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IntroduçãoA teoria das filas é um ramo da probabilidade queestuda a formação de filas, através de análisesmatemáticas precisas e propriedades mensuráveis dasfilas. Ela provê modelos para demonstrar previamenteo comportamento de um sistema que ofereça serviçoscuja demanda cresce aleatoriamente, tornandopossível dimensioná-lo de forma a satisfazer os clientese ser viável economicamente para o provedor doserviço, evitando desperdícios e gargalos.

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O sistema de filas pode ser:Rede de filas - Conjunto de entidades interligadasque oferecem serviços (centros de serviço) e deusuários (clientes). Rede com vários nós de comutação.

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Centro de serviço - Representa os recursos dosistema, compreendendo um ou mais servidores e umconjunto de clientes que esperam pelo serviço.

O sistema de filas pode ser:

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Fila - Representa os clientes que estão esperando peloserviço, juntamente com os que estão sendo atendidospelos servidores.

O sistema de filas pode ser:

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Fila de espera - Somente os clientes que estãoaguardando pelo serviço.

O sistema de filas pode ser:

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Estrutura Básica de um Modelo de Fila

Fila ⇒ onde os clientesaguardam antes de serematendidos.

1)Número máximo de clientes quea fila pode conter (buffer): finitoou infinito.Disciplina da Fila⇒ ordem que osclientes em fila são selecionadospara atendimento.(FIFO), (FCFS), (LIFO), (LCFS) oufilas com prioridades.

Mecanismos de Atendimento(Serviço) ⇒ onde o cliente éatendido.

1)Número de instalações paraatendimento.2)Número de canais para atendimento(servidores) em paralelo para cadainstante de atendimento.3)Distribuição de Probabilidade paracada servidor (Exponencial).

Fonte de Entrada ⇒ ondegera-se os clientes.

1)Tamanho da População: finitaou infinita.2)Distribuição de Probabilidadeque os clientes são gerados sobre otempo (Poisson).3)Distribuição de Probabilidadedo tempo entre chegadas(Exponencial).

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Sistema de filasUma fila ocorre sempre que a procura por um determinado serviçoé maior que a capacidade do sistema de prover este serviço.

Um sistema de filas pode ser definido como:Clientes chegando;

Cliente esperando pelo serviço;

Cliente saindo do sistema após terem sido atendidos;

Em teoria das filas "Cliente” é um termo genérico, aplicando-senão somente a seres humanos. O conceito pode abranger, porexemplo:

Processos esperando para receber a CPU;

Pacotes que chegam a um roteador para serem encaminhados;

Pessoas esperando no caixa do supermercado, etc.

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Aplicações

Existem diversas aplicações da teoria das filas, entre elas destacam-se:

Prestação de serviços (bancos, correios, lanchonetes);

Escalonamento (pacientes em hospitais, programas em computadores);

Fluxo de tráfego (aviões, carros, pessoas, comunicações);

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Componentes de um sistema de filasProcesso de chegada

O processo de chegada indica qual o padrão de chegada dosclientes no sistema. Apresenta comportamento estocástico,ou seja, as chegadas ocorrem no tempo e no espaço deacordo com as leis da probabilidade; assim, é precisoconhecer qual a distribuição de probabilidade que descreveos tempos entre as chegadas dos clientes.

A distribuição mais comum é a de Poisson, ou seja, ostempos entre as chegadas são exponencialmentedistribuídos. Entre outras distribuições, estão a de Erlang,hiperexponencial e arbitrária.

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Distribuição do tempo de serviço

Assim como no processo de chegada, também énecessário conhecer a distribuição de probabilidade dotempo de serviço, sendo válidas as mesmasdistribuições apresentadas.

Da mesma forma que no processo de chegada, o padrãode serviço pode variar de acordo com o tempo. Porexemplo, a experiência adquirida com o serviço podeaumentar a produtividade; o cansaço, por outro lado,pode diminuí-la. Caso não haja variação o padrão éestacionário.

Componentes de um sistema de filas

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Número de servidores

Um centro de atraso ou Servidorinfinito:

É também conhecido como número decanais de serviço.

Indica a quantidade de "pontos deatendimento" do sistema, de forma a serviraos clientes paralelamente.

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Número de servidores

Quando um sistema possui mais de umservidor podemos chama-lo de(multiservidor ou multicanal). Onde temosuma única fila para todos os servidores

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Número de servidores

Em um sistema de múltiplas filas, existe uma fila para cada servidor, como em um caixa de supermercado.

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Pontos importantes num sistema de fila:

Capacidade do sistema:

Representa o número máximo de clientes que o sistema suporta,incluindo os que estão em espera e os que estão sendo atendidos. Acapacidade pode ser infinita ou finita:

População de usuários:

Esse componente indica o número potencial de clientes que podemchegar a um sistema. Podendo ser finita ou infinita.

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INFINITA: Não há restrinções quanto ao crescimento da fila;

FINITA: Existe limitações físicas da quantidade de espaço na fila;

Pontos importantes num sistema de fila:Disciplina de atendimento:

Descreve a forma como os clientes saem da fila de espera para serem atendidos.

Algumas disciplinas são:

FCFS (First Come, First Served): Primeiro a Chegar, Primeiro a ser Atendido.

FIFO (First In, First Out): Primeiro a Entrar, Primeiro a Sair.

LCFS (Last Come, First Served): Último a chegar, Primeiro a ser Atendido.

LIFO (Last In, First Out): Último a Chegar, Primeiro a Sair.

Fila com prioridade: A cada cliente é atribuída uma prioridade; clientes com maior prioridade têm preferência no

atendimento e pode ser de dois tipos:

Preemptivo: O cliente com maior prioridade é atendido imediatamente, interrompendo oatendimento ao cliente com menor prioridade. Ao terminar, o cliente de menor prioridade volta aser atendido, podendo continuar o processo de onde parou ou então reiniciá-lo.

Não-preemptivo: O cliente com maior prioridade é colocado no início da fila, recebendo o serviçosomente quando o cliente em atendimento sai do sistema, mesmo se este for de prioridade maisbaixa. 17

Distribuição de Poisson• Normalmente usada para

representar chegadas de clientes ao sistema e tempos de atendimento.

Distribuição DISCRETA

DistribuiçõesExiste duas distribuições teóricas validas para aplicação em teoria das filas:

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Distribuição Exponencial• Normalmente usada para

representar tempos de atendimento.

Distribuição CONTINUA

Chegada de clientes ao sistemaSegundo a distribuição de Poisson as chegadas se processam com a média de

chegadas por tempo, os seus parâmetros são:

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λ é o ritmo média de chegada

IC é o intervalo médio entre chegadas

Padrão de serviço no atendimentoO tempo de atendimento segue uma distribuição Exponencial Negativa, ou seja o número de atendimento segue uma distribuição de Poisson com média , seus parâmetros são:

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µ é o ritmo média de atendimento

TA é o tempo de duração médio dos serviços por

atendimento

NotaçãoUtiliza-se a notação de Kendall, proposta em 1953, composta por uma série de símbolos da seguinte forma:

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A/S/m/K/N/Q

A: Distribuição dos tempos entre as chegadas (Processo de chegada)

S: Distribuição dos tempos de serviço

m: Número de servidores

K: Capacidade do sistema

N: Tamanho da população

Q: Disciplina de atendimento

Onde:

Calculo

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Denota a taxa média de clientes chegando no

serviço de filasÈ a taxa média de serviço

(C Service) È a média de congestionamento do

sistema

Sendo assim:

Quando

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O nº médio de chegada no sistema excede a taxa média de serviço do sistema e quando o tempo avança a fila se torna cada vez maior, impedindo qualquer situação de equilibrio.

Sendo assim, para obter uma situação de equilibrio

deve ser estritamente.

As chegadas e serviços devem ser deterministicos e bem escalonada, assim a aleatoriedade impedirá que a fila se esvazie ou cresça sem limites.

Observação:

Quando a taxa média de serviço e a taxa média de chegada for conhecido, o nºmédio de servidores paralelos requeridos para equilíbrio pode serimediatamente calculado encontrando o menor C Service que satisfaça aequação.

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Com base em tudo que vimos, podemos avaliar o comportamento de um sistema de filas e seus parametros, como por exemplo:

A probabilidade de haver clientes no sistema

A probabilidade de que nº de cliente no sistema seja superior a um certo valor

A probabilidade de que o sistema esteja ocioso

A probabilidade de que o sistema esteja ocupado

O nº médio de cliente no sistema

O nº médio de cliente na fila

O tempo médio de espera na fila por cliente

O tempo médio gasto no sistema por cliente

Em um sistema de filas simples podemos ter 3 alternativas de tratamento

Conclusão

Achometria: Tratamento empregado de bom senso e um pouco de adivinhação.

Tratamento analítico: Empregado a teoria das fila.

Modelagem e Simulação.

Que é uma ferramento poderosa devido a uma grande área de atuação e se fosse seguida conforme a teoria não teriamos no Brasil um sistema de servidores tão

precario.

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