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Tecnologias computacionais como recursos auxiliares no ensino de
Ciências e Matemática
Eliane A. VeitInstituto de Física
UFRGSSetembro de 2006
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Parte I
• argumentos a favor do uso de tecnologias computacionais no ensino de Matemática e Ciências
• exemplos de aplicativos e potencialidades• importância de modelos em Ciências
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Quem é capaz de responder?
Se um trem viaja em linha reta durante
2 horas, a 40 km/h, que distância percorre?
80 km
distância = velocidade * tempo da viagem
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Pois para Galileu não foi tão simples assim:
• Em Diálogos relativos a duas novas ciências (1636)
Galileu demonstra
6 teoremas sobre movimento
uniforme !
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Teorema 1 de Galileu
• Se uma partícula, em movimento uniforme com velocidade constante, percorre duas distâncias, então os intervalos de tempo requeridos estão uns para os outros na razão dessas distâncias.
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Comentários*:
• Não há um único sinal de igual (=) nos manuscritos de Galileu!
• Os primórdios da Álgebra ocorrem 5 anos depois da publicação de Galileu, com Descartes (1596-1650).
* Andrea diSessa, Changing Minds Computers. Learning andLiteracy, M.I.T. 1999.
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O que isto tem a ver com as
Tecnologias computacionais como recursos auxiliares no ensino de Ciências e Matemática?
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Não é para desapontá-los, mas ...
• ... vou para a idade da pedra para argumentar que...
A evolução humana está intimamente associada à invenção de instrumentos!
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Evolução humana & instrumentos
• idade da pedra lascada (paleolítico) • idade da pedra polida (neolítico)• idade dos metais
A espécie humana se distingue da animal pela construção de instrumentos.
A evolução humana está intimamente associada à invenção de instrumentos!
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Ferramentas cognitivas (ou da mente)
• mapas, figuras, símbolos, o alfabeto ...permitem que se coloque parte do pensamento em uma ”forma física, estável, transportável, reprodutível, manipulável”
• A Álgebra, Cálculo,..., vistos como uma ferramenta das Ciências, são ferramentas cognitivas
(DiSessa: inteligência material)
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Tecnologias computacionais incluem:
• planilhas eletrônicas, processadores de imagens, hipertextos, micromundos, com padrões que envolvem reação e interação
• CD, DVD, web novas dimensões na capacidade de armazenamento e transmissão
• ações autônomas (simulação, cálculo)
• capacidade de processamento fora da mente
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Computador é:
uma ferramenta cognitiva em potencial
oferecendo novas perspectivas à capacidade humana de resolução de problemas
se vai ou não revolucionar o ensino?
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...tudo está condicionado ao social
Ex: Cálculo Diferencial e Integral• hoje infraestrutural na formação de
engenheiros e cientistas, demorou mais de dois séculos para que viesse a ser considerado útil e possível de ser ensinado em um nível universitário, depois de acirrada disputa entre a comunidade científica inglesa e alemã
• Fatores pedagógicos, levaram a comunidade a adotar a notação de Leibnitz (1646-1716), que persiste até hoje, e não a de Newton (1564-1642) ?
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Parte I
argumentos a favor do uso de tecnologias computacionais no ensino de Ciências
• exemplos de aplicativos e potencialidades• importância de modelos em ciências
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Computador permite :
• reificar ( concreto > abstrato)(Ex. vetores no Modellus)
• equações, funções, vetores e relaçõesgeométricas, podem ser “manipulados”diretamente(Ex. funções no Excel)
• múltiplas representações(Ex. gráficos, tabelas e animação no Modellus)
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Galileu...
• usava muito o raciocínio• tinha espírito de observação aguçado• tinha espírito crítico• gostava de enfrentar situações novas• era persistente• ...• deu-se conta que precisava pensar em
modelos para descrever a natureza
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Parte I
argumentos a favor do uso de tecnologias computacionais no ensino de Ciênciasexemplos de aplicativos e potencialidades
• importância de modelos em ciências
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O que se procura em Ciências?
• Descrever a natureza através de modelos científicos• descrições simplificadas e idealizadas de
sistemas ou fenômenos físicos;• aceitos pela comunidade de físicos;• constituídos por:
• proposições semânticas; • modelos matemáticos subjacentes.
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Modelos para a descrição do movimento pendular do mouse?
• o modelo do pêndulo simples: • hipótese que o mouse é pontual • o fio tem massa desprezível• o fio é inextensível• a resistência do ar é desprezível
Não existe um pêndulo simples na natureza!
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Movimento planetário
• Na descrição do movimento de translação, os planetas são considerados como partículas pontuais (obviamente isto é uma idealização).
• Na descrição do movimento de rotação, passam a ser tratados como corpos esféricos rígidos, ainda que na realidade não sejam nem perfeitamente esféricos nem rígidos.
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Modelo do gás ideal
• O gás é constituído por partículas pontuais que interagem via colisões perfeitamente elásticas.
• Não há na natureza tal sistema. Isto é uma idealização dos físicos, que serve como ponto de partida para a descrição de propriedades características dos gases, como pressão, volume e temperatura
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Em relação a modelos
• É essencial dar-se conta que a Ciência tem origem na mente dos cientistas.
• Ou seja, é uma construção humana, coletiva, que busca descrever o universo, através de teorias, modelos provando hipóteses e submetendo-as a avaliação empírica e/ou racional.
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Os modelos ...
• Apresentam contexto de validade e distintos graus de precisão.
• Não são cristalizados em sua forma de criação mas são reformulados, melhorados e abandonados, dependendo do grau de êxito na descrição de resultados experimentais ou com raciocínios teóricos.
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Praxis científica• criar modelos científicos• verificar se descrevem bem os fenômenos• determinar seu contexto de validade• melhorar a precisão dos resultados• fazer predições
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Referências:• Andrea A. diSessa, Changing Minds Computers, Learning and
Literacy, MIT Press, 1999.• Jonassen, D. H. Computadores como herramientas da mente.
Disponível em: http://tecnologiaedu.us.es/bibliovir/pdf/efect_cog.pdfAcesso em: 10 de julho de 2005.
• Esquembre, F. Esquembre, Computers in Physics Education, Computer Physics Communications 147, 13-18 2002
• VEIT, E.A. http://www.if.ufrgs.br/cref/ntef• VEIT, E.A. http://www.if.ufrgs.br/cref/ntef/URI
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Prova de Galileu:
• Seja um partícula que se move uniformemente com velocidade constante duas distâncias AB e BC e seja o tempo requerido para percorrer AB representado por DE; o tempo requerido para percorrer BC, por EF; então, digo que a distância AB está para a distância BC como o tempo DE estápara o tempo EF.
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• sejam as distâncias e tempos estendidos em ambos os lados no sentido de G, H e I, K
• seja AG dividido em em número qualquer de espaços cada um igual a AB
• e do mesmo modo, em DI segam dispostos exatamente o mesmo número de intervalos de tempo iguais a DE
• novamente em CH sejam dispostos um número qualquer de distâncias iguais a BC
• e em FK exatamente o mesmo número de intervalos de tempo cada um igual a EF
• então a distância BG e o tempo EI serão múltiplos arbitrários e iguais da distância BA e do tempo ED
• do mesmo modo, a distância HB e o tempo KE são múltiplos arbitrários e iguais das distâncias CB e do tempo FE
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• e como DE é o tempo necessário para percorrer AB, o tempo total EI será necessário para a distância total BG
• e quando o movimento é uniforme, haverá em EI tantos intervalos iguais a DE como há distâncias em BG iguais a BA
• do mesmo modo, segue que KE representa o tempo requerido para percorrer HB
• como, entretanto, o movimento é uniforme, segue que a distância GB é igual à distância BH
• então, também deve o tempo IE ser igual ao tempo EK• e se GB é maior do que BH, então também IE será
maior do que EK• e se menor, menor
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• há então quatro quantidades, a primeira AB, a segunda BC, a terceira DE e a quarta, EF
• o tempo IE e a distância GB são múltiplos arbitrários da primeira e terceira, nomeadamente, da distância AB e do tempo DE
• Mas foi provado que estas últimas quantidades ambas são ou iguais a, ou maior do que, ou menor do que o tempo EK e o espaço BH, que são arbitrários múltiplos da segunda e da quarta. Portanto, a primeira e a segunda, nomeadamente a distância AB está para a distância BC, assim como a terceira está para a quarta, nomeadamente o tempo DE está para o tempo EF.
• Q.E.D.• (baseado em Dialogues Concerning Two New Sciences. Galileo,
Translated by H. Crew and A. de Salvio, Northwestern University, 1939. Apud, DiSessa, Changing Minds Computers. Learning and Literacy, MIT 1999)
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Prova do Teorema 1 usando Álgebra:
Logo
2
1
2
1
2
1
tt
rr
dd
=
O teorema envolve dois movimentos descritos como: distância (d) igual à taxa de variação (r) vezes o tempo (t)
Assim, para cada movimento se tem:
222111 e trdtrd ==
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Teorema 2 de Galileu:• Se uma partícula percorre duas distâncias em
iguais intervalos de tempo, estas distâncias estarão uma para a outra na mesma razão que as suas (respectivas) velocidades. De modo contrário, se as distâncias estão como as velocidades, então os tempos são iguais .
• No caso em que os termos em t se cancelam e
21 tt =
2
1
2
1
rr
dd
=
Do contrário: se então: 2
1
2
1
rr
dd
= 212
1 ou1 tttt
==
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Teorema 3 de Galileu:
• No caso em que as velocidades não são iguais, os intervalos de tempo gastos para percorrer um dados espaço estão um para o outro com o inverso das (respectivas) velocidades.
Se , os termos em d se cancelam e 21 dd =
1
2
2
1
2
1
2
1 ou1rr
tt
tt
rr
==
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Teorema 4 de Galileu:
• Se duas partículas são transportadas com velocidade uniforme, mas cada uma com diferente velocidades, então a distância percorrida por elas durante diferentes intervalos de tempo estão uma para a outra na razão composta das (respectivas) velocidades e dos (respectivos) intervalos de tempo.
Este é o lema do qual começamos:
2
1
2
1
2
1
tt
rr
dd
=
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Teorema 5 de Galileu:• Se duas partículas são movidas a uma taxa
uniforme, mas com velocidades diferentes, através de diferentes, distâncias, então a razão entre os intervalos de tempo transcorridos será o produto das distâncias pelo inverso da razão entre as velocidades.
Isolando em: 2
1
2
1
2
1
tt
rr
dd
=2
1
tt
Tem-se:2
1
2
1
2
1
rr
dd
tt=
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Teorema 6 de Galileu:
• Se duas partículas são transportadas a uma mesma taxa, a razão de suas velocidades seráo produto da razão das distâncias percorridas pelo inverso da razão dos intervalos de tempos transcorridos.
Isolando em:2
1
2
1
2
1
tt
rr
dd
=2
1
tr
Tem-se:2
1
2
1
2
1
tt
dd
rr=