Teoria das filas

Teoria das filas

Em duas horas????

ESSÊNCIA DE MODELOS DE FILAS

• Clientes• Servidores• Intervalo entre chegadas (continuo)

• Duração do serviço (continuo)

• POR QUE NÃO SIMULAR????• São fórmulas relevantes???

ESSÊNCIA DE MODELOS DE FILAS

• Clientes• Servidores• Intervalo entre chegadas• Duração do serviço• Sofisticações sobre o tema: fila limitada,desistência,prioridades....

ESSÊNCIA DE MODELOS DE FILAS

• Clientes• Servidores• Intervalo entre chegadas• Duração do serviço• Sofisticações sobre o tema: fila limitada,desistência,prioridades....Ignorâncias: heterogeneidade,sistemas de

filas,...

O resultado mais aceito é simples

• Teorema de Little:• E[#clientes no sistema}= NE ,• Taxa média de chegadas=λ,• Tempo médio gasto no sistema= T,• Então qualquer que seja fila ergódica, temos

• NE = λT (e NqE =W) .

• .

Little´s theorem

• Nt =# médio em (0,t),• γ(t) = # acumulado de clientes-segundos até t,

• Nt= γ(t)/t• α(t) = # chegadas em (0,t),• Tt = tempo de sistema/cliente até t (=α-1 .γ )

• λt = taxa média de chegada em (0,t) (=α-1/t)• Ergodicidade → NE=λT

MODELÃO:

• Processos de nascimento e morte

MODELÃO:

• Processos de nascimento e morte

• Qual o vetor de estado???

• Primeiro chute: # de clientes na fila/sistema por categoria

• Segundo:...em filas de diferentes servidores• Terceiro: memória

MODELÃO:

• Processos de nascimento e morte (pràticamente) sem memória

• São os ditos Markovianos (M)

MODELÃO:

• Processos de nascimento e morteMais fácil: população eterna ou nascimento puro

Intuição tempo discreto:P(XT+1= k)=(1-p)P(XT= k) + p P(XT= k-1) para k>1

Note p independe de k e de T ....(se quiséssemos poderíamos ter pT pK pT,k )

Modelo de nascimento contínuo:

Nascimentos independentes (sem memória)P (exatamente 1 nascimento entre t e t+∆/população é k) =

= λk ∆ +o(∆), onde o(.)....o(.) e diferenciabilidade

Então: se Pk(t)=P[X(t)=k], temos (com P<0(.)=0)

Pk(t+∆)=Pk(t) [1- (λk ∆) -o(∆)] + Pk-1(t)[ λk ∆ +o(∆)]

Ou, para ∆→0, P.k(t)= Pk(t) [- (λk)] + Pk-1(t)[ λk ]

Modelo M de nascimento contínuo:

Nascimentos independentes (sem memória)

PoissonTaxa fixa de nascimentos

P.k(t)= Pk(t) [-λ] + Pk-1(t)[ λ] (com P<0(.)=0) .

Com Po(0) =1, temos Po(t) =e-λt, P1(t) =λt e-λt

Pk(t) =(k!)-1 (λt)k e-λt

(note que a cada instante as probabilidades somam 1)

Modelo M contínuo de morte :

Inverso de Poisson: Tempos exponenciais

Intervalos entre chegadas são exponenciaisse e só se

O processo de chegada é Poisson.Se chegadas Poisson, P(tempo da 1ª chegada>t) = 1- P0

Poisson(t)=1- e-λt,

Exponencial é sem memória :

Tempos exponenciais

P(tempo da 1ª chegada>t) = 1- P0Poisson(t)=1- e-λt,

Sabendo que até o instante T não ocorreram chegadas,Qual a probabilidade da 1ª chegada ser em (T+t)??

Exponencial é sem memória :

Tempos exponenciais

P(tempo da 1ª chegada>t) = 1- P0Poisson(t)=1- e-λt,

Sabendo que até o instante T não ocorreram chegadas,Qual a probabilidade da 1ª chegada ser em (T+t)??

P(t1≤T+t/t1>T)= [1-P(t1≤T)]-1 {P(t1≤T+t) - P(t1≤T)}= 1- e-λt !!!!!

M/M/1 é fácil

• Uma fila é dita ser M/M/1 se as chegadas são Poisson de razão λ e os tempos de serviço exponenciais de média μ .

• Quais as estatísticas do sistema e qual a relação entre saída e entrada ???

M/M/1 é fácil

• Uma fila é dita ser M/M/1 se as chegadas são Poisson de razão λ e os tempos de serviço exponenciais de média μ .

• Quais as estatísticas do sistema e qual a relação entre saída e entrada ???

• Fazer grafo de nascimento e morte com bolinhas que permitam ver que o sistema de equações diferenciais é:

• P.k(t)= Pk(t) [- (λk)] + Pk-1(t)[ λk ] + Pk(t) [- (μk)] + Pk+1(t)[ μk ]

• = Pk(t) [- (λk+ μk)] + Pk-1(t)[ λk ] + Pk(t) [- (μk)] + Pk`+1(t)[ μk ]com λk=λ e μ= μk .

M/M/1 é fácil,mas não tanto

• Uma fila é dita ser M/M/1 se as chegadas são Poisson de razão λ e os tempos de serviço exponenciais de média μ .

P.k(t)= Pk(t) [- (λk)] + Pk-1(t)[ λk ] + Pk(t) [- (μk)] + Pk+1(t)[ μk ]

= - (λ+ μ) Pk(t) +λ Pk-1(t) + + μPk+1(t)com λk=λ e μ= μk .

TransitórioRegime (se existir, ergodicidade) P.

k(t)= 0

M/M/1 em regime é fácil

• Uma fila é dita ser M/M/1 se as chegadas são Poisson de razão λ e os tempos de serviço exponenciais de média μ .

P.k(t)= - (λ+ μ) Pk(t) +λ Pk-1(t) + + μPk+1(t)

- (λ+ μ) pk +λ pk-1 + + μpk+1 =0

• Definido ρ=(λ/μ), e impondo ρ<1,• pk=p0 ρk

• normalizando para soma de probabilidades =1, temos p0=1-ρ

a/(1-a)=Σak.

M/M/1: impacto do congestionamento

• E[N]=ρ/(1-ρ)

• E[T]=λ E[N] = (1/μ)/(1-ρ)

• Var(N)= ρ/(1-ρ)2

M/M/1 em regime é fácil

• Uma fila M/M/1 com chegadas Poisson de razão λ e os tempos de serviço exponenciais de média μ (μ<λ) tem muito pouco naturalmente saída Poisson de razão λ

• Redes de Jackson.

Complicando a M/M/1

• M/M/1 com desencorajamento (λk cai com k/ pg 99)

• M/M/∞ (μk=kμ)

• M/M/m (μk= (min{k,m})μ)

• M/M/1/K (λk=λ para k≤K, 0 caso contrário)

• M/M/m/m (só cabem m)- bonzinho para nós

• M/M/1//M :pop. Finita M (λk=[λ/(M-k)] para k≤M, 0 caso contrário)

• M/M/∞//M• M/M/m/k/M

Servidores não homogêneos

• Filas x controle estocástico:

• servidores não homogêneos:• Filas: sob custos de expansão um mínimo de

capacidade de serviço é necessária.

• Controle: já tendo dois servidores instalados, melhor política é a de risca no chão (limiar)

Políticas de atendimento

• FCFS, LCFS até hipotética SCFS mudam os momentos de ordem maior que média mas não afetam “estabilidade”

• Redes de filas: até FCFS pode ser instável (estações virtuais) no caso não acíclico

• Surpresa: “kan-ban” é instável: regime não é transitório.

“Complicando” filas Markovianas• Quanto tempo entre a chegada de um “bundle” de k clientes em chegada

individual Poison?? Telefonia• Ou

• Quanto tempo para ser servido por k servidores de taxas kμ, correspondente a uma taxa média μ?

• Erlang de parâmetros R(taxa) e k(forma)

• pdf: fRk(t)= [(k-1)!]-1 R (Rt)k-1 e-Rt .

• com k=1 R=λ exponencial (λ e-λt)

• com k→∞ “tende” para Dirac, mas “média” também “explode” • (exceto se mantiver (k/R)= média constante)

Ferramental

• Devido à presença de produtos de convolução (pdf de “soma de tempos”, transferencia em sistemas lineares..)

transformadas de Laplace ou z .

• Saída de M/M/1:• P(vazio). (tempo de chegada +serviço)

+ P(não vazio) (tempo de serviço)

Mas, cuidado:paradoxo do tempo de espera

• Chegadas de ônibus no ponto dadas por exponencial média 60 min.

• Quanto tempo devo esperar por um onibus em média???

• Primeira vista a falta de memória da exponencial diz 60 minutos

• Mas, se pensarmos que em média chegamos no meios de um intervalo entre chegadas, eu deveia esperar 30 minutos!!!

Mas, cuidado:paradoxo do tempo de espera

- Mas, se pensarmos que em média chegamos no meios de um intervalo entre chegadas, eu deveria esperar 30 minutos!!!

• Errado: supondo 2 choferes se alternando um com intervalos de 30 e 90 minutos (em média 60)

• Teremos ¾ de chance chegar chofer lento e ¼ de chance de chofer rápido, dando interarrival time de 75 minutos.

• Para exponencial tipico interval time é de 120 minutos, o que dá 0s 60 do memoryless