir as alteraçõesnas condições de operações.
• Se houver mudança nas condições ambientais (um distúrbio)não tem como compensar a saída (uma porta ou janela que senão tem como compensar a saída (uma porta ou janela que seabre em um ambiente com temperatura controlada, porexemplo).
Controle em Malha Fechada
• Possui realimentação;
• Um sinal da saída é utilizado para modificar o sinal do erro, detal modo que a saída siga o valor de referência, mesmo commodificações de operação;
• O sistema tem a precisão aumentada, com rejeição a• O sistema tem a precisão aumentada, com rejeição aperturbações externas e é estável.
Comparação entre um sistema em malha e em
malha fechada
• Considere um motor cc representado apenas por um ganho. Isto significaque toda a dinâmica do sistema é desprezada.
• O conjunto motor + carga é representado por um ganho Kmotor = 10 rpm/Volt
• Seja também uma perturbação de carga. O aumento de 1 N.m de carga • Seja também uma perturbação de carga. O aumento de 1 N.m de carga provoque uma diminuição de 2 rpm.
Comparação entre um sistema em malha e em
malha fechada
• O diagrama representando os dados apresentados está mostrado abaixo.
• Considere o sistema em malha aberta como apresentado a seguir. Estediagrama apresenta também um controlador com ganho 1/10 para que asaída (sem perturbação) tenha o mesmo valor que a entrada.
Comparação entre um sistema em malha e em
malha fechada
• Para d=0
• Para uma velocidade de referência de, por exemplo, 1000 rpm, tem-se exatamente o mesmo valor de saída.
• Considera-se agora o caso de um aumento de carga tal que d = 100 Nm.
110
10 ref refω ω ω ω= × → =
• Considera-se agora o caso de um aumento de carga tal que d = 100 Nm. Um simples cálculo mostra que o valor final da velocidade é 800 rpm
Comparação entre um sistema em malha e em
malha fechada
• Considera-se agora o sistema em malha fechada, como mostrado abaixo.
• Inicialmente com d = 0
• Para ωref = 1000 rpm, tem-se que ω = 999,5002 rpm
( )200 10 refω ω ω= × −2000
2001 refω ω=
Comparação entre um sistema em malha e em
malha fechada
• Considera-se agora o caso com a perturbação.
• O valor da saída é:
ou
• Para ωref = 1000 rpm e d = 100 Nm:
• Para o caso da malha aberta o valor de saída era de 800 rpm
( )200 10 2ref dω ω ω= × − −2000 1
2001 2001ref dω ω= −
999,45 rpmω =
Comparação entre um sistema em malha e em
malha fechada
• Vamos considerar agora uma variação paramétrica, ou seja, vamos suporque um parâmetro, no caso o ganho do processo com valor de 10, temuma variação de -20%, passando para 8. Esta variação pode ser devida aum desgaste de componentes com o tempo, a variação com temperatura,ou simplesmente devido ao fato de que o parâmetro não foi precisamentedeterminado.determinado.
• Para d = 0 e para d = 100 Nm, calcule o valor da saída se ωref = 1000 rpm .
Modelagem matemática de sistemas dinâmicos
• Sistema linear – Um sistema é linear se a ele se aplica o principio dasuperposição, isto é, a resposta produzida pela aplicação simultânea deduas entradas diferentes é igual a resposta produzida pela soma dasresposta de cada entrada individual.
• Sistema Linear Invariante no Tempo – são sistemas descritos por• Sistema Linear Invariante no Tempo – são sistemas descritos porequações diferenciais com coeficientes constantes ou funções apenas davariável independente:
Modelagem matemática de sistemas dinâmicos
• Sistema não Linear – Em um sistema não linear não se aplica o principioda superposição. Assim, a resposta a duas entradas não pode sercalculada tratando-se uma entrada de cada vez e adicionando-se osresultados.
Função de Transferência (FT)
• Relaciona entradas-saídas de componentes ou sistemas quepodem ser descritos por equações diferenciais linearesinvariantes no tempo
• É definida como a relação entre a transformada de Laplace dosinal de saída e a transformada de Laplace do sinal desinal de saída e a transformada de Laplace do sinal deentrada, na hipótese de que todas as condições iniciais sãonulas.
Função de Transferência (FT)
• Seja um sistema linear invariante no tempo definido pelaseguinte equação diferencial.
.
( )( ) ( 1) ( ) ( 1). .
0 1 1 0 1 1... ... − −
− −+ + + + = + + + + ≥n n m m
n n m ma y a y a y a y b x b x b x b x n m
onde y é o sinal de saída e x é o sinal de entrada.Na hipótese de todas as condições iniciais nulas:
[ ][ ]
com condições iniciais nulas
de ( )= =Laplace saída
Função transferência G sLaplace entrada
10 1 1
10 1 1
...( )
...
−−
−−
+ + + +=+ + + +
m mm m
n nn n
b s b s b s bG s
a s a s a s a
Função de Transferência (FT)
• Exemplo: Determine a Função de Transferência em s do sistema abaixo:
• Solução:
1
1 ou
i
oo
e Ri i dtC
dee i dt i C
C dt
= + = =
∫
∫
oi o
dee RC e
dt = +
oo i
deRC e e
dt + =
( ) ( ) ( )o o iRC sE s E s E s+ =Aplicando Laplace:
Solução:
( )( 1) ( )
( ) 1
( ) s+1
o i
o
i
E s RC s E s
ou
E s
E s RC
+ = = ( ) s+1iE s RC
Fazendo RC τ=
( ) 1
( ) s+1o
i
E s
E s τ= Função de transferência em s do circuito RC
Propriedades da Função de Transferência (FT)
• Uma função matemática que expressa a equação diferencialque relaciona a variável de saída à variável de entrada;
• É uma propriedade do sistema, independe da entrada;
• Relaciona o sinal de entrada ao de saída, no entanto, nãofornece qualquer informação concernente à estrutura físicafornece qualquer informação concernente à estrutura físicado sistema;
• Se a FT de um sistema é conhecida, a saída ou resposta dosistema pode ser estudada para varias formas de entradas;
• Se a FT de um sistema é desconhecida, ela pode serestabelecida experimentalmente introduzindo-se sinais deentradas conhecidos e estudando-se o sinal de saída.
DIAGRAMA DE BLOCOS
• O diagrama de bloco é uma representação das funções desempenhadas por cada um dos componentes e do fluxo de sinais de um sistema.
• PONTO DE SOMA é um circulo indicando uma operação de soma.
• PONTO DE DERIVAÇAO é um ponto a partir do qual o sinal proveniente de um bloco vai simultaneamente para outros blocos ou ponto de soma.
DIAGRAMA DE BLOCOS
• Diagrama de Blocos de um sistema a malha fechada:
• Função de Transferência a malha aberta: é a relação entre o sinal deretroação B(s) e o sinal de erro E(s) atuante:
( )( ) ( )
( )
B sFT a malha aberta G s H s
E s= =
DIAGRAMA DE BLOCOS
• FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA DE AÇÃO DIRETA: é a relação entre o sinal desaída C(s) e o sinal de erro E(s) atuante:
( )( )
( )
C sFT de ação direta G s
E s= =
• FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA A MALHA FECHADA – é a relação entre osinal de saída C(s) e o sinal de entrada R(s).
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
C s G s E s
e
E s R s B s
E s R s H s C s
=
= −= −
[ ]
[ ]
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( )
C s G s R s H s C s
C s G s R s G s H s C s
C s G s H s G s R s
= −= −
+ =
( ) ( )
( ) 1 ( ) ( )
C s G s
R s G s H s=
+
DIAGRAMA DE BLOCOS
• SISTEMA A MALHA FECHADA SUJEITO A UMA PERTURBAÇAO:
• Se o sistema é linear, a saída C(s) pode ser calculada devido a cada entradaindividualmente e adicionando-as no final.
DIAGRAMA DE BLOCOS
• Cálculo da FT devido a entrada R(s) com D(s) = 0
1 2
1 2
( ) ( ) ( )
( ) 1 ( ) ( ) ( )RC s G s G s
R s G s G s H s=
+
1 2( ) ( )( ) ( )R
G s G sC s R s=
+
• Cálculo da FT devido a entrada D(s) com R(s) = 0
• Cálculo da FT devido a aplica simultânea dos sinais R(s) e D(s)
2
1 2
( )( ) ( )
1 ( ) ( ) ( )D
G sC s D s
G s G s H s=
+
1 2
( ) ( )1 ( ) ( ) ( )RC s R s
G s G s H s=
+
( ) ( ) ( )R DC s C s C s= +[ ]2
11 2
( )( ) ( ) ( ) ( )
1 ( ) ( ) ( )
G sC s G s R s D s
G s G s H s= +
+
DIAGRAMA DE BLOCOS
• Procedimentos para a construção de diagramas de blocos – Descrevem-seas equações do comportamento dinâmico da cada componente. Obtém-se, em seguida, a transformada de Laplace destas equações, supondocondições iniciais nulas. Finalmente, reúnem-se os elementos em umdiagrama de bloco completo
• Exemplo: Considere o circuito RC série:• Exemplo: Considere o circuito RC série:
( ) ( )i o i oe e E s E si I(s)=
R R
− −= →
1 ( )o
I se idt Eo(s)=
C Cs= →∫
Exemplo – construção de diagramas de blocos
(cont.)
( ) ( )i o i oe e E s E si I(s)=
R R
− −= →
1 ( )I s
• Diagrama de blocos representando o circuito RC série
1 ( )o o
I se idt E (s)=
C Cs= →∫
Exercícios
1. A partir do diagrama de blocos abaixo, obter a FT do circuito RC série.
2. Obter a FT do sistema a malha fechada com realimentação positivamostrado a seguir:
Exercícios
3. Obter a FT do circuito RC série.
4. Obter o diagrama de blocos em malha fechada que representa o circuitoRC do exercício anterior
Redução de diagrama de blocos
Redução de diagrama de blocos
• Exemplo - Simplificar o diagrama blocos mostrado abaixo:
Exercícios
• Simplifique os seguintes diagramas de blocos:
(a)(b)
(c)
Modelagem de sistemas mecânicos
• Seja um sistema massa-mola-amortecedor:
Somatório de forças aplicadas à massa F kxcv= − −
Onde:-F é a força aplicada à massa;-k é a constante elástica da mola;-c é a constante do amortecedor;
• Pela 2ª Lei de Newton:
Portanto: Como:
»
-c é a constante do amortecedor;-v é a velocidade do pistão do amortecedor;-x é deslocamento da massa.
2
2
d xSomatório de forças aplicadas à massa ma m
dt= =
2
2
d xm F kx cv
dt= − −
dxv
dt=
2
2
d x dxm c kx F
dt dt+ + = Descreve a relação entre a entrada F e a saída x.
Modelagem de sistemas mecânicos
• Pela 2ª Lei de Newton:
Portanto: Como:
2
2
d xSomatório de forças aplicadas à massa ma m
dt= =
2d xm F kx cv= − − dx
v =Portanto: Como:2
d xm F kx cv
dt= − − dx
vdt
=
2
2
d x dxm c kx F
dt dt+ + = Descreve a relação entre a entrada F e a saída x.
Modelagem de sistemas mecânicos
• Equação diferencial que descreve o comportamento do sistema massa-mola-amortecedor:
2
2
d x dxm c kx F
dt dt+ + =
2( ) ( )X s ms cs k F s + + = 2
( ) 1
( )
X s
F s ms cs k=
+ +( )F s ms cs k+ +
2
1
ms cs k+ +
( )X s( )F s
Modelagem de sistemas mecânicos
• Na ausência de amortecimento, a massa m oscilará com um freqüência
angular natural ωωωωn dada por:
• Para o movimento amortecido, uma razão de amortecimento ζζζζ (zeta) é usada para definir a extensão do amortecimento:
( )/n k m rad/sω =
usada para definir a extensão do amortecimento:
2
c
mkζ =
Modelagem de sistemas mecânicos
• A equação diferencial torna-se:
2
2 2
1 2
n n
d x dx Fx
dt dt k
ζω ω
+ + =
2d x dx Fζω ω ω+ + =
• Em Laplace
( ) ( ) ( ) ( )22 22 n
n n
F ss X s sX s X s
k
ωζω ω+ + =
22 2
22 n n n
d x dx Fx
dt dt kζω ω ω+ + =
( )( )
2
2 2
1
2n
n n
X s
F s k s s
ωζω ω
=+ +
Modelagem de sistemas mecânicos
2
2 2
1
2n
k s s
ωζω ω+ +
• O sistema massa-mola-amortecedor pode ser representado da seguinte forma:
( )X s( )F s2 22 n nk s sζω ω+ +
Modelagem de sistemas elétricos
• Os blocos básicos de sistemas elétricos passivos são os resistores, indutores e capacitores considerando os princípios básicos.
• Para o resistor:
v Ri= vi
R=
2P Ri=• Para o indutor:
• Para o capacitor:
v Ri= iR
=
div L
dt= 1
i vdtL
= ∫
1v idt
C= ∫
dvi C
dt=
P Ri=
21
2E Li=
21
2E Cv=
Modelagem de sistemas elétricos
• As equações que descrevem cada componente devem ser combinadas utilizando as Leis de Kirchoff.
• Exemplo: Seja o circuito abaixo, onde ei é a entrada e eo é a saída do sistema.
• Em Laplace
Modelagem de sistemas elétricos
• Funções de Transferência de elementos em cascata com carregamento:
• Em Laplace
Modelagem de sistemas elétricos
• Sistema formado por elementos em cascata sem carregamento:
• Funções de Transferência de elementos em cascata sem carregamento
Modelagem de sistemas de Nível de Líquido
• Resistência e Capacitância de sistemas de Nível de Liquido:
• A resistencia R ao fluxo de liquido na válvula de carga é:
Modelagem de sistemas de Nível de Líquido
• A relação entre vazão e a diferença de nível difere no escoamento laminare no escoamento turbulento.
• Fluxo laminar Número de Reynolds menor que 2000
• Sistemas que apresentam fluxo laminar podem ser representados porequações diferencias lineares.equações diferencias lineares.
• Fluxo Turbulento Número de Reynolds maior que 3000-4000
• Sistemas que apresentam fluxo Turbulento devem ser representados por equações diferenciais não lineares.
Modelagem de sistemas de Nível de Líquido
• Para escoamento Laminar:
Onde:
• A resistência no escoamento laminar é :
• A resistência no escoamento laminar é constante e é análoga à resistência elétrica.
Modelagem de sistemas de Nível de Líquido
• Para escoamento Turbulento:
Onde:
• A resistência no escoamento Turbulento é:
Modelagem de sistemas de Nível de Líquido
• A relação entre Q e H pode ser dada por:
• A resistência pode ser determinada pela inclinação da curva no ponto de operação
Modelagem de sistemas de Nível de Líquido
• Capacitância:
A capacitância C de um reservatório é definida sendo a variação daquantidade de liquido armazenado necessária par causar a variaçãounitária no potencial (altura do nível do liquido).
• Deve-se notar que a capacidade (m3) e capacitância (m2) são grandezasdiferentes. A capacitância de um reservatório é igual à área de sua seçãoreta. Se esta for constante, a capacitância é constante para qualquer alturade liquido.
Modelagem de sistemas de Nível de Líquido
• Seja o sistema abaixo. As variáveis dão definidas com se segue:
Modelagem de sistemas de Nível de Líquido
• Uma vez que a vazão de entrada menos a vazão de saída, durante um pequeno intervalo de tempo dt, é igual à quantidade adicional armazenada no reservatório:
• Sendo:• Sendo:
• Seja :
Modelagem de sistemas de Nível de Líquido
• Seja o sistema de nível de liquido com iteração mostrado abaixo:
• Sendo:
• Seja :
Modelagem de sistemas de Nível de Líquido
• Admitindo a vazão q como grandeza de entrada e q2 como variável desaída, a função de transferência do sistema é:
• Seja :
Exemplo:No sistema de nível da figura abaixo, admita-se que a vazão Q m3/s atravésda válvula de saída se relaciona com o valor da coluna H por intermédio daexpressão:
Admita-se, também que para uma vazão de entrada Qi constante e igual a0,015 m3/s o valor da coluna H se mantenha constante. No instante t = 0 aválvula da entrada é fechada de modo que a vazão de entrada seja nula
0,01Q K H H= =
válvula da entrada é fechada de modo que a vazão de entrada seja nulapara t ≥ 0. Determinar o tempo necessário para esvaziar o reservatório ateque o valor da coluna seja metade do valor inicial. A capacitância C doreservatório é de 2 m2.
Modelagem de sistemas térmicos
• Seja o sistema térmico:
• Para transferência de calor por condução ou convecção:
• Onde:
Modelagem de sistemas térmicos
• Resistência Térmica para transferência de calor entre duas substancias:
• A resistência Térmica para transferência de calor por condução ou convecção:convecção:
Modelagem de sistemas térmicos
• A Capacitancia Térmica: é uma medida do armazenamento da energia interna do sistema, é definida por:
• Ou:• Ou:
• Onde: m é a massa da substancia considerada, kg;
• C é o calor especifico da substancia, kcal/kg oC
Modelagem de sistemas térmicos
Modelagem de sistemas térmicos
Modelagem de sistemas térmicos
Modelagem de sistemas térmicos
Diagrama de blocos de um sistema térmico